APOSTILA DE FENÔMENOS DE TRANSFERÊNCIA I

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APOSTILA DE: 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª CAROLINA RESMINI MELO MARQUES 
carolina.melo@satc.edu.br 
 
Disciplina: Fenômenos de Transferência I 
Curso: Engenharia Química – 5° Fase 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 4 
1.1 DIMENSÕES E UNIDADES .......................................................................................................... 4 
1.1.1 Sistemas de dimensões ...................................................................................................... 4 
1.1.2 Sistemas de unidades ........................................................................................................ 5 
1.1.3 Conversão de Unidades .................................................................................................... 6 
2. FLUIDOS ................................................................................................................................. 8 
2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 8 
2.2 O MEIO CONTÍNUO .................................................................................................................... 8 
2.3 CONCEITO DE FLUIDO ............................................................................................................... 8 
2.4 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS .................................................................................................... 9 
2.4.1 Massa Específica ............................................................................................................ 10 
2.4.2 Peso Específico ............................................................................................................... 10 
2.4.3 Peso Específico Relativo ................................................................................................ 10 
3. ESTÁTICA DOS FLUIDOS ................................................................................................. 12 
3.1 A EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS ..................................................................... 12 
3.2 LEI DE PASCAL ........................................................................................................................ 14 
3.3 MANOMETRIA ......................................................................................................................... 15 
3.3.1 Barômetro de mercúrio .................................................................................................. 15 
3.3.2 Manômetro de tubo em U com fluido manométrico ....................................................... 16 
4. DINÂMICA DOS FLUIDOS .................................................................................................... 19 
4.1 TIPOS DE ESCOAMENTOS ........................................................................................................ 19 
4.1.1 De acordo com a medição de uma propriedade ............................................................. 19 
4.1.2 De acordo com a medida do vetor velocidade ............................................................... 19 
4.1.3 De acordo com as coordenadas de posição ................................................................... 19 
4.1.4 De acordo com a trajetória seguida pelas partículas de fluido ..................................... 19 
4.2 LEI DE VISCOSIDADE DE NEWTON ........................................................................................... 20 
4.3 FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS ..................................................................... 22 
4.4 VAZÃO .................................................................................................................................... 23 
5. BALANÇOS GLOBAIS DE MASSA, ENERGIA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
 26 
5.1 BALANÇO GLOBAL DE MASSA ................................................................................................. 26 
5.2 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ....................................................................................................... 29 
5.2.1 Conservação da energia ................................................................................................. 30 
5.3 BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA .............................................................................................. 31 
5.3.1 Perda de carga ............................................................................................................... 33 
5.3.2 Equações globais de energia mecânica .......................................................................... 34 
5.3.3 Cálculo da potência ........................................................................................................ 35 
5.4 BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO .............................................................. 37 
6. BALANÇOS DIFERENCIAIS DE MASSA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO ..... 41 
6.1 BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA ......................................................................................... 41 
6.2 BALANÇO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO ...................................................... 43 
6.2.1 Forças atuando sobre uma partícula fluida ................................................................... 43 
6.2.2 Fluidos Newtonianos: Equação de Navier-Stokes ......................................................... 45 
7. CAMADA LIMITE ............................................................................................................... 47 
8. COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA EM DUTOS DE SEÇÃO CIRCULAR ................ 49 
3 
 
8.1 ESCOAMENTO LAMINAR .......................................................................................................... 49 
8.2 ESCOAMENTO TURBULENTO ................................................................................................... 49 
9. ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMILARIDADE .............................................................. 55 
9.1 DIMENSÕES E UNIDADES ......................................................................................................... 55 
9.2 HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL ......................................................................................... 56 
9.3 RESULTADOS DA ANÁLISE DIMENSIONAL ............................................................................ 56 
9.4 TEOREMA DE Π DE BUCKINGHAM ......................................................................................... 57 
9.5 ESCOLHA DAS VARIÁVEIS REPETIDAS...................................................................................... 57 
9.6 GRUPOS ADIMENSIONAIS IMPORTANTES NA MECÂNICA DOS FLUIDOS ..................................... 59 
9.6.1 Número de Reynolds (Re) ............................................................................................... 60 
9.6.2 Número de Euler (Eu) ..................................................................................................... 60 
9.6.3 Número de Froude (Fr) .................................................................................................. 61 
9.6.4 Número de Weber (We) .................................................................................................. 61 
9.6.5 Número de Mach (M) ..................................................................................................... 61 
9.7 SIMILARIDADE (TEORIA DOS MODELOS) .................................................................................. 61 
9.8 ESCALAS DE SEMELHANÇA ..................................................................................................... 62 
9.9 RELAÇÕES ENTRE ESCALAS ..................................................................................................... 62 
 
 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A importância do estudo dos Fenômenos de Transferência está na sua relevânciaem 
face do mundo em que vivemos. Não há praticamente nenhum setor da atividade humana que 
não seja de uma forma ou de outra afetada por problemas associados à Mecânica dos Fluidos, 
à Termodinâmica, à Troca de Calor e à Troca de Massa, ou seja, que não envolva interações de 
massa e de energia entre seus componentes. Assim, o engenheiro precisa ter noções básicas 
sobre essas ciências, pois, com frequência, ele precisará tomar ou influenciar decisões 
técnicas, políticas ou gerenciais envolvendo questões como a poluição de rios, lagos e lagoas; 
a construção de uma nova fábrica; o efeito estufa; a construção de coletores solares; etc. 
A disciplina de Fenômenos de Transferência I estuda particularmente a Mecânica dos 
Fluidos. Uma vez que todas as questões ambientais envolvem fluidos, de uma forma ou de 
outra, nada mais razoável que dedicar algum tempo para analisar o que acontece com um 
fluido, seja ele o ar atmosférico, os rios, um fluido em uma tubulação industrial, os gases da 
combustão ou o sangue humano. A movimentação dos fluidos está relacionada com as três 
dimensões espaciais além do tempo, o que complica um pouco o estudo. 
O estudo da mecânica dos fluidos é dividido basicamente em dois ramos, a estática dos 
fluidos e a dinâmica dos fluidos. A estática dos fluidos trata das propriedades e leis físicas que 
regem o comportamento dos fluidos livre da ação de forças externas, ou seja, nesta situação o 
fluido se encontra em repouso ou então com deslocamento em velocidade constante, já a 
dinâmica dos fluidos é responsável pelo estudo e comportamento dos fluidos em regime de 
movimento acelerado no qual se faz presente a ação de forças externas responsáveis pelo 
transporte de massa. 
Dessa forma, pode-se perceber que o estudo da mecânica dos fluidos está relacionado a 
muitos processos industriais presentes na engenharia e sua compreensão representa um dos 
pontos fundamentais para a solução de problemas geralmente encontrados nos processos 
industriais. 
 
1.1 Dimensões e Unidades 
 
1.1.1 Sistemas de dimensões 
 
 Referimo-nos a quantidades físicas tais como comprimento, tempo, massa e temperatura 
como dimensões. Em termos de um sistema particular de dimensões, todas as quantidades 
mensuráveis podem ser divididas em dois grupos – quantidades primárias (ou fundamentais) e 
quantidades secundárias (ou derivadas). Referimo-nos a um pequeno grupo de dimensões básicas, 
a partir do qual todos os outros podem ser formados, como quantidades primárias para as quais 
estabelecemos arbitrariamente escalas de medida. Quantidades secundárias são aquelas cujas 
dimensões são expressas em termos das dimensões das quantidades primárias. 
 Unidades são os nomes (e magnitudes) arbitrários dados às dimensões primárias adotadas 
como padrões de medidas. Por exemplo, a dimensão primária de comprimento pode ser medida 
em unidades de metros, pés, jardas ou milhas. Cada unidade de comprimento é relacionada às 
outras por fatores de conversão de unidades (1 milha = 5280 pés = 1609 metros). 
Em fenômenos de transferência as grandezas fundamentais empregadas são: 
• massa (M); 
• comprimento (L); 
• tempo (ϴ); 
• temperatura (T); 
 • Intensidade de corrente elétrica (i); 
 • Quantidade de matéria (mol). 
Os símbolos entre parênteses não se tratam das unidades, mas sim de uma abreviação 
usualmente utilizada para indicar a grandeza em si. As unidades adotadas serão exclusivamente as 
do Sistema Internacional de Unidades (SI). A tabela 1.1 mostra algumas unidades do SI das 
5 
 
grandezas fundamentais e daquelas definidas a partir das mesmas. Algumas grandezas como 
velocidade (Lϴ−1) e aceleração (Lϴ−2), por exemplo, não possuem unidades com nomes padrão no 
SI, como é o caso, por exemplo, da unidade não-SI de velocidade nó, utilizada em navegação. 
 
Tabela 1.1 – Unidades SI. 
Quantidade Unidade Símbolo no SI Fórmula 
Comprimento metro m - 
Massa quilograma kg - 
Tempo segundo s - 
Temperatura kelvin K - 
Ângulo plano radiano rad - 
Energia joule J N.m 
Força newton N Kg.m/s2 
Potência watt W J/s 
Pressão pascal Pa N/m2 
Trabalho joule J N.m 
 
A Tabela 1.2 apresenta os principais prefixos utilizados. 
 
