Hidrostatica ( resposta 6 quesito da prova) questão 22

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Hidrostática 
Hidrostática 
Hidrostática: parte da Mecânica dos 
Fluidos que estuda o fluido em 
repouso. 
Princípio de Pascal 
Em um fluido parado, a pressão 
exercida sobre uma área aumenta 
de acordo com a altura da coluna 
de líquido sobre a área em estudo. 
Logo: Pb > Pa 
Princípio de Pascal 
P g h  
gdz
dy
dx
Z
Y
X
dm = .d
Balanço de Força de um Elemento Fluido 
Força Resultante = Força de Campo 
+ Força Superficial 
Força de Campo (gravitacional) 
Força Superficial (pressão) 
Aplicando a 2° Lei de Newton 
Princípio de Pascal 
dVgdmgFd
B


dzdydxpFd
S


0gp 

Campo gravitacional 
atua apenas na vertical 
O gradiente de pressão será 
zero nas direções horizontais 
A variação de pressão gerada pela gravidade 
é no sentido e direção da gravidade e todo o 
ponto de um mesmo fluido, com mesma 
altura, tem pressões iguais 
Princípio de Pascal 
0gp 

Pressão absoluta e manométrica 
Manômetro de Membrana 
pmanométrica = pabsoluta - patmosférica 
Exemplo 1 – pág. 22 
1) Manômetros de Bourdon são colocados no sistema dado a seguir. 
Se as pressões manométricas PA, PB e PC forem respectivamente 3,0 
atm, 2,8 atm e 2,0 atm, sabendo-se que a pressão atmosférica é 1 atm 
qual é a pressão absoluta do recipiente A? 
a) 2 atm 
b) 5 atm 
c) 6 atm 
d) 6,8 atm 
e) 8,8 atm 
Resolução - Exemplo 1 – pág. 22 
O manômetro PC mede a pressão de 2 atm acima da atmosférica (1 atm), o 
manômetro PB mede a pressão 2,8 atm acima da pressão PC e o 
manômetro PA mede 3 atm acima do anterior. Logo a pressão absoluta fica: 
P’c = Pc-Patm 
P’b = Pb-Pc 
P’a = Pa-Pb 
 
P’a+ P
’
b+ P
’
c = Pa-Patm 
Pa = P
’
a + P
’
b+ P
’
c +Patm 
 
Pa = 3+2,8+2+1 
Pa =8,8 atm – alternativa e). 
 


P’c = pressão relativa no ponto C, que é a pressão dada pelo 
manômetro de Bourdon (P’c = 2 atm) 
Pa = pressão absoluta no ponto A. 
Exemplo 2 – pág. 22 
2) A figura ao lado representa um tanque 
fechado e pressurizado, exposto ao ar 
atmosférico, contendo ar e óleo (Peso 
específico igual a 8 kN/m³). O tanque 
possui uma janela de inspeção quadrada 
com 0,5 m de lado cuja borda superior está 
localizada 2 m abaixo da superfície do óleo. 
Um manômetro instalado no topo do tanque 
indica uma pressão de 64 kPa. Nessa 
situação, afirma-se que o módulo da força 
resultante (kN) que atua na janela é de: 
a) 19,5 
b) 20 
c) 20,5 
d) 45,5 
e) 82 
Resolução - Exemplo 2 
 A janela se encontra em uma região, onde existe apenas óleo 
 A força resultante atuando sobre a janela pode ser calculada como 
a pressão atuando no meio da janela vezes a sua área. F = P.A. 
Pressão no meio da 
janela 
Distribuição de Pressão na 
Janela 
A pressão no meio da janela é a pressão medida 
pelo manômetro (que está sujeito à pressão 
atmosférica assim como a janela e, portanto 
essa influência se anula na força sobre a janela) 
somada com a coluna de óleo acima dela: ρgh 
Patm g
Resolução - Exemplo 2 
Por que a pressão no meio da janela? 
1) A janela tem largura uniforme; 
2) A janela não está inclinada; 
Pressão no meio da 
janela 
Distribuição de Pressão na 
Janela 
Pressão no meio da 
janela 
0,5m 
0,5m 
0,5m 
0,5m 
Resolução - Exemplo 2 
A força resultante é: 
Alternativa c) 
3 3
3
64 64 10 8 10 2, 25
82 10
P kPa gh Pa Pa
P Pa
      
 
3 282 10 0, 25 20,5F P A Pa m kN     
0,5m 
0,5m 
Manômetros 
Manômetros 
Exemplo 3 – pág. 23 
3) Considere o sistema abaixo: 
Qual a condição que deve existir 
para que a pressão manométrica em 
A seja igual a ? 
 
