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Cálculo Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva Professor Dr. Renã Moreira Araújo Reitor Prof. Ms. Gilmar de Oliveira Diretor de Ensino Prof. Ms. Daniel de Lima Diretor Financeiro Prof. Eduardo Luiz Campano Santini Diretor Administrativo Prof. Ms. Renato Valença Correia Secretário Acadêmico Tiago Pereira da Silva Coord. de Ensino, Pesquisa e Extensão - CONPEX Prof. Dr. Hudson Sérgio de Souza Coordenação Adjunta de Ensino Profa. Dra. Nelma Sgarbosa Roman de Araújo Coordenação Adjunta de Pesquisa Prof. Dr. Flávio Ricardo Guilherme Coordenação Adjunta de Extensão Prof. Esp. Heider Jeferson Gonçalves Coordenador NEAD - Núcleo de Educação à Distância Prof. Me. Jorge Luiz Garcia Van Dal Web Designer Thiago Azenha Revisão Textual Beatriz Longen Rohling Carolayne Beatriz da Silva Cavalcante Geovane Vinícius da Broi Maciel Kauê Berto Projeto Gráfico, Design e Diagramação André Dudatt 2021 by Editora Edufatecie Copyright do Texto C 2021 Os autores Copyright C Edição 2021 Editora Edufatecie O conteúdo dos artigos e seus dados em sua forma, correçao e confiabilidade são de responsabilidade exclusiva dos autores e não representam necessariamente a posição oficial da Editora Edufatecie. Permi- tidoo download da obra e o compartilhamento desde que sejam atribuídos créditos aos autores, mas sem a possibilidade de alterá-la de nenhuma forma ou utilizá-la para fins comerciais. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP A663c Araújo, Renã Moreira Cálculo / Renã Moreira Araújo, Arthur Ernandes Torres da Silva. Paranavaí: EduFatecie, 2021. 114 p.: il. Color. 1. Cálculo. 2. Matemática. 3. Funções de variáveis reais. I. Silva, Arthur Ernandes Torres da. II. Centro Universitário UniFatecie. III. Núcleo de Educação a Distância. IV. Título. CDD: 23 ed. 515 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577 UNIFATECIE Unidade 1 Rua Getúlio Vargas, 333 Centro, Paranavaí, PR (44) 3045-9898 UNIFATECIE Unidade 2 Rua Cândido Bertier Fortes, 2178, Centro, Paranavaí, PR (44) 3045-9898 UNIFATECIE Unidade 3 Rodovia BR - 376, KM 102, nº 1000 - Chácara Jaraguá , Paranavaí, PR (44) 3045-9898 www.unifatecie.edu.br/site As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir do site Shutterstock. AUTORES Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva ● Bacharel em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). ● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). ● Mestre em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). ● Doutorando em Física - Universidade Estadual de Maringá (UEM) ● Professor Formador UniFatecie. ● Professor de Física no Colégio Educacional Noroeste Paranavaí. Professor e pesquisador. Tem experiência na área de física da matéria condensa- da, impedância elétrica (teórica e experimental) e dinâmica de íons em células eletrolíticas. Possui experiência como docente no Ensino Médio e Ensino Superior. Nos cursos de Engenharia Civil, Engenharia de produção e Arquitetura, já foi professor das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Física Geral e Laboratório de Física Geral. CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/4605782782813159 Professor Dr. Renã Moreira Araújo ● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). ● Bacharel em Meteorologia na Universidade Federal de Pelotas (UFPel). ● Mestre em Meteorologia pela Universidade Federal de Pelotas (UFPel). ● Doutor em Ciências - Universidade Federal do Paraná (UFPR). ● Professor universitário - UniFatecie ● Professor de Matemática e Física no Colégio Fatecie Max e Fatecie Premium. ● Consultor agrometeorológico. CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/5333294957135117 Professor, pesquisador e consultor. Possui experiência em agrometeorologia, relação entre clima e grandes culturas, instalação e calibração de instrumentos agrometeo- rológicos. Colabora com levantamento sistemático de informações para auxílio na modela- gem agrícola de cana-de-açúcar. Realiza consultoria agrometeorológica em cooperativas. Ministra aulas no Ensino Fundamental, Médio e nas graduações de Engenharia da Produ- ção, Engenharia Agronômica, Administração e Ciências Contábeis no Centro Universitário UNIFATECIE (Universidade de Tecnologia e Ciências do Norte do Paraná). APRESENTAÇÃO DO MATERIAL Seja muito bem-vindo(a)! Prezado(a) aluno(a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Neste material foram abordados diversos assuntos com muitos exemplos e comentários para facilitar os estudos do material de Cálculo Diferencial e Integral. Proponho, junto a você, construir nosso conhecimento sobre diversos tópicos os quais serão essenciais para sua formação acadêmica. A proposta da ementa é trazer se- gurança em diversos ramos da matemática teórica para aqueles que optarem pela carreira acadêmica, assim como para aqueles que atuaram diretamente no mercado de trabalho. Na Unidade I, começaremos a nossa jornada definindo o conjunto dos números que usaremos em nossa disciplina, representação de funções e como analisar o domínio e imagem de uma função. Trataremos especificamente algumas funções, como as polino- miais, tanto de primeiro como de segundo grau, as exponenciais e modulares. Junto com a análise algébrica de cada uma delas vamos aprender essas funções do ponto de vista gráfico também. Ademais, um novo formalismo matemático, os de limites serão estudados. Já na Unidade II, vamos dedicar exclusivamente a matemática dos limites, desde os limites laterais, aos limites no infinito e limites infinitos, limites indeterminados e algumas propriedades de limites, fechando o capítulo com a ideia de função contínua. Depois, na Unidade III, estudaremos outra vertente da do cálculo, as derivadas. Iremos aprender a interpretar a derivada de uma função do ponto de vista gráfico e algumas regras de diferenciação, como a regra da potência, do produto e quociente, as trigonomé- tricas, exponenciais e logarítmicas, chegando até a regra da cadeia. Por fim, na Última Unidade, adentramos na ideia de primitivas de uma função. Com o auxílio do Teorema fundamental do Cálculo, vamos ver que a derivada e as integrais pos- suem uma relação. Além disso, iremos aprender a calcular integrais definidas e indefinidas, bem como algumas técnicas de integração. Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional. Muito obrigado e bom estudo! SUMÁRIO UNIDADE I ...................................................................................................... 3 Números e Funções Reais UNIDADE II ................................................................................................... 35 Limite e Continuidade UNIDADE III .................................................................................................. 57 Derivadas e Aplicações UNIDADE IV .................................................................................................. 84 Integrais 3 Plano de Estudo: ● Números reais; ● Conceito de função; ● Funções elementares; ● Conceito de limite. Objetivos da Aprendizagem: ● Conceituar e contextualizar os conjuntos numéricos, função e funções elementares; ● Compreender os tipos de funções; ● Estabelecer a importância dos conjuntos numéricos e das funções elementares para o estudo de cálculo. ● Entender a contextualização de limite de funções de uma variável. UNIDADE I Números e Funções Reais Professor Dr. Renã Moreira Araújo 4UNIDADE I Número e Funções Reais INTRODUÇÃO O que seria do mundo sem a matemática?Já tentou imaginar isso? Faça esse exercício mentalmente: pare por alguns instantes e tente imaginar como seria o mundo sem os números. Seria um caos? Ou seria melhor? Por mais que os números e a matemática sejam taxados como complexos, maçan- tes, e muitas vezes até chatos, nós não conseguimos viver sem. Você por exemplo, neste momento, está lendo o material pelo celular, ou impresso, ou pelo computador ou por algum leitor digital, está fazendo uso da matemática. Afinal, todos os dispositivos utilizados para que você conseguisse ler este material foram usados conceitos matemáticos para serem fabricados. Agora vamos pensar em você. Foi preciso separar um tempo do seu dia para estudar, aprofundar seus conhecimentos. Olhou as horas antes de começar a ler, se não olhou vai olhar, e calma, isso é matemática? Com certeza. Claro que aqui estamos exagerando no conceito. Mas realmente, nossas vidas não têm mais sentido sem a matemática. Seja para calcular um simples troco na padaria da esquina, seja para elaborar um programa de mineração de criptomoedas. Você está neste momento dando o primeiro passo para o conhecimento da mate- mática abordada no Cálculo Diferencial e Integral. Esta disciplina é um dos diversos ramos na qual a Ciência matemática pode ser aplicada. Neste primeiro módulo vamos retomar alguns conceitos básicos de conjuntos numé- ricos. Em seguida, vamos conceituar função e tipos de função, que vai ser objeto de estudo durante todo o nosso curso. Por fim, vamos conceituar o limite de uma função de uma variável. Seja muito bem-vindo ao seu primeiro passo para esse vasto mundo do conhecimento. 5UNIDADE I Número e Funções Reais 1. NÚMEROS REAIS Neste módulo vamos trabalhar os números reais, funções elementares e conceituar o limite de uma função com uma variável. Para isto, vamos iniciar com os conceitos de con- juntos numéricos. ● Conjuntos Numéricos Conjuntos numéricos é uma coleção de elementos, não importa qual é a ordem ou quantas vezes os elementos estarão listados dentro de um conjunto numérico. Em nosso curso, vamos listar cinco conjuntos numéricos: conjunto dos números naturais, conjuntos dos números inteiros relativos, conjunto dos números racionais, conjunto dos números irracionais e conjunto dos números reais. ● Números naturais O conjunto no qual compreende números inteiros positivos (incluindo o zero), cha- mamos de conjunto dos números naturais, representado . São os números utilizados para realizar contagem simples: . = {0,1,2,3,4...