Conhecimentos básicos e fundamentais - Carlos

Prévia do material em texto

“A Ciência é feita de fatos da mesma forma que uma casa é feita de tijolos, 
mas um amontoado de fatos não é Ciência, da mesma forma que um 
amontoado de tijolos não é uma casa”
Henri Poincaré (1854 - 1912)
Pré-Enem Atitude
Material original
2020
Miolo: Prof. Carlos Ivan Falcão Fehlberg
Capa: Profa. Lorrana Bernardes Bastos 
1. Introdução à Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 
2. Procedimentos Científicos na Física . . . . . . . . . . . . . . . . .8
3. Grandezas, medidas e gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . .17
5. Análise de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
6. Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
SUMÁRIO 
Na capa deste material você encontra escrito “Física: 
Conhecimentos básicos e fundamentais”. O que isso quer dizer? 
Quer dizer que aqui dentro vamos ver o que você precisa saber 
para aprender Física!
Acho que a primeira delas é: por que eu preciso aprender 
Física? E eu vou ser bem sincero: você não precisa aprender, 
você já sabe! O que vamos te ajudar a fazer é colocar o que 
sabe de Física nas caixinhas certas.
Primeiro você deve querer saber que história é essa de que já 
sabe Física. Se você já trocou uma lâmpada, jogou basquete, fez 
café ou mesmo só caminhou ao ar livre, você o tempo todo 
usou Física: como funciona a eletricidade pra saber a hora de 
trocar a lâmpada e não tomar choque; como é que a gravidade 
afeta objetos com velocidade para fazer a cesta; como o fogo 
esquenta a água que ferve e cozinha o pó; como eu devo fazer 
força com meus pés, usar roupas frescas e protetor solar num 
passeio. Tudo isso é Física e você sabe fazer muito bem!
Mas aí você vai se perguntar: por que eu devo estudar isso na 
escola ou no cursinho? Porque quando você organiza e melhora 
seu conhecimento, é capaz de fazer muito mais coisas. Já
INTRODUÇÃO À FÍSICA 
3
precisou escrever um e-mail importante e agradeceu por ter tido 
aulas de Língua Portuguesa? 
Você saberia escrever o e-mail da direita sem aulas? Ou sairia 
algo mais pra mensagem da esquerda? Pois é, com Física é a 
mesma coisa. Só com ela você saberia explicar porque uma 
ligação mal feita faz com que a lâmpada de 40 W brilhe mais 
que a de 100 W.
Tudo bem, organizar em caixinhas ajuda. Mas quais são essas 
caixinhas? Bem, agora vamos colocar na primeira caixinha: o 
que nós chamamos de caixinhas podem ser conceitos, 
categorias ou ramos da Física. A própria Física já é um ramo. 
Ela faz parte do Conhecimento Humano. Dentro dele, ela se 
distingue por alguns motivos.
O primeiro é o jeito como é feita, através de procedimentos 
especiais, científicos. E, por isso, dentro do Conhecimento 
Humano, a Física é uma Ciência. Não Arte, não Tecnologia. 
Ciência. Quais são esses procedimentos a gente vai discutir 
daqui a pouco.
Mas mesmo dentro da Ciência, tem diferença. Física não estuda 
seres humanos. Você até pode estudar a temperatura de uma 
pessoa ou como ela corre, mas podia ser uma bola de basquete 
que a Física não ia ver diferença. Por isso, a Física, que estuda a 
natureza, é uma Ciência Natural.
Mas não estudamos mudanças na composição dos objetos, 
muito menos as complexidades da vida. Estudamos as 
INTRODUÇÃO À FÍSICA 
4
características básicas da natureza. E isso nos faz Física. Como
os gregos que deram esse nome e o F grego é um FI, essa letra 
é nosso símbolo.
Dentro da Física os ramos também se dividem. O primeiro é a 
Mecânica. Estuda o movimento e as condições para sua 
ausência. Se divide em Cinemática, que estuda como é o 
movimento; Dinâmica, que estuda porque acontece o 
movimento; e Estática, que diz o necessário para não haver 
movimento. Estuda também movimentos internos em fluidos e 
sólidos, especialmente quando um fluido está parado, a 
Hidrostática. Ela que estuda Oscilações e Ondas Mecânicas 
(inclusive o som) que de tão especiais, ganham uma parte só 
delas: Ondulatória. Também é a Mecânica que estuda o que 
faz uma maçã cair e a Lua girar em torno da Terra, na 
Gravitação. A Mecânica está na capa deste material com o 
movimento de um peso preso a uma roldana. 
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
5
A outra parte da Física é a Termodinâmica (ou Termologia). 