a) pA >>> pB 
b) pB >>> pA 
c) pA = pB 
d) l1 = l2 
e) l1>>> l2 
2B g l  
Resolução - Exemplo 3 – pág. 23 
A pressão manométrica em B é: 
Por comparação, para obter o 
valor desejado para a pressão em 
A, é preciso que ela seja igual à 
pressão em B. 
Alternativa c). 
2BB
glp 
Exemplo 4 – pág. 24 
4) Uma corrente de solução salina (μ = 1100 kg/m³) tem sua vazão 
medida por um medidor de orifício dotado de manômetro invertido, 
como se verifica no esquema acima. Qual a queda de pressão 
corresponde à leitura manométrica indicada em Pa, sabendo-se que o 
fluido manométrico é um óleo com massa específica igual a 900 kg/m³ 
e que g = 10 m/s²? 
a) 180 
b) 200 
c) 400 
d) 1800 
e) 2200 
Resolução - Exemplo 4 – pág. 24 
Seguindo o procedimento apresentado anteriormente: 
1) Indique cada ponto relevante com um índice. Os pontos importantes 
são os pontos a serem medidos, as interfaces entre 2 fluidos ou pontos 
com a mesma altura de outros pontos. 
A A’ 
B 
1 2 
h 
Os pontos 1 e 2 se referem aos 
pontos a serem medidos. Os 
pontos A e B representam a 
interface entre a solução salina e 
o óleo, e o ponto A’ representa o 
ponto de mesma altura de A e, 
portanto de mesma pressão. 
Resolução - Exemplo 4 – pág. 24 
2) Indique a diferença de pressão entre cada 2 pontos vizinhos 
utilizando o Princípio de Pascal 
A A’ 
B 
1 2 
h 
   2,0hgPP2,0hgPP
2,0gPP2,0gPP
hgPPhgPP
salinaB2salinaB2
óleoABóleoAB
salina1AsalinaA1



Resolução - Exemplo 4 – pág. 24 
3) Some todas as equações que foram encontradas no passo 2. 
 
A A’ 
B 
1 2 
h 
2020
21
,ghg,g
hgPPPPPP
salinasalinaóleo
salinaBABA




Resolução - Exemplo 4 – pág. 24 
4) O lado esquerdo indicará a diferença de pressão entre os pontos a 
serem medidos e o lado direito seu valor numérico. 
A A’ 
B 
1 2 
h 
 
  Pa.,.
,gPP
salinaóleo
40011009002010
20
12

 
Alternativa c) 
Pressão Estática 
Pressão de Estagnação 
Exemplo 5 – pág. 25 
5) O esquema acima descreve um Tubo de Pitot localizado no centro 
de um duto de 200 mm de diâmetro, empregado para transferência de 
gasolina. Considerando o coeficiente do medidor como unitário e a 
razão entre as velocidades média e máxima como 0,8 para o intervalo 
de interesse, a vazão de gasolina, em m³/s, é: 
(Dados: ρÁgua = 1000 kg/m
3 
 ρ gasolina= 667 kg/m
3 
 g = 10m/s²) 
a) 0,025 
b) 0,035 
c) 0,042 
d) 0,050 
e) 0,065 
Resolução - Exemplo 5 – pág. 25 
O tubo de pitot, nesse caso, não apresenta nenhum orifício ou tomada 
que meça a pressão estática; 
 
Pode-se assumir que o equipamento mede apenas a pressão total ou 
de estagnação, que será dada pelo manômetro acoplado ao tubo de 
pitot. 
Pa,..
ghP
.manomOHestag
100010101000
2

 
Resolução - Exemplo 5 – pág. 25 
A pressão estática é dada pela altura da tomada do tubo de pitot até a 
parede do cilindro pela qual passa o instrumento. 
 
O tubo de pitot está medindo no centro do tubo, a altura que deve ser 
utilizada para o cálculo da pressão estática é D/2. 
 
Assim, a pressão estática é dada por: 
Pa,..
D
gP
gasolinaestat
6671010667
2

 
Resolução - Exemplo 5 – pág. 25 
Sabendo que: 
Pestag = Pestat + Pdinam 
e que: 
2
2
1
VP
gasolinadinam

Temos que: 
gasolina
estatestag
)PP(
V



2
s/m
)(
V 1
667
66710002



Resolução - Exemplo 5 – pág. 25 
A partir da informação de que a razão entre a velocidade média e a 
velocidade máxima é 0,8, temos que: 
s/m,,V,
V
V
medio
max
medio 8018080 
Uma vez que o tubo de pitot mede a velocidade no centro do tubo, pode-se 
considerar que a velocidade medida será a máxima. 
 
