apostila matematica

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CENTRO MINEIRO DO ENSINO SUPERIOR – CEMES 
 
Curso: ADMINISTRAÇÃO - 1º PERÍODO 
 
Professora: FRANCESCA CAMBRAIA MIRANDA GIBRAM 
 
 
NOME: ____________________________________________________________ 
 
Matemática 
 
 
 
2 
 
 
 
Equação é uma sentença matemática representada por uma igualdade na qual aparece uma ou mais letras 
denominadas incógnitas. O sinal “=” separa a equação em dois membros: 
1º membro - à esquerda do sinal de igual 
 
2º membro - à direita do sinal de igual 
 
O grau de uma equação é indicado pela maior potência da incógnita. 
 
Exemplos: 
 
x + 3 = 10 é uma equação de 1º grau, 
 
x
2
 + 3x = 7 é uma equação de 2º grau. 
 
Equações de 1º grau 
Equação de 1º grau, na incógnita x, é toda igualdade do tipo: ax + b = 0, em que a e b são números reais e a é não nulo. 
Observe que a equação é de 1º grau pois a incógnita x tem maior expoente igual a 1. 
 
Chama-se raiz ou solução de uma equação a um valor real que, substituído no lugar da incógnita, transforma a equação 
numa igualdade numérica. O conjunto formado pelas raízes de uma equação chama-se conjunto solução da equação e 
será indicado por S. Por exemplo, a solução ou raiz da equação 3x – 12 = 0 é x = 4 (pois 3 . 4 – 12 = 0) e seu conjunto 
solução é então S = {4}. 
 
Para a resolução das equações de 1º grau, proceda da seguinte maneira: 
• Isole os termos que contêm x de um lado da igualdade e os demais no outro lado; termos que estão somando ou 
subtraindo passam para o outro lado com a operação contrária da anterior. 
• Reduza todos os termos com x a um só; 
• Termos que estão multiplicando ou dividindo a incógnita x passam para o outro lado com a operação contrária 
da anterior. 
Exemplos: 
1) 4x + 1 = - 19 
 
4x = -19-1 
 
4x = -20 
 
x = -20/4 
 
x = -5 
 
2) 5 = 2x + 3 
 
-2x = 3-5 
 
-2x = -2 
 
x = -2/-2 
 
x = 1 
 
3) 5x – 9 = 3x + 5 
 
5x-3x = 5+9 
 
2x = 14 
 
x = 14/2 
 
x = 7 
 
4) 3 + x = 4 + 5x 
 
x-5x = 4-3 
 
-4x = 1 
 
x = 1/-4 
 
x = -0,25 
 
5) 5x + (4 – x) = 9 – (x – 6) 
 
5x+4-x = 9-x+6 
 
5x-x+x = 9+6-4 
 
5x = 11 
 
x = 11/5 
 
x = 2,2 
6) y – 4(3y – 6) = y – 8 
 
y-12y+24 = y-8 
 
y-12y-y = -8-24 
 
-12y = -32 
 
y = -32/-12 
 
y = 2,6666 
EQUAÇÕES DO 1º E DO 2º GRAU 
 
3 
 
Exercícios: 
1) Resolva as equações. 
 
a) x + 9 = 12 
 
b) q – 4 = 7 
 
c) 3y = 15 
 
d) 2x + 3 = 5 
 
e) – 2,5 = b – 0,25 
 
f) – 13n = – 65 
 
g) 2(x + 3) = 5 
 
h) 5(y – 7) = 20 
 
i) 48 – 2(m + 4) = 12 
 
j) 20x – 4 = 5x 
 
k) 5(1 – x) – 2x + 1 = – 3(2+x) 
 
l) 4x = –8x + 36 
 
m) 4(x – 3) = 2x – 5 
 
 
 
 
2. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = 50x – 2000, em que x é a quantidade mensal vendida de seu produto. 
Qual a quantidade que deve ser vendida mensalmente para que o lucro mensal seja igual a $ 5.000,00? 
3. O custo mensal de produção de x camisas de uma fábrica é C = 5.000 + 15x. Qual a quantidade mensal produzida 
sabendo-se que o custo mensal é de $ 8.000,00? 
4. O saldo de uma aplicação financeira após t meses de aplicação é dado por: S = 2000 + 40t. Após quanto tempo da 
aplicação o saldo dobra? 
Respostas: 2) 140 unidades, 3) 200 camisas, 3) 50 meses 
Equações do 2º grau 
Chama-se equação de 2º grau na variável x a toda igualdade que pode ser reduzida a forma ax² + bx + c = 0 com a, b e 
c são números reais e a é não nulo. 
 
A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2. Quando b e c não são zeros 
(a é sempre não nulo), a equação é chamada completa. Se b = 0 ou c = 0, a equação diz-se incompleta. 
 
Podemos observar que a é o valor que multiplica a variável x
2
, b multiplica x e c é o que chamamos de termo 
independente. 
 
Todos os casos podem ser resolvidos utilizando a formula de Baskara, onde teremos: 
 
Fórmula de Baskara: , onde ?= b² - 4ac 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
a) 3 
 
b) 11 
 
c) 5 
 
d) 1 
 
e) – 2,25 
 
f) 5 
 
g) – ½ 
 
h) 11 
 
i) 14 
 
j) 4/15 
 
k) 3 
 
l) 3 
 
m) 3,5 
 
 
 
 
4 
 
Exemplos: 
1º equação completa: 
 
2ºequação incompleta: 
 
3º equação incompleta: 
 
3x² + 4x – 5 = 0 
 
a = 3, b = 4 e c = -5 
 
? = b² - 4ac 
 
? = 4
2
 - 4.3.(-5) 
 
? = 16+60 
 
? = 76 
 
 
 
 
 
x = 0,79 e -2,12 
 
x² + 5x = 0 
 
a = 1 , b = 5 e c= 0 
 
? = b² - 4ac 
 
? = 5
2
-4.1.0 
 
? = 25 
 
 
 