} ● Números inteiros relativos Este conjunto numérico compreende os números naturais e os números inteiros ne- gativos. Também é chamado apenas de conjunto dos números inteiros e é representado pelo símbolo . Assim, o conjunto dos números inteiros relativos é: = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }. 6UNIDADE I Número e Funções Reais ● Números racionais O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser escritos em forma de uma razão, com ambos pertencentes ao conjunto dos números inteiros e com denominador diferente de zero. É representado pelo símbolo . Portanto, o conjunto dos números racionais estão incluídas as frações, os decimais finitos e as dízimas periódicas, e é definido da seguinte forma: ● Números irracionais O conjunto dos números irracionais são todos os números dos quais não é possível ser representados da mesma forma que os números racionais, mas que são possíveis descrevê-los na reta numérica. É formado apenas por dízimas não periódicas, ou seja, decimais infinitos cuja sequência de números após a vírgula não se repete e é representado pelo símbolo I. Segue alguns exemplos. O número = 3,14159... é um número irracional. Mas podemos nos perguntar, então é impossível escrever dois números inteiros por uma razão e resultar ? A resposta é sim. Podemos tentar a razão e obtemos 3,14285... Note que o valor diverge do valor de já na terceira casa decimal. Números que são raízes quadradas de números primos são todos irracionais: √2, √3,√5,√7,√11, Porém, todo irracional é passível de representação em uma reta numérica. ● Números Reais Quando fazemos a união dos conjuntos dos números racionais e dos números irra- cionais obtemos o conjunto dos números reais, representado por . No nosso cotidiano, fazemos uso deste conjunto numérico. Em nosso curso este é o conjunto numérico mais importante. A seguir temos algu- mas propriedades ao fazer uso deste conjunto. Considere os números a, b e c P1) Comutativa: Essa propriedade infere que a ordem dos números reais nas operações matemáti- cas não altera o seu resultado final. Assim, Se a, b , então a + b = b + a e a . b = b . a 7UNIDADE I Número e Funções Reais P2) Associativa: Operações matemáticas que envolvem mais de dois elementos e, por isso, devem ser operados dois a dois. No entanto, a forma como estão distribuídos na equação não altera o resultado final, como podemos observar nos exemplos a seguir: Para a soma a + (b + c) = (a + b) + c Para a multiplicação a . (b . c) = (a . b) . c P3) Distributividade: A propriedade da distributividade envolve tanto a soma quanto a multiplicação em uma única operação. E, nesse caso, a soma dos produtos será igual ao produto da soma, seguindo a operação a · (b + c) = a · b + a · c P4) Elemento neutro: Estamos falando agora de um número real que, dentro da operação, não gera influência sobre o resultado. No caso da soma, esse elemento corresponde ao número 0 e, na multiplicação, o elemento neutro é igual a 1, como é possível observar nos seguintes exemplos: Para a soma a + 0 = a Para a multiplicação a · 1 = a P5) Existência de simétricos: Todo número a pertence aos números reais possui um número simétrico, chamado de –a, de tal maneira que: a + (−a) = 0 P6) Elemento inverso: Todo número real tem um elemento inverso. Isso resulta que na operação matemá- tica entre o elemento e seu inverso o resultado será sempre um elemento neutro. Vamos exemplificar: Ao somar um número real e seu inverso, chegaremos ao seguinte cálculo: a + (- a) = 0; No caso da multiplicação, temos a seguinte operação: . Com essas propriedades temos ferramentas suficientes para efetuar os cálculos iniciais que vamos precisar ao trabalhar com o limite de funções ao final desse módulo. 8UNIDADE I Número e Funções Reais 2. CONCEITO DE FUNÇÃO A função é muito importante para diversas áreas do conhecimento, como por exemplo, a química, as ciências sociais, econômicas, biológicas e etc. Toda vez em que nos deparamos com situações nas quais precisamos relacionar duas ou mais grandezas, fazemos uso dos conceitos de função. Em nosso curso, a função tem grande relevância pois, através dela, somos capazes de descrever fenômenos naturais e situações cotidianas. Por exemplo, podemos aplicar o conceito de função para distâncias percorridas e tempo de viagem; distâncias e gasto de combustível; quantidade de energia elétrica gasta e o valor a ser pago; quilômetros percorridos e o valor da corrida de um táxi; ou ainda a adubação e crescimento de plantas. O que queremos deixar claro até aqui é que: quando relacionamos duas ou mais grandezas que possuem alguma relação, podemos escrever uma lei matemática para des- crevê-las, e essa lei é o que conhecemos por função. Agora que entendemos o que é uma função, vamos mostrar a definição matemática: 9UNIDADE I Número e Funções Reais 2.1 Definição de função e propriedades Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de A associa um único elemento de B, e é indicada por f: A→B A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma y = f (x) Essa regra diz que o elemento x A, chamado de variável independente, está relacionado de modo único ao elemento y = f (x) B, chamado de variáveldependente. O conjunto A é chamado de domínio e indicamos A = Dom(f) e o conjunto B, de contradomínio. O conjunto imagem indicado como Im (f) é o conjunto dos elementos de B aos quais foram associados elementos de A, isto é, Im (f) = {y B | y = f (x) para algum x A} Aqui, o símbolo “|” matemático lê-se “tal que”. Para ficar mais claro o dito acima, vamos ver um exemplo: Dada uma função f de A em B, o conjunto A é chamado de domínio (D) da função e o conjunto B é chamado de contradomínio (CD) da função. Os elementos do conjunto B que são correspondentes dos elementos do conjunto A são chamamos de conjunto imagem (Im) da função. FIGURA 1 - RELAÇÃO DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE FUNÇÃO Fonte: O autor (2021). 10UNIDADE I Número e Funções Reais Desta forma, podemos afirmar para a relação da Figura 1 que: O domínio da função é representado pelos elementos do conjunto A: D = {1, 2, 3, 4, 5} O contradomínio da função é representado pelos elementos do conjunto B: CD = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} O conjunto imagem da função são os elementos do conjunto B que correspondem aos elementos do conjunto A: Im = {2, 3, 4, 5, 6} Só foi possível descrever o domínio, contradomínio e imagem pois a relação descri- ta no diagrama representa uma função. Agora, observe os dois casos abaixo: FIGURA 2 - EXEMPLO DE NÃO FUNÇÃO Fonte: O autor (2021). Note que na figura 2, o elemento -1 do conjunto A está associado a mais de um elemento do conjunto B. Portanto, a relação entre A e B não descreve de fato uma função. FIGURA 3 - EXEMPLO DE FUNÇÃO Fonte: O autor (2021). 11UNIDADE I Número e Funções Reais Na Figura 3, cada elemento do conjunto A está associado a um único elemento do conjunto B, portanto, a relação é uma função. Temos como contradomínio os elementos {e, f, g, h} e como imagem os elementos {e, f, g}. Mas aí surge uma pergunta: pode “sobrar” elementos no conjunto B? Sim, não tem problema “sobrar” elementos sem corresponde no elemento B. O que não poderia acontecer é o contrário, isto é, existir algum elemento de A que não tenha nenhum correspondente em B. O diagrama da Figura 4 a seguir ilustra essa situação. FIGURA 4 - EXEMPLO DE FUNÇÃO Fonte: O autor (2021). Sabemos agora definir se uma relação é função ou não. Sabemos também que fun- ção possui três constituintes básicos: seu domínio, contradomínio e a regra de associação. Isto é importante para entender que quando o domínio e o contradomínio de uma função estão contidos no conjunto dos números reais, a função é chamada de uma função real de variável real. Ajuda a compreender também que duas funções são consideradas iguais somente quando tem o mesmo domínio, contradomínio e regra de associação. As funções possuem algumas propriedades para caracterizá-la: Seja a relação f: A→B. Função sobrejetora: uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, Im = CD. Por exemplo, se temos uma função f: → → definida por y = x +2 ela é sobrejetora, pois Im = . Função injetora: uma função é injetora se os elementos distintos do domínio tive- rem imagens distintas. Por exemplo, dada a função f: A→B, tal que f(x) = 2x. Função bijetora: uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Por exemplo, a função f: A→B, tal que f(x) = 3x + 2. E por fim, vamos ver o conceito de função inversa. Função inversa: uma função será inversa se e somente se ela for bijetora. É usado a nomenclatura f -1(x). Agora que recapitulamos o conceito de função e algumas das suas principais pro- priedades, estamos preparados para estudarmos funções elementares, que é o assunto do nosso próximo tópico. 12UNIDADE I Número e Funções Reais 3. FUNÇÕES ELEMENTARES Algumas funções têm características próprias e ocorrem de maneira recorrente no cotidiano que é valido estudarmos. Na literatura temos muitas funções elementares. Exis- tem funções que, apesar de serem chamadas de elementares, é preciso um conhecimento avançado em cálculo para conseguir compreendê-las. Aqui em nosso curso vamos ver as principais características das funções elementares mais utilizadas. Veremos a função constante, função afim, função linear, função quadrática, função modular, função exponencial, função logarítmica, função par e ímpar, funções trigonométricas. 