Apostila Raciocínio Lógico

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RACIOCÍNIO 
LÓGICO
RACIOCÍNIO 
LÓGICO
Antônio Ronaldo Costa Dias
Hassan Marra Jorge
Vagner Luis Zanin
Reitor Prof. Celso Niskier
Pro-Reitor Acadêmico Maximiliano Pinto Damas
Pro-Reitor Administrativo e de Operações Antonio Alberto Bittencourt
Coordenação do Núcleo de Educação a Distância Viviana Gondim de Carvalho 
Redação Dtcom
Análise educacional Dtcom
Autoria da Disciplina Antônio Ronaldo Costa Dias, Hassan Marra Jorge e Vagner Luis Zanin
Validação da Disciplina Catiuscia Albuquerque Benevente
Designer instrucional Christine Almeida Rodrigues
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Produção do Material Didático-Pedagógico Dtcom
© Copyright 2017 da Dtcom. É permitida a reprodução total ou parcial, desde que sejam respeitados os 
direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, 
art. 5º, inc. XXVII e XXVIII, “a” e “b”. 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Ficha catalográfica elaborada pela Dtcom. Bibliotecária – Andrea Aguiar Rita CRB)
D536r
Dias, Antônio Ronaldo Costa
Raciocínio Lógico/Antônio Ronaldo Costa Dias, Hassan Marra Jorge, Vagner 
Zanin – 1. ed. – Curitiba: Dtcom, 2017
160 p. 
ISBN: 978-85-93685-04-0
1. Matemática. 2. Raciocínio 3. Desenvolvimento.
CDD 658.9
Sumário
01 Razão e seus princípios gerais ..............................................................................................7
02 Atividade racional: a intuição e a razão discursiva ..........................................................14
03 Origens da razão e suas bases fisiológicas ......................................................................21
04 Categorização e teoria dos conjuntos ................................................................................28
05 Um breve histórico sobre a numeração na humanidade................................................35
06 Conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros e Racionais .....................................................42
07 Conjuntos numéricos: Números Irracionais e Reais .......................................................49
08 Operações com dois conjuntos ...........................................................................................56
09 Operações com três conjuntos ............................................................................................63
10 Diagramas de VENN e problemas com categorias .........................................................70
11 Lógica e Teorias da Verdade ................................................................................................77
12 Raciocínio Material e Formal ................................................................................................84
13 Estudo das proposições e silogismo ..................................................................................91
14 Operações lógicas ..................................................................................................................99
15 A Realidade e Seus Modelos Abstratos .......................................................................... 107
16 Teoria das Funções ............................................................................................................. 115
17 As funções não lineares fundamentais: Funções Quadráticas .................................. 123
18 As funções não-lineares fundamentais: Funções Logarítmicas ................................ 132
19 As funções não-lineares fundamentais: Funções Exponenciais ................................ 141
20 Representação gráfica, suas interpretações e soluções de problemas ...................... 149
Razão e seus princípios gerais
Antônio Ronaldo
Introdução
A capacidade de julgar e diferenciar o certo e o errado é uma das maiores habilidades do 
ser humano. Esta habilidade, conhecida como razão, é a base para agirmos com bom senso em 
nossas decisões.
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 • compreender o conceito de razão;
 • identificar os princípios gerais da razão.
1 Conceito de Razão
A palavra “razão” possui duas origens principais: na palavra latina “ratio” e no termo grego 
“logos”, cujos significados são reunir, contar, juntar e calcular. Estes verbos pressupõem que ao 
realizarmos estas ações - pensar em uma decisão, juntar os pontos positivos e negativos de uma 
escolha, calcular os prós e contras e falar a respeito de todos os dados reunidos, de maneira orga-
nizada e ordenada - estamos utilizando a razão (Chaui, 2000). 
Figura 1- Racionalidade
Fonte: Ollyy/Shutterstock.com 
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TEMA 1
EXEMPLO
Quando precisamos tomar uma difícil decisão, na qual impactará num grande pre-
juízo ou lucro financeiro, por exemplo. Antes de darmos o primeiro passo, imagina-
mos e ponderamos os prós e os contras, calculamos qual será o lucro ou prejuízo, 
organizamos dados em planilhas, escrevemos os possíveis impactos na decisão e, 
finalmente, decidimos o melhor caminho.
O conceito de razão, ou racionalidade, pode assumir diversas interpretações em variadas 
situações. De acordo com o dicionário Michaelis da Língua Portuguesa, a palavra “razão” tem os 
significados conforme o quadro.
Razão (s.f) 
1. Faculdade do ser humano que lhe permite conhecer, julgar e agir de acordo com determinados 
princípios; raciocínio.
2. Capacidade que cada ser humano tem de ponderar.
3. Motivo que represente a explicação de certa atitude.
4. Conformidade dos fatos com a justiça.
5. Meio empregado para convencer alguém; argumento.
6. Notícia ou razão a respeito de algo.
Fonte: MICHAELIS, 2001, p. 730. (Adaptado).
Assim, percebemos que, em geral, utilizamos a palavra “razão” para nos referirmos à capa-
cidade que o ser humano tem de julgar, aos motivos que alguém possui ou às causas de algum 
evento ou acontecimento. 
No estudo da filosofia, Sócrates afirma que “os maus te farão perder a razão” (OS PENSADO-
RES, 1987, p. 65), ou seja, quando muitos episódios e acontecimentos são envolvidos é necessário 
reunir os fatos para ordenar as ideias de forma que se possa agir com calma e temperança, para 
não entrar em desequilíbrio emocional e ser tomado pelo desespero. Estes fatos nos fazem seres 
racionais, isto é, seres baseados na razão dos acontecimentos, nas causas e suas consequências 
(OS PENSADORES, 1987). 
Figura 2- O Pensador
Fonte: NeydtStock, Shutterstock.com 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Segundo Japiassú (2001), a razão é a faculdade ou a capacidade que o ser humano tem de 
julgar, isto é, definir o que é o certo e errado em todas as suas decisões. Em última análise, pode-
mos, então, definir a razão como a habilidade nata do ser humano de possuir o julgamento do 
verdadeiro ou falso, nas mais diversas situações.
SAIBA MAIS!
O livro Sócrates, da coletânea Os Pensadores, organizada por José Américo Motta 
Pessanha, aborda os aspectos da razão segundo o filósofo. Acesse: <charlezine.
com.br/wp-content/uploads/02-S%C3%B3crates-Cole%C3%A7%C3%A3o-Os-
Pensadores-1987.pdf>.
2 Princípios gerais da razão
Segundo Chaui (2000), o estudo filosófico da razão é importante para a sociedade porque 
enquadra o homem em determinadas regras, uma vez que o conceito de razão não se sustenta 
sem que tenhamos alguns requisitos. Assim, a razão possui como base seus princípios gerais, ou 
“princípios racionais”, como são chamados pelos filósofos. De acordo com a autora a:
Filosofia considerou que a razão opera seguindo certos princípios que ela própria estabe-
lece e que estão em concordância com a própria realidade, mesmo quando empregamos 
sem conhecê-los explicitamente. Ou seja, o conhecimento racional obedece a certas regras 
ou leis fundamentais, que respeitamos até mesmo quando não conhecemos diretamente 
(Chaui, 2000, p. 72).
Portanto, os princípios gerais da razão são regras e requisitos para que o ser humano tenha 
bom senso em seus julgamentos. Segundo a filosofia, estes requisitos são divididos nos princípios 
da identidade, da não contradição, e do terceiroexcluído (Chaui, 2000). 
FIQUE ATENTO!
Os princípios gerais são muito importantes para o nosso estudo, pois servirão de 
base para que possamos solucionar os problemas mais complexos envolvendo o 
raciocínio lógico.
Nos itens a seguir, compreenderemos as características dos três princípios gerais da razão. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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2.1 Princípio da identidade
O princípio da identidade afirma que tudo o que existe é o que realmente é (Chaui, 2000). 
Parece óbvia esta afirmativa, mas ela limita tudo o que existe (coisa, ser e objeto) em uma única 
definição: de ele ser ele mesmo. Podemos, por exemplo, transformar esta definição em uma afir-
mação matemática, afirmando que a variável “a” será somente “a” e não mais que “a”, ou seja, a 
variável “a” pode assumir um único e restrito valor. 
SAIBA MAIS!
Entre os seis e oito meses de idade, a criança começa a perceber que é um ser 
separado da mãe, inicia-se, então, um processo de autodescoberta, que futuramente 
culminará e refletirá em sua própria identidade.
 
Para a melhor compreensão do conceito, podemos fazer uma analogia com as impressões 
digitais, que identificam e atribuem os dados pessoais de uma única pessoa. Deste modo, o prin-
cípio da identidade atribui somente uma característica a um ser ou objeto.
Figura 3- Impressão digital
Fonte: Prill/Shutterstock.com 
No item a seguir entenderemos o princípio da não contradição e sua relação com o princípio 
da identidade.
2.2 Princípio da não contradição
Para o princípio da não contradição, não podemos afirmar que uma coisa é e não é ao mesmo 
tempo (Chaui, 2000). Em outras palavras, este princípio impossibilita que possamos atribuir duas 
definições ao mesmo tempo para apenas um objeto, por exemplo. 
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Vejamos: “A parede é branca e não é branca ao mesmo tempo. Não sendo branca, ela poderá 
ser de qualquer outra cor”. Neste exemplo, primeiro, afirmou-se que a parede possui uma deter-
minada característica, e, em seguida, declarou-se o contrário, invalidando a identidade da parede. 
Quando atribuímos uma característica (branca) a um objeto (parede), e, ao mesmo tempo, dize-
mos que este objeto é diferente, estamos cometendo uma contradição, porque o objeto já possui 
uma característica atribuída.
Assim, o princípio da não contradição evita que uma determinada afirmativa se autodestrua 
ou se torne inválida. Isto é, quando um objeto tem duas definições, ele não tem identidade, ou seja, 
não é nenhuma das duas opções, invalidando a sua própria definição.
Observe que o princípio da não contradição e o princípio da identidade se complementam, 
visto que no princípio da identidade afirma-se que um ser ou objeto será sempre ele próprio, e no da 
não contradição, admite-se que um ser ou objeto não pode ter duas definições ao mesmo tempo. 
2.3 Princípio do terceiro excluído
O princípio do terceiro excluído sustenta que um objeto pode ser um objeto ou outro objeto e 
não mais que um terceiro objeto (Chaui, 2000). Para entendermos o conceito, podemos pensar em 
linguagem matemática, afirmando que “a” pode ser “a” ou “b” e não “c”. Assim, estamos restringindo o 
objeto em apenas dois conceitos, e afirmando categoricamente que ela não poderá ser um terceiro.
EXEMPLO
Na frase “Faremos a guerra ou a paz” encontramos o princípio do terceiro excluído, 
porque não há outra maneira de resolvermos o conflito, uma vez que em uma afir-
mativa só existem duas possibilidades: a certa ou a errada.
 