Ela se divide em Termometria que estuda temperatura; 
Calorimetria que estudar o calor e seus efeitos; Gases já que 
sólido e líquido a Mecânica faz bem sozinha; e 
Termodinâmica que relaciona tudo isso a o que o sistema 
pode fazer. Pra Termodinâmica reservamos na capa um 
termômetro. 
A terceira grande parte é o Eletromagnetismo. Ele estuda a 
Eletricidade: carga e corrente elétricas e suas propriedades; o 
Magnetismo: ímãs, bússolas; a junção da eletricidade e do 
magnetismo; e a radiação eletromagnética ou luz, na Óptica. 
Pro Eletromagnetismo deixamos o campo magnético do nosso 
planeta Terra. 
Toda essa Física foi feita antes de 1900 e por isso é chamada de 
Física Clássica. A Física do século XX em diante é chamada de 
Física Moderna, a qual continua desenvolvendo a 
Termodinâmica e o Eletromagnetismo, mas causa problemas 
para a Mecânica e a forma como vemos o mundo.
INTRODUÇÃO À FÍSICA 
6
Um dos problemas envolve a constituição das coisas que vai se 
mostrando incompatível com a Mecânica Clássica. Daí surge a 
Mecânica Quântica que como grande triunfo tem a explicação 
da Estrutura da Matéria. Não à toa ela tem o átomo em nossa 
capa.
O outro problema vem do conflito da Mecânica Clássica com 
alguns resultados da própria Física Clássica. Daí surge a Teoria 
da Relatividade que nos mostra especialmente a Estrutura do 
Espaço-tempo. Ela ganhou em nossa capa sua equação (e 
talvez de toda a Física) mais famosa.
No começo eu disse que a Física não era arte. Mas é inegável 
sua beleza. Olhem para essa equação acima. Três letras (E para 
energia, m para massa e c para velocidade da luz), um número, 
um símbolo de igual. Uma das letras é uma constante da 
natureza sobre luz (justamente sua velocidade). E é esta 
equação que pode trazer os avanços da energia nuclear e os 
retrocessos da bomba atômica. 
A Física, seu ensino e seu estudo, têm justamente esse papel: 
fazer com que as pessoas entendam o poder de um átomo e uma 
equação juntos e decidam se querem iluminar ou destruir uma 
cidade.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
7
Você já deve ter ouvido falar no Método Científico, né? 
Hipóteses, observação, medidas, testes, conclusões e leis. Uma 
receita de bolo. Mas você já fez bolo em casa? Pois é… fazer 
ciência é que nem fazer bolo caseiro: a receita não é tão precisa, 
cada um tem sua receita e cada um faz de um jeito. Nem 
sempre dá certo, mas quando dá, o bolo é delicioso, 
independente de quem fez.
Apesar de tantas diferenças, algumas coisas se mantém. Na 
Ciência, mesmo que o caminho seja diferente, alguns passos se 
repetem e os chamamos de procedimentos científicos. Eles 
não precisam acontecer em ordem, nem todos precisam 
acontecer, podem acontecer mais procedimentos que os 
listados. E por isso não podemos falar em um método, um 
caminho.
O procedimento mais fundamental é escolher um problema. 
Isso pode vir de uma observação da natureza, de uma leitura ou 
raciocínio sobre a teoria, do resultado do trabalho de outra 
pessoa. O importante é saber que pessoas diferentes vêem 
problemas diferentes na mesma situação, pois sabem coisas 
diferentes. Mas quem diz quem está certo ou errado é o fato. 
Devemos abrir mão do que sabemos se um fato for 
contraditório a ele.
Por exemplo, você e seu pai vêem uma lâmpada de 40 W 
brilhando mais que uma de 100 W. Você que viu isso numa 
PROCEDIMENTOS CIENTÍFICOS NA FÍSICA
8
aula, não vê como problema. Já seu pai que sabia que lâmpadas 
de 100 W sempre brilhavam mais, vê um problema, mas como 
bom cientista amador, abre mão do que sabia e aceita o fato de 
uma de 40 W pode brilhar mais.
Outro procedimento é adotar uma proposta de solução, 
normalmente chamadahipótese. Adotar pois pode não ser sua, 
mas você acredita, ou mesmo que não acredite, quer saber onde 
ela te levará. Mas não pode ser qualquer hipótese: ela precisa 
poder ser testada e, principalmente, negada.