 
 
x = 0 e –5 
 
x² - 4 = 0 
 
a=1, b=0 e c= -4 
 
? = b² - 4ac 
 
? = 0
2
 -4.1.(-4) 
 
?= 0+16 
 
?=16 
 
 
 
 
 
x= 2 e -2 
 
Exercícios: 
1. Resolva as equações: 
 
a) x² - 2x = 0 
 
b) 1 – x² = 0 
 
c) 7x² + 13x – 2 = 0 
 
d) 3x² - 7x + 2 = 0 
 
e) 2x² + x = 0 
 
f) 3x² - 4x + 1 = 0 
 
g) x
2 
+ x – 6 = 0 
 
h) -3x² + 6x = 0 
 
i) x – x² = 0 
 
j) 2x² + 3x + 1 = 0 
 
k) x
2
 = 0 
 
l) -5x² = 0 
 
2) O lucro devido à comercialização de certo produto é calculado pela equação 
 
L = q
2
 + 8q – 10, em que q é a quantidade comercializada. Determinar o menor valor de q para o qual o lucro seja de R$ 
10,00. 
Respostas: 
1) 
 
a) 2 e 0 
 
b) 1 e -1 
 
c) -2 e 1/7 
 
d) 2 e 1/3 
 
 
e) - 0,5 e 0 
 
f) 1 e 1/3 
 
g) 2 e -3 
 
h) 0 e 2 
 
i) 0 e 1 
 
j) -1 e -0,5 
 
k) 0 
 
l) 0 
 
 
2) q = 2 
 
5 
 
Exercícios Extras 
Equação do 1º. Grau 
1 - Resolva as equações abaixo: 
 
 
 
Respostas 
1 - a) x = – 10 
 
b) x = 7/4 
 
c) x = – 3 
 
d) x = 8/15 
 
e) x = 12 
 
f) x = 12 
 
g) x = – 3 
 
h) x = 9 
 
i) x = 4 
 
j) sem solução 
 
k) solução real 
 
l) sem solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
Equação do 2º. Grau 
1 - Resolva as equações abaixo: 
 
 
Respostas 
1 – a) x = +3 ou -3 
 
b) x = +2 ou -2 
 
c) x = 0 ou x = – 7 
 
d) x = 4 ou x = 0 
 
e) x = +5 ou -5 
 
f) x = –2 ou x = –3 
 
g) x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) x = 8 
 
i) x = 2 ou x = 3 
 
j) sem solução 
 
k) x = 8 ou x=5/2 
 
l) sem solução 
 
m) x = 1 ou x = 1/2 
 
n) x = 2 
 
 
7 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
 Quando contamos os elementos de um conjunto, o resultado é um número natural. O conjunto dos números 
naturais é representado pela letra ℕ: 
ℕ = {0,1,2,3,...} 
Representamos numa reta numerada os números naturais: 
 
 0 1 2 3 4 5 6 x 
Retirando do conjunto  o número zero, obtemos o conjunto dos números naturais não-nulos: 
* =  - {0} = {1,2,3,4,5,...} = {x∈/x>0} 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
A necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro é menor que o 
segundo, deu origem aos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é representado pela letra . 
  = {...,-3, -2,-1,0,1,2,3,...} 
 
Do conjunto dos números inteiros merecem destaque os seguintes subconjuntos: 
 
a) conjunto dos números inteiros não-nulos: 
* =  - {0} = {...,-3,-2,,-1,1,2,3,..} = 
 { x∈/x≠0} 
 
 
b) conjunto dos números inteiros não-positivos: 
- = {...,-3,-2,-1,0} = {x ∈/x≤0} 
 
 
c) conjunto dos números inteiros negativos: 
*- = {...,-3,-2,-1} ={x∈/x<0} 
 
d) conjunto dos números inteiros não-negativos: 
+ ={0.1,2,3,...} = ℕ = {x ∈/x≥0} 
 
e) conjunto dos números inteiros positivos: 
*+ = {1,2,3,...} = ℕ* = {x∈/x >0} 
 
8 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
A necessidade de calcular o quociente entre dois números naturais quaisquer a e b (b≠0) deu origem aos 
números fracionários. Chama-se número racional todo número que pode ser escrito na forma p/q, com p ∈  e 
q ∈ *. 
 
 
 
 
 
Assim sendo: 
 
� Todo número inteiro é racional. 
Exemplos: 
a) 0, pois 0 = 0/1 
b) –3 , pois –3 = -3/1 
c) 5, pois 5 = 5/1 
 
� Todo número fracionário é racional. 
Exemplos: 
a) ¾ 
b) 1/6 
 
� Todo número decimal exato é racional. 
Exemplos: 
a) 0,2 
b) 3,15 
 
� Todo número decimal periódico é racional. 
Exemplos: 
a) 0,444... 
b) 0,21313... 
c) 0,1313... 
d) 2,3232… 
 
 
Vamos destacar os seguintes subconjuntos de : 
* = {x∈ / x≠0} � conjunto dos números racionais não-nulos;- = {x∈ / x≤0} � conjunto dos números racionais não-positivos; 
*- = {x∈ / x<0} � conjunto dos números racionais negativos; 
+ = {x∈ / x≥0} � conjunto dos números racionais não-negativos; 
*+ = { x∈ / x>0} � conjunto dos números racionais positivos; 
 
 
Determinação da geratriz da decimal 
 
 Da mesma forma que um número racional a/b pode ser representado por uma decimal exata ou periódica, 
estas também podem ser escrita na forma a/b, que recebe o nome de geratriz da decimal. 
 Vamos recordar, com alguns exemplos, como determinar uma geratriz. 
 
