Estatística Descritiva - Medidas de Tendência Central

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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Tendência Central e separatrizes
– É quando se fala em média: x, moda (Mo) e mediana (Me).
– Tendência Central: é quando a média, a moda e a mediana tendem a ficar pelo meio.
– Separatrizes (devem estar em rol): quando se fala de quartis, decis e percentis.
– Quartis: quando se divide em ¼ (um quarto), transformando ¼ em porcentagem: 25% 
– Decis: vem de 10 (dez). Em porcentagem: 1/10 = 10%
– Percentis: a mesma coisa que o decis, mas em porcentagem.
Obs.: algumas bancas consideram a mediana como a separatriz, deve estar em rol e sepa-
ra 50% para um lado e 50% para outro lado.
• Dispersão:
– S2 = Variância
– S = desvio padrão
– CV = Coeficiente de variação 
• Assimetria e Curtose:
– Assimetria: é como a distribuição dos valores acontece na natureza.
– A distribuição de frequência possui três situações:
 - 1. Simétrica
 - 2. Assimétrica à direita (positivo +)
 - 3. Assimétrica à esquerda (negativo -) 
– Curtose: é o achatamento da curva.
– A curva normal é chamada de mesocúrtica.
– Quando a curva está mais para cima é chamada de leptocúrtica.
– Quando a curva está mais para baixo é chamada de platicúrtica.
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central
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SIMBOLOGIAS 
População 
(valores reais)
SÍMBOLOGIA
Amostra
(valores estimados)
M ← Média → x
σ2 ← Variância → S2
σ ← Desvio padrão → S
P ← Proporção → (Rho) p
DIRETO DO CONCURSO
1. (2018/CESPE/IPHAN/ANALISTA I/ÁREA 2) Define-se estatística descritiva como a etapa 
inicial da análise utilizada para descrever e resumir dados. Em relação às medidas des-
critivas, julgue o item a seguir.
São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de 
dispersão, as de assimetria e as de curtose.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E SEPARATRIZES
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor 
e o maior valor da série. É também um valor em torno do qual os elementos da série estão 
distribuídos e a posiciona em relação ao eixo horizontal.
Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer um número no eixo hori-
zontal em torno do qual a série se concentra. As principais medidas de tendência central são: 
média, mediana e moda.
• A tendência central busca estabelecer uma relação no eixo horizontal.
• Os três valores (média, mediana e modal) devem “andar” juntos. Não é possível um ter 
o valor 10 e outro 50, por exemplo.
• Média aritmética: 
– Por exemplo o conjunto x: {x1, x2, x3, x4,... xn}
Quando se calcula a média aritmética da amostra (x =) ou até de uma população 
(M), percebe-se o seguinte:
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central
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Média amostral:
Média Populacional:
ATENÇÃO
A média aritmética sofre influência dos valores extremos. 
• A média aritmética, por si, não representa a realidade.
ATENÇÃO
A média aritmética é boa para calcular o somatório. O somatório se calcula da seguinte 
maneira: (∑x = . n), ou seja, pegar a média e multiplicar pela quantidade de elementos.
ATENÇÃO
A média aritmética não é suficiente para tomar decisões.
GABARITO
1. C
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���������������������������������������������������������������������������������Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula 
preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha Alves de Araújo. 
A presente degravação tem como objetivo auxiliar no acompanhamento e na revisão do conteúdo 
ministrado na videoaula. Não recomendamos a substituição do estudo em vídeo pela leitura exclu-
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central II
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL II
Média aritmética:
– Por exemplo o conjunto x: {x1, x2, x3, x4,... xn}
Quando se calcula a média aritmética da amostra ( =) ou até de uma população (M), 
percebe-se o seguinte:
Média amostral:
Média Populacional:
ATENÇÃO
A média aritmética sofre influência dos valores extremos.
• A média aritmética, por si, não representa a realidade.
ATENÇÃO
A média aritmética é boa para calcular o somatório. O somatório se calcula da seguinte 
maneira: (∑x = . n), ou seja, pegar a média e multiplicar pela quantidade de elementos.
ATENÇÃO
A média aritmética não é suficiente para tomar decisões.
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central II
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DIRETO DO CONCURSO
1. (2012/CESPE/POLÍCIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA DA POLÍCIA FEDERAL) Com re-
lação a estatística, julgue os itens seguintes.