Tabela 1.2 – Prefixos. 
Fator de multiplicação Prefixo Símbolo no SI 
1 000 000 000 000 = 1012 tera T 
1 000 000 000 = 109 giga G 
1 000 000 = 106 mega M 
1 000 = 103 quilo K 
0,01 = 10-2 centi c 
0,001 = 10-3 mili m 
0,000 001 = 10-6 micro µ 
0,000 000 001 = 10-9 nano n 
0,000 000 000 001 = 10-12 pico p 
 
1.1.2 Sistemas de unidades 
 
 Há mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão primária. 
Apresentaremos apenas os sistemas de unidades mais comuns na engenharia para cada um dos 
sistemas básicos de dimensões. 
 - Sistema Internacional (SI): a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de 
comprimento é o metro (m), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o 
kelvin (K). A força é uma dimensão secundária e a sua unidade, o newton (N), é definida em 
termos da segunda lei de Newton como: 
1 N = 1 kg.m/s2 
 - Sistema Métrico Absoluto: a unidade de massa é o grama, a unidade de comprimento é o 
centímetro, a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o kelvin. Posto que a 
força é uma dimensão secundária, a sua unidade o dina, é definida em termos da segunda lei de 
Newton como: 
1 dina = 1 g.cm/s2 
 - Sistema de Unidades Gravitacional Britânico: a unidade de força é a libra-força (lbf), a 
unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é 
o Rankine (°R). Como a massa é uma dimensão secundária, a sua unidade, o slug, é definida em 
termos da segunda lei de Newton como: 
1 slug = 1 lbf.s2/ft 
 - Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de Engenharia: a unidade de força é a libra-força 
(lbf), a unidade de massa é a libra-massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade 
6 
 
de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o Rankine. Posto que ambas, força e massa, 
foram escolhidas como unidades primárias, a segunda Lei de Newton é escrita como: 
.
c
m a
F
g
 
 Uma libra-força (1 lbf) é a força que dá à massa de uma libra-massa (1 lbm) uma 
aceleração igual à aceleração padrão da gravidade na Terra, 32,2 ft/s2. Da segunda lei de Newton 
concluímos que: 
21 .32,2 /
1
c
lbm ft s
lbf
g
 ou 
2
32,2 .
.
c
ft lbm
g
lbf s
 
 A constante de proporcionalidade, gc, tem dimensões e unidades. As dimensões surgiram 
porque escolhemos força e massa como dimensões primárias; as unidades (e o valor numérico) são 
uma consequência de nossas escolhas para os padrões de medidas. 
 Como uma força de 1 lbf acelera 1 lbm a 32,2 ft/s2, aceleraria 32,2 lbm a 1 ft/s2. Um slug 
também é acelerado a 1ft/s2 por uma força de 1 lbf. Portanto: 
1 slug = 32,2 lbm 
 
1.1.3 Conversão de Unidades 
 
 Para vários problemas na engenharia, muitas vezes torna-se necessária a conversão de 
unidades. As Tabelas 1.3 a 1.6 apresentam algumas conversões de unidades primárias, e a Tabela 
1.7 apresenta algumas conversões de unidades secundárias. 
 
Tabela 1.3 – Conversão de comprimento. 
 
 
Tabela 1.4 – Conversão de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
Tabela 1.5 – Conversão de área. 
 
 
Tabela 1.6 – Conversão de volume. 
 
 
Tabela 1.7 – Conversão de várias unidades secundárias. 
 
 
 
Exercício 1.1: 
Faça a conversão das seguintes unidades: 
a) 50 ft para m. 
b) 250 ft/min para cm/s. 
c) 0,005 J para lb.m2/min2. 
d) 30 in2/s para ft2/min. 
 
 
8 
 
2. FLUIDOS 
 
2.1 Introdução 
 
Na natureza, assim como em sistemas projetados pelo homem, uma grande quantidade de 
fenômenos físicos ocorrem continuamente. O sucesso em se prever ou simular quantitativamente o 
comportamento de um determinado meio depende de nossa capacidade de formular modelos 
matemáticos dos seus fenômenos físicos mais importantes. 
É útil considerar um fenômeno físicocomo um processo a que um determinado sistema 
bem identificado é submetido, ou seja, como uma sequência de transformações no estado do 
sistema. 
Por estado do sistema entende-se o conjunto de suas propriedades físicas, tais como: 
massa, volume, pressão, temperatura, constituição química, etc. Em fenômenos de transferência 
estudam-se os processos por meio dos quais três propriedades físicas fundamentais são 
transportadas de um ponto a outro do espaço: massa, quantidade de movimento, e energia. Os 
meios físicos onde tais processos ocorrem serão supostos contínuos, ou seja, há uma distribuição 
contínua de matéria onde se pode definir as propriedades do meio como funções matemáticas 
contínuas do espaço tridimensional (x, y, z) e do tempo t. 
A hipótese do contínuo é válida se as escalas de comprimento relevantes no processo físico 
em questão forem várias ordens de magnitude maiores que o espaçamento médio entre as 
moléculas no meio. Uma das mais importantes hipóteses feitas em fenômenos de transferência é a 
de que os processos físicos procedem na direção do equilíbrio, ou seja: que o sentido dos 
processos obedece à segunda lei da termodinâmica. A todo processo físico em fenômenos de 
transferência estão associadas diferenças de concentração (de um soluto), temperatura (energia), 
ou quantidade de movimento que, por sua vez, dão origem a fluxos dessas quantidades em direção 
ao equilíbrio. Uma grande quantidade de fenômenos físicos pode ser enquadrada como objetos de 
estudo desta ampla disciplina chamada fenômenos de transferência. 
 
2.2 O meio contínuo 
 
O comportamento da matéria, seja ela sólida ou fluida, está diretamente associado ao 
comportamento das moléculas que a constituem. Em geral, o número de moléculas por unidade de 
volume de matéria é enorme. Por exemplo, o número de moléculas em um centímetro cúbico de ar 
é da ordem de 1019. Se você decidisse contar o número de moléculas nesse pequeno volume a uma 
razão de uma molécula por segundo, ao final de 20 vezes a idade do universo, você não teria 
terminado! Obviamente, tentar compreender um sistema através da descrição de cada molécula 
individualmente é algo simplesmente impossível. Assim sendo, na melhor das hipóteses, os 
estudos são feitos em termos estatísticos pela chamada mecânica estatística. Alternativamente, 
pode-se propor uma abordagem macroscópica da matéria, e se torna conveniente pensar em 
termos de uma distribuição espacial contínua de massa, ou seja, de um meio contínuo. Conforme 
já mencionado anteriormente, o contínuo é um modelo válido desde que a menor escala de 
interesse no problema em questão seja muito maior que as escalas moleculares. Assim, quando se 
refere a propriedades em um ponto no meio contínuo, na verdade está se considerando a média 
estatística do efeito de um grande número de moléculas em torno deste ponto. 
 
2.3 Conceito de fluido 
 
Inúmeros pesquisadores já propuseram várias definições para fluido, nas mais diversas 
situações. Esta é uma tarefa difícil na medida em que os materiais que denominamos 
genericamente de fluidos tem seu comportamento associado a um grande número de variáveis, e 
que nem sempre é possível distinguir claramente a fronteira entre os sólidos e fluidos. Para os 
objetivos do presente texto, define-se fluido da seguinte forma: 
9 
 
“Um material é dito fluido quando se deforma indefinidamente ao ser submetido a uma 
tensão (tangencial) de cisalhamento, por menor que ela seja.” 
Figura 2.1 – Diferença entre sólidos e líquidos em termos de deformação e taxa de 
deformação. 
 
 
A Figura 2.1 ilustra a definição acima. Um material é colocado entre uma placa horizontal 
de área A e um plano horizontal em repouso. Ao se aplicar uma força tangencial F sobre a placa, a 
tensão tangencial aplicada sobre o material é F/A. Um sólido sofrerá uma deformação finita, e 
uma força elástica restauradora aparecerá sobre a placa, equilibrando F. Já um fluido se deformará 
continuamente enquanto F estiver aplicada. No primeiro caso, a força com que o sólido resiste ao 
esforço da placa é proporcional à própria deformação sofrida. Em termos das definições da Figura 
2.1: 
.
F x
k
A y

 
 
enquanto que, no caso de um fluido, a força será proporcional à sua taxa de deformação: 
1
.
F x Vx
k
A t y y

 

 
Eis neste exemplo uma diferença fundamental entre a mecânica dos sólidos e a mecânica 
dos fluidos: enquanto na primeira quer-se resolver as deformações (que se traduzem em 
deslocamentos), na segunda o enfoque é resolver as taxas de deformação (que se traduzem em 
velocidades). 
Um fluido é caracterizado como uma substância que se deforma continuamente quando 
submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quão pequena possa ser essa tensão. 
Os fluidos incluem os líquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os sólidos plásticos. A 
principal característica dos fluidos está relacionada à propriedade de não resistir à deformação e 
apresentam a capacidade de fluir, ou seja, possuem a habilidade de tomar a forma de seus 
recipientes. Esta propriedade é proveniente da sua incapacidade de suportar uma tensão de 
cisalhamento em equilíbrio estático. 
Os fluidos podem ser classificados como: Fluido Newtoniano ou Fluido Não Newtoniano. 
Esta classificação está associada à caracterização da tensão, como linear ou não linear no que diz 
respeito à dependência desta tensão com relação à deformação e à sua derivada. 
Os fluidos também são divididos em líquidos e gases, os líquidos formam uma superfície 
livre, isto é, quando em repouso apresentam uma superfície estacionária não determinada pelo 
recipiente que contém o líquido. Os gases apresentam a propriedade de se expandirem livremente 
quando não confinados (ou contidos) por um recipiente, não formando, portanto, uma superfície 
livre. A superfície livre característica dos líquidos é uma propriedade da presença de tensão 
interna e atração/repulsão entre as moléculas do fluido, bem como da relação entre as tensões 
internas do líquido com o fluido ou sólido que o limita. 
Um fluido que apresenta resistência à redução de volume próprio é denominado fluido 
incompressível, enquanto o fluido que responde com uma redução de seu volume próprio ao ser 
submetido à ação de uma força é denominado fluido compressível. 
 
2.4 Propriedades dos fluidos 
 
10 
 
Algumas propriedades são fundamentais para a análise de um fluido e representam a base 
para o estudo da mecânica dos fluidos, essas propriedades são específicas para cada tipo de 
substância avaliada e são muito importantes para uma correta avaliação dos problemas comumente 
encontrados na indústria. Dentre essas propriedades podem-se citar: a massa específica, o peso 
específico e o peso específico relativo. 
 
