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Implementação do Método de Momentos no Cálculo da distribuição de Carga em 
uma Placa Condutora: 
 
Elenilson Oliveira Lopes 
 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão - Campus Imperatriz 
 
Abstract: The plate of high complexity in solving problems in the areas of electromagnetism because they 
are not executable Superficially on the analysis surface of a developed tool, a computational tool was 
developed using Matlab to perform the calculation of the charge density and the total charge contained in 
the surface of a very thin software using the Method of Moments (MoM), which is characterized by its 
high precision. He was widely known in solving integrals that could not be solved by analysis. Thus, with 
numerical methods, it was possible to understand and execute the problem in a meaningful and efficient 
way. 
Resumo: Devido à alta complexidade na resolução de problemas nas áreas de eletromagnetismo por não 
serem possíveis executá-los de maneira analítica, foi desenvolvida uma ferramenta computacional 
utilizando o software Matlab para realizar o cálculo da Densidade Superficial de carga e a Carga total 
contida na superfície de uma placa quadrada muito fina utilizando o Método dos Momentos (MoM), que 
se caracteriza por sua alta precisão. Ele foi amplamente executado na resolução de integrais que não 
poderiam ser resolvidas de maneira analítica. Dessa forma, com a utilização dos métodos numéricos, foi 
possível compreender e executar o problema de maneira significativa e eficiente. 
Keywords: Matlab; MoM; Numerical Methods; Charge; Surface Charge Density 
Palavras-chaves: Matlab; MoM; Métodos Numéricos; Carga; Densidade de Carga 
1. INTRODUÇÃO 
A análise de dispositivos e estruturas eletromagnéticas eram 
amplamente experimentais antes do desenvolvimento dos 
computadores digitais, implicando em custos mais elevados e 
demorados, às vezes arriscados e inflexíveis na variação de 
parâmetros. Com o surgimento das linguagens numéricas de 
programação as pessoas começaram a utilizá-las para 
resolução de problemas nos vários ramos da engenharia e 
ciências aplicadas que não poderiam ser resolvidos 
analiticamente devido sua alta complexidade, o que levou ao 
desenvolvimento do Eletromagnetismo Computacional 
(CEM), sendo normalmente utilizado para calcular soluções 
aproximadas das equações de Maxwell para simulação de 
dispositivos e sistemas antes de serem realmente construídos. 
Ademais, permitindo que os engenheiros desenvolvam um 
nível de personalização e otimização que seria meticuloso ou 
mesmo impossível de ser feito de maneira experimental 
(Gibson, 2008). 
Todo procedimento numérico contém uma análise que busca 
simplificar um ponto do problema onde é confortável para 
aplicação dos métodos numéricos. Assim, será utilizado o 
método dos Momentos, que se trata de uma técnica, 
analiticamente simples e versátil, usada para solucionar 
equações integrais lineares, reduzindo a integral em uma 
equação matricial, proporcionando resultados altamente 
aproximados com elevada precisão, porém, o MoM requer um 
grande esforço computacional, o que infelizmente o leva a ter 
 
limitações quanto a capacidade de armazenamento de dados 
do computador e velocidade na simulação. 
Em síntese, o objetivo principal deste trabalho é o 
desenvolvimento do ferramental teórico e numérico para a 
análise da distribuição de Carga em uma placa quadrada 
condutora de modo estático. Será desenvolvido um algoritmo 
computacional no Matlab capaz de realizar tais cálculos, além 
de uma modelagem 3D da densidade de carga superficial para 
melhor compreensão do que está acontecendo na mesma. Os 
problemas apresentados para serem resolvidos apresentam 
restrições como a quantidade de subdivisões que será feita na 
placa, durante as simulações observaram-se a capacidade de 
processamento do computador utilizado onde as partições 
mais altas demoravam muito tempo para serem executadas 
comparadas as partições menores devido a complexidade e o 
numero de informações fornecidas para o problema. Assim, tal 
dificuldade de processamento levou ao questionamento da 
funcionalidade desses métodos numéricos que como citado 
anteriormente necessita de uma certa capacidade da maquina 
em que será executado, um problema simples como o proposto 
levou bastante tempo para ser concluído, o que indica que ao 
calcular projetos mais complexos seja necessário adquirir uma 
maquina mais robusta e com melhores configurações para 
fluidez do software. 
 