Por exemplo, sua mãe chega e, assim como seu pai, vê na 
situação das duas lâmpadas um problema. Ela propõe que a 
lâmpada está com defeito. Seu pai acha que seres 
microscópicos são atraídos pela luz e acabam diminuindo sua 
passagem. Podemos testar e ver se a lâmpada funciona e mesmo 
sabendo que isso vai acontecer você também adota a hipótese 
da sua mãe, mas toda vez que fizermos um teste sobre os seres 
do seu pai, ele dirá uma nova propriedade deles que invalida 
nosso teste e, portanto, sua própria hipótese.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
9
Os testes da solução são procedimentos científicos e podem ser 
de vários tipos. O primeiro deles é o teste experimental, onde 
criamos as condições reais ou observamos onde elas já existem 
para tentar negar ou encontrar mais indícios da validade da 
solução. 
No nosso caso, podemos pegar as duas lâmpadas e ligar num 
testador que temos, uma por vez. Você e sua mãe adotaram a 
hipótese dela, ela acreditando e você querendo ver onde vai dar. 
Ao verem as lâmpadas funcionando normalmente, sabem que a 
solução é inválida. Então abrem mão da hipótese em favor do 
fato. E criam outra. Sua mãe agora acha que é a forma como 
elas estão conectadas.
Enquanto isso, seu pai, que acredita ter encontrado a solução e 
que ninguém pode negar a hipótese, não vê mais como um 
problema e faz a ideia dele valer mais que o fato.
Do outro lado dos testes experimentais estão os testes teóricos. 
Eles podem se basear em argumentação lógica, esquemas, 
diagramas, equações matemáticas, simulações de computador, 
entre outras.
Essas duas últimas formas são muito vantajosas: elas não 
deixam espaço para ambiguidade, respeitam as exigências feitas 
sobre os outros procedimentos. Dentro dos testes teóricos, os 
testes matemáticos (que incluem os computacionais) são muito 
PROCEDIMENTOS CIENTÍFICOS NA FÍSICA
10
especiais.
Você explica pra sua mãe que existem fórmulas que relacionam 
o brilho da lâmpada, a rede, a conexão e a lâmpada em si. 
Fazem as contas juntos e vêem que numa ligação em série, a 
lâmpada de 40 W brilha mais que a de 100 W.
Agora é hora de comunicar e a comunicação de resultados é 
um importante procedimento científico. Ela deve permitir que o 
outro entenda o resultado, repita os testes e concorde ou 
discorde com o que você diz. É importante ter em mente o que 
você vai comunicar a partir dos resultados e estar disposto a 
debater as críticas e aceitar o fato caso seja negada sua teoria.
Você e sua mãe vão comunicar a outras pessoas. Sua mãe diz 
para sua tia que vocês perceberam que para a ligação de vocês a 
teoria sobre ligação em série era válida e explica a conta que 
fizeram. Você falha nesse ponto e conta pra um amigo que 
vocês provaram a equação que fala de ligação em série. Não se 
pode concluir isso do seu experimento, nem de nenhum. Mas 
como essa lei foi criada?
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
11
A busca de leis gerais é um procedimento científico que deve 
ser cauteloso. É necessário pois não queremos que a ciência 
seja só uma coleção de fatos, queremos colocá-los em 
caixinhas. Mas nenhum experimento ou conta específica prova 
uma lei geral. 
Essas leis gerais podem ser construídas a partir de leis mais 
gerais ou generalizando leis mais específicas, mas isso só muda 
a lei a ser criada. Todas estas partem de suposições e resultados 
experimentais que, após muito sucesso e nenhuma negação, vai 
ganhando a solidez de uma lei geral.
Todos esses procedimentos científicos são igualmente 
importantes, mas nenhum é estritamente obrigatório. A única 
obrigatoriedade em Ciência e que deve ser levada para a vida é 
estar disposto a aprender com os fatos, questionar o que não for 
fato e aceitar as críticas.
PROCEDIMENTOS CIENTÍFICOS NA FÍSICA
12
Falamos ali atrás que o procedimento de testes pode ser 
experimental ou teórico, mas sabemos que a realidade, a 
verdade, a Ciência, ou mais especificamente a Física, são 
únicas. Então os dois procedimentos precisam conversar.
Isso se dá pelo processo de representação: representar uma 
ligação por um desenho de um circuito, representar o 
movimento pelo diagrama de forças, representar o movimento 
molecular no aquecimento pela simulação...
Entretanto o procedimento teórico mais poderoso é sem dúvida 
o matemático. Um desenho torto pode ser mal interpretado, 
uma argumentação pode não ser seguida ou repetida. Já a 
Matemática tem todas as características que a Ciência precisa 
para usar como testagem teórica.
Cabe ressaltar que as representações induzem formas de 
linguagem. O significado é dado pelo experimento, pela 
observação, pelo fato, pelo mundo real. A representação é dada 
pelo elemento da linguagem. E justamente porque a Matemática 
é, das linguagens, a com possibilidades de significados mais 
precisos, graças à ciência que a estuda (e que também se chama 
Matemática), ela é a representação mais fiel do mundo real em 
Ciências, especialmente Física.