• 0,75 = 
 
• 0,414141... = 
 
• 0,178 = 
Conhecidos os números racionais e indicados por  o conjunto que os representa, temos: 
  = {x/x = p/q, em que p ∈  e q ∈ * } 
 
 
9 
 
Número racional na forma mista 
 
 Todo número racional maior que 1 ou menor que –1 pode também ser representado na forma mista ou vice-
versa. Exemplos: 
 
 
1º ) 7 = 
 2 
2º) - 5 = 
 3 
3º ) 2,7 = 
 
4º) – 1,666... = 
 
5º) 4 1 = 
 5 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
 Vamos considerar um quadrado cujo lado mede 1 e calcular sua diagonal: 
 
 x² = 1² + 1² 
 x 
 1 x² = 2 => x =√2 
 
 
 1 
 
Sabemos que √2 = 1,414213..., número que não é decimal exata nem dízima periódica , ou seja, não é racional. 
A decimais como esta, infinitas e não periódicas, damos o nome de números irracionais. 
 
Um dos números irracionais mais conhecidos é o π, que se obtém dividindo o comprimento de uma 
circunferência pelo seu diâmetro ( π = 3,141592...). Ele já foi calculado com o auxílio do computador com mais de 1 
bilhão de casas decimais, sem que tenha surgido uma dízima. As raízes quadradas não exatas de números naturais são 
números irracionais: √3 = 1,7320508...; - √5 = - 2,2360679... 
 
10 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS () 
 
 Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto 
dos números reais (). 
 

 = � ∪ Ir = { x/x ∈ � ou x ∈ Ir } = { x/x é racional ou x é irracional } 
 
Com o conjunto 
 dos números reais, a reta fica completa, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um 
único número real e, reciprocamente,a cada número real corresponde um único ponto da reta. 
Por isso, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. 
Temos assim a reta real, na qual colocamos apenas alguns números reais: 
 ' -√2 -3/4 √2 
 -2 -1,5 -1 0 0,5 1 1,5 2 
 
 
 
 
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui: 
 
 
 
 
 
 
� � Ir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios: 
 
1. Usando os símbolos ⊂ ou #, relacione os conjuntos numéricos a seguir: 
a) � e �* b) � e 
 
 
2. Com os conjuntos numéricos dados, efetue as operações de união e intersecção: 
a) 2 e � b) � e Ir 
 
3. Determine: 
a) � ∪ 2 b) (� ∩ �) ∪ 2 c) (� ∩ Ir) ∩ � 
 
4. Identifique como decimal exata (finita), decimal infinita periódica ou decimal infinita não-periódica 
cada um dos números a seguir: 
a) 0,555 
b) 0,11454545... 
c) 0,123125127129... 
d) 0,2666... 
e) 0,789145 
f) 0,020020002... 
 
� ⊂ 2 ⊂ � ⊂ 
 
Ir ⊂ 
 
� ∪ Ir = 
 
� ∩ Ir= ∅ 
(
 - �) 
 2 
 
11 
 
5. Dê a representação decimal dos seguintes números racionais: 
a) 7/8 
b) 5/13 
c) ¾ 
d) 7/5 
e) 1 1/7 
 
6. Determine a geratriz a/b das seguintes decimais periódicas: 
a) 0,333... 
b) 0,1666... 
c) 0,242424... 
d) 0,125777...
 
7. Identifique como racional ou irracional os números a seguir: 
a) √4 
b) 2√3 
c) -√8 
d) ½ 
e) √4 + √2 
f) √2/2 
g) –1 
h) √5 
i) √4.9 
j) π 
k) -√9 
l) √5 . √5
 
12 
 
 
Intervalos numéricos 
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , 
podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada 
amplitude do intervalo. 
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. 
TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO 
INTERVALO FECHADO [p;q] = {x ∈ R; p ≤ x ≤ q} inclui os limites p e q 
INTERVALO ABERTO (p;q) = { x ∈ R; p < x < q} exclui os limites p e q 
INTERVALO FECHADO A 
ESQUERDA 
[p;q) = { x ∈ R; p ≤ x < q} inclui p e exclui q 
INTERVALO FECHADO À 
DIREITA 
(p;q] = {x ∈ R; p < x ≤ q} exclui p e inclui q 
INTERVALO SEMI-FECHADO [p;∞ ) = {x ∈ R; x ≥ p} valores maiores ou iguais a p. 
INTERVALO SEMI-FECHADO (- ∞ ; q] = { x ∈ R; x ≤ q} valores menores ou iguais a q. 
INTERVALO SEMI-ABERTO (-∞ ; q) = { x ∈ R; x < q} valores menores do que q. 
INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ∞ ) = { x > p } valores maiores do que p. 
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo 
como R = ( -∞ ; + ∞ ) 
 
 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL E RELAÇÕES 
 
O Plano Cartesiano 
Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes 
(1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano. 
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo 
horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um 
dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. 
 
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado 
de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada 
respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um 
ponto. 
O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem 
para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). 
 
 
13 
 
 
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). 
Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b. 
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas 
concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no 
sentido anti-horário, conforme a figura a seguir. 
Segundo 
quadrante 
Primeiro 
quadrante 
Terceiro 
quadrante 
Quarto 
quadrante 
 
Quadrante sinal de x sinal de y Ponto 
 não tem não tem (0,0) 
Primeiro + + (2,4) 
Segundo - + (-4,2) 
Terceiro - - (-3,-7)
Quarto + - (7,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o 
conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo 
conjunto B. 
AxB = { (x,y): x A e y B } 
Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ = Ø = ØxB. 
Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos. 
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por: 
AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)} 
 
 
 
14 
 
 
 
 
Relações no Plano Cartesiano 
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB. 
 
A relação mostrada na figura acima é: 
R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) } 
Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B. 
Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas 
relações em AxB: 
1. R1={(1,3),(1,4)} 
2. R2={(1,3)} 
3. R3={(2,3),(2,4)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Introdução a funções 
 
Antes defalarmos sobre função temos que saber primeiro o que é uma relação. Pois, apesar de não ter a mesma 
definição, função é um tipo de relação e relação nem sempre é função. 
Observe os gráficos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos acima representam relações entre velocidade e tempo, mas apenas o primeiro gráfico representa um 
gráfico de função. 
 