FIQUE ATENTO!
O princípio do terceiro excluído pode ser identificado por meio do conectivo “ou”. 
Com isso, compreendemos o terceiro e último princípio geral da razão. A seguir, conhecere-
mos as atitudes mentais opostas à razão.
3 As atitudes mentais opostas à razão
As atitudes mentais são considerações e estudos de ordem cultural da sociedade, isto é, são 
reflexões originadas dos costumes dos povos, desde o início da humanidade, e não estão relacio-
nadas à razão (Chaui, 2000). 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Figura 4 – Atitudes mentais
Fonte: Alphaspirit/Shutterstock.com 
Segundo Chaui (2000), a razão é considerada contrária a quatro atitudes mentais, a saber:
 • conhecimento ilusório: é muito vago e não alcança a realidade e a verdade dos fatos. 
Trata-se de prejulgamentos ou preconceitos de origem cultural da sociedade; 
 • emoções: os sentimentos e as paixões são cegas, desordenadas e contraditórias, 
sendo que ora se diz sim e ora diz não, ou seja, as emoções são passivas e passageiras;
 • crenças religiosas: são reveladas por meio da fé, quer dizer, não depende do trabalho de 
conhecimento realizado pela nossa inteligência, ou pelo nosso intelecto; 
 • êxtase místico: é baseado no desprendimento e desvinculação da consciência. 
Deste modo, percebemos que a razão é oposta às atitudes mentais que levam a desviar da 
capacidade de julgamento ordenado. Algumas vezes, as atitudes mentais se confundem com a 
consciência racional dos fatos, atrapalhando o julgamento e ponderação do ser pensante.
FIQUE ATENTO!
O desequilíbrio emocional, a imparcialidade e a falta de racionalidade nos leva à 
indecisão, ou a tomar decisões no calor da situação, que geralmente conduz a ati-
tudes impensadas (Chaui, 2000).
Fechamento
Neste estudo, compreendemos que o conceito de razão implica, como base, no julgamento e 
bom senso nas tomadas de decisões. Entendemos, também, que embora saibamos deste conceito, 
muitas vezes, somos tomados por atitudes, como a emoção, que fazem com que desprendamos do 
pensamento racional ou da própria razão, o que prejudica a faculdade ou habilidade de julgar.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • aprender o conceito de razão, suas principais definições e seus vários significados;
 • conhecer os princípios da razão e suas definições;
 • compreender as restrições impostas pelos princípios da razão e suas implicações.
Referências 
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda; MARTINS, Maria Helena Pires. Filosofando: introdução à filosofia. 
São Paulo: Moderna, 1993.
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Editora Ática, 2000.
JAPIASSU, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 2. ed. rev. Rio de Janeiro: 
J Zahar, 1991.
MATRIX. Direção de Lana Wachowski e Lilly Wachowski. EUA: Warner Bros. Pictures, 1999.
MICHAELIS: dicionário escolar da língua portuguesa. São Paulo: Melhoramentos, 2009.
OS PENSADORES. Sócrates. Seleção de textos de José Américo Motta Pessanha. São Paulo: Nova 
Cultural, 1987.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Atividade racional: a intuição 
e a razão discursiva
Antônio Ronaldo Costa Dias
Introdução
A atividade racional é uma das mais interessantes no ser humano, pois por meio dela pode-
mos obter conhecimento e julgar os acontecimentos. Além disso, ela nos possibilita ir além em 
determinados campos da ciência. Segundo Marilena Chaui (2000 p. 81), “o raciocínio é conside-
rado o conhecimento que exige provas, demonstrações das verdades que estão sendo conhecidas 
ou investigadas”. 
Podemos tomar como exemplo um caçador que está em busca de uma raposa. Ele verifica 
as pegadas, observa os galhos quebrados e, enfim, parte de pistas e indícios para uma conclusão 
ou decisão final. Nesta aula, estudaremos os procedimentos racionais e suas bases principais, tais 
como a intuição, a dedução, a indução e a abdução.
Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste estudo, você será capaz de:
 • entender os conceitos de dedução, indução e abdução;
 • compreender as diferenças entre empirismo e idealismo.
Bons estudos!
1 Intuição
Para entender a intuição, imagine o esforço intelectual de um médico, que faz o diagnóstico 
e compreende a causa da doença, já projetando os possíveis modos de tratá-la. Para Chaui (2000, 
p. 81), “a intuição é uma compreensão global e instantânea de uma verdade, de um objeto, de um 
fato. Nela, de uma só vez, a razão capta todas as relações que constituem a realidade e a verdade 
da coisa intuída”. Ainda de acordo com a autora (2000),a intuição corresponde a um ato intelectual 
de discernimento e compreensão. 
2 Razão Discursiva
Diferente da intuição, a razão discursiva não se dá de uma só vez. Esta razão exige prova, 
conexões entre ideias e passo a passo para uma conclusão. 
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TEMA 2
2.1 Dedução
Segundo Chaui (2000), a dedução consiste em partir de uma verdade já conhecida - seja 
por intuição, seja por demonstração anterior - e que funciona como um princípio geral ao qual se 
subordinam todos os casos que serão demonstrados a partir dela. Aqui, aplicamos uma verdade 
provada a todos os casos similares. Diz-se que a dedução vai do geral ao particular, isto é, tem 
como ponto de partida o geral e como ponto de chegada o particular. O ponto de partida da dedu-
ção é uma ideia ou teoria verdadeira.
EXEMPLO
Tomemos como ponto de partida as definições geométricas gerais de ponto, linha 
e área e deduzimos todas as figuras geométricas possíveis. Utilizamos uma defini-
ção geral que se aplica a todas as figuras geométricas e caminhamos em direção a 
figuras que podem ser formadas segundo essa definição geral.
Figura 1- Pensamento dedutivo.
Fonte: Ollyy/Shutterstock.com 
De acordo com Dicionário básico de Filosofia (JAPIASSU; MARCONDES, 1991), a palavra 
“dedução” tem o significado exposto no quadro a seguir.
Dedução (lat. deductio). 
1. Raciocínio que nos permite tirar de uma ou várias proposições uma conclusão que delas decorre 
logicamente.
2. Na matemática, a dedução é sinônimo de demonstração.
3. Nas ciências experimentais, o método hipotético-dedutivo é aquele que parte de várias propo-
sições consideradas como hipóteses, retirando delas os conhecimentos necessários, que são 
submetidos à verificação.
Quadro 1 – Etimologia e significado do termo “dedução”.
Fonte: JAPIASSU; MARCONDES, 1991, p. 49.
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Outra definição para “dedução” é que se trata de “[...] uma inferência que vai dos princípios 
para uma consequência logicamente necessária.” (ARANHA, 1986, p. 100).
 