Ao contrário da mediana amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de 
valores extremos (ou valores atípicos ou outliers).
COMENTÁRIO
4º propriedade:
A média aritmética é atraída pelos valores extremos.
 Xi: 2, 4, 6, 8, 10 → x = 6
Se o primeiro valor xi for alterado para 0:
 Xi: 0, 4, 6, 8, 10 → x = 5,6
Se o último valor xi for alterado para 12:
 Xi: 2, 4, 6, 8, 12 → x = 6,4
Logo, a média aritmética é mais sensível aos valores atípicos ou outliers.
Mediana: 
É uma medida de posição, que divide igualmente os valores (50% para um lado e 50% 
para outro lado).
• Se o N for ímpar: o próprio elemento será a mediana.
• Se o N for par: deverá tirar a média aritmética dos valores centrais.
Exemplo:
 N = ímpar
 N = 7 elementos
 X: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
 Mediana = = 7+1/2 = 4º posição
• Sempre que se trabalha com mediana, os valores devem estar em rol (se estiverem 
misturados os números, deve-se colocar em ordem crescente).
No exemplo acima, o valor que está na 4º posição é o 4. Logo, a mediana é o 4. 
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central II
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 N = par
 N = 6 elementos
 Y: {2, 1, 5, 4, 3, 8} – Bruto
 Mediana = = 6/2 = 3º posição
• Colocar em rol (ordem crescente): {1, 2, 3, 4, 5, 8}
• Encontrar a mediana:
3º posição: 3.
4º Posição: 4.
Mediana = = 6/2 = 3º posição
3+4/2 = 3,5 Mediana. 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES, MODA E MEDIANA PARA VALORES DISCRETOS
É importante é perceber as vantagens e desvantagens da média aritmética.
A média aritmética é um somatório de números no conjunto de valores que serão dividi-
dos pela quantidade daquilo que foi somado.
Muitas vezes, a média aritmética não representa muito bem a realidade, pois ela sofre 
influência dos extremos.
• Média x Mediana
DIRETO DO CONCURSO
2. (FUNIVERSA/PCDF) A tabela abaixo mostra o resultado da renda per capta de duas ci-
dades, X e Y, medido em reais.
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central II
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X Y
MEDIANA 4.000 1.250
MÉDIA 3.750 4.750
Com bases nessas informações, pergunta-se:
1) qual das duas cidades tem o melhor padrão de vida? (Considere que todos os ou-
tros fatores são iguais) 
2) considerando que as duas cidades têm populações de mesmo tamanho e que a 
taxa de impostos é de 10% em ambas, qual a cidade tem maior arrecadação?
Assinale a alternativa que apresenta as repostas corretas às perguntas 1 e 2, respecti-
vamente.
a. Cidade X e cidade X
b.Cidade Y e cidade Y
c. Cidade X e cidade Y
d. Cidade Y e cidade X
e. Não há informações suficientes para responder às perguntas
COMENTÁRIO
• A média não traz a realidade dessa população.
• Se mudar os valores dos extremos, não mudará a mediana.
• A média é boa para o somatório.
• Quem possui a melhor arrecadação é quem possui uma média aritmética e quem 
possui o melhor padrão de vida é quem tem a mediana. 
Essa questão é interessante, pois mostra uma interpretação quanto à diferença da média 
e mediana, e suas implicações.
O melhor padrão de vida deve refletir a real situação da população, sendo assim preci-
samos de um valor que mostre uma regularidade, independentemente dos valores extre-
mos. O melhor parâmetro para isso é a mediana, pois divide a população em duas partes 
iguais (50%) para cada lado, logo a população X possui a renda per capta mediana de 
4.000, dando a entender que temos uma população com um valor alto bem distribuído 
no grupo quanto a renda. Partindo que as duas populações têm a mesma quantidade de 
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central II
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pessoas, a média da população X é inferior que a da população Y, significando a arreca-
dação total é menor, uma vez que para encontrar o somatório, basta multiplicarmos a mé-
dia pela quantidade de pessoas. Dessa forma a população Y possui maior arrecadação, 
uma vez que possui maior média aritmética.
1. Para a primeira pergunta: Qual das duas cidades tem o melhor padrão de vida? (Con-
sidere que todos os outros fatores são iguais) Temos como resposta a cidade X.
