Lista 3

Prévia do material em texto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA
DO PARANÁ
Cálculo I
Lista 3
Derivadas
1. Encontre, pela definição, f ′(p)
(a) f(x) = 3− 2x+ 4x2
(b) f(x) = x4 − 5x
(c) f(x) = 2x+1x+3
(d) f(x) = 1√
x+2
(e) f(x) =
√
3x+ 1
(f) f(x) = 2x3 − x+ 1
(g) f(x) = x3 − x
(h) f(x) = 1−x3+x
(i) f(x) = 12 + 7x
(j) f(x) = 1x2
2. Use a definição de derivada para calcular f ′(1), onde:
f(x) =
{
2 +
√
x, se x ≥ 1
1
2x+
5
2 , se x < 1
3. Uma partı́cula move-se ao longo de uma reta com a equação movimento s = f(t), onde s é medido em
metros e t em segundos. Encontre a velocidade quando t = 2.
(a) f(t) = t2 − 6t− 5
(b) f(t) = 3t4 − t+ 1
(c) f(t) = 11+t
4. Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 − 8x+ 9 no ponto (3,−6)
5. Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados
(a) f(x) = x2 e p = 2
(b) f(x) = 1x e p = 2
(c) f(x) =
√
2 e p = 9
(d) f(x) = x2 − x e p = 1
6. Suponha que f é uma função que satisfaz a equação f(x + y) = f(x) + f(y) + x2y + xy2 para todos os
números reais x e y. Suponha também que
lim
x→0
f(x)
x
= 1.
Encontre f(0) e f ′(0).
7. Suponha que f é derivável em p e seja ρ(x), x ∈ Df e x 6= p, dada por
f(x) = f(p) + f ′(p)(x− p) + ρ(x)(x− p).
Mostre que
lim
x→p
ρ(x) = 0.
8. Mostre que a função f(x) = |x − 6| não é diferenciável em 6. Encontre uma fórmula para f ′ e esboce seu
gráfico.
9. Mostre que a função
g(x) =
{
2x+ 1 se x < 1
−x+ 4 se x ≥ 1
não é derivável em p = 1. Esboce o gráfico de g.
10. Analise a afirmação: Se f é uma função contı́nua em p então f é diferenciável em p. Se for verdadeira prove,
se não, dê um contra-exemplo.
11. Seja
f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2x− 1 se x > 1
(a) f é derivável em 1?
(b) f é derivável em 1?
12. Verifique se f é contı́nua e diferenciável no ponto x0 = 0, sendo:
(a) f(x) =
{
(x2 + x) cos( 1x ) se x 6= 0
0 se x = 0
(b) f(x) =

x2 + sin(x) se x > 0
x5 + 4x3 se x < 0
0 se x = 0
(c) f(x) =
{
x sin( 1x ) se x 6= 0
0 se x = 0
(d) f(x) =
{
sin(x)
x se x 6= 0
1 se x = 0
(e) f(x) = |sen(x)|
(f) f(x) = cos(
√
|x|)
13. Encontre as constantes a, b e c tais que a função f(x) =
{
ax2 + bx+ c, se x < 1
x2 − 5x+ 6, se x ≥ 1
seja derivável em R
e f ′(0) = 0.
14. Seja f : R→ R contı́nua em R tal que |f(x)| ≤
∣∣x3 + x2∣∣, para todo x ∈ R. A função f é derivável em 0?
15. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 1x no ponto P (2, f(2)).
16. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x
√
x no ponto (1, 1).
2
17. Diferencie a função
(a) f(x) = 186, 5
(b) f(x) = 5x− 1
(c) f(x) = x2 + 3x− 4
(d) f(x) = 14 (x
4 + 8)
(e) f(x) = x−2/5
(f) f(x) =
√
π
(g) y = 5ex − 3
(h) f(t) =
√
t− 1√
t
(i) y =
√
x(x− 1)
(j) y = x
2+x−2
x3+6
(k) f(x) = xx+ cx
(l) f(x) = e
x
x3
(m)(n) f(x) = x2senx
(o) f(x) = secx1+tgx
(p) f(x) = x− 3senx
(q) f(x) = 12 + 7x
(r) f(x) = xcosx
(s) f(x) = senxx3
(t) f(x) = xsenxcosx
(u) y = secθtgθ
(v) f(x) = ea(cosx+ cx)
(w) f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k
(x) f(x) = (x3 +
√
x)cosecx
(y) f(x) = x+senxx−cosx
(z) f(x) = sen2(x)
18. Se f for diferenciável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) y = x2f(x)
(b) y = x
2
f(x)
(c) y = 1+xf(x)√
x
19. Sejam f, g, h funções diferenciáveis. Verifique que
[f(x)g(x)h(x)]′ = f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x).
20. Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 onde a tangente é horizontal.
21. Ache os pontos sobre a curva y = secx1+tgx onde a tangente é horizontal.
22. Mostre que a curva y = 6x3 + 5x− 3 não tem reta tangente com inclinação 4.
23. Se f(x) = 3x+1x−1 , determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passa pela origem.
24. Encontre a reta tangente à curva f(x) = lnx que passa pela origem.
25. Encontre as equações das retas tangentes à curva f(x) = x−1x+1 que sejam paralelas à reta x− 2y = 2.
26. Encontre a equação da reta tangente a parábola x2 − 3x+ 2 que seja perpendicular à reta y = −x− 7.
27. A reta normal à curva C em um ponto P é, pela definição, a reta que passa por P e é perpendicular à reta
tangente a C em P . Ache uma equação da reta normal à parábola y = 1 − x2 no ponto (2,−3). Esboce a
parábola e sua reta normal.
28. Ache a parábola com a equação ax2 + bx cuja reta tangente em (1, 1) tenha a equação y = 3x− 2.
3
29. Encontre f ′(x) e f ′′(x)
(a) f(x) = sen(cos(tgx))
(b) f(x) = (x+ 7)4 − 5(x2 + 8)3
(c) f(x) = 1x9+3
5
(d) f(x) = cos(a3 + x3)
(e) f(x) =
√
1 + tgx
(f) f(x) = 2a3 + cos3x
(g) f(x) = 101−x
2
(h) f(x) = sen
2x
cosx
(i) f(x) = (x2 + 1)
√
x2 + 2
(j) f(x) = xsen 1x
30. Encontre f ′(x)
(a) f(x) = 3
√
(x2 + 1)2
(b) f(x) = cos2(1− x2)
(c) f(x) = cos(1− x2)2
(d) f(x) = tg3x+ tgx3
(e) f(x) = − sen
2x
x
(f) f(x) = (2x6 + 5x3)3/5
(g) f(x) = (30− x−1)cos(2x)
(h) f(x) = tg(5x2 − x)
(i) f(x) = (x+senx)
20
cos10x
(j) f(x) = sen7(cos((2x+ 1)10))
(k) f(x) = (x
2+4)5/3
(x3+1)3/5
(l) f(x) = sen
(
2x
x4−4x
)
31. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
(a) y = (1 + 2x)10, (0, 1)
(b) y = sen(senx), (π, 0)
(c) y = x2e−x, (1, 1/e)
32. Use a Regra da Cadeia e a Regra do Produto para dar uma prova alternativa da Regra do Quociente.
33. Encontre dy/dx diferenciando implicitamente:
(a) x2 + y2 = 1
(b) x3 + x2y + 4y2 = 6
(c) xy2 + xseny = 4
(d)
√
xy = 1 + x3y
(e) xy = cotg(xy)
(f) x8 + 4xy = c
(g) tg(x− y) = y1+x2
(h) 7cosxsenx = 1
34. Considere y como a variável independente e x como a variável dependente e use a diferenciação implı́cita
para encontrar dx/dy:
(a) y4 + x2y2 + yx4 = y + 1
(b) (x2 + y2)2 = ax2y
35. Use a derivação implı́cita para achar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
(a) x2 + xy + y2 = 3 (1, 1)
(b) x2 + 2xy − y2 + x = 2 (1, 2)
4
36. Mostre que as curvas dadas são ortogonais.
(a) 2x2 + y2 = 3, x = y2
(b) x2 − y2 = 5, 4x2 + 9y2 = 72
37. Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.
(a) D74senx
(b) D103cos(2x)
(c) D1000xe−x
38. Encontre a derivada das funções f(x) = arccosx e f(x) = arctgx.
39. A função f(x) = x3 − 9x é crescente para x < −
√
3. Se g é a função inversa de f neste intervalo, encontre
g′(0).
40. A função f(x) = x3 − 9x é decrescente para −
√
3 < x <
√
3. Se g é a função inversa de f neste intervalo,
encontre g′(0).
41. A função f(x) = x3 − 9x é crescente para x >
√
3. Se g é a função inversa de f neste intervalo, encontre
g′(0).
42. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 3 e P ′′(2) = 2.