2.4.1 Massa Específica 
 
Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o volume ocupado por 
ela. A massa específica pode ser quantificada através da aplicação da equação a seguir, onde ρ é a 
massa específica, m representa a massa da substância e V o volume por ela ocupado. 
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o volume em 
m³, assim, a unidade de massa específica é kg/m3. 
m
V
ρ 
 
2.4.2 Peso Específico 
 
A relação entre o peso de um fluido e o volume ocupado por ele pode ser obtido pela 
aplicação da equação a seguir: 
P
V
Ύ 
Como o peso (P) é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton, 
onde P = m.g), a equação pode ser reescrita da seguinte maneira: 
.m g
V
Ύ 
A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação entre a massa 
específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, pode-se escrever que: 
.gΎ ρ 
onde, γ é o peso específico do fluido, P é o peso do fluido e g representa a aceleração da 
gravidade. Em unidades do SI, o peso é dado em N, a aceleração da gravidade em m/s2 e o peso 
específicoem N/m3. 
 
2.4.3 Peso Específico Relativo 
 
Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o peso específico da 
água. Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é 10000 N/m3, e como o peso 
específico relativo é a relação entre dois pesos específicos, o mesmo é um número adimensional, 
ou seja, não contempla unidades. 
O

2
R
H
Ύ
Ύ
Ύ
 
 
 A Tabela 2.1 apresenta os valores de massa específica, peso específico e peso específico 
relativo de alguns líquidos. 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Tabela 2.1 – Propriedades de alguns fluidos. 
 
 
Exercício 2.1: 
Sabendo-se que 1500 kg de massa de uma determinada substância ocupa um volume de 
2m3, determine a massa específica, o peso específico e o peso específico relativo dessa substância. 
Dados: γ H2O = 10000N/m³, g = 10 m/s². 
 
Exercício 2.2: 
Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2 m e altura de 4 m, sabendo-se 
que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina, determine a massa de gasolina presente no 
reservatório. Sabe-se que a massa específica da gasolina é 720 kg/m3 e seu peso específico é 7200 
N/m3. 
 
Exercício 2.3: 
A massa específica de uma determinada substância é igual a 740 kg/m³, determine o 
volume ocupado por uma massa de 500 kg dessa substância. 
 
Exercício 2.4: 
Sabe-se que 400 kg de um líquido ocupa um reservatório com volume de 1500 litros, 
determine sua massa específica, seu peso específico e o peso específico relativo. Dados: γH2O = 
10000 N/m³, g = 10 m/s². 
 
Exercício 2.5: 
Determine a massa de mercúrio presente em uma garrafa de 2 litros. Dados: g = 10 m/s²; 
ρmercúrio = 13600 kg/m
3. 
 
Exercício 2.6: 
Um reservatório cúbico com 2 m de aresta está completamente cheio de óleo lubrificante 
(ρóleo lubrificante = 880 kg/m
3). Determine a massa de óleo quando apenas ¾ do tanque estiver 
ocupado. 
 
Exercício 2.7: 
Sabendo-se que o peso específico relativo de um determinado óleo é igual a 0,85, 
determine sua massa específica em kg/m³. Dados: γH2O = 10000 N/m³, g = 10 m/s². 
 
12 
 
3. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
A estática dos fluidos é a ramificação da mecânica dos fluidos que estuda o 
comportamento de um fluido em uma condição de equilíbrio estático. 
Um fluido é definido como uma substância que escoará ou deformará continuamente 
sempre que uma tensão de cisalhamento for aplicada sobre ela. Segue, então, que a tensão de 
cisalhamento sobre um fluido em repouso deve ser zero. Podemos concluir que, para um fluido 
estático, somente tensão normal está presente – em outras palavras, pressão. 
 
3.1 A equação básica da estática dos fluidos 
 
 Em um fluido em repouso (estático), submetido ao campo gravitacional, as únicas forças 
que atuam sobre um elemento fluido são o peso e as forças devidas às pressões estáticas p = p(x, 
y, z). 
Consideremos um elemento de volume ∆x∆y∆z, com faces paralelas aos planos de um 
sistema de coordenadas retangulares x, y, z, isolado de um fluido em repouso com massa 
específica ρ, conforme é mostrado na Figura 3.1. 
As forças de pressão atuam sobre o elemento fluido de acordo com a coordenada de 
posição da face do elemento cúbico sobre a qual atua a pressão. 
 
Figura 3.1 – Elemento de volume isolado de um fluido em repouso com as pressões 
estáticas exercidas pelo restante do fluido. 
 
 
O peso atua sobre todo o volume do corpo, não só na superfície. A força-peso do elemento 
fluido é dada por: 
 
. . . .pesoF x y z g   ρ 
 
O balanço de força para a direção x fica: 
 
. . . . 0x xx x xP z y P z y       
 
Dividindo tudo por ∆V, teremos: 
 
13 
 
. . . .
0
. . . .
0
x xx x x
x xx x x
P z y P z y
x y z x y z
P P
x


   
 
     



 
 
Para analisar em um único ponto, fazendo limite de ∆V tendendo a zero, teremos: 
 
0
dP
dx
  
 
 Fazendo o balanço de forças para a direção y e para a direção z, teremos no final: 
 
. 0
dP
g
dy
   0
dP
dz
  
 
Assim, pode-se perceber que a pressão não varia na direção x e nem na direção z, porém a 
pressão varia linearmente com o fator .g . Adotando a gravidade como sendo aproximadamente 
-9,81 m/s2, temos: 
.
dP
g
dy
 
 Portanto, a forma vetorial geral da equação da Estática dos Fluidos é: 
.P g  
Sendo que .g  , temos: 
P   
A variação da pressão com a altura é determinada por meio da integração da equação 
.
dP
g
dy
 com as condições de contorno adequadas. Considerando que a pressão em um nível de 
referência y0 é P0, determina-se a pressão P(y) em uma altura y com a integração da equação 
.
dP
g
dy
 , de forma que: 
( )
0 0
( ) 0 0
.
. .( )
yP y
P y
y
dP g dy
P P g y y



  
 
 
 
ou seja, a diferença de pressão entre dois pontos, num fluido incompressível, é diretamente 
proporcional à diferença de altura entre esses dois pontos. 
Para líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um referencial com um eixo h, 
paralelo ao vetor campo gravitacional, com origem na superfície livre. Portanto, a última equação 
pode ser simplificada para: 
.P h  
A equação .P h  é conhecida como “Teorema de Stevin”. O teorema de Stevin 
também é conhecido por teorema fundamental da hidrostática e sua definição é de grande 
importância para a determinação da pressão atuante em qualquer ponto de uma coluna de líquido. 
O teorema de Stevin diz que: “a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é 
igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cota entre os dois pontos 
avaliados”. 
 
14 
 
3.2 Lei de Pascal 
 
O Princípio de Pascal representa uma das mais significativas contribuições práticas para a 
mecânica dos fluidos no que tange a problemas que envolvem a transmissão e a ampliação de 
forças através da pressão aplicada a um fluido. 
O seu enunciado diz que: “quando um ponto de um líquido em equilíbrio sofre uma 
variação de pressão, todos os outros pontos também sofrem a mesma variação”. 
Pascal, físico e matemático francês, descobriu que, ao se aplicar uma pressão em um ponto 
qualquer de um líquido em equilíbrio, essa pressão se transmite a todos os demais pontos do 
líquido, bem como às paredes do recipiente. 
Essa propriedade dos líquidos, expressa pela lei de Pascal, é utilizada em diversos 
dispositivos, tanto para amplificar forças como para transmiti-las de um ponto a outro. Um 
exemplo disso é a prensa hidráulica e os freios hidráulicos dos automóveis. 
Os elevadores para veículos automotores, utilizados em postos de serviço e oficinas, por 
exemplo, baseiam-se nos princípios da prensa hidráulica. Ela é constituída de dois cilindros de 
seções diferentes. Em cada um, desliza um pistão. Um tubo comunica ambos os cilindros desde a 
base. A prensa hidráulica permite equilibrar uma força muito grande a partir da aplicação de uma 
força pequena. Isso é possível porque as pressões sobre as duas superfícies são iguais (Pressão = 
Força / Área). Assim, a grande força resistente (F2) que age na superfície maior é equilibrada por 
uma pequena força motora (F1) aplicada sobre a superfície menor (F2/A2 = F1/A1) como pode se 
observar na Figura 3.2. 
 
Figura 3.2 – Elevador para veículo automotivo. 
 
 
Exercício 3.1: 
A figura ao lado mostra uma prensa hidráulica cujos 
êmbolos têm seções A1=15cm
2 e A2 = 30cm
2. Sobre o 
primeiro êmbolo, aplica-se uma força F igual a 10 N, 
e, desta forma, mantém-se em equilíbrio um cone de 
aço de peso P, colocado sobre o segundo êmbolo. 
Determine o peso do cone, em N. 
 
 
 
15 
 
 
3.3 Manometria 
 
O manômetro é o instrumento utilizado na mecânica dos fluidos para se efetuar a medição 
da pressão, no setor industrial existem diversos tipos e aplicações para os manômetros. 
As medidas de pressão são realizadas em relação a uma determinada pressão de referência. 
Usualmente, adota-se como referência a pressão nula existente no vácuo absolutoou a pressão 
atmosférica local. Chama-se “pressão absoluta” aquela que é medida em relação à pressão nula do 
vácuo absoluto. Denomina-se “pressão relativa” aquela que é medida em relação à pressão 
atmosférica local. Os níveis de pressão medidos em relação à pressão atmosférica são 
denominados “pressões manométricas”. 
A Figura 3.3 ilustra uma medida de pressão em relação ao nível zero do vácuo absoluto e 
em relação à pressão atmosférica local (Patm). 
 
Figura 3.3 – Pressão absoluta e manométrica, mostrando níveis de referência. 
 
 
Assim, 
manometrica absoluta atmosfericaP P P  
 
3.3.1 Barômetro de mercúrio 
 
A pressão atmosférica local, representada por Patm, pode ser medida por um barômetro. O 
mais simples é o barômetro de mercúrio, como pode ser visto na Figura 3.4. 
 
Figura 3.4 – Barômetro de mercúrio. 
 
