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Geometria II
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planej. e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró–Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Oliveira, Disney Douglas de Lima.
O48g Geometria II / Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos
Anselmo Moura da Silva, Helisângela Ramos da Costa. –
Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2.
Período)
141 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Geometria. I. Silva, Domingos Anselmo Moura da. II. Costa,
Helisângela Ramos da. III. Título.
CDU (1997): 514 
CDD (19.ed.): 516 
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Noções primitivas e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Conceitos primitivos, postulados e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
UNIDADE II – Distâncias, diedros e triedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
TEMA 02 – Distâncias e diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE III – Poliedros, prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 03 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TEMA 04 – Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
TEMA 05 – Planificação e área do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TEMA 06 – Volume do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TEMA 07 – Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 
UNIDADE IV – Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 08 – Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEMA 09 – Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 
UNIDADE V – Superfícies de revolução e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
TEMA 10 – Superfícies e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
UNIDADE VI – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TEMA 11 – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
UNIDADE VII – Noções de geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TEMA 12 – Geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Disney Douglas de Lima Oliveira
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Mestre em Matemática - UFAM 
Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ
Domingos Anselmo Moura da Silva
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Mestre em Matemática - UFAM 
Helisângela Ramos da Costa
Bacharela em Matemática – UFAM
Bacharela em Processamento de Dados – UFAM
Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF) 
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico–científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes
uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I
Noções primitivas e posições relativas
TEMA 01
CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E
POSIÇÕES RELATIVAS
1. Conceitos primitivos
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos
sem definição) na Geometria espacial os con-
ceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente,
usamos a seguinte notação:
Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto.
• A
Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto 
Planos: letras minúsculas do alfabeto grego 
Observações:
1. Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Nesse conjunto, desenvolveremos a Geo-
metria Espacial.
2. Axiomas ou postulados (P), são propo-
sições aceitas como verdadeiras sem de-
monstração e que servem de base para o
desenvolvimento de uma teoria.
Assim, iniciaremos a Geometria Espacial com
alguns postulados, relacionando o ponto, a
reta e o plano.
2. Postulados 
2.1 Postulados da existência
P1)Dada uma reta r, existem nela, bem como
fora dela, infinitos pontos.
P2)Dado um plano α, existem nele, bem como
fora dele, infinitos pontos.
2.2 Postulados da determinação
P3)Por dois pontos distintos passa uma únicareta.
Notação: 
P4)Por três pontos não-colineares passa um
único plano. 
Notação: α = (A,B,C)
2.3 Postulados da inclusão
P5)Se uma reta r tem dois pontos distintos num
plano α, então a reta r está contida nesse
plano:
Simbolicamente, temos:
3. Retas concorrentes e paralelas
3.1 Definição de retas concorrentes
Diremos que duas retas r e s são concorrentes
se, e somente se, elas têm um único ponto em
comum.
r ∩ s = {P}
3.2 Definição de retas paralelas
Diremos que duas retas r e s são paralelas, se
e somente se, elas são coincidentes ou elas
são coplanares e não têm pontos em comum.
11
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
1.° caso
Notação: r = s ⇒ r//s
2.° caso
Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s
Retas paralelas e concorrentes no cotidiano
Exemplo 1
Dado um plano β, nele existem infinitas retas.
Solução: Fazendo uso do postulado da exis-
tência (P2), considere, no plano β dado, dois
pontos distintos A e B.
Pelo postulado da determinação (P3), temos
que existe uma reta r1, a qual está contida no
plano β (postulado da inclusão P5). 
Fazendo uso dos postulados P1 e P2, con-
sidere em β e fora de r1 um ponto C. Os pon-
tos A e C, B e C determinam duas retas r2 e r3
(postulado P3) respectivamente, as quais estão
contidas no plano β (postulado P5).
Desse modo, podemos construir em β “tantas
retas quantas quisermos”, isto é, “ infinitas” retas. 
Exemplo 2
Quantas retas há no espaço? Demonstre.
Solução: Infinitas. 
De fato, consideremos dois pontos distintos do
espaço A e B. Esses pontos determinam uma
reta r (postulado P3).
Seja C um ponto do espaço, fora da reta r
(postulado P1). Os pontos A e C determinam
uma reta S, e os pontos B e C determinam
uma reta t.
Desse modo, podemos construir “tantas retas
quantas quisermos”, isto é, construiremos “infi-
nitas” retas.
Exemplo 3
Mostre que, três retas duas a duas concor-
rentes, não passando por um mesmo ponto,
estão contidas no mesmo plano. 
Solução:
Sejam r, s e t as retas tais que r ∩ s = {A},
r ∩ t = {B}, s ∩ t = {C} e A, B e C são pon-
tos não- colineares. 
Pelo postulado P4, existe um único plano β
passando pelos pontos A, B e C em que
β = (A, B, C). 
Sendo A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C com A, B, C ∈ β,
concluímos que as retas r, s e t estão contidas
no mesmo plano β (postulado P5), pois são
determinadas pelos pontos A, B e C de modo
que .
12
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Quantas retas podemos traçar por um ponto
no espaço? Justifique sua resposta.
2. Quantos são os planos determinados por qua-
tro pontos distintos dois a dois? Justifique sua
resposta
3. É comum encontrarmos mesas com 4 “pernas”
que, mesmo apoiada em um piso plano, ba-
lançam e nos obrigam a colocar um calço em uma
das “pernas”, se a quisermos firme. Explique,
usando argumento de geometria, por que isso não
acontece com uma mesa de 3 “pernas”.
4. Determinação de um plano
Existem mais três modos de determinar um
plano, além do postulado P2, os quais vamos
enunciar em forma de proposição;
Proposição 1 – Um plano fica determinado de
modo único, por uma reta (r) e um ponto (P)
que não pertença a essa reta.
Notação: α = (P, r)
Demonstração:
Tome na reta r dois pontos distintos A e B (pos-
tulado P1). Dessa forma, temos que os pontos
A, B e P não são colineares, pois o ponto
P ∉ r.
Sendo assim, temos que existe um plano α
determinado pelos pontos A, B e P(postulado
P2), o qual vamos denotar por α =(A, B, P).
Observe que o ponto P ∈ α, e a reta r = AB ⊂ α
(postulado P5), ficando assim provada a
existência do plano α.
Vamos agora mostrar a unicidade do plano α:
Se existisse um outro plano, digamos β, pas-
sando por P e r teríamos que:
α = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ α = (A,B,P) e
β = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ β = (A,B,P).
Portanto (postulado P2) concluímos que α = β.
Exemplo1 
Quantos são os planos que passam por uma
reta dada? Justifique sua resposta.
Solução: Infinitos.
Seja r a reta e A um ponto fora de r (postulado
P1). A reta r e o ponto A determinam um plano
α (Proposição 1). Fora do plano α, tomamos
um ponto B (postulado P2). Desse modo, te-
mos que a reta r e o ponto B determinam um
plano β (Proposição 1). Fora de α e β, toma-
mos um ponto C (postulado P2). A reta r e o
ponto C determinam um plano γ (Proposição 1).
Desse modo, podemos construir, por r, tantos
planos quantos quisermos, isto é, construire-
mos infinitos planos. 
Exemplo 2
Quantos planos passam por dois pontos distin-
tos? Justifique sua resposta.
Solução: Infinitos.
Seja A e B tais pontos distintos. Pelo postulado
P3, temos que existe uma única reta r passan-
do por eles.
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Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
Sendo assim, fazendo uso do exercício ante-
rior, concluímos que existem infinitos planos
passando pelos pontos A e B.
1. (Proposição 2) Mostre que um plano fica deter-
minado de modo único, por duas retas concor-
rentes.
2. (Proposição 3) Mostre que um plano fica deter-
minado de modo único, por duas retas parale-
las entre si e distintas. 
3. Prove que duas retas paralelas distintas e uma
concorrente com as duas são coplanares.
4. Mostre que, se duas retas são paralelas distin-
tas, todo plano que contém uma delas e um
ponto da outra, contém a outra. 
5. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e um reta determinam um único
plano.
c) Três retas distintas, duas a duas paralelas,
determinam um ou três planos.
d) Três retas distintas, duas a duas concor-
rentes, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concor-
rentes, determinam um único plano.
f) Quatro pontos distintos e não-colineares
determinam um único plano.
4. Retas reversas
Definição – Diremos que duas retas r e s são
ditas reversas se, e somente se, não existe
plano que as contenha. 
Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e
r ∩ s = ∅ 
Retas reversas no cotidiano
5. Quadrilátero reverso
Definição – Um quadrilátero é chamado rever-
so se, e somente se, não existe plano con-
tendo seus quatros vértices.
Se α = (A, B, D) e C ∉ α, então ABCD é um
quadrilátero reverso.
Exemplo 1
Mostre que todo quadrilátero reverso não pode
ser um paralelogramo.
Solução: (Demonstração pelo método indireto)
Suponha que um quadrilátero reverso ABCD,
seja um paralelogramo ⇒ ⇒ ∃α
“plano” tal que ⊂ α, ⊂ α, portanto os
pontos A, B, C e D estão contidos em α. Isso
gera um absurdo em relação à hipótese . 
Logo, o quadrilátero reverso ABCD, não pode
ser um paralelogramo.
Exemplo 2
As diagonais de um quadrilátero reverso são
reversas.
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UEA – Licenciatura em Matemática
Solução: (Demonstração pelo método indireto)
Sejam 
⎯
AC e
⎯
BD as diagonais do quadrilátero
reverso ABCD. Sendo assim, suponha que as
diagonais 
⎯
AC e
⎯
BD não sejam reversas ⇒
e são coplanares ⇒ ∃ α “plano” tal que,
que os pontos A, B, C e D estão
contidos em α. Isso gera um absurdo em
relação ao fato do quadrilátero ser reverso. 
Logo, as diagonais
⎯
AC e
⎯
BD de um
quadrilátero reverso são reversas.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são
distintas.
b. ( ) Duas retas ou são coplanares ou são
reversas.
c. ( ) Duas retas distintas determinam um
plano.
d. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto
em comum.
e. ( ) Duas retas concorrentes têm um único
ponto em comum.
f. ( ) Duas retas que têm um ponto em co-
mum são concorrentes.
g. ( ) Duas retas que têm um único ponto em
comum são concorrentes.
h. ( ) Duas retas coplanares são concorrentes.
i. ( ) Duas retas não-coplanares são reversas.
2. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
Obs.: Em cada caso, abaixo, r e s são retas.
a. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são reversas.
b. ( ) r e s são reversas ⇒ r ∩ s = ∅.
c. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são paralelas.
d. ( ) r//s, r ≠ s ⇒ r ∩ s = ∅.
e. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para
que r e s sejam reversas.
f. ( ) A condição r ∩ s = ∅ ésuficiente para
que r e s sejam reversas.
g. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para
que as duas retas distintas r e s sejam
reversas.
h. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para
que as duas retas distintas r e s sejam
paralelas.
i. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária e
suficiente para que as duas retas distin-
tas r e s sejam reversas.
6. Interseção de planos
6.1 Postulados da interseção
P6) Se dois planos distintos têm um ponto em
comum, então eles têm pelos menos um outro
ponto em comum.
Notação:
α ≠ β, P ∈ α e P ∈ β ⇒ ∃Q; P ≠ Q, Q ∈ α e
Q ∈ β
Uma conseqüêcia natural do postulado P6 é que:
Se dois planos distintos têm um ponto em
comum, então a sua intersecção é dada por
uma única reta que passa por esse ponto.
7. Paralelismo de retas 
7.1 Postulado das paralelas (postulado 
de Euclisdes)
P7) Dados uma reta r e um ponto P ∉ r, existe
uma única reta s, passando por P, tal que
r seja paralela a s.
15
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
7.2 Teorema das Paralelas 
Se duas retas são paralelas a uma terceira,
então elas são paralelas entre si, ou seja, r, s e
t retas, em que r//t e s//t ⇒ r//s.
Temos dois casos a considerar:
1.o) As três retas são coplanares. 
2.o) As retas são não-coplanares.
Vamos considerar o segundo caso, que é o
mais geral.
Demonstração: 
Fazendo uso do postulado P7, as retas r e s não
têm ponto comum, pois caso essa afirmação
não fosse verdadeira, teríamos duas retas pas-
sado por um mesmo ponto e paralelas à reta t,
contrariando o postulado das paralelas. 
Considere os planos β = (r, t) e α = (s, t), ou
seja, o plano β é determinado pelas retas r e t,
pois r//t, e o plano α é determinado pelas retas
s e t, pois s//t.
Tomemos um ponto P em s; dessa forma,
podemos obter um plano γ = (P, r).
Os planos distintos α e γ têm um ponto P
comum; sendo assim, pela conseqüêcia natu-
ral do postulado P6, eles têm uma reta em co-
mum, que chamaremos de x (não podemos di-
zer que as retas s e x são as mesmas, pois
estaríamos admitinto a tese que queremos pro-
var).
(r = β ∩ γ , x = α ∩ γ , t = α ∩ β e r//t) ⇒
r//x e t//x
O ponto P pertence, então, às retas s e x, e
ambas são paralelas à reta t. Logo, fazendo
uso do postulado das paralelas, temos que
x = s. Donde concluímos que r = s.
1. Mostre que duas retas sendo paralelas a uma
terceira, então elas são paralelas entre si (para
o caso das três retas serem coplanares).
2. Mostre que os pontos médios dos lados de um
quadrilátero reverso são os vértices de um
paralelogramo.
8. Paralelismo entre retas e planos 
8.1 Definição
Sejam α e r um plano e uma reta respectiva-
mente. Diremos que a reta r é paralela ao plano α
se, e somente se, eles não têm ponto em comum.
Notação: α // r ⇔ α ∩ r = ∅
Vamos enunciar, como exercício resolvido,
uma condição necessária e suficiente para que
uma reta dada seja paralela a um plano dado.
Exemplo 1
(Condição Suficiente) Diremos que uma reta,
que não está contida num plano e é paralela a
pelo menos uma reta desse plano, é paralela
ao plano.
Em outras palavras:
Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-
mente, tal que r ⊄ α. Se a reta r é paralela a
uma reta s do plano α, então a reta r é paralela
ao plano α.
Hipótese: r ⊄ α, r//s, s ⊂ α ⇒ Tese r//α
16
UEA – Licenciatura em Matemática
Demonstração:
Temos por hipótese que r//s com r ∩ s = ∅.
Então, existe um plano β determinado por r e
s, onde s ⊂ α, s ⊂ β e α ≠ β implicando que
s = α ∩ β.
Se r e α têm um ponto em comum, digamos A,
teremos A ∈ r e r ⊂ β ⇒ A ∈ β. Como A ∈ β
e A ∈ α, decorre daí que A ∈ s.
Sendo assim, concluímos que A ∈ r e A ∈ s.
Logo, existe um ponto A ∈(r ∩ s) = ∅, o que
gera um absurdo. Logo, concluímos que a reta
r não pode ter ponto em comum com o plano
α, isto é, r//α.
Exemplo 2
(Condição necessária) Se uma reta é paralela
a um determinado plano, então ela é paralela a
uma reta desse plano. 
Em outras palavras:
Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-
mente. Se r//α, então existe uma reta s ⊂ α tal
que r//s. r
Hipótese: r //α ⇒ Tese: ∃ s ⊂ α |r//s
Demonstração: 
Conduzimos por r um plano β que intercepta α.
Seja s a reta dada pela interseção dos planos
α e β.
As retas r e s são coplanares, pois estão em β
e não têm pontos em comum, pois r ∩ α = ∅,
s ⊂ α ⇒ r ∩ s = ∅. Logo, r//s.
Observação – Uma condição nescessária e
suficiente para que uma reta (r), não contida
num plano (α), seja paralela a esse plano, é ser
paralela a uma reta (s) contida no plano (α).
9. Posições relativas entre uma reta e um plano 
São três as posições relativas entre uma reta e
um plano:
1.a) A reta está contida no plano. 
Ou seja, dois pontos distintos da reta, di-
gamos A e B também são pontos do plano. 
r ⊂ α ⇔ r ∩ α = r
2.a) A reta e o plano são concorrentes ou a reta
e o plano são secantes.
r ∩ α = {P}
3°) A reta e um plano são paralelos.
17
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
r // α ⇔ r ∩ α = ∅
1. Se uma reta é paralela a dois planos secantes,
então ela é paralela à interseção.
2. Se duas retas paralelas são dadas e uma delas
é paralela a um plano, então a outra é parale-
las ou está contida nesse plano. 
3. Dadas duas retas reversas r e s, construa por
s um plano paralelo a r.
4. Construa por um ponto uma reta paralela a
dois planos secantes.
5. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Uma reta e um plano que têm um ponto
comum são concorrentes.
b. ( ) Uma reta e um plano secantes têm um
único ponto comum.
c. ( ) Uma reta e um plano paralelos não têm
ponto comum.
d. ( ) Um plano e uma reta secantes têm um
ponto comum.
e. ( ) Se uma reta está contida num plano,
eles têm um ponto comum.
f. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é
paralela a qualquer reta do plano.
g. ( ) Se um plano é paralelo a uma reta,
qualquer reta do plano é reversa à reta
dada.
h. ( ) Se uma reta é paralela a um plano,
existe no plano uma reta concorrente
com a reta dada.
i. ( ) Se uma reta e um plano são concor-
rentes, então a reta é concorrente com
qualquer reta do plano.
j. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é
paralela a infinitas retas do planos.
k. ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um
plano, então elas são paralelas entre si.
l. ( ) Uma condição necessária e suficiente
para uma reta ser paralela a um plano é
ser paralela a uma reta do plano e não
estar nele.
10. Paralelismo entre planos
Definição:
Dois planos são paralelos se, e somente se,
eles não têm ponto comum ou são iguais
(coincidentes).
1.° caso:
2.° caso:
Notação: α // β ⇔ α = β ou α ∩ β = ∅
Uma condição necessária e suficiente para
que dois planos distintos sejam paralelos é
que um deles contenha duas retas concor-
rentes, ambas paralelas ao outro.
Exemplo 1
(Condição suficiente) Sejam α e β dois planos.
Se um deles, digamos β, possui duas retas a e
b concorrentes, ambas paralelas ao plano α,
então o plano α e β são paralelos.
Hipótese: {a ⊂ β, b ⊂ β, a ∩ b = {O}, a // α, b // α
⇒ Tese: {α // β
Demonstração:
Sendo os planos α e β distintos, vamos mostrar
18
UEA – Licenciatura em Matemática
que eles são paralelos, fazendo uso do método
indireto de demonstração, ou seja, supondo
que os planos α e β não sejam paralelos.
Logo, existiria uma reta, a qual vamos denotar
de i, tal que i = α ∩ β. Dessa forma, teríamos:
a // α, a ⊂ β, i = a ∩ β ⇒ a//i e b// α, b ⊂ β,
i = a ∩ β ⇒ b//i.
Logo, pelo teorema das paralelas, temos que
as retas a e b são paralelas, o que é um absur-
do, pois por hipótese as retas a e b são con-
correntes.
Assim, concluímos que os planos α e β são
paralelos.
Exemplo 2
(Condição necessária) Se dois planos distintos
α e β são paralelos, então um deles, digamos
β, contém duas retas concorrenres, ambas
paralelas ao outro (α).
Hipótese: {α // β ⇒ Tese {∃a ⊂ β, ∃b ⊂ β,
a ∩ b = {O}, a // α, b // α
Demonstração:
Sabemos que num plano dado (β) existem
infinitas retas; tome duas (a e b) que sejam
concorrentes, digamos, no ponto O, ou seja,
α ∩ β = {O}. Basta mostrarque as retas a e b
são ambas paralelas ao plano α.
Fazendo uso do método indireto de demons-
tração, ou seja , supondo que as retas a e b
não sejam paralelas ao plano α. Logo, existiria
pelo menos um ponto de uma das retas, di-
gamos P em reta a, que seria também ponto
do plano α.
Dessa forma, teríamos:
a ⊂ β, a ∩ α ≠ ∅ ⇒ α ∩ β ≠ ∅, o que é um
absurdo, pois os planos α // β tais que
α ∩ β = ∅. Portanto a tese é verdadeira.
11. Posições relativas entre dois planos
As posições relativas de dois planos, digamos
α e β, podem ser de três formas.
1. Planos coincidentes
α ∩ β = α = β
2. Planos paralelos distintos
α ∩ β = ∅
3. Planos secantes
α ∩ β = i
Exemplo 1
Sejam α, β dois planos distintos e paralelos.
Mostre que toda reta r de α é paralela ao pla-
no β.
Hipótese: {α // β, r ⊂ α ⇒ Tese {r // β
Demonstração:
Sendo α e β planos paralelos distintos e r ⊂ α,
vamos mostrar que r // β. Para isso, vamos
fazer uso do método indireto de demons-
tração, ou seja, vamos supor que a reta r não
seja paralela ao plano β.
Logo, existiria pelo menos um ponto Q ∈ r, tal
que o ponto Q ∈ β. Como Q ∈ α, pois r ⊂ α e
Q ∈ β, teríamos que Q ∈ α ∩ β, o que seria um
absurdo, pois por hipótese α ∩ β = ∅. Logo,
vale a tese, ou seja, r // β.
19
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
Exemplo 2
Sejam α, β e γ três planos distintos. Se α, β
são paralelos, e γ encontra α segundo a reta r,
então γ encontra β segundo a reta s.
Hipótese: {α, β, γ planos, α // β e γ ∩ α= r ⇒
Tese: {γ ∩ β = s
Demonstração:
Basta considerar, em γ, uma reta t concorrente
com a reta r. 
Como γ ≠ α, concluímos que t é concorrente
com α. Sendo α // β, teremos que t é concor-
rente com o plano β num ponto, digamos Q.
Logo, fazendo uso da conseqüêcia natural do
postulado P6, temos que existe uma reta, di-
gamos s, tal que Q ∈ s e s = γ ∩ β.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Se dois planos são secantes, então
qualquer reta de um deles é concor-
rente com o outro.
b. ( ) Se dois planos são secantes, então
uma reta de um deles pode ser concor-
rente com uma reta do outro.
c. ( ) Se dois planos são secantes, então
uma reta de um deles pode ser reversa
com uma reta do outro,
d. ( ) Dois planos distintos paralelos têm um
ponto em comum.
e. ( ) Se dois planos distintos são paralelos,
então uma reta de um deles é paralela
ao outro.
f. ( ) Se dois planos distintos são paralelos,
então uma reta de um e uma reta de
outro podem ser concorrentes.
g. ( ) Se um plano contém duas retas distin-
tas e paralelas a um outro plano, então
esses planos são paralelos.
h. ( ) Uma condição suficiente para que dois
planos sejam paralelos é que duas retas
distintas de um sejam paralelas ao outro.
i. ( ) Se dois planos são paralelos, então toda
reta que tem um ponto comum com um
deles, tem um ponto comum com o outro.
2. Se dois planos paralelos interceptam um ter-
ceiro, então as interseções são paralelas.
3. Se dois plano são paralelos, toda reta paralela
a um deles é paralela ou está contida no outro.
4. Mostre a transitividade entre planos, isto é, se
dois planos são paralelos a um terceiro , então
eles são paralelos entre si.
12. Retas e planos perpendiculares
Definição
Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e
somente se, r é perpendicular a todas as retas
de α que passam pelo ponto de intersecção de
r e α.
Observações:
1. Se uma reta r e um plano são concorrentes
e não são perpendiculares, eles são oblí-
quos.
2. se uma reta r é perpendicular a um plano α,
então ela é perpendicular ou ortogonal a
toda reta de α: 
Como conseqüência, temos o seguinte Teo-
rema, que vamos admitir sem demonstração.
20
UEA – Licenciatura em Matemática
Teorema (Fundamental) – Para que uma reta r
seja perpendicular a um plano α, basta ser per-
pendicular a duas retas concorrentes, contidas
em α.
Hipótese: ⇒ Tese {r ⊥ α
Como conseqüência deste teorema, temos os
seguintes corolários.
Corolário 1 – Num plano (α), há duas retas (b
e c) concorrentes (em P). Se uma reta (a) é
perpendicular a uma delas (b em O) e ortogo-
nal à outra (c), então essa reta (a) é perpendi-
cular ao plano (α).
Corolário 2 – Se uma reta é ortogonal a duas
retas concorrentes de um plano, então ela é
perpendicular ao plano.
1.° Caso
2.° Caso
3.° Caso
Exemplo 1
Classifique em verdadeiro ou falso. Justifican-
do sua resposta.
a) Uma reta e um plano secantes são perpen-
diculares.
Resposta: Falso, pois a reta e o plano
podem ser secante oblíquos.
b) Uma reta é perpendicular a um plano é per-
pendicular a infinitas retas desse plano.
Resposta: Verdadeiro. Use a definição de
perpendicularismo entre reta e plano.
c) Um reta perpendicular a um plano é reversa
a todas as retas do plano.
Resposta: Falso. Use o Teorema (Funda-
mental) e observe que a reta é perpendicu-
lar a pelo menos duas retas do plano.
21
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
d) Uma reta perpendicular a um plano é ortog-
onal a infinitas retas do plano.
Resposta: Verdadeiro. Use o corolário 2
“Se uma reta (r) é ortogonal a duas retas (s
e t) concorrentes de um plano, então ela é
perpendicular ao plano” e observe que, no
plano, existem infinitas retas paralelas às
retas (s e t) e ortogonais à reta dada.
13. Planos perpendiculares
Definição
Dois planos (α e β) são perpendiculares se, e
somente se, existe uma reta de um deles que é
perpendicular ao outro.
Fazendo uso da definição, temos a seguinte,
proposição.
Proposição – Sejam α, β planos, e i uma reta
tal que i = α ∩ β. Se α ⊥ β e r é uma reta con-
tida em um deles, digamos r ⊂ α e r ⊥ i. Então,
r ⊥ β.
Demonstração:
Sendo α ⊥ β, temos que existe uma reta a tal
que a ⊂ α, em que α ⊥ β. Então, concluímos
que a reta a é perpendicular à reta i.
No plano α, temos que a ⊥ i e r ⊥ i ⇒ a//r.
Sendo a//r e α ⊥ β, concluímos que r ⊥ β.
Finalmente, vamos enunciar, sem demons-
tração, uma condição necessária e suficiente
para que dois planos secantes sejam perpen-
diculares.
Proposição – Uma condição necessária e sufi-
ciente para que dois planos secantes sejam
perpendiculares é que toda reta de um deles,
perpendicular à interseção, seja perpendicular
ao outro.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Dois planos, perpendiculares a um ter-
ceiro, são perpendiculares entre si.
b. ( ) Se dois planos são perpendiculares a
um terceiro, então eles são paralelos.
c. ( ) Se dois planos são perpendiculares,
então toda reta perpendicular a um
deles é paralela ao outro ou está conti-
da neste outro.
d. ( ) Se dois planos são paralelos, todo
plano perpendicular a um deles é per-
pendicular ao outro.
e. ( ) Uma reta e um plano são paralelos. Se
um plano é perpendicular ao plano
dado, então ele é perpendicular à reta.
f. ( ) Se dois planos são secantes, então eles
são perpendiculares.
g. ( ) Se dois planos são perpendiculares,
então toda reta de um deles é perpendi-
cular ao outro.
22
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE II
Distâncias, diedros e triedros
25
Geometria II – Distâncias, diedros e triedros
TEMA 02
DISTÂNCIAS E DIEDROS
1. Projeção ortogonal
Definiçao – A projeção ortogonal de um ponto
P sobre um plano α é a intersecção do plano
com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo
ponto P.
P’ = projα P
1.1 Projeção ortogonal de uma figura geométrica
A projeção ortogonal de uma figura geométrica
F (qualquer conjunto de pontos) sobre um
plano α é o conjunto das projeções ortogonais
de todos os pontos de F sobre α.
F’ = projα F
1.2 Projeção de uma reta
Se a reta (r) é perpendicular ao plano (α), tere-
mos como projeção ortogonal exatamente um
ponto, digamos P.
P’ = projα r
Se a reta não é perpendicular ao plano, tere-
mos a seguinte definição.
Definição – Chama-se projeção ortogonal de
uma reta r, não perpendicular a um plano α,
sobre esse plano, ao traço em α, do plano β,
perpendicular a α, conduzido por r.
Geometricamente, temos:
r’ = projα r
2. Distâncias geométricas
Vamos definir distâncias geométricasentre
entes geométricos.
2.1 Distância entre ponto e ponto
Definição – Chama-se distância entre dois pon-
tos distintos A e B ao comprimento do segui-
mento de reta
⎯
AB ou ao comprimento qual-
quer segmento congruente a
⎯
AB. Se A = B, a
distância entre A e B é nula. 
Notação: d(A, B) = AB
2.2 Distância entre ponto e reta
Definição – Chama-se distância entre um
ponto (A) e um reta (r) à distância entre esse
ponto e o pé da perpendicular à reta conduzi-
da pelo ponto.
Notação: d(A, r) = AB
B é o pé da perpendicular à reta r conduzido
por A, ou seja, B é a intersecção de uma reta
conduzida por A e perpendicular à reta r. 
2.3 Distância entre ponto e plano
Definição – A distância entre um ponto e um
plano é a medida do segmento cujos
extremos são o ponto e sua projeção ortogonal
sobre o plano.
26
UEA – Licenciatura em Matemática
Notação: d(P, α) = PP’
2.4 Distância entre uma reta e um plano paralelo
Definição – A distância entre uma reta e um
plano paralelo é a distância entre um ponto
qualquer da reta e o plano.
Notação: d(r, a) = d(P, α) = PP’
2.5 Distância entre dois planos paralelos
Definição – A distância entre dois planos para-
lelos é a distância entre um ponto qualquer de
um deles e o outro plano
dα . β= PP’
Notação: d(α, β) = d (P, β) = PP’
2.6 Distância entre duas retas reversas
Definição – A distância entre duas retas rever-
sas (r e s) é a distância entre um ponto qual-
quer de uma delas e o plano que passa pela
outra e é paralelo à primeira reta.
Notação: d(r, s) = PP’
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Se 
⎯
PA é um seguimento oblíquo a um
plano α, com A ∈ α, então a distância
entre P e A é a distância entre P e α.
b. ( ) A distância entre um ponto e um plano
é a reta perpendicular ao plano pelo
ponto.
c. ( ) A distância de um ponto P a um plano α
é a distância de P ao ponto P’ de inter-
seção de α com a reta r, perpendicular
a α por P.
d. ( ) A distância entre um plano e uma reta,
sendo eles paralelos distintos, é a dis-
tância de um ponto qualquer do plano a
reta.
e. ( ) A distância entre um plano e uma reta,
sendo eles paralelos e distintos, é a dis-
tância de um ponto qualquer do plano a
um ponto qualquer da reta.
3. Ângulos entre retas reversas 
Definição – De modo geral, definimos ângulo
entre duas retas reversas como sendo o ângu-
lo agudo que uma delas forma com uma reta
paralela à outra.
Geometricamente, temos:
θ é o ângulo entre r e s.
4. Ângulos entre reta e planos
Definição – O ângulo entre uma reta e um
plano é o ângulo agudo que a reta forma com
sua projeção ortogonal sobre o plano.
Gemetricamente, temos:
27
Geometria II – Distâncias, diedros e triedros
θ é o ângulo entre r e α
5. Diedros
5.1 Definição – Dois semiplanos não-coplanares,
com origem numa mesma reta, determinam
uma figura geométrica chamada ângulo dié-
drico, ou simplesmente diedro.
5.2 Secção de um diedro 
Definição – Secção de um diedro é a interseção
do diedro com um plano secante à aresta.
Exemplo: 
Duas secções paralelas de um diedro são con-
gruentes. 
Solução:
De fato, as secções são dois ângulos de lados
com sentidos respectivamente concordantes,
e portanto são congruentes.
1. Defina:
a) Diedro reto.
b) Diedro agudo.
c) Diedro obtuso.
d) Diedros adjacentes.
e) Diedros opostos pela aresta.
5.3 Congruência entre diedros
Definição – Dois diedros são congruentes se,
e sommente se, uma secção normal de um é
congruente à secção normal do outro.
Notação: αrβ = α’ r’ β’ ⇔ xy ≡ x’ y’
28
UEA – Licenciatura em Matemática
6. Triedos
Definição – Três semi-retas não-coplanares,
com origem num mesmo ponto, determinam
três ângulos que formam uma figura geométri-
ca chamada ângulo triédrico, ou simples-
mente triedro.
7. Ângulo poliédrico
Definição – Sejam n semi-retas (n ≥ 3) de
mesma origem, tais que nunca fiquem três num
mesmo semiplano. Essas semi-retas determi-
nam n ângulos em que o plano de cada um
deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-
espaço. A figura formada por esses ângulos é
o ângulo poliédrico.
UNIDADE III
Poliedros, prismas e pirâmides
31
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
TEMA 03
POLIEDROS
1. Definição
Chamamos de poliedro o sólido limitado por
quatro ou mais polígonos planos, pertencentes
a planos diferentes e que têm dois a dois
somente uma aresta em comum. Veja alguns
exemplos
1.
2.
3.
4.
5. 
2. Elementos
Os polígonos são as faces do poliedro; os la-
dos e os vértices dos polígonos são as arestas
e os vértices do poliedro.
3. Poliedros convexos e côncavos
Um poliedro é dito convexo se limita uma re-
gião do espaço que é convexa. Essa região
identifica o interior do poliedro convexo. 
A região interior de um poliedro é convexa se,
ao tomar arbitrariamente dois pontos quais-
quer da região, todo o segmento definido por
esses pontos também está totalmente contido
na região. Outra maneira de identificar a região
interior como convexa é a seguinte: considere
uma face qualquer do poliedro e o plano que a
contém. Se todo o poliedro fica totalmente em
um dos lados deste plano, independente da
face escolhida, o poliedro é convexo. 
Os exemplos 1, 2 e 3 são poliedros convexos. 
O exemplo 4 não é um poliedro convexo, pois,
em relação a duas de suas faces, ele não está
contido em apenas um semi-espaço. 
O poliedro do exemplo 5, denominado “toro”,
tem o formato de uma câmara de ar dos anti-
gos pneus e é formado por quatro tetraedos e
quatro pirâmides de base triangular, sendo a
região central vazada. Este poliedro também
não é convexo. Os poliedros que não são con-
vexos são chamados de poliedros côncavos.
4. Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes espe-
ciais de acordo com o número de faces, como
por exemplo:
• Tetraedro: quatro faces.
• Pentaedro: cinco faces.
• Hexaedro: seis faces. 
• Heptaedro: sete faces. 
• Octaedro: oito faces.
• Icosaedro: vinte faces. 
5. Relação de Euler
Muitos dos símbolos matemáticos que são
usados hoje se devem ao matemático suíço
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Leonard Euler, nascido em Basiléia (1707-
1783). Ele foi o primeiro a usar a letra e para
denotar a base dos logaritmos naturais, o pri-
meiro a usar a letra grega π e o primeiro a usar
i como sendo a raiz quadrada de –1 ( ).
Embora a descoberta do resultado do teorema
que relaciona vértices, faces e arestas de um
poliedro regular convexo seja atribuída a Des-
cartes (1596-1650), a fórmula V – A + F = 2
leva o nome de Euler, que além de tê-la redes-
coberto, publicou uma demonstração em 1751.
Euler
Além de estudar Matemática, dedicou-se tam-
bém à Teologia, Medicina, Astronomia, Física e
às línguas orientais. É considerado O mestre
de todos os matemáticos do século XVIII pelo
fato de as suas pesquisas terem aberto novos
caminhos para a Matemática. 
Em 1741, recebeu um convite para exercer o
cargo de vice-presidente da seção de Mate-
mática da Academia de Berlim. Durante o lon-
go período em que aí permaneceu, escreveu
mais de trezentos trabalhos científicos. Mas,
em 1776, quando retorna à Rússia, descobre
que estava perdendo a visão do olho que lhe
restava. Mesmo completamente cego, Euler,
auxiliado por seus filhos Kraff e Lexill, escrevia
numa lousa colocada em sua casa as novas
descobertas Matemáticas que fazia.
Em todo poliedro convexo, é válida a relação
seguinte:
V – F + A = 2
Tal relação é demonimana relação de Euler,
em que V é o número de vértices, A é o
número de arestas e F, o número de faces.
Exemplo:
Verifique se os poliedros abaixo satisfazem a
relação de Euler
a)
Solução:
V = 9, A = 18, F = 11
V – A + F = 9 – 18 + 11 = 2 
Portanto satisfaz a relação de Euler.
b) 
Solução:
V = 14, A = 21, F = 9
V – A + F = 14 – 21 + 9 = 2
Portanto satisfaz a relação de Euler.
c) 
Solução:
V = 16, A = 32, F = 16
V – A + F = 16 – 32 + 16 = 0
Portanto não satisfaz a relação de Euler.
Observação – Os poliedros para os quais é
válida a relação de Euler são chamados euleri-
anos.
33
5. Poliedros de Platão 
Esse nomedado a alguns poliedros deve-se ao
filósofo grego Platão (427-348 a.C.), discípulo de
Sócrates e mestre de Aristóteles. Foi fundador
da Academia de Atenas onde se ensinava
Matemática, Ginástica e Filosofia. Ele valorizava
muito a Matemática, por ela nos dar a capaci-
dade de raciocínio abstrato. Na entrada da sua
academia, havia a seguinte afirmação: “Que aqui
não adentre quem não souber geometria”.
Platão
5.1 Definição
Um poliedro é chamado “poliedro de Platão”
se, e somente se, satisfaz as três seguintes
condições:
a) todas as faces têm o mesmo número (n) de
arestas;
b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo
número (m) de arestas, ou seja, de cada
vértice parte o mesmo número (m) de ares-
tas;
c) vale a relação de Euler (V – F + A = 2).
5.2 Propriedade
Existem cinco, e somente cinco, classes de
poliedros de Platão, que são: tetraedro, hexae-
dro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Observe
que todos eles satisfazem as condições citadas. 
6. Poliedros regulares 
6.1 Definição:
Um poliedro convexo é regular quando:
a) suas faces são polígonos regulares e con-
gruentes;
b) seus ângulos poliédricos são congruentes.
6.2 Propriedade
Existem cinco, e somente cinco, tipos de
poliedros regulares convexos, que são: tetrae-
dro regular, hexaedro regular, octaedro regular,
dodecaedro regular e icosaedro regular.
Observe que:
a) se suas faces são polígonos regulares e
congruentes, então todas têm o mesmo
número de arestas;
b) se seus ângulos poliédricos são congru-
entes, então todos têm o mesmo número
de arestas.
Portanto temos:
Todo poliedro regular convexo é poliedro de
Platão, mas nem todo poliedro de Platão é
poliedro regular. 
Por exemplo, uma caixa de bombons como a da
figura a seguir é um poliedro de Platão (hexae-
dro), mas não é um poliedro regular, pois as faces
não são polígonos regulares e congruentes.
Johann Kepler (1571-1630) descobriu dois po-
liedros que são, simultaneamente, regulares e
não-convexos: o pequeno dodecaedro estrela-
do e o grande dodecaedro estrelado. 
Pequeno dodecadro Grande dodecadro
estrelado estrelado
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
34
UEA – Licenciatura em Matemática
Dentre os vários poliedros serão destacados
nos temas a seguir os prismas e as pirâmides. 
Aula prática 1: Construção dos poliedros
Objetivos:
• Visualizar os poliedros bem como as suas
planificações.
• Verificar a relação de Euler nos poliedros
construídos e nas embalagens do cotidi-
ano.
• Verificar as propriedades dos poliedros
convexos, de Platão e regulares nos polie-
dros construídos e nas embalagens.
• Determinar experimentalmente a área total
e o volume dos poliedros.
ATIVIDADE 1
Material: 
• Embalagens do cotidiano com formas difer-
entes. 
Descrição:
• Identificar, nas embalagens, as que são
poliedros, poliedros convexos, de Platão
e/ou poliedros regulares. 
ATIVIDADE 2
Material:
• Canudinhos (com cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Barbante.
• Modelo do anexo.
Descrição:
• Confeccionar, com canudinhos, os polie-
dros de Platão conforme os modelos dos
anexos 1 a 4. 
ATIVIDADE 3
Material:
• Folhas de papel cartão.
• Tesoura.
• Cola.
• Elásticos coloridos.
• Modelo dos anexos 5 a 9.
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, a planifi-
cação dos poliedros de Platão conforme
modelo do anexo 5 a 9.
• Colorir as faces dos poliedros; recortar a
planificação.
• Obter o valor da área total dos poliedros
antes de montá-los.
• Dobrar as arestas e depois unir com cola as
que estiverem nas bordas da planificação.
• Obter experimentalmente o valor do volume
dos poliedros.
1. Determine o número de vértices de um poliedro
convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face
quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 
35
2. Num poliedro convexo de 10 arestas, o
número de faces é igual ao número de vértices.
Quantas faces tem esse poliedro?
3. Num poliedro convexo, o número de arestas
excede o número de vértices em 6 unidades.
Calcule o número de faces desse poliedro. 
4. Um poliedro convexo apresenta faces quad-
rangulares e triangulares. Calcule o número de
faces desse poliedro, sabendo que o número
de arestas é o quádruplo do número de faces
triangulares, e o número de faces quadrangu-
lares é igual a 5. 
5. Um poliedro convexo tem 11 vértices, o
número de faces triangulares igual ao número
de faces quadrangulares e uma face pentago-
nal. Calcule o número de faces desse poliedro. 
6. Calcule o número de faces triangulares e o
número de faces quadrangulares de um po-
liedro com 20 arestas e 10 vértices. 
7. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângu-
los tetraédricos e dois ângulos pentaédricos.
Quantas arestas e quantas faces tem o
poliedro? 
8. Ache o número de faces de um poliedro con-
vexo que possui 16 ângulos triedros. 
9. Determine o número de vértices, arestas e
faces de um poliedro convexo formado por
cinco triedros, sete ângulos tetraédricos, nove
ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédri-
cos. 
10. Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaé-
drico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais
triedros. Sabendo que o poliedro tem número
de faces triangulares igual ao número de faces
quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no
total 21 faces, calcule o número de vértices do
poliedro convexo. 
11. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadra-
das e oito triangulares. Determine o número de
faces, arestas e vértices desse sólido euleri-
ano. 
TEMA 04
PRISMAS
1. Definição
Consideremos um polígono convexo (região
poligonal convexa) ABC...DE situado num plano
α e o segmento de reta ⎯PQ, cuja reta suporte
intercepta o plano α. Chama-se prisma (ou pris-
ma convexo) à reunião de todos os segmentos
congruentes e paralelos a
⎯
PQ, com uma extre-
midade nos pontos do polígono e situados num
mesmo semi-espaço dos determinados por α.
Em outras palavras, prisma é um sólido
geométrico (poliedro convexo) delimitado por
faces planas, no qual as bases se situam em
planos paralelos. Várias embalagens utilizadas
têm a forma de prisma, conforme mostra a
figura a seguir.
2. Elementos do prisma
Bases – São as regiões poligonais Ex.:
ABCDE e A’B’C’D’E’.
Faces laterais – São os paralelogramos. Ex.:
ABA’B’ e BCB’C’.
Arestas das bases – São os lados do polí-
gono da base. Ex.: 
⎯
AB e .
Arestas laterais – São os lados dos paralelo-
gramos. Ex. 
⎯
AA’,
⎯
CC’
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
36
UEA – Licenciatura em Matemática
Altura – É distância entre os planos que con-
têm as bases.
3. Classificação dos prismas
Quanto à inclinação das arestas laterais, os
prismas podem ser retos ou oblíquos.
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases. Nesse
caso, as faces laterais são retângulos.
Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são
oblíquas aos planos das bases.
Prisma regular é um prisma reto cujas bases
são polígonos regulares. Por exemplo, o prisma
esquerdo da figura acima é um prisma regular.
4. Natureza do prisma
A natureza do prisma é dada de acordo com o
polígono da base.
Exemplo:
Ache a natureza de um prisma, sabendo que
ele possui:
a) 7 faces b) 24 arestas
Solução:
a) V = 2n; A = 3n; F = 7
Como no prisma é válida a relação de Euler,
tem-se:
V – A + F = 2
2n – 3n + 7 = 2 n = 5
Logo, o prisma é pentagonal.
b) V = 2n; A = 24; F = n+2
V – A + F = 2
2n – 24 + n + 2 = 2
3n – 22 = 2 n = 8
Logo, o prisma é octogonal.
5. Secção do prisma
Secção de um prisma é a interseção do prisma
com um plano que intercepta todas as arestas
laterais. A secção de um prisma é um polígono
com vértice em cada aresta lateral.
Secção reta ou secção normal é uma secção
cujo plano é perpendicular às arestas laterais.
6. Tronco do prisma
Quando se secciona um prisma por um plano
não paralelo aos planos das bases, a região
espacial delimitada pela base do prisma e pela
região poligonal do plano que o seccionou é
denominado tronco de prisma, conforme mos-
tra a figura a seguir. 
Secção do prisma Prisma seccionadoPOLÍGONO NOME
triângulo Prisma triangular
quadrado Prisma quadrangular
pentágono Prisma pentagonal
hexágono Prisma hexagonal
..... .....
37
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
7. Diagonal do prisma
A diagonal de um prisma é o segmento de reta
que une dois vértices situados em faces distintas.
7.1 Diagonal do cubo
Considere o cubo de aresta a, com diagonal
da base ƒ e diagonal do cubo d, conforme
mostra a figura.
Iniciemos calculando a medida ƒ.
No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
temos:
ƒ2 = a2 + a2 ⇒ ƒ2 = 2a2 ⇒ ƒ = ⇒
ƒ = a
No ΔIHF, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
tem-se:
d2 = a2 + ƒ2 ⇒ d2 = a2 + 2a2 ⇒ d2 = 3a2 ⇒
d = a
Portanto:
A diagonal de um cubo de aresta a é: d = a .
Exemplo:
Se a aresta de um cubo mede 100cm, encontre
a distância de um vértice do cubo à sua diagonal.
Solução:
Seja d a diagonal do cubo, ƒ a diagonal da
face do cubo (o quadrado), a aresta do cubo e
x a distância do vértice B à sua diagonal d,
conforme a figura a seguir.
Considerando o triângulo ABC retângulo em
B, podemos utilizar a relação métrica em que o
produto da medida da hipotenusa pela medida
da altura relativa à hipotenusa é igual ao pro-
duto das medidas dos catetos.
Portanto: d.x = a.f (I)
Cálculo da diagonal do cubo (d):
d = a = 100 cm
Cálculo da diagonal do quadrado (ƒ):
ƒ = a = 100 cm
Substituindo d = 100 cm, ƒ = 100 cm e
a = 100cm na expressão (I) temos:
Racionalizando o valor de x, temos:
Resposta: A distância de um vértice do cubo à 
sua diagonal é de .
7.2 Diagonal do paralelepípedo retângulo
Considere o paralelepípedo retângulo de ares-
tas a, b e c com diagonal da base ƒ e diagonal
do paralelepípedo retângulo d.
Iniciemos calculando a medida ƒ da diagonal
da face EFGH:
38
UEA – Licenciatura em Matemática
No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
temos:
ƒ2 = a2 + b2 ⇒ ƒ =
No ΔHFI, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
temos:
d2 = ƒ2 + c2 ⇒ d2 = a2 + b2 + c2 ⇒
D = 
Aula prática 2: Construção dos prismas 
Objetivos: 
• Visualizar os prismas construídos.
• Identificar os elementos de alguns prismas
regulares.
• Classificar os prismas em retos ou oblíquos.
• Identificar os prismas regulares.
• Visualizar a secção dos prismas.
• Determinar a quantidade de faces, arestas e
vértices dos primas obtidos.
• Verificar a validade da relação de Euler nos
prismas.
• Visualizar a diagonal do cubo e do para-
lelepípedo retângulo.
• Deduzir a expressão para o cálculo da dia-
gonal do cubo e do paralelepípedo retângulo.
Atividade 1
Material:
• Geoplano 3D.
• Elásticos coloridos.
Descrição:
• Construir alguns prismas retos e oblíquos. 
• Construir alguns prismas regulares identifi-
cando seus elementos, secções e verifi-
cando a validade da relação de Euler.
• Construir alguns prismas não-regulares,
identificando a altura. 
Atividade 2 
Material: 
• Acetato. (ou papel cartão).
• Tesoura.
• Cola.
Descrição:
• Construir o cubo e o paralelepípedo retân-
gulo utilizando acetato (ou papel cartão).
• Construir um triângulo retângulo em que
um dos catetos tem a medidas da aresta do
cubo construído, e o outro tem a medida da
diagonal da face do cubo.
• Calcular a diagonal do cubo utilizando o
teorema de Pitágoras.
• Construir um triângulo retângulo em que
um dos catetos tem a medida da altura do
paralelepípedo retângulo construído, e o
outro tem a medida da face do para-
lelepípedo.
• calcular a diagonal do paralelepípedo retân-
gulo utilizando o teorema de Pitágoras.
39
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
TEMA 05
PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA
1. Planificação do prisma
Para facilitar a obtenção da área da superfície
de um sólido é necessário representar o sólido
(tridimensional) no plano (bidimensional). Para
isso, é preciso “abri-lo”, de modo que seus ele-
mentos (faces laterais, bases, vértices e ares-
tas) estejam representadas num determinado
plano, conforme mostra a figura a seguir.
2. Área do prisma 
Observe, na figura do prisma planificado, que
para calcular a área lateral (Al) deve-se calcu-
lar a área de uma das faces laterais (Afl) e, por
serem congruentes, multiplicar o resultado
pela quantidade de faces (n). 
Logo: Al = n . Afl. 
Tratando-se de prisma reto, as faces laterais
são retângulos e, portanto, a área do retângulo
é dada pelo produto entre a medida da aresta
da base (l) pela medida da altura do prisma (h). 
Logo: Al = n. l.h 
Para calcular a área das bases, deve-se calcu-
lar a área de um dos polígonos da base (Ab) e,
por serem congruentes, multiplicar o resultado
por 2.
Para calcular a área total (At) deve-se somar a
área lateral com a área das bases. 
Portanto:
Área total do prisma:
At = Al + 2Ab
At = n . Afl + 2Ab
At = n . l . h + 2Ab
Em que: 
A l é a área lateral, e Ab é a área de uma das
bases.
Afl é área de uma das face laterais.
n = quantidade de faces laterais.
l = aresta da base.
h = altura do prisma.
2.1 Área do cubo
Como o cubo possui 4 faces laterais quadran-
gulares congruentes e 2 bases quadradas de
mesma área, temos:
At = Al + 2Ab
Acubo = 4a2 + 2a2
Acubo = 6a2
em que a = aresta do cubo.
2.2 Área do paralelepípedo retângulo
Para a área lateral, temos:
Al = 2a.c + 2b.c
Substituindo na expressão da área do prisma
temos:
At = A l + 2Ab
Aparalel. = 2a.c + 2b.c + 2a.b
em que a = comprimento; b = largura;
c = altura.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 1:
Calcule a área total do prisma de 8dm de altura
e cuja base é um quadrado inscrito num círcu-
lo de 6dm de raio.
Solução:
Representando o prisma enunciado no proble-
ma, tem-se a figura a seguir.
Iniciemos calculando a área da base.
Área da base (Ab) – Destacando o quadrado
inscrito na circunferência, temos:
Para calcular a medida da aresta da base l, deve-
se utilizar a diagonal do quadrado, pois d = l .
Sendo a diagonal do quadrado o dobro da
medida do raio, tem-se:
d = l ⇒ 2r = l ⇒ 2.6 = l ⇒ 
12 = l
Racionalizando o valor de l, temos:
l =
Substituindo o valor de l na expressão da área
da base, temos:
Área da base: Ab = l2 = (6 )2 = 36.2 =
72dm2. (I)
Agora, calculemos a área lateral do prisma (Al).
Como o prisma possui 4 faces laterais (retân-
gulos), a área lateral é igual a quatro vezes a
área de cada retângulo (Ar).
Al = 4Ar = 4 . l . h = 4 . 6 . 8 = 4.48 dm2 (II)
Substituindo os valores obtidos em (I) e (II)
para a área da base (Ab) e área lateral (Al) na
expressão da área total (At), temos:
Área total no prisma: 
At = Al + 2Ab = 4 . 48 + 2 . 72 = 4 . 48
+ 144 = 48(3 + 4 )dm2
Resposta: 
A área total do prisma é 48(3 + 4 )dm2.
Exemplo 2:
Joana pretende confeccionar embalagens em
forma de prisma reto hexagonal regular com
aresta da base medindo 3cm e aresta da face
lateral medindo 6cm. Sabendo que para con-
feccionar a embalagem o material utilizado
custa R$3,00/cm2, quanto Joana gastará?
Obs.: adote ≈ 1,73.
Solução:
Para saber quanto Joana irá gastar, é ne-cessário
saber a área total da embalagem. Planificando o
prisma hexagonal, temos a figura a seguir.
Considerando:
Medida da aresta lateral: r = 6cm
Medida da aresta da base: s = 3cm 
Iniciemos calculando a área lateral do prisma:
Como o prisma possui 6 faces laterais (retân-
gulos), a área lateral é igual a seis vezes a área
de cada retângulo (Ar).
Área lateral: Al = 6 . Ar = 6. r . s = 6.(6 . 3) =
108cm2.
Área da base – Como a base é um hexágono
regular que pode ser decomposto em seis
triângulos eqüiláteros, a área de um hexágono
regular é igual a seis vezes a área do triângulo
eqüilátero(Atri.).
41
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Sendo a medida do lado do triângulo
eqüilátero a mesma medida da aresta da base
(s), tem-se:
Ab = 6 . Atri = 6. = 6. = =
cm2. 
Área total: 
At = Al + 2Ab
At = 108 + 2.
At = 9(12 + 3 )cm2.
Agora, que temos a área total, podemos obter
o custo total.
Como o material utilizado na embalagem custa
R$ 0,30 cada centímetro quadrado, o custo
total (Ct) será 0,3 vezes a área total.
Ct = 0,3. At = 0,3.9(12+3 ) = 46,413 ≈ R$ 46,41
Resposta: Joanagastará aproximadamente
R$ 46,41.
Exemplo 3: 
Um prisma triangular regular tem a aresta da
base medindo 10dm. Em quanto se deve au-
mentar a altura, conservando-se a mesma
base, para que a área lateral do novo prisma
seja igual a área total do prisma dado? 
Solução:
Sendo l = 10dm, considere Al2 a área lateral do
novo prisma, At1 área total do prisma dado, em
que Al2 = At1, h = altura do prisma dado, h2
altura do novo prisma e x o acréscimo dado à
medida da altura do novo prisma, conforme
mostra a figura a seguir.
Iniciemos calculando Al2:
Sendo Ar a área do retângulo de cada face,
temos:
Al2 = 3.Ar = 3 . l . h2 = 3.(10h2) = 30h2 ⇒
Al2 = 30(h + x)
Para calcular a área total do prisma dado, é
necessário calcular a área da base e a área la-
teral deste prisma.
Área da base do prisma dado:
(I)
Área lateral do prisma dado:
Al1 = 3.(l . h) = 3.(10h) = 30h (II)
Substituindo os valores obtidos em (I) e (II) na
expressão da área total do prisma dado, temos:
At1 = Al1 + 2Ab = 30h + 2.25 =
30h + 50
Como Al2= At1, temos:
30(h + x) = 30h + 50
30h + 30x = 30h + 50
30x = 50
1. A figura a seguir apresenta a planificação de
um prisma triangular. Calcular sua área total.
42
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5cm.
Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubo
para que sua diagonal passe a medir 5,5cm?
3. A diferença entre as áreas totais de dois cubos
é 164,64cm2. Calcule a diferença entre as suas
diagonais, sabendo que a aresta do menor
mede 3,5cm.
4. A aresta da base de um prisma hexagonal re-
gular mede 8cm. Em quanto se deve diminuir a
altura desse prisma de modo que se tenha um
novo prisma com área total igual à área lateral
do prisma dado?
5. A aresta lateral de um prisma reto mede 12m;
a base é um triângulo retângulo de 150m2 de
área e cuja hipotenusa mede 25m. Calcule a
área total desse prisma.
6. Um prisma pentagonal regular tem 8cm de
altura, sendo 7cm a medida da aresta da base.
Calcule a área lateral desse prisma.
Aula prática 3: Planificação e área dos prismas
Objetivos: 
• Visualizar as planificações dos prismas.
• Estabelecer a correspondência entre as pla-
nificações e os prismas. 
• Deduzir a expressão para o cálculo da área
do prisma incluindo área do cubo e do
paralelepípedo retângulo.
• Obter o valor da área dos prismas construí-
dos.
Atividade 1
Material: 
• Folhas de papel cartão.
• Tesoura.
• Cola.
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, as possíveis
planificações do cubo conforme figura.
• Recortar as planificações.
• Dobrar as arestas e montar o sólido.
• Verificar que em todos os casos foi possível
a construção do cubo, pois a soma dos
ângulos dos três quadrados unidos a cada
vértice é 270o, portanto, menor que 360o.
Atividade 2
Material: 
• Folhas de papel cartão (2 cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Modelos dos anexos 10 a 12.
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, a planifi-
cação dos prismas regulares conforme
modelo do anexo 10 a 12.
• Recortar a planificação.
• Confeccionar, em papel cartão, (com cor
diferente da utilizada na planificação) triân-
gulos eqüiláteros cuja medida do lado é a
mesma da aresta da base do prisma.
• Sobrepor os triângulos a uma das bases.
• Calcular a área lateral, da base e total do
prisma.
• Dobrar as arestas e montar o prisma.
Atividade 3 
Recurso didático: 
• Software Poly Pro1.
Descrição:
• Selecionar um dos prismas disponíveis no
software Poly Pro utilizando a opção Prisms
and Anti-Prisms.
• Planificar e comparar com a planificação
obtida na atividade 2.
(1) Software geométrico disponível em: www.peda.com/download
43
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
TEMA 06
VOLUME DO PRISMA
1. Volume de um sólido 
Volume de um sólido é a quantidade de
espaço por ele ocupada. Essa quantidade é
determinada comparando esse sólido com um
outro tomado como unidade (que geralmente
é o cubo). Dessa comparação resulta um nú-
mero que será a medida do volume. 
Para calcular o volume de um prisma qualquer,
será necessário primeiramente entender o
princípio de Cavalieri. 
Observe na figura a seguir que de um sólido
constituído por 10 lajotas (paralelepípedos
retângulos), todas do mesmo tamanho, podem
ser formadas pilhas das mais variadas formas.
Mas, qualquer que seja a disposição dada às
lajotas essas pilhas têm o mesmo volume, ou
seja, ocupam a mesma quantidade de espaço. 
pilha 1 pilha 2 pilha 3
Idéia intuitiva do Princípio de Cavalieri
Considere dois sólidos A e B com base num
mesmo plano α e situados num mesmo semi-
espaço por ele determinado. Qualquer plano
β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α,
determina, nesses sólidos superfícies de áreas
iguais (superfícies equivalentes), conforme
mostra a figura a seguir. 
Com essa idéia intuitiva, pode-se formalizar o
chamado Princípio de Cavalieri. 
44
UEA – Licenciatura em Matemática
Bonaventura Cavalieri(1598-1647) foi um dos
matemáticos mais influentes de sua época.
Discípulo de Galileu Galilei, foi também
astrônomo, devendo-se a ele, em grande parte,
o método dos indivisíveis desenvolvido a partir
de 1626. Cavalieri não definia em suas obras o
que vinham a ser os indivisíveis. Segundo ele,
porém, uma figura plana seria formada por
uma infinidade de cordas paralelas entre si e
uma figura sólida por uma infinidade de
secções paralelas entre si. A essas cordas e a
essas secções chamava de indivisíveis. Em um
de seus livros, dizia que um sólido é formado
por indivisíveis assim como um livro é compos-
to de páginas. Daí a idéia de interceptar o sóli-
do por planos paralelos.
Bonaventura Cavalieri
Principio de Cavalieri:
Dois sólidos, nos quais todo plano secante,
paralelo a um dado plano, determina superfícies
de áreas iguais (superfícies equivalentes), são
sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).
Sólidos equivalentes
α // β e A1 = A2 ⇒ VS1 = VS2
Adotando um paralelepípedo retângulo S2 cuja
área da base é B e cuja altura é h, temos que o
volume do paralelepípedo retângulo é dado por:
VS2 = B . h
Para utilizar o princípio de Cavalieri, considere
agora um prisma S1 de altura h e área da base
Ab (a mesma do paralelepípedo retângulo). 
Supondo que S1 e S2 têm as bases num
mesmo plano α e estão num mesmo semi-
espaço em relação a α, então todo plano β
paralelo a α, que interceptar S1, também inter-
ceptará S2, e as secções transversais terão
áreas iguais, pois são congruentes às respecti-
vas bases.
Assim, pelo princípio de Cavalieri, o volume do
prisma S1 é igual ao volume do paralelepípedo
S2. Logo, temos:
VS1 = VS2
Vprisma1 = B . h
Exemplo 1:
A água de um reservatório na forma de um
paralelepípedo retângulo de comprimento 30m
e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a
falta de chuvas e o calor, 1.800m3 da água do
reservatório evaporaram. Qual a altura máxima
atingida pela água restante no reservatório?
Solução:
Sendo a = 30m, b = 20m, c = 10m e o volume
evaporado(Ve)=1800m3, considere x a altura
do reservatório depois que a água evaporou,
conforme a figura.
Iniciemos calculando o volume inicial do reser-
vatório (Vi): 
Vi = a . b . c = 30.20.10 = 6000m3
Volume final do reservatório (Vf):
Utilizando o volume evaporado, tem-se:
Vf = Vi – Ve = 6000 – 1800 = 4200m3
45
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Utilizando as dimensões do reservatório com
altura x, tem-se: 
Vf = a . b . x = 30.20. x = 600x
Portanto temos:
600x = 4200 = 7m
Resposta: A altura máxima atingida pela água
restante no reservatório é de 7 metros.
Exemplo 2: 
Paulo tem um galpão com as medidas indi-
cadas na figura. Qual o volume do galpão?
Solução:
O volume do galpão (Vg) será dado pela soma
dos volumes do paralelepípedo retângulo
(Vparal.) e do prisma triangular (Vpri) – parte
superior do galpão.
Volume do paralelepípedo retângulo(Vparal.):
Vparal. = 4.8.20 = 640m3
Volume do prisma triangular(Vpri):
Vpri = Ab . h = Atri . h 
em que:
Atri é a área do triângulo e h a altura do prisma.
Lembrando que em um triângulo qualquera
área é dada por:
, onde:
p é o semiperímetro do triângulo. logo
; a, b e c são as medidas dos
lados do triângulo.
Sendo a = 8m e b = c = 5m, temos:
p = 9m
Portanto:
Vpri = Atri . h = 12 . 20 = 240m3
Calculando agora o volume do galpão, temos:
Vg = Vparal. + Vpri = 640 + 240 
Vg = 880m3
Exemplo 3:
A altura h de um paralelepípedo retângulo
mede 60cm, sendo a sua base um quadrado.
A diagonal do paralelepípedo forma um ângu-
lo de 60° com o plano da base. Determine o
volume do paralelepípedo retângulo.
Solução:
Representando o paralelepípedo retângulo
descrito no problema, tem-se a figura a seguir.
Para determinar o volume do paralelepípedo
retângulo, é necessário encontrar a área da
base, que por sua vez depende da medida a.
Podemos encontrar o valor de a por meio da
relação entre a medida da aresta do quadrado
a e sua diagonal ƒ. 
Com os elementos caracterizados na figura e
considerando o triângulo ABC, temos:
Utilizando a função trigonométrica tangente
que relaciona o cateto oposto ao ângulo de 60o
h e o cateto adjacente a este ângulo ƒ, temos:
Substituindo o valor de ƒ na relação ƒ = a ,
temos:
Racionalizando o valor de a, temos:
46
UEA – Licenciatura em Matemática
Agora, podemos encontrar a área da base (Ab):
Portanto, temos:
V = Ab . h = 600 . 60 = 36000cm3
O volume do paralelepípedo retângulo é
36000cm3
Exemplo 4:
Uma caixa cúbica sem tampa, com 1 litro de
capacidade, está completamente cheia de
leite. Inclina-se a caixa 30o em relação ao plano
horizontal, de modo que apenas uma de suas
arestas fique em contato com o plano, con-
forme mostra a figura. Qual o volume em cm3
do leite derramado? 
Solução:
Como o leite derramado está contido em um
prisma triangular, para calcular o volume (V) é
necessário calcular a área da base do triângu-
lo e a altura deste prisma. Como o volume do
cubo = a3 e 1l = 1dm3, temos:
a3 = 1 ⇒ a = 1dm
Considere o triângulo retângulo ABC, pois
m(BÂC) = 90º sendo b a medida da base do
triângulo e a a medida da aresta do cubo.
Como a reta é paralela ao plano da base
onde está apoiado o cubo, então m(AĈB) = 30º,
que é a inclinação do cubo em relação ao
plano conforme mostra a figura a seguir. 
Destacando no prisma triangular o ΔABC,
temos:
Como o volume do leite derramado V = Ab . h
e sendo Ab a área do triângulo retângulo ABC,
temos: 
(I)
Portanto, para obter V, é necessário obter o
valor de b. Para isso, podemos utilizar a função
trigonométrica tangente que relaciona o cateto
oposto ao ângulo de 30o (b) e o cateto adja-
cente a este ângulo (a). 
Logo:
Substituindo o valor de b na expressão (I), tem-
se:
Como 1dm3 = 1000cm3, tem-se que:
Resposta: O volume em cm3 do leite derramado
é:
Exemplo 5:
Determine o volume de um prisma reto de
10cm de altura e cuja base é um hexágono
regular de apótema 3 cm.
Solução:
Para calcular o volume é necessário calcular a
área do hexágono.
Logo, Ab = 6Atri, onde Atri é a área de cada
47
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
triângulo que compõe o hexágono, conforme a
figura a seguir. 
Destacando no prisma triangular o ΔABC, temos:
Para calcular a área de cada triângulo que com-
põe o hexágono, é necessário obter as medidas
da base (a) e da altura (m) do triângulo.
Para obter o valor de a, podemos utilizar o tri-
ângulo retângulo ABC, pois contém o apótema
m = 3 cm
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, temos:
(I)
Substituindo m = 3 cm na expressão (I),
temos:
Sendo e substituindo a expressão
de m na área do triângulo, temos:
Portanto:
(II)
Agora, podemos substituir o valor de a na
expressão (II).
Substituindo o valor da área da base
Ab = 54 cm2 e h = 10cm na expressão do
volume do prisma, temos:
V = Ab . h = 54 . 10
V = 540 cm3
Resposta: O volume do prisma reto é 540 cm3.
1. Calcule a área total e o volume de um prisma
hexagonal regular de 12m de aresta lateral e
4m de aresta da base.
2. Um prisma hexagonal regular tem a área da
base igual a 96 cm2. Calcule a área lateral e
o volume do prisma, sabendo que a altura é
igual ao apótema da base. 
3. Um prisma reto tem por base um losango em 
que uma de suas diagonais é os da outra, e
a soma de ambas é 14cm. Calcule o volume
desse prisma, sabendo que sua altura é igual
ao semiperímetro da base.
4. Calcule o volume e a área total de um prisma
cuja base é um triângulo eqüilátero de 6dm de
perímetro, sendo a altura do prisma o dobro da
altura da base.
5. Calcule o volume de um prisma triangular re-
gular, sendo todas suas arestas de mesma
medida, e sua área lateral 33m2
6. Calcule o volume de um prisma quadrangular
regular cuja área total tem 144m2, sabendo que
sua área lateral é igual ao dobro da área da
base.
48
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Dispondo-se de uma folha de cartolina, medin-
do 50cm de comprimento por 30cm de largura,
pode-se construir uma caixa aberta, cortando-
se um quadrado de 8cm de lado em cada canto
da folha. O volume dessa caixa, em cm3, será:
a) 1244 b) 1828
c) 2324 d) 3808
e) 12000
2. A aresta, a diagonal e o volume de um cubo
estão, nessa ordem, em progressão geométri-
ca. A área total deste cubo é:
a) 6 b) 6 (2 – I)
c) 3 d) 12
e) 18
3. As dimensões de um paralelepípedo retângulo
são inversamente proporcionais aos números
12, 6 e 4. Se sua área total é 88cm2, o seu vol-
ume, em cm3 é:
a) 288 b) 144
c) 128 d) 64
e) 48
4. Considere um paralelepípedo com 12m de
comprimento, 4m de largura e 3m de altura. Se
o seu volume for aumentado de 624m3, então
sua altura aumentará de:
a) 7m b) 9m
c) 11m d) 13m
e) 12m
5. Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de
largura e de 2,80m de altura, as portas e as
janelas ocupam uma área de 4m2. Para azule-
jar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a
compra de 10% a mais da metragem a
ladrilhar. A metragem quadrada de ladrilhos a
comprar é:
a) 24,40 b) 24,8O 
c) 25,50 d) 26,40 
e) 26,80 
6. O volume de ar contido em um galpão com a
forma e as dimensões dadas pela figura abai-
xo é:
a) 288 b) 384
c) 480 d) 360
e) 768
7. De um bloco cúbico de isopor de aresta 3a
recorta-se o sólido, em forma de “H”, mostrado
na figura. O volume do sólido é:
a) 27 a3 b) 21 a3
c) 18 a3 d) 14 a3
e) 9 a3
Aula prática 3: Princípio de Cavalieri 
Objetivos: 
• Visualizar a equivalência de dois sólidos a
partir de superfícies equivalentes.
• Deduzir a expressão para o cálculo do vo-
lume de um prima a partir do volume de um
paralelepípedo.
Material: 
• Emborrachado ou pedaços de madeira.
Atividade 1: 
• Confeccionar cilindros (ou cubos, ou pris-
mas triangulares ou qualquer outro sólido)
de aproximadamente 1cm de altura e mesma
área.
• sobrepor as peças confeccionadas de ma-
49
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
neira diferente, formando dois sólidos dis-
tintos.
• Comparar os volumes dos dois sólidos
obtidos. 
Atividade 2: 
Material:
• Folhas de acetato (ou papel cartão, 2 cores
diferentes).
• Tesoura e cola.
• Areia (ou grãos, bolas de isopor pequenas).
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, um prisma
reto regular.
• Confeccionar, em papel cartão, um para-
lelepípedo retângulo com cor diferente do
prisma regular confeccionado e cuja base
e altura sejam as mesmas do prisma reto
regular.
• Encher o paralelepípedo retângulo com
algum material de baixa densidade (ex.: iso-
por) e despejar no prisma regular.
• Comparar os volumes.
• Determinar a expressão para o volume do
prisma. 
TEMA 07
PIRÂMIDES
1. Definição
Consideremos uma região poligonal contida
em um plano α e um ponto V localizado fora
desse plano. 
Uma pirâmide é a reunião de todos os seg-
mentos que têm uma extremidade em V e a
outra num ponto qualquer da região poligonal.
O ponto V recebe o nome de vértice da pi-
râmide.
2. Histórico
As pirâmides mais famosas foram construídas
no Egito antigo por volta de 2600 a 2500 a.C.
Elas eram utilizadas para sepultar famílias reais.
As pirâmides de Gizé existem até hoje e são for-
madas por um conjunto de nove pirâmides
construídas pelos faraós Quéops, Quéfrem e
Miquerinos. A mais altachama-se Quéops e
mede 138 metros de altura. O historiador grego
Heródoto, escrevendo 2400 anos atrás, calcu-
lou que 100.000 homens trabalharam durante
20 anos para a completa construção da Grande
Pirâmide. Calcula-se também que foram usa-
dos 2,3 milhões de blocos de pedra para cons-
truí-la, cada bloco pesando 2,5 toneladas.
Pirâmides foram também construídas por out-
ros povos, como os maias, na América Central,
entre 300 e 900 d.C., e mais tarde pelos aste-
cas. Eram usadas como templos para ado-
50
UEA – Licenciatura em Matemática
ração ao Sol, à lua e aos seus deuses da
chuva. As formas piramidais foram usadas por
tribos indígenas e mais recentemente por
escoteiros para construir barracas.
3. Elementos da pirâmide
Vértice: o ponto V.
Base: a região poligonal. Ex.: ABCDEF
Faces laterais: regiões triangulares. Ex.: AVB,
BVC, CVD.
Arestas da base: lados do polígono da base.
Ex.:
⎯⎯
AB e 
⎯⎯
BC.
Arestas laterais: lados dos triângulos. Ex.: 
⎯⎯
AV.
Altura: distância do vértice à base (h).
4. Classificação das pirâmides
As pirâmides podem ser classificadas de acor-
do com a projeção do vértice sobre o plano da
base como oblíquas ou retas.
Pirâmide oblíqua – É uma pirâmide cuja pro-
jeção ortogonal do vértice V sobre o plano da
base não coincide com o centro da base.
Pirâmide reta – É uma pirâmide cuja projeção
ortogonal do vértice V sobre o plano da base
coincide com o centro da base. A pirâmide re-
gular é uma pirâmide reta cujo polígono da
base é regular.
Em uma pirâmide regular, destacamos: 
1. As arestas laterais são congruentes.
2. As faces laterais são triângulos isósceles
congruentes.
3. O apótema do polígono regular da base é
chamado apótema da base.
4. A altura de uma face lateral relativa à aresta
da base é chamada apótema da pirâmide.
Numa pirâmide regular, considere:
a, a aresta da base;
h, a altura da pirâmide;
m, o apótema da base;
g, o apótema da face;
l, a aresta lateral;
r, o raio do círculo que circunscreve a base.
Podemos obter as seguintes relações analisan-
do os triângulos VOM, VOR e VMS.
Do triângulo VOM, temos: 
Do triângulo VOR, temos:
51
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Do triângulo VMS, temos:
5. Natureza da pirâmide
Da mesma forma que no prisma, a natureza
da pirâmide é dada de acordo com o polí-
gono da base.
6. Secção transversal de uma pirâmide
Um plano qualquer paralelo ao plano da base,
ao interceptar uma pirâmide, nela determina
uma região denominada secção transversal,
conforme mostra a figura a seguir. 
7. Tronco da pirâmide de bases paralelas
Quando se secciona uma pirâmide por um
plano paralelo ao plano da base, a região
espacial delimitada pela base da pirâmide e
pela região poligonal determinado no plano
que a seccionou é denominado tronco de
pirâmide, conforme mostra a figura a seguir. 
8. Planificação da pirâmide
Ao contrário dos prismas, em que as faces são
paralelogramos e possuem duas bases, as
pirâmides têm faces triangulares e apenas uma
base, conforme mostra a figura de uma
pirâmide planificada.
9. Área na pirâmide 
Observe, na pirâmide regular planificada, que
para calcular sua área lateral (Al) deve-se cal-
cular a área de uma face lateral (Afl) e multi-
plicar pela quantidade de faces (n). Para calcu-
lar a área da base (Ab), deve-se calcular a área
do polígono da base. Portanto, para calcular a
área total da pirâmide (At), soma-se a área late-
ral com a área da base.
At = Al + Ab
= n . Afl + Ab
em que:
At = área total da pirâmide.
n = quantidade de faces laterais.
Afl = área da face lateral.
Ab = área da base.
Exemplo 1: Calcule a área total na pirâmide
quadrangular.
POLÍGONO NOME
triângulo Pirâmide triangular
quadrado Pirâmide quadrangular
pentágono Pirâmide pentagonal
hexágono Pirâmide hexagonal
..... .....
52
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução: 
Uma pirâmide quadrangular possui como base
um quadrado e quatro faces triangulares.
Logo:
n = 4
a = 2cm
Ab = 22 = 4cm2
h = 5cm
Para calcular a área lateral (Al), é necessário
calcular a área da face triangular (Afl), que, por
sua vez, depende da altura da face, ou seja, do
apótema da pirâmide (g). 
Como temos a medida do apótema da base
(m) e a altura da pirâmide (h), podemos utilizar
a expressão obtida em (I) para encontrar g:
Logo:
Portanto:
At = Al + Ab = 
Exemplo 2: 
Calcule a área lateral e a área total de uma
pirâmide regular hexagonal cujo apótema
mede 20cm, sendo 6cm a medida do raio da
base.
Solução:
Como a base é um hexágono regular, temos: 
r = l = 6cm. 
Cálculo da área da face lateral (Afl)
Cálculo da área lateral (Al)
Al = 6 . 60 = 360cm2
Cálculo da área da base (Ab)
Portanto a área total da pirâmide é:
At = Al + Ab = 360 + 54 ⇒
At = 18(20 + 3 )cm2
Exemplo 3
Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmide
triangular regular, sabendo que sua altura
mede 12cm e que o perímetro da base mede
12cm.
Solução: 
Sabendo que o perímetro da base mede 12cm,
temos:
3l = 12 ⇒ l = 4cm
Para calcular a área da face lateral (Afl), é
necessário obter a altura da face g. Como
temos a altura da pirâmide h, precisamos obter
o valor de m.
Sabemos que em um triângulo eqüilátero é vá-
lida a seguinte expressão para a medida do
apótema:
Portanto:
Utilizando a relação obtida em (I), podemos
obter g:
53
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Agora, podemos obter a área da face lateral:
Portanto:
Cálculo da área da base:
Sendo um triângulo eqüilátero de medida l,
temos:
Cálculo da área total:
At = Al + Ab = 
1. Calcule a aresta lateral de uma pirâmide regu-
lar, sabendo que sua base é um hexágono de
6cm de lado, sendo 10cm a altura da pirâmide.
2. A base de uma pirâmide regular é um hexá-
gono inscrito em um círculo de 12cm de diâ-
metro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo
que a área da base é a décima parte da área
lateral.
3. Calcule a área lateral e a área total de uma
pirâmide regular hexagonal, sendo 3cm sua
altura e 10cm a medida da aresta da base.
4. Uma pirâmide regular de base quadrada tem o
lado da base medindo 8cm e a área lateral
igual a 3/5 da área total. Calcule a altura e a
área lateral dessa pirâmide.
5. Determine a altura de uma pirâmide triangular
regular, sabendo que a área total é 36 cm2, e
que o raio do círculo inscrito na base mede
2cm.
6. Calcule a aresta da base de uma pirâmide reg-
ular hexagonal, sendo 30 cm2 a área lateral
e 2 cm a medida da aresta lateral.
7. Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmide
triangular regular, sabendo que sua altura
mede 12cm e que o perímetro da base mede
12cm.
8 Volume do tetraedro 
Considerando um prisma triangular ABCDEF,
podemos decompô-lo em três pirâmides trian-
gulares, segundo os planos AEC e DEC, como
mostra a figura a seguir.
Seccionando o prisma pelo plano AEC, obte-
mos o tetraedro AEBC e a pirâmide quadran-
gular AECDF.
Seccionando a pirâmide AECDF pelo plano
DEC, obtemos duas pirâmides triangulares: o
ACDE e o CDEF.
Temos, então, que o volume do prisma é a so-
ma dos volumes das 3 pirâmides obtidas:
Vprisma = VT1 + VT2 + VT3
Observe que as pirâmides ABCE e CEDF têm
o mesmo volume, pois possuem as bases
(ABC e DEF) congruentes e a mesma altura (a
do prisma). Então, VT1= VT2. (I)
O mesmo ocorre com as pirâmides ACDE e
CDEF, pois as bases (ACD e ACD) são congru-
entes e possuem a mesma altura (distância de
54
UEA – Licenciatura em Matemática
E ao plano ACDF). Então, VT2= VT3 . (II)
De (I) e (II) temos: VT1 = VT2 = VT3
Chamando o volume da pirâmide triangular VT,
a área do prisma Ab e altura h, temos: 
Exemplo: 
Calcular o volume de um tetraedro de aresta a.
Para obtermos o volume do tetraedro, é ne-
cessário calcular a área da base e a altura.
Cálculo da área da base (Ab):
Cálculo da altura (h):
A projeção do vértice A sobre a base BCD é o
centro O dessa face. Sendo M o ponto médio
de
⎯⎯
CD, podemos calcular BO na base e a
altura h no triângulo retângulo AOB.
C
No triângulo ΔAOB, sendo AB = a, 
temos:
Cálculo do volume:
9. Volume de uma pirâmide qualquer
Considere agorauma pirâmide qualquer cuja
base seja um polígono de n lados (n ≥ 3) de
área B e altura h. Podemos decompor esse
polígono em n – 2 triângulos.
Dessa forma, a pirâmide ficará decomposta em
n – 2 pirâmides triangulares de bases B1, B2,...,
Bn–2.
Temos então:
Exemplo1
Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de
altura, sendo a base um losango cujas diago-
nais medem 6cm e 10cm.
Solução:
Para calcular a área da base da pirâmide (Ab),
é necessário calcular a área do losango (Alos.).
Sendo D (a diagonal maior) e d (a diagonal
menor), temos:
Agora, podemos calcular o volume da pirâ-
mide:
55
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Exemplo 2
Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal
regular, sendo 24cm o perímetro da base e
30cm a soma dos comprimentos de todas as
arestas laterais.
Solução:
Para calcular o volume, precisamos da área da
base e da altura.
Para calcular a área da base, é necessário
obter a medida a. Como o hexágono tem 24cm
de perímetro e considerando a medida do lado
do hexágono a, temos:
6a = 24 ⇒ a = 4cm 
Podemos, então, calcular a área da base (Ab).
Para calcular a altura da pirâmide, podemos
utilizar a relação trigonométrica l2 = h2 + a2. (I)
Para isso, é necessário encontrar a medida l.
Como a soma dos comprimentos de todas as
arestas laterais é 30cm, temos:
6l =30 ⇒ l = 5cm. 
Substituindo o valor de a = 4cm e l = 5cm na
expressão obtida em (I) temos:
l2 = h2 + a2 ⇒ 52 = h2 + 42 ⇒ 
⇒ 25 = h2 + 16 ⇒ h2 = 9 ⇒ h = 3cm
Agora, podemos substituir o valor da área da
base (Ab) e da altura (h) na expressão para o
cálculo do volume da pirâmide:
V = 24 cm3
Exemplo 3
A área lateral de uma pirâmide triangular regular
é o quádruplo da área da base. Calcule o vo-
lume, sabendo que a aresta da base mede 3cm.
Solução:
Considerando Al a área lateral de uma pirâmide
triangular regular e Ab a área da base, temos:
Al = 4Ab (I)
Cálculo da área da base:
(II)
Considerando a a medida da aresta da base e
g a altura da face lateral (apótema), para obter-
mos a área lateral (Al), é necessário obter a
medida g:
(III)
Substituindo os resultados obtidos de (II) e (III)
na expressão (I), obtemos:
Para obtermos h, precisamos utilizar a relação
trigonométrica g2 = h2 + m2. Mas falta obter a
medida m. Sendo m o apótema de um triângu-
lo eqüilátero, temos:
Substituindo os valores obtidos de m e g na
relação trigonométrica, temos:
Agora, podemos substituir o valor da área da
base (Ab) e da altura (h) na expressão do vo-
lume da pirâmide:
56
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Numa pirâmide quadrangular regular, a altura é
o triplo da aresta da base, e seu volume é
64m3. Calcule a área lateral.
2. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é
4,2m3. Calcule a altura dessa pirâmide, saben-
do-se que o perímetro da base mede 3,6m.
3. A área da base de uma pirâmide regular he-
xagonal é igual a 216 m2. Determine o vol-
ume da pirâmide, sabendo que sua altura
mede 16m.
4. O volume de uma pirâmide triangular regular é
64 cm3. Determine a medida da aresta later-
al, sabendo que a altura é igual ao semi-
perímetro da base.
5. Calcule o volume de uma pirâmide regular
hexagonal, sendo 6cm a medida da aresta da
base e 10cm a medida da aresta lateral.
6. Calcule o volume de uma pirâmide triangular
regular, sendo 20cm a medida de sua aresta lat-
eral e 36 cm o perímetro do triângulo da base.
1. Um prisma e uma pirâmide têm, ambos, bases
quadradas e mesmo volume. O lado do qua-
drado da base da pirâmide mede 1m, e o
quadrado da base do prisma tem lado 2m. A.
razão entre as alturas da pirâmide e do prisma
respectivamente é:
a) 3/4 b) 12
c) 1/12 d) 1/3
e) 4/3
2. Um prisma e uma pirâmide têm bases com
mesma área. Se o volume do prisma for o
dobro do volume da pirâmide, a altura da
pirâmide será:
a) o triplo da do prisma;
b) o dobro da do prisma;
c) o triplo da metade da do prisma;
d) o dobro da terça parte da do prisma;
e) o quádruplo da do prisma.
3. Se uma face de um tetraedro regular está
inscrita em um círculo de raio 1, então o vol-
ume desse tetraedro é:
a) b) 
c) d)
e)
4. Ao município de Humaitá chegou o “Grande
Circo Geométricus”, cuja tenda tem o formato
de uma pirâmide hexagonal regular justaposta
sobre um prisma hexagonal regular de aresta
da base a = 20m e altura h = 3m.
Considerando que a altura total da tenda é
htotal = (3 + 2 )m, a quantidade total de
lona utilizada nela é de:
a) 360m2
b) 1920m2
c) 1440m2
d) 1 560m2
e) 1800m2
5 As arestas laterais de uma pirâmide reta
medem 15cm, e sua base é um quadrado
cujos lados medem 18cm. A altura dessa
pirâmide, em centímetros, é igual a:
a) 3 b) 3
c) 2 d) 2
e)
57
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Aula prática 5: Construção de pirâmides
Objetivos: 
• Visualizar as pirâmides construídas.
• Identificar os elementos de algumas pirâ-
mides regulares.
• Classificar as pirâmides em retas ou oblí-
quas.
• Identificar as pirâmides regulares.
• Visualizar a secção das pirâmides. 
• Identificar a quantidade de faces, arestas e
vértices das pirâmides obtidas.
• Verificar a validade da relação de Euler nas
pirâmides.
Atividade 1
Material:
• Geoplano 3D.
• Elásticos coloridos.
Descrição:
• Construir algumas pirâmides retas e oblí-
quas. 
• Construir algumas pirâmides regulares
identificando seus elementos, secções e
verificando a validade da relação de Euler.
Aula prática 6: Planificação e área das
pirâmides
Objetivos: 
• Visualizar as planificações das pirâmides.
• Estabelecer a correspondência entre as
planificações e as pirâmides.
• Deduzir a expressão para o cálculo da área
da pirâmide.
Atividade 1
Material:
• Folhas de papel cartão.
• Tesoura.
• Cola.
Descrição:
• Confeccionar, em papel-cartão, as possíveis
planificações do tetraedro conforme a figura.
• Recortar as planificações.
• Dobrar as arestas e montar o sólido.
• Verificar que somente a letra “c” representa
a planificação do tetraedro, pois a soma
dos ângulos dos quatro triângulos unidos
ao mesmo vértice é 240o, portanto, maior
que 180o.
Atividade 2
Material:
• Folhas de papel-cartão (2 cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Modelo do anexo 13.
Descrição:
• confeccionar, em papel-cartão, a planifi-
cação das pirâmides regulares conforme
modelo do anexo 13.
• Recortar a planificação.
• Confeccionar, em papel-cartão (com cor
diferente da utilizada na planificação), triân-
gulos eqüiláteros cuja medida do lado seja
a mesma da aresta da base da pirâmide.
• Sobrepor os triângulos à base.
• Calcular a área lateral da base e total da
pirâmide.
• Dobrar as arestas e depois montar a
pirâmide.
Atividade 3 
Recurso didático:
• Software Poly Pro.
Descrição:
• Selecionar uma das pirâmides disponíveis
no software Poly Pro utilizando a opção
Platonic Solids (no caso do tetraedro) ou
Johson Solids (para outras pirâmides).
• Planificar e comparar com a planificação
obtida na atividade 2.
Aula prática 7: Relação entre o volume do
prisma e o volume da pirâmide de mesma
base e altura
Objetivo:
• Estabelecer a relação entre o volume do
prisma e da pirâmide de mesma base e
altura.
Atividade 1:
Material:
• Prisma de acetato.
• Pirâmide de acetado com mesma base e
altura do prisma.
• Bolinhas de isopor (ou outro material de
baixa densidade). 
Descrição:
• Verificar quantas vezes é possível encher o
prisma com as bolinhas de isopor utilizando
a pirâmide.
• Estabelecer, por meio deste experimento,
uma relação entre os volumes do prisma e
o da pirâmide.
58
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IV
Cilindro e cone
61
Geometria II – Cilindro e cone
TEMA 08
CILINDRO
1. Definição
Consideremos um círculo de centro O e raio r,
contido em um plano e um segmento de reta
⎯
PQ cuja reta suporte intercepte esse plano. 
Um cilindro circular ou cilindro é a reunião de
todos os segmentos congruentes a
⎯
PQ, para-
lelos à reta que o contém com uma extremi-
dade nos pontos do círculo e situados num
mesmo semi-espaço em relação a α.
Os objetos cilíndricos podem ser encontrados
em quasetodos os lugares. Por exemplo, a
maioria das latas encontradas nas prateleiras
dos supermercados; as moedas, que são co-
nhecidas como cilindros chatos; as colunas
cilíndricas utilizadas para sustentar o teto de
certas construções, etc.
2. Elementos do cilindro
Bases – Os círculos congruentes de centro O
e O’ e raio r. 
Eixo – A reta que passa pelo centro das bases.
Ex.: 
⎯
OO’
Altura – A distância entre os planos que con-
têm as bases (h).
Geratriz – Os segmentos com as extremidades
nos pontos das circunferências das bases (g).
3. Secção meridiana de um cilindro
A intersecção de um plano que contém o eixo⎯OO’ com o cilindro denomina-se secção meri-
diana.
4. Classificação dos cilindros
Os cilindros são classificados de acordo com a
inclinação da geratriz em relação às bases,
podendo ser oblíquo, reto ou eqüilátero.
Cilindro oblíquo – É aquele cuja geratriz é
oblíqua às bases. Sua secção meridiana é um
paralelogramo.
Cilindro reto ou de revolução – É aquele cuja
geratriz é perpendicular às bases. Sua secção
meridiana é um retângulo.
Cilindro eqüilátero – É todo cilindro reto cuja
altura é igual ao diâmetro da base. Sua secção
meridiana é um quadrado. Portanto, g = h = 2r.
5. Planificação do cilindro
Ao planificar um cilindro, temos um retângulo
cuja largura é a altura h do prisma e cujo com-
62
UEA – Licenciatura em Matemática
primento é o comprimento da circunferência
de raio r e temos dois círculos congruentes,
conforme mostra a figura a seguir.
6. Área no cilindro 
Observe, no cilindro planificado, que para cal-
cular sua área total (At) deve-se somar a área
lateral com o dobro da área da base, uma vez
que os dois círculos são congruentes e, por-
tanto, possuem a mesma área.
At = Al + 2Ab
At = 2π . r . h + 2π2
At = 2πr(h + r)
7. Volume do cilindro
Considere um cilindro e um prisma, ambos de
mesma altura h e bases de mesma área Ab,
apoiados sobre um plano α, conforme mostra
a figura a seguir. 
As secções transversais determinadas por um
plano β, paralelo a α, têm áreas iguais. Então,
pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm
o mesmo volume:
Volume do cilindro = Volume do prisma.
Vprisma = Ab . h ⇒ Vcilindro = Ab . h
Sendo a área da base de um cilindro de raio r
dada por πr2, temos:
Vcilindro = π . r2 . h
Exemplo 1
Calcular a área lateral, área total e o volume de
um cilindro reto de altura 10cm e raio da base
5cm.
a) Cálculo da área lateral (Al):
Al = 2π . r . h = 2π . 5 . 10 
Al = 100πcm2
b) Para calcular a área total (At), é necessário
calcular a área da base (Ab):
Ab = π . r2 = π . 52 = 25cm2
At = Al + 2Ab = 100π + 50π ⇒
Al = 150πcm2
a) V = Ab . h = 25π . 10 ⇒
V = 250πcm3
Exemplo 2
Quantos cm2 são necessários para revestir a
superfície da lata de óleo com papel laminado
e quantos mililitros de óleo cabem nessa lata?
Solução:
Para saber quantos cm2 são necessários para
revestir a superfície da lata de óleo, é
necessário calcular a área lateral. Para isso,
precisamos obter a medida do raio r. 
63
Geometria II – Cilindro e cone
Como r = onde D é o diâmetro do círculo
(base da lata) temos:
Portanto, Al = 2πr . h = 2π . 3 . 22 ⇒
Al = 132πcm2
Agora, para saber quantos mililitros de óleo
cabem na lata, é necessário obter o volume.
V = π . r2 . h = π . 32 . 22 ⇒
V = 198πcm3
Portanto temos 198ml ou, aproximadamente,
622ml.
1. Determine a medida da altura de um cilindro de
raio medindo 8cm, cuja área lateral é 112πcm2.
2. O volume de um cilindro é 72m3, e a área late-
ral é 48m2. Determine a medida do diâmetro da
base.
3. Em um cilindro circular reto de volume igual a
36π, a altura mede 4. Calcule a medida do raio
da base.
4. Determine a área lateral de um cilindro eqüi-
látero cujo raio da base mede m.
5. Um cilindro reto tem 63πcm3 de volume.
Sabendo que o raio da base mede 3cm, deter-
mine, em centímetros, a medida da sua altura.
6. Um vaso com o formato de um cilindro circular
reto tem a altura de 30cm e diâmetro da base
medindo 20cm. Determine, em litros, a capaci-
dade desse recipiente.
7. Uma fábrica de óleo pretende mudar a emba-
lagem do produto, de cilindro reto para prisma
reto de base retangular (conforme figura). Para
manter o mesmo volume, qual deve ser a
medida da altura (h) da nova embalagem?
1. O raio da base de um cilindro mede r, e sua
altura 2r. Um outro cilindro tem altura medindo
r e raio da base 2r. Nessas condições, a soma
de seus volumes é:
a) 8πr3 b) 6πr3
c) 4πr3 d) 3πr3
e) 2πr3
2. Em um cilindro eqüilátero, a razão entre a área
total e a área lateral é:
a) b)
c) d)
e) n.d.a.
3. Um tanque, na forma de um cilindro regular,
com 10m de altura e de diâmetro (medidas
externas), tampado superiormente, é usado
como depósito de óleo combustível. Anual-
mente, é feita uma pintura de sua superfície
externa (excluindo-se a pintura da base inferi-
or). Sabe-se que, com uma lata de tinta, pin-
tam-se 26m2 de superfície. Considerando
π = 3,14, para se pintar todo o tanque são
necessários, aproximadamente:
a) 7 latas de tinta;
b) 15 latas de tinta;
c) 18 latas de tinta;
d) 20 latas de tinta;
e) 21 latas de tinta.
4. Para medir o volume de uma pedra irregular,
um estudante utilizou um copo de forma cilín-
64
UEA – Licenciatura em Matemática
drica, de diâmetro 6cm, com água até certa
altura. Marcou o nível da água em repouso,
deixou a pedra mergulhar e marcou o novo
nível. Considerando π = 3,14, se o desnível
observado foi de 2cm, então o volume da
pedra é:
a) 56,52cm3 b) 226,08cm3
c) 18,84cm3 d) 80cm3
e) 160cm3
5. O líquido contido em uma lata cilíndrica deve
ser distribuído em potes também cilíndricos,
cuja altura é da altura da lata e cujo raio da
base é do raio da base da lata. O número de
potes necessários é:
a) 6 
b) 12 
c) 18
d) 24
e) 36
6. Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altura
6, têm, para perímetro de suas bases.
6 e 4, respectivamente. Se V1 é o volume do
primeiro e V2, o volume do segundo, então:
a) V1 = V2
b) V1 = 2V2
c) V1 = 3V2
d) 2V1=3V2
e) 2V1=V2
Aula prática 8: Construção de um cilindro
circular reto
Objetivos: 
• Visualizar o cilindro circular reto e sua plani-
ficação.
• Calcular a área das bases lateral e total do
cilindro circular reto.
• Calcular o valor do volume cilindro circular
reto, comparando com prisma de mesma
base e altura.
Atividade:
Material: 
• Folhas de acetato (ou papel cartão).
• Tesoura.
• Cola.
• Bolinhas de isopor.
Descrição:
• Confeccionar em acetato (ou papel cartão)
a planificação do cilindro circular reto.
• Recortar a planificação.
• Obter o valor da área lateral do cilindro cir-
cular reto.
• Obter o valor da área da base do cilindro
circular reto.
• Obter o valor da área total do cilindro circu-
lar reto.
• Montar o cilindro circular reto.
• Obter o valor do volume do cilindro circular
reto, verificando quantas vezes é possível
encher o cilindro utilizando o prisma.
65
Geometria II – Cilindro e cone
TEMA 09
CONE
1. Definição 
Na figura abaixo, temos: um, plano α, um cír-
culo C contido em α, um ponto V que não per-
tence a α.
A figura geométrica formada pela reunião de
todos os segmentos de reta que têm uma
extremidade no ponto V e a outra num ponto
do círculo C denomina-se cone circular ou,
simplesmente, cone. 
2. Elementos 
• Base – É o círculo C, de centro O e raio r,
situado no plano α.
• Vértice – É o ponto V.
• Raio da base – É o raio r do círculo.
• Altura – É a distância h do vértice V ao
plano da base .
• Geratriz – É o segmento com uma extremi-
dade no vértice V e a outra em um ponto da
circunferência.
• Eixo – É a reta que contém o vértice V e
centro O do círculo da base .
3. Classificação
Os cones podem ser classificados de acordo
com a posição de seu eixo em relação ao
plano da base:
Cone oblíquo
Se o eixo é inclinado ao plano da base, tem-se
um cone circular oblíquo como na figura anterior.
Cone reto 
Um cone diz-se reto (ou de revolução) quan-
do o eixo é perpendicular ao plano da base. 
Ele pode ser obtido pela rotação completa de
um triângulo retângulo em tornoda reta suporte
de um dos catetos. Nesse caso, a altura do
cone coincide com a medida do segmento 
⎯
VO.
4. Secção meridiana 
Secção meridiana de um cone reto é a inter-
seção dele com um plano que contém o eixo. 
A secção meridiana de um cone reto é um tri-
ângulo isósceles. 
66
UEA – Licenciatura em Matemática
Cone Secção meridiana
No triângulo retângulo, temos a seguinte rela-
ção:
g2 = h2 + r2
Em que: 
g é a medida da geratriz;
h é a altura do cone;
r é a medida do raio da base.
5. Cone eqüilátero 
Cone eqüilátero é um cone cuja secção meri-
diana é um triângulo eqüilátero. 
Cone Secção meridiana
O cone eqüilátero tem g = 2r e, como r2 + h2 = g2,
podemos obter sua altura como segue: 
r2 + h2 = (2r)2 ⇒ r2 + h2 = 4r2
⇒ h2 = 3r2 ⇒ h = r
6. Áreas da superfície de um cone circular reto
• Área lateral (Al)
Planificando a superfície lateral do cone da
figura: 
A área da superfície lateral corresponde à área
de um setor circular de raio g. 
Sabemos que em que
α expressa a medida do ângulo central em
radiano e l é a medida do comprimento da cir-
cunferência da base.
Como l = 2ππr, temos :
Al = πrg
• Área da Total (At)
A superfície total de um cone é a reunião da
superfície lateral com o círculo da base. A área
desta superfície é chamada área total e é indi-
cada por At.
At = Área de um setor circular + área de um
círculo.
At = Al + Ab
Substituindo Al = π r g e Ab = πr2, temos:
At = Al + Ab ⇒ At = π r g + πr2 ⇒
At = ππ r (g + r)
Exemplo 1
Determine a medida da altura de um cone cuja
geratriz mede 10cm, sendo 12cm o diâmetro
de sua base.
Solução:
Temos que g = 10cm e r = 6cm e queremos
determinar h. Mas sabemos que em um cone
vale a relação:
h = 8cm
Exemplo 2
Determine a medida do diâmetro da base de
um cone de revolução cuja geratriz mede
65cm, sendo 56cm a altura do cone.
Solução:
Temos que g = 65cm e h = 56 cm. Como
67
Geometria II – Cilindro e cone
, então .
Como o diâmetro d = 2r, temos:
d = 66cm
Exemplo 3
Determine a área lateral de um cone eqüilátero,
sendo 20cm a medida de sua geratriz.
Solução:
No triângulo equilátero, temos g = 2r. Como a
área lateral Al = π r g e g = 20cm, temos
Al = π . 10 . 20. Portanto Al = 200πcm2.
Exemplo 4
Determine a área total de um cone, cuja
secção é um triângulo equilátero de 8dm de
lado.
Solução:
Temos que g = 2r, como o lado do triângulo
mede 8dm, obtemos g = 8 e r = 4. Sabemos
que At = π r(g + r). Portanto At = π.4(8 + 4),
logo At = 48πdm2
Exemplo 5
Determine a área total de um cone, sendo
40cm o diâmetro de sua base e 420cm2 a área
de sua secção meridiana.
Solução:
Cone Secção meridiana
Desejamos calcular At = π r(g + r), e pra isso
precisamos dos valores de r, h e g. Como
2r = 40 ⇒ r = 20cm
Denotando a área da secção meridiana por Asecção, 
temos que . Substituindo o
valor de r temos que Asecção= 20 . h.
Substituindo o valor da área, temos: 
cm. 
Agora, precisamos calcular o valor de g. Mas 
cm. Portan-
to At = π . 20 . (29 + 20) = 20 . 49 . π ⇒
At = 980πcm2
Exemplo 6
Determine a área lateral de um cone cujo raio
da base mede 5cm, sendo 60º o ângulo que a
geratriz forma com a base do cone.
Solução:
A figura acima representa a secção meridiana
do cone dado no problema. Temos que
Como Al = πrg, temos que Al = π.5.10.
Portanto Al = 50πcm2
1. Um aluno de Manicoré resolveu vender amen-
doins torrados em embalagens no formato de
um cone reto, com 6cm de diâmetro da base e
10cm de altura. Qual será a quantidade mínima
de papel utilizada para confeccionar essas em-
balagens?
2. A geratriz de um cone mede 14cm, e a área da
base 80πcm2. Calcule a medida da altura do
cone. 
68
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Determine a medida da área lateral e da área
total de um cone de revolução, sabendo que
sua altura mede 12cm e sua geratriz 13cm.
4. Determine a medida da altura de um cone
eqüilátero cuja área total mede 54cm2.
5. Determine a área total de um cone cuja altura
mede 12cm e forma um ângulo 45º com a gera-
triz.
6. Determine a superfície lateral de um cone cuja
área da base mede 6,25πcm2 sendo 4cm a
medida da sua altura.
7. A altura de um cone circular reto cujo raio da
base mede r é ππr. Sendo 3cm a medida do
apótema do hexágono regular inscrito na base,
determine a área da secção meridiana do
cone.
8. Determine a geratriz do cone de revolução,
sabendo que a área da base é equivalente à
secção meridiana do cone e que a altura desse
cone mede 9πcm.
9. Determine a razão entre a base e a superfície
lateral de um cone que tem altura igual ao
diâmetro da base. 
10. Um cilindro e um cone têm altura h e raio da
base r. Sendo r o dobro de h, determine a
razão entre a área lateral do cilindro e a área
lateral do cone. 
7. Volume do cone 
Consideremos um cone de altura h e área de
base Ab e uma pirâmide com a mesma altura h
e a mesma área da base Ab. 
Vamos supor que o plano que contém as bases
é um plano horizontal (conforme a figura). 
Qualquer plano horizontal que secciona o
cone, também secciona a pirâmide, e as
secções têm áreas iguais. 
Por isso, podemos dizer que o volume do cone
é igual ao volume da pirâmide. 
Vcone = Vpirâmide e como temos
que o volume do cone é um terço do produto
da área da base pela medida da altura.
Substituindo Ab = πr2, obtemos: 
.
Exemplo 1
Em Itacoatiara, foi feito um silo para armazena-
mento de grãos na forma de um cone circular
reto com 2m de raio e 6m de altura. Qual a
capacidade de armazenamento deste silo?
Solução:
Temos r = 2 e h = 6, portanto
V = 8πm3
Exemplo 2
Um copo de chope, cujo interior tem a forma
praticamente cônica, tem 15cm de profundi-
dade e capacidade para 300ml. Suponha que
um chope seja “tirado” com 3cm de “colari-
nho” (espuma). Qual o volume de chope (líqui-
do) contido no copo? 
Solução:
h = 15 – 3 ⇒ h = 12cm
h = 15cm e V = 30ml
Queremos calcular o volume de chope que
denotaremos por Vc, e para tal usaremos a
razão de semelhança dos triângulos retângu-
los; para isso, calcularemos o valor de R con-
forme a figura acima.
69
Geometria II – Cilindro e cone
Temos que
Então, ml.
Portanto Vc = 153,60ml
Exemplo 3
Um recipiente cônico, com altura 2 e raio da
base 1, contém água até a metade de sua
altura (Fig. I). lnverte-se a posição do recipi-
ente, como mostra a Fig. II. Determine a dis-
tância do nível da água ao vértice, na situação
da Fig. II.
Solução: 
As figuras acima representam as secções
meridianas das Figuras I e II respectivamente.
Usando as relações de semelhança dos triân-
gulos retângulos, temos:
.
Cálculo do volume de água:
Substituindo essa relação no volume da água,
temos:
. 
Como y = 2r’, temos: 
Exemplo 4
Seja um tronco de cone reto, de altura H e
raios das bases r1 e r2. Indiquemos por l a ger-
atriz do tronco (veja a figura). Mostre que a
área lateral do tronco pode ser dada pela
expressão 
A = π(r1 + r2)l
Solução: 
Seja V o vértice dos cones cujas bases são os
círculos de raios r1 e r2 que constituem as
bases do tronco. O cone maior tem área lateral
A2 = πr2g2, e o cone menor tem área lateral
A1 = πr1g1, onde g2 – g1 = l. A área lateral do
tronco é dada por A = A2 – A1 = π(r2g2 – r1g1).
Mas como , temos g2rr1 – g1r2 = 0.
Portanto podemos escrever:
A = π(r2g2 – r1g1 + g2r1 – g1r2) = 
= π[g2(r1 + r2) – g1(r1 + r2 )] =
= π(r1 + r2)(g2 – g1)=
= π(r1 + r2)l
70
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Calcule o volume de um cone de revolução
cujo raio da base mede 24cm e a área lateral é
600πcm2. 
2. Um cone de revolução tem 1m de raio. Calcule
a altura e o volume, sabendo que a área lateral
é m2.
3 Num cone reto, cuja área lateral é 18πcm2,
o raio é a metade da geratriz. Calcule o
volume.
4 Um triângulo retângulo de catetos 3cm e 6cm
gira em torno do cateto maior. Determine a área
lateral, a área total e o volume do sólido gerado. 
5 Um cone de revolução tem 12πcm3 de volume.
Sabendo que é gerado por um triângulo retân-
gulo que gira em torno de um cateto de 4cm,
calculea geratriz do cone. 
6. A secção meridiana de um cone eqüilátero tem
4 m2 de área. Calcule o volume do cone.
7. Calcule o volume de um cone circular reto de
2cm de raio da base, sabendo que a base e a
secção meridiana têm áreas iguais (são equi-
valentes). 
8. Calcule o volume de um cone de revolução de
1m de raio e base equivalente à secção meri-
diana. 
9. Um cone de revolução tem 10πcm de altura.
Calcule o volume, sabendo que a área da
secção meridiana é o dobro da área da base. 
10. Uma “casquinha de sorvete” de forma cônica
tem 5cm de diâmetro e 13cm de altura. Se a
casquinha está cheia de sorvete até a “boca”,
porém sem excesso, quantos mililitros de
sorvete possui? 
1. O volume de um cone circular reto é de
27πdm3, e a altura é de 9 dm. O raio da base é:
a) 4dm b) 9dm
c) 2dm d) 5dm
e) 3dm 
2. Um cone eqüilátero tem área lateral igual a 18π
dm2. Calcule, em dm3, o valor do seu volume:
a) 6π
b) 9π
c) 12π
d) 8π
e) 18π
3. Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro da
base é 8m. Então, a área total vale :
a) 52πm2 b) 36πm2
c) 20πm2 d) 16πm2
e) n.d.a.
4. O volume de um cone eqüilátero que tem
como área da base S = 12πm2 é:
a) 72πm3 b) 24πm3
c) 36πm3 d) 28πm3
e) 40πm3
5. Dois cones retos têm a mesma base, e a altura
de um é o triplo da altura do outro. Então, a
relação entre os volumes do menor e maior é:
a) 1/2 b)
c) 1/3 d) 1/4
e) n.d.a.
6. Se a base de um cone de revolução de raio
igual a 2cm for equivalente à secção meridi-
ana, a sua altura medirá, em cm:
a) 2π b) 3π
c) 4π d) 5π
e) n.d.a.
71
Geometria II – Cilindro e cone
7. A altura de um cone circular reto é igual ao
diâmetro de sua base. Se a geratriz mede
15cm, o seu volume é, em cm2, igual a :
a) 270 b) 27
c) 540 d) 90
e) n.d.a.
8. Um triângulo retângulo isósceles, de hipote-
nusa 3 cm, gira em torno de um de seus
catetos. Qual é o volume do sólido de rev-
olução gerado?
a) 3 cm3 b) 9πcm3
c) 18πcm3 d) 27πcm3
e) n.d.a.
9. A geratriz de um cone mede 13cm, e o diâ-
metro de sua base 10cm. O volume do cone
em cm3 é:
a) 100π b) 200π
c) 400π d)
e)
10. Se o raio da base de um cone de revolução
mede 3cm, e o perímetro de sua secção meri-
diana mede 16cm, então seu volume, em cm3,
mede:
a) 15π b) 10π
c) 9π d) 12π
e) 14π
11. A planificação da superfície lateral de um cone
é um semicírculo de raio 10 . O volume do
cone é :
a) 357π b) 573π
c) 375π d) 537π
e) 735π
12. Sabendo-se que um cone circular reto tem
3dm de raio e 15πdm2 de área lateral, o valor
de seu volume, em dm3, é:
a. 9π b. 15π
c. 12π d. 36π
e. 20π
13. Num cone de revolução, a área da base é
36πm2 e a área total 96πm2. A altura do cone,
em m, é igual a:
a) 4; b) 6;
c) 8; d) 10;
e) 12.
14. Um cone circular reto tem por base uma cir-
cunferência de comprimento igual a 6πcm, e
sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Então,
sua área lateral é, em cm2:
a) 5π b) 9π
c) 12π d) 15π
e) 36π
15. Qual é o volume de um cone circular reto de
diâmetro da base a 6cm e de geratriz 5cm?
a) 12π b) 24π
c) 36π d) 48π
e) 96π
Aula prática 9: Construção de um cone cir-
cular reto
Objetivos: 
• Visualizar a planificação do cone circular
reto.
• Calcular o valor da área da base lateral e
total do cone circular reto.
Atividade 1:
Material : 
• Folhas de acetato (ou papel cartão).
• Tesoura.
• Cola.
Descrição:
• Confeccionar, em acetato (ou papel cartão),
a planificação do cone circular reto.
• Recortar a planificação.
• Obter o valor da área lateral do cone circu-
lar reto.
• Obter o valor da área da base do cone cir-
cular reto.
• Obter o valor da área total do cone circular
reto.
Aula prática 10: Relação entre o volume do
cilindro circular reto e do prisma quadran-
gular regular utilizando embalagens de pro-
dutos.
Objetivos: 
• Estabelecer uma relação entre os volumes
do cilindro circular reto e do prisma.
Material: 
• Lata de óleo de 900ml vazia, sem uma das
tampas.
• Caixa de leite de 1 litro.
• Bolinhas de isopor (ou de outro material de
baixa densidade).
Descrição:
• Verificar a reação entre os volumes das
embalagens.
Aula prática 11: Relação entre o volume do
cilindro e do cone de mesma base e altura.
Objetivos: 
• Estabelecer uma relação entre os volumes
do cilindro e do cone de mesma base e
altura.
Material: 
• Cilindro de acetato ou papel cartão (cons-
truído anteriormente).
• Cone de acetato ou papel cartão (construí-
do anteriormente).
• Bolinhas de isopor (ou de outro material de
baixa densidade).
Descrição:
•Verificar quantas vezes é possível encher o
cilindro com as bolinhas de isopor utilizan-
do o cone;
• Estabelecer através deste experimento uma
relação entre os volumes do cilindro e do
cone.
72
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE V
Superfícies de revolução e sólidos de revolução
75
Geometria II – Superfícies de revolução e sólidos de revolução
TEMA 10
SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
1. Superfícies de Revolução
Consideremos uma reta e (que chamaremos
eixo de rotação) e um segmento
⎯
AB, coplanar
com a reta e e contido em um dos semiplanos
que têm origem nessa reta. Imaginemos que o
segmento “gira” em torno do eixo e, produzin-
do uma superfície. Com uma linguagem mais
precisa, imaginemos que cada ponto do seg-
mento
⎯
AB determina uma circunferência que
passa por ele e tem como centro o pé da per-
pendicular conduzida desse ponto ao eixo. A
união de todas estas circunferências forma uma
superfície, chamada superfície de revolução.
Se o segmento
⎯
AB está inclinado em relação ao
eixo, sem cortá-lo, obtém-se a superfície lateral
de um tronco de cone. Se 
⎯
AB é paralelo ao
eixo, obtém-se a superfície lateral de um cilin-
dro reto. Se 
⎯
AB tem uma extremidade sobre o
eixo, obtém-se a superfície lateral de um cone
reto (estamos supondo que o segmento 
⎯
AB
não é perpendicular ao eixo, pois nesse caso
teríamos um círculo ou uma coroa circular).
Seja l o comprimento do segmento
⎯⎯
AB e indique-
mos por r1 e r2 as distâncias de suas extremi-
dades ao eixo. Sabemos que a área da superfí-
cie de revolução é dada por A = π(r1 + r2)l.
Consideremos o ponto médio M do segmento⎯⎯
AB. A mediatriz de
⎯⎯
AB encontra o eixo no ponto
P. Indiquemos MP = a. É possível provar que
a área da superfície de revolução pode ser
dada também pela expressão
A = 2π ah
Basta notar, na figura acima, que: 
ΔABC ~ ΔPMQ , donde .
Lembrando que , temos
donde (r1 + r2)l = 2ah e, assim, A = 2πah.
Esse resultado pode ser generalizado. Consi-
deremos uma seqüência de segmentos con-
gruentes entre si, formando uma poligonal re-
gular, circunscrita a uma circunferência de raio
a e centro O. Seja e um eixo de rotação que
passa por O e não corta a poligonal, como
mostra a figura. A área da superfície de re-
volução gerada pela rotação do segmento
⎯⎯
AB
é igual a A1 = 2πah1. Analogamente, para os
demais segmentos da poligonal, teríamos
A2 = 2πah2, A3 = 2πah3, etc. 
76
UEA – Licenciatura em Matemática
Assim, a área total é A = A1 + A2 + A3 + ... =
= 2π(h1 + h2 + h3 + ...) = 2π ah
Portanto mostramos que:
A área da superfície de revolução gerada pela
rotação de uma poligonal regular em torno de
um eixo de seu plano, passando pelo centro
da circunferência inscrita, é igual ao produto
do comprimento da circunferência inscrita pela
projeção da poligonal sobre o eixo: 
A = 2π ah
2. Sólidos de Revolução 
Consideremos um semiplano de origem e (eixo)
e nele uma superfície S. Girando o semiplano
em torno de e, a superfície S gera um sólido
chamado sólido de revolução. 
Exemplos
Retângulo Triângulo retângulo Trapézio retângulo
gerando cilindro gerando cone de gerando tronco
de revolução. revolução de revolução
Se o triângulo ABO gira em torno de um eixo
que contém o lado
⎯⎯
AO, obtém-se um sólido de
revolução. Vamos mostrar que o volume des-
se sólido é igual à terça parte do produto da
altura OH pela área da superfície de revolução
gerada pelo lado
⎯⎯
AB. Para isso, notemos que
o sólido de revolução é a união de dois conesretos, gerados pela rotação dos triângulos
ABP e BPO. 
Assim, o seu volume é
Mas, (BP) . (AO) = (AB) . (OH), pois ambos os
produtos dão o dobro da área do ΔABO.
Assim,
A expressão π(BP)(AB) representa a área la-
teral do cone gerado pela rotação do ΔABP,
isto é, é a área da superfície de revolução ge-
rada pela rotação do lado 
⎯⎯
AB. Indicando esta
área por:
AAB, escrevemos V .
Na situação ilustrada abaixo, o volume do sóli-
do obtido é a diferença entre os volumes dos
dois cones:
77
Geometria II – Superfícies de revolução e sólidos de revolução
Analogamente ao caso anterior, temos: 
BP.AO = AB.OH, o que nos dá V .
Mas, como se vê, a conclusão final é igual-
mente válida. 
Seja, agora, um triângulo que gira em torno do
eixo e seu plano, mas tendo apenas um vértice
pertencente ao eixo, como na figura abaixo. 
Nesse caso, prolongando
⎯⎯
AB até encontrar o
eixo no ponto C, podemos exprimir o volume
procurado como a diferença entre os volumes
dos sólidos gerados pelos triângulos CBO e
CAO: 
resultado idêntico ao anterior.
Se
⎯
AB // e, caso em que seu prolongamento
não encontraria este eixo, o volume pedido
pode ser calculado como sendo o volume do
cilindro gerado pelo retângulo ABPQ (veja a
próxima figura), menos os volumes dos cones
gerados pelos triângulos OAQ e OBP. 
Teríamos:
Mas, 2π(OH)2 . AB é a área da superfície gerada
por
⎯
AB, assim temos também .
O resultado acima pode ser generalizado.
Consideremos um setor poligonal regular (con-
forme a figura a seguir), circunscrito a uma cir-
cunferência de raio a e centro O. Seja e um eixo
coplanar com o setor, passando por O, mas sem
cortar o setor. O volume do sólido gerado pela
rotação do setor poligonal em tomo do eixo e é
igual à terça parte do produto do apótema a pela
área da superfície gerada pela poligonal do setor.
Basta notar que o ΔOAB gera um sólido de vo-
lume , o ΔOBC gera um sólido 
e assim por diante. Logo, o vo-
lume total é V = V1 + V2 + V3 + ... = 
a
Exemplo 1
Um triângulo de lados AB = 26cm AC = 28cm
e BC = 30cm gira em torno do lado
⎯⎯
AC. 
Calcule: 
a) a área da superfície gerada pelos lados; 
b) o volume do sólido gerado pelo triângulo.
Solução: 
⇒ 784 – 56h + h2 + 678 – h2 = 900
⇒ h = 10cm.
Então r = 24cm.
Al = AAB + ABC. 
AAB = AB. r = 26 . 24 = 624cm2
ABC = BC. r = 30 . 24 = 720cm2
Logo,
Al = 624 + 720 = 1344cm2
Temos que
cm3.
Exemplo 2
O trapézio ABCD da figura, para o qual
AB = AD = a e CD = 2a, gira em torno de um
eixo do seu plano, que passa por C e é parale-
lo ao lado
⎯⎯
AB. Calcule: 
a) a área da superfície gerada pelos lados do
trapézio; 
b) o volume do sólido gerado pelo trapézio. 
Solução:
a) As = AAB + AAD + ADC + ABC
A superfície gerada por
⎯⎯
AB é uma coroa.
AAB = Acoroa = AC – Ac = π(2a)2 – πa2 = 3πa2
AAD é a área lateral do cilindro de raio 2a, logo
AAD = 2π . 2a. a = 4πa2
ADC = é a área do círculo de raio 2a, logo
ADC = π(2a2) = 4πa2
ABC é a área lateral do cone de raio a e ge-
ratriz a , logo ABC = π . a. a = πa2.
Portanto:
AS = 3πa2 + 4πa2 + 4πa2 + πa2
AS = (11 + )πa2
b. O volume pode ser calculado como sendo
78
UEA – Licenciatura em Matemática
o volume do cilindro de raio 2a e altura a,
menos o volume do cone de raio a e altura
a. Logo, V = Vcilindro – Vcone
1. Um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa⎯⎯
AC gira em torno do cateto
⎯⎯
BC. Calcule: 
a) o comprimento da circunferência gerada
pelo ponto A; 
b) a área da superfície gerada pelo lado
⎯⎯
AB; 
c) a área da superfície gerada pelo lado 
⎯⎯
AC; 
d) o volume do sólido gerado pelo triângulo.
2. Um triângulo eqüilátero ABC de lado a gira em
torno de um eixo que passa por A e é perpen-
dicular ao lado
⎯⎯
AB. Calcule: 
a) a área da superfície gerada pela altura
⎯⎯
AH; 
b) a área da superfície gerada pelo lado 
⎯⎯
AC; 
c) o volume do sólido gerado pelo triângulo.
3. Um losango ABCD de lado a e ângulo agudo
de 60o (
⎯⎯
AC é a diagonal maior) gira em torno de
um eixo do seu plano, que passa pelo ponto C
e é perpendicular à diagonal 
⎯⎯
AC. Calcule: 
a) a área da superfície gerada pelos lados do
losango; 
b) o volume do sólido gerado pelo losango.
4. Um trapézio isósceles de bases a e 3a e altura
a gira em torno de um eixo do seu plano, que
passa por uma extremidade da base maior e é
perpendicular às bases. Calcule: 
a) a área da superfície gerada pelos lados do
trapézio; 
b) o volume do sólido gerado pelo trapézio. 
5. Um triângulo retângulo de hipotenusa 2a e
ângulo de 30o gira em torno de um eixo que
passa pelo vértice do ângulo reto e é paralelo
à hipotenusa. Determine: 
a) a área da superfície gerada pelos lados do
triângulo; 
b) o volume do sólido gerado pelo triângulo. 
6. Calcule o volume e a área total do sólido gera-
do pela rotação de um hexágono regular de
lado a, em torno da sua maior diagonal.
7. Um triângulo eqüilátero de lado a gira em torno
de um eixo paralelo a um de seus lados e à dis-
tância a dele. Calcule (considerando dois
casos): 
a) a área da superfície gerada pelos lados do
triângulo; 
b) o volume do sólido gerado pelo triângulo. 
79
Geometria II – Superfícies de revolução e sólidos de revolução
UNIDADE VI
Esfera
83
Geometria II – Esfera
TEMA 11
ESFERA
1. Definição
Sejam dados um ponto O e uma medida r. O
conjunto de todos os pontos do espaço cuja
distância a O é menor ou igual a r chama-se
esfera de centro O e raio r.
Chama-se superfície esférica o conjunto dos
pontos da esfera cuja distância ao centro O é
igual a r.
2. Seção plana de uma esfera. Pólos
Consideremos um plano α cuja distância ao
centro O da esfera seja menor do que o raio r.
A interseção desse plano com a esfera é um
círculo de centro C. 
Determinemos a relação entre os raios da
esfera e desse círculo. Sejam ρ o raio do circu-
lo e d a distância do plano do círculo ao centro
da esfera. Conforme se vê na figura, pode-se
escrever :
(OA)2 = (OC)2 + (CA)2 ⇒
⇒ r2 = d2 + ρρ2 ⇒
Os ponos P e P’ que a reta determina na
superfície esférica são denominados pólos. As
distâncias dos pólos ao ponto A chamam-se
distâncias polares. Podemos indicá-Ias assim:
PA = p P’A = p’
Observemos a figura. O triângulo PAP’ é retân-
gulo em A, sendo que podemos aplicar nele a
conhecida relação métrica: 
(PA)2 = PP’ . PC
Mas, PA = p, PP’ = 2r e PC = r – d. Logo 
P2 = 2r(r – d) ⇒
De modo análogo, encontramos:
3. Volume da esfera 
O volume de uma esfera de raio r é dado pela
expressão 
Este resultado pode ser obtido pela aplicação
do princípio de Cavallieri. Para isso, ima-
ginemos um cilindro eqüilátero cujo raio da
base seja r, igual ao raio da esfera. 
Seja V o centro do cilindro, isto é, o ponto
médio do seu eixo. Podemos considerar dois
cones, com vértice nesse ponto V e tendo
como bases as bases do cilindro. Este sólido é
chamado de clepsidra. Suponhamos que esta
clepsidra é retirada do cilindro e vamos tomar
84
UEA – Licenciatura em Matemática
o sólido que resulta, ou seja, a parte do cilindro
situada fora da clepsidra. Este sólido é deno-
minado anticlepsidra.
Vamos imaginar que a esfera tangencia os dois
planos das bases do cilindro. Um plano parale-
lo a estes, situado a uma distância d(d < r) do
centro da esfera, intercepta a anticlepsidra
segundo uma coroa circular, e a esfera, segun-
do um círculo. As circunferências que limitam a
coroa circular têm raios d e r, logo a área da
coroa é 
Acoroa = πr2 – πd2 = π(r2 – d2)
A área do circulo determinado na esfera é 
Acírculo = πρ2 = π(r2 – d2), logo temos que
Acoroa = Acírculo, e pelo princípio de Cavalieri
concluímos que o volume da esfera é igual ao
volume da anticlepsidra, ou seja
V = Vcilindro – 2.Vcone.
Lembremos que
Vcilindro = Ab . h = (πr2 )h = (πr2)2r = 2πr3
Então para o volume da esfera temos
Exemplo 
Duas esferas concêntricas (isto é, de mesmo
centro) têm raios r e r + h, como ilustrado na
figura seguinte. 
a) Calcule o volume da esfera interna. 
b) Calcule o volume da esfera externa. 
c) Chamemos de concha esférica a parte da
esfera externa que está fora da esferain-
terna (é o sólido limitado pelas duas super-
fícies esféricas). Calcule o seu volume. 
Solução:
a) Denotando por V1 o volume da esfera inter-
na, temos:
b) Denotando por V2 o volume da esfera exter-
na, temos:
c) O volume da concha esférica é dado por 
4. Área da superfície esférica 
A determinação de fórmulas para a área lateral
de um cone reto, ou de um cilindro reto, é um
problema relativamente simples. Já o cálculo
da área de uma superfície esférica representa
um desafio maior, pois não é possível “desen-
rolar” uma superfície esférica, transformando-a
em uma figura plana, como no caso do cone
ou do cilindro. Examinando o Exemplo 1,
podemos obter um caminho para chegar à fór-
mula desejada. Embora o método que usare-
mos esteja apoiado numa espécie de “con-
ceito de limite”, ele é aceitável, dentro de um
nível intuitivo. 
85
Geometria II – Esfera
Seja A a área da superfície esférica de raio r (a
interna, no exemplo 1). Parece fácil de se
aceitar, intuitivamente, que o produto A.h é
uma boa aproximação para o volume V da con-
cha esférica. Tal aproximação torna-se tanto
melhor quanto menor fica a espessura h da 
concha. Em outras palavras, o quociente
representa uma boa aproximação para a área
A, desde que h seja suficientemente pequeno.
Assim, parece claro que, se h tende a zero, a 
razão tende ao valor A da área da superfície
esférica de raio r. Ora, como vimos, 
, logo 
. 
Assim, a área A é dada pela expressão que se
obtém desta, supondo h = 0:
. Portanto A = 4πr2.
Outra maneira de se chegar a esse resultado é
aproveitar as observações feitas no tema ante-
rior em superfícies de revolução. Uma superfí-
cie esférica é a superfície de revolução gerada
pela rotação de uma semicircunferência em
torno de um eixo contendo seu diâmetro. 
A poligonal regular ABCDEFG, inscrita na semi-
circunferência, gera uma superfície de área
A6 = 2π . a . (2r) = 4πar
(O índice 6 relaciona-se ao número de lados da
poligonal). É intuitivo que, aumentando-se o
número de lados da poligonal considerada, as
superfícies de revolução passam a ter áreas
cada vez mais próximas da área da superfície
esférica. Ora, nessas circunstâncias, o apótema
a tenderia ao valor do próprio raio r. Assim, a
área da superfície esférica ficaria igual a:
A = 4πr . r = 4π2
Exemplo 1
Determine a área da superfície esférica da
esfera de raio 3cm.
Solução:
A = 4π . r2, como r = 3 temos A = 4π . 32
A = 36πcm2
Exemplo 2
Uma esfera de raio R está colocada em uma
caixa cúbica, sendo tangente às paredes da
caixa. Essa esfera é retirada da caixa e em seu
lugar são colocadas 8 esferas, tangentes entre
si e também às paredes da caixa. Determine a
relação entre o volume não ocupado pela
esfera única e o volume não ocupado pelas 8
esferas.
Solução:
V1 = Vcubo – Vesf. ⇒
86
UEA – Licenciatura em Matemática
V2 = Vcubo – 8 Vesf. ⇒
(1) e (2) ⇒ V1 = V2
Exemplo 3
Prove que a área total de um cone eqüilátero 
inscrito em uma esfera é igual a da área total 
do cone eqüilátero circunscrito à mesma
esfera.
Solução:
ΔAOD ⇒ R1
2 = (2r)2 – r2 ⇒ R1 = r
Atcone_circ. = πR1(R1 + 2R1) ⇒ 
⇒ Atcone_circ. = πr (r + 2r ) ⇒
⇒ Atcone_circ. = 9πr2 (1)
(1) e
1. Uma esfera tem 1,5m de raio. Calcule: 
a) o seu volume; 
b) a área da sua superfície; 
c) o raio da seção da esfera por um plano
situado a 1m do centro; 
d) as distâncias polares correspondentes a
essa seção. 
2. Uma esfera tem volume igual a 36πcm3.
Calcule: 
a) o seu raio; 
b) a área de sua superfície.
3. A seção de uma esfera por um plano situado a
3cm do centro tem área igual a 16πcm2. De-
termine o volume da esfera. 
4. A seção de uma esfera por um plano que
passa pelo centro tem área igual a 12πcm2.
Determine: 
a) o raio da esfera; 
b) o volume da esfera; 
c) a área da superfície esférica. 
5. Numa esfera de raio igual a 6cm, a que distân-
cia do centro deve ser tomada uma seção
plana cuja área seja igual à metade da área da
seção plana que contém o centro da esfera? 
6. Numa esfera de volume igual a cm3
toma-se uma seção plana cuja área é igual a
24πcm2. Qual é a distância dessa seção ao
centro da esfera? 
7. Determine o volume de uma esfera inscrita
num cubo de aresta a. 
8. Considere uma esfera inscrita em um cilindro
eqüilátero. Determine a razão entre a área da
superfície esférica e a área lateral do cilindro. 
87
Geometria II – Esfera
9. Um cone eqüilátero está inscrito em uma
esfera. Determine a razão entre os volumes
desses dois sólidos. 
10. Um cubo está inscrito em uma esfera de raio r.
Determine a razão entre os volumes desses
dois sólidos. 
11. Considere um cilindro eqüilátero inscrito numa
esfera de raio r. Determine a razão entre os vo-
lumes desses dois sólidos.
12. Uma esfera está inscrita em um cone eqüi-
látero. Determine a razão entre os volumes
desses dois sólidos
13. Sejam duas esferas das quais uma tem área
igual ao dobro da área da outra. Determine a
razão entre os seus volumes.
14. Sejam duas esferas das quais uma tem o vol-
ume igual ao dobro do volume da outra. Deter-
mine a razão entre as áreas das duas superfí-
cies esféricas.
15. Os centros de três esferas que se tangenciam
duas a duas, externamente (como a figura indi-
ca), formam um triângulo de lados 3, 4 e 5.
Determine a soma dos volumes das três
esferas.
16. Duas seções paralelas de uma esfera de raio
10cm têm raios iguais a 6cm e 8cm. Calcule a
distância entre os planos das duas seções. 
17. A distância entre os centros de duas superfí-
cies esféricas é 9cm, e seus raios são 7cm e
8cm. Calcule o raio da circunferência segundo
a qual elas se cortam.
18. A área do círculo máximo de uma esfera (aque-
le que contém o centro) é 225πcm2, e a área de
uma seção paralela a ele é 144πm2. Calcule a
distância dessa seção ao centro da esfera. 
1. A razão entre o volume e a área de uma
mesma esfera é igual a 3. Pode-se dizer, então,
que esta esfera:
a) tem o volume duas vezes maior que a área;
b) tem o volume igual a 2916π;
c) tem área de 324π;
d) tem o circulo máximo com área de 81π;
e) tem raio de 3.
2. Considere os dois sólidos:
I. Uma esfera de diâmetro 10dm.
II. Um cilindro de diâmetro 10dm e altura 8dm.
A respeito deles, é correto afirmar que:
a) possuem a mesma capacidade volumétrica
em litros;
b) o volume da esfera é maior que o volume
do cilindro;
88
UEA – Licenciatura em Matemática
c) a área da superfície esférica é igual a área
lateral do cilindro;
d) o volume da esfera é menor que o volume
do cilindro;
e) possuem a mesma superfície externa.
3. Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro
está completamente cheia de massa para
doce, sem exceder a sua altura, que é de
16cm. O número de doces em formato de
bolinhas de 2cm de raio que se pode obter
com toda essa massa é:
a) 300;
b) 250;
c) 200;
d) 150;
e) 100.
4. Em uma esfera de centro O, um plano α con-
tendo O intercepta a esfera. A intersecção é
um circulo de área 16π centímetros quadrados.
O volume da esfera, em centímetros cúbicos, é
igual a:
a.
b.
c.
d. 64π
e. 32π
5. Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada
por um plano situado a uma distancia de 12cm
do centro da superfície esférica, determinando
uma circunferência. O raio dessa circunferên-
cia em cm é de:
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5 
6. A região delimitada por uma esfera é intercep-
tada por uma plano a 3cm do centro dessa
esfera. Se a área dessa intersecção é de
9πcm2, o volume da região delimitada pela
esfera, em cm3, é:
a) 18π b) 36π
c) 72π d) 144π
e) 216π
7. Se aumentarmos em 3cm o raio de uma esfera,
seu volume aumentará 252πcm3. O raio da
esfera original mede, em cm:
a) 3 b) 2
c) 4 d) 6
e) 7
8. Um cilindro circular reto e uma esfera são
equivalentes. Se o raio da esfera e o raio da
base do cilindro têm medida 1, a área lateral
desse cilindro é:
a) b)
c) d)
e)
9. Um cilindro eqüilátero de altura 2 m está
inscrito numa esfera. O volume dessa esfera é
a) m3
b) 32πm3
c) 20πm3
d) 5πm3
e) n.d.a.
10. (UEPG–PR) Duas bolas de chumbo, com diâ-
metros de 3cm e 6cm, são fundidas e moldadasem forma de um cilindro circular reto de 3,24cm
de altura. O raio desse cilindro mede:
a)
b) 10 cm
c) 100cm
d) cm
e) 100 cm
89
Geometria II – Esfera
11. Um cone e um cilindro eqüilátero circuns-
crevem a mesma esfera. Se a área total do
cilindro medir 150πcm2, o volume do cone
medirá, em cm3:
a) 130π
b) 375π
c) 225π
d) 185π
e) 310π
Aula prática 10: Princípio de Arquimedes
Objetivos: 
• Estabelecer uma relação entre os volumes
do cubo de aresta a e da esfera de raio .
• Verificar o princípio de Arquimedes.
Atividades:
Material: 
• Caixa (cubo sem tampa) de vidro ou acrílico
de lado a.
• Esfera de isopor de raio .
Descrição:
• Encher com água a caixa completamente.
• Colocar um recipiente para aparar a água
que transbordará da caixa.
• Imergir a esfera completamente na caixa.
• Medir o volume que transbordou da caixa.
UNIDADE VII
Noções de geometria não-euclidiana
93
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
TEMA 12
GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA
1. Noções de Geometria não-Euclidiana
Na 1.a metade do século XIX, aconteceu a
descoberta de novas geometrias por parte de
vários matemáticos. Por meio de seus esforços
e de muitos outros, tentaram uma prova para o
V postulado de Euclides em que por um ponto
exterior a uma reta, passa apenas uma outra
reta paralela à dada. Daí surgiu a geometria
euclidiana, em que a distância entre duas retas
perpendiculares a um dado segmento perma-
nece constante, mesmo quando nos movemos
para a direita ou para esquerda, conforme
mostra a figura a seguir:
O V postulado de Euclides pode ser entendido
de outra forma:
Se uma reta, ao cortar duas outras, forma
ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é
menor que dois ângulos retos, então essas
duas retas, se prolongadas, encontrar-se-ão,
no mesmo lado onde estão esses ângulos,
conforme mostra a figura a seguir.
POSTULADOS
Os cinco postulado de Euclides, na qualidade
de postulados, deveriam ser aceitos ver-
dadeiros pela sua evidência. Os quatro
primeiros axiomas são dependentes, ou seja,
nenhum deles pode ser deduzido a partir dos
outros e são facilmente aceitáveis a partir da
experiência com o mundo sensível. Entretanto,
com o quinto postulado isso não acontece,
uma vez que não pode ser verificado empirica-
mente, e não temos meios de prolongar in-
definidamente duas retas para verificar se, em
algum ponto remoto, elas, se interceptam.
A falta de evidência do quinto axioma fez que
os matemáticos posteriores a Euclides sus-
peitassem que não fosse um axioma, mas sim
um teorema e que, portanto, podia ser de-mon-
strado. Houve muita tentativa de demons-trá-lo
por cerca de 2000 anos, sem sucesso. Apenas
no inicio do século 19, surgiram duas geome-
trias alternativas à euclidiana, obtidas por
mudanças no axioma: a hiperbólica e a elíptica.
Assim, apareceram duas atitudes. A primeira
tinha por alvo modificar o enunciado do
axioma, na esperança de torná-lo mais claro e
evidente. Adotando a primeira atitude, desta-
camos Proclus e Cláudio Ptolomeu. A segunda
consistiu em procurar uma demonstração, a
partir dos quatro primeiros axiomas, ou por via
de uma prova indireta. Dentre os que tomaram
a segunda atitude, citamos Saccheri e Lambert.
Os métodos diretos para provar o quinto axio-
ma fracassaram. Então, os matemáticos procu-
raram uma prova pelo método indireto, negan-
do a validade do axioma e procurando uma
contradição.
Karl Gauss
Posteriormente, Karl Gauss (1777-1855),
Nicolai Lobachewski (1792-1856) e Janos
Solyai (1802-1860) redescobriram-no e, como
conseqüência, as geometrias não-euclidianas
vieram à luz, tendo os dois últimos publicados
seus trabalhos independentemente em 1829 e
94
UEA – Licenciatura em Matemática
em 1832, respectivamente. Boyai dizia: “Do
nada eu criei um universo novo e estranho”.
Seu interesse pessoal era o da “Ciência
Absoluta do Espaço”, que eram proposições
que não dependiam do quinto postulado que
logo valeriam em qualquer geometria. 
Janos Bolyai
Com Bolyai e Lobachevsky, tinham nascido a
Geometria elíptica e a geometria hiperbólica.
Nicolai Lobachewski
A razão pela qual Gauss manteve em segredo
suas descobertas foi o fato de que a filosofia
de Kant dominava a Alemanha da época, e
seus dogmas eram que as idéias da geometria
euclidiana eram as únicas possíveis. Gauss
sabia que essa idéia era totalmente falsa, mas
para não entrar em conflito com os filósofos da
época, resolveu manter-se em silêncio.
Não há dúvida de que os termos geometria
hiperbólica e geometria elíptica lembram-nos
hipérboles e elipses, como explicaremos
agora.
A palavra “hipérbole” significa “excesso”, e a
palavra “elipse” significa “deficiência”. A
palavra “parábola” significa “sendo paralelo a”.
Podemos, então, pensar na geometria hiper-
bólica como tendo um “excesso” de paralelas.
Da mesma forma, na geometria elíptica, existe
uma “deficiência” de paralelas, comparada
com a geometria euclidiana.
Assim, temos que a principal diferença entre as
três geometrias, a euclidiana e as duas novas,
está no quinto axioma. 
Geometria euclidiana
Dados uma reta e um ponto fora dessa reta,
somente uma única reta pode ser traçada pas-
sando por esse ponto e paralela à reta dada.
Geometria hiperbólica
Dados uma reta e um ponto fora dessa reta,
duas ou mais retas podem ser traçadas pas-
sando por esse ponto e paralelas à reta dada.
Geometria elíptica
Dados uma reta e um ponto fora dessa reta,
nenhuma reta pode ser traçada passando por
esse ponto e paralela à reta dada.
A geometria elíptica também é conhecida
como geometria Riemanniana. Bernard
Riemann (1826-1866) descobriu uma geome-
tria esférica que era oposta à geometria hiper-
bólica de Lobachevski. Desse modo, ele foi o
primeiro a indicar a possibilidade de existir um
espaço geométrico finito onde um ponto se
move sobre ele na mesma direção, podendo
certamente retornar ao ponto de partida.
Bernard Riemann
A idéia logo se firmou e trouxe a questão de se
o nosso espaço físico era finito. Além disso,
Riemann teve a coragem de construir geome-
trias muito mais gerais do que a de Euclides e
mesmo as aproximadamente não-Euclidianas
conhecidas. 
95
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
Com a modificação do enunciado do quinto
postulado, outros sistemas geométricos pas-
sam a existir em pé de igualdade. Cada um
desses sistemas pode ser interpretado por um
modelo. Por exemplo, um modelo para a
geometria euclidiana é um plano; para a
geometria elíptica é uma esfera; para a hiper-
bólica é uma pseudo-esfera ou o disco de
Poincaré .
Iremos, a partir de agora, explicar cada um dos
modelos. 
Na geometria euclidiana, um segmento entre A
e B representa o caminho de menor compri-
mento de A até B.
Agora, considere que os pontos A e B per-
tencem à superfície da esfera. Vamos procurar
sobre a esfera as curvas equivalentes aos seg-
mentos. Ou seja, identificar, entre todas as cur-
vas que ligam os pontos A e B, aquela de
menor comprimento.
De todas as curvas que conectam dois pontos,
a mais curta é o arco de um círculo máximo, ou
seja, um arco de um círculo com raio igual ao
raio da esfera. Note que qualquer círculo má-
ximo divide a esfera em duas partes iguais (de
mesma área) e, devido à propriedade de mini-
mizar o comprimento entre dois pontos,
recebem o nome de geodésicas. Por con-
seguinte, as geodésicas sobre a superfície de
uma esfera são os arcos de círculos máximos. 
Suponha que a Terra é perfeitamente esférica e
que ela é habitada por “seres planos”, criaturas
absolutamente sem graça que têm apenas duas
dimensões e que não percebem o sentido de
“altura”. Lembre-se de que essas criaturas se des-
locam arrastando-se sobre a superfície terrestre. 
O método usado por essas criaturas para
identificar “linhas retas” como sendo as li-
nhas de mais curta distância entre dois pon-
tos consiste em estender linhas através da
superfície conectando dois pontos quaisquer.
Para essas criaturas, essa linha parece ser
uma reta à medida que elas se movem ao
longo delas uma vez que as direções de
chegada ou de partidadessas criaturas em
qualquer ponto sobre a linha tem ângulo zero
entre elas. 
Com essa definição, os “seres planos” encon-
tram que todas as linhas retas se interceptam e
que movendo-se ao longo de qualquer linha
reta, eles finalmente retornam ao seu ponto de
partida (lembre-se de que os “seres planos”
estão vivendo sobre a superfície de uma esfera).
Eles também descobrem que a soma dos três
ângulos internos de qualquer triângulo que eles
desenham sobre a Terra não dá mais como
resultado o valor correspondente a dois ângulos
retos como ocorre na geometria de Euclides. Em
vez disso, a soma desses três ângulos internos
sempre excede dois ângulos retos. A figura
abaixo mostra uma situação em que a soma é
igual a três ângulos retos.
Ao contrário da geometria Euclidiana, as
geometrias que estamos agora apresentando
são definidas sobre a superfície de uma esfera
ou de um hiperbolóide (algo parecido com a
sela de um cavalo). Dizemos que uma superfí-
cie esférica tem uma curvatura positiva
enquanto que a superfície de um hiperbolóide
tem curvatura negativa. Vemos que em uma
superfície com curvatura positiva a soma dos
ângulos internos de um triângulo traçado
nessa superfície é maior que 180 graus. No
caso de uma superfície com curvatura negati-
va, a soma desses ângulos internos será
menor que 180 graus. 
96
UEA – Licenciatura em Matemática
Mas, o que é curvatura?
O que faz a reta (A) ser diferente da outra curva
(B) na figura abaixo?
É fácil. A curva (B) é “encurvada”, e a reta não
é. A curva (B) deve ter alguma propriedade que
a reta não tem. Você adivinhou: essa pro-
priedade é a curvatura. A reta tem curvatura
zero, e a curva tem curvatura diferente de zero.
Existe uma curva muito simples e cuja curvatu-
ra é igual em todos seus pontos: a circunferên-
cia. Vamos, então, encontrar um valor para a
curvatura da circunferência. A curvatura da cir-
cunferência é inversamente proporcional ao
raio. Isto é, a curvatura C de uma circunferên-
cia de raio R será dada por C = 1/R. Quanto
maior o raio, menor a curvatura. 
E se, em vez de uma curva, tivermos uma
superfície, como uma chapa de metal, como
medir sua curvatura?
Nesse caso, teríamos uma curvatura chamada
curvatura de Gauss, que pode ser positiva,
negativa ou nula. Será positiva se as curvas de
máxima e mínima curvatura forem encurvadas
para o mesmo lado. Esse é o caso da superfí-
cie (A) vista a seguir. Será negativa se uma
curva for encurvada para um lado e a outra,
para o outro. É o caso da superfície (B), que
parece uma sela de cavalo. E é nula se pelo
menos uma das curvas for reta, isto é, tiver cur-
vatura zero. É o caso do cilindro (C), na figura.
E é o caso também da chapa de metal ante-rior.
Agora, vamos construir um modelo da geome-
tria hiperbólica baseado na pseudo-esfera. As
“retas” são representadas por geodésicas da
superfície da pseudo-esfera, como mostra a
figura a seguir.
Além da pseudo-esfera, existem vários outros
modelos para a geometria hiperbólica, como o
disco de Poincaré. Na geometria hiperbólica
baseada no disco de Poincaré, uma reta é
identificada como um arco de um círculo interi-
or ao disco e que encontra o bordo do disco
em ângulos retos.
Observe que as três “retas” no disco de
Poincaré não-colineares formam um triângulo
ABC, cuja soma dos ângulos é menor que 180
graus, como requerido de uma representação
correta do espaço hiperbólico.
97
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
2. Comparando as geometrias não-Euclidianas
Uma maneira prática por meio da qual pode-
mos distinguir entre essas três geometrias é a
seguinte. Pegue uma folha de papel e coloque-
a sobre uma superfície plana. O papel irá cobrir
a superfície suavemente. Tente agora com uma
folha de papel do mesmo tamanho cobrir uma
superfície esférica. Você agora verá que para
cobri-la terá que permitir que vincos surjam no
papel. Isso indica que próximo a qualquer
ponto dado sobre a superfície da esfera a área
do papel é maior do que a área que você está
tentando cobrir. 
Quando você tentar cobrir a superfície de uma
sela com a mesma folha de papel, verá que o
inverso acontece: a área do papel passa a ser
insuficiente para cobrir a superfície próxima a
qualquer ponto sobre ele, e o papel rasga-se. 
Orientabilidade
É a propriedade que certos objetos possuem
de nos desorientar. Se lá morássemos, de
nada adiantaria ter uma bússola, pois sua seta
apontaria ora para o norte, ora para o sul,
deixando-nos cada vez mais perdidos. Em
caso de não-orientabilidade, joguem fora
todas as bússolas! Um objeto não-orientával,
possível em três dimensões é a chamada faixa
de Möebius, representada nas figuras abixo
em quatro posições. 
Ela é obtida como se fosse cometido um erro
durante a construção habitual de um simples
cilindro. Para fazer um cilindro de uma faixa
retangular, basta unir suas extremidades e
colá-las. Se por descuido, inspiração ou
defeito, torcermos a faixa antes de colá-la,
obtemos o objeto desejado. Este, diferente-
mente do cilindro tradicional, não tem dentro
ou fora, pois ao percorrê-lo longitudinalmente,
passaremos de fora para dentro e de dentro
para fora, sem cruzarmos nenhuma borda ou
fronteira. Outra diferença surpreendente é o
fato dessa superfície ter apenas uma borda. 
3. Aplicações
Um problema clássico solucionado através da
geometria elíptica é o chamado problema do
urso.
Partindo de um certo ponto da Terra, um
caçador andou 10km para Sul, 10km para
Leste e 10km para Norte, voltando assim ao
ponto de partida. Aí encontrou um Urso. Qual a
cor do Urso?
À primeira vista, podemos pensar que o pro-
blema não tem solução e, portanto, o caçador
98
UEA – Licenciatura em Matemática
não voltaria ao ponto de partida, como mostra
o seguinte esquema:
No entanto, não podemosnos esquecer de que
a Terra não é uma superfície plana, mas curva.
Assim a solução está à vista: Andando 10km
segundo aquelas 3 direções perpendiculares,
o caçador só voltará ao ponto de partida se ini-
ciar a sua caminhada no Pólo Norte.
E o Urso? Como a história decorre no Pólo
Norte, só pode ser um Urso Polar e, por isso
um urso branco.
É importante notar que tanto Lobachevski
como Gauss não se limitaram aos aspectos
matemáticos dessa importante descoberta.
Eles imediatamente começaram a pensar
como essa nova geometria poderia estar rela-
cionada com o mundo físico. Eles queriam
saber qual das duas geometrias, a Euclidiana
ou a não-Euclidiana recém descoberta, des-
crevia realmente o espaço. Tentando respon-
der a essa questão, Gauss tentou medir a so-
ma dos ângulos de um triângulo formado por
três montanhas. Lobachevski tentou fazer a
mesma medida, só que usando um triângulo
bem maior formado por duas posições da
Terra em sua órbita e uma estrela distante de
paralaxe conhecida. Infelizmente, nenhum dos
dois foi bem-sucedido, pois, naquela época,
eles não dispunham de equipamentos capazes
de fornecer a precisão necessária para essas
medidas.
Quando temos necessidade de estudar o es-
paço que nos é vizinho, todas as três geome-
trias nos conduzem a um mesmo resultado, e
a preferência é pela euclidiana, por ser a mais
simples.
Encontramos uma situação similar ao relacion-
armos a física de Newton à de Einstein, que
fornecem resultados idênticos quando se trata
de distâncias pequenas e baixas velocidades,
mas divergem no caso de grandes distâncias e
altas velocidades.
Einstein (1879-1955), na exposição de sua Teo-
ria Geral da Relatividade, em 1916, descreveu
o espaço como curvo e, portanto, com uma
natureza não-euclidiana.
Para sustentar matematicamente sua teoria,
usou os trabalhos desenvolvidos por Bernard
Riemann, 60 anos antes. Na teoria da relativi-
dade de Einstein, o universo é curvo e possui
quatro dimensões, sendo três espaciais e a
quarta, dimensão temporal. Um certo ponto do
universo tem a curvatura tanto maior quanto
maior a concentração de matéria na vizinhança
do ponto. A figura a seguir representa esque-
maticamente a curvatura do espaço devido à
presença da matéria, o planeta.
Nos espaço-tempo curvos descritos pela teoriarelativística da gravitação, os movimentos das
partículas assim como o da luz são curvos.
Entretanto essas curvas têm uma característica
comum com as linhas retas. Do mesmo modo
que as linhas retas são as trajetórias mais cur-
tas conectando dois pontos de um espaço
plano, os movimentos nos espaços-tempo cur-
vos percorrem as linhas curvas mais curtas
entre dois pontos. A luz segue curvas geodési-
cas. Dizemos que a luz não se move uniforme-
mente ao longo de linhas retas não porque ela
está sujeita a alguma força, mas por que o
espaço-tempo é curvo. Isso é muito importante
porque mostra que o conceito de força foi
substituído pelo conceito geométrico de cur-
vatura do espaço-tempo.
Uma contribuição importante na arte foi a
geometria hiperbólica em que Mauritius Escher
usou o disco de Poincaré em algumas de suas
gravuras. Essas duas vistas abaixo são
chamadas de Círculo Limite I (acima), Círculo
Limite II (meio) e Círculo Limite III (abaixo).
Essa última, umas das poucas gravuras colori-
das de Escher, foi feita em 1959. 
Aula prática 11: Faixa de Möebius
Objetivos: 
• Verificar que a faixa de Moebiüs possui um
único lado.
• Entender a idéia de orientabilidade de uma
superfície;
• Verificar que a faixa de Moebiüs não é uma
superfície orientada;
Atividades:
Material: 
• Cartolina.
• Tesoura.
• Pinceis coloridos.
• Cola.
Descrição:
• Construir duas faixas de Moebiüs.
• Tentar pintar um lado de uma das faixa de
Moebiüs.
• Recortar a outra faixa de Moebiüs no senti-
do logitudinal.
• Pintar a faixa recortada.
• Fazer uma análise do experimento.
99
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
Anexos
103
Geometria II – Anexos
ANEXO 1
Regra para montagem: os números e flechas
indicam a seqüência e a direção de passagem
da linha. Flechas duplas mostram que, naque-
le canudo, a linha será passada mais de uma
vez. 
Tetraedro – Seis canudinhos de 8cm e um
metro de linha são suficientes para construí-lo. 
Construa o primeiro triângulo, dê um nó e con-
tinue a seqüência com o restante da linha. Nos
passos 6 e 8, a linha será passada pela segun-
da vez no mesmo canudo.
104
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 2
Hexaedro (o cubo) – Com doze canudos,
monta-se o cubo. O aluno deverá verifcar o
que deverá fazer para que se torne um sólido
rígido.
105
Geometria II – Anexos
ANEXO 3
OCTAEDRO (O BALÃO)
106
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 4
ICOSAEDRO
107
Geometria II – Anexos
ANEXO 5
TETRAEDRO
108
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 6
CUBO
109
Geometria II – Anexos
ANEXO 7
OCTAEDRO
110
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 8
DODECAEDRO
111
Geometria II – Anexos
ANEXO 9
ICOSAEDRO
112
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 10
PRISMA QUADRANGULAR
113
Geometria II – Anexos
ANEXO 11
PRISMA TRIANGULAR
114
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 12
PRISMA HEXAGONAL
115
Geometria II – Anexos
ANEXO 13
PRISMA PENTAGONAL
116
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 14
CUBOCTAEDRO
117
Geometria II – Anexos
ANEXO 15
ICOSIDODECAEDRO
118
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 16
TETRAEDRO CORTADO
119
Geometria II – Anexos
ANEXO 17
OCTAEDRO CORTADO
120
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 18
CUBO CORTADO
121
Geometria II – Anexos
ANEXO 19
ICOSAEDRO CORTADO
122
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 20
DODECAEDRO CORTADO
123
Geometria II – Anexos
ANEXO 21
ROMBICUBOCTAEDRO
124
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 22
CUBOCTAEDRO CORTADO
125
Geometria II – Anexos
ANEXO 23
ROMBICOSIDODECAEDRO
126
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 24
ICOSIDODECAEDRO CORTADO
127
Geometria II – Anexos
ANEXO 25
CUBO COM PONTAS - LADO ESQUERDO
128
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 26
CUBO COM PONTAS - LADO DIREITO
129
Geometria II – Anexos
ANEXO 27
DODECAEDRO COM PONTA - LADO ESQUERDO
130
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 28
DODECAEDRO COM PONTA - LADO DIREITO
131
Geometria II – Anexos
ANEXO 29
DIRETRIZES PARA O TRABALHO EM GRUPO
1. Todos os componentes do grupo (no máximo 5) devem:
• Saber e compreender o que o grupo está fazendo.
• Fazer perguntas se não entenderem.
• Participar ativamente na realização das tarefas.
• Ajudar os outros.
• Respeitar os outros.
2. Só devem chamar o professor:
• Quando os componentes do grupo não estiverem conseguindo realizar a atividade, mesmo após
utilizado vários argumentos.
• Quando tiverem concluído a atividade.
3. Ao final das atividades devem:
• Elaborar um relatório conforme anexo 30.
• Ler o que foi escrito.
• Organizar a apresentação à turma.
132
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 30
GUIA PARA A ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO
Na elaboração do relatório, devem ser considerados, entre outros, os seguintes aspectos:
Identificação do grupo de alunos, indicando:
1. NOME
2. NÚMERO DE MATRÍCULA
3. TURMA
4. MUNICÍPIO
Identificação do trabalho, indicando:
1. DATA DE REALIZAÇÃO
2. DISCIPLINA
3. TÍTULO
Atividade n.º ______:
1. NOME
2. OBJETIVOS
O que deseja alcançar com a realização das atividades?
3. MATERIAIS UTILIZADOS
Devem ser discriminados os materiais para cada atividade.
4. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:
a. Relato de todos os passos de cada atividade.
b. Explicação dos raciocínios.
c. Identificação de tentativas realizadas e de dificuldades encontradas.
d. Apresentação dos resultados obtidos.
Conclusões
Apreciação crítica do trabalho proposto.
133
Geometria II – Anexos
ANEXO 31
TABELA DE AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO
134
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 32
FICHA DE AVALIAÇÃO INDIVIDUAL DO ALUNO
A minha colaboração na elaboração do relatório foi:
A minha colaboração na apresentação foi:
O que aprendi com as atividades realizadas foi:
As dificuldades que encontrei para realização do trabalho foram:
Gostei de trabalhar em grupo? Por quê?:
Nome:______________________________________________N.o:____Turma:____
SIM NÃO
Consegui distribuir as tarefas no grupo.
Verifiquei o objetivo da atividade.
Cooperei com os outros elementos do grupo.
Permiti a intervenção dos outros elementos do grupo.
Fui capaz de moderar a discussão no grupo.
Contribuí com idéias para o grupo resolver o problema.
Selecionei as estratégias apropriadas.
Justifiquei as conjecturas.
Utilizei os materiais.
Registrei os resultados.
Fui perseverante na resolução do problema.
Obtive conclusões.
Tive boa comunicação com a turma.
Respostas dos Exercícios
137
Geometria II – Respostas dos exercícios
UNIDADE I – Noções primitivas e
posições relativas
TEMA 01
CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E
POSIÇÕES RELATIVAS
Demonstrações
UNIDADE II – Distâncias, diedros e tiedros
TEMA 02
DISTÂNCIAS E DIEDROS
Demonstrações
UNIDADE III – Poliedros, prismas e
pirâmides
TEMA 03
POLIEDROS
Pág. 34
1. 10 2. 6
3. 8 4. 9
5. 11 6. 8 e 4
7. 15 e 10 8. 10
9. 29,68 e 41 10. 26
11. 14, 24 e 12
TEMA 05
PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA
Pág. 43
1. At = 9(8 + ) u. a. (unidades de área)
2. cm
3. 2,8 cm
4. 4 cm
5. At = 1020m2
6. Al = 280cm2
TEMA 06
VOLUME DO PRISMA
Pág. 47
1. At = 48(6 + )m2 e V = 288 m3
2. Al = 192 cm2 e V = 1152cm3
3. V = 240cm3
4. V = 6dm3 e At = dm2
5.
6. V = 108m3
Pág. 48
1. d 2. e
3. e 4. d
5. d 6. b
7. b
138
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 07
PIRÂMIDES
Pág. 53
1. cm
2. cm
3. Al = 60 cm2 e At = 30(5 + 2 )cm2
4. 2 cm; 96cm2
5. 2 cm
6. 2 cm
7. Al = 4 cm2; At = 4 ( + 1)cm2
Pág. 56
1. cm2
2. cm
3. 1152 m2
4. cm2
5. 144 cm3
6. 576 cm3
Pág. 56
1. C
2. C
3. B
4. E
5. B
UNIDADE IV – Cilindro e cone
TEMA 08
CILINDRO
Pág. 63
1. 7cm 2. 6m
3. 3 4. 8πm2
5. 7cm 6. 3πlitros
7. 8πcm
Pág. 64
1. b 2. b
3. b 4. a
5. e 6. d
TEMA 09
CONE
Pág. 67
1. Aproximadamente 123,60cm2
2. 2 cm 
3. Al = 65πcm2 At = 69πcm2 
4. 3 cm 
5. 144π(1 + )cm2
6. 2,2π cm2
7. 12πcm2
8. 9 cm
9.
10.
139
Geometria II – Respostas dos exercícios
Pág. 70
1. 1344πcm3
2. h = 2m; V = m3
3. 9 πcm3
4. Al = 9 πcm2 At = 9π( + 1)cm2V = 18πcm3
5. 5cm
6. m3
7. cm3
8. m3
9). cm3
10. 85,04ml
Pág. 70
1. e
2. b
3. b
4. b
5. c
6. a
7. d
8. b
9. a
10. d
11. c
12. c
13. c
14. d
15. a
UNIDADE V – Superfície de revolução e
sólidos de revolução
TEMA 10
SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Pág. 79
1. a) 2πc b) πc2 c) πbc d) a c2
2. a) b) c) 
3. a) 4 πa2 b)
4. a) 6(2 + )πa2 b) 6πa3
5. a) b) πa3
6. a) 2 πa2 b) πa3
7. a) πa2(6 + ) ou πa2(6 – )
b) ou
UNIDADE VI – Esfera
TEMA 11
ESFERA
Pág. 86
1. a) 
b) A = 9πm2
c)
d)
2. a) r = 3cm 
b) A = 36πcm2
3.
4. a) r = 2 cm 
b) 32π cm3
c) A = 48πcm2
5. d = 3 cm
6. d = 5cm
7.
8. 1
9.
10.
11.
12.
13. 2
14.
15. 48π
16. d = 14cm ou d = 2cm
17.
18. 9cm
Pág. 87
1. d 2. d
3. d 4. a
5. e 6. c
7. a 8. d
9. a 10. a
11. b
140
UEA – Licenciatura em Matemática
141
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REFERÊNCIAS