MÓDULO DE MATEMÁTICA BÁSICA EaD ISGECOF

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INSTITUTO SUPERIOR DE GESTÃO COMÉRCIO E FINANÇAS 
Faculdade de Administração e Gestão 
 
 
 
CURSO DE LICENCIATURA EM GESTÃO DE RECURSOS 
 
 
 
 
 
MÓDULO DE MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 
 
 
Autores: ALVES , Ildefonso 
 CHAVES, Maria Inês 
 JANUÁRIO , Tomásio 
Revisora Linguística: SABELA , Ilda Marisa Manuel Comiche 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
 
 
 
 
 
 
Bem-vindo ao módulo de Matemática I do Instituto Superior de Gestão, Comércio e 
Finanças (ISGECOF). Este módulo contém cinco (5) unidades. 
A Matemática I para os Juristas, Gestores e Financeiros, assume um papel de lógica 
onde os fenómenos sociais são interpretados na base de fundamentação de lógica 
com um objectivo concreto a ser atingido. O raciocínio matemático, é a capacidade 
de encadear e criticar raciocínios de maneira lógica, rigorosa e consistente sobre 
modelos abstractos, formais ou numéricos, extremamente relevantes para as 
diferentes ciências de índole social. 
A Matemática I, é um instrumento auxiliar para fundamentação dos rigores na 
exposição e desenvolvimento da teoria científica, na qual as Ciências Sociais usam 
para verificar a consistência lógica de raciocínios e técnicas de lógicas. 
A Matemática a ser dada, baseia-se na matemática geral e o programa do curso 
destaca o uso de elementos desta disciplina na literatura. 
 
 
 Objectivos do módulo 
 
 
 
 
 
No fim desta modulo, o estudante deve ser capaz de: 
• Efectuar diversas operações elementares aplicando problemas concretos de 
lógica e teoria de conjuntos; 
• Interpretar conjuntos e gráficos reflectindo situações concretas. 
• Conhecer, classificar e operar com expressões algébricas; 
• Resolver funções, equações, inequações e sistemas de equações usando 
diversos métodos; 
• Usar e aplicar conhecimentos da Matemática nos cálculos específicos; 
• Interpretar resultados numéricos na base de modelos matemáticos. 
 
 
 
 
 
 
Recomendações para o estudo: 
 
 
 
 
 
 
 
Para um bom aproveitamento no presente modulo, é necessário: 
� Promover hábitos de pensamento e de representação em que se procure a 
generalização, sempre que possível; 
� Tratar os números e as operações algebricamente – prestar atenção às relações 
existentes (e não só aos valores numéricos em si) como objectos formais para 
o pensamento algébrico; 
� Promover o estudo de padrões e regularidades, a partir do 1.º ciclo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE I - LÓGICA MATEMÁTICA 
 Introdução 
 
 
 
 
 
 
Caro Estudante! Seja Bem-vindo (a) à Unidade 1, da disciplina de Matemática. 
Nesta unidade você vai adquirir os conhecimentos sobre os elementos da Lógica 
Matemática que irá permitir-lhe, desenvolver as suas habilidades lógicas para 
compreensão e interpretação dos problemas do seu dia-a-dia. 
Para comunicar-se entre si, o principal processo utilizado pelos homens é o uso de 
uma linguagem, falada ou escrita. 
Na Matemática, quando se escreve «dois mais um é igual a três» está a utilizar-se 
uma escrita fonética, mas quando se escreve «2+1=3» utiliza-se uma escrita 
ideográfica geralmente designada por escrita simbólica da matemática. 
A Lógica tem como objectivo estudar as regras que permitem atingir a clareza e o 
rigor, tanto do pensamento como da linguagem. 
Quando, porem, utiliza as técnicas matemáticas e incide sobre o pensamento 
matemático, denomina-se Lógica Matemática. 
A lógica matemática em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio 
e da demonstração. Este importante ramo da matemática, desenvolveu-se no século 
XIX, sobretudo através das ideias de George Boole (matemático inglês), criador da 
Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar 
proposições e suas inter – relações. 
 
 Objectivos da unidade 
 
 
 
 
 
No fim desta unidade o estudante deve ser capaz de: 
• Utilizar correctamente os termos e proposições; 
• Explicar e efectuar as operações lógicas (negação, conjunção, disjunção, 
implicação e equivalência material; 
• Provar com tabelas de verdade as propriedades estudadas; 
• Interpretar conjuntos e gráficos reflectindo situações concretas. 
 
 
 
 Recursos de Aprendizagem 
 
 
 
1.1. Termos e Proposições 
A Matemática, tal como toda a ciência, usa a linguagem corrente para se exprimir. 
Uma expressão pode ser definida como sendo um conjunto de sinais ou símbolos 
elementares. 
• Letras, acentos, etc., na linguagem corrente; 
• Algarismos, sinais das operações, etc., na linguagem matemática. 
Das expressões mais simples apresenta-se a seguir alguns exemplos em linguagem 
Corrente Matemática 
Nampula 15 
João Paulo 4+3 
Sapato {1,3,5} 
1.1.1. Termos (nomes ou designações) 
Definição 1.1. Chama-se termo, ou designação, a uma expressão cujo papel é 
nomear, ou designar alguma coisa. As designações servem para indicar 
determinados objectos matemáticos (números, pontos, conjuntos, funções, 
operações, figuras geométricas, etc. também podem indicar cidades, pessoas, 
coisas, qualidades, etc. 
Exemplo 1.1 
• O menor número primo maior que 5; 
• Ana, Gato; 
• ( ) ).5(2,2,43,7 8 −•−+ yπ 
1.1.1.1. Designações equivalentes 
Definição 1.2. São aquelas que designam ou nomeiam o mesmo ser. E para indicar 
que dois termos designam o mesmo ente, escreve-se entre eles o sinal de igualdade 
=. 
 
 
 
Exemplo 1.2 
• 4
20
23 =+ 
• 10
6
5
3 = 
1.1.2. Proposições (ou frases) 
Definição 1.3. Chama-se proposição a uma expressão que traduz uma afirmação, 
na qual pode-se associar um dos valores de verdade, isto é, pode-se dizer se é 
verdadeira ou falsa. 
 
As proposições podem ser classificadas em simples e compostas 
• Proposição Simples – é aquela que não contém nenhuma outra como parte 
integrante dela e são também chamadas de atómicas. 
 
Exemplo 1.3 
• O João Paulo é estudante do curso de Direito; 
• Pemba é capital de Moçambique; 
• 2 é um numero par; 
• 4 +5=9 (quatro mais cinco é igual a nove). 
 
• Proposição Composta – é a composição de duas ou mais proposições 
simples. São também chamadas de moleculares. 
 
Exemplo 1.4 
• O João Paulo é estudante do curso de Direito e Pemba é capital de 
Moçambique. 
• Serei aprovado na cadeira de Matemática I se, e somente se, eu estudar. 
 
Na lógica matemática, as proposições devem satisfazer dois princípios (ou 
axiomas) fundamentais: 
(i) Princípio de não contradição: Uma proposição não pode ser 
simultaneamente verdadeira e falsa. 
 
 
 
(ii) Princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou é 
falsa isto é, não há um terceiro caso. 
 
Observação 1.1. O valor lógico de uma proposição é verdadeiro se a proposição 
for verdadeira (V ou 1) e falso se a proposição for falsa (F ou 0). O universo dos 
valores lógicos é o conjunto L = {V, F} ou L = {1, 0}. Por isso se diz lógica 
bivalente; são apenas dois valores lógicos: verdade e falsidade. 
 
 Observação 1.2. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples, podem 
ser representados por meio de uma tabela ou como uma árvore de possibilidades, 
conforme ilustração a seguir: 
 
 
Observação 1.3. Para indicar proposições são usadas letras minúsculas (p, q, r, s, 
etc.) 
Exemplo 1.5 
• A República de Moçambique é um Estado de Direito: p 
• Moçambique é vulnerável aos desastres naturais: q 
• A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°: r 
• Todo criminoso deve ser condenado: s 
• 954 =+ : t 
 
 Observação 1.4. Toda proposição apresenta três característica obrigatória: 
• Sendo oração, tem sujeito e predicado; 
• É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); 
• Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é 
falsa (F). 
 
 
O valor lógico de uma proposição composta, é definido em função dos valores 
 
 
 
lógicos das proposiçõessimples que a compõe e levando-se em consideração os 
conectivos empregados. Geralmente utiliza-se uma estrutura conhecida como 
tabela de verdade. 
 
Definição 1.4. Uma tabela de verdade é uma tabela que descreve os valores 
lógicos de uma proposição em termos das possíveis combinações dos valores 
lógicos das proposições componentes e dos conectivos usados. 
1.1.2.1. Proposições equivalentes 
Definição 1.5. São equivalentes duas proposições que têm o mesmo valor lógico, 
isto é, são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
 Assim, são equivalentes 
• 4+5=9; (V) 
• A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°; (V) 
Bem como 
eF )(15645 =−× )(15645 F=−× 
1.2. Operações Lógicas (Conectivos) 
Tanto na linguagem usual (corrente), como na linguagem matemática é frequente 
associar proposições simples para formar proposições compostas. Este tipo de 
operação chama-se operação lógica. 
Expressões como: não, e, ou, se…então…, …se e só se…são utilizadas muitas 
vezes para formar novas proposições (compostas). 
 
Na aritmética, partindo dos números e utilizando as operações (adição, subtracção, 
…), obtemos novos números. Na lógica matemática, partindo de proposições 
simples e definindo as operações, obtém-se novas proposições. 
 
Definição 1.5. Chamam-se conectivas as palavras ou símbolos usados para formar 
novas proposições a partir de proposições dadas. 
Os conectivos fundamentais da lógica matemática são: não, e, ou, se…então…, 
…se e só se… 
1.2.1. Negação (ou Modificador) 
 
 
 
Símbolo Leitura Operação Lógica Alternativas 
~ “Não” Negação −¬, 
 
Definição 1.6. A negação de uma proposição é uma nova proposição que é 
verdadeira se a primeira for falsa e é falsa se a primeira for verdadeira. 
 
A negação da proposição p representa-se por ~p e lê-se “não p” ou ``não é 
verdade que p´´. 
O valor lógico da negação pode deduzir-se do valor lógico da proposição dada 
através da tabela abaixo, chamada tabela de verdade da negação. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.6. Vejamos alguns exemplos: 
• 4 ≠ 3 é a negação da proposição 4 = 3; 
Então: ~ ( 4 ╪ 3 ) significa o mesmo dizer que 4 = 3 (F); 
• )(522 F=+ ; 
Negando esta proposição fica: É falso que 522 =+ ,ou seja, 522 ≠+ (V); 
• 52 < (V) 
A negação desta proposição será: )52(~ < é o mesmo que 52 ≥ (F) 
• Zq ∈2: 
Zq ∉2:~ 
Observação 1.5. A operação de negação é unária (contem só uma proposição e 
um símbolo ~). 
~ (~p) = p Negação Dupla 
1.2.2. Conjunção (ou produto lógico de duas proposições) 
p p~ 
V F 
F V 
p p~ 
1 0 
0 1 
Símbolo Leitura Operação Lógica Alternativas 
 
 
 
 
 
Definição 1.7. Chama-se conjunção de duas proposições à operação lógica que da 
origem a uma nova proposição que é verdadeira se e só se (sse) ambas proposições 
dadas forem verdadeiras. 
 