 
Na Figura 3.4 anterior, tem-se que h é a altura da coluna de mercúrio no tubo de vidro; Patm 
é a pressão atmosférica local; e P0 é a pressão de vapor do mercúrio. 
Aplicando a equação básica da estática dos fluidos no barômetro de mercúrio, temos: 
16 
 
0
.
.
.
. .
B
A
Hg
P h
Hg
P
B A Hg
P g
dP
g
dy
dP g dy
P P g h




 


 
 
 
 
Pontos que estão a mesma altura, dentro do mesmo fluido, têm a mesma pressão, de forma 
que PA = Patm e como PB = P0, obtém-se: 
0
0
. .
. .
atm Hg
atm Hg
P P g h
P P g h


 
 
 
Em condições normais de temperatura e pressão, a pressão de vapor do mercúrio é 
praticamente nula, ou seja, P0 ≈ 0, resultando: 
. .atm HgP g h 
A pressão atmosférica normal, ao nível do mar, corresponde a uma coluna de mercúrio 
com altura h = 76 cm. Substituindo os dados, ρHg = 13600 kg/m
3, g = 9,81 m/s2, h = 0,76 m, na 
equação anterior, resulta: 
Patm = 101320 N/m
2 = 101,32 kPa 
 
3.3.2 Manômetro de tubo em U com fluido manométrico 
 
A introdução de um líquido manométrico no manômetro de tubo em U permite utilizá-lo 
na medição de pressões de gases ou líquidos, pois esse líquido impede que o gás escape pelo tubo. 
É importante que se utilize um líquido manométrico que apresente um peso específico bastante 
elevado de modo a evitar colunas contendo o fluido manométrico muito alto. A Figura 3.5 
apresenta um manômetro de tubo em U. 
 
Figura 3.5 – Manômetro de tubo em U. 
 
 
 Os pontos C e D estão sob a mesma pressão. Assim pode-se fazer um balanço de forças, 
sabendo-se que PC = PD, temos: 
1.atm DP h P  
 Temos também que: 
2.B CP h P  ou 2.A CP h P  
17 
 
 
Fazendo a igualdade PC = PD, temos: 
2 1
2 1
. .
. . . .
A atm
A A atm LM
P h P h
P g h P g h
 
 
  
  
 
 
Em muitas situações, o fluido de trabalho que está confinado na câmara, é um gás com 
peso específico muito menor que o peso específico do fluido manométrico, que deve sempre ser 
um líquido, de forma que fluidonacamara liquido manometrico  . 
Sendo 2. .A g h um termo muito pequeno, temos então: 
1. .A atm LMP P g h  
 
Exercício 3.2: 
 No manômetro diferencial mostrado na figura abaixo, o fluido A é água, B é óleo e o 
fluido manométrico é mercúrio. Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm, 
determine qual é a diferença de pressão entre os pontos A e B. Dados: γH20 = 10000N/m³, γHg = 
136000N/m³, γóleo = 8000N/m³. 
 
 
Exercício 3.3: 
O tubo A da figura abaixo contém tetracloreto de carbono com peso específico relativo de 
1,6 e o tanque B contém uma solução salina com peso específico relativo de 1,15. Determine a 
pressão do ar no tanque B sabendo-se que a pressão no tubo A é igual a 1,72 bar. Sabe-se que o 
peso específico da água é de 10000 N/m3. 
 
 
 
 
 
18 
 
Exercício 3.4: 
Na figura ao lado, tem-se as seguintes leituras: 
Manômetro A = 5 psi 
Manômetro B = -3 psi 
Manômetro C = 4 psi 
Pressão atmosférica = 14,7 psi 
Pergunta-se: 
a) Qual deve ser a leitura no manômetro D? 
b) Qual a pressão absoluta em 1? 
 
 
 
 
19 
 
4. DINÂMICA DOS FLUIDOS 
 
4.1 Tipos de Escoamentos 
 
As diferentes classificações que podem ser dadas aos escoamentos em Mecânica dos 
Fluidos é segundo o tipo de fluido, dependência temporal e espacial, segundo a superfície onde 
escoa, segundo a seção do escoamento e segundo a compressibilidade do fluido. 
 
4.1.1 De acordo com a medição de uma propriedade 
 
 Em um fluido escoando sob circunstâncias normais - um rio, por exemplo - se as 
propriedades (velocidade, pressão) em um ponto do campo de escoamento permanecem constantes 
com respeito ao tempo denomina-se escoamento estacionário ou permanente. Quando as 
propriedades do fluido em um ponto do campo de escoamento variam com o tempo o escoamento 
é denominado escoamento não estacionário ou transiente. 
 
4.1.2 De acordo com a medida do vetor velocidade 
 
 Se a medição da velocidade em dois pontos arbitrariamente fixados não muda em 
magnitude, denomina-se fluxo uniforme. Se a velocidade muda, denomina-se fluxo não uniforme. 
 
4.1.3 De acordo com as coordenadas de posição 
 
 Os escoamentos na natureza são geralmente tridimensionais, transitórios e complexos. O 
campo de velocidades é dependente das coordenadas de posição e do tempo v = v(x,y,z,t). Em um 
escoamento tridimensional o vetor velocidade apresenta três componentes de velocidade v = ui + 
vj+ wk. 
Embora em geral todos os fluidos escoem de forma tridimensional, com pressões e 
velocidades e outras propriedades de fluxo variando em todas as direções, em muitos casos as 
maiores mudanças ocorrem unicamente em duas direções ou até mesmo numa única direção. 
Nestes casos mudanças nas outras direções podem ser desprezíveis tornando-se a análise muito 
mais simplificada. Existem regimes de escoamento nos quais um dos componentes do vetor 
velocidade é pequeno em relação aos outros dois componentes. Neste caso falamos de escoamento 
bidimensional v = ui+ vj 
Existem também escoamentos unidimensionais, quando os parâmetros de fluxo 
(velocidade, pressão) em um instante dado de tempo, variam unicamente na direção de fluxo (v = 
ui). 
 
4.1.4 De acordo com a trajetória seguida pelas partículas de fluido 
 
O cientista britânico Osborne Reynolds realizou experiências que permitiram visualizar os 
diferentes regimes de escoamento numa tubulação. Como mostra a Figura 4.1 é injetado líquido 
colorido em uma tubulação na qual escoa água. Regulando a vazão com um registro detectou-se 
diferentes regimes de escoamento. Para uma vazão "baixa" o fluido se comporta como lâmina sem 
perturbação, sendo o escoamento denominado laminar. Para "grandes" vazões o líquido mostra-se 
com flutuações aleatórias típicas de um escoamento turbulento. Para vazões "intermediárias" o 
fluido colorido apresenta leves flutuações no espaço e no tempo. Neste caso o escoamento está em 
uma fase de transição entre laminar e turbulento. Foi observado que a natureza laminar ou 
turbulenta estava relacionada com o diâmetro (D) da tubulação, a velocidade média do 
escoamento (v) e a viscosidade cinemática do fluido ν. Foi assim definido um número 
característico denominado na sua homenagem número de Reynolds: 
20 
 
. .
Re
v D

 
Considera-se (dutos e tubos) que para número de Reynolds menores que 2000 o 
escoamento é laminar e para Reynolds maiores que 2400 o escoamento é turbulento. Há um 
regime de transição entre os dois tipos de escoamentos, que será visto mais adiante. 
Os escoamentos viscosos são classificados como escoamentos laminar e turbulento tendo 
por base a sua estrutura. O escoamento laminar se caracteriza pelo movimento suave e em lâminas 
ou camadas de fluidos. O escoamento turbulento é caracterizado por movimentos aleatórios, 
tridimensionais de partículas fluidas adicionadas ao movimento principal. No escoamento laminar 
é válida a relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade (lei de viscosidade de 
Newton). Para o escoamento turbulento flutuações aleatórias e tridimensionaisda velocidade 
transportam quantidade de movimento através das linhas de corrente do escoamento aumentando a 
tensão de cisalhamento efetiva. Desta forma nos escoamentos turbulentos não existe uma relação 
universal entre o campo de tensões e o campo de velocidades. 
 
Figura 4.1 - Experiência de Reynolds para visualizar regimes de escoamento. 
 
 
4.2 Lei de viscosidade de Newton 
 
Considere um elemento de fluido retangular 3D representado na Figura 4.2. 
 
Figura 4.2 - Elemento de fluido submetido a uma força de cisalhamento. 
 
 
21 
 
 
A força de cisalhamento F atua sobre a área no topo do elemento. Esta área é dada por A = 
dz.dx. Podemos determinar a tensão de cisalhamento que é igual à força F dividida pela área: 
F
A
  
A deformação que esta tensão origina é medida pelo tamanho do ângulo φ conhecido como 
ângulo de deformação. Em um sólido φ é constante para uma tensão de cisalhamento fixa τ. Em 
um fluido φ aumenta quando τ é aplicado, e o fluido escoa. 
Se uma partícula no ponto E (figura 4.2) move-se sob uma tensão de cisalhamento para o 
ponto E' e isto leva um tempo t, percorrendo a distância x; para pequenas deformações podemos 
escrever: 
Ângulo de deformação 
x
y
  
Taxa de deformação = 
1
.
x x v
t ty t y y

   
Onde 
x
v
t
 é a velocidade da partícula no ponto E. 
Resultados experimentais mostram que a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de 
deformação da tensão e desta forma: 
tan .
v
cons te
y
  
O termo 
v
y
é a mudança da velocidade com y, ou o gradiente de velocidade, e pode ser 
escrito na forma diferencial 
dv
dy
. A constante de proporcionalidade é conhecida como viscosidade 
dinâmica µ. Assim tem-se a Lei da viscosidade de Newton: 
dv
dy
  
Viscosidade é a propriedade de um fluido, devido à coesão e interação entre moléculas, 
que oferece resistência para deformação de cisalhamento. Fluidos diferentes deformam com 
valores diferentes para uma mesma tensão de cisalhamento. Fluidos com uma alta viscosidade 
deformam mais lentamente que fluidos com uma viscosidade baixa. Todos os fluidos viscosos 
denominados “Fluidos Newtonianos” obedecem à relação linear denominada Lei da Viscosidade 
de Newton. 
A viscosidade dinâmica, µ, é definida como a força de cisalhamento, por unidade de área, 
(ou tensão de cisalhamento τ), requerido para arrastar uma camada de fluido com velocidade 
unitária para outra camada afastada a uma distância unitária. A sua unidade, no SI, é kg/m.s. 
Porém, µ é também dado em Poise (P), sendo 10 Poise = 1 kg/m.s (1 centiPoise = 1cP = Pa 
s/1000). 
 