3.1 Função Constante A função constante é a que relaciona cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do contradomínio. Vamos ver um exemplo: Considere a função f: [0, ∞)→ , f (x) = 2. Ao fazer a leitura desta função notamos que temos um domínio que vai de zero incluso até o infinito positivo. Já a imagem será sempre o mesmo valor, neste caso, o número 2. Como temos o mesmo valor de imagem para todo o domínio da função, temos aqui uma função constante. Graficamente temos: FIGURA 5 - EXEMPLO DE FUNÇÃO CONSTANTE Fonte: O autor (2021). 13UNIDADE I Número e Funções Reais 3.2 Função Afim Qualquer função que pode ser escrito na forma f (x) = ax + b, em que a e b perten- cem aos números reais com a ≠ 0, chamamos de função afim. Alguns autores também chamam está função de função da reta, pois o gráfico desta sempre será uma linha reta, como veremos a seguir. A função afim possui algumas características importantes. Considerando o domínio e o contradomínio pertencente aos , o gráfico da função afim é uma linha reta, onde o coeficiente b representa o ponto no qual a linha intercepta o eixo y, por isso é chamado de coeficiente linear. Já o coeficiente a representa a inclinação da reta, por isso recebe o nome de coeficiente angular. Assim, podemos afirmar que os eixo das abscissas (x) é interceptado no ponto e o eixo das ordenadas (y) é interceptado no ponto (0, b). Vejamos um exemplo: Seja o gráfico de uma função afim no intervalo de x = [−2, 2], conforme mostrado abaixo (Figura 6): FIGURA 6 - EXEMPLO DE FUNÇÃO AFIM Fonte: O autor (2021). Neste caso, como podemos encontrar a função que descreve o gráfico? Lembre-se que uma função afim sempre representa uma reta (ou semirreta) que é escrita de forma generalizada f(x) = y = ax + b. Então, para encontrarmos a função afim que descreve a reta do gráfico acima, precisamos encontrar os valores de a e b a partir do gráfico. Precisamos montar um sistema com os pontos que são possíveis observar no gráfico. Note que temos os seguintes pares ordenados: (-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 5). Para determinar a equação da reta são suficientes dois pontos diferentes. Vamos usar aqui os pontos (0, 1) e (1, 3). 14UNIDADE I Número e Funções Reais O ponto (0, 1) nos diz que quando x = 0, y = 1. Substituindo essas informações na equação da reta temos 1 = a · 0 + b. O ponto (1, 3) nos informa que quando x = 1, y = 3, subs- tituindo na equação da reta temos 3 = a · 1 + b. Vamos agora montar o sistema de equações: A equação (I) nos mostra que b = 1. Substituindo este valor na equação (II) verifica- mos que a = 2. Portanto, a equação da reta descrita no gráfico acima é f(x) = 2x + 1 Este procedimento é válido para qualquer função afim. Precisamos de apenas dois pontos distintos para encontrar a função que descreve a reta de um gráfico qualquer. 3.3 Função Linear A função linear é uma particularidade da função afim. Dada a função na forma f(x) = ax + b, onde a e b pertencem aos números reais com a ≠ 0, e b = 0, temos a função linear. Podemos generalizar dizendo que toda função do tipo (x) = ax, definida no conjunto dos números reais é função linear. Graficamente, temos uma linha reta que passa pela origem do plano cartesiano (Figura 7). FIGURA 7 - EXEMPLO DE FUNÇÃO LINEAR Fonte: O autor (2021). 3.4 Função Quadrática Toda função que pode ser escrito na forma f (x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c e a ≠ 0, é uma função quadrática, ou função de 2° grau. Esta função descreve uma curva característica chamada de parábola. Vamos ver alguns conceitos importantes desta função elementar: 15UNIDADE I Número e FunçõesReais Coeficiente a: O valor do coeficiente a determina se a parábola possui concavidade voltada para cima ou voltada para baixo. Se a > 0, temos concavidade voltada para cima; se a < 0, teremos uma parábola com concavidade voltada para baixo. E se a = 0? Não temos uma função quadrática e sim uma função afim. Discriminante: O discriminante de uma função quadrática é o famoso delta (, cal- culado pela fórmula matemática Δ = b2 - 4 a c, onde a, b e c são os coeficientes da função quadrática. O discriminante pode assumir três valores distintos: > 0; a função possui duas raízes distintas, isto é, existem dois valores diferentes para x nos quais a função resulta em zero. Graficamente, estes são os pontos que intercep- tam o eixo x. = 0; a função possui uma única raiz, ou seja, existem apenas um valor para x no qual a função resulta em zero. Graficamente, este é o ponto onde a parábola toca o eixo x. < 0; a função não possui raiz. Isso significa que não existe nenhum valor para x no qual a função resulta em zero e a parábola não irá passar pelo eixo. As figuras 8 e 9 seguir descrevem o que foi dito até o momento. FIGURA 8 - ESBOÇO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA COM CONCAVIDADE VOLTADA PARA CIMA Coeficiente a > 0 concavidade voltada para cima > 0 = 0 < 0 Fonte: O autor (2021). 16UNIDADE I Número e Funções Reais FIGURA 9 - ESBOÇO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA COM CONCAVIDADE VOLTADA PARA BAIXO Coeficiente a < 0 concavidade voltada para baixo > 0 = 0 < 0 Fonte: O autor (2021). Vértices da parábola: o ponto que define o vértice da parábola é descrito por pelo par ordenado V = (xv, yv), onde: Note que caso a concavidade seja voltada para cima (a > 0), o vértice da parábola indicará o ponto de mínimo. Caso a concavidade seja voltada para baixo, (a < 0), o vértice indicará o ponto de máximo da função. Zero da função: Zero da função é(são) o(s) ponto(s) em que a parábola intercepta o eixo x. Após o cálculo do discriminante, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar o zero da função: É importante lembrar que caso o discriminante Δ for menor que zero, a função não possui raiz e não passa pelo eixo x. Coeficiente b: O coeficiente b indica se a parábola intercepta o eixo y no momento em que a parábola está no ramo crescente ou decrescente. Quando b > 0, intercepta o eixo y no ramo crescente; quando b < 0, intercepta o eixo y no ramo decrescente. Coeficiente c: O coeficiente c nos informa onde a parábola intercepta o eixo y. É o mesmo que acontece com o coeficiente b da equação afim. Vamos ver alguns exemplos. 17UNIDADE I Número e Funções Reais Sem fazer o gráfico, faça uma análise dos casos abaixo, indique se a parábola in- tercepta o eixo x em dois pontos distintos, em um único ponto ou não intercepta e encontre o vértice da função, nos casos abaixo: a) f(x) = –2x2 + 8x – 8 Como o coeficiente a < 0, temos uma parábola com concavidade voltada para baixo, com coeficiente a = -2, b = 8 e c = -8. Calculando o discriminante: O discriminante é nulo, então temos um único ponto que toca o eixo x. Vamos calculá-lo: Portanto, temos o ponto (2, 0). Coincidentemente, este mesmo ponto é o vértice da função, no caso, um ponto de máximo, pois a parábola é voltada para cima. Vamos confirmar o resultado usando o xv e yv: yv = 0 Assim, verificamos que o vértice ocorre em (2, 0). 18UNIDADE I Número e Funções Reais Podemos tirar mais duas informações. Como o coeficiente b > 0, o eixo y é inter- ceptado no ramo crescente da parábola e, como isso ocorre em y = -8, que é o valor do coeficiente c. b) f(x) = x2 - 4x + 8 Como o coeficiente a > 0, temos uma parábola com concavidade voltada para cima, com coeficiente a = 1, b = -4 e c = 8. Calculando o discriminante: Δ = b2 - 4 a · c Δ=(-4)2- 4 ·1 · 8 Δ = 16 - 32 Δ = -16 O discriminante é menor que zero, portanto, não possui raízes, ou seja, não pos- suem ponto que intercepta o eixo y. Contudo, a parábola possui um valor de mínimo, uma vez que a > 0, dado por: O vértice ocorre em (2, 4). No dia a dia muitas são as aplicações da equação do segundo grau. Nos próximos módulos, vamos voltar a falar dela e realizar outras analises utilizando novos conceitos que iremos aprender. 19UNIDADE I Número e Funções Reais 3.5 Função Modular A função modular é descrita por: Graficamente (Figura 10), o que vamos obter é que independente do domínio, o valor da imagem será o valor positivo, isto é, o valor absoluto. FIGURA 10 - EXEMPLO DE FUNÇÃO MODULAR Fonte: O autor (2021). 3.6 Função exponencial Seja a função descrita por f(x) = ax, com a positivo x ≠ 1, temos a chamada função exponencial. Neste caso, o termo a é chamado de base do expoente e x é o expoente. Abaixo temos os gráficos característicos dessa função (Figura 11). Note que a imagem dessa função fica no intervalo (0, + ∞ ). FIGURA 11 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS Fonte: Guerra e Costa (2009). 20UNIDADE I Número e Funções Reais Considere valores de a, b, x e y , com a>0 e b>0. Temos as seguintes proprie- dades das funções exponenciais: Essas propriedades facilitam diversos cálculos que envolve funções exponenciais e podem ser combinadas. Vejamos alguns exemplos: 5 3 ∙ 5 2 , pela propriedade 1 temos 53+2 = 55 = 3125 (23)2 segundo a propriedade 2 temos (23)2 = 22∙3 = 26 = 64 pela propriedade 5, podemos escrever 3.7 Função Logarítmica A função exponencial possui uma função inversa que é a função logarítmica. Por definição: aloga x = x e loga(a x) = x Assim, fazendo uso da relação acima, temos que para x = 0 e x =1: loga1 = 0 e logaa = 1 Ao plotarmos o gráfico da função logarítmica, temos duas situações, a >1 e 0 < a <1 (Figura 12). FIGURA 12 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS Fonte: Guerra e Costa (2009). 21UNIDADE I Número e Funções Reais Assim como a função exponencial, a função logarítmica possui propriedades. Va- mos ver as mais importantes: Quando a base a não é indicada em um log, subentende-se que a base seja 10. Quando na base a é utilizada o número neperiano e , ao invés de escrevermos log, escre- ve-se ln(x). 