Para entendermos melhor o que é uma relação e seus elementos veremos um exemplo: 
Uma pessoa recebe R$3,00 por objeto que fabrica. Ela consegue produzir de 5 a 10 objetos por dia. O seu salário 
diário s está determinado pelo número n de objetos que faz: 
 
Representação da solução da situação problema em forma de tabela: 
 
O gráfico mostra como varia, 
aproximadamente, a 
velocidade de um atleta que 
corre cerca de 10m em 10s. 
 
No entanto, o gráfico ao lado 
não poderia representar o 
movimento de um atleta, pois 
no instante t = 4 ele teria 
diferentes velocidades ao 
mesmo tempo. 
 
 
16 
 
 
 
Representação da solução da situação problema em forma de par ordenado. 
 
S = { (5,15), (6,18), (7,21), (8,24), (9,27), (10,30) } 
 
Um conjunto de pares ordenados de números reais chama-se de relação. 
 
Na solução acima temos 6 pares ordenados, cada par ordenado é formado por dois números. 
 
O conjunto dos primeiros números dos pares ordenados de uma relação chamamos de DOMÍNIO da relação. 
Indicado por: D(S) = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
 
O conjunto dos segundos números dos pares ordenados da relação é chamado de IMAGEM da relação. 
Indicado por Im(S) = {15, 18, 21, 24, 27, 30}. 
 
 
 Formas de escrever uma relação. 
 
• Pares ordenados: S = { (5,15), (6,18), (7,21), (8,24), (9,27), (10,30) } 
 
• Mediante um gráfico: 
Neste caso o eixo x representa os elementos do domínio e o eixo y representa os elementos da imagem. 
 
 
 
 
• Mediante uma regra: 
 
Nesse exemplo, para cada elemento da relação, o segundo número do par ordenado, chamado de ordenada, é triplo 
do primeiro número, chamado de abscissa. Descrevemos a relação mediante uma sentença aberta, chamada 
fórmula: 
y = 3 . x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y= 3x 
 
17 
 
 
 
•Podemos pegar os dois conjuntos 
x = { 5,6,7,8,9,10} e y = {15,18,21,24,27,30}, 
e representá-los num gráfico por flechas, 
que é outro modo de se descrever uma relação. 
 
 
 
 
 
 
Já sabemos que função é uma relação, só que com algumas 
características particulares. 
 
Vamos estudar o conceito de função observando as relações seguintes e analisando se é apenas uma relação ou se 
é uma função. 
 
Exemplo 1: 
 
R1 = { (x ; y) A X B | y = x - 1 } 
com A = {1,2,3,4} e B = {1,2,3,4,5,6}. 
 
Concluímos que R1 = { (2,1), (3,2) , (4,3) }. 
 
Observando o conjunto A, percebemos 
que o elemento 1 não está ligado a nenhum 
 elemento do conjunto B, com isso essa relação 
 não é uma função. 
 
D(R1) = {2,3,4} e Im = {1,2,3} 
 
 
Exemplo 2: 
 
R2 = { (x ; y) A x B | y² = x } 
com A = {0,1,4,9} e B = {-2,0,1,2,3} 
 
Concluímos que R2 = { (0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (4,-2)}. 
 
Observando o conjunto A e o elemento 4, 
 percebemos que ele está relacionado 
 com dois elementos do conjunto B, 
isso a relação R2 não é uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
R3 = { (x ; y) A x B | y = x + 4 } 
com A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7,8,9,10} 
 
Concluímos que R3 = { (1,5), (2,6), (3,7), (4,8) } 
Observando o conjunto A percebemos que todos 
 os seus elementos estão ligados apenas a um 
elemento do conjunto B, com isso a 
relação R3 é uma função. 
 
 
 
 
 
18 
 
 
D(R3) = A 
Im (R3) = {5,6,7,8} 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
R4 = { (x ; y) A x B | y = x² } 
com A = {-2,-1,0,1} e B = {0,1,2,3,4} 
 
 
Concluímos que R4 = {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1)}. 
Observando o conjunto A percebemos que 
todos os elementos do conjunto A estão 
ligados a um elemento do conjunto B. 
 
D(R4) = A 
Im (R4) = {0,1,4} 
 
 
 
Veja que, das quatro relações dadas nos exemplos, em R3 e R4 ocorre o seguinte fato: para todo x A existe um 
único y B, de modo que (x , y) pertence à relação. Toda relação onde ocorre esse fato é chamada de FUNÇÃO. 
 
De modo geral, dados dois conjuntos, A e B, e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma aplicação ou função 
de A em B se, e somente se, para todo x A existe um único y B, de modo que (x , y) f. 
 
O Domínio de uma função é sempre o conjunto de partida da relação. E o conjunto imagem é composto por 
elementos do conjunto de chegada que recebem seta. 
 
Função é qualquer relação de A em B que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Ex. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Função Crescente e Decrescente 
 
A função é crescente quando na função, 
o valor de x aumenta e o valor da imagem 
de x também aumenta. x2 > x1 → f(x2) > f(x1) Ex. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Constante 
 
Função constante é toda função em que os elementos do domínio possuem uma mesma imagem. Ex. 
 
Exercícios: 
1. Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está apresentada 
no gráfico. 
 
Qual resposta mostra a relação R de forma explicita? 
a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)} 
b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)} 
c. R={(a,1),(b,3),(c,2)} 
d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)} 
 
 
 
 
A função é decrescente quando na função, 
o valor de x aumenta e o valor da imagem 
de x diminui. x2 > x1 → g(x2) < g(x1) Ex. 
 
 
20 
 
2. Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R={(x,y) A×B: y=2x-1}. 
Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a relação R? 
 