A Viscosidade Cinemática, ν, é definida como a relação entre a viscosidade dinâmica e a 
massa específica, ρ. 



 
A unidade de ν, no SI, é m2/s. 
Nos líquidos, a variação da viscosidade cinemática com a temperatura é menor que a 
variação da viscosidade cinemática nos gases. Isto ocorre, pois a massa específica dos líquidos 
pouco varia com a temperatura, o que não ocorre com a massa específica dos gases. 
 
 
22 
 
 
4.3 Fluidos Newtonianos e Não Newtonianos 
 
 Até mesmo fluidos que são aceitos como tais podem ter grandes diferenças de 
comportamento quando submetidos a tensões de cisalhamento. Fluidos obedecendo a Lei de 
Newton onde o valor de µ é constante são conhecidos como fluidos newtonianos. Se µ é constante 
a tensão é linearmente dependente do gradiente de velocidade. Isto é verdadeiro para a maioria dos 
fluidos. 
Os fluidos em que o valor de µ não é constante são conhecidos como fluidos não 
newtonianos. Há várias categorias destes, sendo apresentados brevemente abaixo. Essas categorias 
são baseadas nas relações entre a tensão e o gradiente de velocidade (variação da tensão de 
cisalhamento) no fluido. Tais relações podem ser vistas no gráfico abaixo para várias categorias de 
fluidos. 
 
Figura 4.3 - Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação (du/dy). 
 
 
Cada uma das linhas pode ser representada pela equação: 
.
n
du
A B
dy

 
   
 
 
onde A e B e n são constantes. Para fluidos newtonianos A = 0, B = µ e n = 1. 
Como fluidos não newtonianos independentes do tempo temos os seguintes: 
 Plásticos: A tensão aplicada deve atingir certo valor mínimo antes de iniciar o escoamento. 
Um exemplo típico é a pasta de dentes que não flui para o exterior até apertar o tubo e superar 
certo esforço (nestes fluidos n = 1). 
 Plástico tipo Bingham: Tal como o plástico (n = 1) deve atingir a tensão um valor mínimo. 
Como exemplo: chocolate, mostarda, maionese, tintas, asfalto, sedimentos de águas residuais. 
 Pseudoplásticos: Não é necessária uma tensão mínima para se dar o escoamento. A 
viscosidade diminui com o aumento da taxa de tensão. Exemplos: plasma sanguíneo, 
polietileno fundido, soluções poliméricas e polpa de papel em água (n < 1). Conhecidos como 
não dilatantes. 
 Fluidos Dilatantes: A viscosidade aumenta com a taxa de deformação (n > 1). No gráfico a 
tensão de corte se encontra por baixo da tensão de corte dos fluidos newtonianos. Inicia com 
uma inclinação baixa o que indica baixa viscosidade aparente. Suspensões de amido e de 
areia. 
 Fluidos Tixotrópicos: Existem também fluidos não newtonianos dependentes do tempo, os 
quais são complicados de analisar e denominados fluidos tixotrópicos. Nestes o gradiente de 
velocidade varia com o tempo. Exemplo: alguns óleos de petróleo cru a baixa temperatura, a 
tinta de impressão, o nylon, a massa de farinha e várias soluções de polímeros. 
23 
 
 
Também em Mecânica dos Fluidos lidamos com o caso de fluidos que não são reais, 
conhecidos como fluidos ideais. Um fluido ideal é aquele que não tem nenhuma viscosidade. 
Trata-se de um conceito útil nas soluções teóricas para as posteriores soluções reais. No gráfico 
acima a curva sobre o eixo dos x representaria os fluidos ideais, isso é com viscosidade nula (µ = 
0). No caso de um sólido real seria representando na figura sofrendo uma mínima deformação, e 
dentro do limite de proporcionalidade (lei de Hooke). A curva é uma linha reta quase vertical 
passando pela origem. 
 
4.4 Vazão 
 
 A vazão em volume pode ser definida facilmente pelo exemplo da Figura 4.4. 
 
Figura 4.4 – Vazão. 
 
 
 Suponha-se que, estando a torneira aberta, seja empurrado o recipiente da Figura 4.4 
embaixo dela e simultaneamente seja disparado o cronômetro. Admita-se que o recipiente encha 
em 10 s. 
Pode-se então dizer que a torneira enche 20 L em 10 s ou que a vazão em volume da 
torneira é 20L/10s = 2 L/s. 
 Defini-se vazão em volume Q como o volume de fluido que atravessa uma certa seção do 
escoamento por unidade de tempo: 
V
Q
t
 
 Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade do fluido. 
 
Figura 4.5 – Fluido em movimento. 
 
 
 
24 
 
 Observe a Figura 4.5, onde se tem um fluido em movimento. No intervalo de tempo t, o 
fluido se desloca através da seção de área A a uma distância s. O volume de fluido que atravessa a 
seção de área A no intervalo de tempo t é V = s.A. Logo, a vazão será: 
.V s A
Q
t t
  mas 
s
v
t
 
.Q v A 
 É claro que essa expressão só seria verdadeira se a velocidade fosse uniforme na seção. Na 
maioria dos casos práticos, o escoamento não é unidimensional; no entanto, é possível obter uma 
expressão do tipo da equação .Q v A definindo a velocidade média na seção. 
 Obviamente, para o cálculo da vazão, não se pode utilizar a equação .Q v A , pois v é 
diferente em cada ponto da seção. Adotando um dA qualquer no entorno de um ponto em que a 
velocidade genérica é v, como na Figura 4.6, tem-se: 
.dQ v dA 
 Logo, a vazão na seção de área A será: 
.
A
Q v dA  
 Define-se velocidade média na seção como uma velocidade uniforme que, substituída no 
lugar da velocidade real, reproduziria a mesma vazão na seção. Logo: 
. .m
A
Q v dA v A  
 Dessa igualdade, surge a expressão para o cálculo da velocidade média na seção:1
.m
A
v v dA
A
  
 
Figura 4.6 – Representação do volume de controle. 
 
 
 A Figura 4.7 apresenta a velocidade média e a velocidade real de um fluido escoando 
dentro de um tubo. 
 
Figura 4.7 – Velocidade média e velocidade real. 
 
 
25 
 
Além da vazão em volume, .Q v A , onde: 
 Q = vazão em volume (m3/s) 
 v = velocidade média do fluido (m/s) 
 A = área da seção (m2) 
Temos também a vazão em massa, que é a massa do fluido que escoa através de uma certa 
seção em um intervalo de tempo. Assim, como: 
 m
m
Q
t
 e 
m
V
  , temos que: 
.
. . . .m
V V
Q Q v A
t t

      
Portanto, a vazão em massa é: 
. .mQ v A 
Podemos calcular também a vazão em peso, que é o peso do fluido que escoa através de 
uma certa seção em um intervalo de tempo. 
P
P
Q
t
 e como .P m g temos que: 
.
. . . . . . .P m
m g
Q Q g Q g g Q v A
t
       
Portanto: 
. .PQ v A 
 
Exercício 4.1: 
Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 220 litros, sabendo-se que a 
velocidade de escoamento do líquido é de 0,45 m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é 
igual a 40 mm. 
 
Exercício 4.2: 
Calcular o diâmetro, em mm, de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a 
uma velocidade de 6 m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 12000 litros e 
leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente. 
 
 
26 
 
5. BALANÇOS GLOBAIS DE MASSA, ENERGIA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
As equações do movimento dos fluidos são definidas em sistemas. Um sistema fechado é 
uma quantidade fixa de massa separada do meio exterior por fronteiras. O contorno do sistema 
denomina-se Superfície de Controle (SC). A massa não pode atravessar as fronteiras. A energia 
em forma de Calor e Trabalho podem atravessar as fronteiras do sistema. As fronteiras podem ser 
móveis ou fixas. Sistemas Abertos denominam-se Volume de Controle (VC), que consiste em 
uma região fixa no espaço e na qual se estuda o escoamento do fluido que atravessa o volume. 
Neste VC, calor, trabalho e massa podem atravessar as fronteiras. Tal conceito é utilizado 
para a dedução das equações da continuidade, quantidade de movimento e da energia. 
A velocidade em um ponto dado do campo de escoamento pode variar de um instante de 
tempo para outro. Desta forma pode-se representar como V = V(x,y,z,t). O fluido pode estar 
atravessando a fronteira de um elemento diferencial de volume dV. O vetor de área dA do 
elemento de superfície aponta sempre para fora da superfície do VC. 
No VC podem agir forças de superfície e forças de campo. As forças de superfície ( SF ) 
agem nas superfícies do VC devido à pressão ( SPF ) e às tensões de cisalhamento ( SF  ). As forças 
de campo ( BF ) são forças que atuam sem contato físico e distribuídas sobre o volume de controle 
tais como forças de campo gravitacional e forças de campo eletromagnético. 
O produto escalar de dois vetores é dado pelo produto dos módulos de ambos os vetores 
multiplicados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Também sabemos que o vetor de área 
dA do elemento de superfície sempre aponta para fora da superfície do VC. 
Consideremos o caso de um VC para um escoamento simplificado unidimensional 
representado na Figura 5.1. Em um sistema de coordenadas cartesiano o vetor velocidade é dado 
por V = u(x)i. Quando o fluido entra e sai do VC apontará sempre no sentido positivo (+) do eixo 
x. Já o vetor de área dAx aponta na direção positiva (+) quando sai do VC e na direção negativa(-) 
do eixo x quando entra no VC. Desta forma a resultante do produto escalar VdA destes vetores 
será: 
Positivo: (+) Na seção de saída do VC. 
Negativo (-) Na seção de entrada do VC. 
 
Figura 5.1 – Produto escalar simplificado. 
 
 
Se escolhermos um VC em que a velocidade seja normal às seções onde atravessa as 
fronteiras, a convenção de sinais do produto escalar do VdA, acima analisado, se manterá válida 
para o caso de escoamentos bidimensionais e tridimensionais. 
 