No caso geral, podemos pensar em duas proposições quaisquer p e q e construir 
uma nova proposição, a que chamaremos a conjunção de p com q, que 
designaremos por p ^q, e que leremos “p e q”. A questão que se põe é: 
 
Observação 1.6. O número de linhas de uma tabela verdade é n2 (para n 
variáveis). Assim, para duas proposições (2=n ) são 22 = 4 linhas; para 3 
proposições são 23 = 8; etc. 
 
Ora vejamos, conhecidos os valores lógicos de p e de q, qual o valor lógico da sua 
conjunção (p ^ q)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.7 
a) 168144212: 2 =+p b) p: 29227 =⋅ 
 22 3)12(: =+q q: 1)1( 2 −=− 
 ;3)12(168144212: 222 =+∧=+∧ qp )1(29227: 2 =−∧=⋅∧ qp
 
1.2.3. Disjunção (ou Soma lógica de duas proposições) 
∧ “E” Conjunção &, * 
p q qp ∧ 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 
 
 
 
 
 
A palavra “ou” utiliza-se para obter a disjunção de duas proposições. Mas esta 
pode usar – se com dois sentidos diferentes: 
 
1.2.3.1. Disjunção Inclusiva 
Definição 1.8. Chama-se disjunção inclusiva, de duas proposições à operação 
lógica que, aplicada a duas proposições, da origem a uma nova proposição que é 
falsa sse as proposições dadas forem ambas falsas. Ou seja, que é verdadeira 
quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. 
 
Se forem p e q duas proposições, o resultado da disjunção é uma terceira 
proposição que se designa por qp∨ e lê-se “p ou q”. 
O valor lógico de qp∨ determina-se pela tabela de verdade: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.8 
• ;1026410 >∨=− (V) porque a primeira proposição é verdadeira; 
• ;3)12(168144212 222 =+∨=+ (V) porque ambas são verdadeiras; 
• ;1)1(29227 2 −=−∨=× (F) porque ambas são falsas; 
1.2.3.2. Disjunção Exclusiva 
Definição 1.9. Chama-se disjunção Exclusiva de duas proposições p e q, à uma 
nova proposição que é verdadeira sse uma das proposições dadas for verdadeira e 
Símbolo Leitura Operação Lógica Alternativas 
∨ “Ou” Disjunção + 
p q qp∨ 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
 
a outra falsa (ou quando p e q tiverem valores distintos). 
 
Se forem p e q duas proposições, o resultado da disjunção exclusiva é uma terceira 
proposição que se designa por qp
o
∨ e lê-se “ou p ou q”. O valor lógico de qp
o
∨ 
determina-se pela tabela de verdade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.9 
• p: compro CD; 
• q: compro DVD. 
qp
o
∨ Ou compro CD ou compro DVD. O seu valor lógico, dependera da acção do 
comprador; se realizar ou não as duas acções, evidentemente que será qp
o
∨ falsa. 
1.2.4. Implicação Material (ou Condicionalização) 
 
Definição 1.10. A implicação entre duas proposições p e q (a primeira o 
antecedente e a segunda o consequente) é uma nova proposição que é falsa no 
caso em que: 
• O antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. 
O resultado da operação de implicação entre duas proposições p (antecedente) e q 
(consequente), é uma terceira proposição p⇒q que se lê “p implica q’’ ou ̀ `Se p, 
p q 
qp
o
∨ 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Símbolo Leitura Operação Lógica Alternativas 
⇒ “Se… , então…” Implicação ⊃→, 
 
 
 
então q’’ ou “de p resulta q’’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.9. Consideremos duas proposições a e b: 
25: <a a: 37 ≤ 
 Zb ∈2: b: 263 ×= 
 Zba ∈→<→ 225: 26337: ×=⇒≤⇒ ba 
Exemplo 1.10. Consideremos duas proposições p e q: 
p: Sebastião é maior de 18 anos; 
q: Sebastião tem direito de votar e ser votado. 
 
Ligando estas duas proposições pelo sinal de implicação ficaremos com a seguinte 
proposição: 
p⇒q: Se Sebastião é maior de 18 anos, então Sebastião tem direito a voto. 
 
 
Esta proposição é verdadeira visto que se considera que uma implicação só é falsa 
se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. 
Convém notar que o significado que aqui se esta a atribuir a palavra implicação 
difere por vezes da linguagem corrente. Por exemplo, pode escrever-se 
«As galinhas têm dentes ⇒hoje chove» 
e afirmar-se que é uma proposição verdadeira. 
 
Mas dizer em linguagem corrente 
«Se as galinhas têm dentes, então hoje chove» 
 Já nos parece despropositado e sem sentido. 
 
p q p⇒q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
 
É por esta razão que em Lógica Matemática diz-se não apenas implicação, mas 
sim implicação material. 
 
1.2.5. Equivalência Material 
 
 
Definição 1.11. A equivalência entre duas proposições p e q é uma nova 
proposição que é verdadeira, quer no caso em que ambas são ambas verdadeiras 
ou no caso em que estas são ambas falsas, isto é, é verdadeira se ambas tiverem o 
mesmo valor lógico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.11. Considerando as proposições abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.6. Tautologias, Contradições e Contingências 
 
Definição 1.12. Chama-se tautologia ou proposição lógicamente verdadeira toda 
Símbolo Leitura Operação Lógica Alternativas 
⇔ “Se e só se’’, “é equivalente a” Equivalência≡↔, 
p q p⇔q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
 
fórmula cujo valor lógico é sempre a verdade, independente do valor lógico das 
proposições simples que a compõe. 
Exemplo 1.12. )()~( pqpp ∨→∧ 
p ~p q )~( pp∧ )( pq ∨ )()~( pqpp ∨→∧ 
V F V F V V 
V F F F V V 
F V V F V V 
F V F F F V 
 
O caso oposto ao de uma tautologia, chamada contradição, consiste em fórmulas 
que são sempre falsas para quaisquer valores das proposições simples 
componentes. 
 
Definição 1.13. Contradição ou proposição lógicamente falsa é toda proposição 
composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que 
sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, .. 
Exemplo 1.13. )~()( qpqp ∧∧→ 
 
p q ~q )( qp → )~( qp∧
 
)~()( qpqp ∧∧→ 
V V F V F F 
V F V F V F 
 F V F V F F 
 F F V V F F 
 
Observação 1.7. As fórmulas que não se constituem nem tautologias nem 
contradições são chamadas de contingências. 
1.2.6. Propriedades das Operações lógicas 
1) Propriedades da Conjunção 
a) Comutatividade: 
 
 
 
;pqqp ∧=∧
 
(1) 
 b) Associatividade: 
);()( rqprqp ∧∧≡∧∧ (2) 
 c) V é elemento neutro: 
;pVp =∧
 
(3) 
 d) F é elemento absorvente: 
;FFp =∧
 
(4) 
 
e) Idempotência: 
.ppp ≡∧
 
(5) 
 
2) Propriedades da Disjunção 
a) Comutatividade: 
pqqp ∨=∨
 
(6) 
b) Associatividade: 
 
)()( rqprqp ∨∨≡∨∨ (7) 
 
c) F é elemento neutro: 
pFp =∨
 
(8) 
d) V é elemento absorvente: 
VVp =∨
 
(9) 
 
 
e) Idempotência: 
ppp ≡∨
 
(10) 
 
1) Propriedades mistas da Conjunção e Disjunção 
a) A conjunção é distributiva em relação à disjunção: 
)()()( rpqprqp ∧∨∧≡∨∧ (11) 
 
 
 
 
 
 b) A disjunção é distributiva em relação à conjunção: 
)()()( rpqprqp ∨∧∨≡∧∨
 
(12) 
 
2) Propriedades da Negação 
a) A dupla negação é afirmação: 
pp =)(~~
 
(13) 
b) Qualquer que seja a proposição p é: Fpp =∧ ~ (o que traduz 
simbólicamente o principio da não contradição) Vpp =∨ ~ (oque traduz 
o principio do terceiro excluído). 
c) Quaisquer que sejam as proposições p e q, tem-se: 
qpqp ~~)(~ ∨=∧
 
(14) 
 
qpqp ~~)(~ ∧=∨
 
(15) 
Estas duas fórmulas traduzem as chamadas primeiras Leis de Morgan (chamadas 
leis do pensamento). Que dizem o seguinte: 
• Negar que duas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras, equivale 
afirmar a afirmar que uma pelo menos é falsa; 
• Negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira equivale a 
afirmar que as duas são simultaneamente falsas. 
 
d) A negação de ambos membros das expressões que traduzem as Leis de 
Morgan conduz aos resultados: 
)~~(~ qpqp ∨=∧
 
(16) 
 
)~~(~ qpqp ∧=∨
 
(17) 
 
Que mostram, o primeiro, que a conjunção pode-se definir a partir da negação e da 
disjunção; o segundo, que a disjunção pode-se definir através da negação e da 
conjunção. 
 
 
 
 
Observação 1.8. Sobre o conjunto dos valores lógicos, podemos escrever o 
seguinte: 
;;~
;;~
VFVVF
FFVFV
=∨≡
=∧≡
 
5) Propriedades da Implicação material 
 
A implicação está relacionada com a conjunção e a disjunção. Utilizando uma 
tabela de verdade é fácil verificar que tem se sempre: 
qpqp ∨=⇒ ~
 
(18) 
 
Da relação (1) pode-se afirmar que p é falsa ou q é verdadeira. Aplicando esta 
propriedade, é possível exprimir a disjunção na implicação. 
qpqp ⇒=∨ ~
 
(19) 
 
A partir das primeiras Leis De Morgan podem-se obter facilmente a negação de 
uma implicação. 
qpqp ~)(~ ∧=⇒
 
(20) 
 
Dizer que p não implica q, é o mesmo que afirmar que p é verdadeira e q é falsa. 
Então, por outro lado têm-se também: 
pqqp ~~ ⇒=⇒
 
(21) 
 
 que facilmente pode ser demonstrado utilizando uma tabela de verdade. 
 
Nota 1.1 A implicação é uma operação não comutativa: pqpp ⇒≠⇒ 
 
6) Propriedades da Equivalência Material 
A expressão de equivalência de p⇔q é a abreviação de );()( pqqp ⇒∧⇒ 
Dado que as proposições acima referenciadas, são ambas verdadeiras (ou ambas 
falsas), isto é, são equivalentes. 
 
 
 
Então, pode-se escrever: 
);()( pqqpqp ⇒∧⇒=⇔
 
(22) 
p q qp ⇔ )( qp ⇒ )( pq ⇒ )()( pqqp ⇒∧⇒ 
V V V V V V 
V F F F V F 
F V F V F F 
F F V V V V 
 
 
Exprimindo as implicações em disjunções, vem: 
);(~)(~ pqqpqp ∨∧∨=⇔ (23) 
 
Aplicando as primeiras Leis De Morgan, tem-se: 
);~()~()(~ pqqpqp ∧∨∧=⇔
 
(24) 
 
1.2.7. Princípio da Dualidade Lógica 
O princípio da Dualidade Lógica diz: “As propriedades da conjunção e da 
disjunção, são formalmente idênticas, podendo passar-se de umas para as outras 
por simples mudança das operações de ∧ em ∨ e dos valores lógicos de V em F 
e reciprocamente” 
 
 
1.3. Expressões com Variáveis 
Na linguagem matemática, é muito cómodo utilizar variáveis. As variáveis são 
símbolos que podem ser substituídos por qualquer designação de um determinado 
conjunto de designações, chamado domínio da variável (ou universo da variável). 
Por exemplo, 
«x é a capital de Moçambique» 
« 022 =−+ nn » 
 
 
 
 
Na primeira expressão, aparece a variável x e na segunda a variável n. Claro que 
deveríamos indicar precisamente o domínio das variáveis em questão. Para fixar 
ideias digamos, por exemplo, que o domínio da variável x é o conjunto das cidades 
africanas e da variável n é o conjunto IN dos números naturais. Isto significa que 
podemos substituir, em cada uma das expressões anteriores, cada uma das 
variáveis intervenientes por um qualquer valor do seu domínio. As expressões com 
variáveis podem ser de dois tipos: 
 
1.3.1. Expressões Designatórias 
Definição 1.13. são aquelas que se transformam em designações quando se 
substituem as variáveis por termos convenientes (valores concretos). 
 