 
 
Funções Reais de uma Variável Real 
Se ƒ é uma função com domínio em A e contra domínio em B, dizemos que ƒ é uma função definida em A com valores 
em B. Se tanto A como B forem subconjuntos dos reais, dizemos que ƒ é uma função real de variável real. 
Exemplo 01: Seja a função dada pela sentença ƒ(x) = 2x sendo o domínio o conjunto A = { 1, 2, 3, …, n, …} e B = ℝ. 
Assim: ƒ(x) = 2, ƒ(2) = 4, ƒ(3) = 6, …, ƒ(n) = 2n,… 
Portanto, o conjunto imagem é Im = {2, 4, 6, …2n,…}, e sendo A e B subconjuntos de ℝ, dizemos que ƒ é uma função 
real de variável real. No gráfico abaixo podemos verificar que os pontos estão alinhados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso tivéssemos uma função definida pela mesma sentença ƒ(x) = 2x, porém com domínio A = ℝ, o gráfico seria 
formado por todos os pontos da reta da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 02: Existem diversos recursos computacionais, disponíveis hoje em dia, para a elaboração de gráficos de 
funções. Geralmente o recurso consiste em digitar os valores de x e os correspondentes valores de y, que o software 
gera o gráfico ponto a ponto. 
Suponhamos, por exemplo, querer obter o gráfico da função y = 4x – x², no intervalo [0, 4]. Usando a planilha do Excel, 
podemos gerar valores de x a partir de 0 e com passo igual a 0,1 até atingirmos o valor 4 (isto é, atribuímos para x os 
valores 0; 0,1; 0,2; 0,3;…; 4). Para cada valor de x obtemos, por meio de planilha, os correspondentes valores de y. 
 
 
 
21 
 
De posse das colunas x e y, selecionamos, por meio do editor de gráficos, o gráfico de dispersão. Obtemos o gráfico 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com procedimento análogo, podemos obter o gráfico da função y = x³ - x, no intervalo [-1, 1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 03: Uma calculadora é vendida por $ 200,00 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, a receita de vendas 
será 200x. Assim, podemos dizer que R(x) = 200x é uma função que fornece para quantidade vendida (x) a receita 
correspondente. O domínio e o conjunto imagem são dados por: 
 D = {0, 1, 2, 3, 4,…} e Im = {0, 200, 400, 600,…}. 
 
Exercícios: 
1. Dada a função ƒ(x) = 7x – 3, com D = ℝ, obtenha: 
a) ƒ(2) 
b) ƒ(6) 
c) ƒ(0) 
d) ƒ(-1) 
e) ƒ(√2) 
f) ƒ(½) g) ƒ(-⅓) h) ƒ(a +b) 
2. Dada a função ƒ(x) = 2x – 3, obtenha: 
a) ƒ(3) 
b) ƒ(-4) 
c) o valor de x tal que ƒ(x) = 49 
d) o valor de x tal que ƒ(x) = -10
 
3. Dada a função ƒ(x) = x²,obtenha 
a) ƒ(x0) b) ƒ(x0 + h) c) ƒ(x0 + h) - ƒ(x0) 
4. Dada a função ƒ(x) = x² - 4x + 10, obtenha os valores de x cuja imagem seja 7. 
5. Dada a função ƒ(x) = mx + 3, determine m 
sabendo-se que f(1) = 6. 
6. Faça o gráfico da função ƒ(x)= 2x+1, com 
domínio D= {0, 1, 2, 3, 4}. Qual o conjunto 
imagem? 
7. Faça o gráfico da função f(x) = x², sendo D= {-3, 
-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Qual o conjunto imagem? 
8. Qual o gráfico da função f(x) = 3, sendo D=ℝ? 
 
 
 
22 
 
9. Esboce o gráfico da função ƒ, de domínio D=ℝ, 
dada por: 
 1, se x ≥ 0 
 -1, se x < 0 
 
 10. Uma livraria vende uma revista por $ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida. 
a) Obtenha a função receita R(x). 
b) Calcule R(40). 
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a $ 700,00? 
 11. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100 + 2x. 
 a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? 
 b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades? 
 
 12. Resolva o exercício 11 considerando a função C(x) = ⅓ x³ - 24 x² + 600x + 400. 
 
 
 
 
13. A seguir estão os gráficos de relações de a em ℝ. Quais podem e quais não podem se gráficos de funções? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ(x)= 
 
 
23 
 
 
14. Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de produção dividido pela quantidade produzida. 
Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por Cme(x) = C(x) . 
 x 
O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 500 + 4x. 
a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades? 
b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades? 
c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta? 
 
 
 
Normas elementares para o estudo de uma função 
 
Domínio 
 
Quando temos uma função real de uma variável real, de A em B, sabemos que A é um subconjunto dos números 
reais.Nos exemplos dados anteriormente, a função era definida por uma sentença y = ƒ(x), e os conjuntos eram 
especificados. 
Nas situações em que não é mensionado o domínio, convenciona-se que ele seja formado por todos valores reais de x 
para os quais exista imagem y. 
Exemplo: Considere as funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos que em funções envolvendo situações práticas, o domínio é constituido de todos os valores reais de x para 
os quais tenha significado o cálculo da imagem. Assim, por exemplo, caso tenhamos uma função custo C(x) = 400 + 3x, 
os valores de x não podem ser negativos. Além disso, caso o produto seja indivisível ( por exemplo, quando x é 
quantidade de carros), o domínio é constituído apenas por números inteiros não negativos. 
 