Figura 2 - Teorema de Tales.
Fonte: NeydtStock/Shutterstock.com 
SAIBA MAIS!
O livro Grande Sertão: Veredas, de Guimarães Rosa (2001), é um ótimo recurso 
para se entender o procedimento racional denominado “indução”. A leitura desse 
clássico de nossa literatura vale a pena!
Assim, podemos afirmar que a dedução é um procedimento ou atividade racional na qual 
objetos particulares são conhecidos e investigados a partir de uma teoria geral. Sabemos que a 
razão nos fornece regras para que possamos realizar a dedução; caso elas não sejam seguidas, 
a dedução em si não possuirá validade e será considerada falsa. No próximo item falaremos a 
respeito de outro procedimento racional: a indução. 
2.2 Indução
A indução é o procedimento mais importante, pois possibilita a descoberta de características 
ou propriedades de materiais, objetos etc. Segundo Chaui (2000, p. 82), percebemos que a indução 
realiza um caminho oposto ao da dedução. Mas como exatamente? Bem, com a indução, partimos 
de casos particulares iguais ou semelhantes e vamos à procura de uma lei, definição ou teoria 
geral que subordina e explica todos os casos particulares. 
A indução também deve seguir as regras da razão para se tornar válida, ou seja, não deve 
haver violação dessas normas sob penalidade de o resultado ser considerado falso. “A dedução 
e a indução são conhecidas com o nome de inferência, isto é, concluir alguma coisa a partir de 
outra já conhecida. Na dedução, dado X, infiro (concluo) a, b, c, d. Na indução, dados a, b, c, d infiro 
concluo X.” (CHAUI, 2000, p. 83).
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Para que tenhamos um entendimento melhor a respeito de indução, realizamos o seguinte 
experimento: colocamos para ferver diferentes líquidos e observamos sua vaporização. Induzi-
mos, a partir das observações, que o fogo desempenha um papel importante, promovendo a eva-
poração dos líquidos. Logo, concluímos que essa propriedade é o calor. 
FIQUE ATENTO!
A dedução e a indução são procedimentos racionais que se opõem. Enquanto a 
indução parte dos vestígios para chegar ao todo, na dedução parte-se do todo, de 
uma lei geral, e estuda-se os casos particulares.
Observamos que cada um dos líquidos de nosso experimento evapora em um determinado 
tempo. Procuramos a causa para isto e concluímos que se trata de alguma propriedade ou carac-
terística intrínseca ao líquido, que o faz evaporar em uma velocidade X. Podemos, então, formular 
uma teoria geral a respeito da evaporação de líquidos relacionada às propriedades de cada um 
deles. Com os conhecimentos adquiridos a respeito da indução, partimos agora para o terceiro e 
último caso, que é a abdução.
2.3 Abdução
Entenda a abdução como a busca de uma conclusão pela leitura e interpretação racional de 
sinais, indícios e signos. De acordo com Chaui (2000), a abdução é uma espécie de intuição que 
ocorre passo a passo até se chegar a uma conclusão. 
Um exemplo clássico e mundialmente conhecido de abdução são os contos policiais nos 
quais os detetives e investigadores coletam pistas e vão decifrando o evento principal aos poucos, 
até que finalmente formam uma teoria para o caso que investigam. Abdução é um meio que a 
razão dispõe para iniciar um estudo de um novo campo científico ainda inexplorado (CHAUI, 2000). 
O caso da abdução é muito utilizado por historiadores, por exemplo. 
Podemos concluir, portanto, que a indução e a abdução são procedimentos racionais que 
empregamos para a aquisição de conhecimento. Já a dedução é usada na verificação ou compro-
vação de uma verdade, de um conhecimento adquirido.
SAIBA MAIS!
O livro “As aventuras de Sherlock Holmes”, de Sir Arthur C. Doyle, é uma boa fonte para 
que você possa visualizar na prática a técnica da abdução, bem como os outros procedi-
mentos racionais estudados nesta aula. Confira: <https://books.google.com.br/books?i-
d=mzcdDAAAQBAJ&lpg=PT2&dq=as%20aventuras%20de%20sherlock%20holmes%20
sir%20arthur%20conan%20doyle&hl=pt-BR&pg=PP1#v=onepage&q&f=false>.
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Figura 3 - Sherlock Holmes, personagem famoso por utilizar métodos de investigação racionais.
Fonte: Prill/Shutterstock.com 
EXEMPLO
Em A Liga dos Cabeça-Vermelha (2011), uma entidade misteriosa fornecia dinheiro 
a determinados homens com cabelos ruivos. Um personagem chamado Wilson, que 
possui cabelos ruivos, tenta a todo custo se associar a essa misteriosa liga. Quando 
consegue, em um dia comum vai ao escritório e se depara com a porta trancada e a liga 
dissolvida. Sherlock Holmes segue sua excelente dedução para elucidar este mistério.
Como vimos, a dedução, a indução e a abdução são atitudes racionais que utilizamos na 
busca de novos conhecimentos. Sem estes procedimentos, ficaríamos estacionados no que já é 
conhecido e comprovado, o que dificultaria tecnologias e descobrimentos.
FIQUE ATENTO!
Na abdução, há a presença da indução, mas com uma única diferença: há a consta-
tação ou conclusão do que foi levantado em uma só etapa.
Agora faremos um estudo a respeito de técnicas utilizadas na busca da verdade e da razão. 
Continue acompanhando!
3 Diferenças entre empirismo e idealismo
3.1 Empirismo
Podemos compreender o empirismo como a busca do conhecimento, da razão e da verdade 
por meio da experiência. Antes de nossa experiência, nossa razão é como uma folha em branco, 
em que nada foi escrito (CHAUI, 2000, p. 88). A partir de nossas experiências, vamos preenchendo 
essa folha em branco com referências. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Ao longo da história da Filosofia, muitos filósofos defenderam a tese empirista, dentre os 
quais podemos destacar: Francis Bacon; John Locke; George Berkeley; e David Hume.
Figura 4 – O filósofo John Locke (1632-1704), adepto do empirismo.
Fonte: Alphaspirit/Shutterstock.com 
Segundo Chaui (2000, p. 88) os empiristas afirmam que “nossos conhecimentos começam 
com as experiências em nossos sentidos, isto é, nossas sensações”. Os objetos exteriores excitam 
nossos órgãosdos sentidos e vemos cores, sentimos sabores e odores, ouvimos sons etc.
3.2 Idealismo
Para que possamos entender o “idealismo”, devemos primeiramente entender o que é realismo. 
Chaui (2000) afirma que o realismo é a posição filosófica que pressupõe a existência objetiva da 
realidade externa como uma realidade racional em si e por si, e que podemos acessá-la por meio da 
razão, conhecida como razão objetiva.
FIQUE ATENTO!
O idealismo difere do empirismo pelo fato de o primeiro estar baseado na realidade 
racional por meio de nossas ideias, ao passo que o segundo é um procedimento no 
qual adquirimos experiência por meio de nossas sensações e sentidos.
Devemos entender que há uma diferença entre a realidade e o conhecimento racional que dela 
temos. Embora a realidade externa exista em si, só podemos conhecê-la por meio de nossas ideias, 
certo? Por exemplo, nossa percepção do mundo exterior, dos lugares e das pessoas a nossa volta é 
subjetiva e pode ter diversas interpretações. Essa posição filosófica é chamada de idealismo.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Fechamento
Assim, finalizamos o conteúdo a respeito dos procedimentos racionais. Compreendendo 
seus principais componentes e situações.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • perceber que o homem adquire e testa o conhecimento por meio dos procedimentos 
racionais; 
 • ver que esses procedimentos possibilitam avanços em diversas áreas do conheci-
mento humano; 
 • compreender a intuição, a dedução, a indução e a abdução; 
 • identificar a diferença entre o empirismo e o idealismo.
Referências 
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda; MARTINS, Maria Helena Pires. Filosofando: introdução à filosofia. 
São Paulo: Moderna, 1993.
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Ática, 2000.
COTRIM, G. Fundamentos da Filosofia: História e grandes temas. São Paulo: Saraiva, 2000.
DOYLE, Arthur Conan. As Aventuras De Sherlock Holmes. Rio de Janeiro: Companhia Editora 
Nacional, 2013. Disponível em: <books.google.com.br/books?id=mzcdDAAAQBAJ&pg=PT2&lpg= 
PT2&dq=as+aventuras+de+sherlock+holmes+sir+arthur+conan+doyle&source=bl&ots=X
0NKBUkfnM&sig=zg1ezlO4BT6dpShtczwSPCZ93RM&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwjNt 
vjPlYfOAhWCGZAKHQOrAOk4FBDoAQghMAE#v=onepage&q=as%20aventuras%20de%20sher 
lock%20holmes%20sir%20arthur%20conan%20doyle&f=false>. Acesso em: 22 jul. 2016.
JAPIASSU, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 2. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 
1991.
MICHAELIS. Dicionário escolar da língua portuguesa. São Paulo: Melhoramentos, 2009.
PESSANHA, José Américo Motta. Sócrates – Coleção Os Pensadores. São Paulo: Nova Cultural, 1987.
ROSA, Guimarães. Grande Sertão: veredas. 19. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Origens da razão e 
suas bases fisiológicas
Antônio Ronaldo Costa Dias
Introdução
Segundo Chaui (2000), a razão é tão antiga quanto a filosofia e não há maneira de estudar 
sua origem sem estudar a origem da filosofia, que surgiu na Grécia, pois ambos os conhecimentos 
estão entrelaçados. Dessa forma, nesta aula vamos estudar os primeiros filósofos da humani-
dade, abordando, posteriormente, suas teorias sobre a razão. 
Objetivos de aprendizagem
 Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer as origens da razão;
 • compreender as bases fisiológicas da razão;
 • identificar as diferenças entre razão e emoção.
1 As origens da razão
De acordo com Aranha e Martins (1993, p. 66) “os primeiros filósofos viveram por volta do 
século IV a.C., e mais tarde foram classificados como pré-socráticos (a divisão da filosofia grega 
se centraliza na figura de Sócrates) e agrupados em diversas escolas”. Cada uma dessas escolas 
de origem filosófica, surgidas entre os séculos IV a.C. e o início do cristianismo, é referenciada 
aos pensadores da época: a escola jônica era composta pelos filósofos Tales, Anaximandro, Ana-
xímenes, Heráclito e Empédocles; a escola itálica era composta por Pitágoras; a escola eleática 
era composta por Xenófanes, Parmênides e Zenão e a escola atomista era formada por Leucipo e 
Demócrito (ARANHA E MARTINS, 1993).
FIQUE ATENTO!
O ateniense Sócrates (470 – 399 a.C.), primeiro dos três grandes filósofos gregos 
(os outros dois foram Platão e Aristóteles), conduziu a transição do pensamento re-
flexivo sobre a origem do universo para preocupações como a existência humana. 
É dele a frase “Conhece-te a ti mesmo”. 
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TEMA 3
Figura 1 – Grécia, o berço da filosofia antiga
Fonte: ivan bastien/Shutterstock.com
O período de passagem do pensamento mítico para o pensamento racional foi chamado de 
“milagre grego” e ocorreu lentamente, sendo que as características dessa época não desaparece-
ram por completo. As novidades ou avanços do homem, como a escrita, a moeda e as leis surgi-
das no período arcaico (séculos VII e VI a.C., que é o período próprio de surgimento da filosofia), 
ajudaram, de certa forma, a transformar a visão mítica ou a visão do mito (ARANHA e MARTINS, 
1993). Podemos entender o conceito de mito da seguinte forma: “é uma intuição compreensiva da 
realidade, é uma forma espontânea de o homem situar-se no mundo. E as raízes do mito não se 
acham nas explicações exclusivamente racionais, mas na realidade vivida, portanto pré-reflexiva, 
das emoções e da afetividade” (ARANHA e MARTINS, 1993, p. 55). 
FIQUE ATENTO!
O “milagre grego” foi o período em que importantes fatores contribuíram para o surgi-
mento da filosofia (e de um pensamento mais racional), deixando o pensamento mí-
tico de lado. Além disso, é o período de maior concentração de correntes filosóficas, 
com os mais importantes filósofos da época, como Sócrates, Aristóteles e Platão. 
A partir dessa compreensão, podemos entender que o homem deu um salto progressivo e 
lento do mito da emoção até a razão e que seus avanços e descobertas contribuíram, de certa 