Definição 1.14. Chama-se Domínio de uma expressão designatória ao conjunto 
dos valores da variável para os quais a expressão tem significado (num dado 
universo). 
Exemplo 1.13 
• Triplo de x, (com x um número real); 
• ;122 ++ xx (com domínio IR); 
• ;6−x (com domínio [,6[ ∞+ ) 
• Chefe da turma do curso de x (com x qualquer curso do ISGECOF); 
 
Observação 1.9. Sempre que a variável aparecer mais que uma vez na expressão, 
a sua substituição (concretização) tem de ser feita com o mesmo valor. 
 
Observação 1.10. Se na mesma expressão aparecer mais do que uma variável, 
podemos atribuir valores iguais ou diferentes às variáveis, desde que esses valores 
pertençam aos respectivos domínios. 
 
Exemplo 1.14. 
• ;
6
9
−
+
x
x (com domínio IR diferentes de 6); 
 
 
 
• ;
9
y
x+
(com domínio o conjunto dos pares ordenados (x, y), com IRx ∈ e 
y um numero real diferente de zero. 
 
 
1.3.2. Expressões Proposicionais (ou Condições) 
Definição 1.15. São aquelas que se transformam em proposições (verdadeiras ou 
falsas), quando se substituem as variáveis por termos convenientes do seu 
domínio. 
 
São exemplos de expressões proposicionais ou condições as equações, inequações 
e os sistemas de equações ou inequações. 
 
Exemplo 1.15. 
• 022 =−+ xx , (O domínio é IR); 
• 2732 >+ nn , (O domínio é IN); 
Para alguns valores do domínio da variável, a proposição será verdadeira e para 
outros será falsa. 
• Um número é maior que 5. 
No entanto, a expressão transforma-se numa proposição verdadeira, quando 
substituirmos «um número» por um termo, como 7 e numa proposição falsa 
quando substituímos por 4; 
• 0122 =+− aa , (sendo a um número real); 
• ;3 xzyx +> 
As expressões proposicionais (ou condições) também se chamam de funções 
proposicionais. É usual representar as funções proposicionais por:
etccbaqnbxp ),,,(),(),( e por ),( yxp a uma função proposicional de variáveis x e 
y, etc. 
 
 
1.3.3. Classificação de uma condição num dado universo 
Consideremos, em IR, a seguinte condição: 
063 >−x 
 
 
 
Se concretizarmos a variável, fazendo 5=x , obtemos uma proposição verdadeira. 
Diz-se então que 5, satisfaz ou verifica a condição ou ainda que 5, é solução da 
condição. Já onúmero dois não verifica a condição, porque fazendo 2=x , 
obtemos uma proposição falsa. 
 
 
1.3.3.1. Condições Impossíveis 
Definição 1.15. São aquelas que para toda a concretização das variáveis se 
transforma numa proposição falsa. Conclui-se no entanto que, uma condição 
impossível não tem nenhuma solução no universo considerado. 
 
Exemplo 1.15. Consideremos em IR, as condições 
011 2 =++= xexx 
Trata-se de duas equações, ambas sem solução para o universo considerado. 
 
1.3.3.2. Condições Possíveis 
Definição 1.16. São aquelas que para toda a concretização das variáveis se 
transforma numa proposição verdadeira. 
 
 
Exemplo 1.16. Consideremos em IR, as condições 
0101 22 =−>+ xex 
A primeira condição 012 >+x é possível e universal pois origina proposições 
verdadeiras para qualquer substituição da variável. 
 
A segunda condição 012 =−x é possível, mas não universal. Com efeito para 
x=1 (p. verdadeira) e x=3 (p. falsa). 
 
Observação 1.11. Num dado universo, uma condição diz-se possível mas não 
universal, se no universo existe pelo menos um valor que a transforma numa 
proposição verdadeira e outro numa proposição falsa. 
 
 
 
 
1.3.4. Operações com Condições 
1.3.4.1. Negação 
Definição 1.17. Chama-se negação duma condição, )( xp à condição que se obtém 
antepondo – lhe o símbolo « ~ », que se lê: «não é verdade que». A condição 
)(~ xp também é chamada de condição contrária ou complementar de ).(~ xp 
 
Exemplo 1.17. Encontre a negação de cada uma das seguintes condições 
1. No universo U dos seres humanos, consideremos a condição: 
p(x): x é homem. 
~ p(x) : não é verdade que x é homem ou ~ p(x): x não é homem 
 
 2. Considere as seguintes condições em IR: 
a) x < 3 b) x – 1 = 0 
A negação de cada uma delas é respectivamente: 
a) ~ (x < 3) = ;3≥x b) ~(x – 1= 0) = x – 1 # 0 
 
Observação 1.12. A negação duma condição num universo, corresponde ao 
complementar do conjunto definido por essa condição nesse universo. 
 
1.3.4.2. Disjunção 
Consideremos as condições a e b seguintes definidas no universo dos homens: 
a: x é jurista e b: x é professor 
A disjunção das duas condições «a ou b», determina no mesmo universo, o 
conjunto de juristas ou professores. 
A disjunção de condições corresponde a reunião de conjuntos 
 
Exemplo 1.18. A disjunção, em IR: {x: x > 1 ou x < 6} corresponde a reunião de 
conjuntos 
{x ϵ IR: x > 1} U {x ϵ IR: x < 6} 
 
1.3.4.3. Conjunção 
A conjunção de duas condições, só é verificada pelos elementos que satisfazem 
simultaneamente, as duas condições. 
 
 
 
A conjunção «a e b» , x é jurista e x é professor, determina o conjunto de homens 
que são simultaneamente juristas e professores. 
A conjunção de condições corresponde a intersecção de conjuntos. 
 
Exemplo 1.19. À conjunção em IR: {x: x < 2 e x > -3} corresponde a seguinte 
intersecção de conjuntos: 
]- ∞, 2[ ∩]-3, + ∞[ = ] – 3, 2[ 
1.4. Quantificadores 
Para além das operações lógicas por nós consideradas, existem mais duas que se 
aplicam somente para expressões com variáveis. São elas a quantificação 
universal e quantificação existencial. 
1.4.1. Quantificador Universal 
 
Consideremos em IN, a condição universal 
0>x 
Para traduzir em linguagem corrente, que esta proposição é universal, escreve-se: 
«Todo o número natural é maior do que zero.» 
Em linguagem simbólica com o mesmo significado, escreve-se: 0, >∈∀ xINx 
 
Por meio deste símbolo, a condição de que partimos, transformou-se numa 
proposição (verdadeira). 
O ∀símbolo referido a uma variável define uma operação lógica que transforma 
uma condição nessa variável, numa proposição. 
 
A esta operação chama-se quantificação universal e ao respectivo símbolo 
quantificador universal. 
 
Símbol
o 
Leitura Operação Lógica Alternativas 
∀ “Qualquer que seja’’ Quantificação 
Universal 
( ),∏
Pi
 
 
 
 
Definição 1.18. Chama – se quantificador universal, ao símbolo ∀ que aplicado a 
uma condição numa variável, da origem a uma proposição verdadeira se a 
condição for universal e falsa nos outros casos. 
 
Exemplo 1.19 
a) 012: >+∈∀ nINn (proposição verdadeira); 
b) 21: >+∈∀ xIRx (proposição falsa); 
Quando existir mais de uma variável, escreve-se: ),(:, yxpyx∀ 
 
Observação 1.13. Uma condição com mais de uma variável, pode ser 
quantificada parcialmente. Por exemplo: ),(: yxpx∀ 
que se lê «qualquer que seja ),(: yxpx é verdadeira», 
Em geral, uma variável que está precedida de um quantificador, diz-se variável 
ligada ou muda; caso contrário diz-se livre. 
 
Observação 1.14. Uma função proposicional p(x), diz-se uma condição universal 
ou propriedade universal (no domínio da sua variável) se a proposição )(: xpx∀
for sempre verdadeira. 
Em contrapartida, se a proposição for sempre falsa, p(x) diz-se uma condição 
impossível; se for verdadeira apenas para alguns valores do domínio de x diz-se 
possível mas não-universal. 
 
Observação 1.15. Num universo finito, o quantificador universal traduz-se por 
conjunções sucessiva de proposições. Sendo },6,4,2{=A dizer que 
2 é par ∧ 4 é par ∧ 6 é par, é o mesmo que dizer: «Todo o elemento do conjunto 
A é par», ou simbolicamente, .': parexAx ∈∀ 
1.4.2. Quantificador Existencial 
Símbolo Leitura Operação Lógica Alternativas 
∃ “Existe pelo menos 
um”; 
Quantificação Existencial ∑ 
 
 
 
 
Consideremos a expressão proposicional ,01 =+x sendo IR o domínio da variável 
x 
Substituindo x por 1, obtemos a proposição falsa, pois ;011 ≠+ 
Substituindo x por −1, obtemos a proposição verdadeira, pois ;011 =+− . 
 
A partir da expressão proposicional ,01 =+x podemos construir a seguinte 
proposição: «Existe uma designação no domínio da variável x tal que .01=+x » 
ou «Existe pelo menos um número real que verifica a condição .01=+x » 
 
Trata-se até de uma proposição verdadeira, porque existe pelo menos um elemento 
do domínio da variável x que, quando substituído na expressão proposicional 
,01 =+x transforma-se numa proposição verdadeira. 
Em notação matemática (linguagem simbólica) escreve-se: 01: =+∈∃ xIRx 
O símbolo ∃ referido a uma variável, define uma operação lógica que transforma 
uma condição nessa variável numa proposição. ∃ 
A esta operação chama-se quantificação existencial e ao respectivo símbolo 
quantificador existencial 
 
Definição 1.19. Chama – se quantificador existencial ao símbolo que aplicado a 
uma condição numa variável, da origem a uma proposição verdadeira se a 
condição for possível e falsa se for impossível. 
Exemplo 1.20. 
a) 5.012: =+∈∃ xQx (proposição verdadeira); 
b) 5: >∈∃ nINn (proposição verdadeira); 
c) 01: 2 =+∈∃ xIRx (proposição falsa). 
 