3.8 Função Par e Função Ímpar Uma função é dita função par quando para todo x ocorre f(x) = f(-x). Vejamos um exemplo. Seja a f(x) = x2 com x , temos: Para x = 1; f(x) = f(1) = (1)2 = 1 = (-1)2 = f(-1) = f(-x) Para x = 3; f(x) = f(3) = (3)2 = 9 = (-3)2 = f(-3) = f(-x) Para x = 7; f(x) = f(7) = (7)2 = 49 = (-7)2 = f(-7) = f(-x) Portanto, a função f(x) = x2 é uma função par. Uma característica da função par é que no plano cartesiano existe uma simetria em relação ao eixo y, como mostra a figura abaixo: FIGURA 13 - EXEMPLO DE FUNÇÃO PAR Fonte: O autor (2021). 22UNIDADE I Número e Funções Reais Já uma função é ímpar quando para todo x ocorre f(x) = -f(-x). Por exemplo: Seja a f(x) = x3 com x , temos: Para x = 1; f(x) = f(1) = (1)3 = 1 = -(-1)3 = -f(-1) = -f(-x) Para x = 5; f(x) = f(5) = (5)3 = 125 = -(-5)3 = -f(-5) = -f(-x) Para x = 7; f(x) = f(7) = (7)3 = 343 = -(-7)3 = -f(-7) = -f(-x) Podemos então concluir que a função f(x) = x3 é uma função ímpar. Na função ímpar também temos uma simetria, mas nesse caso a função é simétrica em relação a origem. O Figura 14 mostra como fica a função f(x) = x3 no plano cartesiano, observe a simetria em relação a origem. FIGURA 14 - EXEMPLO DE FUNÇÃO ÍMPAR Fonte: O autor (2021). 3.9 Funções Trigonométricas Na natureza alguns fenômenos possuem comportamento cíclico ou periódicos. Alguns exemplos de fenômenos cíclicos são as ondas de rádio, o movimento periódico dos planetas, as vibrações dos átomos, os batimentos cardíacos ou ainda, as oscilações descritas pelos braços de um atleta durante uma corrida. Para explicitar esses fenômenos fazemos uso de funções trigonométricas. Vamos definir a função periódica: Uma função f(x) é considerada periódica e de período t, com t>0, quando todo x ∈ Dom f ( x ), x+t ∈ Dom f( x ) e f ( x ) = f ( x + t ). A principal característicagráfica de funções periódicas é que a cada intervalo de comprimento t o comportamento da função se repete. Vamos agora apresentar funções de natureza cíclica e as principais funções trigonométricas. 23UNIDADE I Número e Funções Reais 3.9.1 Função Seno e Cosseno Considere a circunferência de raio unitário e centro na origem do sistema ortogonal de coordenadas, chamada de círculo trigonométrico (Figura 15). Vamos fixar o ponto A = (1, 0) em tal círculo considerando como sentido positivo o sentido anti-horário, consequen- temente, sentido negativo é o sentido horário. FIGURA 15 - CÍRCULO UNITÁRIO Fonte: Adaptado de: Nunes (2021). Para cada x associamos um ponto P de tal forma que: Se −2 π < x < 0, partimos de A e percorremos o círculo no sentido negativo até obter um arco cujo comprimento seja dado pelo |x|. O ponto onde o arco termina é P. Se 0 < x < 2 π, partimos de A e percorremos o círculo no sentido positivo até obter um arco cujo comprimento seja x. O ponto onde o arco termina será P e cada número real corresponde a um ponto P da circunferência. Agora, se x > 2 π, vamos precisar dar mais de uma volta no círculo e nesse caso, no sentido positivo, até atingir a extremidade P do arco. A mesma lógica ocorre para caso formos dar a volta quando x < - 2 π Baseado nesse raciocínio, podemos afirmar que a cada volta na circunferência unitária temos que x + 2kπ (k ∈ ) irá corresponder a um ponto P da circunferência. Por definição, temos que: Função seno é a ordenada do ponto P: f(x) = sen(x) 24UNIDADE I Número e Funções Reais Função cosseno é a abscissa do ponto P: f(x) = cos(x) Os gráficos das funções seno e cosseno estão indicados a seguir (Figura 16). Observe que a imagem de ambas as funções fica no intervalo [-1,1]. Portanto, podemos verificar que todos os valores de x são -1 sen x ≤1 e -1 cos x ≤1. FIGURA 16 - GRÁFICOS DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO Função seno Função Cosseno Fonte: Guerra e Costa (2009). Outro fato importante, como já comentado, é que as funções seno e cosseno são periódicas e possuem período de 2π. Isso nos permite dizer que, para x , sen(x+2π)=sen x e cos(x+2π)=cos x E pelo gráfico, podemos observar que o f(x) = cos x possui simetria em relação ao eixo x, o que é característica de uma função par, então cos(−x) = cos x. Já a função f(x) = sen x possui simetria em relação a origem, comportamento de função ímpar, logo sen(−x)=(−1) sen(x). Portanto, além de funções periódicas, a função f(x) = cos x é uma função par e a função f(x) = sen x é uma função ímpar. Abaixo temos algumas relações das funções cos x e sem x. 25UNIDADE I Número e Funções Reais Todas as propriedades possuem demonstração matemática. Vamos realizar a de- monstração da propriedade (7) fazendo uso da propriedade (5) e (6). A função seno e cosseno possuem diversas aplicações nas áreas do conhecimento, desde física na modelagem de fenômenos até na área de economia. 3.9.2 Função tangente e função secante Por definição e com x | x ≠ 0 a função tangente é dada por (STEWART, 2017). A Figura 17 mostra o gráfico da função tangente. Note que é uma função com simetria em relação a origem, logo é uma função ímpar. O período da função tangente é de 2π. FIGURA 17 - GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE Fonte: Guerra e Costa (2009). A função secante por definição é dada por (STEWART, 2017): com x | x ≠ 0 . Note pelo gráfico (Figura 18) que temos agora uma função par com período . 26UNIDADE I Número e Funções Reais FIGURA 18 - GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE Fonte: Guerra e Costa (2009). Essas duas funções possuem o mesmo domínio, dado por Dom (f ) = . .Já o conjunto imagem das funções são diferentes. A função tangente possui imagem Im(tg) = e da função secante a imagem é Im(sec)=(-∞,-1] ∪ [1,+∞]. 3.10 Outras funções elementares No estudo de matemática, existem infinitas funções com características próprias. Em nosso curso não vamos nos aprofundar em muitas funções. Nos módulos seguintes, descreveremos mais algumas quando for oportuno. Vale citar que temos ainda como funções elementares que descrevem situações do dia a dia, como por exemplo as funções trigonométricas e suas inversas, funções hiperbó- licas e suas inversas. Em estudos avançados são estudas a função sigmoide, função beta, função gama e etc. 27UNIDADE I Número e Funções Reais 4. O CONCEITO DE LIMITE Algumas funções variam continuamente, enquanto outras funções podem variar independentemente de como se controla as variáveis. Entender o conceito de limite fornece o método para compreender o comportamento das funções. Vamos de forma intuitiva iniciar o conceito de limite, para que ao fim do módulo você seja capaz de ao analisar uma função f (x), definir quando x tende para mais ou menos infinito ou se tende para um número real a. Iremos usar essa noção de limite para compreender o conceito dos próximos módulos, derivada e integral. Vamos lá! Considere uma função f, e que você quer saber o que acontece com os valores da função quando a variável em questão, x, se aproxima de um determinado ponto, a. Vamos ver um exemplo para ficar claro. Seja a função descrita abaixo: Observe que a função é definida para qualquer valor de x, com exceção de x = 1 (se x = 1, teremos 0 no denominador e matematicamente não se pode dividir algo por zero). Então, para qualquer x ≠ 1 podemos dividir o denominador e o numerador da função acima por (x-1), restando desta forma f(x) = (3x + 2) para x ≠ 1. O que acontece com a função, caso utilizemos valores bem próximos de 1? 28UNIDADE I Número e Funções Reais Verificando valores que se aproximam de 1, com x>1, vamos obter o resultado abaixo: X > 1 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,0000001 f(x) = 3x + 2 8 7,25 6,5 5,75 5,3 5,03 5,003 5,00003 5,0000003 E para os valores que se aproximam cada vez mais de 1, mas agora com x <1, obtemos: X <1 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,999 0,99999 f(x) = 3x + 2 2 2,75 3,5 4,25 4,7 4,97 4,997 4,9997 4,99997 Fica evidente com os cálculos acima que quanto mais o valor de x se aproxima do número 1, mais próxima à função se aproxima do número 5. Assim, podemos definir que o valor da função f(x) será tão próxima de 5 quando desejamos, desde que tomentos o valor de x próximo o suficiente de 1. Graficamente (Figura 19), temos a equação de uma reta, afinal estamos usando uma função de primeiro grau como exemplo. FIGURA 19 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Fonte: O autor (2021). Assim, quanto mais próximo x for do número 1, mais próximo estaremos do número 5, e podemos escrever uma expressão matemática para descrever essa situação: Isso quer dizer que o valor de (3x+2) será cada vez mais próximo de 5 à medida que se x se aproxima de 1, isto é, quando x→1, f (x) → 5. A maneira correta de fazer a leitura da expressão acima é “o limite de f(x) quando x tende a 1 é 5” ou “o limite da função f(x) quando x aproxima-se de 1 é 5. 29UNIDADE I Número e Funções Reais Vamos ver um segundo exemplo. Considere a função . Note que a função está definida para qualquer número pertencente aos números reais, com exceção do número 0. O que acontece com a função f(x) quando o x tende para + ∞ e para - ∞? Abaixo temos os valores da função f(x) para quando x tende para x→ - ∞ X -1 -2 -4 -100 -1000 -10000 -100000 ... 0,0 0,5 0,75 0,99 0,999 0,9999 0,99999 Quando o valor de x se torna cada vez mais negativo, isto quer dizer, quando x tende para − ∞, a função f (x) fica cada vez mais próximo do número 1. Vamos verificar agora o que acontece quando x tende a + ∞. X 1 2 4 100 1000 10000 100000 ... 