Sistemas+lineares_+introdução

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1
C A P Í T U L O
Sistemas de Equações 
Diferenciais Lineares
Vimos pela primeira vez sistemas de EDs no Volume 1, na Seção 2.9, e fomos 
capazes de resolver alguns desses sistemas nas Seções 3.11 e 4.6 do mesmo 
volume. Neste capítulo nos concentraremos somente em sistemas de EDs de 
primeira ordem lineares. Enquanto a maioria dos sistemas considerados pode 
ser resolvida utilizando eliminação (Volume 1, Seção 3.11) ou transformada de 
Laplace (Volume 1, Seção 4.6), desenvolveremos uma teoria geral para esses 
tipos de sistemas e, no caso de sistemas com coeficientes constantes, um 
método de solução que utiliza alguns conceitos básicos da álgebra matricial. 
Veremos que essa teoria geral e procedimento de solução são similares àqueles 
de EDs de ordem elevada lineares considerados na Seção 3.3-3.5 do Volume 1. 
O material é fundamental também para a análise de sistemas de equações de 
primeira ordem não lineares (Capítulo 2).
Descrição do capítulo
 1.1 Teoria preliminar
 1.2 Sistemas lineares homogêneos
1.2.1 Autovalores reais distintos
1.2.2 Autovalores repetidos
1.2.3 Autovalores complexos
 1.3 Solução por diagonalização
 1.4 Sistemas lineares não homogêneos
1.4.1 Coeficientes indeterminados
1.4.2 Variação de parâmetros
1.4.3 Diagonalização
 1.5 Exponencial de matriz
 Exercícios de revisão
24 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
 1.1 Teoria preliminar
Notação e propriedades matriciais são utilizadas extensivamente ao longo desse ca-
pítulo. Você deve rever o Capítulo 2 do Volume 2 caso não esteja familiarizado com 
esses conceitos.
Introdução � Relembre que na Seção 3.1 do Volume 1 ilustramos como resolver 
sistemas de n equações diferenciais lineares com n incógnitas da forma
 
(1)
onde Pij são polinômios de vários graus no operador diferencial D. Nesse capítulo, 
restringiremos nosso estudo a sistemas de EDs de primeira ordem que sejam casos 
especiais de sistemas que tenham a forma normal
 
(2)
Um sistema tal como (2) de n equações de primeira ordem é denominado sistema de 
primeira ordem.
Sistemas lineares � Quando cada uma das funções g1, g2,..., gn em (2) for linear 
nas variáveis dependentes x1, x2,..., xn, obtemos a forma normal de um sistema de 
primeira ordem de equações lineares:
 
(3)
Fazemos referência a um sistema da forma indicada em (3) simplesmente como 
um sistema linear. Consideramos que os coeficientes aij(t) bem como as funções fi(t) 
sejam contínuos em um intervalo comum I. Quando fi(t) � 0, i � 1, 2,..., n, o sistema 
linear é dito ser homogêneo; caso contrário, ele é não homogêneo.
Forma matricial de um sistema linear � Se X, A(t) e F(t) representarem as respec-
tivas matrizes
Observação para 
o estudante.
1.1 Teoria Preliminar 25
então o sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares (3) pode ser 
escrito como
ou simplesmente (4)
Se o sistema for homogêneo, sua forma matricial é então
 (5)
Exemplo 1 Sistemas escritos em notação matricial
(a) Se então a forma matricial do sistema homogêneo
(b) Se então a forma matricial do sistema não homogêneo
 