forma, para que a humanidade chegasse ao pensamento racional, ou à razão propriamente dita.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 22 – 
As descobertas que garantiram a transformação do mito para o racionalismo foram:
 • a escrita;
 • a moeda;
 • as leis;
 • a cidade-estado (polis).
SAIBA MAIS!
No livro “As origens Gregas da Filosofia” (2011), o autor Marcos Sandrini aborda 
toda a história do nascimento da filosofia.
No próximo tópico, faremos um estudo a respeito das bases fisiológicas da razão e suas 
implicações para a filosofia moderna.
2 As bases fisiológicas da razão
Para iniciarmos os estudos deste tópico, vamos entender um pouco a respeito do conheci-
mento. Na Grécia antiga, os primeiros filósofos preocupavam-se com algumas perguntas: por que 
as coisas existem? O que é o mundo? Qual a origem da natureza? Esses questionamentos, ainda 
sem respostas naquela época, levavam a uma grande pergunta: o que é o ser? 
De acordo com Chaui (2000, p. 137) “a palavra ser, em português, traduz a palavra latina ‘esse’ 
e a expressão grega ta onta. A palavra latina ‘esse’ é o infinitivo de um verbo, o verbo ser. A expres-
são grega ta onta quer dizer: as coisas existentes, os entes, os seres”. 
A partir dessa compreensão, observa-se, segundo Chaui (2000), que os primeiros filósofos não 
se preocupavam com a capacidade e a possibilidade de conhecimento, ou seja, não indagavam se 
poderiam ou não conhecer o “ser”, mas alguns deles mostravam essa preocupação: Heráclito de 
Éfeso (535 - 475 a.C.), Parmênides de Eléia (530 – 460 a.C.) e Demócrito de Abdera (460 – 370 a.C.). 
Heráclito considerava a natureza como um “fluxo perpétuo”, em constante mudança. Parmênides se 
colocava contrário a Heráclito e afirmava que só podemos pensar sobre aquilo que permanece idên-
tico, ou seja: para ele, “conhecer” era alcançar o imutável. Demócrito, por sua vez, desenvolveu uma 
teoria chamada de “atomismo”, afirmando que a realidade é constituída de átomos. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 23 – 
Figura 2 – Heráclito de Éfeso
Fonte: Everett - Art/Shutterstock.com
De acordo com Chaui (2000), os filósofos gregos estabeleceram alguns princípios geraisde 
como alcançar o conhecimento verdadeiro, chamados de bases fisiológicas da razão: sensação, 
percepção, memória e categorização. 
 • Sensação: “é o que nos dá as qualidades exteriores e interiores, isto é, as qualidades 
dos objetos e os efeitos internos dessas qualidades sobre nós” (CHAUI, 2000, p. 151). 
Por exemplo, podemos ouvir, sentir, tocar, cheirar odores e sabores, etc. Podemos sentir 
o quente e o frio, o doce e o amargo, ou o liso e o rugoso.
 • Percepção: “é uma relação do sujeito com o mundo exterior e não com uma reação 
físico fisiológica de um sujeito físico fisiológico a um conjunto de estímulos externos” 
(CHAUI, 2000, p. 154). Podemos dizer que a percepção é uma maneira do ser humano 
conhecer o mundo que está a sua volta.
De acordo com o dicionário de filosofia (JAPIASSU e MARCONDES, 2001) a palavra percep-
ção tem o seguinte significado:
Percepção (lat. Perceptio) 
1. Ato de perceber, ação de formar mentalmente representações sobre objetos externos a partir 
de dados sensoriais.
2. A sensação é a matéria da percepção.
3. Para os empiristas a percepção é a fonte de todo o conhecimento.
Quadro 1 – Significado da palavra percepção
Fonte: JAPIASSU E MARCONDES, 2001, p. 149.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 24 – 
 • Memória: “é uma evocação do passado. É a capacidade humana para reter e guardar o 
tempo que se foi, salvando-o da perda total. A lembrança conserva aquilo que se foi e 
não retornará jamais” (CHAUI, 2000, p. 158).
 • Categorização: é um processo mental, onde separamos as coisas em categorias, 
sendo uma forma de organização do nosso cérebro capaz de reunir, julgar, comparar e 
classificar eventos e objetos.
EXEMPLO
O processo de estudo de um estudante, onde se divide as disciplinas em um quadro 
de horário definido durante um período semana, é um processo de categorização. 
Dessa forma, o rendimento do estudo aumenta devido à associação que o cérebro 
faz com determinados horários.
A seguir, veremos como a razão e a emoção se relacionam.
3 Razão e emoção
Até aqui, já vimos os conceitos e definições de razão, que possui como base o pensamento 
racional ou racionalismo, uma corrente filosófica muito estudada pelo filósofo, físico e matemá-
tico francês René Descartes (1596 – 1650), que traz um confronto com a emoção, que é um sen-
timento movido por impulsos, raiva e paixão. A emoção nasce a partir de indecisões e fatos do 
coração, que impedem o correto raciocínio e julgamento dos prós e contras. Segundo Chaui (2000 
p. 453), “nossos sentimentos são causas das normas e dos valores éticos”. 
SAIBA MAIS!
O livro “O Erro de Descartes”, de Antônio Damásio, aborda o tema emoção 
profundamente. Para o autor, as emoções são indispensáveis para o pensamento 
racional. Acesse: <https://books.google.com.br/books/about/O_erro_de_Descartes.
html?id=8JtFZ5TB3EEC&redir_esc=y>.
Ainda de acordo com Chaui (2000), alguns emotivistas, como Alfred Jules Ayer (1910-1989), 
salientam a utilidade dos sentimentos e das emoções para a nossa sobrevivência e para a nossa 
relação com os outros, cabendo à ética orientar a utilização da emoção para evitar a violência e 
garantir as relações justas entre os seres humanos.
FIQUE ATENTO!
 O emotivismo é uma perspectiva com relação aos juízos morais de cada pessoa e 
que afirma que estes juízos dependem das emoções do indivíduo.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 25 – 
De fato, podemos entender que a emoção não pode viver isoladamente, tal como Descartes 
afirmava. Em alguns casos, ela é uma mola propulsora para que possamos estudar profunda-
mente a razão das coisas e dos acontecimentos e nos permite, também, através de métodos, 
consolidar nossos conhecimentos. 
Figura 3 - Emoções
Fonte: g-stockstudio/Shutterstock.com
EXEMPLO
Um comportamento emocional é aquele carregado de impulsividade, sem medir 
consequências em nossos atos, como as nossas reações quando estamos ao vo-
lante: nossas emoções, algumas vezes, fazem com que esqueçamos de nossos 
valores éticos.
Podemos concluir que a emoção é visivelmente diferente da razão em basicamente dois 
aspectos: enquanto na emoção os sentimentos de raiva, impulsividade e paixão tomam conta do 
nosso juízo, a razão nos traz à realidade para o correto julgamento e é carregada de consciência 
do que é certo ou errado, de bom senso e de análise de pesos, antes de tomarmos uma decisão.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 26 – 
Fechamento
Nesta aula, tivemos a oportunidade de:
 • Conhecer as origens da razão, bem como da filosofia;
 • Compreender as bases fisiológicas da razão;
 • Identificar a diferença entre a razão e a emoção. 
Referências 
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Editora Ática, 2000.
JAPIASSU, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 2. ed. rev. Rio de Janeiro: 
J Zahar, 2001.
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda; MARTINS, Maria Helena Pires. Filosofando: introdução à filosofia. 
São Paulo: Moderna, 1993.
PESSANHA, José Américo Motta. Sócrates – Coleção Os Pensadores. São Paulo: Nova Cultural, 
1987.
COTRIM, G. Fundamentos da Filosofia: História e grandes temas. São Paulo: Saraiva, 2000.
SANDRINI, Marcos. As origens gregas da filosofia. São Paulo. Editora Vozes, 2011. 
DAMASIO, ANTONIO R. O erro de Descartes: emoção, razão e o cérebro humano. São Paulo: 
Companhia das letras, 2009.
CHANTAL, Priscilla. Alzheimer, memoria e leitura. São Paulo: D´PLÁCIDO Editora, 2013.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 27 – 
Categorização e teoria dos conjuntos
Vagner Luis Zanins
Introdução
Podemos entender que conjunto é a reunião de elementos distintos que possuem, no mínimo, 
uma característica em comum. Pense, como exemplo, no conjunto de animais que voam, ou de 
animais peçonhentos, ou, ainda, de automóveis que possuem duas portas.
O conceito de conjunto existe em vários ramos da atividade humana, como na classificação 
dos animais que ocorre no estudo da biologia. Mas é na matemática que a sua compreensão teve 
um maior desenvolvimento.
A partir da segunda metade do século XX, os cientistas passaram a se preocupar, mais fre-
quentemente, com modelos teóricos que pudessem incorporar os aspectos qualitativos, junta-
mente com os quantitativos, de fenômenos coletivos do nosso dia a dia, independentemente de 
sua infinidade. Para isso, seria de fundamental importância um linguajar universal, que pudesse 
descrever tais modelagens de forma precisa, estruturada e concisa. Nesse cenário, surge a teoria 
de conjuntos, que teve como um de seus desenvolvedores o matemático George Cantor (1845 
– 1918).
Estudaremos, nesta aula, alguns conceitos iniciais sobre conjuntos e também algumas defi-
nições básicas.
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta aula, você será capaz de:
 • conhecer a origem da Teoria dos Conjuntos;
 • entender a definição formal de conjunto;
 • compreender as diferentes formas de representação de conjuntos.
1 Um pouco de história
De acordo com Boyer (1974), a Teoria dos Conjuntos possui como marco inicial os estudos 
dos matemáticos Augustus De Morgan (1806-1871) e George Boole (1815-1864), que também 
estão intimamente ligados à lógica moderna. 
Em 1854, Boole publicou um trabalho em que apresentava toda a fundamentação da álgebra 
aplicada à lógica, sendo que, para isso, utilizava comumente a relação entre conjuntos de objetos 
ou coisas. Entretanto, vale destacar que não é aqui que surge, de forma conveniente, o conceito de 
conjunto. Segundo Boyer (1974), tal definição só foi vista no ano de 1890, graças ao matemático 
 – 28 – 
TEMA 4
russo George Cantor (1845-1918), que trabalhava diretamente com a teoria dos números e com 
o formalismo das ideias da lógica. Por conta disso, é considerado o pai da teoria dos conjuntos.
Figura 1 – George Cantor
Fonte: NoPainNoGain/Shutterstock.com 
Outro ponto importante que se relaciona a Cantor é a ideia do infinito, pois ele estudou, nas 
entrelinhas de suas pesquisas, as propriedades peculiares dos conjuntos infinitos. Seu estudo pro-
porcionou uma estruturação bem definida da Teoria dos Conjuntos,que é utilizada atualmente 
tanto para a compreensão desse conceito quanto para o estudo da lógica.
Em termos específicos, na Teoria dos Conjuntos a célula fundamental é, claramente, a noção 
de conjunto, que significa coleção ou grupo de objetos, sendo que tais objetos são, por sua vez, 
os seus elementos ou membros. Nesse sentido, podemos dizer, por exemplo, que o elemento 1 é 
um membro do conjunto dos números naturais, enquanto que o membro ½ pertence ao conjunto 
dos números racionais. Além disso, é importante observarmos desde já que podemos entender os 
conjuntos como uma coleção finita ou infinita de membros.
 Vale destacar que o desenvolvimento dessa teoria foi de grande valia para a evolução de 
outros ramos da matemática, como o cálculo diferencial e integral.
2 O que são conjuntos? 
Para iniciarmos os estudos deste tópico, precisamos entender que é muito difícil determinar 
uma definição formal para conjunto. Assim, em matemática é comum utilizarmos a ideia de con-
ceito intuitivo.
A ideia de conjunto pode ser aplicada de várias formas, como um conjunto de meninas em 
uma sala de aula, de animais que são herbívoros, de países da américa do Sul, dos números pri-
mos, dentre outros.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 29 – 
SAIBA MAIS!
Em matemática, os conceitos intuitivos são ideias primordiais, ou ideias básicas, 
que não admitem demonstração. Eles são considerados verdadeiros, sem a 
necessidade de comprovação e, a partir destas ideias, são desenvolvidas outras 
ideias mais complexas que são demonstráveis.
Dessa forma, sempre que falarmos em conjuntos, vamos utilizar a ideia natural que temos 
sobre o conceito: a reunião de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum.
 