GRANDEZAS, MEDIDAS E GRÁFICOS
13
Criamos então representações matemáticas de partes da 
realidade chamadas grandezas: velocidade representa o 
movimento e sua rapidez, voltagem representa a fonte elétrica e 
seu "poder".
Construimos relações entre as representações, usando as regras 
da linguagem matemática, que representações das relações no 
mundo real: as fórmulas. Podemos usar todo o poder dessa 
linguagem e obter uma relação a partir de outra.
Mas como saber se essas novas relações são válidas? As 
definições devem ser válidas, mas e se as regras da Matemática 
(ou de outra linguagem) não são as regras da vida real? Para 
isso fazemos comparações que, no caso da matemática, 
chamamos de medidas.
Tomamos duas situações no mundo real, por exemplo o pé de 
um rei e uma parede. Comparamos. Fazemos a medida, ou seja, 
a representação, matemática dessa comparação e dizemos que a 
GRANDEZAS, MEDIDAS E GRÁFICOS
14
parede tem 8 pés de comprimento. Comparamos as outras 
partes da relação e encontramos que esta possui 6 pés de altura. 
Verificamos a relação entre as medidas:
Trazemos de volta para o mundo real e verificamos se a relação 
se mantém, comparando a diagonal da parede com o pé do rei e 
encontrando 10 pés. Esse processo é o de medição, fundamental 
para relacionar teoria e experimento.
Se fizermos várias medidas de duas grandezas relacionadas 
para ver se a relação vale em todos os casos, teremos uma lista 
de pares de medidas. Ou se escrevermos a relação na forma de 
uma grandeza em função da outra, teremos uma “lista infinita” 
de pares. Em ambos os casos podemos fazer mais uma 
representação dessas listas, em forma de um tipo especial de 
desenho. Um gráfico.
Onde a forma dessas linhas que aparecem dizem muito sobre o 
que está acontecendo: se a grandeza está aumentando, 
diminuindo, se mantendo, se está aumentando cada vez mais 
rápido...
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
15
Entretanto medidas, fórmulas e gráficos são apenas três das 
ferramentas que a Matemática oferece para a Ciência. Existem 
muitas outras que o ser humano foi aprendendo a usar com sua 
história. 
Você pode até não gostar de Matemática, mas duas coisas 
precisam ficar claras: Física não é Matemática, vamos muito 
além, a Matemática é só nossa melhor linguagem; e sem a 
Matemática provavelmente a Ciência e a Tecnologia estariam 
muito mais atrasadas. Aprenda Física, aprenda Matemática, 
aprenda Ciências.
GRANDEZAS, MEDIDAS E GRÁFICOS
16
Dissemos que o processo de medir é um processo de comparar. 
Mas comparar com o que? Demos o exemplo do pé do rei e isso 
é válido. Mas científico? Acho que não...
Vamos descrever como era o processo de medição em alguns 
pontos e, ao corrigirmos esses pontos de forma a tornar a 
medição um procedimento cada vez mais científico, vamos 
construir o que chamamoshoje de Sistema Internacional de 
Unidades (SI).
Um rei determinou que as medidas deveriam ser comparações 
com seu corpo: seu polegar, seu pé e seu braço. Assim, todos 
que quisessem vender coisas nos mercados oficiais, deveriam 
ter em suas oficinas barras com essas medidas comparadas 
diretamente com o polegar, o pé e o braço do rei.
Quando uma coisa tinha medidas incompletas, usava-se a 
seguinte relação: um braço (os dois braços abertos) são seis pés, 
um pé são doze polegadas.
Esse rei morreu e seu filho decidiu dar sequência ao legado do 
pai. Assim, as medidas passaram a ser feitas em relação 
polegar, pé e braço do novo rei. Ele assumiu o trono muito 
novo, e com o tempo foi crescendo e as medidas também foram 
mudando.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
17
Quais são os problemas desse sistema de medidas?
Primeiro: ele é incompatível com o de qualquer outro local. Por 
isso é interessante adotar padrões que não sejam ligados à 
cultura de um determinado local, mas padrões mais objetivos. 
Por exemplo, podemos fabricar uma barra e determinar seu 
comprimento como padrão. 
Segundo: a relação entre as medidas (12 polegadas e 6 pés) é 
matematicamente "inusitada". Como nosso sistema numérico é 
decimal, fazer as contas com 10 é mais fácil. 
Terceiro: as medidas mudavam com o tempo, o que não é 
interessante se você não quer refazer medidas cotidianamente. 
A escolha do padrão deve levar isso em conta tomando, por 
exemplo, uma barra de material mais resistente à temperatura 
e pressão, isolado de forma segura.