❑
Vetor solução
Um vetor solução em um intervalo é qualquer matriz coluna
cujas entradas são funções diferenciáveis que satisfazem o sistema (4) no intervalo.
DEFINIÇÃO 1.1
Um vetor solução de (4), obviamente, equivale a n equações escalares x1 � 
�1(t), x2 � �2(t),..., xn � �n(t), podendo ser interpretado geometricamente como 
um conjunto de equações paramétricas de uma curva espacial. Nos casos n � 2 
e n � 3, as equações x1 � �1(t), x2 � �2(t), e x1 � �1(t), x2 � �2(t), x3 � �3(t) 
representam curvas em duas e três dimensões, respectivamente. Trata-se de uma 
prática comum designar tal curva solução como trajetória. O plano é também 
chamado de plano de fase. Ilustraremos esses conceitos na seção a seguir, assim 
como no Capítulo 2.
26 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Exemplo 2 Verificação de soluções
Verifique que no intervalo (��,�)
são soluções de (6)
Solução � A partir de e , temos que
e ❑
Grande parte da teoria de sistemas de n equações diferenciais de primeira ordem 
lineares é similar àquela para equações diferenciais lineares de ordem n.
Problema de valor inicial � Seja t0 um ponto em um intervalo I e
onde �i, i � 1, 2,..., n são constantes dadas. Assim, o problema
 Resolver: 
 Sujeita a: (7)
é um problema de valor inicial no intervalo.
Existência de uma solução única
Considere as entradas das matrizes A(t) e F(t) como sendo funções contínuas em 
um intervalo comum I que contenha o ponto t0. Logo, existe uma única solução do 
problema de valor inicial (7) no intervalo.
TEOREMA 1.1
Sistemas homogêneos � Nas próximas definições e teoremas, estaremos interes-
sados somente em sistemas homogêneos. Sem definir, consideraremos sempre que aij 
e fi sejam funções contínuas de t em algum intervalo comum I.
Princípio da superposição � O resultado apresentado a seguir é um princípio da 
superposição para a solução de sistemas lineares.
Princípio da superposição
Considere X1, X2,..., Xk um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo 
(5) em um intervalo I. Assim, a combinação linear
onde os ci, i � 1, 2,..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução no 
intervalo.
TEOREMA 1.2
1.1 Teoria Preliminar 27
Decorre do Teorema 1.2 que um múltiplo constante de qualquer vetor solução de um 
sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares é também 
uma solução.
Exemplo 3 Utilizando o princípio da superposição
Você deve praticar verificando que os dois vetores
são soluções do sistema
 
(8)
Pelo princípio da superposição, a combinação linear
é outra solução do sistema. ❑
Dependência linear e independência linear � Estamos principalmente interessa-
dos em soluções linearmente independentes do sistema homogêneo (5).
Dependência/independência linear
Considere X1, X2,..., Xk como sendo um conjunto de vetores solução do sistema ho-
mogêneo (5) em um intervalo I. Dizemos que o conjunto é linearmente dependen-
te no intervalo se existirem constantes c1, c2,... ck, nem todas nulas, de modo que
para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente 
no intervalo, ele será linearmente independente.
DEFINIÇÃO 1.2
O caso no qual k � 2 deve estar claro; dois vetores solução X1 e X2 são linear-
mente dependentes se um for múltiplo constante do outro, e vice-versa. Para k � 2, 
um conjunto de vetores solução é linearmente dependente se pudermos expressar ao 
menos um vetor solução como uma combinação linear dos vetores restantes.
Wronskiano � Como na nossa consideração inicial da teoria de uma única equação 
diferencial ordinária, podemos introduzir o conceito do determinante Wronskiano 
como um teste para a independência linear. Enunciamos o seguinte teorema sem de-
monstração.
Critério para soluções 
linearmente independentes
Considere 
sendo n vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Logo, o 
conjunto de vetores solução será linearmente independente em I se e somente se 
o Wronskiano
TEOREMA 2.3
(continua)
28 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
 
(9)
para todo t no intervalo.
(continuação)
Pode ser mostrado que se X1, X2,..., Xn forem vetores solução de (5), então, para 
todo t em I, W(X1, X2,..., Xn) � 0 ou W(X1, X2,..., Xn) � 0. Assim, se pudermos de-
monstrar que W � 0 para algum t0 em I, então W � 0 para todo t, e consequentemente 
o conjunto de soluções é linearmente independente no intervalo.
Observe que, ao contrário da nossa definição de Wronskiano na Seção 3.1 do 
Volume 1, aqui a definição do determinante (9) não envolve diferenciação.
Exemplo 4 Soluções linearmente independentes
No Exemplo 2 vimos que e são soluções do sistema (6).
Claramente X1 e X2 são soluções linearmente independentes no intervalo (��,�), 
pois nenhum vetor é um múltiplo constante do outro. Além disso, temos
para todos os valores reais de t. ❑
Conjunto fundamental de soluções
Qualquer conjuntoX1, X2,..., Xn de n vetores solução linearmente independentes 
do sistema homogêneo (5) em um intervalo I é dito ser um conjunto fundamental 
de soluções no intervalo.
DEFINIÇÃO 1.3
Existência de um conjunto 
fundamental
Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo (5) em 
um intervalo I.
TEOREMA 1.4
Os próximos dois teoremas são os equivalentes em sistema linear dos Teoremas 
3.5 e 3.6 do Volume 1.
 Solução geral – Sistemas 
homogêneos
Considere X1, X2,..., Xn como sendo um conjunto fundamental de soluções do sis-
tema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a solução geral do sistema no 
intervalo é
onde os ci, i � 1, 2,..., n são constantes arbitrárias.
TEOREMA 1.5
Exemplo 5 Solução geral do sistema (6)
A partir do Exemplo 2, sabemos que são soluções 
linearmente independentes de (6) em (��,�). Portanto, X1 e X2 formam um con-
1.1 Teoria Preliminar 29
junto fundamental de soluções no intervalo. A solução geral do sistema no intervalo 
é então
 