2. Considerando que as duas cidades têm populações de mesmo tamanho e que a taxa 
de impostos é de 10% em ambas, qual a cidade tem maior arrecadação? Temos como 
resposta a cidade Y.
Moda:
É a que possui a maior frequência.
• A moda nem sempre aparece, por isso não se deve depender dela.
• A distribuição poderá ser:
– Amodal – x: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A moda aqui não existe, porque todos os valores 
estão na mesma frequência.
– Modal – y: {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5. Nesse caso, a moda é o número 2 (que aparece 
mais vezes). 
– Bimodal – Z: {1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6}. Nesse caso, há duas: número 2 e 3 (que apare-
cem mais vezes).
– Multimodal – é aquele que possui vários números que aparecem mais vezes.
GABARITO
1. E
2. c
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central III
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL III
1. (2019/FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE - RS/AUDITOR FISCAL DA RE-
CEITA MUNICIPAL) Considere W um conjunto de vinte números com valores entre [2;10], 
cuja média aritmética é igual a 5 e cuja mediana é igual a 5. Se um vigésimo primeiro 
valor (x21) e um vigésimo-segundo valor (x22) forem adicionados a W, que alterações 
sofrerão a média aritmética e a mediana de W, uma vez que x21 é igual a 31 e x22 é 
igual a 1?
a. A média aritmética aumentará para 6, e a mediana aumentará.
b. A média aritmética aumentará para 7, e a mediana permanecerá constante.
c. A média aritmética aumentará para 8, e a mediana se reduzirá.
d. A média aritmética aumentará para 6, e a mediana permanecerá constante.
e. A média aritmética aumentará para 7, e a mediana aumentará.
Obs.: [2;10] = significa que há um intervalo de valores.
Quando o colchete está virado para o número, como em [2;10], quer dizer que o número 
faz parte do intervalo.
Quando o colchete está virado para fora, o número não pertence ao conjunto, apenas 
limita. Em [2;10], por exemplo, conta a partir de 3.
RESOLUÇÃO
Conjunto W:
 = 5
Md = 5 
X21 = 31
X22 = 1
n = [2;10].
Vai de 2 a 10. No intervalor de 2 a 10, há 20 números. Alguns números não são inteiros, 
DIRETO DO CONCURSO
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central III
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pois de 2 a 10 são 9 números.
Quando adicionar o valor 1, a contagem começará a partir do 1. Quando adicionar o valor 
31, a contagem irá até o 31.
A média aritmética sofre influência dos extremos. A mediana não sofre.
Nova mediana:
Md = 5 
A média é boa para o somatório.
Somatório do conjunto W antes de incluir o 1 e o 31:
Σw = N . X
Σw = 20 . 5
Σw = 100
Nova média:
Média aritmética são todos os valores somados divididos pela quantidade de números 
somados. 100 é a soma dos 20 números anteriores. Agora, com o 1 e o 31, serão 22 
números.
 = = = 6 
2. (2019/FCC/SEFAZ-BA/AUDITOR FISCAL/ADMINISTRAÇÃO, FINANÇAS E CONTRO-
LE INTERNO/PROVA I) Os números de autos de infração lavrados pelos agentes de um 
setor de um órgão público, durante 10 meses, foram registrados mensalmente conforme 
a tabela abaixo.
Verifica-se que, nesse período, o valor da soma da média aritmética (número de autos 
por mês) com a mediana é igual ao valor da moda multiplicado por
a. 2, 42
b. 2, 32
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c. 2, 12
d. 2, 52
e. 2, 22
RESOLUÇÃO
Soma do valor da média aritmética + a mediana é igual ao valor da moda multiplicado 
por “a”:
 + Md = Mo . a
é a soma de todos os meses dividido pelo número de meses (N):
 = = 56 
Para encontrar o valor da mediana, é preciso colocar os valores em Rol:
Rol: (4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7)
n = é par. Quando a quantidade de elementos é par, calcula-se a mediana:
Md = 
Md = = 
Md = = 5,5
Elemento central = mediana.