Quarto: a necessidade de comparação com algo em específico 
torna a validação das medidas mais difícil. Devem haver 
outras fontes seguras de validação ou, se possível, basear em 
padrões da natureza que qualquer um pode repetir.
Para resolver tudo isso, foi feita a adoção do Sistema 
Internacional de Unidades, mantido continuamente pelo 
Gabinete Internacional de Pesos e Medidas (BIPM). Esse 
sistema está em constante atualização, caminhando sempre para 
os moldes científicos.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
18
Ele foi construído e adotado por um grupo numeroso de países 
ainda no século XIX. Isso já amenizava o problema da 
compatibilidade, de cara. 
Sua base numérica é chamada de Sistema Métrico Decimal, de 
base dez e dotado de prefixos para múltiplos e submúltiplos da 
unidade.
Para garantir a estabilidade com o tempo, os padrões 
construídos foram feitos em materiais confiáveis e 
posteriormente guardados em locais isolados. Várias cópias 
desses padrões foram distribuídas aos laboratórios de 
medição para facilitar a validação de medidas.
Mais recentemente, o SI tem buscado redefinir suas unidades 
em termos de padrões da natureza, o que resolveria o primeiro 
e os dois últimos problemas de forma muito mais elegante.
Essa construção científica da medição tem nome: a Metrologia 
é a ciência que estuda o processo de medição. A Matemática e a 
Metrologia serem ciências facilita o trabalho do físico. Não 
abordamos a construção da Ciência Matemática aqui porque 
vocês têm professores de Matemática mais capazes. Mas a 
Metrologia vocês não verão em outro lugar, então coube a nós 
apresentar essa ciência. E como diria o lema do BIPM (gabinete 
que mantém o SI), no brasão da página anterior, usem medidas! 
ΜΕΤΡΩ ΧΡΩ
Vamos agora apresentar as unidades, o sistema métrico decimal 
e suas propriedades, que serão nossos guias práticos no estudo 
da Física.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
19
O construção de todas as unidades do SI se dá através de sete 
unidades base: segundo, unidade de tempo; metro, unidade de 
comprimento; quilograma, unidade de massa; ampere, 
unidade de corrente elétrica; kelvin, unidade de temperatura 
absoluta; mol, unidade de quantidade de matéria; e candela, 
unidade de medida de intensidade luminosa. 
Desde 20 de maio de 2019, o Sistema Internacional de 
Unidades é definido apenas em termos de constantes da 
natureza. Ou seja, sete constantes foram escolhidas e seus 
valores foram definidos de forma fixa, especificando assim as 
sete unidades.
A construção de novas unidades se dá por multiplicação e 
potenciação das unidades base. Lembrando que divisão é 
potenciação por número negativo. Vamos discutir isso mais 
adiante. Algumas dessas unidades derivadas ganham, além da 
definição, nomes especiais, como joule, newton, ohm, entre 
outras.
Além das unidades, o SI conta com um sistema numérico 
decimal, composto de prefixos. Trazemos aqui uma tabela com 
os mais comuns.
Algumas unidades que conhecemos (hora, especialmente) não 
estão no SI, mas são aceitas em uso com unidades SI, como 
velocidade máxima de 80 km/h.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
20
Por exemplo, se temos 1000 metros, temos 1 quilômetro 
(kilometro), ou 10³ metros. Veja que colocar no sistema decimal 
permite o aparecimento dessas potências de dez.
Entre o centi e o kilo existem outros prefixos, assim como além 
do tera e aquém do pico. Os dessa tabela são os que mais 
aparecem para nós no dia a dia: internet de 10 MB/s, distância 
de 30 km, PING de 20 ms.
Quando fazemos conta com as grandezas, devemos ficar atentos 
com as unidades: quando as medidas são multiplicadas e 
elevadas à certas potências, suas unidades e seus valores 
numéricos também o são. Quando somamos duas medidas, 
precisamos garantir que sejam duas de mesma grandeza. Não 
podemos por exemplo somar 3 metros com 6 segundos. Mas 
podemos dividir e encontrar 0,5 m/s.
Para facilitar essas contas, criou-se o conceito de notação 
científica, que consiste no seguinte: escrever um número n em 
notação científica é encontrar números m e e tais que:
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
21
Não entendeu nada? Calma…
Vamos pegar por exemplo a distância de Cariacica a Baixo 
Guandu, duas cidades capixabas, que é de mais ou menos 200 
km. Se fôssemos escrever diretamente na unidade base do SI, 
teríamos 200.000 metros. Esse número está entre quais 
potências de 10? Entre 100.000 e 1.000.000, ou entre 105 e 106.
Se dividirmos 200.000 por 105 , sendo 5 o expoente, temos o 
resultado igual a 2, chamado mantissa. Ou seja,
Perceba que 2 está entre 1 e 10 e temos um expoente igual a 5. 