 
 
 
 
2.FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
O método dos Momentos é amplamente utilizado para calcular 
integrais cujo integrando é desconhecido, como a densidade de 
carga superficial (𝜌𝑠) que será calculada adiante (Sadiku, 
2007). A integral será transformada em um conjunto de 
equações lineares dispostas em uma matriz, considerando a 
equação (1): 
𝐹(𝑔) = ℎ, (1) 
 
𝐹 é o operador conhecido, ℎ é a função de excitação conhecida 
e 𝑔 é a função de resposta. Como 𝐹 e ℎ são conhecidos, 
determinamos 𝑔. A função de resposta é expandida em uma 
combinação de 𝑁 termos: 
 
𝑔(𝑟′) = 𝛼1𝑔1(𝑟
′) + 𝛼2𝑔2(𝑟
′) +∙ ∙ ∙ +𝛼𝑁𝑔𝑁(𝑟
′) 
= ∑ 𝛼𝑛𝑔𝑛(𝑟
′),𝑁𝑛=1 (2) 
 
𝛼𝑁 são os coeficientes desconhecidos e os termos 𝑔2(𝑟
′) são 
conhecidos, 𝑁 é o número total de funções e 𝑟′ representa o 
ponto fonte. Substitui-se (2) em (1), obtendo-se: 
 
 ∑ 𝛼𝑛𝐹(𝑔𝑛)
𝑁
𝑛=1 ≈ ℎ. (3) 
 
As funções 𝑔𝑛 são escolhidas para cada 𝐹(𝑔𝑛). Deve-se 
encontrar somente 𝛼𝑛. Expandindo a equação (3) surge uma 
equação com 𝑁 termos desconhecidos e para resolver será 
necessário 𝑁 equações lineares independentes. 
 
 ∑ 𝛼𝑛𝐹(𝑔𝑚) = ℎ𝑚, 𝑚 = 1,2, … , 𝑁,
𝑁
𝑚=1 (4) 
 
Originando ao seguinte sistema linear (Sadiku, 2007): 
 
 [𝑍𝑚𝑛][𝐼𝑛] = [𝑉𝑚] (5) 
 
O vetor 𝐼𝑛 contém os coeficientes desconhecidos, 𝑉𝑚 contém 
os termos independentes e 𝑍𝑚𝑛 é a matriz diagonalmente 
dominante e inversível. 
 
2.1 Função de Base 
Com uma importante função na resolução das equações 
integrais, apresenta o comportamento da função desconhecida 
no problema. Deve-se escolher apropriadamente o conjunto de 
funções de aproximação para uma melhor otimização 
computacional reduzindo o tempo de processamento para 
obtenção da solução (Mittra, 1975). A utilização de variáveis 
desconhecidas mais complexas necessita de funções de base 
mais complicadas. As funções de base são divididas em 
funções de subdomínio, que são validas em apenas uma parte 
da função, e a segunda classe é baseada em domínio inteiro, 
existindo em todo domínio da função desconhecida. 
 
2.2 Função Pulso 
Exibida na Figura 1, onde o domínio foi discretizado em 𝑁 
segmentos com o mesmo comprimento, porém isso não é um 
requisito. 
 
Figura 1 – Função Pulso 
 
Definida dentro de cada segmento como uma função constante 
é dado por: 
 
 𝑔𝑛(𝑥
′) = 𝑃𝑛(𝑥
′) = 1, 𝑥′𝑛 ≤ 𝑥
′ ≤ 𝑥′𝑛+1 (6) 
𝑃𝑛(𝑥
′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
A função pulso simplifica muito a avaliação da matriz, sendo 
uma aproximação simples para a resolução de cada segmento. 
 
2.3 Função Triangular 
Uma outra função de base muito utilizada é a função 
triangular, exibida na figura 2. Diferentemente da função 
 
 
 
 
pulso, a função triangular não é constante em todo segmento, 
variando no eixo 𝑥′, resultando em 𝑁 − 1 funções de base. 
 
Figura 2 – Função Triangular 
 
As funções triangulares são definidas como: 
 
𝑔𝑛(𝑥
′) = 𝑇𝑛(𝑥
′) =
𝑥′ − 𝑥′𝑛−1
𝑥′𝑛 − 𝑥
′
𝑛−1
, 𝑥′𝑛−1 ≤ 𝑥
′ ≤ 𝑥′𝑛 
𝑇𝑛(𝑥
′) =
𝑥′𝑛−1−𝑥
′
𝑥′𝑛+1−𝑥
′
𝑛
, 𝑥′𝑛 ≤ 𝑥
′ ≤ 𝑥′𝑛+1 (7) 
𝑇𝑛(𝑥
′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
As funções triangulares cobrem dois segmentos e se 
sobrepõem às funções vizinhas. Proporcionando uma suave 
aproximação para a função 𝑔comparada a função pulso. 
 