Interceptos 
 
São os pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos. Os pontos de intersecção com o eixo x tem 
coordenadas do tipo (x, 0) e são chamados x-interceptos. Os pontos de intersecção com o eixo y têm coordenadas do 
tipo (0, y) e são chamados de y-interceptos. 
Exemplo: 
Vamos obter os pontos de intersecção do gráfico da função y = (x² - 1)(x – 2) com os eixos x e y. 
Temos: 
• Intersecção com o eixo y� como o ponto procurado é da forma (0, y), devemos fazer na função x = 0. Assim: 
y = (0² - 1)(0 – 2) = 2 � (0,2) 
• Intersecção com o eixo x� como o ponto procurado é da forma (x, 0), devemos fazer na função y = 0. Assim: 
0 = (x² - 1)(x – 2) = x= 1ou x = -1 ou x = 2 � (1, 0), (-1, 0) e (2, 0). 
O esboço do gráfico dessa função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Pontos de máximo e de mínimo 
 
Seja ƒ uma função definida num domínio D. Dizemos que x0 é um ponto de máximo relativo ( ou simplesmente 
ponto de máximo) se existir um intervalo aberto A, com centro x0 tal que: 
 ƒ(x) ≤ ƒ(x0) ∀ x ∈ A ⋂ B 
Analogamente dizemos que x0 é um ponto de mínimo relativo ( ou simplesmente ponto de mínimo) se existir num 
intervalo aberto A, com centro x0, tal que: 
 ƒ(x) ≥ ƒ(x0) ∀ x ∈ A ⋂ B 
 
Assim, por exemplo, na função definida no intervalo [a, b] e representada no gráfico abaixo, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos de máximo: a, x2, x4 
Pontos de mínimo: x1, x3, b 
 
 
Estudo do sinal da função 
 
Estudar o sinal de uma função significa obter os valores de x para os quais y>0 ou y<0 ou y = 0. 
Desse modo, por exemplo, na função definida no intervalo [2, 10], e representada abaixo, teremos: 
• y > 0 para 2 ≤ x < 3 ou para 7 < x ≤ 10 
• y < 0 para 3 < x < 7 
• y = 0 para x = 3 ou x = 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Obtenha o domínio das seguintes funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
2. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente, indicando pontos de 
máximo e de mínimo para a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
3. Estude o sinal das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função constante 
É toda função do tipo y = k, em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma reta 
horizontal, passando pelo ponto da ordenada k. 
 
 
 
 
 
 
Função do 1º grau 
 
 Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações. 
 Uma função é chamada de função do 1º grau (ou função afim) se sua sentença for dada por y = m.x + n, sendo 
m e n constantes reais com m ≠ 0. 
 Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois 
pontos distintos (pois dois pontos distintos determinam uma reta). 
 
Exemplo 01: Esboçar o gráfico da função y = 2x + 1. 
Atribuindo a x os valores 0 e 1, por exemplo, teremos: 
x = 0 � y = 2 . 0 + 1 = 1 � (0, 1); 
x = 1 � y = 2 . 1 + 1 = 3 � (1, 3) . 
 
Exemplo 02: : : : Obter a função cujo gráfico é dado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja y = m . x + n a função procurada. Então: 
o ponto (0, 2) pertence ao gráfico, logo: 2 = m . 0 + n � n = 2; 
o ponto (4, 0) pertence ao gráfico, logo: 0 = m . 4 + n � 4m + 
n = 0; 
tendo em conta que n = 2, obtemos: 4m + 2 = 0 � m = -½; 
dessa forma, a função procurada é y = -½ x + 2. 
 
 
26 
 
 
Coeficiente linear e angular 
 
1. A constante n é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de intersecção da 
reta com o eixo y. 
A justificativa para essa afirmação é feita lembrando que, no ponto de intercecção do gráfico da função com o 
eixo y, a abscissa vale zero; assim, o ponto de intersecção é da forma (0, y), e, como ele pertence também ao 
gráfico da função, podemos substituir x por 0 na função y = m.x + n. Teremos então: y = m.0 + n � y = n 
Portanto o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y tem ordenada n. 
 
2. A constante m é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento 
do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da reta; quando m > 0, o gráfico 
corresponde a uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Conhecendo-se dois pontos de uma reta A(x1, y1) e B(x2, y2), o coeficiente angular m é dado por 
 
 
 
4. Conhecendo um ponto P(x0, y0) de uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente é dada por 
 y – y0 = m(x – x0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função quadrática 
 
É toda função do tipo 
 y= ax² + bx + c, 
em que a, b e c são constantes reais com a ≠ 0. O gráfico desse tipo de função é uma curva chamada parábola. A 
concavidade é voltada para cima se a > 0, e voltada para baixo se a < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto V da parábola é chamado vértice. Se a > 0, a abscissa do vértice é um ponto de mínimo; se a < 0, a 
abscissa do vértice é um ponto de máximo. 
Oseventuais pontos de intersecção da parábola com o eixo x são obtidos fazendo y = 0. Teremos a equação ax² 
+ bx + c = 0. 
Se a equação tiver duas raízes reais distintas (∆ > 0), a parábola interceptará o eixo y em dois pontos distintos; se 
a equação tiver uma única raiz real (∆ = 0), a parábola interceptará o eixo x num único ponto; finalmente, se a equação 
não tiver raízes reais (∆ < 0), a parábola não interceptará o eixo x. 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
5. 
 
 
6. 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A intersecção com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Portanto: 
 x = 0 � y = a. 0² + b . 0 + c � y = c, 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja, o ponto de intersecção da parábola com o eixo y é (0, c). 
Com relação ao vértice da parábola, indicando por xv e yv a abscissa e a ordenada do vértice, respectivamente, 
teremos: 
 
 
 
 
Exemplo 01: Esboçar o gráfico da função y = x² - 4x + 3. 
a) a = 1. Portanto a concavidade é voltada para cima. 
b) Intersecção com o eixo x: 
y = 0 � x² - 4x + 3 = 0, cujas raízes são: x = 1 ou x = 3. 
Portanto, os pontos de intersecção com o eixo x são: (1, 0) e (3, 0). 
c) Intersceção com o eixo y: 
x = 0� y = 0² - 4 . 0 + 3 � y = 3. 
Portanto, o ponto de intersecção com o eixo y é (0, 3). 
d) Vértice 
 
 
 
