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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

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Neste 
trabalho é considerada a modelagem da superfície metálica pura, portanto, modela-se 
somente para o problema equivalente externo, pois não existem campos 
eletromagnéticos internos a superfícies condutoras perfeitas. A Figura 3-6 ilustra o 
problema estudado neste capítulo, em que, um campo elétrico incide normalmente 
sobre um obstáculo, no caso, uma placa condutora perfeita (CEP) de dimensão 𝑎 x 𝑏, 
induzindo correntes superficiais a placa nas direções 𝑥 e 𝑦, 𝐽𝑥 e 𝐽𝑦, respectivamente. 
 
 
52 
 
 
Figura 3-6– Campo elétrico incidindo em uma superfície CEP 
 
Através da imposição das condições de contorno sobre as componentes 
tangenciais do campo na superfície da placa ilustrada na Figura 3-6, tem-se que, o campo 
elétrico total vale zero e o campo magnético total é igual a corrente elétrica superficial: 
 
�̂� × 𝑬𝑇 = 0. (3.28) 
 
�̂� × 𝑯𝑇 = 𝑱𝒔. (3.29) 
 
Substituindo as equações (3.28) e (3.29) nas equações (3.1) e (3.2), 
respectivamente, tem-se que: 
 
�̂� × 𝑬𝑖(𝒓) = −�̂� × 𝑬𝑠(𝒓, 𝒓′) == −𝜂0�̂� × 𝐿0(𝑱𝒔(𝒓
′)). (3.30) 
 
�̂� × 𝑯𝑖 = 𝑱𝒔 − �̂� × 𝑯
𝒔(𝒓, 𝒓′) = 𝑱𝒔 + �̂� × 𝐾𝟎(𝑱𝒔(𝒓
′)). (3.31) 
 
Para o meio CEP a corrente magnética é nula (𝑴𝑠 = 0), em razão disso a parte 
referente a essa corrente nas equações (3.30) e (3.31) foi desprezada. A equação do 
campo magnético não foi aplicada a solução do espalhamento eletromagnético de uma 
placa condutora finita, pois a mesma não é adequada para análise de superfícies CEP 
abertas, como é o caso da placa em estudo [26]. 
 
 
53 
 
3.5.1 Método dos Momentos aplicado a solução do espalhamento 
eletromagnético de uma placa condutora finita 
Como apresentado na Seção 2.1 o método dos momentos é utilizado para resolver 
equações integrais, quando um parâmetro do integrando é desconhecido, 
transformando a equação integral em um sistema linear. 
Para resolver a equação (3.30), deve-se transformá-la em um sistema linear de 
equações algébricas. Para tanto, a densidade de corrente equivalente superficial elétrica 
deve ser representada por uma soma finita de funções de base conhecidas (𝑱𝑗(𝒓
′)), 
multiplicado por coeficientes desconhecidos (𝐼𝑗) [24]. 
 
𝑱𝑠(𝒓
′) = ∑𝐼𝑗
𝑥𝐽𝑗
𝑥(𝒓′)�̂� + 𝐼𝑗
𝑦
𝐽𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�,
𝑁
𝑗=1
 
(3.32) 
 
onde 𝑁 é o número total de funções de base escolhidas para representar corretamente o 
comportamento da corrente elétrica na superfície do condutor. 
Assim, substituindo a equação (3.32) na equação (3.30), tem-se que: 
 
�̂� × 𝑬𝒊(𝒓) = −𝜂0�̂� × 𝐿0(∑ 𝐼𝑗
𝑥𝐽𝑗
𝑥(𝒓′)𝑥 + 𝐼𝑗
𝑦
𝐽𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�𝑁𝑗=1 ). 
(3.33) 
 
Expandindo, tem-se: 
 
�̂� × 𝑬𝒊(𝒓) =
𝑗
𝜔𝜀
�̂� × ∬ 𝑘2𝑱𝑠(𝒓
′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝑠(𝒓
′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑆′
𝑑𝑠′. 
 
(3.34) 
 
Operando o produto escalar de funções de teste, 𝑾(𝒓′), obtém-se um sistema 
linear, assim, determina-se os coeficientes desconhecidos da equação (𝐼𝑗
𝐽
). Resolvendo a 
integral sobre a superfície do objeto espalhador e reescrevendo (3.34), tem-se que: 
 
 
 
54 
 
∫ 𝑾(𝐫’). �̂� × 𝑬𝒊(𝒓)𝑑𝑠′
𝑺
=
𝑗
𝜔𝜀
�̂� × ∫ 𝑾(𝒓′)
𝑆
∫ [
𝑆′
𝑘2𝑱𝑠(𝒓
′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝑠(𝒓
′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)]𝑑𝑠′𝑑𝑠. 
 
(3.35) 
 
onde 𝑾(𝐫’) = 𝑊𝑥(𝑟)�̂� + 𝑊𝑦(𝑟)�̂�. 
 