5.1 Balanço global de massa 
 
27 
 
O caso mais utilizado da equação da continuidade é o caso particular em que se considera 
escoamento uniforme e permanente e pode ser deduzido com ajuda da Figura 5.2 
 
Figura 5.2 – Esquema de escoamento em um tubo de corrente. 
 
 
Para qualquer VC o princípio da conservação da massa é definido como: 
SAI ENTRA ACUMULADA GERADAm m m m   
0SAI ENTRA ACUMULADAm m m   
 Podendo ser escrita da seguinte maneira (admitindo-se o acúmulo = 0): 
0
VC VC
d
dV VdA
dt
    
 No escoamento permanente não existe variação da massa dentro do VC e desta forma o 
primeiro termo da equação acima é nulo. Como o escoamento é permanente a primeira expressão 
na equação é nula. Considerando que o VC selecionado é um tubo de corrente o fluido atravessará 
unicamente as fronteiras nas superfícies A1 (entrada) e A2 (saída) obtemos a equação da 
conservação da massa resultante: 
1 2
1 1 1 2 2 2 0
A A
V dA V dA    
 Como o escoamento é uniforme a massa específica não se modifica, nem é dependente da 
área, ficando fora da integração. A velocidade é uniforme e não varia em função da área. A 
integral é desta forma equivalente ao produto escalar dos vetores V e A. O produto escalar de dois 
vetores é dado pelo produto dos módulos de ambos os vetores multiplicados pelo cosseno do 
ângulo formado entre eles. Também sabemos que sempre o vetor área aponta para fora da 
superfície. Considerando escoamento uniforme numa seção n, temos: 
n
n n n
A
VdA V A  ou em grandezas escalares 
n
n n n
A
VdA V A  
 Desta forma a resultante do produto escalar será: 
Positivo: (+) quando a massa escoa para fora do volume de controle: n n nV A 
Negativo: (-) quando a massa escoa para dentro do volume de controle: n n nV A 
Adicionando ambas as parcelas obtemos a expressão: 
1 2
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0
A A
V dA V dA V A V A         
entrando por unidade de tempo saindo por unidade de tempom m 
Esta expressão é denominada fluxo de massa e representa a quantidade de massa escoando 
por unidade de tempo. No SI o fluxo de massa é dado em kg/s. 
1 1 1 2 2 2 mm v A v A vA Q      
 Quando o escoamento é incompressível, 1 2   constante, se obtém a vazão ou fluxo 
volumétrico: 
Q vA 
28 
 
 O termo .Q v A é denominado vazão ou fluxo em volume. A vazão representa volume de 
fluido escoando por unidade de tempo. No SI a vazão é dada em m3/s. O fluxo de massa se 
relaciona com a vazão pela expressão .mQ m Q  . 
 A Figura 5.3 ilustra os vetores normais em um fluido e nas fronteiras do VC. 
 
Figura 5.3 - Vetores normais em um fluido entrando e nas fronteiras de um VC. 
 
 
 
 Utilizando o balanço global de massa: 
SAI ENTRA ACUMULADA GERADAm m m m   
0SAI ENTRA ACUMULADAm m m   
0SAI ENTRA ACUMULADAm m m   
 Sabe-se que a massa acumulada é dm/dt, temos: 
0SAI ENTRA
dm
m m
dt
   
Assim, substituindo as vazões mássicas ( m ) temos a Equação do Balanço Global de 
Massa: 
0m
dm
Q
dt
   
Podendo ser escrita da seguinte maneira: 
 ( . . ) 0
dm
v A
dt
   
 
Exercício 5.1: 
 Para a tubulação mostrada na figura, calcule a velocidade na seção (2), sabendo-se que A1 
= 10 cm² e A2 = 5 cm². Dados: ρ = 1000 kg/m³ e v1 = 1 m/s. 
 
29 
 
Exercício 5.2: 
 Tem-se uma esponja de umidificação cilíndrica de diâmetro D = 20 cm e comprimento L = 
20 cm, perfurado no centro (d = 5 cm). Para se ter uma umidificação eficiente, consome-se 
15g/(cm2.min) de água. Supondo que a velocidade do fluido na esponja não varia com z, calcule a 
velocidade de alimentação para se manter uma umidificação eficiente. 
 
 
 
Exercício 5.3: 
O tanque cilíndrico mostrado na figura é cheio pelas duas torneiras A e B. A torneira A 
sozinha enche o tanque em 4 horas a torneira B em 5 horas, a torneira C esvazia o tanque em 3 
horas e a torneiraD em 6 horas. Com o nível do tanque pela metade, as quatro torneiras são 
abertas simultaneamente. Pergunta-se: 
a) O nível do tanque subirá, abaixará ou ficará no mesmo lugar? 
b) Se abaixar ou subir, calcular o tempo que levaria para esvaziar ou encher. Considerar que as 
vazões em C e D não variam com o nível do fluido. 
 
 
5.2 Equação de Bernoulli 
 
Na maioria dos problemas, relacionados com escoamento de fluidos em dutos e tubulações, 
se requer a determinação das condições de uma seção do sistema quando se conhece alguma das 
condições de outra seção. Isto é ilustrado na Figura 5.4 onde se apresenta um sistema de 
distribuição de fluido com o escoamento da seção 1 para a seção 2. Em qualquer seção do sistema 
estamos interessados na pressão, velocidade e elevação do fluido. A elevação (z) é definida como 
a distância vertical desde algum sistema de referência a um ponto de interesse. Quando se trata de 
dutos a elevação é medida até a linha central da seção de interesse. A equação utilizada neste tipo 
de problema é conhecida como Equação de Bernoulli, deduzida a partir da equação de 
conservação da energia. 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Figura 5.4 – Esquema de duto inclinado. 
 
 
5.2.1 Conservação da energia 
 
 No movimento de sólidos podemos aplicar o princípio da conservação da energia 
considerando que o atrito é desprezível. Nesse caso a soma da energia cinética e a energia 
potencial gravitacional considera-se constante. No escoamento de fluidos consideramos toda a 
energia do sistema. Pelo mesmo princípio de conservação de energia a energia total no sistema 
não muda considerando o atrito desprezível. 
No escoamento em dutos (sem atrito) são consideradas três formas de energia: energia 
cinética, energia potencial e energia de pressão. Analisemos um elemento de fluido com massa 
específica ρ escoando dentro da tubulação. Este terá certa velocidade v, uma pressão P, sendo 
localizado a uma altura z acima de um nível de referência. Estas formas de energia são dadas 
como: 
1. Energia Cinética: Energia devido à velocidade do fluido. 
2
2.
v
EC
g
 
2. Energia Potencial: Energia devido à elevação do fluido acima de um plano de 
referência. 
EP z 
3. Energia de Pressão: Também conhecida como energia de escoamento ou trabalho de 
fluxo. Representa a quantidade de trabalho necessária para forçar um elemento de 
fluido percorrer certa distância contra a pressão P. 
.
P
EF
g
 ou 
P
EF

 
 
A quantidade total de energia destas três formas será a soma da mesma representada como: 
2
2.
v P
ENERGIA TOTAL z
g 
   
 Cada um dos termos se expressa em unidades de energia newton-metro (N.m) no SI. 
A soma de todas as energias por unidade de peso é denominada energia total por unidade 
de peso. Pelo princípio da conservação da energia, a energia total não muda no sistema. Desta 
forma a equação do Bernoulli pode ser escrita: 
2 2
2 1 2 1
2 1 0
2.
P P v v
z z
g
 
    ou 
2
. 0
2
P v
g z

 
    
 A equação de Bernoulli é uma das equações mais importantes e úteis da Mecânica dos 
Fluidos tendo as seguintes restrições para sua aplicação: 
• Escoamento em regime permanente; 
• Massa específica constante (escoamento incompressível); 
31 
 
• Forças de atrito desprezíveis; 
• Não pode existir transferência de calor para dentro ou fora do sistema; 
• Não podem existir dispositivos mecânicos (bombas, ventiladores, turbinas) entre as 
seções de interesse que possam agregar ou absorver energia do sistema já que a equação 
estabelece que a energia total do fluido é constante. 
Todas estas condições são impossíveis de satisfazerem qualquer instante de tempo num 
fluido real. Afortunadamente para muitas aplicações reais a Equação de Bernoulli fornece 
resultados satisfatórios. 
Quando se aplica a equação de Bernoulli é essencial que a pressão nos dois pontos de 
referência se expresse como absoluta ou como relativa (manométrica). Isto significa que devem ter 
a mesma pressão de referência. Na maioria dos problemas é conveniente utilizar a pressão 
manométrica já que partes do sistema, expostas para a atmosfera, terão pressão relativa zero. 
 
Exercício 5.4: 
Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de grandes dimensões 
mostrado na figura abaixo. Dados: ρH20 = 1000 kg/m³ e g = 10 m/s². 
 
 
 
Exercício 5.5: 
Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. Considere no 
trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. A área da seção (1) é 20 cm² e a da seção (2) é 10 
cm². Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível 
mostrado. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo. 
 
 
5.3 Balanço global de energia 
 
Várias são as hipóteses adotadas para utilização da Equação de Bernoulli. Porém, há casos 
em que algumas hipóteses não se encaixam, como no caso em que se tem algum dispositivo 
introduzido ao longo do escoamento, o qual fornece ou retire energia dele, na forma de trabalho, 
ou na forma de troca de calor. É denominada bomba qualquer máquina que forneça energia ao 
fluido e denominada turbina qualquer máquina que retire energia dele. 
A Figura 5.5 ilustra um escoamento de um fluido por um tubo onde tem uma máquina. 
32 
 
 
Figura 5.5 – Escoamento com uma máquina. 
 
 
 
Se não houvesse uma máquina entre as seções 1 e 2, seria válida a equação de Bernoulli, 
onde: 
2 2
2 1 2 1
2 1 0
2.
P P v v
z z
g
 
    ou seja 1 2H H 
Ou seja, a energia por unidade de peso do fluido em 1 é igual à energia por unidade de 
peso do fluido em 2, ou ainda, a carga total em 1 é igual à carga total em 2. 
Porém, quando se tem alguma máquina entre as seções estudadas (Figura 5.5), outras 
energias estão envolvidas. Sendo ∆E a variação de energia, tem-se: 
E Q W   
 Onde: 
Q = calor que entra ou sai do sistema; 
W = trabalho realizado pelo sistema ou sob o sistema. 
 A Tabela 5.1 apresenta os sinais de Q e W. 
 