Observação 1.16. Num universo finito, o quantificador existencial traduz-se por 
disjunção sucessiva de proposições. Sendo },0,1,2{ −−=B dizer que: -2+1=0 ∨ 
-1+1=0 ∨ 0+1=0, é o mesmo que dizer: «há pelo menos um elemento de B cuja 
soma com 1 é igual a zero», ou simbolicamente, .01: =+∈∃ xBx 
 
 
 
 
1.4.3. Quantificação Múltipla 
Consideremos em IR, a condição xy = 
A partir desta condição, para obtermos uma proposição, há que utilizar dois 
quantificadores, o que chamaremos de quantificação múltipla. 
• Utilizando duas vezes o quantificador universal 
.:,: xyIRyxouxyIRyIRx =∈∀=∈∀∈∀ 
Quaisquer dois números reais são iguais: proposição falsa 
• Utilizando duas vezes o quantificador existencial. 
.:,: xyIRyxouxyIRyIRx =∈∃=∈∃∈∃ 
Existem pelo menos dois números reais que são iguais: proposição verdadeira. 
• Utilizando quantificadores diferentes 
xyIRyIRx =∈∃∈∀ :)1 
Para todo o número real existe pelo menos um outro número real igual a ele: 
proposição verdadeira. 
 xyIRyIRx =∈∀∈∃ :)2 
Existe pelo menos um número real que é igual a todos os outros números reais: 
proposição falsa 
Quando se utilizam quantificadores diferentes e se troca a sua ordem, obtém-seproposições diferentes que podem ter ou não o mesmo valor lógico. 
1.4.4. Segundas Leis De Morgan 
Consideremos, no conjunto C dos alunos da turma, as proposições: 
• :Cx∈∀ x estuda Matemática; 
• :Cx∈∃ x visitou Cape Town. 
Em linguagem usual traduzem-se, respectivamente, por: 
• Todos os alunos da turma estudam Matemática; 
• Existe pelo menos um aluno na turma que visitou Cape Town. 
A negação destas proposições em linguagem usual é: 
• Nem todos os alunos da turma estudam Matemática; 
• Nenhum aluno da turma visitou Cape Town. 
Traduzindo em linguagem simbólica: 
 
 
 
• :Cx ∈∃ x não estuda Matemática; 
• :Cx∈∀ x não visitou Cape Town. 
Portanto: 
• :(~ Cx ∈∀ x estuda Matemática) :Cx∈∃⇔ x não estuda Matemática; 
• :(~ Cx ∈∃ x visitou Cape Town) :Cx∈∀⇔ x não visitou Cape Town. 
Isto leva-nos a afirmar: 
 
(i) A negação transforma o quantificador universal em quantificar 
existencial seguido de negação, isto é, ~~ ∃=∀ 
 
(ii) A negação transforma o quantificador de existencial no quantificador 
universal segundo da negação, isto é, ~~ ∀=∃ 
Estes dois enunciados são conhecidos por Segundas leis De Morgan. 
 
 Leituras Obrigatórias 
 
 
Recomenda-se aos estudantes as seguintes bibliografias: 
1. Gelson Iezzi e Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar, 
1º Volume. Atual Editora, 1977. [Páginas 1-A à16-A]; 
 
2. Maria Augusta Ferreira Neves, Maria Teresa Coutinho Vieira, Alfredo 
Gomes Alves. 
 Exercícios de matemática, 1º Volume, 10º ano, Porto Editora Lda. [Páginas 5-
20, 39-43, 
 74-76, 191-198]; 
 
3. Beirão, João Carlos e Morgadinho, Stela. Introdução à Análise 
Matemática. Texto Editores, Lda. - Moçambique, 2005. [Páginas 6-23]; 
 
4. Momade, Saide Issufo e Ossofo, Abudo Atumane. Lógica e Teoria de 
Conjuntos. Programa de cooperação em EAD, UAB/UP Brasil – 
Moçambique, 2011. [Páginas 19-56]; 
 
 
 
 
5. Sydsaeter, knut e Hammond, Peter. Matemática essencial para Análise 
Económica (Parte I); Moçambique Editora, Lda, 2005.[Páginas 70-72]; 
 
 LipsChutz, Seymour. Teorias e Problemas da Matematica Finita (Tradução de 
Adalberto Panobianco Bergamasco). Editora MCGRAW-HILL, Brasil, 
1972.[Páginas 1-29]. 
 
 
Resumo da Unidade 
 Nesta unidade, aprendeste os conceitos básicos relacionados com a Lógica 
Matemática. 
Abordamos os seguintes conceitos: Termos e Proposições, Operações lógicas 
(negação, conjunção, disjunção, equivalência e a implicação) demonstradas com 
recurso as tabelas de verdade e as Propriedades das Operações lógicas. 
Vimos também Expressões com variáveis: Expressões proposicionais e 
designatórias e aprendemos como usar correctamente os quantificadores universal 
e existencial. 
Por último, aprendemos a usar e as Segundas Leis de Morgan para negar certas 
proposições: 
(i) A negação transforma o quantificador universal em quantificar 
existencial segundo a negação 
~~ ∃=∀ 
 
(ii) A negação transforma o quantificador de existencial no quantificador 
universal segundo da negação 
~~ ∀=∃ 
 
 
 
 
 
 
 Tarefas 
 
 
 
1. Seja p “Mike lê jornal’’ , seja q “Mike lê livro’’ e seja r “Mike lê revista’’. 
Escrever cada uma das seguintes sentenças (proposições) em forma simbólica: 
a) Mike lê jornal ou Livro, mas não revista; 
b) Mike lê jornal e Livro ou ele não lê jornal e revista; 
c) Não é verdade que Mike lê jornal, mas não revista; 
 d) Não é verdade que Mike lê revista ou livro, mas não jornal. 
Resolução: 
a) Mike lê jornal ou Livro, mas não revista; 
 
b) Mike lê jornal e Livro ou ele não lê jornal e revista; 
 
c) Não é verdade que Mike lê jornal, mas não revista; 
 
d) Não é verdade que Mike lê revista ou livro, mas não jornal. 
 
 
 
2. Determinar a tabela de verdade de cada uma das seguintes proposições: 
 a) );~(~~ qp∧ 
 .)~() rqpb ∨∧ 
Resolução 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
p q ~p ~q )~(~ qp∧
 
)~(~~ qp∧ 
V V F F F V 
V F F V F V 
F V V F F V 
F F V V V F 
rqp ~)( ∧∨
)(~)( rpqp ∧∨∧
)~(~ rp∧
[ ]pqr ~)(~ ∧∨
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Demonstrar as primeiras leis de Morgan (usando a tabela de verdade): 
 
 
Resolução 
a) 
P q 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
b) 
 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
p q r ~
q 
 
V V V F F V 
V V F F F F 
V F V V V V 
V F F V V V 
F V V F F V 
F V F F F F 
F F V V F V 
F F F V F F 
qp ∧ )(~ qp ∧ p~ q~ qp ~~ ∨
p q qp ∨ )(~ qp∨ p~ q~ qp ~~ ∧
)~( qp∧ rqp ∨∧ )~(
;~~)(~)
;~~)(~)
qpqpb
qpqpa
∨=∨
∨=∧
 
 
 
4. Simplifique cada uma das seguintes proposições 
qpqpqpc
qpqpqpb
qpqpqpa
∧=∧=∨
∨=∨=∧
∧=∧=∨
)(~~)(~~)~(~~)
;~~)(~~)(~~)
;~)(~~~)~(~)
 
 
 
 Auto-avaliação 
 
 
 
 
 
1. Determine os valores lógicos das seguintes proposições: 
a) ISGECOF fica na Cidade de Maputo e ; 
b) 7 É um número primo e 9 é um número primo; 
c) 7 É um número primo ou 9 é um número primo; 
d) 3 É um divisor comum de 9 e 12; 
e) 9 Não é primo nem par; 
f) e e ; 
g) Se 5 <3, então -3 <-5; 
h) Se 12 divide-se por 6, então 12 divide-se por 3; 
i) Se 11 divide-se por 6, então 11 divide-se por 3; 
j) Se 15 divide-se por 3, então 15 divide-se por 6; 
k) Não é verdade que 1 +1= 2, sse 3+4=5; 
l) 12 Divide-se por 6 sse 12 divide-se por 3; 
m) 11 Divide-se por 6 sse 11 divide-se por 3; 
n) Um triângulo é isósceles sse tem dois ângulos iguais. 
 
2. Seja p “Ana fala Francês”, seja q “Ana fala Changana”. Dar uma sentença 
verbal simples, que descreva cada uma das proposições seguintes: 
a) );( qp ∨ ; b) p ^ q; c) p ^ ~ q; 
d) ~ p v ~q; e) ~(~p); f) 
 
3. Determinar a tabela de verdade de cada uma das seguintes proposições: 
a) b) p ^ ~ q; c) 
d) ;)(~ pqp ⇒∨ e) ; f) ; 
532 =+
422 =× 422 ≤× 422 ≥×
);~(~~ qp∧
;~ qp ∧ );~(~~ qp∨
)(~ pqq Λ⇔ )(~)~( qpqp Λ⇒⇔
 
 
 
 
4. Simplificar cada uma das seguintes afirmações: 
a) )(~ baa ∨∧ b) )( qpp ∨∧ c) bba ⇔⇒ )( 
d) (p v q) ^ ~p; e) p v (p^q) f) ~(p v q) v (~p ^ q);
 g) bba ⇒∨ )(~ 
 
5. Utilize as primeiras leis de Morgan para encontrar proposições cujo valor de 
verdade é o oposto do das seguintes: 
a) 2π É simultaneamente maior e menor que 10; 
b) Vou ao cinema ou como pipocas; 
c) O Carlos e o João gostam de nadir; 
d) O Filipe não sabe ler ou está distraído. 
 
6. Para cada uma das expressões proposicionais seguintes encontre, se 
possível, substituições de variáveis que as transformem em proposições 
verdadeiras e em proposições falsas. Quer x e y são variáveis reais. 
 a) ;432 =− xx 
 b) ;2 xyx = 
 c) x + y < x; 
 d) ;012 >+x 
 e) .11 −=+ xx 
 
7. Defina a negação das seguintes condições: 
a) ;53 <<− x b) .12 −=∨= xx 
 
8. Dado o conjunto B= {0, 1, 2, 3, 4}. A partir deste conjunto escrever as 
seguintes proposições: 
a) “Existe pelo menos um valor de x, tal que 2x + 1=9”. 
b) “Não existe nenhum número x, tal que x -15=0”. 
 
g) );~^(~ rqp∨
 
 
 
9. Sendo IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, traduza em linguagem corrente e indique o 
valor logico: 
;73:) =+∈∃ nINna .1:) nnINnb >+∈∀ 
 
 10. Nas expressões seguintes, diga quais as variáveis livres e quais as mudas: 
a) x é múltiplo de y; 
b) ;0: xxIRx =+∈∀ 
c) ;0: =+∈∃ yxIRy 
d) .23: >+∈∀ xINx 
 
 11. Considere em IR, a condição: .0=+ yx Utilize, para a transformar numa 
proposição, dois quantificadores 
a) Universais; 
b) De existência; 
c) Um universal e um de existência; 
d) Um de existência e um universal. 
 
 
 Chave de correcção 
 
 
 
1. a) V; b) F; c) V; d) V; e) V; f) F; g) V; h) V; i) V; j) F; k) V; l) V; m) V; n) 
V. 
 
2. a) Ana fala Francês ou Changana; 
b) Ana fala Francês e Changana; 
c) Ana fala Francêsmas não Changana; 
d) Ana não fala Francês ou Ela não fala Changana; 
e) Não é verdade que Ana não fale Francês; 
f) Não é verdade que Ana não fale Francês, nem Changana. 
 
3. a) FFVF; b) FVFF; c) VFFF; d) VVFF; e) VVFF; f) VFVV; g) FVFFVVVV. 
 
4. a) ba ∧ ; b) p ; c) ba ∨ ; d) qp ∧~ ; e) p; f) ~p; g) ba ∨ . 
 
 
 
 
5. ;102102)102102(~)10210(~) ≥∨≤=<∧>=<< πππππa 
b) Não vou ao cinema e não como pipocas; 
c) O Carlos ou o João não gostam de nadar; 
d) O Filipe sabe ler e Ele não esta distraído. 
 
6. a) A expressão será verdadeira para x=4 e x=-1; b)Será Verdadeira para 
x=y=1); c) F; d)Verdadeira para 01: 2 >+∈∀ xIRx ; e) F 
 
7. ;53) ≥∨−≤ xxa 12) −≠∧≠ xxb 
 
8. ;912:) =+∈∃ xBxa 015:) ≠−∈∀ xBxb 
 
9. ;53) ≥∨−≤ xxa 12) −≠∧≠ xxb 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE II - TEORIA DE CONJUNTOS 
 Introdução 
 
 
 
 
 
 
As ideias essenciais da teoria dos conjuntos, foram introduzidas por G. Cantor na 
parte final do Século XIX. Desde então, a teoria dos conjuntos não deixou de 
desenvolver-se intensamente, de tal forma que hoje pode dizer-se que todos os 
ramos da Matemática foram profundamente influenciados e enriquecidos por essa 
teoria. 
Todos nós sabemos o que é um objecto e o que é uma colecção (ou um conjunto) 
de objectos. Em Matemática, onde a linguagem tem de ser completamente precisa, 
não basta estarmos convencidos de que sabemos o que é um objecto, ou um 
conjunto de objectos, precisamos de formalizar esses conceitos. 
Nesta unidade, iremos apresentar o conceito de conjunto, subconjuntos, operações 
entre conjuntos e as propriedades que actuam sobre elas. E também, iremos 
apresentar os conjuntos numéricos (conjunto dos números naturais, inteiros, 
racionais e reais). 
 
 
 Objectivos da unidade 
 
 
 
 
 
No fim desta unidade o estudante deve ser capaz de: 
• Definir os conceitos de conjuntos e elementos de um conjunto; 
• Realizar as operações entre conjuntos; 
• Identificar as relações de pertença e de inclusão; 
• Distinguir, relacionar e efectuar operações entre conjuntos numéricos. 
 
 
 
 
 
 
 
Recurso de aprendizagem 
 
 
 
 
2.1. Conceito de Conjunto 
 
Definição 2.1. Um conjunto, é uma lista ou colecção de objectos com 
características idênticas. Os objectos em um conjunto, podem ser qualquer coisa 
(pessoa, rios, números, letras, plantas, animais, etc.). 
Os objectos que fazem parte de conjunto são chamados elementos. 
Geralmente, os conjuntos indicam-se por letras maiúsculas e os seus elementos por 
letras minúsculas. 
 
Exemplo 2.1. 
1) O conjunto das cidades de Moçambique; 
2) O conjunto dos alunos do ISGECOF; 
3) Os números 1,3,5,7 podem ser vistos como elementos de um conjunto, 
digamos 
A= {1, 3, 5,7} 
4) As soluções da equação 0232 =+− xx são elementos do conjunto B={1, 
2}. O conjunto B chamado de conjunto solução da equação. 
 
2.1.1. Simbologia 
Símbolo Leitura Representação 
∈ Pertence Da ∈ 
∉ não pertence Db ∉ 
= Igual CA = 
≠ Diferente DA ≠ 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.2. Seja C= 
{1,2,3,4,5,6}, podemos afirmar 
que: 
• ;1 C∈ 
• ;3 C∈ 
• ;7 C∉ 
• C∉12 
 
2.1.2. Formas de representação de um conjunto 
A definição (ou representação) de um conjunto pode ser feita de três maneiras, a 
saber: 
a) Definição por extensão: quando enumeramos, entre chavetas, os elementos 
que o formam. 
Nota- se que os elementos são separados por vírgula. Por exemplo, A={1, 3, 
5,7} 
 
b) Definição por compreensão: quando indicamos, também entre chavetas, 
uma propriedade que seja verificada por todos os elementos do conjunto. 
Por exemplo, B= {x: x é um inteiro, x> 0} que se lê «B é o conjunto dos x, tais 
que x é um número inteiro e x é maior que zero» indica o conjunto B, cujos 
elementos são os inteiros positivos. 
 
c) Representação Geométrica ou Diagrama de Venn: consiste em representar 
um conjunto através de linhas curvas e fechadas. Os elementos separam-se 
por pontos. 
⊂ Contido DA⊂ 
⊄ Não contido DA ⊄ 
⊃ Contém BA⊃ 
⊃/ Não contém DA ⊃/ 
∅ Vazio {} 
# Cardinal #{2,6,3}=3 
 
 
 
 
 
Figura 2.1. Diagrama de Venn 
Sendo A um conjunto finito, podemos representar os seus elementos sob a forma de 
pontos dentro de uma curva fechada. Por exemplo, se o conjunto A= {1,7,9} pode 
representar-se da seguinte forma: 
 
Figura 2.2. Diagrama de Venn 
2.1.3. Conjuntos Finitos e Infinitos 
Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto é finito se consistir 
exactamente de n elementos diferentes, onde n é algum inteiro e caso contrário é 
infinito. 
Observação 2.1. Um conjunto só pode ser definido por extensão se for constituído 
por um numero finito de elemento, caso contrario a definição só pode ser por 
compreensão. 
Exemplo 2.3. Seja C={2,4,6,8,…} Então, C é infinito. 
Exemplo 2.4. Seja D={x: x é um rio da Terra}. Apesar de ser difícil encontrar o 
número de rios da Terra, D é um conjunto finito. 
2.1.4. Igualdade de Conjuntos 
Definição 2.2. Dois conjuntos A e B dizem-se iguais quando são constituídos 
exactamente pelos mesmos elementos. A relação de igualdade entre conjuntos 
representa-se por A=B e a sua negação por .BA ≠ 
Exemplo 2.5. Seja E={x: }0232 =+− xx , F={2, 1} e G={1, 2, 1, 2, 4/2}. 
 
 
 
Então, E=F=G. 
Observação 2.2. Um conjunto não depende da maneira pela qual seus elementos 
são mostrados, porque um conjunto não se altera se alguns elementos são 
enumerados mais do que uma vez. 
 
Definição 2.3. Chama-se conjunto unitário, aquele que possui um único elemento. 
Exemplo 2.6. Conjunto das soluções da equação 1313 =+x 
 
Observação 2.3. Um conjunto não depende da maneira pela qual seus elementos 
são mostrados, porque um conjunto não se altera se alguns elementos são 
enumerados mais do que uma vez. 
2.1.5. Conjunto Vazio 
Definição 2.4. É todo aquele conjunto que não contem nenhum elemento. Ele é 
indicado por ∅ , é considerado finito e subconjunto de todos os outros conjuntos. 
Então, para qualquer conjunto A, tem-se: UA ⊂⊂∅ 
Exemplo 2.7. Seja A o conjunto formado por todas pessoas com 950 anos de vida 
na Terra. De acordo com as estatísticas conhecidas, A é o conjunto vazio. 
Exemplo 2.8. O conjunto formado pelas soluções da equação .012 =+x 
2.1.6. Conjunto Universal 
Definição 2.5. Diz-se que um conjunto é universal ou universo se ele contém todos 
os subconjuntos de um determinado caso em estudo. 
Exemplo 2.9. Nos estudos sobre a população humana, o conjunto universo consiste 
em todas as pessoas do mundo. 
2.1.7. Subconjunto 
Definição 2.6. Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B e indica-se 
,ABouBA ⊃⊂ Sse, cada elemento de A também pertence a B; isto é, 
.BxAx ∈⇒∈ Podemos também dizer que A esta contido em B ou que B contém 
A 
 
 
 
}:{ BxAxxBA ∈∧∈=⊂ 
 
 
Figura 2.3. A contido em B 
Exemplo 2.10. Consideremos os conjuntos 
A={1, 2, 3, 4, 5} e B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. O conjunto A é subconjunto do conjunto 
B, ou seja, .BA ⊂ 
2.1.8. Conjunto das Partes 
Frequentemente os elementos de um conjunto também são conjuntos. Por exemplo, 
cada recta em um conjunto de rectas é um conjunto de pontos. 
Definição 2.7. Chama-se conjunto das partes de um dado conjunto A e designa-se 
por P(A),o conjunto formado por todos subconjuntos A, incluindo o vazio e o ∅ 
próprio A. Simbolicamente temos: 
}:{)( AxxAP ⊂= 
 
 
Assim, 
Para A= {a} é P (A) ={∅ , A} que têm 122 = elementos, 
Para A= {a, b} é P (A) ={∅ , {a}, {b}, A} que têm 224 = elementos, 
Para A= {a, b, c} é P (A) ={∅ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A} que têm 328 =
elementos. 
Observação 2.4. Se A for finito e possuir n elementos, então P (A) terá n2 
elementos. 
 
 
 
 
2.1.9. Cardinal de um Conjunto 
Definição 2.8. Cardinal de um conjunto A, que indica-se por “#A” ou “ )(An ” , é o 
número de elementos que este conjuntopossui. 
Por exemplo, se A= {1, 3, 5, 9}; .4)( =An 
# .700}7001:{ =≤≤∈ nINn # .0=∅ 
 
2.2. Operações com Conjuntos 
Sejam os conjuntos, A={1, 2, 3, 4} e B={3, 4, 5, 6}, onde U={1, 2, 3, …}. Então, 
vamos definir as seguintes operações: 
 
Definição 2.9. Chama-se reunião de dois conjuntos A e B, ao conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A ou B, 
}:{ BxAxxBA ∈∨∈=∪
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.11. 
1) }6,5,4,3,2,1{=∪ BA 
2) φφφ =∪ 
 
 
 
Figura 2. 4. Reunião de A com B. 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da Reunião 
(Idempotente) AAA =∪ 
(Elemento neutro) AA =∪ φ 
(Elemento 
absorvente) 
UUA =∪ 
(Associativa) )()( CBACBA ∪∪=∪∪ 
(Comutativa) ABBA ∪=∪ 
 
 
 
Definição 2.10. Chama-se intersecção de dois conjuntos A e B, ao conjunto 
formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, 
 
}:{ BxAxxBA ∈∧∈=∩
 
 
Figura 2.5. Intersecção de dois conjuntos Figura 2.6. Intersecção de 
A com B, (A contido em B). 
Exemplo 2.12. }4,3{=∩ BA 
 
Propriedades da Intersecção 
(Idempotente) AAA =∩ 
(Elemento neutro) AUA =∩ 
 
 
 
(Elemento 
absorvente) 
φφ =∩A 
(Associativa) )()( CBACBA ∩∩=∩∩ 
(Comutativa) ABBA ∩=∩ 
 
Definição 2.11. Quando φ=∩ BA , isto é, quando os dois conjuntos não tiverem 
elementos em comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos. 
 
 
 
 
 
Propriedades Mistas 
ABAA =∩∪ )( 
ABAA =∪∩ )( 
)()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ (distributiva da reunião em relação a 
intersecção) 
)()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ (distributiva da intersecção em relação a 
reunião) 
 
Definição 2.12. Chama-se diferença de A e B, indicada por “ BA \ ” ao conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A, mas que, não pertencem a B: 
 
},:{\ BxAxxBA ∉∈=
 
 
Figura 2.7. Diferença de A com B. 
 
