ENG CALC I_Aula 01

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AULA Nº 1
CÁLCULO I 
Prof. Claudio Possani
 A IMPORTÂNCIA DO CÁLCULO NA 
 FORMAÇÃO DO ENGENHEIRO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
“CRIADORES” DO CÁLCULO:
NEWTON e LEIBNIZ
Segunda metade do século XVII
 CONCEITOS CHAVE:
LIMITES
 DERIVADAS
 INTEGRAL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LIMITE ↦ Tendência, convergência.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LIMITE ↦ Tendência, convergência.
DERIVADA ↦ Taxa de variação.
LIMITE ↦ Tendência, convergência.
DERIVADA ↦ Taxa de variação.
INTEGRAL ↦ Soma, somatória, área
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
O Cálculo é uma teoria que mudou os paradigmas
do conhecimento científico.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
O Cálculo é uma teoria que mudou os paradigmas
do conhecimento científico.
Fornece a linguagem das principais aplicações da Matemática à Física, Química, Biologia, Economia
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
O conceito de taxa de variação (derivada) permite
 a abordagem do crescimento de uma população
 em Biologia ou da variação de preços (inflação)
 em Economia.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Integral permite o cálculo de áreas de uma grande quantidade de figuras.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Integral permite o cálculo de áreas de uma grande quantidade de figuras.
Áreas de regiões debaixo de gráfico de uma função 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MODELAGEM MATEMÁTICA
PROBLEMA REAL
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MODELAGEM MATEMÁTICA
PROBLEMA REAL
SOLUÇÃO APROXIMADA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MODELAGEM MATEMÁTICA
PROBLEMA REAL
SOLUÇÃO APROXIMADA
PROBLEMA APROXIMADO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MODELAGEM MATEMÁTICA
PROBLEMA EXATO
SOLUÇÃO APROXIMADA
PROBLEMA APROXIMADO
SOLUÇÃO EXATA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MODELAGEM MATEMÁTICA
 ????
PROBLEMA EXATO
SOLUÇÃO APROXIMADA
PROBLEMA APROXIMADO
SOLUÇÃO EXATA
Veremos o limite fundamental 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Grau (˚) é uma invenção dos babilônios mais de 1.000 anos antes de nossa era.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Grau (˚) é uma invenção dos Babilônios mais de 1.000 anos antes de nossa era.
Radiano é uma invenção do Renascimento para fazer Cálculo.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Grau (˚) é uma invenção dos Babilônios mais de 1.000 anos antes de nossa era.
Radiano é uma invenção do Renascimento para fazer Cálculo.
 só é valido se x estiver em radianos
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
 
 ⇒ para valores de 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
 
 ⇒ para valores de 
No estudo do Pêndulo podemos trocar por
 e simplificar a análise
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Também: 
 
 para 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Derivada é taxa de variação:
Taxa de variação média = 
Taxa de variação instantânea =
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Derivada é taxa de variação:
 Grandeza Taxa de variação
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Derivada é taxa de variação:
 Grandeza Taxa de variação
 posição velocidade
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Derivada é taxa de variação:
 Grandeza Taxa de variação
 posição velocidade
 velocidade aceleração
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Derivada é taxa de variação:
 Grandeza Taxa de variação
 posição velocidade
 velocidade aceleração
 aceleração aceleração da aceleração
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Derivada é taxa de variação:
 Grandeza Taxa de variação
 posição velocidade
 velocidade aceleração
 aceleração aceleração da aceleração
 preços inflação
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Derivada é taxa de variação:
 Grandeza Taxa de variação
 posição velocidade
 velocidade aceleração
 aceleração aceleração da aceleração
 preços inflação
 população taxa de crescimento
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
 (MUV)
Posição inicial= 10
Velocidade inicial= 5
Aceleração= 8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
 (MUV)
Posição inicial= 10
Velocidade inicial= 5
Aceleração= 8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
E se ?
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
E se ?
Aprenderemos que 
e que a aceleração é dada por
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
A Integral Definida de uma função fornece a área
debaixo de seu gráfico e acima do eixo das 
abscissas
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
 
Área= 2
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
123
1
2
3
4
5
x
y
123
1
2
3
4
5
x
y
Sombreamento 1
123
1
2
x
y