2,0 1,5 1,25 1,01 1,001 1,0001 1,00001 Fica evidente que quanto maior o valor de x, mais a função se aproxima de 1. Com essas duas análises, podemos afirmar que para a função em questão, quando x tende para + ∞ e quando x tende para - ∞, a função tende para 1. Podemos escrever matematicamente:A leitura é: “quando x→−∞, f (x)→1 e quando x→+, f (x)→1”. Elaborando o gráfico da função (Figura 20), podemos observar o que o limite está nos dizendo: FIGURA 20 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Fonte: Guerra e Costa (2009). 30UNIDADE I Número e Funções Reais - Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela esquerda, ou melhor, para valores de x < 0, a função f cresce cada vez em valores absolutos da função f e são negativos. Podemos concluir que a função f(x) tende para -∞. Portanto, quando x tende a 0 pela esquerda, x→0- , f (x) → -∞. Algebricamente: - Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela direita, ou melhor, para valores de x > 0, a função f cresce cada vez mais com valores positivos. Podemos afirmar que a função f(x) tende para + ∞. Portanto, quando x tende a 0 pela direita, x→0+ , f (x)→ + ∞. Algebricamente: Agora que vimos alguns exemplos de limites, vamos para a definição formal. A partir do gráfico abaixo (Figura 21), suponha que a função não fosse contínua em a e tivesse a forma: FIGURA 21 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DESCONTÍNUA Fonte: Guidorizzi (2001). Onde as constantes (épsilon) e (delta) são pequenas variações, para mais ou para menos, dos valores de L e a respectivamente. É possível notar que no ponto a, a função f não está definida, porém existe um limite L que satisfaz uma determinada condição específica que veremos ademais. Agora, observe o próximo gráfico (Figura 22). 31UNIDADE I Número e Funções Reais FIGURA 22 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA Fonte: Guidorizzi (2001). Como f é contínua em a, então existe um valor L = f(a). Esses dois casos apresen- tados obedecem a definição formal de limite, ou seja, obedecem a uma condição específica de limites. Seja f uma função e a um ponto contido no domínio de f. Dizemos que f tem limite L, no ponto a, se dado qualquer > 0, exista um > 0 tal que, para qualquer x pertencente ao domínio de f, satisfaça a seguinte condição: Assim, quando existe limite ele será único e representado por Esta definição é importante para entender os estudos sobre limites laterais, limites infinitos e limites no infinito que veremos no próximo módulo. 32UNIDADE I Número e Funções Reais SAIBA MAIS Durante toda a nossa História a Espécie Humana luta para entender as leis fundamen- tais do mundo material. Desbravando as regras e padrões que determinam as qualida- des dos objetos que nos rodeiam e sua complexa relação conosco e entre si. A História da Matemática é um documentário produzido pela BBC e apresentado pelo professor de Matemática da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy, um cien- tista conhecido pelo seu esforço para popularizar a Matemática ao redor do mundo. Em quatro episódios o professor Sautoy viaja ao redor do mundo analisando milhares de anos da história da matemática, buscando simplificar as complexidades aparentes do mundo à nossa volta. Na busca pelo padrão e a ordem ele irá analisar o trabalho de grandes matemáticos. O documentário dublado está disponível no Youtube. O link do primeiro episódio: https:// www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc. Fonte: AZEVEDO, Edson. A História da Matemática completo. Youtube. Disponível em: https://www.you- tube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc . Acesso em: 20 out. 2021. REFLITA “A matemática é o alfabeto no qual Deus escreveu o universo”. Fonte: Galileu Galilei (1564-1642). https://www.bbc.com/portuguese https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc 33UNIDADE I Número e Funções Reais CONSIDERAÇÕES FINAIS Finalizamos a primeira parte de nossa apostila, no qual aprendemos os conceitos de conjuntos numéricos e entendemos o que são os números reais. Compreendemos também os conceitos de função e suas propriedades, e vimos as funções elementares. Finalizamos o módulo com o conceito de limite de uma função de variável real. Agora, vamos estudar propriedades e tipos de limites, pois essa parte do apren- dizado se torna imprescindível para o entendimento do terceiro módulo, em que vamos estudar derivadas. Siga firme e forte, conhecimento está aberto para todos, mas sua internalização é para os persistentes. 34UNIDADE I Número e Funções Reais MATERIAL COMPLEMENTAR LIVRO Título: O homem que calculava Autor: Malba Tahan. Editora: Record. Sinopse: Envolvendo matemática de forma leve cativante, O homem que calculava que vem sendo consumido com rara avidez há gerações. A matemática recreativa apresentada em O homem que calculava é, certamente, menos dolorosa que a fria e doutoral ensinada nos colégios. Malba Tahan (pseudônimo do professor Júlio César de Mello e Souza) conseguiu realizar quase que um milagre, uma mágica: unir ciência e ficção e acertar. Seu talento e sua prodigiosa imaginação são capazes de criar personagens e situações de grande apelo popular, o que explica seu imenso su- cesso. O homem que calculava é uma oportunidade para os aficio- nados dos algarismos e jogos matemáticos se deliciarem com os vários capítulos lúdicos da obra. Tahan narra a história de Bereniz Samir, um viajante com o dom intuitivo da matemática, manejando os números com a facilidade de um ilusionista. Problemas aparen- temente sem solução tornam-se de uma transparente simplicidade quando expostos a ele. Gráficos facilitam ainda mais a leitura do livro. Uma pequena obra-prima da literatura infanto-juvenil. FILME / VÍDEO Título: Uma mente brilhante Ano: 2001. Sinopse: Uma Mente Brilhante conta a história de John Forbes Nash Jr. Ele foi reconhecido como gênio da matemática aos 21 anos. Casou-se com uma bela mulher, mas logo começou a dar sinais de esquizofrenia. Ele aprendeu a conviver com essa enorme dificuldade, usando suas adversidades a seu favor, chegando a ser aclamado com um Prêmio Nobel. O filme não se trata de uma ficção, onde os gênios e heróis passam por dificuldades mirabo- lantes para terem um final. 35 Plano de Estudo: ● Limites laterais; ● Limites no infinito e limites infinitos; ● Limites indeterminados; ● Propriedades dos limites e limites fundamentais; ● Função contínua. Objetivos da Aprendizagem: ● Compreender os tipos de limites e suas propriedades; ● Estabelecer a importância do limite para compreender o comportamento de uma função contínua. UNIDADE II Limite e Continuidade Professor Dr. Renã Moreira Araújo 36UNIDADE I Número e Funções Reais 36UNIDADE II Limite e Continuidade INTRODUÇÃO No primeiro módulo, ao trabalharmos funções fomos preparados para estudar o conceito de limite de funções de uma variável. Agora neste módulo vamos aprofundar os conhecimentos sobre limites. Iremos estudar os conceitos de limites no infinito e limites infinitos, conceitos que são diferentes, mas costuma confundir os estudantes. Após, vamos ver os casos de cálcu- los matemáticos indeterminados dos quais se faz necessário manipulações matemáticas para conseguir encontrar os resultados. Com essa bagagem será apresentado a você as principais propriedades de limites, que visam facilitar a resolução de exercícios. Iremos também apresentar os limites fundamentais e fecharemos o módulo com o conceito de função contínua em um ponto. São vários conceitos novos e interessantes, mas então, por que estudar limites? Nos próximos módulos, vamos estudar derivadas e integrais, e para entender estes novos conceitos matemáticos, precisamos entender o que são funções contínuas, que por sua vez é a partir do conceito de limite que verificamos a continuidade. Derivadas e inte- grais são utilizadas em diversos ramos da Ciência, como Física, Economia, Engenharias, Química e etc. e também são utilizadas para cálculo de volumes e áreas. Será preciso entender o que acontece com uma determinada função quando a variável tende a um valor real, ou até mesmo quando a variável tende para mais ou menos infinito. E esta compreensão, para ser aplicada derivadas e integrais, é fornecidapelo conceito de limite. Assim meu caro leitor, a primeiro momento talvez não fique tão evidente a necessi- dade prática de entender limite, mas isso com certeza ficará evidente nos próximos módu- los. Desejamos uma boa leitura e seja bem-vindo ao conhecimento de uma matemática, já não considerada básica. 37UNIDADE I Número e Funções Reais 37UNIDADE II Limite e Continuidade 1. LIMITES LATERAIS No módulo anterior, mostramos dois exemplos de limites, no segundo exemplo, fizemos uma análise da tendência da função ao se aproximar de valores pela esquerda e pela direita de zero. Até aquele momento você não sabia, mas já estava fazendo uma análise de limites laterais. Vamos aprofundar este conceito. Calcular os limites laterais significa calcular o limite em um determinado pon- to a aproximando-se por ambos os lados. Isto quer dizer que fazemos aproximações pela direita (valores maiores que a) e aproximações pela esquerda (valores menores que a). Escrevendo em linguagem matemática temos: Pela esquerda: Pela direita: Vamos analisar cada um dos casos. ● LIMITE A DIREITA: Se f(x) tende para L1 quando x → a através de valores maiores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende para a pela direita. Isso é indicado por: 38UNIDADE I Número e Funções Reais 38UNIDADE II Limite e Continuidade ● LIMITE A ESQUERDA: Se f(x) tende para L2 quando x→a através de valores menores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda: Temos que compreender ainda a existência do limite. O limite da função f(x) com x → a existe, se e somente se, os limites laterais forem iguais. Matematicamente, temos, portanto, a seguinte condição: Se os limites laterais no ponto a forem diferentes, podemos afirmar que o limite neste ponto não existe. Analisaremos um exemplo para ficar mais claro. Considere a função: Vamos calcular os limites de x →1 pela direita e pela esquerda. Calculando o limite pela esquerda, utilizamos valores cada vez mais próximo de 1, mas sem chegar a 1 (0,99, 0,9999, 0,999999): Já pela direita, o processo é similar, usamos valores próximos de 1, sem chegar ao número 1 (1,01, 1,0001, 1,0000001). Ao elaborar o gráfico da função, teremos o seguinte (Figura 1): FIGURA 1 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2001). 