LISTA DE DERIVADAS - UNIME

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UNIME 
LISTA DE DERIVADAS 
1. Calcule as derivadas das funções dadas a seguir. 
a) ( )423 4x3x2x)x(f −+−= b) 
2
23
)x(sen
x2x4
)x(f







 +
= c) )x(cos)x(f 3= 
d) )xcos()x(f 3= e) ( ) )xx(tg2)x(f 3)x(sen −= f) ( )1x3x
3
2
log)x(f
+−
= 
g) 
( ))x(sen2e)x(f = h) ( ))xsec(2)1x2(sen)x(f += i) )3(gcot)x(f x= 
2. Calcule o valor de ( ) )y(f 1 − no ponto y = 1, sabendo que )x412(3)x(f −= . 
3. Determine uma equação da reta normal ao gráfico da função )y(f 1− , no ponto 3y = , 
 sabendo que )x(tg)x(f = . 
4. Calcule as derivadas das funções trigonométricas inversas dadas a seguir. 
 a) )xarccos()x(f 3= b) )2x(arcsen)x(f −= c) ( )





= − X2x
3
2arctg)x(f 
 d) ))x(ln(ecarccos)x(f = e) ( )3x3)x(gcotarc)x(f += f) ( )2)2xsec(arc)x(f −= 
5. Calcule as derivadas das funções dadas a seguir. 
 a) 
2x)x(f = b) )xcos()x(f = c) )xln()x(f 3= d) 3 5 )x(sen)x(f = 
6. Calcule as derivadas das funções até a ordem n indicada em cada item. 
 a) ( )xcos)x(f = , n = 5. b) x2x)x(f 4 += , n = 3 c) ( )
2xe)x(f = , n = 2 
7. Mostre que a função )tcos(Ay += , onde A, ω e α são constantes, satisfaz a equação 
diferencial 0yy 2 =+ . 
8. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f, dada na forma paramétrica, 
no ponto indicado. 
 a) Rt , 
tty
2x
2
t





−=
=
, no ponto to = 0. b)  2/,0t , 
)t2cos(y
)t(senx




=
=
, no ponto 
4
to

= . 
9. Determine a derivada y' das curvas dadas implicitamente. 
 a) yxe)y(sen 4y =+ b) yxe)yln(x 3x2 =− c) y)y(tg)y(senx2 =− 
10. Lança-se um projétil verticalmente para cima. Após t segundos do lançamento, a distância 
acima do solo é dada, em metros, por t96t4)t(s 3 +−= . Determine: 
a) A altura que ele atinge a velocidade de 48 s/m . 
b) O tempo em que o projétil atinge a altura máxima. 
c) A aceleração do projétil em um instante t. 
11. Um movél se desloca sobre uma reta e sua posição em cada instante é dada por 
273)t(s t −= , t segundos e s(t) em metros. Determine: 
a) A velocidade que ele atinge a posição de 54 m. 
b) A aceleração quando a velocidade é 9ln(3) m/s. 
 
12. Utilize diferencial para calcular um valor aproximado de: 
 a) 3 28 b) )1,0(sen c) 01,02 
13. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia 
de 4 cm a 4,01 cm. Lembre-se de que o volume da esfera é dado por 
3r
3
4
V = e utilize 3 . 
14. Utilize a regra de L’Hospital para calcular os limites dados a seguir. 
 a) 








+
−
−→ 4x
16x
lim
2
4x
 b) 




 +−
→ 30x x2
)x(sen3x3
lim c) 








−→ 2
x4
x x5
e
lim 
 d) e) ( )






+→
xln
x
3
lim
2x
 f) ( ) 




 





+→
2x3
x
xlim 
 
Respostas: 
1. a) ( ) ( )3x4x34x3x2x4)x(f 2323 +−−+−= 
b) 
( ) ( ) ( ) 
)x(sen
)xcos(x2x4)x(senx4x12x2x42
)x(f
3
23223 +−++
= 
c) )x(sen)x(cos3)x(f 2 −= d) )x(senx3)x(f 32 −= 
e) 
( ) ( ) ( ) )xx(secx312)xx(tg)2ln(2)x(f 322)x(sen3)x(sen −−+−= 
f) 
( ) )3ln(1x3x
3x2
)x(f
2 +−
−
= g) 
( ) )xcos()x(sen2e)x(f )x(sen
2
= 
h) 
( ) ( ) )x(tg)xsec()2ln(2)1x2(sen2)1x2cos(2)x(f )xsec()xsec( +++= 
i) )3(eccos)3ln(3)x(f x2x −= . 
2. ( ) ( )
)3ln(4
1
1f 1
−
=
−
. 
3. Reta normal ( )3x43/y:n −−=− . 
4. a) 
6
2
x1
x3
)x(f
−
−
= b) 
3x4x
1
)x(f
2 −+−
= c) 
( ) ( )
( )x4x2
2x2x
3
3
21
2x3)2ln(2
)x(f
−
−
+
−
= 
d) 
1)x(ln)xln(
1
)x(f
2 −
= e) 
( )
( ) )3ln(3)x(arctg
x1
3
)x(f 3x
2
3x
+
+
−
= +
+
 
f) 
3x4x2x
)2x(arcse2
)x(f
2 +−−
−
= . 
 5. a) 
( )12x2)x(f −= b) 
)xcos(2
)x(sen
)x(f
−
= 
 c) 
)xln(x2
3
)x(f
3
= d) 
3 52
54
)x(sen3
)xcos(x5
)x(f


= 
 6. a) 
( ) )x(sen)x(f V −= b) x24)x(f = c) ( )1x2e2)x(f 22x += 
 7. Observe inicialmente que y é função de t. Assim, )t(senA)t(y +−= . Daí, 
)tcos(A)t(y 2 +−= Então, substituindo y e y’’ na equação diferencial 0yy 2 =+ , você 
obtém: 0)tcos(A)tcos(A 22 =+++− , que é uma identidade. Logo, você pode 
concluir que a função )tcos(Ay += satisfaz esta equação diferencial. 
8. a) Reta tangente ( )1x
)2ln(
1
y:t −
−
= . b) Reta tangente 








−−=
2
2
x22y:t . 
9. a) 
4y
3
xe)ycos(
yx4
y
−−
= b) 
yxx
)yln(xy2yeyx3
y
32
x22
−
−+
= 
c) 
1)y(sec)ycos(y2
)y(sen2
y
2 −−
= 
10. a) Altura de 160 metros. b) O tempo de 22 segundos. c) )s/m ( t24)t(a 2−= . 
11. a) s/m )3ln(81v = b) ( ) 22 s/m )3ln(9a = . 
12. a) 037,3283  b) 1,0)1,0(sen = c) 0069,12 01,0  . 
13. O aumento aproximado do volume da esfera foi de 1,92 cm3. 
14. a) 8− b) 
4
1−
 c) + d) 3 e) zero f) 1