2.4 Função de Teste 
 
Com a escolha da função de base, deve ser efetuado o produto 
interno em ambos os lados da equação obtida com o método 
dos momentos, forçando a ortogonalidade do resultado. Para a 
simplificação e facilitação da formulação do problema as 
funções de teste são escolhidas, podendo-se usar o Point 
Matching e o Método de Garlekin. Dentro da implementação 
do Método dos Momentos a escolha da função base e teste é a 
principal questão para precisão da solução desejada, facilidade 
de avaliação dos elementos da matriz e realizar um bom 
condicionamento da matriz. 
 
 
2.5 Point Matching 
 
O Point Matching é equivalente ao uso de uma função Delta 
de Dirac como função de teste. Ele possui a vantagem de não 
necessitar de integral ao longo da função de teste para avaliar 
os elementos da matriz, sendo necessário apenas a função de 
origem, tornando a avaliação mais simples. 
 
 
2.6 Método de Galerkin 
 
Em princípio pode-se utilizar qualquer tipo de função como 
função de teste para a solução do MoM, porém a escolha da 
função de teste é fundamental para obter um resultado preciso 
na solução do problema. O método de Galerkin é bastante 
utilizado para esse fim, e estabelece que a função de teste 
escolhida deve ser igual a função de base. Ele tem a vantagem 
de fazer cumprir a condição de contorno em todo domínio da 
solução, o que conduz a resultados mais precisos que o Point 
Matching. Neste trabalho utiliza-se também o Método de 
Garlekin para fins comparativos. 
 
 
2.7 MoM aplicado a Solução de problemas Eletrostáticos 
 
Aplicaremos o Método dos Momentos na resolução dos 
problemas apresentados para o calculo da densidade 
superficial de carga e a carga total em uma placa quadrada 
muito fina. Contudo, será feita algumas alterações no 
algoritmo computacional devido as equações envolverem mais 
de uma placa e o problema apresentar apenas uma placa. O 
objetivo é a modelagem matemática para o problema. 
Dado o potencial elétrico na placa ∅, o potencial em qualquer 
ponto do espaço é dado por: 
 
 
 ∅(𝑟) = ∫
𝜌𝑠(𝑟′)
4𝜋𝜀0𝑅
𝑑𝑟′,
.
𝑆′
 (8) 
 
 
Onde 𝑅 = |𝑟 − 𝑟′| = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2 
,𝑥, 𝑦 e z e 𝑥′, 𝑦′e 𝑧′ são os pontos de observação de fonte, 
respectivamente, 𝜌𝑠 é a densidade superficial de carga 
(𝐶/𝑚2) sobre a placa, 𝜀0 é a permissividade elétrica do 
vácuo e S representa a superfície da placa. 
 
Em (8) 𝜌𝑠 é desconhecido e então expandido em uma 
combinação linear de funções de base como se segue: 
 
 
 𝜌𝑠 (r′) = ∑ 𝛼𝑛𝑔𝑛(r
′), (9)𝑁𝑗=1 
 
 
Onde 𝛼𝑛 são os coeficientes desconhecidos e 𝑔𝑛(r
′) são as 
funções de base. 
Substituindo a equação (9) em (8) e reescrevendo a equação 
como um somatório, temos: 
 
 
∅(r) = ∑
𝛼𝑛 
4𝜋𝜀0
𝑁
𝑗=1 ∫
𝑔𝑛(r
′)
𝑅
𝑑𝑠′.
𝑎
𝑆′
 (10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação (10) é uma soma de integrais, cada uma sobre o 
domínio da função de base, aplicando-se essa equação a cada 
𝑁 sub-áreas e utilizando uma função de teste (W) em ambos 
os lados da equação (10), obtém-se: 
 
 
 ∫ 𝑊
𝑎
𝑆
(𝑟)∅1(𝑟) = ∫ 𝑊
𝑎
𝑆
(𝑟) ∑
𝛼𝑗
4𝜋𝜀0
𝑁
𝑗=1 ∫
𝑔1𝑗(𝑟
′)
𝑅1𝑗
𝑑𝑠′, 
𝑎
𝑆′
(11) 
 
 
Onde 𝑊 = ∑ 𝑊(𝑟).𝑁𝑖=1 
 
 
Essa equação (11) pode ser escrita na forma matricial 
 
 
 
 
 
 (12) 
 
Onde os elementos da matriz 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
 
 𝑉𝑖 = ∫ 𝑊(𝑟
′)∅𝑖(𝑟).
𝑎
𝑆
 (13) 
 
 
 
 𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀0
∫ 𝑊(𝑟′) ∫
𝑔𝑖𝑗(𝑟
′)
𝑅
𝑑𝑟′
𝑎
𝑆′
𝑎
𝑆
 (14) 
 
 
Com isso o problema da resolução dos problemas propostos 
foi solucionado através do Método de Momentos, 
transformando integrais difíceis de resolver em matrizes que 
serão processadas através do algoritmo computacional 
desenvolvido no software Matlab para simplificação e 
compreensão dos resultados utilizando como base as 
formulas anteriormente calculadas. 
 