Tabela 5.1 – Sinais de Q e W. 
Q 
(+) Calor absorvido pelo sistema. 
(-) Calor cedido pelo sistema. 
W 
(+) Trabalho realizado pelo sistema. 
(-) Trabalho recebido pelo sistema. 
 
 A fórmula geral do balanço de energia é: 
SAI ENTRA ACUMULADO GERADOE E E E   
As quantidades de energia que entra e que sai dizem respeito às quantidades que passam 
pela fronteira. A energia acumulada é quantidade que aumentou ou diminuiu dentro do VC com o 
tempo. E a energia gerada é o calor mais o trabalho. 
Admitindo-se o volume de controle da Figura 5.6. 
 
Figura 5.6 – Volume de controle para determinação da equação de energia. 
 
 
Tem-se: 
33 
 
. . . .SAI ENTRA
A
E E E V n dA   
. .ACUMULADO
V
d
E E dV
dt
  
GERADOE Q W  
 
Juntando-se todos os termos e substituindo na fórmula: 
SAI ENTRA ACUMULADO GERADOE E E E   
Tem-se: 
. . . . . .
A V
d
E V n dA E dV Q W
dt
     
. . .cos . . .
A V
d
E v dA E dV Q W
dt
      
Devemos transformar esses elementos em grandezas que do ponto de vista da engenharia é 
mais útil. Como sabemos que: 
.U H PV  
2
.
2
v
E H PV g z    
E sabe-se que existem dois tipos de trabalho, o trabalho de eixo ( SW ), que é o trabalho de 
agitação do fluido, e o trabalho de deslocamento (
DW ). O trabalho de deslocamento é: 
. .cos . . .D
A
W v PV dA   
Substituindo as equações acima na equação de balanço de energia, tem-se: 
2
. .cos . . . . . . .cos . . .
2
S
A V A
v d
v H PV g z dA E dV Q W v PV dA
dt
    
 
       
 
   
2
. .cos . . . .
2
S
A V
v d
v H g z dA E dV Q W
dt
  
 
     
 
  
Para ficar ainda mais útil na engenharia, aplica-se a equação acima no estudo por meio da 
geometria de uma tubulação onde escoa um fluido. Assim, chega-se a equação geral do balanço 
global de energia: 
2
( . )
2
S
v dE
H g z Q W
dt

      
 
5.3.1 Perda de carga 
 
Sabemosque a equação de Bernoulli não assume perdas de energia por atrito ou ganhos de 
energia (por exemplo, de uma bomba) ao longo da linha de corrente. Podemos considerar a 
equação geral da energia como uma extensão da Equação de Bernoulli que pode ser utilizada, 
nestes casos, incluindo os termos de energia apropriados. 
Além da energia fornecida ou realizada pelo fluido em forma de trabalho, temos em alguns 
casos perda de carga (perda de trabalho útil), que está associada ao aumento de entropia, e/ou 
perda por atrito, perda de carga devido à presença de válvulas, etc. Assim, podemos expressar o 
trabalho como sendo a soma do trabalho devido ao deslocamento causado pelo fluido mais a perda 
de carga ( lw ). Assim, temos: 
2
1
.
V
V
W P dV lw
 
  
 
 
 
34 
 
Sabe-se também que a variação de energia interna de um sistema é: 
U Q W   
E que a variação de entalpia de um sistema é: 
.H U PV  
( . )H U PV    
E que: 
2 2
1 1
( . ) . .
V P
V P
PV P dV V dP    
 Fazendo-se algumas substituições, tem-se: 
2 2 2
1 1 1
( . ) ( . ) . . .
V V P
V V P
H U PV Q W PV Q P dV lw P dV V dP
 
              
 
 
   
2
1
.
P
P
H Q lw V dP     
 Substituindo o valor de ∆H na equação do balanço de energia, temos: 
2
( . )
2
S
v dE
H g z Q W
dt

      
2
1
2
. . 0
2
P
S
P
v
g z V dP lw W

      
Para o caso de fluidos incompressíveis, cuja massa específica é constante, o termo 
2
1
.
P
P
V dP 
pode ser substituído por: 
2 2
1 1
.
P P
P P
dP P
V dP
 

   
 Para SW = 0 e lw = 0, tem-se a Equação de Bernoulli: 
2
. 0
2
v P
g z

 
    
 
5.3.2 Equações globais de energia mecânica 
 
5.3.2.1 Bombas 
 
A Bomba Centrífuga tem como base de funcionamento a criação de duas zonas de pressão 
diferenciadas, uma de baixa pressão (sucção) e outra de alta pressão (recalque). Para que ocorra a 
formação destas duas zonas distintas de pressão, é necessário existir no interior da bomba a 
transformação da energia mecânica (de potência), que é fornecida pela máquina motriz (motor ou 
turbina), primeiramente em energia cinética, a qual irá deslocar o fluido, e posteriormente, em 
maior escala, em energia de pressão, a qual irá adicionar “carga” ao fluido para que ele vença as 
alturas de deslocamento. 
Existem três partes fundamentais na bomba: 
 Corpo (carcaça), que envolve o rotor, acondiciona o fluido, e direciona o mesmo para a 
tubulação de recalque; 
 Rotor (impelidor), constitui-se de um disco provido de pás (palhetas) que impulsionam o 
fluido; 
 Eixo de acionamento, que transmite a força motriz ao qual está acoplado o rotor, causando o 
movimento rotativo do mesmo. 
35 
 
Antes do funcionamento, é necessário que a carcaça da bomba e a tubulação de sucção 
estejam totalmente preenchidas com o fluido a ser bombeado. 
Para o caso em que se tem uma bomba no sistema em estudo, o trabalho está sendo 
recebido pelo sistema; pois a vizinhança é que está fornecendo, portanto: 0SW bombas  . 
A perda de carga total, lw , é igual a soma da perda de carga referente ao escoamento do 
fluido ( Flw ) com a perda de carga referente a bomba ( Blw ), ou seja, uma perda localizada, que foi 
dissipada pela bomba. Assim: 
F Blw lw lw  
Define-se rendimento (ou eficiência) de uma bomba como sendo a relação entre a potência 
fornecida e a realizada pela bomba. 
A eficiência da bomba então é: 
S B
B
S
W lw
W


 ou .S B S BW W lw  
Assim, substituindo as duas equações acima na equação global de energia, obtém-se a 
equação do balanço global de energia mecânica para bombas: 
2
. 0
2
S
v P
g z lw W

 
      
2
. ( ) ( . ) 0
2
F B S B B
v P
g z lw lw W lw

 
        
2
. . 0
2
F B S
v P
g z lw W

 
      
 
5.3.2.3 Turbinas 
 
 As turbinas são definidas como qualquer máquina onde o sistema está realizando trabalho 
sobre a vizinhança, portanto o 0SW turbinas  . À custa da energia do fluido ela move dispositivos 
internos e dá trabalho à vizinhança. 
 No caso de turbinas, tem-se: 
F Tlw lw lw  
S
T
S T
W
W lw
 

 ou ST S
T
W
lw W

  
Assim, substituindo as duas equações acima na equação global de energia, obtém-se a 
equação do balanço global de energia mecânica para turbinas: 
2
. 0
2
S
v P
g z lw W

 
      
2
. ( ) 0
2
F T S
v P
g z lw lw W

 
       
2
. ( ) 0
2
S
F S S
T
Wv P
g z lw W W
 
 
        
2
. 0
2
S
F
T
Wv P
g z lw
 
 
      
 
5.3.3 Cálculo da potência 
 
Para calcular a potência teórica de uma máquina (P), usa-se a seguinte fórmula: 
36 
 
. .SP W Q  
 Onde: 
SW = energia específica da máquina (trabalho de eixo) 
Q = vazão volumétrica 
 = massa específica do fluido 
 
 
Exercício 5.6: 
 Vamos considerar o fluxo de um tanque através de um buraco na base. O arranjo geral e 
um detalhe do orifício e linhas de corrente são mostrados na figura abaixo. 
 
 Determine a vazão do fluido obtida na saída do orifício, sabendo-se que o diâmetro do 
orifício é de 3 mm, e a altura (h) é de 5 m. 
 
Exercício 5.7: 
Colocou-se um manômetro na tubulação de sucção de uma bomba (D1 = 1 ft) e este 
registrou uma leitura de (-5 psig). O mesmo procedimento foi feito na tubulação de descarga (D2 
= 0,83 ft), registrando-se (40 psig). A descarga está situada a 5 ft acima da sucção, e a vazão de 
água é 4 ft3/s. Qual é a potência da bomba se sua eficiência é de 80 % e as perdas de carga na 
tubulação são desprezíveis? 
Dados: Densidade do Fluido: 62,14 lb/ft3 
 g = 32,17 ft/ s2 
 
 
 
Exercício 5.8: 
Uma indústria precisa bombear água a uma vazão de 0,005 m3/s de uma represa para seu 
reservatório. Em um projeto preliminar, constatou-se que seriam necessários 1000 m de cano e 
que o desnível do reservatório até a represa é de 100 m. A indústria dispõe do seguinte material: 
 Cano 1 - perda por metro = 0,2 m/s2 
 custo por metro = R$ 0,20 custo = R$ 200,00 
37 
 
 Cano 2 - perda por metro = 1,5 m/s2 
 custo por metro = R$ 0,15 custo = R$ 150,00 
 Bomba A- potência= 20 HP custo = R$ 200,00 
 Bomba B- potência=10 HP custo = R$ 150,00 
Qual o conjunto tubulação-bomba economicamente mais viável? Justifique com os cálculos. 
Dados: 
1 HP = 745,7 Watts 
Densidade da água = 1000 Kg /m3 
g = 9,81 m/s2 
 
 
 
Exercício 5.9: 
Para o sistema mostrado na figura abaixo, qual deve ser a relação entre L1 e L2 para que 
ocorra a mesma vazão nas duas tubulações? A perda de carga é de 15 m2/s2 para cada 30 m de 
tubo, supor o nível do tanque constante e D1 igual a D2. 
Dados: h1 = 10 m 
 h2 = 15 m 
 g = 9,81 m/s2 
 
 
 
Exercício 5.10: 
O transporte de água entre um lago A e a cidade B era feito através de um sistema de 
tubulação no qual estavam instaladas 10 bombas de 5 HP cada uma e eficiência 0,8 dando uma 
vazão de 20 kg/s. Um belo dia pifou uma das bombas, a qual foi substituída por outra de 3 HP e 
eficiência 0,7. Sabendo-se que a cidade está situada a 50 m acima do nível do lago, calcular: 
 a) A distância entre o lago e a cidade, sabendo-se que a perda na tubulação é de 0,1 m/s2 
por metro de cano. Considerar que a perda por atrito não varia com a vazão. 
 b) A vazão atual do sistema. 
Dados: Densidade do fluido: 1 g/cm3 
 g = 9,81 m/s2 
 1 HP = 745 Watts. 
 