43. Diferencie
(a) y = ln(x2 + 10)
(b) y = log2(1− 3x)
(c) y =
√
xlnx
(d) y = x
√
x
(e) y = x2lnx
(f) y = arcsen(x2)
(g) y = xarctg(3x)
(h) y = e3xarcsen(2x)
(i) y = sen(3x)arctg(4x)
(j) y = e−3x + ln(arctgx)
(k) y = xx
(l) y = xsenx
(m) y = (cosx)x
(n) y = (tgx)1/x
(o) y =
√
xex
2
(x2 + 1)10
(p) y = (senx)ln x
(q) y =
√
x−1
x4+1
44. A equação do movimento é dada por uma partı́cula, onde s está em metros e t, em segundos. Encontre a
velocidade e a aceleração como funções em t, a aceleração depois de 1 segundo e a aceleração no instante
em que a velocidade é 0.
(a) s = 2t3 − 15t2 + 36t+ 2 t ≥ 0
(b) s = 2t3 − 3t2 − 12t t ≥ 0
(c) s = sen(πt/6) + cos(πt/6) 0 ≤ t ≤ 2
45. Utilizando diferenciais (aproximação linear ou linearização), encontre um valor aproximado de 3
√
8, 01.
5
46. Usando a Regra de L’Hospital, calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→2
2x3 − 4x2
3x− 6
(b) lim
x→0
cosx− x2 − 3x− 1
5x
(c) lim
x→−∞
2x2 + 2
5x2 − x+ 9
(d) lim
x→∞
sen (1/2x)
sen (4/x)
(e) lim
x→0
(
1
x
− 1
senx
)
(f) lim
x→0+
(1 + sen(4x))cotgx
(g) lim
x→0+
xx
(h) lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
47. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1
(b) f(x) = x+ 1x
(c) y = xex
(d) y = 2− e−t
(e) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1
(f) y = 3x5 − 5x3
(g) y = x− ex
(h) y = xlnx
48. Estude a função dadacom relação à concavidade e pontos de inflexão
(a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
(b) f(x) = xe−2x
(c) y = xe
1
x
(d) f(x) = x4 − 2x3 + 2x
(e) y = 2x3 − x2 − 4x+ 1
(f) y = t2 + 1t
(g) y = xlnx
49. Determine os valores máximos e mı́nimos (caso existam) da função dada, no intervalo dado.
(a) f(x) = x
4
4 − x
3 − 2x2 + 3 em [−2, 3]
(b) f(x) = 3x2 − 12x+ 5 em [0, 3]
(c) f(x) = x3 − 3x+ 1 em [0, 3]
(d) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 em [−2, 1]
(e) f(x) = x4 − 2x2 + 3 em [−2, 3]
(f) f(x) = (x2 − 1)3 em [−1, 2]
50. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicı́rculo de raio r.
51. Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a menor possı́vel.
52. Encontre as dimensões de um retângulo com um perı́metro de 100m cuja área seja a maior possı́vel.
53. Uma caixa quadrada e sem tampa tem um volume de 32.000cm3. Encontre as dimensões da caixa que
minimizam a quantidade de material usado.
54. Se 1.200cm2 de material estiverem disponı́veis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa,
encontre o maior volume possı́vel da caixa.
55. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicı́rculo.(O diâmetro do se-
micı́rculo é igual à largura do retângulo). Se o perı́metro da janela for 30 pés, encontre as dimensões da
janela que deixam passar a maior quantidade possı́vel de luz.
6
56. Encontre o número no intervalo
(
1
2 , 2
)
, tal que a soma do quadrado desse número com o dobro de seu inverso
multiplicativo, seja a menor possı́vel. Determine essa soma.
57. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de cı́rculo. O raio do cı́rculo aumenta à razão de
0, 5m/min. Determine a taxa á qual a área incendiada está aumentando quano o raio é de 12m.
58. Enche-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 2m3/s. Qual a razão do aumento
de seu raio por unidade de tempo, quando o mesmo atinge o valor de 5m?
59. O diâmetro e altura de um cilindro circular reto são, num determinado instante, 20cm e 40cm, respectiva-
mente. Se a altura crescer a uma taxa de 2cm/min, como variará o raio do cilindro, se seu volume permanecer
constante?
60. Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0, 5cm/s e 0, 4cm/s, respectivamente.
A que taxas estarão variando a área e o perı́metro do retângulo no instante em que x é igual a 40cm e y é
igual a 50cm?
• Além destes, resolver mais alguns dos exercı́cios do livro do Stewart ou do Thomas das seções referentes
a derivada por definição, regras de derivação e aplicações de derivação.
7