 
Portanto o vértice é o ponto (2, -1). Observemos que x = 2 é um ponto de mínimo da função. De posse das 
informações obtidas, podemos esboçar o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 02: Estudar o sinal da função y = - x² + 9. 
 Nesse caso, só precisamos encontrar os pontos de intersecção do gráfico com o eixo x, já que a concavidade é 
voltada para baixo (a = -1). Assim: 
 y = 0 � - x² + 9 = 0 � x² = 9 � cujas raízes são: x = 3 ou x = - 3. 
 Para o estudo do sinal não necessitamos conhecer a intersecção com o eixo y, nem o vértice. O esboço é dado 
a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Exemplo 03: Estudar o sinal da função y = x² - 4x + 3 . Temos 
 x – 2 
 
1) Sinal de x² - 4x + 3 (A) 
 
 
 
 
2) Sinal de x – 2 (B) 
 
 
 
 
 
 
3) Quadro quociente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04: Resolver a inequação x² - 4x + 3 ≤ 0. 
 Fazendo y = x² - 4x + 3, o estudo do sinal dessa função é dado a seguir. 
 
 
 
 
Como a inequação exige que y ≤ 0, a resposta é 1 ≤ x ≤ 3. 
Exemplo 05: Obter o domínio da função ƒ(x) = 
 Para que exista a raiz quadrada, devemos ter x² - 7x + 6 ≥ 0. 
 Fazendo y = x² - 7x + 6 e estudando o sinal de y teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Para que y ≥ 0, devemos ter: x ≤ 1 ou x ≥ 6. Portanto o domínio da função é D = { x ∈ ℝ / x ≤ 1 ou x ≥ 6}. 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 y > 0 para -3 < x < 3, 
 y < 0 para x < -3 ou x > 3, 
 y = 0 para x = - 3 ou x = 3. 
 
 
 
Portanto, 
 y > 0 para 1 < x < 2 ou x > 3, 
 y < 0 para x < 1 ou 2 < x < 3, 
 y = 0 para x = 1 ou x = 3. 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Função Exponencial 
 
Suponhamos que uma população tenha hoje 40.000 habitantes e que haja um crescimento populacional de 2% 
ao ano. Assim: 
• daqui a 1 ano o número de habitantes será y1 = 40.000 + (0,02) . 40.000 = 40.000 (1 + 0,02); 
• daqui a 2 anos o número de habitantes será y2= y1 + 0,02y1= y1(1 + 0,02) = 40.000(1,02)
2; 
• daqui a 3 anos o número de habitantes será y3 = y2 + 0,02y2 = y2(1 + 0,02) = 40.000(1,02)
3. 
De modo análogo, podemos concluir que o número de habitantes daqui a x anos será y = 40.000(1,02)x. 
De modo geral, se tivermos uma grandeza com valor inicial y0 e que cresça a uma taxa igual a k por unidade de 
tempo, então, após um tempo x, medido na mesma unidade de k, o valor dessa grandeza será dado por: 
 y = y0( 1 + k)
x 
 Tal expressão é conhecida como função exponencial. Ela é válida quando k>0 (crescimento positivo) ou k <0 
(crescimento negativo ou decrescimento). 
 Consideremos, por exemplo, as funções: ƒ1(x) = 10 . (2)
x (taxa de crescimento igual a 1 = 100%) e ƒ2(x) = 10 . 
(0,5)x (taxa de crescimento igual a – 0,5 = - 50%). 
 Vamos atribuir a x os valores da tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos dessas funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifica-se que, quando a base (1 + k) é maior que 1, o padrão gráfico da função exponencial segue o de ƒ1(x), e que, 
quando a base (1 + k) está entre 0 e 1, o padrão gráfico da função exponencial segue o de ƒ2(x). 
 
 
 
Exemplo: Uma cidade tem hoje 20.000 habitantes, e esse número cresce a uma taxa de 3% ao ano. Então: 
a) O número de habitantes daqui a 10 anos será y = 20.000(1,03)10 = 26.878 
b) Se daqui a 10 anos o número de habitantes fosse igual a 30.000, a taxa de crescimento anual seria dada por 
 
 
 
 
 
31 
 
30.000 = 20.000(1 + k)10 
(1 + k)10 = 1,5 
Elevando ambos os membros a expoente 1/10, teremos 
[(1 + k)10]1/10 = [1,5]1/10 
(1 + k)1 = (1,5)0,1 
1 + k = 1,0414 
K = 0,0414 = 4,14% 
Portanto a taxa de crescimento procurada seria de 4,14% ao ano. 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CENTRO MINEIRO DO ENSINO SUPERIOR - CEMES 
Curso: ADMINISTRAÇÃO - 1º PERÍODO Data: ___ 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Logaritmos 
 