(10) ❑
Exemplo 6 Solução geral do sistema (8)
Os vetores
são soluções do sistema (8) no Exemplo 3 (veja o Problema 16 nos Exercícios 1.1). 
Agora
para todos os valores reais de t. Concluímos que X1, X2 e X3 formam um conjunto 
fundamental de soluções em (��,�). Assim, a solução geral do sistema no intervalo 
é a combinação linear X � c1X1 � c2X2 � c3X3, isto é,
 
❑
Sistemas não homogêneos � Para sistemas não homogêneos, uma solução par-
ticular Xp em um intervalo I é qualquer vetor, livre de parâmetros arbitrários, cujas 
entradas são funções que satisfazem o sistema (4).
Solução geral – Sistemas não 
homogêneos
Considere Xp uma solução dada do sistema não homogêneo (4) em um intervalo 
I, e seja
a solução geral no mesmo intervalo do sistema homogêneo associado (5). Logo, a 
solução geral do sistema não homogêneo no intervalo é
A solução geral Xc do sistema homogêneo (5) é chamada de função comple-
mentar do sistema não homogêneo (4).
TEOREMA 1.6
Exemplo 7 Solução geral – sistema não homogêneo
O vetor é uma solução particular do sistema não homogêneo
 
(11)
30 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Nos Problemas 1-6, escreva o sistema linear na forma matricial.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 
 6. 
Nos Problemas 7-10, escreva o sistema indicado sem utilizar ma-
trizes.
 7. 
 8. 
 9. 
 10. 
Nos Problemas 11-16, verifique que o vetor X é uma solução do 
sistema indicado.
 11. 
 12. 
 13. 
 14. 
 15. 
 16. 
Nos Problemas 17-20, os vetores dados são soluções de um sis-
tema X¿ � AX. Determine se os vetores formam um conjunto 
fundamental em (��,�).
 17. 
 18. 
 19. 
no intervalo (��,�). (Verifique isso.) A função complementar de (11) no mesmo in-
tervalo, ou a solução geral de , foi vista em (10) do Exemplo 5 como 
sendo . Portanto, pelo Teorema 1.6,
é a solução geral de (11) em (��,�). ❑
EXERCÍCIOS 1.1 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 387.
1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 31
 20. 
Nos Problemas 21-24, verifique que o vetor Xp é uma solução 
particular do sistema dado.
 21. 
 22. 
 23. 
 24. 
 25. Prove que a solução geral de
no intervalo (��,�) é
 26. Prove que a solução geral de
no intervalo (��,�) é
 1.2 Sistemas lineares homogêneos
Introdução � No Exemplo 5 da Seção 1.1, vimos que a solução geral do sistema 
homogêneo 
Como ambos os vetores solução têm a forma i � 1,2, onde k1, k2, �1 e 
�2 são constantes, somos solicitados a dizer se podemos sempre obter uma solução 
da forma
 
(1)
para o sistema de primeira ordem linear homogêneo
 (2)
onde a matriz de coeficientes A é uma matriz de constantes n � n.
Autovalores e autovetores � Se (1) for um vetor solução do sistema, então X¿ � K�e�t 
de modo que (2) se escreve K��e�t � AK�e�t. Após cancelar �e�t e rearranjando, obte-
mos AK � �K ou AK � �K � 0. Como K � IK, a última equação é o mesmo que
 (3)
Trabalharemos 
somente com 
sistemas lineares de 
coeficientes constantes.
	Capítulo 1.
 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
	1.1 Teoria preliminar
	1.2 Sistemas lineares homogêneos