Porém 105 não corresponde a nenhum prefixo. Ele está entre os 
prefixos kilo e mega. Reescrevemos da seguinte forma, 
portanto:
Veja que 200 km não está em notação científica, mas faz uso 
dos prefixos do SI e apresenta o valor numérico de forma bem 
“clara”.
Para chegar nesses resultados usamos propriedades 
matemáticas dos expoentes. Vamos escrever essas propriedades 
na base 10, a que usaremos para falar do sistema métrico.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
22
Essa notação e o uso de prefixos ainda tem outra vantagem: 
toda medida carrega uma incerteza. Nenhuma medida é 
perfeita e, mais recentemente, descobrimos que certas medidas 
nunca conseguiremos melhorar. Não discutiremos as ideias de 
incerteza aqui, mas muitas vezes essa incerteza é tão grande que 
a mantissa pode ser qualquer uma entre 1 e 10. 
Nesses casos usamos a ideia de ordem de grandeza. Vmaos 
olhar três medidas e suas ordens de grandeza.
A ordem de grandeza é definida da seguinte forma: se a 
mantissa é menor que 3,16 a ordem de grandeza é a potência 
que aparece. Se a mantissa é maior que 3,16 a ordem de 
grandeza é a próxima. Mas por que 3,16 como separação? Se 
fazemos o meio entre um expoente e seu próximo, olha o que 
vamos encontrar:
Então, o “meio” entre duas ordens de grandeza é justamente 0 
3,16.
Bom, já desvendamos uma parte dos mistérios das grandezas: 
seu valor e sua unidade. Primeiro vamos aproveitar isso para 
construir melhor uma ferramenta poderosa: gráficos. Depois 
vamos descobrir que mais segredos uma grandeza pode 
esconder, mas não de um cientista.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
23
Anteriormente dissemos que um gráfico pode surgir de duas 
formas: se fazemos várias medidas de duas grandezas ou se 
temos uma relação entre essas grandezas. Primeiro vamos ver 
como isso acontece. 
Suponha que vocêfez um experimento em que soltava um 
objeto de uma determinada altura e media o tempo que 
demorava para chegar ao chão. Você pode ter obtido os 
seguintes dados, organizados em uma tabela:
O lado esquerdo é a altura h, medida em centímetros (cm). O 
lado direito é o tempo t medido em centisegundos (cs). Cada 
linha foi um teste: o objeto foi lançado da altura escrita e 
demorou o tempo escrito. 
Vamos fazer o gráfico. Normalmente o lado esquerdo é o eixo 
das abcissas (eixo horizontal) e o direito o eixo das ordenadas 
(eixo vertical). O eixo das abcissas é “definido” e o das 
ordenadas é “medido”.
ANÁLISE DE GRÁFICOS
24
h/cm t/cs
72 48
96 65
110 69
184 79
244 82
Os pontos acima estão marcados de acordo com a tabela 
anterior. Eles concordam com ela em todas as informações: 
quanto maior a altura maior o tempo. Mas eles vão além e 
mostram que, para alturas muito grandes, a diferença vai 
diminuindo. Gráficos trazem mais informações que tabelas 
nesse sentido.
Na maioria das vezes não vamos lidar com gráficos vindos de 
tabelas, mas sim de relações completas. Se já soubéssemos da 
relação entre tempo de queda e altura, poderíamos plotar o 
gráfico abaixo.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
25
Normalmente quando estudamos construção de gráficos na 
Matemática nos dizem para, a partir da relação, criar alguns 
pontos, marcá-los, e então ligar eles. Quanta força bruta!
Vamos analisar o gráfico anterior e a partir dele vamos aprender 
a analisar qualquer gráfico (e construir também). Primeiro 
vamos falar no sinal do gráfico e seu valor. Todos os valores de 
tempo são positivos. Isso é óbvio, né? Mas para outras 
grandezas, nem tanto. Podemos ter velocidade negativa (ir de 
ré), temperatura em Celsius negativa (o frio da Rússia), carga 
elétrica negativa (o elétron). Num gráfico, devemos estar 
atentos a isso. Os positivos ficam acima do eixo horizontal e os 
negativos abaixo. Quanto maior o valor, mais pra cima. Quanto 
menor, mais pra baixo.
Depois temos a inclinação. Se um gráfico está “subindo” para a 
direita, dizemos que a grandeza está crescendo. Se ela desce 
para a direita, está diminuindo. No caso do nosso gráfico ele 
sempre sobe, então o tempo de queda sempre cresce com a 
altura. Mas quanto mais inclinado, maior o crescimento ou 
decrescimento. Quanto mais deitado, menor a mudança. Vemos 
que a inclinação vai diminuindo no nosso. Quando o gráfico 
está totalmente deitado, na horizontal, a grandeza é constante.