A equação matricial obtida é: 
 
[𝑉𝐸] = [𝑍𝐸][𝐼], 
 
(3.36) 
onde 𝐸 representa a equação matricial obtida através da equação integral do campo 
elétrico (EFIE), [𝑉] é o vetor de excitação, [𝑍] é a matriz de impedâncias e [𝐼] é o vetor de 
coeficientes desconhecidos. 
A matriz [𝑉] possui dimensão [𝑁 x 1] e seu i-ésimo termo pode ser expresso 
como: 
 
𝑉𝑖
𝐸 = ∫ 𝑾𝒊(𝒓). [�̂� × 𝑬
𝒊(𝒓)] 𝑑𝑠
𝑆
. 
(3.37) 
 
A matriz [𝑍] possui dimensão [𝑁 x 𝑁] e seus elementos podem ser escritos como: 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸 =
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ �̂� × [ 𝑾(𝒓′)(𝑘2𝑱𝒋(𝒓
′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝒋(𝒓
′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)]𝑑𝑠′𝑑𝑠
𝑆′𝑆
. 
(3.38) 
3.6 Análise do MoM para Diferentes Tipos de Funções de Base e 
Teste 
Nesta Seção aplicou-se o MoM para a solução do problema do espalhamento 
eletromagnético, utilizando as funções de base e teste apresentadas no Capítulo 2. 
 
 
 
55 
 
3.6.1 Função Pulso de Base e Teste 
 
Como apresentado Capítulo 2, apesar da sua simplicidade, a Função Pulso 
apresentada resultados precisos para a solução de problemas eletrostáticos. Então 
aplicou-se o MoM para a solução do problema de espalhamento eletromagnético de uma 
placa condutora. Utilizou-se a função de base pulso, o que resulta na seguinte 
discretização para a corrente superficial equivalente. 
 
𝑱𝑠(𝒓
′) = ∑𝐼𝑗
𝑥𝑃𝑗
𝑥(𝒓′)�̂� + 𝐼𝑗
𝑦
𝑃𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�,
𝑁
𝑗=1
 
(3.39) 
 
onde 𝐼𝑗
𝑥 e𝐼𝑗
𝑦
 são os coeficientes complexos desconhecidos associadoas as funções de 
base, 𝑃𝑗
𝑥(𝒓′) e 𝑃𝑗
𝑦
(𝒓′), nas direções �̂� e �̂�, respectivamente, 𝑃𝑗
𝑥(𝑥′) e 𝑃𝑗
𝑦
(𝑥′) são pulsos 
conforme ilustrado na Figura 2-1. 
Utilizou-se o método de Galerkin para a função de teste, 𝑾𝑖(𝒓), que é igual as 
funções de base, assim a função é dada por: 
 
𝑾𝑖(𝒓
′) = ∑𝑃𝑖
𝑥(𝑟)𝑥 + 𝑃𝑖
𝑦
(𝑟)
𝑁
𝑖=1
�̂�. 
(3.40) 
 
Aplicando as equações (3.39) e (3.40) na equação matricial (3.36), tem-se: 
 
[𝑉
𝐸𝑥
𝑉𝐸𝑦
] = [𝑍
𝐸𝑥𝑥 𝑍𝐸𝑥𝑦
𝑍𝐸𝑦𝑥 𝑍𝐸𝑦𝑦
] [𝐼
𝐽𝑥
𝐼𝐽𝑦
], 
 
(3.41) 
onde os elementos das matrizes são: 
 
𝑉𝑖
𝐸𝑥 = ∫ ∫ 𝑃𝑖
𝑥(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. 
 
(3.42) 
𝑉𝑖
𝐸𝑦
= ∫ ∫ 𝑃𝑖
𝑦(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. (3.43) 
 
 
56 
 
 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑃𝑖
𝑥(𝑥)𝑃𝑗
𝑥(𝑥′) +
𝜕𝑃𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑗
𝑥(𝑥′)
𝜕𝑥
)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
 
(3.44) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑃𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑗
𝑦(𝑦′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦. 
 
(3.45) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑃𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑗
𝑥(𝑥′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.. 
 
(3.46) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑃𝑖
𝑦(𝑦)𝑃𝑗
𝑦(𝑥′) +
𝜕𝑃𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑃𝑗
𝑦(𝑦′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
(3.47) 
 
A função pulso, 𝑃𝑖,𝑗 , é igual a um e sua derivada é igual a zero, assim as equações 
(3.42) a (3.47) podem ser simplificadas para: 
 
𝑉𝑖
𝐸𝑥 = ∫ ∫ �̂� × 𝑬𝒊(𝒓) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. 
 
(3.48) 
𝑉𝑖
𝐸𝑦
= ∫ ∫ �̂� × 𝑬𝒊(𝒓) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. (3.49) 
 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ 𝑘𝑙
2𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
 
(3.50) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
= 0. 
 
(3.51) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
= 0. (3.52) 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ 𝑘𝑙
2𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
(3.53) 
 
 
 
57 
 
Para a solução de todas as integrais foi utilizado a Quadratura Gaussiana de de 1 e 
1 e 6 e 6 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), 
respectivamente. 
Foi desenvolvido um código no software Matlab para implementar as equações 
desenvolvidas nesta seção para obter a densidade de corrente superficial na borda e no 
centro da placa condutora com a incidência de um campo eletromagnético. A Figura 3-7 
ilustra a densidade de corrente superficial obtida computacionalmente para o centro e 
borda da placa CEP discretizada em 35 segmentos, resultando em 1225 sub-áreas. A 
Figura 3-8 ilustra a distribuição de corrente ao longo de toda a placa. 
 
 
Figura 3-7 – Densidade de corrente superficial para função de base pulso 
 
0 5 10 15 20 25 30 35
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Número de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 (
A
/m
²)
 
 
Centro
Borda
 
 
58 
 
 
Figura 3-8 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos) 
 
Verifica-se na Figura 3-7 que o valor da densidade de corrente superficial é 
substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior circulação de 
corrente nessas regiões [27]. A onda eletromagnética incide no centro da placa 
condutora, por isso nessa região há uma maior concentração de correntes
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