Exercícios 1 da lista 4 segunda solução para cada equação diferencial

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Universidade Estadual de Goiás
Matemática 7o Período de Matemática
Professor: Deusaguimar Divino da Silva
Jussara Goiás 27 de março de 2020
Equações Diferenciais Aplicadas II
Resolução de atividades
Encontre a segunda solução para cada equação diferencial
1) y′′ + 5y′ = 0; y1 = 1
A resolução será feita pela formula
y2 = y1 ·
∫
e−
∫
P (x)dx
y21
dx
1o) Escreva a equação na forma y′′ + P (x)y′ + Q(x) = 0: para encontrarmos o P (x), a
equação já esta nessa forma.
y′′ + 5y′ = 0
logo P (x) = 5
2o) Devemos calcular ∫
P (x)dx =
∫
5dx = 5x+ c1
3o) Substituir na formula:
y2 = y1 ·
∫
e−
∫
P (x)dx
y21
dx
y2 = 1 ·
∫
e−(5x+c1)
12
dx
y2 =
∫
e−5x · e−c1dx
2
Substituindo a constante e−c1 por c2 temos:
y2 =
∫
e−5x · c2dx
y2 = c2 ·
∫
e−5xdx
y2 = c2 ·
e−5x
−5
+ c
Escolhendo c2 = −5 e c = 0 temos:
y2 = −5 ·
e−5x
−5
+ 0
Portanto uma segunda solução pedida é:
y2 = e
−5x
18) x2y′′ − 3xy′ + 5y = 0; y1 = x2 cos(lnx)
A resolução será feita pela formula
y2 = y1 ·
∫
e−
∫
P (x)dx
y21
dx
1o) Escreva a equação na forma y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0: para encontrarmos o P (x).
x2y′′ − 3xy′ + 5y = 0
Dividindo a equação por x2 obtemos:
x2
x2
y′′ − 3x
x2
y′ +
5
x2
y = 0
y′′ − 3
x
y′ +
5
x2
y = 0
3
logo P (x) = −3
x
2o) Devemos calcular
∫
P (x)dx =
∫
−3
x
dx = −3 lnx = − lnx3
3o) Substituir na formula:
y2 = y1 ·
∫
e−
∫
P (x)dx
y21
dx
y2 = x
2 cos(lnx)
∫
e−(− lnx
3)
(x2 cos(lnx))2
dx
y2 = x
2 cos(lnx)
∫
elnx
3
x4 cos2(lnx)
dx
y2 = x
2 cos(lnx)
∫
x3
x4 cos2(lnx)
dx
y2 = x
2 cos(lnx)
∫
1
x cos2(lnx)
dx
Vamos calcular a integral abaixo separadamente;
∫
1
x cos2(lnx)
dx
∫
1
cos2(lnx)
1
x
dx
Seja u = lnx assim du =
1
x
dx, substituindo na integral temos:
∫
1
cos2(u)
du
∫
sec2(u)du
tan(u)
Como u = lnx chegamos no em:
tan(lnx)
4
logo: ∫
1
x cos2(lnx)
dx = tan(lnx)
Devemos substituir esse resultado em:
y2 = x
2 cos(lnx)
∫
1
x cos2(lnx)
dx
y2 = x
2 cos(lnx) tan(lnx)
y2 = x
2 cos(lnx)
sin(lnx)
cos(lnx)
y2 = x
2 sin(lnx)
Portanto a segunda solução encontrada é y2 = x
2 sin(lnx)