 Consideremos a equação exponencial 2x = 64. Para resolvê-la podemos notar que 64 é igual à potência 26, e 
então concluirmos que x = 6. Analogamente poderíamos resolver a equação 3x = 1/81, pois notamos que 1/81 = 1/34 = 3-4. E consequentemente x = -4. A situação muda, porém se tivermos uma equação exponencial em que os dois membros não são potências de mesma base, como a equação 2x= 5. Podemos garantir apenas que 2 < x < 3, pois 22 = 4 < 5 e 23= 8 > 5. Para podermos resolver esse tipo de equação, precisamos de lançar mão de um outro instrumento matemático chamado logaritmologaritmologaritmologaritmo, que passaremos a estudar. Chamamos de logaritmo do número N na base a ao expoente y que devemos colocar em a para dar o número N (N e a devem ser positivos e a diferente de 1).Assim, indicamos y por loga N. Portanto: loglogloglogaaaa NNNN = y= y= y= y se e somente se aaaay y y y = N. 
A base mais usada, na prática, é a base 10, e os correspondentes logaritmos são chamados decimais, bem 
como a base e (número de Euler, que é uma importante constante matemática, cujo valor aproximado é 2,718 ), e os 
correspondentes logaritmos são chamados naturais ou neperianos. 
Os logaritmos decimais podem ser indicados sem a base (log10 N = log N ) e os naturais podem ser indicados 
por ln(N) (ln(N) = log
e 
N). 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
Logaritmos cujos resultados não são imediatos podem ser calculados por meio de calculadoras (tecla Log ou Ln) 
ou computadores. 
A partir de algumas propriedades dos logaritmos, veremos como podem ser calculados muitos logaritmos 
conhecendo-se apenas algum deles; além disso, veremos como calcular logaritmo em qualquer base desejada. 
Propriedades dos Logaritmos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Admitindo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3: Admitindo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, resolver a equação exponencial 2x = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamamos de função logarítmica a toda função dada por ƒ(x) = logax, em que a base a é um número positivo e 
diferente de 1. 
Temos as seguintes características dessa função: 
a) Domínio: conjunto dos números reais positivos (ℝ*+). 
b) Interceptos: s intersecção com o eixo x é o ponto (1,0); não há intersecção com o eixo y. 
c) Para termos idéia do gráfico, tomemos as funções ƒ1(x) = log2x e ƒ2(x) = log1/2x e montemos a seguinte 
tabela de valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a base é maior que 1 (a > 1), o padrão gráfico da função é do tipo de ƒ1(x), e quando a base está entre0 e 1 (0 
< a < 1), o padrão é o de ƒ2(x). Em ambos os casos, o conjunto imagem é o conjunto ℝ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de ƒ1(x) = log2x Gráfico de ƒ2(x) = 
log x 
 
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Matrizes 
Introdução 
 
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como 
Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. 
 A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: 
 Química Inglês Literatura Espanhol 
A 8 7 9 8 
B 6 6 7 6 
C 4 8 5 9 
 
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira 
coluna da tabela. 
 Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas 
colocados entre parênteses ou colchetes: 
 
 Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as 
colunas, da esquerda para direita: 
 
 Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na 
tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. 
 Veja mais alguns exemplos: 
• é uma matriz do tipo 2 x 3 
• é uma matriz do tipo 2 x 2 
 
Notação geral 
 Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por 
dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. 
 
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: 
 
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ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. 
Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. 
 Na matriz , temos: 
 
 Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5. 
 
Denominações especiais 
 Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. 
• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 
4. 
 
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, , do tipo 3 x 1 
 
• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz 
é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. 
 Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos 
aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. 
 Veja: 
 
Observe a matriz a seguir: 
 
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a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) 
• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. 
Por exemplo, . 
 
• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. 
Por exemplo: 
 
 
• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais 
são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: 
 
 
Assim, para uma matriz identidade . 
 
• Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as 
colunas por linhas. Por exemplo: 
 
 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. 
 Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At. 
 
• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo, 
 
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é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij. 
 
• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, 
. 
 
Igualdade de matrizes 
 Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma 
posição são iguais: 
 
. 
 
Operações envolvendo matrizes 
Adição 
 Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que Cij 
= aij + bij , para todo : 
A + B = C 
Exemplos: 
• 
 
• 
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. 
Propriedades 
 Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: 
a) comutativa: A + B = B + A 
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) 
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n 
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 
Subtração 
 Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a 
matriz oposta de B: 
A - B = A + ( - B ) 
Observe: 
 
 
Multiplicação de um número real por uma matriz 
 Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela 
multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: 
B = x.A 
 Observe o seguinte exemplo: 
 
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Propriedades 
 Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: 
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A 
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB 
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA 
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A 
 
 Multiplicação de matrizes 
 O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. 
 Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido 
por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima 
coluna B. 
 Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij: 
• 1ª linha e 1ª coluna 
 
• 1ª linha e 2ª coluna 
 
• 2ª linha e 1ª coluna 
 
• 2ª linha e 2ª coluna 
 
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 Assim, . 
 Observe que: 
 
 Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa. 
 Vejamos outro exemplo com as matrizes : 
 
 
 
 Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas 
de B: 
 
 A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): 
• Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 
• Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto 
 
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• Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1 
 
Propriedades 
 Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: 
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) 
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C 
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n 
 Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o 
anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n 
ou B = 0 m x n. 
 
Matriz inversa 
 Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , 
então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 . 
 
 
Determinantes 
 
 Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). 
 A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. 
 Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: 
• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; 
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus 
vértices; 
 
Determinantede 1ª ordem 
 Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11: 
det M =Ia11I = a11 
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de 
módulo. 
 Por exemplo: 
• M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3 
 
Determinante de 2ª ordem 
 Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é 
dado por: 
 
 Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir. 
 
 
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Menor complementar 
 Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o 
determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam 
por aij . 
 Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: 
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), 
retiramos a linha 1 e a coluna 1: 
 
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é: 
 
b) Sendo , de ordem 3, temos: 
• • 
Cofator 
 Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o 
número Aij tal que Aij = (-1)
i+j . MCij . 
 Veja: 
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: 
 
 
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31: 
 
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Teorema de Laplace 
 O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos 
de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. 
 Assim, fixando , temos: 
 
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, . 
Regra de Sarrus 
 O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. 
 Acompanhe como aplicamos essa regra para . 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): 
 
43 
 
 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo): 
 
Assim: 
 
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o 
mesmo número real. 
 
Determinante de ordem n > 3 
 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de 
ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar 
a regra de Sarrus. 
Determinantes 
Propriedades dos determinantes 
 Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades: 
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. 
Exemplo: 
 
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P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
 
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
 
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas 
paralelas, então seu determinante é nulo. 
Exemplos: 
 
 
 
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma 
combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. 
Exemplo: 
 
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
Exemplo: 
 
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica 
multiplicado por esse número. 
Exemplos: 
 
 
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. 
Exemplo: 
 
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual 
ao produto dos elementos dessa diagonal. 
Exemplos: 
 
 
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é 
igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por . 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
 
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como: 
 
Exemplo: 
 
P12) 
Exemplo: