1a Lista de Equações Diferenciais e Séries 2014

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UNIFACS – Universidade Salvador
Curso: Engenharias
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries 2014.2
1a Lista de Exercícios
	
1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries:
a) ( Escreva )
b) ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = é a soma dos n primeiros termos de uma P.A); 
c) ( Escreva an = ln n ln ( n+1 ) ) 
d) e) 
2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma fração:
0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159...
3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total percorrida pela bola até parar.
4) 
	A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. Ache o volume total da escada sabendo que o maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade do lado do cubo precedente.
	
5)
A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos lados
 do quadrado anterior. Calcule:
a) a soma do
s
 perímetros 
de todos os quadrados da seqüência.
b) 
a soma das áreas de todos os quadrados da seqüência. 
 
6) Encontre o valor de b para o qual 
7) Encontre os valores de x para os quais a série converge e a soma da série para esses valores.
8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas:
a) ; b) ; c) ; d) 
e) f) 
9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn.
a) ; s4: b) ; s3 
10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada 
a) ( erro < 0,01); b) ( erro < 0,001 )
11) Mostre que a série alternada converge por Leibniz e calcule a soma da série com precisão de 3 casas decimais.
12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries quanto à convergência
	
a) 
	
b) 
	
c) 
	
d) 
	
e) 
	
f) 
	
g) 
	
h) 
	
i) 
	
j) 
	
k) 
	
l) 
	
m) 
	
n)
	
o) 
	
p) 
13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real.
a) ; b) ; c) 
Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx 
14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries
	
	
b)
	
	
d)
	
e)
15) A partir da série geométrica ; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a região de convergência.
	
a) 
	
b) 
	
c) 
	
d) 
 
16) A partir da série , e usando derivação ou integração, mostre que
a) 
b) 
c) 
17) A partir das séries , cosx = R e senx = R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a região de convergência.
	
a) 
	
b) 
	c) f(x) = xsen2x
	d) f(x) = x2 cosx
 
18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren para as seguintes funções: 
a) ; b) 
19) Usando a série de MacLauren encontre
a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função 
b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função 
20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral e calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro.
21) “Se é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se .” .Usando este resultado, calcule:
a) , com precisão de três casas decimais.
b) , com precisão de cinco casas decimais.
c) , com precisão de quatro casas decimais.
22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais
23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler 
24) Com relação à convergência de séries, analise as seguintes afirmações
Se a série é convergente, então 
A série é divergente
Se o raio de convergência da série é 3, então uma possível região de convergência é .
Se a série converge para valores de x tais que , então o raio de convergência da série é 2/3.
É correto apenas o que se afirma em 
I e II
I e III
III e IV
I, II e IV
II, III, IV
25)
A força da gravidade em um objeto de massa m a uma altura h acima da superfície da Terra é , onde R é o raio da Terra e g a aceleração da gravidade. Fazendo pode-se escrever F em função de H,
. A série de potências em H de F mostra que se aproximarmos F pelo primeiro termo da série obtemos a expressão que é a expressão usada quando h é muito menor que R, ou seja 
A série de potências em H de F é dada por 
26)
Na teoria da relatividade de Einstein, a massa de um objeto se movendo a uma velocidade v é dada pela expressão , onde m0 é a massa do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. A energia cinética relativística K do objeto é a diferença entre sua energia total e sua energia em repouso e é dada por 
O desenvolvimento em série de Maclaurin da função K mostra que se considerarmos v muito menor que c, então a energia relativística é praticamente igual à energia newtoniana. O coeficiente do termo em v2 do desenvolvimento em série de potências de v da energia K é dado por 
; B) ; C) ; D) ; E) 
Respostas:
1) a) Converge a ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a 1
2) a) ; b) ; c) 3) 45m; 4) ; 5) a) m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9)
7) A série converge para e sua soma é 
8 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 
9) a) . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008
b) . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248
10) a) 9; b) 5 ; 11) 
12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem.
14) a) Dc = ]1, 1[; r = 1; b) Dc = ]4/3, 2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = 
e) Dc= ]1, 5[, r = 3
15) a) ; b) ; c) 
d) 
17) a) ; b) ; c) ; d) 
18) a) ; b) 
19) a) ; b) 
20) ; . O erro é menor que 
21) a) ; b) ; c) 
22) = 0,095; 24) D) 25) E; 26) A