 
3.RESULTADOS 
 
Com a execução do algoritmo feito no software Matlab 
podemos obter os resultados para a Densidade Superficial de 
Carga e a Carga total contida na superfície da placa quadrada 
de aresta 𝑎 = 1 𝑚 e 𝑉0 = 1 𝑉. 
 
 
Figura 3 – Placa condutora 
 
 
O primeiro problema proposto consiste na realização do 
cálculo da densidade de carga superficial (𝜌𝑠) das partes 
utilizando N = 100 (dez partições em cada dimensão). Desse 
modo o resultado da simulação feita no Matlab é apresentado 
na Tabela 1. 
 
 
Tabela 1 – Resultados obtidos no Matlab 
 
N° Segmentos Densidade de Carga (𝑝𝐶/𝑚2) 
100 3176,46 
 
 
Foi feito um gráfico para melhor compreensão de como se 
comporta as cargas em uma placa metálica, tendo em vista 
soma de todos os valores para cada divisão, observa-se na 
figura 1 abaixo que o valor da densidade de carga superficial é 
maior nas bordas da placa, indicando uma maior concentração 
de carga nessa região, visto que o campo elétrico nas placas é 
uniforme na região central e não uniforme nas bordas da placa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Densidade de Carga (100 segmentos) 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Densidade de Carga (100 segmentos) 
 
 
Para fins de visualização e comparação, temos a seguir um 
modelo 3D da densidade superficial de Carga com 10 
segmentos 
 
 
 
Figura 6 - Densidade de Carga (10 segmentos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devido o alto número de segmentos propostos pelo problema 
ouve uma certa dificuldade na execução das análises já que é 
necessário um poder de processamento que infelizmente o 
computador que executou o algoritmo não possuía, assim 
levando um tempo considerável para completar a simulação. 
 
 
O Segundo problema proposto consiste em calcular a Carga 
total na placa com diferentes números de segmentos 
independentes. Dessa forma, os resultados obtidos na 
simulação estão apresentados na Tabela 2. 
 
 
Tabela 2 – Resultados obtidos no Matlab 
 
N° Segmentos Carga total (𝑝𝐶/𝑚) 
9 3,58 
25 8,27 
49 15,78 
100 31,76 
 
4. CONCLUSÃO 
A formulação para o Método dos Momentos desenvolvida 
neste trabalho foi apresentada e mostrou-se eficiente ao tratar 
problemas eletromagnéticos. Essa formulação foi aplicada na 
resolução do dimensionamento da distribuição de cargas em 
uma placa condutora quadrada muito fina, obtendo-se 
resultados fisicamente consistentes, consolidando a 
modelagem matemática para o problema estático envolvendo 
os métodos numéricos para calcular as integrais 
transformando-as em matrizes densas que através de um 
algoritmo desenvolvido no software Matlab puderam ser 
calculadas de maneira eficaz. Os desafios propostos foram 
inspiradores para instigar o estudo desses métodos de 
resolução que não são muito falados, pois a maioria dos 
problemas propostos podem ser resolvidos de maneira 
analítica, não necessitando de tais artifícios. Contudo, a 
solução do problema com elevado número de discretizações 
gera um elevado gasto computacional, com isso, para ganhar 
em precisão compromete-se a eficiência. Neste trabalho 
buscou-se a otimização desse processo, conciliando eficiência 
e precisão nos resultados, verificou-se na solução que para um 
número de discretizações o resultado converge para um valor 
único, não sendo necessário um numero maior de 
discretizações para obter os resultados, evitando com isso o 
comprometimento da eficiência computacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. REFERENCIAS 
Gibson, W. C., 2008. The method of moments in 
electromagnetics. Boca Raton: Chapman & 
Hall/CRC. 
Mittra, R., 1975. Stability and Convergence of 
Moment Method Solutions. s.l.:Springer-Verlag. 
Notaros, B. M., 2010. Electromagnetics. Upper 
Saddle River: Prentice Hall. 
Sadiku,M. N. O., 2007. Elements of 
Electromagnetics. Third Edition ed. New York: 
Oxford University Press. 
Sadiku, M. N. O., 2018. Computational 
Electromagnetics with MATLAB®. s.l.:CRC 
Press.