 
 
Exemplo 2.13. }2,1{\ =BA 
Definição 2.13. Chama-se complementar de um conjunto B, indicado por “B ” ao 
conjunto dos elementos que pertencem a U, mas que, não pertencem a B: 
},:{ BxUxxB ∉∈= 
Exemplo 2.14. }...,7,6,5{=A 
 
Figura 2.8. Complementar do conjunto B. 
Observação 2.5. Dados dois conjuntos A e B, tais que AB ⊂ , o complementar de 
B em relação a A também pode ser escrito da seguinte forma: 
BACBA −=
 
 
Propriedades Mistas 
(Complementação) 
BABA
AA
UAA
∩=
=
=∪
\
)( 
U
U
AA
=
=
=∩
φ
φ
φ
; 
(Leis de Morgan) BABA ∩=∪ )( BABA ∪=∩ )( 
 
Observação 2.6. Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então tem - se: 
)()()().()1 BAnBnAnBAn ∩−+=∪ 
 
()()()()()()().()2 BAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn ∩+∩−∩−∩−++=∪∪
 
 
 Exemplo 2.15. Numa escola de 630 alunos, 250 deles estudam Matemática, 
210 estudam Inglês e 90 deles estudam as duas disciplinas. Pergunta-se: 
 
 
 
 a) Quantos alunos estudam apenas Matemática? 
 b) Quantos alunos estudam apenas Inglês? 
 c) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas disciplinas? 
 d) Represente esta situação num diagrama de Venn. 
Resolução 
160
90250
)()()
=
−=
∩−= IMnMnxa
R%: 160 alunos estudam apenas Matemática 
120
90210
)()()
=
−=
∩−= IMnInyb
 R%: 120 alunos estudam apenas Inglês 
c) Para sabermos o número de alunos que não estudam nenhuma das duas 
disciplinas ( )( IMn ∪ ), devemos antes realizar os seguintes cálculos, a saber: 
i) É necessário conhecer o número total de alunos que estudam as duas disciplinas 
no universo considerado; 
 
370
90210250
)()()()(
=
−+=
∩−+=∪ IMnInMnIMn
 
 ii) Utilizar a relação 
 
260)(
370630)()()()()()(
=∪⇒
−=∪−=∪⇒∪+∪=
IMn
IMnUnIMnIMnIMnUn
 
R%: 260 alunos não estudam as duas disciplinas. 
 
 
 
 
2.3. Conjuntos Numéricos 
 
 2.3.1. Conjunto dos números naturais - IN 
 Definição 2.14. Chama-se conjunto dos números naturais ao conjunto dos 
números que obtém -se pela operação de contagem e representa-se por 
compreensão. 
 
 Assim dado um natural 0≠a , o simétrico de a não existe em N. 
 
 2.3.2. Conjunto dos números inteiros – 
 Definição 2.15. Chama-se conjunto dos números inteiros o seguintes conjunto: 
 
 Neste conjun to distinguimos três subconjuntos notáveis: 
• Conjunto dos números inteiros não negativos: 
 
• Conjunto dos números inteiros não positivos: 
 
• Conjunto dos números inteiros não nulos: 
 
 Neste conjunto, também são definidas as operações de adição e multiplicação. 
Quando a é divisor de b dizemos que “b é divisível por a” ou “b é múltiplo de a” . 
 Observação 2.7. Os números inteiros podem ser representados sobre uma recta 
orientada através do seguintes procedimento: 
 1) Sobre a recta, estabelecemos um sentidos positivo e um ponto O (origem) que 
representa o inteiro 0 (zero); 
 2) A partir de 0, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário 0≠u cuja 
extremidade passara a representar o inteiro 1; 
 
 
 
 O resultado é este: 
 
 
 2.3.3. Conjunto dos número racionais - 
 Definição 2.16. Chama-se conjunto dos números racionais ao conjunto dos 
pares ordenados (ou fracções) 
m
n , onde Zn∈ e *Zm∈ e representa-se da seguinte 
forma: 
 
 Observação 2.7. Na fracção 
m
n , n é numerador e m o denominador. Se n e m 
forem primos entre si, dizemos 
m
n é uma fracção irredutível. Assim as fracções 
3
2 ,
7
3 e 
15
7 são irredutíveis mas 
10
6 não é. 
 
 No conjunto dos irracionais destacamos os subconjuntos: 
 
 
 
 2.3.4. Conjunto dos números reais -ℜ 
Definição 2.17. Chama-se conjunto dos números reais aquele formado por todos 
números com representação decimal (que são números racionais) e as decimas não 
exactas e não periódicas (chamadas números irracionais). É composto pelos 
números racionais e pelos irracionais. 
Assim, todo racional é um real Q ℜ⊂ e além dos racionais, estão em ℜ números 
como: 
 
 
 
 
 
Chamados números irracionais. 
Se quisermos outros irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo, através da 
expressão p , onde p é primo positivo. 7,5,3 , etc. 
Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente: 
 
 
 
 
 
2.3.5. Intervalos 
 Dados dois números reais a e b, com ba < , definimos: 
a) Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto: }:{[,] bxaxba <<ℜ∈= 
 
b) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto: }:{],[ bxaxba ≤≤ℜ∈= 
 
c) Intervalo fechado à esquerda de extremos a e b é o conjunto: 
}:{[,[ bxaxba <≤ℜ∈= 
 
d) Intervalo fechado à direita de extremos a e b é o conjunto: 
}:{],] bxaxba ≤≤ℜ∈= 
 
 
 
 
Leituras Obrigatórias 
 Figura 2.9. Relação entre os conjuntos numéricos 
 
 
 
 
 
Recomenda-se aos estudantes a seguinte bibliografia: 
1. FAGILDE, Sarifa A. Magide. Manual de Matemática para o 11º ano. 1ª 
Edição, Maputo, 2006. [Páginas 32-44]; 
 
2. Maria Augusta Ferreira Neves, Maria Teresa Coutinho Vieira, Alfredo 
Gomes Alves. 
 Exercícios de matemática, 1º Volume, 10º ano, Porto Editora Lda. [Páginas 
5-20, 39-43, 51-76]; 
 
3. BEIRÃO, João Carlos e Morgadinho, Stela. Introdução à Análise 
Matemática. Texto Editores, Lda. - Moçambique, 2005. [Páginas 24-26]; 
 
4. MOMADE, Saide Issufo e OSSOFO, Abudo Atumane. Lógica e Teoria de 
Conjuntos. Programa de cooperação em EAD, UAB/UP Brasil – 
Moçambique, 2011. [Páginas 69-92]; 
 
5. SYDSAETER, knut e Hammond, Peter. Matemática essencial para Análise 
Económica (Parte I); Moçambique Editora, Lda, 2005. [Páginas 79-85]; 
 
6. LIPSCHUTZ, Seymour. Teorias e Problemas de Matemática Finita 
(Tradução de Adalberto Panobianco Bergamasco). Editora MCGRAW-
HILL, Brasil, 1972. [Páginas 39-56]. 
 
 
 
 
 
 
Resumo da Unidade 
 
 
Nesta unidade, aprendeste os conceitos básicos da Teoria de Conjuntos. 
Aprendeste a definir: os conceitos de conjunto e de elemento de um conjunto; 
relação existente entre elemento e conjunto (Fm∉ ). 
Aprendeste: as diferentes formas de representação deconjuntos (compreensão, 
extensão e diagrama de Venn); subconjuntos e a relação entre eles; conjunto vazio, 
universal e partes de um conjunto. Todos estes conceitos foram acompanhados de 
exemplos concretos. 
Aprendeste também, a definir e distinguir as operações sobre conjuntos e a aplicar 
as suas propriedades na resolução de problemas concretos. 
 
 
Tarefas 
 
 
 
 
1. Determine, por extensão os seguintes conjuntos: 
a) Conjunto do alfabeto latino; 
b) Conjunto dos números naturais; 
c) Conjunto dos números pares compreendidos entre 1 e 9. 
 Resolução 
a) A={a, b, c, d, …, y, z}; 
b) B={1, 2, 3, 4, 5, …}; 
c) C={2, 4, 6, 8}. 
2. Determine usando reticências os seguintes conjuntos: 
a) Conjunto dos números ímpares maiores que 2; 
b) Conjunto dos números pares compreendidos entre 1 e 503; 
c) Destes conjuntos indique o finito e o infinito procurando justificar para cada 
caso. 
Resolução 
a) D={3, 5, 7, 9, 11, 13, …}; Infinito 
b) E={2, 4, 6, 8, …,500, 502}; Finito 
 
 
 
3. Define por compreensão os seguintes conjuntos: 
d) F={7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}; 
e) G={boi, cabrito, cão, gato, perú, ganso, burro}; 
f) H={5} 
Resolução 
a) };216:{ <<∈= nINnF 
b) G={x: x é um animal doméstico}; 
c) H={x: x é impar maior que 4 e menor que 6}. 
 
4. Coloque V, verdadeiro ou F, falso para as seguintes afirmações referentes aos 
conjuntos no nº 3. 
a) 1∈F (F) b) leão∈ G (F) c) gato F (V) d) 20∈F (V) e) 5∈H (V). 
 
5. Dado os seguintes conjuntos: 
A={ Números inteiros não positivos ímpares compreendidos entre -5 e -21} e 
B={ Números inteiros não positivos ímpares compreendidos entre -1 e -9} 
a) Defina em extensão representando por chavetas cada um dos conjuntos; 
b) Represente num diagrama de Venn estes dois conjuntos. 
Resolução: 
g) A={ -5;-7;-9;-11;-13;-15;-17;-19; -21} e B={-1;-3;-5;-7;-9} 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um conjunto universal é composto por 16 subconjuntos. Determine o número 
dos seus elementos. 
∉
 
 
 
Resolução: 
n[P(U)] = 16 mas n[P(U))=2n e 16 = 2*2*2*2 =24 
 2n = 16 ⇔ 2n = 24 ⇔ n = 5 O Conjunto U, tem 4 elementos. 
 
7. Num Centro de formação Linguística, são leccionadas três disciplinas, Português, 
Inglês e Filosofia. Feito um inquérito sobre a preferência de alunos em certas disciplinas 
constatou-se: 
Disciplina P I F P e I I e F P e F P, I e F Nenhuma 
Preferência 120 75 80 30 45 25 12 8 
a) Represente esta situação num diagrama de Venn; 
b) Quantos alunos preferem exclusivamente uma só disciplina? 
c) Quantos alunos responderam o inquérito? 
d) Determine ).( FIn ∪ 
Resolução 
a) Representando em um diagrama fica: 
 
b) P=77, I=12 e F=22 
 
187
124525308075120
)()()()()()()()()
=
+−−−++=
∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ FIPnFInFPnIPnFnInPnFIPnc
 
 
8)( =∪∪ FIPn 
Então, o número de alunos que responderam o inquérito será: 
1958187)()( =+=∪∪+∪∪ FIPnFIPn 
 
 
 
 
110
458075
)()()().()
=
−+=
∩−+=∪ FInFnInFInd
 
 
 
Auto-avaliação 
 
 
 
 
 
1. Definir, extensivamente, o conjunto - solução de cada uma das seguintes 
proposições: 
;52:;023: 2 <+=+− xqxxp 
 
2. Dado os conjuntos: 
A = {2,4,6,8}; B={4,6} e C={4,6,8,10} 
Determine: 
a) B ∪ A; 
b) B ∩ C; 
c) C \ A; 
d) A \ B; 
e) A ∩ (C∪ B). 
 
3. Assinalar no diagrama ao lado, um de cada vez, os seguintes conjuntos: 
a) ;)\( AB 
b) ;BA − 
c) ;AB ∩ 
d) ;AB ∪ 
e) ;BA ∪ 
f) BA ∩ . 
 