Moda é número que aparece mais:
Mo = 5
+ Md = Mo . a
5,6 + 5,5 = 5 . a
11,1 = 5 . a
a = = 2,22 
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3. (2019/FCC/AFAP/ANALISTA DE FOMENTO/ECONOMISTA) Durante o ano de 2017, foi 
registrado mensalmente o número de projetos especiais analisados em um órgão públi-
co. Apurou-se que a sequência dos números registrados de projetos de janeiro a dezem-
bro foram, respectivamente, {6, 6, 15, 12, 12, 15, 12, 9, 12, 9, 9, 6}, perfazendo então um 
total de 123 projetos analisados no ano. Com relação a esse período, obteve-se a média 
aritmética (Me), em número de projetos analisados por mês, a mediana (Md) e a moda 
correspondentes. Verifica-se que, nesse caso, a moda é igual a
a. (3 Md - 2 Me).
b. (2 Me + Md - 19).
c. (2 Me - Md + 5).
d. (2 Me + Md - 22).
e. (3 Md - 2 Me - 8).
RESOLUÇÃO
São valores brutos. Os números são quantitativos discretos.
Não precisa colocar os números em Rol para encontrar a moda, pois a moda é aquilo que 
possui maior frequência.
Mo = 12 
Para encontrar a mediana é preciso colocar os valores brutos em Rol:
Md: (6, 6, 6, 9, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 15, 15)
Há uma quantidade par, portanto:
Md = = 
Md = = = 10,5
Média aritmética:
Me = = = 10,25
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central III
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a) (3 Md - 2 Me)
 3(10,5) - 2(10,25)
 31,5 - 20,5 = 11
b) (2 Me + Md - 19)2(10,25) + 10,5 - 19 =
 20,5 + 10,5 - 19 = 
 31 - 19 = 12
GABARITO
 1. d
 2. e
 3. b
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central IV
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL IV
1. (2018/CESPE/IPHAN/ANALISTA I/ÁREA 2) Define-se estatística descritiva como a etapa 
inicial da análise utilizada para descrever e resumir dados. Em relação às medidas des-
critivas, julgue o item a seguir.
As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em 
torno do qual se concentram as médias dos dados.
Medidas de tendência central: média aritmética (médias), moda e as medianas.
Obs.: � dependendo do tipo de variável (qualitativa), a moda pode ser considerada a média 
da distribuição, pois muitas vezes não é possível fazer contas.
TREINAMENTO 
Obs.: � média aritmética simples significa que todos os valores têm o mesmo peso.
1. (QUESTÃO INÉDITA/2020) A média aritmética de 80 números é igual a 40,5. Adicionan-
do-se a esse conjunto de valores o número 243, qual será a nova média aritmética?
A média aritmética é boa para o somatório, então:
 Σx = n . x ̅
 Σx = 80 . 40,5 = 3240 
DIRETO DO CONCURSO
5m
DIRETO DO CONCURSO
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central IV
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Nova média adicionando o número 243:
2. (QUESTÃO INÉDITA/2020) A média aritmética de uma lista formada por 55 números é 
igual a 28. Adicionando-se dois números a essa relação, a média aumenta em 2 unida-
des. Determine-os, sabendo que um deles é o triplo do outro.
Sabemos que:
 n = 55
 X – ̅ = 28
A questão quer descobrir {X, 3X}.
Somatório antes dos dois números:
 Σx = n . x ̅
 Σx = 55 . 28 = 1540
Nova média: 
 (X¹) ̅ = 28 + 2 = 30
Antes o somatório era 1540. Foram colocados dois números (X e 3X).
 
 1540 + 4X = 1710
 4X = 1710 - 1540
 4X = 170
 X = 140 / 4 = 42,5
 3X = 127 . 5
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3. (QUESTÃO INÉDITA/2020) A média aritmética de 45 números é igual a 6. Ao acrescentar 
o número x a esses valores, a média aumenta em 50%. 
 n = 45
 X ̅ = 6
 +50% = 6 . 1,5 = 9
 X =?
Somatório antes de acrescentar o número X:
 Σx = n . x ̅
 Σx = 45 . 6 = 270
Nova média:
 (X¹) ̅ = 9
Antes o somatório era 270 e adicionou um número (X):
 
 270 + X = 414 
 X = 414 - 270
 X = 144
2. (2018/CESPE/ABIN/OFICIAL TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/ÁREA 4) Com base nos da-
dos da tabela anterior, extraídos do Relatório das Notas Estatísticas do Censo Escolar de 
2017, do INEP, julgue o item a seguir.
A média do quantitativo de docentes do ensino médio entre os anos de 2013 e 2017 foi 
superior à média do quantitativo de docentes da educação infantil para o mesmo período.
(EM) ̅ > (EI) ̅? 
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A média ajuda a fazer o somatório. Quanto maior o somatório, maior será a média.
Σx = n . x ̅ 
3. (2019/VUNESP/SEMAE DE PIRACICABA – SP/MÉDICO DO TRABALHO) As medidas 
de tendência central, utilizando variáveis quantitativas, dão o valor do ponto em torno do 
qual os dados se distribuem. Contudo, para o estudo de variáveis qualitativas, utiliza-se, 
como medida de tendência central, a
a. média aritmética.
b. moda e a média aritmética.
c. mediana e a média aritmética.
d. moda.
e. mediana.
COMENTÁRIO
Variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. Fazem-se contas.
Variáveis qualitativas podem ser nominais ou ordinais. Não se pode fazer conta.
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2. E
3. d
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central V
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL V
1. 	 (CESGRANRIO)	Analise	as	afirmações	a	seguir.
Numa	distribuição	simétrica,	a	média	e	a	mediana	coincidem.
PORQUE
Numa	distribuição	simétrica	a	moda	nem	sempre	existe.
Quanto	às	afirmações	acima,	pode-se	concluir	que
a. as	duas	asserções	são	verdadeiras	e	a	segunda	é	uma	justificativa	correta	da	primeira.
b. as	duas	asserções	são	verdadeiras	e	a	segunda	não	é	uma	 justificativa	correta	da	
primeira.
c. a	primeira	asserção	é	uma	proposição	verdadeira	e	a	segunda,	uma	proposição	falsa.
d. a	primeira	asserção	é	uma	proposição	falsa	e	a	segunda,	uma	proposição	verdadeira.
e. tanto	a	primeira	como	a	segunda	são	proposições	falsas.
Moda	=	Mediana	=	Média	aritmética
Existem	distribuições	amodais,	ou	seja,	em	que	não	há	moda.	No	entanto,	mesmo	que	
não	haja	moda,	ainda	assim	a	distribuição	pode	ser	simétrica.	
A	seguir,	tem-se	um	exemplo	disso:
x:	{2,2,2}
DIRETO DO CONCURSO
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central V
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x	(média)	=	 2 2 2
3
+ +
Med	=	2
Mo	=	2
Ocorre	uma	distribuição	simétrica.
Outro	exemplo:
y:	{1,2,3}
1 2 3
2
3
x
+ +
= =
Med	=	2
Moda	=	Amodal
Essa	distribuição,	embora	amodal,	também	é	simétrica.
MÉDIA PONDERADA PARA VALORES DISCRETOS
A	média	aritmética	simples	está	presente	em	diversas	situações	cotidianas,	é	uma	medida	
de	posição	de	fácil	uso.	Na	média	simples	todos	os	valores	possuem	um	mesmo	peso,	situ-
ação	diferente	na	média	ponderada,	que	para	cada	valor	deve-se	levar	em	conta	o	valor	do	
seu	peso.	A	melhor	forma	de	apresentarmos	o	cálculo	da	média	ponderada	é	por	meio	de	
um	exemplo.
Observe:	uma	empresa	é	constituída	de	40	funcionários,	seus	salários	estão	representa-
dos	pela	tabela	a	seguir.
Número de 
funcionários
Salário (R$)
20 620
15 1050
5 1520
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central V
ESTATÍSTICA
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ES
O	número	de	funcionários	é	uma	variável	quantitativa	discreta,	pois	os	números	de	fun-
cionários	são	inteiros.	
40fi =∑
Os	salários	(xi)	são	variáveis	quantitativas	contínuas.
Nesse	exemplo,	qual	seria	o	salário	médio	dos	funcionários	dessa	empresa?
(620.20) (1050.15) 1520.5
20 15 5
s
+ +
=
+ +
12400 15750 7600 35750
40 40
s
+ +
= =
s =	893,75
A	média	ponderada	é	uma	média	aritmética	simples.	Seria	possível	fazer	uma	tabela	com	
40	linhas,	com	620	aparecendo	20	vezes,	1050	aparecendo	15	vezes	e	1520,	5	vezes.	Basta-
ria	somar	todos	esses	valores	e	dividir	por	40.	Nesse	caso,	haveria	média	aritmética	simples.	
O	que	muda	entre	a	média	simples	e	a	ponderada	é	que,	na	simples,	todos	os	valores	pos-
suem	o	mesmopeso,	enquanto	na	média	ponderada	existe	um	peso	para	facilitar	o	cálculo.
