Séries de Taylor e Maclaurin

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Séries de Taylor e Maclaurin
2018
Séries de Taylor e Maclaurin
Cálculo II
Giovani Luigi Rubenich Brondani
Willian Johan Wandscheer
Introdução
Neste trabalho, iremos definir e analisar as séries de Taylor e Maclaurin, com ênfase nos seguintes tópicos:
· Série de potências;
· Diferenciação de série de potências;
· Integração de série de potências;
· Aproximação por série de Taylor;
· Série de Maclaurin;
· Polinômios de Taylor;
· Polinômios de Maclaurin;
· Convergência da série de Taylor.
Série de Potências
Uma série de potências de uma variável, é definida como uma série infinita na forma:
Na fórmula acima, representa o coeficiente do enésimo termo, e é uma constante que representa aonde, ao longo do eixo “x”, nós queremos começar a soma. Em diversas ocasiões, o valor de será igual a zero, pois a sequência será “centrada” no Zero do eixo “x”. Nesse caso, a sequência toma a forma mais simples:
De certo modo, uma série de potências trata-se de uma série de polinômios com infinitos termos. É possível observar que funções definidas como séries de potências compartilham muitas propriedades semelhantes à dos polinômios.
Diferenciação de série de potências
Iremos analisar agora a diferenciação de séries de potências termo a termo, uma técnica que é bastante útil. Olhando para essas séries como polinômios, percebemos que fica simples de realizar operações de diferenciação, pois polinômios são simples para diferenciar, já que se tratam de somas de potências. (Devemos lembrar, que a derivada da soma é a soma das derivadas.)
Consideremos uma função definida como
que seja diferenciável dentro do seu intervalo de convergência.
Para obter a primeira derivada da função procedemos da seguinte forma:
Vamos expandir os primeiros termos do somatório
Percebemos que o primeiro termo será sempre igual a zero para , então podemos reescrever a derivada da série dessa forma:
Da mesma forma, podemos prosseguir e obter a segunda derivada:
EXEMPLO
Sabendo que , encontre o valor de 
Solução:
Primeiro derivamos em relação a “x” usando a regra da potência:
Agora repetimos a mesma técnica com a derivada encontrada:
E finalmente derivamos uma terceira vez:
Substituímos para e teremos
Devemos perceber que como temos multiplicando todo o termo sendo somado, apenas o índice irá resultar em um valor não nulo pois 
Portanto a resposta é igual a apenas o primeiro termo da soma, que é:
Integração de série de potências
Assim como na diferenciação de uma série de potências, podemos efetuar a integração termo a termo. Sabendo que a integral de uma soma é a soma das integrais, podemos tirar uma conclusão sobre a integral de uma série infinita, analisando apenas o termo sendo somado pela função sigma.
Consideremos uma série de potências
Sendo assim podemos dizer que
onde é uma constante de integração.
EXEMPLO
Sabendo que , encontre o valor de 
Solução:
Iniciamos aplicando a integração termo a termo:
Agora aplicamos a integração no intervalo definido:
Precisamos então perceber que a série obtida pode ser identificada como uma série geométrica. Portanto podemos calcular o valor de convergência, e para isso precisamos do
primeiro termo: , segundo termo: , e razão: 
Finalmente, o valor de convergência para uma série geométrica: 
Aproximação por série de Taylor
A aproximação por série de Taylor, pode ser compreendida como uma ferramenta matemática, utilizada para a aproximação de funções, através de polinômios.
Uma série de Taylor, é um polinômio de grau infinito que pode ser utilizado para representar diversas funções diferentes, particularmente funções que não são polinômios. 
Como funções polinomiais são geralmente mais fáceis de se manipular, do que outros tipos de funções, utilizando a série de Taylor é possível transformar problemas difíceis em problemas mais fáceis de se resolver.
Definição: Uma série de Taylor é a expansão de uma função na soma de infinitos termos.
Considere como uma função de valores reais, infinitamente diferenciável em . A expansão para a função em uma série de Taylor, centrada ao redor do ponto é dada por:
Onde representa a enésima derivada de para .
DEDUÇÃO DA SÉRIE DE TAYLOR
Vamos analisar como a fórmula acima foi criada. A ideia fundamental por trás desta série, está na possibilidade de reescrever uma dada função, que se comporte de maneira contínua, como uma soma de infinitos termos polinomiais.
Forma geral de um polinômio de grau :
Onde são coeficientes em cada termo polinomial, e é uma constante, que representa aonde, ao longo do eixo iniciaremos a aproximação.
A série de potências acima, pode ser escrita em uma forma fechada.
Forma fechada:
O objetivo aqui é buscar uma maneira de encontrar os coeficientes nesta equação, dado uma função e um valor inicial . Polinômios são contínuos, o que nos garante que são diferenciáveis. Isso é, podemos calcular a primeira derivada, a segunda derivada, a terceira derivada, e assim por diante. Portanto, usando o nosso polinômio acima, vamos examinar algumas de suas derivadas:
É possível observar um padrão conforme vamos avançando. Agora que temos derivadas de , vamos resolver elas para um número que vai fazer com que a maioria dos termos delas desapareçam. Se resolvermos as derivadas quando , a maioria dos termos irão resultar em . Isso fará com que sobrem apenas os coeficientes multiplicados por alguma constante:
Agora teremos um conjunto de equações simples que podemos resolver para Simplesmente dividimos ambos lados por . Isso irá resultar no seguinte:
Observando as equações acima, podemos generalizar que o enésimo coeficiente, é a enésima derivada da função original, avaliada em , dividida pelo enésimo fatorial. O próximo passo será substituir de volta na nossa expressão original para um polinômio de enésimo grau:
A função acima resulta em uma expansão polinomial dada uma função contínua. O resultado será uma aproximação da função original. A medida que mais termos são adicionados, mais precisa a aproximação será, de forma que quando temos infinitos termos, obtemos:
EXEMPLO DE APROXIMAÇÃO USANDO SÉRIE DE TAYLOR
Veja abaixo, como podemos aproximar a função ao redor de . Nos gráficos a linha vermelha corresponde aos valores de , enquanto a linha azul corresponde à aproximação:
	