 
5.4 Balanço global de quantidade de movimento 
 
 Em muitos problemas da engenharia, é necessário determinar as forças que agem em 
estruturas sólidas, fixas ou em movimento, devidas a fluidos que se movem em contato com elas. 
A equação que permitirá essa análise chama-se equação da quantidade de movimento. 
38 
 
 A equação da quantidade de movimento nada mais é que a segunda Lei de Newton da 
dinâmica modificada funcionalmente para o estudo da Mecânica dos Fluidos. Segundo essa lei, a 
aceleração de uma certamassa implica a existência de uma força resultante sobre ela que tem, em 
cada instante, a direção e o sentido da aceleração. Acelerar uma massa significa modificar sua 
velocidade em módulo e/ou direção, e por essa observação, para que a velocidade de um fluido 
seja modificada em módulo ou direção, será necessário aplicar uma força provocada por algum 
agente externo, em geral uma superfície sólida em contato com o escoamento. 
 Pelo princípio da ação e reação, se a superfície aplica uma força no fluido, este aplicará, 
sobre a superfície, uma outra de mesmo módulo e de sentido contrário. A observação destes fatos 
permitirá a construção da equação da quantidade de movimento, nos moldes desejados. 
. .
dv
F m a m
dt
  
 Nota-se que essa equação deve ser mantida na forma vetorial, pois a velocidade pode 
variar em direção sem que seja alterado o seu módulo. 
 Como .m v é, por definição, a quantidade de movimento do sistema, então pode-se dizer 
que a força resultante, que age no sistema em estudo, é igual à variação com o tempo da 
quantidade de movimento do sistema. 
Admitindo-se o volume de controle da Figura 5.7. 
 
Figura 5.7 – Volume de controle para determinação da equação de quantidade de 
movimento. 
 
 
Tem-se a equação geral do balanço: 
SAI ENTRA ACUMULADO GERADOQM QM QM QM   
 Fazendo cada termo separado, para o transporte de movimento na direção x, temos: 
. . . .SAI ENTRA
A
QM QM vV n dA   
. .ACUMULADO
V
d
QM v dV
dt
  
Onde: 
 n = vetor normal à área em questão 
 V = vetor velocidade 
Ainda temos que . . . mV n dA Q  
E o termo de geração da quantidade de movimento é a somatória das forças na direção que 
está sendo considerada, que neste caso é a direção x: 
GERADOQM Fx 
A somatória das forças na direção x é: 
P D GFx Fx Fx Fx Rx    
Onde: 
39 
 
PFx = é a força devido à pressão sofrida pelo fluido. 
DFx = é a força devido ao atrito que o fluido sofre ao longo do deslocamento. Tem 
rugosidades no tubo, tendo assim uma força resistiva (força de atrito). 
GFx = é a força da gravidade. Ela está presente somente se o escoamento ocorre em um 
plano inclinado; na horizontal esta força não está presente. 
Rx = atua externamente à parede do duto onde passa o fluido. Assim, o VC tem que ser 
externo à tubulação. Este balanço leva em conta a área externa, portanto quando o VC leva em 
consideração a área externa, o termo DFx não vai ser levado em consideração, e vice-versa 
(quando o VC é interno à tubulação, o Rx não é levado em consideração). 
A Figura 5.8 apresenta um esquema das forças referentes ao termo de geração. 
 
Figura 5.8 – Representação das forças. 
 
 
Substituindo todos os termos na equação geral do balanço da quantidade de movimento, 
temos: 
SAI ENTRA ACUMULADO GERADOQM QM QM QM   
. . . . . . P D G
A V
d
vV n dA v dV Fx Fx Fx Rx
dt
       
Para ficar ainda mais útil na engenharia, aplica-se a equação acima no estudo por meio da 
geometria de uma tubulação onde escoa um fluido. Assim, chega-se a equação geral do balanço 
global de quantidade de movimento: 
( . )m
dP
Q v F
dt
   
 
 
Exercício 5.11: 
 A figura abaixo apresenta o escoamento de um fluido. Sendo a vazão volumétrica de 
0,02m3/s, a massa específica do fluido de 1,33 g/cm3 e a força devido à pressão ( PFx ), na direção 
x, de 750 N; determine a força externa ( Rx ) atuante. 
 
 
Exercício 5.12: 
Ar escoa em regime permanente em um trecho reto de tubulação que apresenta diâmetro 
interno igual a 102 mm. A velocidade média na seção (2) é 300 m/s quando a velocidade média do 
ar é 90 m/s na seção (1). Admitindo que os perfis de velocidades são uniformes nas seções (1) e 
(2), determine a força de atrito ( DFx ) exercida pelo tubo no escoamento de ar entre as seções (1) e 
40 
 
(2). A massa específica do ar é de 0,42 kg/m3, a pressão na seção (1) é de 500 kPa e na seção (2) é 
de 150 kPa. 
 
 
 
 
41 
 
 
6. BALANÇOS DIFERENCIAIS DE MASSA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
As equações integrais vistas até agora são úteis quando estamos interessados no 
comportamento genérico de um campo de escoamento e nos seus efeitos sobre um ou mais 
dispositivos. Contudo, a abordagem integral não nos permite obter conhecimentos detalhados 
ponto por ponto do campo de escoamento. Por exemplo, a metodologia integral pode fornecer 
informações sobre a sustentação gerada por uma asa, mas não pode ser usada para determinar a 
distribuição de pressão que produz a sustentação sobre a asa. Para obter o conhecimento 
detalhado, devemos aplicar as equações de movimento dos fluidos na forma diferencial. 
 
6.1 Balanço diferencial de massa 
 
A Figura 6.1 apresenta um volume de controle para o balanço diferencial de massa, para 
coordenadas retangulares, sendo um cubo infinitesimal com lados de comprimento dx, dy, dz. A 
massa específica é  e a velocidade é admitida como ˆˆ ˆ. . .v i u j v k w   
 
Figura 6.1 – Volume de controle para o balanço diferencial de massa. 
 
 
 
A equação geral para o balanço de massa é: 
SAI ENTRA ACUMULADA GERADAm m m m   
 Assim, temos: 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( . . . ) 0
x x x y y y z z z
d
u y z u y z v x z v x z w y x w y x x y z
dt
      
  
                     
 Dividindo toda a expressão acima pelo volume total do cubo, . .V x y z     , temos: 
42 
 
. .. . . .
0
y y yx x x z z z
v vu u w w d
x y z dt
      
 
   
  
 
Aplicando o limite para tender a um ponto, temos: 
0
. .. . . .
lim 0
y y yx x x z z z
V
v vu u w w d
x y z dt
      
 
 
   
  
 
Em coordenadas retangulares, a equação diferencial para conservação da massa é: 
( . ) ( . ) ( . )
0
d u d v d w d
dx dy dz dt
   
    
Posto que o operador vetorial,  , em coordenadas retangulares, é dado por: 
ˆˆ ˆd d di j k
dx dy dz
    
Então: 
( . ) ( . ) ( . )
. .
d u d v d w
V
dx dy dz
  
   
Assim, a equação diferencial da massa pode ser escrita como: 
. . 0
d
V
dt

   
 Dois casos de escoamento para os quais a equação diferencial da continuidade pode ser 
simplificada cabem destacar. 
 Para um fluido incompressível,  = constante; a massa específica não é função nem das 
coordenadas espaciais nem do tempo. Para um fluido incompressível, a equação da continuidade é 
simplificada para: 
. 0
du dv dw
V
dx dy dz
    
Portanto, o campo de velocidade ( , , , )v x y z t , para escoamento incompressível deve satisfazer 
. 0v  . 
 Para escoamento permanente, todas as propriedades dos fluidos são, por definição, 
independentes do tempo; assim / 0d dt  e, no máximo, ( , , )x y z  . Para escoamento 
permanente, a equação da continuidade pode ser escrita como: 
( . ) ( . ) ( . )
. . 0
d u d v d w
V
dx dy dz
  
    
 
 
Exercício 6.1: 
 A figura abaixo apresenta um conjunto pistão-cilindro. Sabe-se que 
0 .L L V t  
Determine: 
a) A taxa de variação da massa específica ( /d dt ). 
b) ( )t 
 
 
 
43 
 
 
6.2 Balanço diferencial de quantidade de movimento 
 
 Uma equação dinâmica descrevendo o movimento de um fluido pode ser obtida aplicando 
a segunda lei de Newton a uma partícula. Para deduzir a forma diferencial da equação da 
quantidade de movimento, aplicaremos a segunda lei de Newton a uma partícula fluida 
infinitesimal de massa dm . 
 A segunda lei de Newton para um sistema é dada por: 
Sistema
dQM
F
dt
 
 Onde a quantidade de movimento, QM, do sistema é dada por: 
( )
.
massa
sistema
QM V dm  
 Então, para um sistema infinitesimal de massa dm , a segunda lei de Newton pode ser 
escrita: 
Sistema
dV
dF dm
dt
 
 Introduzindo a expressão obtida para a aceleração de um elemento de fluido de massa dm 
em movimento em um campo de velocidade, podemos escrever a segunda lei de Newton na 
seguinte forma vetorial: 
.
dV dV dV dV
dF