A inclinação mede a mudança no valor (e no sinal), mas ela 
mesma muda. Pra isso temos a curvatura. Ela nos diz se o 
gráfico parece com uma reta ou não. Se a inclinação não muda, 
o gráfico é uma reta, sem curvatura. Se o gráfico sobe mais 
rápido (ou desce mais devagar) que uma reta, ele tem curvatura 
positiva. Caso contrário, negativa. Podemos ver que o nosso 
gráfico tem curvatura negativa, ou seja, cresce mais devagar 
que uma reta. Vou tentar resumir todos os casos possíveis com 
um exemplo.
ANÁLISE DE GRÁFICOS
26
Você deve reconhecer esses gráficos. 2020 é o ano da luta 
contra a pandemia de COVID-19. E nesse momento Ciência é 
fundamental. Vamos analisar os gráficos.
Temos três gráficos. Um que é uma constante (capacidade do 
sistema de saúde) e outros dois que são chamadas curvas 
gaussianas. O nome dessas curvas não importam agora.
Vejam que ambas têm períodos crescentes e decrescentes 
(subida e descida). O da esquerda, por ser mais inclinado (em 
ambos os casos), está subindo (e descendo) mais rápido.
A curvatura de ambos começa positiva (eles crescem mais 
rápido a medida que o tempo passa), fica negativa (eles 
começam a diminuir o ritmo de crescimento e, quando 
começam a diminuir o número de casos, diminuem cada vez 
mais rápido) e depois volta a ser positiva (os casos continuam 
diminuindo, mas cada vez mais devagar).
Veremos muitos gráficos em Física. Muitos deles serão 
discussões simples sobre como a água ferve. Alguns outros têm 
impacto maior, podendo falar de atropelamentos caso não freie 
no tempo certo. Olhar para um gráfico e saber o que esperar 
pode salvar vidas.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
27
Um último comentário. Fizemos os gráficos do tempo de queda 
de duas formas: experimento e teoria. E se compararmos? Vão 
dar a mesma coisa?
O que isso significa? Que fizemos alguma coisa errada? Ou que 
o modelo está errado? Nem um, nem o outro, necessariamente. 
A discordância entre a curva e os pontos é comum. Apenas 
significa que nossas teorias não são perfeitas. Veja que, por 
mais que os pontos não estejam na curva, eles têm o mesmo 
comportamento: crescente com curvatura negativa. Isso é um 
bom sinal. Outro bom sinal é que todos os pontos estão acima 
da curva, mesmo que longe. Provavelmente medimos algo 
errado. 
A revisão de teorias e experimentos é constante. O problema 
surge quando, por mais que revisemos, não consigamos fazer 
ambos concordarem que não é o nosso caso. Medi o tempo de 
queda manualmente. Posso usar sensores para melhorar a 
medida ou descobrir um jeito de descontar o tempo que eu 
demoro para pausar o cronômetro. E aí, os pontos cairão quase 
que perfeitamente sobre a curva. 
ANÁLISE DE GRÁFICOS
28
Já sabemos que as grandezas possuem um valor numérico e 
uma unidade. Só podemos somar (e subtrair) grandezas iguais 
(de mesma unidade). Multiplicar e dividir podemos fazer com 
qualquer uma. Mas será que isso é tudo?
Se você tem um pacote de pó de café de 250 g e compra outro, 
você tem dois pacotes (1+1) e 500 g (250 g + 250 g). Somar 
pacotes de pó de café e massas é simples: só somar.
Vamos agora imaginar outras três situações onde somamos 
distâncias. Imagine que cada seta representa que você andou 3 
m seguindo aquela orientação. Qual sua distância do ponto de 
partida?
Por mais que em todos os casos você tenha andado seis metros 
(distância percorrida eu posso somar), a distância do ponto 
inicial depende de como você andou os seis metros (distância 
final, deslocamento, não posso somar tão diretamente). Esse 
como está ligado justamente à orientação das setas.
Grandezas que podem ser somadas diretamente e que, portanto, 
não tem orientação, são chamadas grandezas escalares. 
Grandezas que precisam de regras especiais de soma que 
dependem da orientação são chamadas grandezas vetoriais. 
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
29
Escalares são as representações com um número e uma 
unidade das grandezas escalares. As grandezas vetoriais são 
representadas por vetores, com um número (seu módulo, 
magnitude), uma unidade e uma orientação, muitas vezes 
separada em direção e sentido.
O primeiro caso do nosso exemplo, ambos os vetores estão na 
mesma direção e mesmo sentido, portanto, mesma orientação. 