Figura 2 – Conjunto de animais
Fonte: Elenarts/Shutterstock.com
Portanto, podemos dizer que existem conjuntos finitos e infinitos e considerar, ainda, que há 
o conjunto formado por elementos ou aquele formado por outros conjuntos. O conjunto de alunos 
de uma sala de aula ou de apartamentos de um prédio, por exemplo, são finitos. Já os conjuntos 
numéricos são conjuntos infinitos.
Figura 3 – Os números naturais são infinitos
Fonte: 123dartist/shutterstock.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 30 – 
Considere, agora, o conjunto das letras do alfabeto da língua portuguesa: dentro dele, pode-
mos formar outros dois conjuntos, um das consoantes e outro das vogais. Assim, temos um con-
junto maior formado por dois menores.
2.1 Algumas propriedades sobre conjuntos 
As propriedades básicas sobre os conjuntos são descritas na forma de afirmação, onde não 
há a necessidade de demonstração, sendo que estas afirmações recebem o nome de axiomas. 
Acompanhe: o axioma da extensão define que dois conjuntos são iguais se, e somente se, 
possuem os mesmos elementos. Este axioma nos diz que dois conjuntos que possuem os mes-
mos elementos são considerados iguais, não importando a ordem e nem a quantidade de vezes 
em que estes elementos aparecem. 
Podemos estender este conceito e dizer também que, em um conjunto, não importa a quan-
tidade de vezes que um elemento aparece e nem a ordem. Veja como exemplo o conjunto D = {2, 
3, 4, 5, 2, 3, 5, 6, 1 ,2}, que possui somente 6 elementos, já que as repetições não são consideradas.
EXEMPLO
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 1, 2 ,3, 6, 4, 1, 5, 5, 6}. A partir 
do axioma da extensão, podemos afirmar que os dois conjuntos são iguais, pois 
possuem os mesmos elementos, já que nem a ordem e nem a quantidade interfe-
rem na igualdade dos conjuntos. Também é correto afirmar que o conjunto B possui 
somente 6 elementos, já que a quantidade e a ordem não têm importância.
FIQUE ATENTO!
O axioma da extensão diz que dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos 
elementos.
Agora acompanhe: o axioma do vazio define que existe um conjunto que é vazio. De uma 
forma resumida, este axioma nos diz que existe um conjunto que é vazio e podemos afirmar, tam-
bém, que este conjunto vazio é único. Para representá-lo, utilizamos os símbolos { } ou Ø. Vamos 
ver alguns exemplos:
A = {conjunto de cachorros que tem asas}
B = {conjunto dos números primos pares que são maiores que 3}
Entendendo que: o conjunto A é vazio, pois não existe nenhum cachorro que possui a caracte-
rística de voar, e o conjunto B também é vazio, pois o único número primo par é o número 2.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 31 – 
FIQUE ATENTO!
O axioma do vazio diz que há um conjunto que não possui elementos. 
SAIBA MAIS!
Um conjunto pode ser descrito basicamente de duas formas. Uma delas é descrever 
ou elencar cada um dos elementos que compõem o conjunto, como em A = {2, 4, 
6, 8}. A outra é utilizar uma regra geral para determinar os elementos procurados, 
como em B = {Os números ímpares}, que seria B = {1, 3, 5, 7, 9,...}. Leia mais em: 
<http://mtm.ufsc.br/~bosing/15_2/Conjuntos.pdf>.
Neste ponto, vale destacar que, quando estudamos a teoria de conjuntos, com muita frequên-
cia nos deparamos com os termos “conjunto universo” e “conjunto unitário”, que veremos a seguir:
 • conjunto universo: é aquele que tem todos os elementos com o qual estamos 
trabalhando.
EXEMPLO
Considere A = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Se construirmos B = {números pares de A}, 
teremos B = {0, 2, 4, 6, 8,10}. Assim, o conjunto A é o conjunto universo em relação 
ao conjunto B.
 • conjunto unitário: esse é um termo bem simples de entender. De forma resumida, é 
um conjunto que contém somente um elemento: A = {Os números primos e pares}, B = 
{João}, C = {Mamíferos que voam}. Ou seja, o conjunto A é unitário, pois o único número 
primo e par é o número 2. O conjunto B tem um único elemento, que é “João”, e, por fim, 
o conjunto C também é unitário, pois o único mamífero que tem a capacidade de voar 
é o morcego.
Figura 4 – Morcego
Fonte: Ondrej Prosicky/Shutterstock.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 32 – 
FIQUE ATENTO!
Já sabemos que os símbolos { } ou Ø representam o conjunto vazio, porém, se dis-
sermos que A={Ø} representa um conjunto vazio estará errado. O que está indicado, 
dessa forma, é que o conjunto A é formado por um único elemento: o vazio. 
É importante, então, entender que um conjunto é a reunião de elementos que possuem carac-
terísticas em comum. Apesar de intuitivo, este conceito é muito importante. Vale reforçar que para 
elaborar as definições e ideias sobre a Teoria de Conjuntos devemos utilizar os axiomas, para que, 
a partir deles, seja possível definir outras características relacionadas aos conjuntos.
Fechamento
Ao concluirmos esta aula, compreendemos que não há uma definição formal de conjunto, 
pois qualquer tentativa de interpretação recairia na utilização de sinônimos da palavra conjunto, 
o que entraria numa circularidade. Por isso, é muito comum utilizarmos a definição intuitiva ou a 
ideia mais natural sobre conjuntos.
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer a origem da Teoria dos Conjuntos;
 • entender que, ao falarmos de conjunto, podemos utilizar a ideia natural que temos 
sobre o conceito: a reunião de elementos que possuem pelo menos uma característica 
em comum;
 • compreender os principais axiomas que envolvem a Teoria de Conjuntos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 33 – 
Referências
AGUIAR, Laura. Introdução a Teoria de Conjuntos. Disponível em: <http://mtm.ufsc.
br/~bosing/15_2/Conjuntos.pdf>. Acesso em: 01 ago. 2016.
BEZERRA, Manoel Jairo. Curso de matemática: para os cursos de segundo grau. 32. ed. São Paulo: 
Companhia Editora Nacional, 1975.
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
COPI, Irving Marmer. Introdução à lógica. 2. ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
MORAIS, José Luiz de. Matemática e lógica para concursos. São Paulo: Saraiva, 2012.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 34 – 
Um breve histórico sobre 
a numeração na humanidade
Vagner Luis Zanins
Introdução
O homem desenvolveu, ao longo do tempo, várias maneiras de realizar a contagem, utili-
zando, inicialmente, pedras e gravetos para representar, porexemplo, a quantidade de cabras ou 
ovelhas. Povos como os egípcios e os maias utilizavam símbolos no seu cotidiano para represen-
tar tais quantidades e fazer pequenas operações matemáticas. 
Nesta aula, vamos destacar alguns exemplos de sistemas numerais de maior importância 
para a nossa civilização.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer um breve histórico sobre a história da numeração;
 • identificar a importância da numeração para o desenvolvimento das sociedades.
1 A civilização e os números 
A relação entre a espécie humana e os números é antiga e, desde então, vem se desen-
volvendo. Podemos destacar, como exemplos dessa relação, os sistemas de contagem sumério, 
babilônico e egípcio. No entanto, vale ressaltar que, de acordo com Ifrah (1985), é difícil determinar 
uma data inicial para o desenvolvimento da ideia de número, pois ele ocorreu de forma progres-
siva, em momentos distintos e em várias partes do planeta.
No nosso dia a dia, podemos dizer que é quase impossível viver sem contato com os núme-
ros, pois eles aparecem em praticamente todos os ramos da atividade humana, como quando 
estamos em casa, por exemplo: os números aparecem nas embalagens dos produtos que consu-
mimos, no noticiário da TV, em receitas culinárias ou em bulas de remédio. Além dessas situações, 
também é possível verificar a sua existência nas relações humanas, como, por exemplo, quando 
compramos ou vendemos um produto ou um serviço. 
A capacidade do homem de trabalhar e desenvolver técnicas de manipulação com os núme-
ros possibilitou o desenvolvimento da matemática e, com isso, permitiu a evolução tecnológica em 
diversas áreas, como a engenharia, a informática e a astronomia.
Vale destacar que o desenvolvimento da ideia de número não é linear e nem igual em todas 
as partes do mundo. Do oriente ao ocidente, cada civilização contribuiu para que isso acontecesse, 
pois criaram diferentes métodos e técnicas de contagem que possibilitaram a evolução da mate-
mática com o passar tempo. 
Nesta aula, vamos estudar algumas das técnicas que mais contribuíram para a evolução dos 
sistemas numéricos.
 – 35 – 
TEMA 5
2 Para que servem os números?
Você já percebeu que utilizamos os números em diversas situações cotidianas? Pense: 
quando uma pessoa realiza uma prova para um concurso ou vestibular, ela confere a classificação 
para verificar sua colocação, não é mesmo? Talvez essa não seja uma situação comum nos dias 
atuais, mas quando precisávamos saber o número de telefone de alguém ou de um estabeleci-
mento comercial, procurávamos na lista telefônica. Ou, ainda, quando negociamos o valor de um 
produto ou comparamos o preço numa lista de supermercado. E, assim como essas, outras situa-
ções que envolvem os números fazem parte da nossa rotina. 
Se você observar com atenção, nos exemplos citados acima os números aparecem de 
alguma forma, mas a utilização foi igual nas três situações? 
No primeiro caso, os números são utilizados com o propósito de classificar ou ordenar a 
posição entres os concorrentes daquela prova. No segundo caso, os números em uma lista telefô-
nica representam uma forma de codificação, pois são exclusivos para cada pessoa. Já no último 
exemplo, os números foram utilizados com a ideia de associar uma determinada quantidade como 
valor, em dinheiro, de um produto.
FIQUE ATENTO!
Os números servem para quantificar, ordenar e codificar.
No próximo tópico, vamos entender como ocorreu a evolução do sistema numérico.
3 Desenvolvimento dos números
No início da existência da humanidade, não havia um sistema de contagem estruturado, tal 
como temos atualmente, pois o homem ainda não havia descoberto importantes avanços, como 
a escrita, que possibilitaram a criação do sistema numeral. Dessa forma, ele reconhecia somente 
pequenas quantidades, que eram representadas por pedras ou gravetos. No entanto, de acordo 
com Ifrah (1985), paralelamente a sua evolução, o homem teve a necessidade de trabalhar, cada 
vez mais, com quantidades maiores e, por isso, desenvolveu diferentes técnicas de representação 
de quantia: utilizou os dedos das mãos e, quando surgiu a necessidade de trabalhar com quantida-
des ainda maiores, utilizou partes do corpo. 
Com o passar do tempo, a complexidade da atividade humana foi ficando cada vez mais 
evidente, bem como a necessidade de representar as quantidades de forma mais adequada e 
eficiente. Assim, diferentes métodos de anotação surgiram nos diversos lugares do planeta, como 
símbolos em casca de madeira, por exemplo. Esses métodos de numeração tiveram uma signifi-
cativa importância para a criação do sistema numeral que utilizamos atualmente. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 36 – 
4 Alguns sistemas numéricos
A partir de agora, estudaremos os principais sistemas numéricos. Isso é necessário para 
termos uma ideia da evolução do conceito de número e dos sistemas numerais. A proposta, 
aqui, é fazer uma comparação com o sistema indo-arábico, que é utilizado até hoje, para mostrar 
suas vantagens.
4.1 O sistema egípcio
O povo egípcio, que surgiu aproximadamente 6.000 anos atrás, é considerado uma das 
maiores civilizações do mundo, pois possuía conhecimentos avançados sobre muitos ramos 
da atividade humana, destacando-se, por exemplo, na astronomia, na medicina e na engenharia. 
Os egípcios tinham, ainda, um avançado conhecimento na matemática, utilizando um sistema 
de numeração onde uma quantidade específica era representada por um símbolo, conhecidos 
como hieróglifos.
Figura 1 - Exemplo de hieróglifos
Fonte: Kamira/Shutterstock.com
Acompanhe, no quadro a seguir, os símbolos utilizados pelos egípcios e suas respectivas 
quantidades.
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
Quadro 1 – Algarismos hieróglifos egípcios
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em IFRAH, 1985. Imagens: Sidhe/Shutterstok.com
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 37 – 
Sendo assim, para expressar um determinado número, era necessário agrupar os símbolos 
respectivo até atingir a quantidade desejada. Este sistema numeral é decimal, pois os agrupamen-
tos eram representados de dez em dez.
EXEMPLO
Para representar o número 463 em hieróglifos, devemos utilizar os seguintes símbolos:
 
