Aula 05 - Medidas de Posição Média (x)

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5ºAula
Medidas de Posição: 
Média (X)
Vocês, com certeza, já devem ter ouvido falar 
em Medidas de Posição. Não?! Claro que sim... Vocês 
conhecem média? 
Adianto que as medidas de posição mais importantes 
são as medidas de tendências centrais, que recebem 
tal denominação pelo fato de os dados observados 
tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores 
centrais. Então, vamos estudar um pouquinho mais?
Mas antes, vamos verificar quais são os objetivos 
e quais as seções que serão desenvolvidas ao longo 
desta aula. 
Bom trabalho!
Bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula vocês serão capazes de: 
• identificar tipos de média;
• calcular médias.
Métodos Quantitativos I 28
1 - Medidas de posição
2 - Média aritmética
Seções de estudo
1 – Medidas de posição
2 – Média Aritmética (x)
Média aritmética (x)
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores 
da variável pelo número deles:
x = ____
sendo:
• Σ simbologia que signifi ca somatório de valores;
• x a média aritmética;
• xi os valores da variável;
• n o número de valores.
As medidas de posição mais importantes são as medidas 
de tendências central, que recebem tal denominação pelo 
fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar 
em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência 
central, destacamos:
 
a) a média aritmética;
b) a mediana;
b) a moda.
Σxi
n
2.1 - Média Aritmética de Dados 
Não-Agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-
agrupados, determinamos a média aritmética simples.
Exemplos:
Sabendo-se que a quantidade de atendimento de clientes 
de um psicólogo nos meses de maio, junho, julho, agosto, 
setembro, outubro e novembro foi de 10, 14, 13, 15, 16, 
18 e 12 pacientes. Dados estes dados, calcule a média dos 
pacientes:
x = ____________________________ = ___ = 14
Logo:
x = 14 pacientes
Às vezes, a média pode ser um número diferente de 
todos os da série de dados que ela representa. É o que 
acontece quando temos os valores 2, 4, 8 e 9, para os quais 
a média é 5. Esse será o número representativo dessa série 
de valores, embora não esteja representado nos dados 
originais. Neste caso, costumamos dizer que a média não 
tem existência concreta.
Para uma melhor fixação do conteúdo, a seguir, 
apresentaremos mais alguns exemplos de cálculo de média: 
Percebam que para os dois exemplos a seguir, basta 
somar os valores e dividir pela quantidade somada:
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 
x = _______________________________ = 5,1
 
b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 
x = _______________________________ = 11
 
Atenção.
Observem que para todos os exemplos anteriores, 
vocês devem somar e dividir pela quantidade de números 
somada, tendo assim a média aritmética dos mesmos.
2.2 - Média Aritmética de Dados 
Agrupados
2.2.1 - Sem Intervalos de Classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de 
quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do 
sexo masculino:
10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12
7
3 + 5 + 2 + 6 + 5 + 9 + 5 + 2 + 8 + 6
10
20 + 9 + 7 + 2 + 12 + 7 + 20 + 15 + 7
9
N° DE MENINOS fi 
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
Ʃ = 34
Neste caso, como as frequências são números indicadores 
da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como 
fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média 
aritmética ponderada, dada pela fórmula:
 
x = _____
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é 
abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos xi fi:
Σxifi
Σfi
Temos, então:
Σxifi = 78 e Σfi = 34
Logo:
x = _____Σxifi
Σfi
98
7
xi fi xi fi 
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
0
6
20
36
16
Ʃ = 34 Ʃ = 78
29
Notas n0 alunos (fi )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
6
10
13
8
5
3
1
Total 50
Vejam que neste caso existe a necessidade de encontrar o 
valor de xi.fi para somente após isto fazer a somatória (296): 
Notas n0 alunos (fi ) xi fi 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
6
10
13
8
5
3
1
2
9
24
50
78
56
40
27
10
Total 50 296
Após encontrar o somatório de xi.fi, então dividiremos o 
valor de 296 pelo total de valores (50), como segue o cálculo:
x = _____
x = ___ = 5,9
 
2.2.2 - Com intervalos de classe
Vejam o exemplo a seguir:
Calculem a média da tabela apresentada:
Σxifi
Σfi
296
50
I ESTATURAS(cm) fi 
1
2
3
4
5
6
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
4
9
11
8
5
3
Total - 40
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Nesse caso, primeiramente, identificaremos o ponto 
médio (xi) dos intervalos de cada classe, conforme é 
apresentado na quarta coluna da tabela:
Em seguida multiplicamos a coluna de frequências (fi) 
com a coluna de pontos médios (xi), dessa forma obteremos 
xi.fi, conforme temos apresentados os valores na quinta 
coluna:
I ESTATURAS(cm) fi xi
1
2
3
4
5
6
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
Total - 40 -
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
I ESTATURAS(cm) fi xi xi fi 
1
2
3
4
5
6
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
608
1.404
1.760
1.312
840
516
Total - 40 - 6.440
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
x = ___ = 2,29
x = 2,3
isto é:
x = 2,3 meninos
• NOTA:
*Sendo x uma variável discreta, como interpretar o 
resultado obtido, 2 meninos e 3 décimos de meninos?
O valor médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o 
maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, 
porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica 
em relação ao número de meninos.
Vejam mais um exemplo:
Para a distribuição a seguir, calculem a média:
78
34
Somente após todas estas colunas preenchidas é que 
podemos iniciar os cálculos aplicando a fórmula de média, 
conforme é apresentado a seguir:
 x = _____
x = ______
x = 161 cm
Σxifi
Σfi
6.440
40
1 – Medidas de Posição
Nessa seção apresentamos os tipos de medidas de posição 
existentes e que estudamos: a) média aritmética; b) mediana; c) moda.
Retomando a aula
Parece que estamos indo bem. Então, para encerrar 
esta aula vamos recordar: 
Métodos Quantitativos I 30
Não esqueçam! Em caso de dúvidas, acessem as ferramentas 
“Fórum” ou “Quadro de Avisos”
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2002.
OLIVEIRA, João Urbano C. de. Estatística – uma nova 
abordagem. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2010.
TRIOLA, M. F. Introdução a estatística. 9. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2005.
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística – para 
engenharia e ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2009.
InfoEscola – Médias aritméticas. Disponível em: 
<http://www.infoescola.com/matematica/medias-
aritmetica-geometrica-harmonica/>.
Estatística básica. Disponível em: <http://www.
ebooksbrasil.org/adobeebook/estbasica.pdf>.
Média quadrática. <http://www.ricardo-vargas.com/
pt/podcasts/quadraticmean/>.
Vale a pena
Vale a pena ler
Vale a pena acessar
2 – Média Aritmética
Nessa seção estudamos especificamente sobre a média 
aritmética.
• Média Aritmética de Dados Não-Agrupados;
• Média Aritmética de Dados Agrupados;
• Média Sem Intervalos de Classe;
• Média Com Intervalos de Classe.
Minhas anotações