2. 	 (UNCISAL)	Em	cada	bimestre,	uma	faculdade	exige	a	realização	de	quatro	tipos	de	ava-
liação,	calculando	a	nota	bimestral	pela	média	ponderada	dessas	avaliações.	Se	a	tabela	
apresenta	as	notas	obtidas	por	uma	aluna	nos	quatro	tipos	de	avaliações	realizadas	e	os	
pesos	dessas	avaliações,	sua	nota	bimestral	foi	aproximadamente	igual	a
Avaliação Nota Peso
Prova	escrita 6,00 4
Avaliação	continuada 7,00 4
Seminário 8,00 2
Trabalho	em	grupo 9,00 2
10m
15m
DIRETO DO CONCURSO
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central V
ESTATÍSTICA
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a. 8,6.
b. 8,0.
c. 7,5.
d. 7,2.
e. 6,8.
(6.4) (7.4) (8.2) (9.2)
4 4 2 2
24 28 16 18
12
86
7,16
12
xp
xp
xp
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
= =
3. 	 (2018/CESPE/BNB/ANALISTA	BANCÁRIO)	No	item	a	seguir	é	apresentada	uma	situa-
ção	hipotética,	seguida	de	uma	assertiva	a	ser	julgada.	
Em	uma	faculdade,	para	avaliar	o	aprendizado	dos	alunos	em	determinada	disciplina,	o	
professor	aplica	as	provas	A,	B	e	C	e	a	nota	final	do	aluno	é	a	média	ponderada	das	notas	
obtidas	em	cada	prova.	Na	prova	A,	o	peso	é	1;	na	prova	B,	o	peso	é	10%	maior	que	o	
peso	na	prova	A;	na	prova	C,	o	peso	é	20%	maior	que	o	peso	na	prova	B.	Nesse	caso,	se	
PA,	PB	e	PC	forem	as	notas	obtidas	por	um	aluno	nas	provas	A,	B	e	C,	respectivamente,	
então	a	nota	final	desse	aluno	é	expressa	por	 1,2 1,32
3,52
A B CP P P+ + .
Aumentar	10	por	cento	é	multiplicar	por	1,1.
Aumentar	20	por	cento	é	multiplicar	por	1,2.
Logo,	deve-se	multiplicar	1,1	por	1,2:	1,1	x	1,2	=	1,32.
20m
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ESTATÍSTICA
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Provas Pesos Notas
A 1 PA
B 1,1 PB
C 1,32 PC
(1. ) (1,1 ) (1,32 ) 1,1 1,32
1 1,1 1,32 3,42
PA PB PC PA PB PC
xp
+ + + +
= =
+ +
4. (UNIUBE/MG)	Um	aluno	deve	atingir	70	pontos	para	ser	aprovado.	Esse	total	de	pontos	é	
resultado	de	uma	média	ponderada	de	3	notas,	N1,	N2	e	N3,	cujos	pesos	são,	respectiva-
mente,	1,	2,	2.	As	suas	notas,	N1	e	N2,	são,	respectivamente,	em	um	total	de	100	pontos	
distribuídos	em	cada	uma,	50	e	65.	Para	ser	aprovado,	a	sua	nota	N3	(em	100	pontos	
distribuídos)	deverá	ser:
a. Maior	ou	igual	a	70	pontos.
b. Maior	que	70	pontos.
c. Maior	que	85	pontos.
d. Maior	ou	igual	a	85	pontos.
e. Maior	ou	igual	a	80	pontos.
Para	que	o	aluno	seja	aprovado,	a	média	ponderada	deve	ser	maior	ou	igual	a	70.	
( 1.1) ( 2.2) ( 3.2)
1 2 2
N N N
xp
+ +
≥
+ +
(50.1) (65.2) ( 3.2)
70
5
50 130 2 3 70
5
180 2 3 70
2 3 170
170
3
2
3 85
N
N
N
N
N
N
+ +
≥
+ + ≥
+ ≥
≥
≥
≥
25m
30m
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ESTATÍSTICA
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ES
(50.1) (65.2) ( 3.2)
70
5
50 130 2 3 70
5
180 2 3 70
2 3 170
170
3
2
3 85
N
N
N
N
N
N
+ +
≥
+ + ≥
+ ≥
≥
≥
≥
GABARITO
1. b
2. d
3. E
4. d
���������������������������������������������������������������������������������Este	material	foi	elaborado	pela	equipe	pedagógica	do	Gran	Cursos	Online,	de	acordo	com	a	aula	
preparada	e	ministrada	pelo	professor	Josimar	Padilha	Alves	de	Araújo. 
A	presente	degravação	tem	como	objetivo	auxiliar	no	acompanhamento	e	na	revisão	do	conteúdo	
ministrado	na	videoaula.	Não	recomendamos	a	substituição	do	estudo	em	vídeo	pela	leitura	exclu-
siva	deste	material.
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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central VI
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL VI
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
No dia a dia, é mais comum trabalhar com valores contínuos que com valores discretos.
Números discretos também podem ser agrupados. O fato de haver um intervalo de classe 
não significa que o valor seja contínuo. Quando há muitos números inteiros, agrupá-los pode 
facilitar o trabalho.
1ª Propriedade
A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula).
∑di = ∑ (xi - x) = 0 em que: di são as distâncias ou afastamentos da média.
Exemplo:
 
Obs.: desvio é o afastamento em relação à média.
2ª Propriedade
Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a 
média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante.
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Exemplo:
Nota-se que a média passou de 2 para 5, pois houve soma de +3(c), que é a constante.
3ª Propriedade
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por uma constante (c), 
a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante.
Exemplo:
Os valores foram multiplicados pela constante 3. 
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Antes, a média era 2. A nova média passou para 6. Logo, percebe-se que ela também foi 
multiplicada por 3.
4ª Propriedade
A média aritmética é atraída pelos valores extremos.
Considere os valores originais
xi: 2, 4, 6, 8, 10 → x = 6
Se o primeiro valor xi for alterado para 0:
xi: 0, 4, 6, 8, 10 → x = 5,6
Se o último valor xi for alterado para 12:
xi: 2, 4, 6, 8, 12 → x = 6,4
1. (CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir.
A média aritmética nem sempre é a melhor medida de tendência central. PORQUE
A média aritmética é influenciada por valores extremos do conjunto de dados.
Considerando-se as relações entre as afirmações, conclui-se que
a. as duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
b. as duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da 
primeira. 
c. a primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda, uma proposição falsa.
d. a primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda, uma proposição verdadeira.
e. tanto a primeira como a segunda são proposições falsas.
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MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES, MODA E MEDIANA PARA VALORES 
CONTÍNUOS (AGRUPADOS)
Média e Mediana em Dados Agrupados
Exemplo 1: considerando a tabela com a altura de integrantes de um time de futebol, 
organizada por intervalos de classe:
Altura (m) fi
1,5 ├ 1,6 3
1,6├ 1,7 4
1,7 ├ 1,8 5
1,8 ├ 1,9 5
1,9├ 2,0 3
∑fi = 20
Qual seria a altura média desse time de futebol americano?
Altura é uma variável quantitativa contínua.
Considerando a primeira linha (1,5 até 1,6), vemos que 1,5 pertence à primeira classe, 
mas 1,6 se repete, e pertence também à classe da linha de baixo.
Obs.: fi é a frequência absoluta. 
O cálculo deve ser feito levando em conta o ponto médio de cada classe. Para saber o 
ponto médio da classe, é preciso somar o limite inferior com o limite superior e, em seguida, 
tirar a média aritmética.
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ESTATÍSTICA
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Altura (m) fi pm
1,5 ├ 1,6 3 1,55
1,6├ 1,7 4 1,65
1,7 ├ 1,8 5 1,75
1,8 ├ 1,9 5 1,85
1,9├ 2,0 3 1,95
∑fi = 20
A média da altura ( ) será a multiplicação de fi por pm sobre o somatório de fi (∑fi). 
Portanto, para fazer cálculos com intervalos ou classes, é necessário obter o ponto médio 
da classe, que é o limiteinferior mais o limite superior, sobre 2. Depois, basta multiplicar fi 
pelo ponto médio (pm), e dividi-los pela soma de fi (∑fi).
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GABARITO
1. a
���������������������������������������������������������������������������������Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula 
preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha Alves de Araújo. 
A presente degravação tem como objetivo auxiliar no acompanhamento e na revisão do conteúdo 
ministrado na videoaula. Não recomendamos a substituição do estudo em vídeo pela leitura exclu-
siva deste material.
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