39UNIDADE I Número e Funções Reais 39UNIDADE II Limite e Continuidade Neste caso, seria possível definir os limites pela esquerda e pela direita com a análise gráfica. Portanto, quando x→1, os valores que vem pela esquerda possuem limite 3, e quando os valores vem pela direita, possui limite 2. E como os valores dos limites laterais são diferentes, podemos afirmar que o limite em 1 não existe, ou seja, a função possui limites laterais, mas não possui limite no ponto. 40UNIDADE I Número e Funções Reais 40UNIDADE II Limite e Continuidade 2. LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS Outro conceito muito importante no estudo de limites de funções são os limites no infinito e limites infinitos. Apesar de soar ser a mesma coisa, são conceitos distintos. Para não confundir, vamos ver cada um separadamente. Começaremos com os limites no infinito. Limites no infinito, também chamado de limite tendendo ao infinito, são aqueles com nos quais a variável da função tende ao infinito. Isto pode acontecer de duas formas: a função pode tender para +∞ ou para -∞. Algebricamente estamos dizendo o seguinte: A definição formal para limites tendendo para menos infinito está descrita a seguir. Seja f uma função e a um ponto que pertence ao intervalo ]a, +∞[, contido no domínio de f. Para > 0 existe >0, com > tal que: O limite L quando existir será único e dado por: E para mais infinito temos: Seja f uma função e a um ponto que pertence ao intervalo ]−∞,a[, contido no domínio de f. Para qualquer >0 existe >0, com − < a tal que: 41UNIDADE I Número e Funções Reais 41UNIDADE II Limite e Continuidade E assim como foi para a definição anterior, temos que se o limite L existir, será único e representado por: Vamos ver alguns exemplos para aplicar o conceito: Considere a função . Vamos calcular o limite para . Temos aqui o caso de uma constante que será dividida por um número muito gran- de, positivo (+ ∞ ) e negativo (-∞). Então, quanto maior for o número mais próximo de 0 será o resultado da divisão. Ao aplicar o limite, temos, portanto: Sempre que tivermos uma constante no numerador e variável no denominador, similar ao exemplo mostrado acima, o limite tenderá a 0. Vamos para mais um exemplo. Considere a função . Vamos calcular o limite para . Note que temos uma constante no numerador e quanto mais alto o valor da variável x, isto é, quando x→+∞ , mais próximo de zero se aproxima o resultado. Assim: O que acontece quando x→-∞? Ficará para o leitor analisar. Neste momento vamos para outro tipo de limite, os limites infinitos. Limite infinitos são aqueles em que o limite é infinito. Começaremos pelas definições formais: Seja f uma função e a um ponto que pertence ao intervalo ]a, b[, contido no domínio de f. Para qualquer > 0 existe > 0, com a + < b tal que: O limite L, quando existir, será único e representamos por: Ou podemos escrever: Se: 42UNIDADE I Número e Funções Reais 42UNIDADE II Limite e Continuidade E também: Se: Vamos aos exemplos. Considere a função vista anteriormente . Vamos calcular o limite para x→0. Uma atenção deve ser dada quando o denominador da função tende a 0. Isso porque valores pela esquerda e pela direita possuem sinais diferentes, e isso pode mudar o sinal do limite. Não é o caso em questão pois o denominador está elevado a dois, e todo expoente par torna os valores sempre positivos. Assim, ao dividir uma constante positiva por um número que tende a 0, o resultado tende a + ∞. Outros exemplos: E o limite de f(x) = (3x2-5x+2) ? Neste caso, vamos fazer algumas manipulações matemáticas, acompanhe: Vamos nesse momento entender o conceito de assíntota de uma função. Podemos dizer de forma simples que assíntota da curva de uma função real con- siste em uma reta na qual a curva se aproxima conforme é percorrida, no entanto a curva nunca encosta na reta. Temos basicamente dois tipos de assíntotas, a vertical e a horizontal. No caso da assíntota horizontal: seja uma reta de equação y=b, onde b é um nú- mero pertencente ao conjunto dos , a reta será uma assíntota horizontal do gráfico da função real se b for o valor finito no qual tende a expressão analítica da função, quando o valor de x tende para + ∞ ou - ∞. 43UNIDADE I Número e Funções Reais 43UNIDADE II Limite e Continuidade Já para a assíntota vertical: seja uma reta de equação x=a, em que a é um número pertencente ao conjunto dos reais, será uma assíntota vertical do gráfico de uma função real se ao menos um dos limites laterais da função for um valor infinitamente grande, quan- do x tende para o valor de a, ou melhor, será uma assíntota vertical se ao menos uma das seguintes condições for verificada: Vamos à um exemplo: Seja a função definida por , quais são suas assíntotas? Primeiro vamos calcular o limite da função tendendo para ±∞ : Assim, podemos afirmar que y =1 é a assíntota horizontal, pois quando x tende para +∞ ou -∞, +1 é o valor finito no qual a expressão tende. Portanto, quando x tender para ±∞,a função chegará próxima a +1, mas não tocará a reta definida por y=1. Agora, calculando o limite com x→1: Assim, temos o valor da assíntota vertical. O gráfico dessa função pode ser esboçado levando em consideração os cálculos realizados acima: o gráfico tende a + ∞ quando x → 1+ tende a -∞ quando x→1- ; e se aproxima da assíntota horizontal quando x→±∞ (Figura 2). FIGURA 2 – EXEMPLO DE ASSÍNTOTA VERTICAL E ASSÍNTOTA HORIZONTAL Fonte: Friedli (2013). Surge então umaindagação quando fazemos operações envolvendo números infi- nitos. Será que toda operação matemática tem um resultado? É o que vamos compreender no próximo tópico. 44UNIDADE I Número e Funções Reais 44UNIDADE II Limite e Continuidade 3. LIMITES INDETERMINADOS Em algumas funções, ao calcular o limite, chegaremos a algum dos resultados descritos na tabela abaixo: Quando chegamos a algum desses resultados, dizemos que temos uma indetermi- nação no cálculo do limite. Um exemplo de quando ocorre é: Isso não significa que é impossível resolver o limite. O que precisamos fazer é usar alguma manipulação matemática para escrever a função de outra maneira que seja possível encontrar o valor do limite. Existem quatro principais técnicas que são comumente usadas: Fatoração usando o algoritmo de Briot-Rufini, racionalizar a expressão, fazer uma mudança de variável ou para alguns casos, usar a regra de L´Hospital. Vamos mostrar exemplos da fatoração com uso do Algoritmo de Briot-Rufini. Con- sidere o limite: 45UNIDADE I Número e Funções Reais 45UNIDADE II Limite e Continuidade Note que a expressão x 2 - 4 pode ser escrita. Isto é o que seria usar o algoritmo de Briot-Rufini, que podemos simplificar dizendo que é a redução da ordem de um polinômio. Temos assim: Portanto: Outro exemplo: Aplicando a redução de polinômio no numerador (Algoritmo de Briot-Rufini), ficamos com: Assim, No nosso curso vamos ver também a Regra de L´Hospital, mas para usar essa técnica é preciso ter um conhecimento a respeito de derivadas, conteúdo do nosso próximo módulo (Derivadas e aplicações). 46UNIDADE I Número e Funções Reais 46UNIDADE II Limite e Continuidade 4. PROPRIEDADES DOS LIMITES E LIMITES FUNDAMENTAIS Na resolução de exercícios envolvendo limites é possível utilizar algumas pro- priedades para facilitar os cálculos. Vamos mostrar aqui dez das principiais propriedades. Existem outras, que são importantes caso o leitor queira aprofundar seus conhecimentos de limites (STEWART, 2017). ● 1ª Unicidade do limite ● 2ª Limite de uma função constante. Se f(x) = C para todo x real, então para qualquer a real, tem-se: ● 3ª Multiplicação por um escalar do limite Seja C uma constante e , temos que ● 4ª Subtração ou soma de limites Se , então: 47UNIDADE I Número e Funções Reais 47UNIDADE II Limite e Continuidade ● 5ª Multiplicação de limites Se , então: ● 6ª Divisão de limites Se , com M ≠ 0, temos que: ● 7ª Potência de limites Se , tem-se ● 8ª Exponencial do limite Se ● 9ª Raiz do limite Se , então quando n for par ● 10ª Logaritmo do limite Se , então Conforme já foi comentado, existem outras propriedades. Apresentamos as mais comumente utilizadas nos exercícios que envolvem limites de uma variável. Iremos ver os limites fundamentais, no qual são considerados aqueles que apa- recem com frequência na resolução de exercícios (STEWART, 2017). ● 1° Limite Fundamental 48UNIDADE I Número e Funções Reais 48UNIDADE II Limite e Continuidade ● 2° Limite Fundamental ● 3° Limite Fundamental Agora que vimos as propriedades dos limites e os limites fundamentais, estamos preparados para o último tópico do módulo - verificar a continuidade de uma função qualquer. 