No segundo caso, estão na mesma direção, mas apontam em 
sentidos opostos. No terceiro e último, não estão sequer na 
mesma direção.
Da mesma forma que não podemos somar grandezas de 
unidades diferentes, não podemos somar vetores com escalares, 
mesmo que tenham a mesma unidade. Isso pode ocorrer muito 
com distância e deslocamento, mesma unidade, mas um é vetor 
e o outro é escalar.
Mas podemos multiplicar escalar por vetor. Se representamos o 
vetor por uma seta, seu tamanho indica seu módulo. O escalar 
multiplica apenas o módulo, obviamente não alterando a 
orientação. Assim sendo, ele apenas estica ou contrai a seta. 
 < x0,5 - - x2 >
Mas nosso real objetivo é, por enquanto, descobrir como somar 
vetores. Vamos voltar ao nosso primeiro exemplo. Se andarmos 
naquelas direções indicadas, temos uma pista do primeiro e 
segundo casos:
Mesma direção e sentido: somamos normalmente.
Mesma direção, sentido oposto: subtraímos, calculamos o 
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
30
módulo e a orientação é dada pelo maior.
Quando estivermos procurando a soma para dois vetores em 
direções quaisquer, precisamos lembrar que ela deve se aplicar 
nesses casos também. Vamos analisar o terceiro caso, onde as 
direções formam 90°.
Podemos ligaro ponto final ao inicial novamente com um 
vetor, cujo módulo será a distância que queremos calcular e 
cuja orientação será a que liga os dois pontos. Façamos abaixo, 
sem indicar os sentidos.
Se isso é um triângulo retângulo e queremos saber justamente a 
hipotenusa, aplicamos o Teorema de Pitágoras. Vamos escrever 
as três relações que temos:
Vamos melhorar isso. Primeiro trocando os números por 
magnitudes quaisquer de vetores, A e B, chamando sua soma de 
S. Depois, vamos aproveitar que a última está ao quadrado e 
elevar todas aos quadrado.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
31
Agora você deve estar lembrando que havia uma regra com 
cosseno do ângulo entre os vetores. Vamos não pensar nisso por 
enquanto. Porque tudo pode ser repensado em termos de somas 
de coisas perpendiculares, que chamamos componentes. 
Vamos ver dois exemplos.
Podemos “quebrar” o segundo vetor em suas componentes: 
uma na mesma direção do primeiro e uma perpendicular a ele. 
Para isso precisamos saber o ângulo entre o segundo vetor e o 
prolongamento do primeiro (a linha pontilhada). Vamos chamar 
de θ (letra grega theta).
Novamente temos a hipotenusa como segundo vetor e a linha 
pontilhada como cateto adjacente ao ângulo. A componente do 
vetor nessa direção é então seu módulo multiplicado pelo 
cosseno de theta. Na direção perpendicular, resta seu módlo 
vezes o seno de theta. Ficamos com a imagem assim.
Veja que o segundo vetor, agora pontilhado, é a soma dos dois 
novos vetores. Só temos vetores na mesma direção ou 
perpendiculares, e esses sabemos somar. O vetor soma é dado 
pelo vetor tracejado.
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
32
θ
Ainda precisamos aprender a multiplicar vetores. E essa 
brincadeira de colocar eles na mesma direção e na direção 
perpendicular já é a resposta.
Quando multiplicamos um vetor pela componente do outro que 
está na mesma direção, obtemos o chamado produto escalar. 
Isso porque ele resultado em um escalar, mais especificamente 
na forma
Esse produto é importante para entender os efeitos que uma 
coisa causa numa determinada direção, como o movimento 
nessa linha.
Quando multiplicamos um vetor pela componente do outro que 
está na direção perpendicular, obtemos o módulo do produto 
vetorial. O nome denuncia. Se temos o módulo, resta a 
orientação. O produto vetorial é perpendicular aos dois que o 
geraram e aponta para o sentido dado pela regra da mão direita. 
Esse cara nos diz o efeito de um vetor na direção perpendicular 
do outro, normalmente ligado a rotações, giros.
CONHECIMENTOS BÁSICOS E FUNDAMENTAIS 
33
Com isso estamos munidos de tudo que precisamos para estudar 
Física. Repito, vamos aprender coisas novas, fenômenos novos, 
nomes novos. Mas muita coisa você já conhece. Física é um 
jeito de contar a história que a natureza nos conta. E o idioma, 
de certa forma, está nessa apostila.
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
34
Esta apostila é material complementar 
das aulas de Física do Pré-Enem 
Atitude, mas de livre utilização. Ela 
aborda conhecimentos introdutórios de 
Física e outras ciências que permeiam 
todas as aulas do ano. Bons estudos e 
boa leitura!