4. Um levantamento socioeconómico entre os habitantes de uma cidade, revelou 
que, exactamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa 
própria e automóvel. Qual é a percentagem dos que não têm casa própria nem 
automóvel? 
 
 
 
 
5. Em uma empresa, 60%, dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a 
revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. A 
percentagem de funcionários que lêem as duas revistas é? 
 
6. Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus 
operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim a 
primeira; 80 responderam sim a segunda; 35 responderam sim a ambas e 33 
não responderam a perguntas feitas. Pode concluir-se então, que o número 
de operários da indústria é: 
 
7. Numa escola de Formação Superior, são consumidos dois tipos de 
refrigerantes, A e B. Feita uma pesquisa de mercado sobre a preferência dos 
alunos no consumo de refrigerantes. Os resultados da pesquisa são 
mostrados na tabela abaixo: 
 Tabela de pesquisa 
Refrigerantes A B A e B Nenhum dos dois 
Nº de alunos consumidores 250 330 100 80 
a) Represente esta situação num diagrama de Venn; 
b) Determine o número dos alunos que só tomam refrigerante A; 
c) Quantos alunos só tomam um tipo de refrigerante; 
d) Determinar o número total de alunos existentes nesta escola; 
 
8. Dada a figura abaixo, determine: 
 
a) Quantos elementos pertencem exclusivamente ao A, 
B e C? 
b) Número de elementos que pertencem a cada 
conjunto? 
c) Número de elementos que pertencem a A e B, B e C 
e 
A e C? 
d) Número de elementos que pertencem 
simultaneamente aos três conjuntos? 
 
 
 
 
 9. Dado os seguintes conjuntos: 
 F={1, 2, 3, 4} G={André, Moniz, Gerson} H={ } 
a) Determinar o cardinal de cada conjunto isto é, n(F), n(G) e n(H) 
b) Calcular as partes de cada conjunto P(F), P(G) e P(H) 
 
 10. Um conjunto universal possui 64 subconjuntos, determinar o número de 
elementos que possui este conjunto. 
 
 11. . São dados os conjuntos abaixo: 
 I=] 1 ; 7] e J= ] -oo; 2 [ 
 Efectue as seguintes operações no eixo orientado. 
 a) I J; b) I I J. 
 12. Dados os conjuntos 
 };22:{ >−∈= xIRxP }13:{ <∨>∈= xxIRxQ 
Represente na forma de intervalos: 
;\\) QPeQPa .) QPeQPb ∩∪ 
e) Número de elementos que não pertencem a nenhum 
dos 3? 
f) O número de elementos do universo? 
 
Chave de correcção 
 
 
 
1. }2,1{:)( xp e [3,]:)( ∞−xq 
2. a) {2,4,6,8}; b) {4,6}; c){10}; d) {2;8}; e) {4;6;8}. 
 
4. 69% 
5. 40%. 
 
 
 
6. a) 170. 
7. a) b) 150 Alunos só tomam refrigerante A e 
230 alunos só tomam refrigerante B; c) Na escola existem 480 alunos. 
 
 
8. a) A=50, B=40 e C=30; b) 80)( =An ; 68)( =Bn e 53)( =Cn . c) 
,20)( =∩ BAn ,13)( =∩ CBn .15)( =∩ CAn d) .5)( =∩∩ CBAn e) 
.20)( =∪∪ CBAn f) 186 Elementos. 
 
10. O Conjunto tem 6 elementos. 
 
11. a) ]7,2] ; b) [2,1] . 
 
12. a) [1,]]3,1[ −∞−e ; b) [,3][1,1[ ∞+∪− e ]3,1[[1,] ∪−∞− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE III - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS, POLINOMIAIS e 
TRANSCENDENTES 
 Introdução 
 
 
 
 
 
 
Caro Estudante! Seja Bem-vindo (a) à Unidade III da disciplina de Matemática I. 
Estas notas de ensino constituem a terceira unidade. O discente é proposto a usar 48 
horas para o estudo desta unidade distribuídas da seguinte maneira: 
Os exercícios e trabalhos práticos servem para o discente consolidar o 
conhecimento dos tópicos apresentados nesta unidade. Estes trabalhos não são 
submetidos ao Instituto. O Instituto fornece as soluções dos trabalhos de auto- 
avaliação para lhe ajudar nos estudos. Mas Atenção Caro Estudante, você deve 
resolver os exercícios de auto- avaliação antes de consultar as soluções fornecidas. 
A avaliação encontra - se no final desta unidade 
A unidade é válida por 6 meses. Os estudantes que não tenham aprovado a 
disciplina (tenham interrompido o curso ou reprovado), devem contactar o 
Instituto. Esta recomendação prende-se ao facto de os materiais serem revistos e 
actualizados com vista a acomodar as mudanças do dia-a-dia e providenciar uma 
maior percepção aos nossos discentes. Especificamente, esta unidade faz uma 
revisão dos fundamentos básicos deMatemática que o estudante deve saber. 
 
Objectivos 
 
 
 
 
 
No fim desta unidade, o discente deve ser capaz de: 
• Identificar e classificar expressões algébricas; 
• Realizar operações de polinómios; 
• Resolver diferentes tipos de equações e inequações; 
• Entender os métodos de classificação e cálculo algébrico para vários 
tipos de sistemas de equações. 
 
 
 
 
 
 
 
Recursos de Aprendizagem 
 
 
 
3.1.Variável 
Definição 3.1. Uma variável é uma letra ou símbolo usado na álgebra para 
representar números. A finalidade do uso de variáveis é permitir a realização de 
generalizações em matemática. Isto é útil, porque: 
• Ela permite aritméticas, equações (e desigualdades) a ser indicado como leis 
(tais como a + b = b + a) e, portanto, é o primeiro passo para o estudo 
sistemático das propriedades do sistema de número real; 
• Permite fazer referência aos números que não são conhecidos. No contexto 
de um problema, uma variável pode representar um certo valor que ainda 
não é conhecido, mas que podem ser encontrados através da formulação e 
manipulação de equações. 
• Permite também, a exploração de relações matemáticas entre quantidades 
(como “vender bilhetes x, então seu lucro será de 3 x - 10 dólares”). 
 
3.2. Expressões Algébricas e transcendentes 
3.2.1. Expressões Algébricas 
Definição 3.2. Chama – se expressão algébrica, a toda expressão constituída por 
uma ou várias grandezas (letras e números) unidas pelas operações elementares 
(adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) num número 
infinito de vezes e eventualmente parênteses. 
Exemplo 3. 1: 
.1;
1
2
;
42
)(;32;3 372 −
−
+−+++−++ x
x
x
y
xbazxyx π 
3.2.1.1. Classificação de Expressões Algébricas 
As expressões algébricas classificam-se em dois grandes grupos a saber: 
Definição 3.3. Expressões Algébrica Racionais: são aquelas em que a variável 
não aparece sob forma de radical e podem ser: 
a) Expressões Algébricas Racionais Inteiras: se a variável não aparece no 
denominador. 
Exemplo 3.2: , 
b) Expressões Algébricas Racionais Fraccionárias se a variável aparece no 
denominador. 
3
23222
3
1
,1,7,1,2
−
++++−++
x
x
xxxyzxyxx
12 +x 2,45
3
+− yxz
 
 
 
Exemplo 3.3: 
Definição 3.4.Expressões Algébricas Irracionais: são aquelas em que a variável a 
aparece sob forma de radical. 
Exemplo 3.4: 
Resumindo teremos: 
Expressão Algébrica 
3.2.2. Expressões transcendentes 
Chama-se expressão transcendente, a toda expressão matemática que não seja 
algébrica, como são os casos das expressões trigonométricas, logarítmicas, 
exponenciais, etc. 
3.3. Domínio de Existência 
Definição 3.5. Chama – se domínio de existência (DE) ou de expressão ao conjunto 
de valores para os quais tem sentido uma dada expressão. Achar o domínio de 
existência de existência de uma expressão, significa contornar a situação em que 
esta fica desprovida de sentido. 
 
Observação 3.1. Se a expressão for racional inteira, o seu DE será todo o conjunto 
IR. 
Observação 3.2. Se a expressão for racional fraccionária, o seu DE será todo o 
conjunto IR excepto os valores que anulam o denominador. 
Observação 3.3. Se for Irracional, teremos duas situações a considerar: 
i) Se o radical for um numerador isolado: 
 
ii) Se o radical for um denominador 
 
 
3.4. Monómios 
Antes de definirmos oque são monómios, consideremos o seguinte: 
A Ana tinha x meticais num mealheiro e ela deu a metade à irmã e 5 ao irmão. 
Então a Ana ficou com . Cada um destes termos denomina-se de 
100)2(
1
,
1
,
2
−
−+
xy
y
x
x
51
1
,
3
1
,
x
x
x
x
x
+
−
+








Irracional
iaFraccionar
Inteira
Racional



∈
≥
⇒
imparnRx
parnxP
xPn
;
;0)(
)(



≠
>
⇒
imparnxP
parnxP
xP
xQ
n ;0)(
;0)(
)(
)(
5
2
−− xx
 
 
 
monómio, isto é, os monómios são: e 5. 
Definição 3.6. Um monómio é uma expressão constituída por um número ou uma 
letra, ou por um produto de números e letras com expoentes naturais. Num 
monómio, distinguem-se o coeficiente (os números que aparecem associados as 
letras) e a parte literal (que são as letras). 
Note que um monómio é constituído por um único termo, isto é não há adições 
nem subtracções. Exemplos de monómios: 3x, -5ab, , 
 
3.4.1. Monómios Semelhantes 
Dois ou mais monómios são semelhantes se tiverem a mesma parte literal. 
Exemplo 3.5. São semelhantes os seguintes monómios: 
• e , 
• -5a e 11a 
Nota 3.1. Monómios semelhantes com coeficientes simétricos são denominados de 
monómios simétricos. 
Exemplo 3.5: 22 33 abeab − 
3.4.2. Grau de um Monómio 
Definição 3.7. O grau de um monómio é a soma dos expoentes da parte literal. 
Exemplo 3.6: 
• O monómio 3x; tem a parte literal x e x tem expoente um. Por isso é do 1° 
grau. 
• O monómio 3xytem a parte literal xye a soma dos expoentes desta parte 
literal é igual a 2. Por isso é do segundo grau. 
• -5ab – O grau é 2(1+1) 
• - O grau é 4 (2+1+1) 
• - O grau é 7(1+5+1) 
 
3.5. Polinómios 
Definição 3.8. Chama-se polinómio a soma algébrica de monómios. 
Note que na soma algébrica de monómios temos que ter em conta os termos 
semelhantes (monómios semelhantes). 
Pode também ser considerado como sendo uma expressão de expoente natural que 
pode ser escrita na forma: 
2
,
x
x
yzx2
7
1
yab58
xyz3 xyz2−
yzx2
7
1
yab58
 
 
 
,...)(
0
2
210 ∑
=
=++++=
k
n
n
n
n
n xaxaxaxaaxP onde INneIRaaaa n ∈∈,...,,, 210 
Os valores IRaaaa n ∈,...,,, 210 são chamados coeficientes. 
Às parcelas que compõem um polinómio chamam-se termos do polinómio. Cada 
termo é constituído pela parte numérica e pela parte literal. 
 
Observação 3.4. Um polinómio diz-se completo quando é composto por todos os 
termos desde o termo de maior grau até ao termo independente (sem a parte literal). 
 