400 60 3
Porém, não há a necessidade de ordem, pois a posição que cada símbolo ocupa não 
interfere na quantidade que este símbolo representa. Assim, o número 463 pode ser 
escrito da seguinte maneira:
 
 
60 3 400
No próximo tópico, veremos como os romanos desenvolveram um sistema numérico.
4.2 O sistema romano
O sistema numérico desenvolvido pelos romanos, há 2.500 anos, tem como padrão a utiliza-
ção de letras maiúsculas do alfabeto latino para representar determinadas quantidades.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1 000
Quadro 2 – Representação numérica desenvolvida pelos romanos
Fonte: Elaborado pelo autor
Esse sistema também consiste na ideia de agrupamento dos símbolos até conseguir reunir a 
quantidade desejada, porém com uma diferença da representação egípcia: os símbolos que equi-
valem a 5, 50, 500. 
Vale destacar que esse sistema não permite que haja mais do que três repetições do mesmo 
algarismo, por isso existem as seguintes regras: 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 38 – 
 • quando um algarismo de valor menor ou igual está na esquerda de um determinado 
algarismo, devemos subtraí-lo. Veja como escrevemos os números 9, 14, 40:
9 - IX, porque 10-1=9
14 - XIV, porque 15-1=14
40 - XL, porque 50-10=40 
 • quando um algarismo de valor maior ou igual está na direita de um determinado alga-
rismo, devemos somá-lo. Veja como escrevemos os números 11, 60, 23:
11 - XI, porque 10 + 1 = 1 
60 - LX, porque 50 + 10 = 60 
23 - XXIII, porque 20 + 3 = 23
FIQUE ATENTO!
Além dos sistemas egípcio e romano, existe também o sistema de numeração Babi-
lônico, que é de base 60, e o Maia, que é de base 20. Como comparação, considere 
o sistema decimal: nele, a ideia éconstruir “pacotes” de dez em dez. Já no sistema 
de base 60 construímos “pacotes” de sessenta em sessenta, o mesmo ocorre com 
o sistema de base 20.
No próximo tópico estudaremos como foi criado e propagado o sistema numérico indo-ará-
bico, que é utilizado até hoje.
4.3 O sistema indo-arábico
O sistema indo-arábico é o que utilizamos atualmente e recebe este nome porque foi criado 
pelos hindus, mas os árabes foram responsáveis pela sua propagação.
SAIBA MAIS!
O termo “algarismo”, em português, deriva do nome do matemático, astrônomo, 
geógrafo e historiador Mohammed al-Khwarizmi. Leia mais: <http://www.dec.ufcg.
edu.br/biografias/MohameMK.html>.
A forma como se escreve cada algarismo sofreu muitas transformações ao longo dos anos, 
atingindo o formato que conhecemos hoje.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 39 – 
Um Dois Três Quatro Cinco Seis Sete Oito Nove Zero
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Quadro 3 – Sistema numeral indo-arábico
Fonte: Elaborado pelo autor
EXEMPLO
O algarismo 5, sozinho, representa cinco unidades. Já os algarismos 5 e 0, que 
formam o número 50, representam cinquenta unidades. Mesmo sendo formados 
por dois algarismos (um deles sendo o zero), caso os números estivessem em po-
sições invertidas (05), o seu valor passaria a ser de 5 cinco unidades.
Este é um sistema decimal de base dez, porém seu funcionamento não segue os mesmos 
princípios dos sistemas egípcios e romano, tendo a ideia de valor posicional como uma caracterís-
tica diferente. Ou seja, a posição de um algarismo em relação a outro é importante para determinar 
a quantidade exata que ele representa.
SAIBA MAIS!
Apesar do sistema posicional exigir um algarismo que não representa uma quantida-
de, o número zero foi o último algarismo a ser criado.
Outra característica do sistema numérico indo-arábico é que não há a necessidade de criar 
um símbolo diferente para representar uma quantidade cada vez maior. Os dez algarismos combi-
nados com o seu valor posicional são capazes de representar todos os números existentes.
FIQUE ATENTO!
O conceito de valor posicional consiste na ideia de que a posição do algarismo den-
tro do número modifica a quantidade que este algarismo representa.
Dessa forma, entendemos a relação do homem com o desenvolvimento do processo de 
contagem e compreendemos que utilizamos os números, basicamente, para quantificar, ordenar 
e codificar.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 40 – 
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer um breve histórico da numeração;
 • identificar a importância da numeração para o desenvolvimento das sociedades;
 • compreender o funcionamento por traz de cada sistema numérico estudado;
 • compreender o sistema decimal que utilizamos nos dias de hoje.
Referências 
BOYE, Carl B. R. História da Matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 1974.
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Rio de Janeiro, Nova Fronteira, 1997. 
IFRAH, Georges. Os números: A história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1985.
UNIVERSIDADE Federal de Campina Grande. Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. Biografias: 
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Disponível em: <http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/
MohameMK.html>. Acesso em: 02 ago. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 41 – 
Conjuntos numéricos: Naturais, 
Inteiros e Racionais
Vagner Luis Zanin 
Introdução
Já sabemos que os números fazem parte de nosso dia a dia, mas existe apenas um tipo de 
número? Ou vários? Se existem vários, eles apresentam o mesmo comportamento? Nós veremos 
essas e outras questões nesta aula.
É importante entendermos, inicialmente, que os conjuntos numéricos surgiram para descre-
ver as modifi cações e necessidades específi cas dos problemas matemáticos. 
Como a variedade de tipos de números aumentou desde o surgimento dos sistemas numéri-
cos, identifi cou-se a necessidade de reuni-los em grupos para facilitar o estudo dos seus compor-
tamentos e características. Dessa forma, esta aula vai apresentar os principais conjuntos e suas 
propriedades peculiares.
Neste ponto, vale destacar que os conjuntos numéricos são de extrema importância para a 
matemática, pois sua compreensão é determinante para o estudo de outras áreas da disciplina. 
Objetivos de aprendizagem
Ao fi nal desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais, identifi -
cando suas características principais.
1 Conjunto dos números naturais
Podemos considerar o conjunto dos números naturais o mais simples.
 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 1- Reta dos Naturais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Como podemos ver na fi gura 1, os elementos deste conjunto são os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
..., prosseguindo de uma forma infi nita. Aqui vale uma observação: veja que na reta dos naturais 
não há nenhum número entre 0 e 1, ou entre 4 e 5, por exemplo. Isso porque não existem números 
decimais nestes espaços, como 1,5, 5
7 ou 0,75. Perceba, também, que os números negativos não 
 – 42 – 
TEMA 6
estão presentes nesta reta. Para representar este conjunto, utilizamos o símbolo ℕ , assim pode-
mos escrever ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.
Podemos considerar os números naturais como os mais básicos, pois eles representam uma 
necessidade primordial, que é a contagem. Em tempos mais antigos, isso era feito a partir de 
pedras e gravetos, funcionando da seguinte forma: cada unidade de pedra significava, por exem-
plo, que o pastor tinha em sua posse a mesma quantidade de ovelhas.
SAIBA MAIS!
 Quando realizamos uma contagem, sempre começamos pelo número um. Por 
esse motivo, a ideia de que o número zero não é um número natural é difundida 
no meio acadêmico. Contudo, é conveniente, por questões algébricas, que ele seja 
considerado como um número natural.
Neste ponto, vale ressaltar as seguintes propriedades:
 • De todos os números naturais, o menor deles é o número zero, mas não há um número 
que seja o maior de todos. Dessa forma, podemos dizer que o conjunto é infinito 
positivamente;
 • No conjunto dos números naturais, são realizáveis as operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão, desde que o resultado também seja um número natural.
As operações de adição e multiplicação possuem a seguintes características: 
 • O número 0 (zero) é o elemento neutro da adição, pois qualquer número adicionado ao 
zero resulta nele mesmo. Exemplo: 4 + 0 = 4.
 • O número 1 (um) é o elemento neutro da multiplicação, pois qualquer número multipli-
cado por um resulta nele mesmo. Exemplo: 3 . 1 = 3.
 • Associativa para a adição e multiplicação: nas operações matemáticas, não importa 
como realizamos a associação entre dois números, o resultado sempre será o mesmo. 
Exemplos: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 e (2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4) = 24.
 • Comutativa para a adição e multiplicação: não importa a ordem como realizamos as 
operações matemáticas entre dois números, o resultado será sempre o mesmo. Exem-
plo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10 e 4 . 5 = 5 . 4 = 20.
FIQUE ATENTO!
 Os elementos neutros da adição e da subtração são diferentes. Para adição é o 
número zero e para a multiplicação é o número um.
No próximo tópico, vamos estudar o conjunto dos números inteiros.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 43 – 
2 Conjunto dos números Inteiros
O conjunto dos números inteiros surgiu da necessidade de trabalhar com a forma negativa 
dos números naturais. 
 ... –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 2- Reta dos Inteiros 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Na figura 2 podemos verificar que os elementos deste conjunto são os números naturais e 
seus opostos e que não há números decimais nos espaços entre eles. Este conjunto é represen-
tado pelo símbolo ℤ, assim podemos escrever ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
FIQUE ATENTO!
 A símbolo “ℤ” deriva da palavra em alemão zahl, que significa número.
Sobreeste conjunto, vale ressaltar as seguintes propriedades:
 • as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são realizáveis, desde que o 
resultado também seja um número inteiro;
 • não possui um número que seja menor ou maior que todos os outros.
As operações de adição e multiplicação possuem as características do elemento neutro, 
associativa e comutativa, citadas para o conjunto dos naturais.
Os números inteiros atendem à necessidade de trabalhar, por exemplo, com dívidas ou saldo 
negativos nas relações comerciais.
EXEMPLO
O elemento neutro para a adição é 0 (zero) e para multiplicação é 1 (um) multiplica-
ção: –7 + 0 = –7, e também –15 . 1 = –15.
Associativa para a adição e multiplicação: (–5 + 3) –4 = –5 + (3 – 4) = –6, e também 
–8 . (5 . 1) = (–8 . 5) . 1 = –40. 
Comutativa para adição e multiplicação: 2 – 7 = –7 + 2 = –5, e também –3 . 6 = 
6 . (–3) = –18.
A seguir, conheceremos as características dos números racionais.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 44 – 
3 Conjunto dos números Racionais
O conjunto dos números racionais surgiu da necessidade de trabalhar com as partes meno-
res dos números inteiros, como, por exemplo –0, 6, 34 , 4, 7, 0,5 e –
8
9 . 
 ... –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 3 - Reta dos Racionais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Observe, na figura 3, que não há espaços entre os números 1 e 2, por exemplo. O símbolo 
que representa este conjunto é “ℚ” e os números que pertencem a este conjunto obedecem a 
seguinte regra: ℚ = { x | x = ab , onde a e b ∊ ℤ, com b ≠ 0}. Em outras palavras, são todos os núme-
ros que podem ser escritos na forma de fração (naturais, inteiros, frações e as dízimas periódicas 
constantes).
É importante entender que a forma decimal de todo número racional ou é exata ou é não 
exata e periódica infinita, aparecendo aqui as dízimas periódicas que, de acordo com Dante (2008), 
são encaradas como um número que, quando escrito no sistema decimal, apresenta uma série 
infinita de algarismos decimais. Dessa forma, a partir de um certo número, se repetem em grupos 
de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período. Veja 
alguns exemplos:
0,7222222222....., 0,3333333...., 0,584444444....., 0,1526262626.....
EXEMPLO
A forma racional do número 7 é 71 =7. A forma racional do número –5 é –
5
1 = –5. 
A forma racional da dízima periódica constante 4,777 é 43
 9 
.
SAIBA MAIS!
É sempre importante lembrar que o número zero dividido por qualquer outro 
número que não seja zero é uma operação válida, como em 07 = 0. Já a divisão de 
zero por zero, ou seja, 00 , resulta em uma indeterminação, o que significa que possui 
infinitas respostas. Por outro lado, a divisão de um número qualquer (não zero) pelo 
número zero não é permitido: 30 não é válido. Entenda mais em: <http://www.mat.
ufrgs.br/~portosil/passa7d.html>.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 45 – 
Sobre este conjunto, vale ressaltar as seguintes propriedades:
 • as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são realizáveis, desde que o 
resultado também seja um número racional;
 • não possui um número que seja menor e nem maior do que todos os outros.
As operações de adição e multiplicação possuem as características do elemento neutro, 
associativa e comutativa citadas para o conjunto dos naturais.
Acompanhe alguns exemplos destas propriedades para os números racionais:
 • Elemento neutro para a adição e multiplicação: − −+ =7 7− −7 7− −0+ =0+ =7 707 73 3 , e também − + =− + =
15 15−15 15−1− + =1− + =15 15115 15
4 4 .
 • Associativa para a adição e multiplicação: ( ) − − − −+ − = + − = −)+ − = + − = −)     + − = + − = − + − = + − = − + − = + − = −   + − = + − = − 
 