49UNIDADE I Número e Funções Reais 49UNIDADE II Limite e Continuidade 5. FUNÇÃO CONTÍNUA Quando se deseja saber se uma função é contínua ou não é preciso verificar a existência do limite. Por essa razão é preciso saber calcular limites para conseguir estudar continuidade de funções. Mas, afinal de contas, o que vem a ser uma função contínua? De maneira simples, podemos dizer que uma função contínua é aquela na qual quando desenhamos o gráfico, a função não possui saltos ou quebras em seu domínio, ou ainda, função contínua é quando conseguimos desenhar o gráfico completo sem precisar interromper a linha desenhada. Uma função f(x) é contínua em x= a se satisfazer as três condições a seguir: Quando pelo menos uma destas condições não for satisfeita, a função f(x) é des- contínua em x= a. Exemplo: Verifique a continuidade da função f(x) em x = 1 50UNIDADE I Número e Funções Reais 50UNIDADE II Limite e Continuidade Está função possui valor quando x = 1, pois f(1) = 1. Então, a primeira condição de continuidade foi satisfeita, pois é definida no ponto. Precisamos agora determinar o limite para quando x→1. Encontramos uma das situações na qual o limite é indeterminado. Precisamos usar alguma das técnicas para conseguir calcular o limite. Neste caso, vamos escrever o numerador de outra maneira e encontrar o limite: Portanto, o limite de , isto é, existe limite, satisfazendo a segunda condição. Por fim, precisamos verificar a terceira e última condição . No exemplo, Como a última condição de continuidade não é satisfeita, podemos concluir que a função f(x) é descontinua em x=1. Uma maneira conforme foi dito no início do tópico é desenhar o gráfico da função. Ao fazê-lo ficará evidente que no ponto em que x=1, a função possui uma descontinuidade. A Figura 3 ilustra esse fato. FIGURA 3 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2001). Exemplo: Verifique a continuidade da função f(x) em x= -1. 51UNIDADE I Número e Funções Reais 51UNIDADE II Limite e Continuidade A primeira condição é que a função deve estar definida no ponto analisado. Aqui, quando x = -1, temos: Assim, a função satisfaz a primeira condição de continuidade. Para verificar a segunda condição, vamos analisar os limites laterais. Pela esquerda Pela direita Note que os limites laterais existem e resultam no mesmo valor, isto quer dizer que: E para finalizar, verificamos a terceira condição. Temos: Portanto, a função analisada é sim uma função contínua em x = -1. Para ficar mais evidente, temos o gráfico da função a seguir (Figura 4). FIGURA 4 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2001). Com estes dois exemplos, tivemos condições e compreender o que é uma função contínua em um ponto e uma função não contínua. Fazer este tipo de análise é importante para entender o comportamento das funções e conseguir calcular derivadas, que é o as- sunto do nosso próximo módulo. 52UNIDADE I Número e Funções Reais 52UNIDADE II Limite e Continuidade SAIBA MAIS Augustin Louis Cauchy (1789-1857) foi um matemático francês do século XIX que for- mulou as noções de limites e continuidade, obtendo resultados que marcaram a Análise Matemática. No link abaixo você encontra uma matéria a respeito da vida desse gênio da matemática. Fonte: UNIVERSIDADE D COIMBRA. Augustin Louis Cauchy. Disponível em: https://www.uc.pt/fctuc/ dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Cauchy-AL. Acesso em: 27 set. 2021. REFLITA “De que irei me ocupar no céu, durante toda a eternidade, se não me derem uma infini- dade de problemas de matemática para resolver” “O homem morre mas suas obras ficam” Fonte: Augustin Louis Cauchy (1789-1857). https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Cauchy-AL. https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Cauchy-AL. 53UNIDADE I Número e Funções Reais 53UNIDADE II Limite e Continuidade CONSIDERAÇÕES FINAIS Agora conhecemos o que são limites indeterminados, limites infinitos e no infinito, os limites fundamentais e as principais propriedades de limites. Chegamos ao fim do nosso módulo e somos capazes de calcular o limite de uma função em um determinado ponto, e também verificar se existe continuidade da função ou não. No próximo módulo vamos usaros conceitos estudados para começar os estudos de derivadas, e no quarto módulo para estudar integrais. Chegamos ao que podemos chamar de clímax ou de principal objetivo de estudo da nossa disciplina de cálculo, que são as derivas. Aguardamos você no próximo módulo. Até mais. 54UNIDADE I Número e Funções Reais 54UNIDADE II Limite e Continuidade LEITURA COMPLEMENTAR Deixamos como leitura complementar a monografia de Bocker (2017). Trabalho que discute sobre a gênese do conceito de limite e suas implicações na resolução de diversos paradoxos. Mostra a definição formal de limite e alguns resultados importantes associados a este conceito. Apresenta ainda aplicações de limites à algumas áreas do conhecimento e, em particular, à própria matemática. Fonte: BOCKER, R. K. D. Limites: aplicações e uma extensão do contexto. 2017. 58 f. Monografia (Graduação). Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Aplicadas e Educação Departamento de Ciências Exatas, Rio Tinto, 2017. Disponível em: https://repositorio.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/3243/1/ RKDB18122017.pdf . Acesso em: 27 set. 2021. https://repositorio.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/3243/1/RKDB18122017.pdf https://repositorio.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/3243/1/RKDB18122017.pdf 55UNIDADE I Número e Funções Reais 55UNIDADE II Limite e Continuidade MATERIAL COMPLEMENTAR LIVRO Título: Em busca do Infinito Autor: Ian Stewart. Editora: Zahar. Sinopse: O autor apresenta a história da matemática de forma clara e simples, passando dos primeiros símbolos numéricos da Mesopotâmia aos grandes problemas ainda insolúveis que desafiam a mente dos maiores cientistas de nosso tempo. Com ajuda de mais de 100 ilustrações, desmistifica ideias essenciais da matemática, explicando um tema de cada vez. FILME / VÍDEO Título: Gênio Indomável Ano: 1997. Sinopse: Em Boston, um jovem de 20 anos servente de uma uni- versidade que já teve algumas passagens pela polícia, revela-se um gênio em matemática e, por determinação legal, precisa fazer terapia, mas nada funciona, pois ele debocha de todos os analis- tas, até se identificar com um deles. 56UNIDADE I Número e Funções Reais 56UNIDADE II Limite e Continuidade WEB No link abaixo temos uma tabela com os limites fundamentais e os resultados de diversos limites. • Link de Acesso: https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profernestovieiraneto/tabela01.pdf. https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profernestovieiraneto/tabela01.pdf 57 Plano de Estudo: ● Derivada e Interpretação Geométrica; ● Derivadas trigonométricas, exponenciais e logarítmicas; ● Regra do Produto e Quociente; ● Regra da Cadeia. Objetivos da Aprendizagem: ● Interpretar o significado da derivada de uma função; ● Estudar as principais regras de derivadas; ● Compreender a derivada de funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e a regra da cadeia. UNIDADE III Derivadas e Aplicações Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva 58UNIDADE III Derivadas e Aplicações INTRODUÇÃO Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, vamos dedicar nossa atenção ao estudo do cálculo diferencial. Um belíssimo formalismo matemático que é de extrema importância para qualquer área das ciências exatas e suas aplicações. Desde matemática, física, eco- nomia, engenharias, arquitetura e entre outros ramos. No primeiro tópico vamos compreender graficamente o que é a derivada e como derivar funções polinomiais. Na sequência, iremos aprender as regras de derivadas trigono- métricas, exponenciais a logarítmicas, em especial nessa última classe o logaritmo natural O terceiro tópico será direcionado a derivada do produto e quociente e funções e por fim, mas não menos importante, a regra da cadeia que abre nosso leque de aplicações das derivadas. Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom uso na sua formação acadêmica. Bons estudos! 59UNIDADE III Derivadas e Aplicações 1. DERIVADA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Suponha que uma dada função seja expressada graficamente da seguinte forma: FIGURA 1 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Fonte: STEWART, 2016. Observe que a função faz um movimento de altos e baixos, porém existem pontos específicos dessa curva, aquelas em que ela inverte seu movimento. Estudamos no capítulo de funções qualquer curva tem uma taxa de inclinação, descrita pelo coeficiente angular da função. Quanto maior o coeficiente angular de uma função, mais inclinada é a curva, caso o coeficiente angular seja igual a zero, então a curva não possui inclinação e, se o coeficiente de inclinação for negativo, então a curva é orientada para baixo. Tome como exemplo o gráfico da função afim (função de primeiro grau): 60UNIDADE III Derivadas e Aplicações FIGURA 2 – DIFERENTES VALORES PARA O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA Fonte: PHET Colorado. Inclinação e Intersecção no Eixo Y. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/ html/graphing-slope-intercept/latest/graphing-slope-intercept_pt_BR.html. Acesso em: 01 dez. 2021. O ponto destacado em rosa indica onde a curva toca o eixo das coordenadas, no exemplo é no ponto y=2 . Como mencionado, no primeiro caso f(x)=y=2x+2 , ou seja, o coe- ficiente angular é positivo. No segundo gráfico f(x)=y=-2x+2 , logo a inclinação é negativa e a reta aponta para baixo. No terceiro caso, não há inclinação f(x)=y=0.x+2→f(x)=y=2 . Entretanto, como uma curva que possui vários altos e baixos pode ser descrita como crescente ou decrescente?? Vamos ver um exemplo: FIGURA 3 – RETA TANGENTE DE INCLINAÇÃO NULA Fonte: STEWART, 2016. 