Observação 3.5. Um polinómio diz-se ordenado e reduzido quando os seus termos 
não semelhantes, de coeficientes não nulos, estão ordenados por ordem decrescente 
dos seus expoentes. 
Exemplo 3.7. 
• 730 25 −−+ xxx , é um polinómio incompleto e ordenado do 2º grau. 
• 8032 234 −+−+ xxxx , é um polinómio do 4º grau, ordenado, completo 
porque o coeficiente do termo em x2 é nulo. 
• 100 2 ++ xx , é um polinómio não nulo de grau zero. 
• 000 2 ++ xx , é o polinómio nulo e diz-se que tem grau indeterminado. 
 
3.5.1. Valor Numérico de um Polinómio 
Se observarmos um polinómio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para 
acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a 
incógnita x. 
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando 
substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinómio. 
6022424802222325)2( 234 =+−+−=+−+⋅−⋅=P 
Concluímos que o valor numérico do polinómio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, 
quando 
x = 2 será P(2) = 60. 
 
 3.5.2. Raiz ou Zero do Polinómio 
Se pegarmos um polinómio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será 
um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinómio for zero 
quando x = b. 
 
 
 
 
Exemplo 3.8:P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar 
0)( =xP , então 11101 22 ±=⇔±=⇔=⇔=− xxxx 
 Concluímos que -1 e +1 são as raízes do polinómio 1)( 2 −= xxP 
 
3.5.3. Grau de um Polinómio 
Um polinómio é formado por vários monómios separados por operações, então o 
grau de um polinómio corresponde ao monómio de maior grau ou seja o grau de 
um polinómio é o expoente mais alto que nele figura. O único polinómio que não 
possui grau é o polinómio nulo P(x) = 0. 
Exemplo 3.9. 
• 32)( 23 −+−= xxxxP → na expressão existem 3 monómios que 
possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinómio tem o mesmo 
grau que ele. 
• 32)( 23 −+−= xxxxP é do 3º grau. 
• P(x) = 5x0 → é do grau zero. 
 
3.5.4. Classificação de Polinómios Quanto ao Numero de Termos 
Quanto ao número de termos um polinómio pode ser: 
Monómio – Se tiver um único termo: 
Binómio – Se tiver dois termos: 
Trinómio– Se tiver três termos: 
De quatro termos em diante diz – se polinómio com “x” número de termos. 
Por exemplo: 
 
3.5.5. Polinómios Idênticos ou iguais 
Polinómio identicamente nulo (ou simplesmente polinómio nulo) é aquele cujo 
valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P = 0 
(polinómio nulo). 
Para um polinómio P(x) ser um polinómio nulo é necessário e suficiente que todos 
os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) . 
Definição 3.8. Polinómios idênticos são polinómios iguais, isto é, se P e Q são 
polinómios idênticos, escrevemos P = Q. É óbvio que se dois polinómios são 
idênticos, então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais, ou seja, 
10003 2,3, xxx −
zzyyx 6,3,1 252 −−+
yyyxx 62,53 452 −+−+
535,1 245623 −+−+−+−− zzzzzxbxax
 
 
 
dois ou mais polinómios dizem - se idênticos se os coeficientes dos seus 
respectivos monómios semelhantes forem iguais. 
 
A expressão P = Q é denominada identidade. 
Exemplo 3.9. Sendo 1)()( 2 +++= xxxQxP e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é 
raiz de Q(x) , calcule o valor de P(1) - Q(2) . 
Solução: Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que 0)2( =P e se 1 é raiz de 
Q(x) então 0)1( =Q . Temos então substituindo x por 1 na expressão dada:
31110111)1()1( 2 =+++=+++= QP . Então P(1) = 3. Analogamente, poderemos 
escrever : 7)2(122)2()2( 2 +=+++= QQP , logo 7)2( −=Q Q(2) = -7. 
10)7(3)2()1( =−−=− QP Resp:10 
 
3.5.6. Operações com Polinómios 
Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a 
aplicação de regras nas operações entre os monómios. As situações aqui 
apresentadas abordarão a adição, a subtracção e a multiplicação de polinómios. 
 
3.5.6.1. Soma Algébrica (adição e subtracção) 
Para adicionar ou subtrair dois polinómios é necessário adicionar ou subtrair os 
coeficientes dos termos com o mesmo grau 
Exemplo 3.10. Considere os polinómios 252)( 2 −+−= xxxA e
123)( 23 −+−= xxxB . Vamos efectuar a adição e a subtracção entre eles. 
1) Adição 
)123()252( 32 −+−+−+− xxxx → eliminar os parênteses realizando o jogo de 
sinal 
123252 32 −+−−+− xxxx → reduzir os termos semelhantes 
323 23 −−− xx → ordenar de forma decrescente das potência 
 
2) Subtracção 
)123()252( 32 −+−−−+− xxxx → eliminar os parênteses realizando o jogo de 
sinal 
123252 32 +−+−+− xxxx → reduzir os termos semelhantes 
1323 23 −+− xxx → ordenar de forma decrescente das potência 
 
 
 
 
3.5.6.2. Multiplicação de Polinómios 
Para calcular o produto de dois polinómios, multiplica-se cada monómio de um 
polinómio pelos monómios do outro, isto e, multiplica- se cada termo do primeiro 
com todos os ter do segundo (propriedade distributiva da multiplicação em relação 
a adição) e reduzem se os termos semelhantes. 
Exemplo 3.11: )85(3 232 xxxx −+⋅ → aplicar a propriedade distributiva da 
multiplicação 
345 32415 xxx −+ 
Exemplo 3.12: )62)(1( 2 −+− xxx 
)1(6)1(2)1(2 −−−+− xxxxx → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 
6622 223 +−−+− xxxxx → reduzindo os termos semelhantes 
6823 +−+ xxx 
Exemplo 3.13 :Calcule o quadrado do binómio 2)52( +x . 
2042510104)52(5)52(2)52)(52()52( 222 +=+++=+++=++=+ xxxxxxxxxx
3.5.6.2.1. Casos Notáveis na Multiplicação de Polinómios 
Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma 
geral para sua resolução. 
Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis: 
222 2)( yxyxyx ++=+ - Quadrado da soma 
222 2)( yxyxyx +−=− - Quadrado da diferença 
22))(( yxyxyx −=−+ - Produto da soma pela diferença 
32233 33)( yxyyxxyx +++=+ - Cubo da soma 
32233 33)( yxyyxxyx −+−=− - Cubo da diferença. 
))(()( 2233 yxyxyxyx +−+=+ - Soma de Cubos. 
))(()( 2233 yxyxyxyx ++−=− - Diferença de Cubos 
 
3.5.6.2.2. Lei do Anulamento do Produto 
Duas ou mais expressões podem ser anuladas se o seu produto for igual a zero. A 
Lei do anulamento do produto consiste em igualar a zerocada uma das expressões. 
Para compreender melhor a lei do anulamento do produto, consideremos dois 
exemplos: 
31
0301
0)3)(1(
−=∨=
=+∨=−
=+−
xx
xx
xx
 
Note que a Ana procedeu da forma correcta o anulamento do produto porque o 
 
 
 
anulamento do produto só tem lugar se o produto das expressões for igual a zero. 
 
Observação 3.4. Verifica se que para anular um produto é necessário primeiro 
decompor em factores, segundo igualar a zero e em seguida anular o produto. Daí, 
o anulamento de um produto é igualar a zero a cada um dos seus factores. 
Exemplo 3.14: 200200)2(022 =∨=⇔=−∨=⇔=−⇔=− xxxxxxxx 
Exemplo 3.15:
4404040)4)(4(0162 −=∨=⇔=+∨=−⇔=+−⇔=− xxxxxxx 
 
3.5.6.2.3. Importância de Anulamento do Produto 
A decomposição de um polinómio em factores pode ajudar a resolver equações pela 
aplicação da lei do anulamento do produto. O anulamento do produto só é aplicável 
quando o produto dos factores for igual a zero. 
 
3.5.6.3. Divisibilidade de Polinómios 
Existem várias maneiras de dividir polinómios nomeadamente: o algoritmo da 
divisão, teorema do resto e a regra de Ruffini. Note que nesta unidade vamos 
estudar cada uma das maneiras de dividir polinómios. 
Efectuar a divisão de um polinómio P(x) por outro polinómio D(x) não nulo , 
significa determinar um único par de polinómios Q(x) e R(x) que satisfazem às 
condições: 
1) )()()()( xRxQxDxP +⋅= . (Analogia: 7646 =÷ e resto 4, isto é 47646 +⋅= ) . 
2) gr R(x) <gr D(x), onde gr indica o grau do polinómio. 
 
 
3.5.6.3.1. Algoritmo da Divisão 
Para dividir polinómios aplicando o algoritmo da divisão, deve-se procurar uma 
expressão que, quando multiplicada com o monómio de grau máximo do divisor, 
dê a expressão do monómio do grau máximo do dividendo. Em seguida multiplica-
se todos os monómios do divisor, colocando os resultados em baixo do polinómio 
do dividendo (cada monómio por baixo do seu semelhante), assim sucessivamente. 
O processo só termina quando o resto for uma expressão de menor grau que o 
divisor. 
 
Nota: Se os polinómios estiverem incompletos devem se completar (quer o 
dividendo assim como o divisor). 
 
 
 
 
Exemplo1: Determine o quociente e o resto da divisão dos seguintes polinómios: 
xporxxx 8412 23 −+ 
Resolução: 
 
Exemplo2: 52404310 2 −+− xporxx 
 
Exemplo3: 542599106 2234 +−−++− xxporxxxx 
 
Exemplo4: 233151912 223 +−−+− xxporxxx 
 
 
3.5.6.3.2. Teorema do Resto 
O teorema do resto diz que um polinómio G(x) dividido por um binómio x – a terá 
resto R igual a P(a), para x = a 
 
 
 
 
Exemplo: Determine o resto da divisão dos seguintes polinómios 
a) 334
2 −+− xporxx 
x – 3 = 0, logo x = 3. Nessa ordem de ideias o resto será dado por P(3) 
031293343)3( 2 =+−=+⋅−=P 
b) 125
3 −+− xporxx 
x – 1 = 0, logo x = 1. Nessa ordem de ideias o resto será dado por P(1) 
22512151)1( 3 −=+−=+⋅−=P 
 
3.5.6.3.3. Teorema de D’Alembert 
O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que 
são voltados para a divisão de polinómios por binómio do tipo x – a. O matemático 
francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que 
um polinómio qualquer Q(x) será divisível por ax − , ou seja, o resto da divisão 
será igual à zero (R = 0) se 0)( =aP . 
Esse teorema facilita o cálculo da divisão de um polinómio qualquer pelo binómio 
ax − , dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é 
igual ou diferente de zero. 
Exemplo 1: Calcule o resto da divisão )3(:)103( 2 −−+ xxx . 
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a: 
8109910333)3( 2 =−+=−⋅+== PR 
Portanto, o resto dessa divisão será 8. 
 
Exemplo 2:Verifique se 22 345 −++− xxxx é divisível por 1−x . 
Segundo D’Alembert, um polinómio é divisível por um binómio se 0)( =aP . 
1211121)1( 345 −=−++⋅−=P 
Como 0)1( ≠P , o polinómio não será divisível pelo binómio 1−x . 
 
Exemplo 3:Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinómio 
35)( 234 −++−= xxmxxxP por 2−x seja 6. 
Temos que, 6)2( ==