	
	
	
	
	
	
	
Observamos que conforme vamos adicionando mais termos, mais precisa a aproximação fica.
Série de Maclaurin
A série de Maclaurin é um caso da série de Taylor, para quando a constante . Nesse caso estaremos realizando a aproximação de uma função, ao redor de . Esse caso aparece com frequência e terá a seguinte forma:
EXEMPLOS DE SÉRIE DE MACLAURIN
PARA ALGUMAS FUNÇÕES COMUNS
 válido para todo real, onde 
 válido para todo real, onde 
 válido para todo real, onde 
 válido para todo real, onde 
Por definição, toda série de Maclaurin também pode ser analisada como série de Taylor.
Polinômios de Taylor
Seja uma função que possui a seguinte representação em série de Taylor:
Quando truncamos esta série no termo de grau , obtemos o seguinte polinômio de Taylor de grau :
Sabendo que consideramos o resto da série de Taylor onde:
Se pudermos provar que , teremos mostrado que:
EXEMPLO
Considere a série de Taylor da função em torno de 
A partir desta série, obtenha os polinômios de Taylor
Solução:
Polinômios de Maclaurin
Seja uma função que possui a seguinte representação em série de Maclaurin:
Quando truncamos esta série no termo de grau , obtemos o seguinte polinômio de Maclaurin de grau :
EXEMPLO
Considere a série de Taylor da função 
A partir desta série, obtenha os polinômios de Maclaurin 
Solução:
Convergência da série de Taylor
Sabendo que uma série de Taylor é um caso especial de uma série de potências, iremos calcular a convergência de uma série de Taylor, da mesma forma que podemos calcular a convergência de uma série de potências.
Considere que uma série de potências tem uma forma geral:
Toda série de potências convergente, irá convergir em um dado intervalo.Na verdade, esse intervalo está centralizado no centro da série, i.e., onde. Esse conceito é chamado de intervalo de convergência.
Podemos definir como raio de convergência, R, a distância entre o centro e um extremo do intervalo de convergência.
Veja abaixo uma ilustração desses conceitos:
Uma série de potências
centrada em , converge em uma das três maneiras:
1. Existe um número real , tal que a série:
a. Converge para 
b. Diverge para 
2. A série converge para todo e qualquer valor de . Nesse caso o intervalo de convergência é e o raio de convergência é .
3. A série converge apenas para , onde nesse caso o raio de convergência é .
EXEMPLO
Mostre que a série de Taylor converge para , para todo :
Solução:
Primeiro perceba que é a série de Taylor para centrada em , portanto definimos 
Utilizaremos o teste da razão para determinar aonde a série converge:
O limite acima é zero para cada valor de . 
Isso significa que a série converge para cada valor de .
Nesse caso o raio de convergência é , e o intervalo de convergência é .