61UNIDADE III Derivadas e Aplicações Ao longo da curva da figura anterior, em alguns pontos, foram traçadas retas tan- gentes, que nada mais são do que retas que tocam em um único ponto. Logo, uma reta tangente foi traçada no ponto A, em B, no ponto C e em P. Note que nos três primeiros casos a inclinação da reta tangente é igual a zero e no ponto P a inclinação é positiva, pois é direcionada para cima. Sendo assim, ao traçar uma reta tangente em um ponto, calcu- lando a inclinação da reta tangente, podemos dizer que a função localmente é crescente, decrescente ou é um ponto de máximo e mínimo. Porém, o que é um ponto de máximo e mínimo? O ponto de B é um ponto de má- ximo e o ponto A e C são de mínimo, já o ponto P não é nenhum dos dois casos. Outro fato importante, é que na maioria dos casos, os pontos de máximos e mínimos são de reversão. Assim, vamos definir a derivada de um ponto em uma função como a variação ins- tantânea da função em relação a nesse ponto. Sendo assim, a derivada mede a inclinação da curva em um dado ponto. Em nosso exemplo, a derivada nos pontos A, B e C é nula, por outro lado, no ponto P ela é positiva. Quando que uma função não é diferenciável? Quando a reta tangente possui tal inclinação que fica posicionada na vertical. FIGURA 4 – EXEMPLO DE FUNÇÃO NÃO DIFERENCIÁVEL ] Fonte: STEWART, 2016. Outro cenário é se a função é descontínua em um ponto. Logo, nesse valor, a derivada não é bem definida. 62UNIDADE III Derivadas e Aplicações FIGURA 5 – EXEMPLO DE FUNÇÃO DESCONTÍNUA Fonte: STEWART, 2016. Matematicamente como é escrita a derivada de uma função? A notação de derivada é essa e o termo não é um valor d dividido por d vezes x. É um operador e o x em baixo indica a variável em que estamos derivando. Ou seja, é a derivada da função em relação a z , a derivada da função em relação a e assim pode ser feito para qualquer função em relação a qualquer variável. Contudo, existem casos particulares, um deles é quando derivamos um número em relação a uma variável ou uma função que depende de outra variável. Nesse caso é dito que estamos derivando uma constante! Nesse caso, todas as derivadas são nulas pois os termos a serem derivadas são constantes em relação as variáveis em questão. Outro caso bem definido é quando temos a variável derivada em relação a ela mesma, ou seja: 63UNIDADE III Derivadase Aplicações Vamos agora aprender a primeira regra de derivada. 1.1 Regra da Potência Essa regra é atribuída para funções do tipo polinomiais. Considere n um número inteiro positivo, então: No ditado popular, essa regra é conhecida como regra do tombo, pois seu princípio é baseado em tombar o número do expoente para frente da base, passando a multiplica-la e quando ele “cai”, o número do expoente perde uma unidade. Vamos entender isso com alguns exemplos: Ex. 01 Calcule a derivada f(x) = x 4. Resolução: Ex. 02 Determine a derivada de f(y) = 3y2 - 5y3.. Resolução: Quando há um termo elevado ao expoente 1 é o mesmo que não o escrever. Em alguns casos, ao invés representarmos a derivada em sua forma por exem- plo, podemos apenas escrever . Vamos para mais alguns exemplos: 64UNIDADE III Derivadas e Aplicações Ex. 03 Calcule a derivada da função Resolução: Nesse exemplo, o terceiro termo é nulo pois estamos derivando um valor que depende de x em relação a r , ou seja, é mesmo que derivar uma constante em relação a variável, e isso vale zero. Ex. 04 Determine a derivada da função: Resolução: Observe que o segundo e o terceiro termo estão elevados à um expoente negativo, isso significa que, quando o expoente tombar, então ela ficará mais negativo ainda - 3 -1 = -4 e - 2 - 1 = -3. Ademais, atente-se ao jogo de sinais quando o expoente é negativo e passa multiplicar a base. O segundo termo ficou positivo pois (-3) multiplicou - x-4. Ex. 05 Calcule a derivada da função: Resolução: Primeiro, nesse caso, é preciso carregar a variável que está no denominado no segundo caso para o numerador. Porém, lembre-se de que ao fazer esse procedimento o sinal do expoente se altera. Assim: Agora vamos derivar a função: 65UNIDADE III Derivadas e Aplicações 2. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Existem várias famílias de funções que possuem regras específicas de derivação. Aprendemos até o momento as derivadas do tipo funções polinomiais, aquelas em que a variável está elevada a algum número, seja ele positivo ou negativo. Nesse capítulo vamos dedicar nossos esforços a três classes de derivadas. 2.1 Derivadas Trigonométricas Na trigonometria, existem algumas funções bem definidas como sen(x),cos(x),t- g(x),cotg(x),sec(x),cossec(x), entre outras. As derivadas base são as do seno e cosseno, as quais são calculadas usando os conceitos de limites. Entretanto, não vamos entrar nessas deduções matemáticas, uma vez que será de grande aplicabilidade para você saber lidar com as derivadas e não como deduzi-las. Deste modo, existe uma tabela das derivadas trigonométricas: 66UNIDADE III Derivadas e Aplicações TABELA 1 – DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS Fonte: STEWART, 2016. Outro detalhe importante é a periodicidade das derivadas trigonométricas. Veja que quando f(x) = sen(x), então: f ’ (x) = cos(x) Consequentemente A terceira derivada é: Logo, se uma função for trigonométrica, a sua segunda derivada é igual ao mesmo valor da função a menos de um sinal, bem como para retornar à função primária sem alterar o sinal é precisar derivar pela quarta vez. Veja alguns exemplos: Ex. 01 Calcule a derivada da função Resolução: 67UNIDADE III Derivadas e Aplicações Ex. 02 Calcule a derivada de Resolução: Veja que não é tão complicado trabalhar com derivadas trigonométricas, mas faça dessa tabela como seu principal apoio na resolução de exercícios. 2.2 Derivada da função exponencial A função exponencial natural é escrita na forma f (x) = e x FIGURA 6 – RETA TANGENTE NA CURVA EXPONENCIAL Fonte: STEWART, 2016. E a sua derivada é dada por: Note então que a derivada da função exponencial é ela mesma. Vamos fazer alguns exemplos: Ex. 03 Calcule a derivada da função f (x) = e x - x 2 Resolução: f ’ (x) = e x - 2x A derivada do primeiro termo é ele mesmo, pois é uma função exponencial e a do segundo termo usamos a regra do expoente. 68UNIDADE III Derivadas e Aplicações Ex. 04 Determine a derivada da função f (θ) = 3eθ + cossec (θ) Resolução: f ’ (θ)=3eθ - cossec (θ) cotg(θ) 2.3 Derivadas de funções logarítmicas Vamos estudar em particular a função logarítmica natural escrita como: y(a) = ln(a) A derivada dessa função obedece a seguinte regra: Vamos entender isso na prática. Ex. 05 Derive f(x) = ln (x 3+2) Resolução: Usando a regra de derivada temos: Ex. 06 Calcule a derivada da função y(x) = ln[sen(x)] Resolução: 69UNIDADE III Derivadas e Aplicações Ex. 07 Derive a função f (x) = cos(x) + ln( 8 x 2) Resolução: Ex. 08 Calcule a derivada da função y( x ) = ln( √x ) Resolução: Primeiro, vamos reescrever a raiz quadrada como sendo um expoente Agora, vamos aplicar as regras de derivada: Nesse caso, a regra do tombo no expoente resulta em . Podemos reescrever a resposta como sendo: 70UNIDADE III Derivadas e Aplicações 3. REGRA DO PRODUTO E QUOCIENTE Nesse tópico vamos estudar dois casos de derivadas, o primeiro trata-se da multi- plicação de duas funções, já o segundo da razão entre duas funções distintas. 3.1 Regra do Produto Em um determinado exercício você tem que fazer a derivada da seguinte função: y(x) = ex.sen(x) Como derivamos essa função? A multiplicação desses dois termos não pode ser representada por um único valor e não podemos derivar apenas um deles pois ambos dependem da variável. Então como fazemos? Observe que é a multiplicação, ou seja, o produto de duas funções de famílias diferentes. Caso seja algo do tipo: y(x) = x 2 . x 4 Podemos simplificar por um termo y(x) = x 6 E assim usamos a regra do tombo. Mas retornando ao caso em que não sabemos resolver, a multiplicação de duas funções de classes diferentes que dependem da mesma variável, usaremos a regra do produto, dada por: 71UNIDADE III Derivadas e Aplicações Em outras palavras, a Regra do Produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função. Vamos entender isso com alguns exemplos: Ex. 01 Calcule a derivada da função y(x) = e x. sen(x) Resolução: Logo Em ordem, fizemos primeiro a derivada da segunda função e multiplicamos pela primeira, depois somamos com a derivada do primeiro, que é a própria função exponencial com a segunda função. Ex. 02 Derive y(x) = x4.cos(x) Resolução: Logo Caso você prefira um resultado ainda mais compacto e, do ponto de vista matemá- tico mais requintado, coloque x3 em evidência, pois é o termo em comum nos dois termos: Ex. 03 Calcule a derivada da função: Resolução: Então Não há a necessidade de fazer a distributiva. 72UNIDADE III Derivadas e Aplicações Ex. 04 Determine a derivada da função y(x) = (x3 + 2x). ex Resolução: Então Observe que a ordem das derivadas não altera o resultado. Portanto você pode começar derivando a primeira função, manter a segunda constante e somar com a derivada da segunda mantendo a primeira constante e vice versa. Ex. 05 Calcule a derivada da função Resolução: Então A resposta pode ser colocada de outras formas também, como por exemplo 3.2 Regra do Quociente Vamos escrever a receita para calcular a derivada de uma função que é escrita em termos da divisão de duas funções entre si, ou seja: Nesse caso, necessariamente, as derivadas devem aparecer nessa ordem, ou seja, pela regra do quociente a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo quadrado do denominador. Caso você, por algum descuido faça 73UNIDADE III Derivadas e Aplicações Então o resultado será errado. Vamos fazer alguns exemplos: Ex. 06 Determine a derivada da função Resolução: Usando a regra do quociente Ex. 07 Derive a função Resolução: Usando a regra do quociente 74UNIDADE III Derivadas e Aplicações Colocando e x em evidência: Note que o numerador