 
 
 + − = + − = − + − = + − = −
 
+ − = + − = − + − = + − = −
5 5 17(5 5 17( )5 5 17)− −5 5 17− − 5 5 17 − − − −5 5 17− − − −  
 5 5 17 
 
 2 7 2 7(2 7 2 7(+ − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = −+ − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = −(+ − = + − = −(2 7 2 7(+ − = + − = −(  
 2 7 2 7  
 + − = + − = − + − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = − + − = + − = −
 + − = + − = −  
 + − = + − = − 2 7 2 7 + − = + − = −  
 + − = + − = − + − = + − = − + − = + − = −
 
+ − = + − = − + − = + − = −2 7 2 7+ − = + − = − + − = + − = −
 
+ − = + − = − + − = + − = −
5 5 172 7 2 75 5 17(5 5 17(2 7 2 7(5 5 17( 5 5 17 2 7 2 7 5 5 17   
 5 5 17 
 
 2 7 2 7  
 5 5 17 
 
 
3 3 3
(
3 3 3
( )
3 3 3
)
 3 3 3    3 3 3   
 , e também 
   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
   
   
   
   
   9 9   8 2 8 2 28,8   8 2 8 2 28,8   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   8 2 8 2 28,8   
   
   
   8 2 8 2 28,8      
   
   8 2 8 2 28,8   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −8 2 8 2 28,8− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −   
   
   8 2 8 2 28,8   
   
   
   9 9   8 2 8 2 28,8   9 9         
   9 9   
   
   8 2 8 2 28,8      
   9 9   
   
   
   5 5            5 5                  
8 2 8 2 28,8   
   
   5 5         
8 2 8 2 28,8   
   
    .
 • Comutativa para adição e multiplicação: − = − + =7 7 235 5− = − + =5 5− = − + =− = − + =5 5− = − + =− = − + =5 5− = − + =7 7 235 57 7 23
6 6 6
, e também  − ⋅ = ⋅ − = −− ⋅ = ⋅ − = −    − ⋅ = ⋅ − = − − ⋅ = ⋅ − = −− ⋅ = ⋅ − = − − ⋅ = ⋅ − = − 
 
 
 
13 13 26 13 13 26  
 
 13 13 26 
 
 4 4− ⋅ = ⋅ − = −4 4− ⋅ = ⋅ − = −13 13 264 413 13 26
6 6 3 6 6 3    6 6 3   
.
Os números racionais são utilizados em situações como a representação de 3
4
 de uma torta 
ou com qualquer tipo de produto onde é necessário se trabalhar com partes de um volume. 
Após estudarmos estes tipos de conjuntos numéricos, podemos fazer sua associação da 
seguinte forma:
ℕ
ℤ
ℚ
Figura 4 - Os conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Podemos dizer que há uma hierarquia entre os conjuntos numéricos, mas isso não 
signifi ca que o conjunto ℕ é menor que o conjunto ℝ , por exemplo. Na verdade, 
eles possuem o mesmo tamanho. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 46 – 
Ao estudarmos os conjuntos numéricos, é importante ressaltar que algumas características 
básicas sobre conjuntos, que são intuitivas ou até mesmo triviais, nem sempre são aplicáveis, como, 
por exemplo, a ideia de conjuntos maiores ou com mais elementos que outros. Este conceito não 
se aplica aqui, já que, de acordo com o trabalho de Georg Cantor, os conjuntos naturais, inteiros e 
racionais possuem o mesmo tamanho. Nesse sentido, seria mais correto imaginar que o conjunto 
dos números naturais está inserido no conjunto dos números inteiros. (FERNANDES, 2016)
Vale destacar, ainda, que nesta aula demos ênfase para as características mais importantes 
de cada conjunto, mas existem outras que podem ser estudadas. 
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender que ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} e ℚ = { x | x = 
a
b , onde a e b ∊ ℤ, com b ≠ 0}.
 • entender que as operações de adição, subtração e multiplicação só existem se o resul-
tado estiver no respectivo conjuntos numérico.
 • identificar que todos os conjuntos possuem o elemento neutro da adição (zero) e da 
multiplicação (um).
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 47 – 
Referências
BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blü-
cher, 1996.
IFRAH, Georges. Os números: A históriade uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1985.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 4 ed. São Paulo: Ática, 2008. 
UFGRS Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Calculando com o zero: dividindo por zero. 
Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7d.html>. Acesso em: 04 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo do Livro, 1996.
FERNANDES, Carlos. George Ferdinand Ludwig Phillip Cantor. Disponível em: <http://www.dec.
ufcg.edu.br/biografias/GeoreFer.html>. Acesso em: 11 ago. 2016.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 48 – 
Conjuntos numéricos: 
Números Irracionais e Reais
Vagner Luis Zanin 
Introdução
Nesta aula, estudaremos o conjunto dos números irracionais, que inclui o π e o ϕ, alguns dos 
mais importantes para a matemática, e o conjunto dos números reais, que é a união dos conjuntos 
numéricos naturais, inteiros, racionais e irracionais.
O conjunto dos irracionais é formado por números que não têm nenhuma semelhança 
com os conjuntos dos naturais, inteiros e racionais, pois não se originam de uma quantidade 
ou de uma medição. 
O conjunto dos números reais, por sua vez, é composto pela união dos conjuntos numéricos 
(naturais, inteiros, racionais e irracionais), possuindo, assim, diferentes tipos de números, cada 
qual com sua particularidade.
Vale ressaltar que o conjunto dos irracionais possui uma característica distinta dos demais: 
uma operação matemática realizada com números deste conjunto pode apresentar uma resposta 
que não pertence aos irracionais.
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de conjuntos numéricos irracionais e reais, identificando suas 
características principais.
1 O conjunto dos números irracionais
Neste conjunto, os números não podem ser representados através da divisão entre dois intei-
ros, ou seja, são números que possuem dízimas infinitas e não constantes, como podemos confe-
rir nos exemplos a seguir:
 • √ 2 = 1,414213562…
 • –√ 3= –1,732050807…
 • π= 3,141592653…
 • e= 2,718281828…
Neste ponto, vale destacar que as operações matemáticas podem ser realizadas neste con-
junto, mas não há a garantia de que o resultado também seja um número irracional.
 – 49 – 
TEMA 7
EXEMPLO
Considere a seguinte multiplicação entre números irracionais: √ 2 ∙ √ 3 = √ 6 , sendo 
que o valor para a raiz quadrada de seis é √ 6 = 2,4494897…. Ou seja, neste caso, o 
resultado √ 6 também é irracional. Agora acompanhe outro exemplo de multiplica-
ção entre dois números irracionais: – √ 2 ∙ √ 2 = – 2. O resultado é um número inteiro.
Para compreendermos melhor a ideia dos números irracionais, vamos pensar da seguinte 
maneira: inicialmente, temos os números naturais que, originalmente, eram utilizados para marcar 
quantidades. A partir da necessidade de trabalhar com números negativos, surgiram os inteiros. 
Em um segundo momento, houve a necessidade de trabalhar com partes menores em relação aos 
números inteiros, surgindo, assim, os racionais. Após algum tempo, o homem observou que existiam 
determinadas medidas que ainda não podiam ser mensuradas utilizando apenas como referência os 
números racionais e é a este conjunto de números incomensuráveis que damos o nome de irracionais. 
A descoberta dos números irracionais é atribuída ao filósofo e matemático grego Pitágoras, 
que nasceu na ilha de Sámos (580 - 497 a. C.). Ao estudar os triângulos retângulos, ele descobriu a 
relação que existe entre as medidas dos lados deste tipo de triângulo, que ficou conhecida como Teo-
rema de Pitágoras (a soma do quadrado das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da 
hipotenusa). Com isso, ao aplicar o teorema em um quadrado de lado 1, a medida da hipotenusa será 
√ 2. Ou seja, trata-se de uma distância que não pode ser medida utilizando os números racionais.
FIQUE ATENTO!
Incomensurável é tudo aquilo que não pode ser medido.
É comum utilizarmos números irracionais para realizarmos atividades como o cálculo de 
circunferências com o número π. Mas, como este número é uma dizima infinita e não-periódica, 
como podemos usá-lo? Para isso, devemos considerar valores aproximados. É importante res-
saltar, no entanto, que afirmações do tipo “o valor de π = 3,14” são equivocadas, pois o correto é 
afirmar que 3,14 é uma aproximação para o número π, ou seja, π ≃ 3,14.
FIQUE ATENTO!
Alguns autores utilizam o símbolo “I” para representar o conjunto dos números irra-
cionais. Porém, não existe oficialmente um símbolo que represente este conjunto.
Na prática, devemos sempre utilizar aproximações quando trabalhamos com os números 
irracionais. Apesar disso fazer com que, na prática, o resultado esteja sempre teoricamente errado, 
quanto maior forem os algarismos utilizados na aproximação, mais o valor obtido estará próximo 
do valor real, suprindo a necessidade de cada caso. Se, por exemplo, for necessário um resultado 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 50 – 
mais preciso, é conveniente utilizar sempre o maior número de casas decimais possíveis. Se, por 
outro lado, não houver a necessidade de tanta precisão, a utilização de poucas casas decimais terá o 
mesmo efeito do que se utilizarmos muitas casas decimais para a aproximação do número irracional.
EXEMPLO
Considere o cálculo do comprimento de uma circunferência com diferentes aproxi-
mações para o valor de π, admitindo o valor de raio igual a 5 cm:
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3 ∙ 5 → C = 30 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 → C = 31,4 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,1415∙5 → C = 31,415 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,14159265 ∙ 5 → C = 31,4159265 cm
Quanto mais utilizamos decimais para o valor de π, mais próximo do real fi ca a resposta para 
o comprimento desta circunferência.
Figura 1 – Número π
Fonte: graystudio/Shutterstock.com 
SAIBA MAIS!
O número π surgiu na geometria, mais especifi camente no estudo da circunferência. 
Acompanhe: Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) foi um inventor, engenheiro, 
matemático, astrônomo e fi lósofo que, em um de seus trabalhos chamado “Sobre a 
Esfera e o Cilindro”, determinou, entre outras deduções, um valor aproximado para o 
número π, calculando que π = 22 / 7. (FERNANDES, 2016). Mas o mais importante 
é a relação que Arquimedes demonstrou em seu trabalho, onde afi rma que, em 
qualquer circunferência, a divisão do comprimento pelo respectivo diâmetro sempre 
resultará no valor de π, ou seja, Cd = π. Mas espere! O número π é irracional e, por 
isso, não deveria ser resultado de uma fração! O que acontece então? Na verdade, 
obrigatoriamente o valor do comprimento ou do diâmetro é um número irracional, e 
sua divisão resulta também em um número irracional, que, no caso, é o número π.
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 51 – 
C = circunferência
d = diâmetro
C
d
= π
Figura 2- Número π na circunferência
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Agora que já entendemos como surgiu o conjunto dos números irracionais, no próximo tópico 
estudaremos as características dos números reais.
2 Conjunto dos números Reais
Este conjunto ( ) é formado pela reunião dos números naturais ( ), inteiros ( ), racionais 
( ) e irracionais. 
ℝ
Irracionais
ℕ
ℤ
ℚ
Figura 3 – Conjunto dos números reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais não estão contidos no con-
junto dos irracionais.
A união dos conjuntos numéricos para a formação do conjunto dos números reais permite 
um comportamento interessante quando colocamos todos dispostos em uma reta numerada. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 – 52 – 
... –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 4 – Reta dos números Reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Ao analisar a Figura 4, podemos verificar que esta reta é diferente dos demais conjuntos: com a 
inclusão dos irracionais, não há mais espaços vazios entre os números e, neste caso a região desta-
cada em cinza está toda preenchida, o que não ocorria com os outros conjuntos, indicando a presença 
de todos os números.