Por fim, a vazão média de gasolina será: 
s/m,
,
,AVQ
mediagasolina
3
2
0250
4
20
80 

Alternativa a) 
Empuxo e Estabilidade 
hbaixo > hcima 
Utilizando a definição de pressão: 
Temos que: 
Pelo Princípio de Pascal: 
cimacima
ghP 
baixobaixo
ghP 
cimabaixo
PP 
APF
A
F
P 
APF
APF
baixobaixo
cimacima


Empuxo e Estabilidade 
A diferença entre essas duas forças é 
chamada de Empuxo. 
Como há diferença de valor entre as 
pressões, chegamos a: 
cimabaixo
FF 
Empuxo e Estabilidade 
Sendo: 
  AppF
cimabaixoE

  AhhgF
cimabaixoE

AhgF
E

AhV 
imersofluidoEgVF 
Empuxo e Estabilidade 
imersofluidoE
gVF 
Empuxo e Estabilidade 
O empuxo em geral ajuda na estabilidade destes corpos. Isto 
acontece porque o empuxo aplicado pelo fluido no corpo é 
sempre aplicado no centro de massa do fluido deslocado. 
Empuxo e Estabilidade 
Equação para a Estabilidade 
Exercício 3 – pág. 26 
3- Uma pedra de massa 0,2 kg está em equilíbrio, 
totalmente submersa na água e parcialmente 
sustentada por um dinamômetro, que marca 1,5 N. 
Sabendo-se que a densidade da água é 1000 kg/m³ e 
considerando-se que a gravidade local igual a 10 m/s², 
o volume da pedra, em cm³, vale 
 
a)30 
b)35 
c)40 
d)45 
e)50 
 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Petróleo – 2010) 
Resolução - Exercício 3 – pág. 26 
T E 
P 
Diagrama Corpo Livre 
  0F 0PET 
N5,1TEnunciado 
VgE 
mgP 
0mgVg5,1 
]m[10x5
]s/m[10x]m/kg[1000
]N[5,1]s/m[10x]kg[2,0
g
5,1mg
V 35
23
2






Sabendo que 1m3 = 1x106cm3 
Então, V = 50 cm3 Alternativa e) 
Exercício 4 – pág. 27 
4) A figura a cima representa quatro recipientes diferentes preenchidos com um 
mesmo líquido, à mesma temperatura. Sabendo-se que os quatro recipientes estão 
abertos para a atmosfera, conclui-se que a(s) pressão(ões) no fundo do(s) 
recipiente(s) 
 
a)X é maior que no fundo dos demais recipientes. 
b)Y é maior que no fundo dos demais recipientes. 
c)Z é maior que no fundo dos demais recipientes. 
d)Q é maior que no fundo dos demais recipientes. 
e)X,Y,Z e W são iguais. 
(PETROBRAS – Engenheiro de Processamento – 2010) 
Resolução - Exercício 4 – pág. 27 
1) Todos os recipientes têm a mesma altura de fluido 
2) Todos os recipientes estão abertos para a atmosfera 
3) Todos estão preenchidos com o mesmo fluido, à 
mesma temperatura 
hx = hy = hz = hw 
Todos têm Patm 
ρx = ρy = ρz = ρw 
Sabendo que a Pressão no fundo do recipiente é calculado por: 
ghPP
atmfundo

Pelas observações acima, podemos concluir que: 
Px = Py = Pz = Pw 
Alternativa E) 
Exercício 5 – pág. 27 
5) A figura ao lado ilustra um manômetro com tubo em U, muito utilizado para 
medir diferenças de pressão. Considerando que os pesos específicos dos três 
fluidos envolvidos estão indicados na figura por γ1, γ2 e γ3 a diferença de pressão 
PA - PB corresponde a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos 
Mecânico– 2010) 
332211 hhh  
332211 hhh  
113322 hhh  
113322
hhh 
3/)( 332211 hhh  
Resolução - Exercício 5 – pág. 27 
334B33B4
22242242
11A211A2
hPPhPP
hPPhPP
hPPhPP



Aplicando o Principio de Pascal: 
Somando as equações acima, temos: 
332211AB3322114B24A2
hhhPPhhhPPPPPP 
113322BA
hhhPP  Alternativa C) 
Exercício 1 – Pág. 90 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos – 2008) 
1) A diferença de pressões devida ao atrito entre duas seções de uma 
tubulação que conduz água é monitorada por um manômetro de mercúrio, 
conforme mostrado na figura. 
 
Considerando que as massas específicas de água e do mercúrio são ρHg e 
ρH2O, respectivamente, a diferença de pressões PA – PB vale 
 
a) (ρHg – ρH2O)gh 
b) (ρHg + ρH2O)gh 
c) ρHggh 
d) ρH2Ogh 
e) ρHggh/2 
 
Resolução – Exercício 1 – Pág. 90 
h1 
h2 
Pelo esquema, sabe-se que: 
h = h1 – h2 
2 2
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
A H O A H O
B H O B H O
Hg Hg
P P gh P P gh
P P gh P P gh
P P gh P P gh
 
 
 
     
    
    
Aplicando o Principio de Pascal: 
Somando as equações acima: 
2 21 2 1 2 1 2A B H O H O Hg
P P P P P P gh gh gh          
1 
2 
1’ 
1' 1P P
Resolução – Exercício 1 – Pág. 90 
h1 
h2 
Pelo esquema, sabe-se que: 
h = h1 – h2 
 
2 2
2
2
1 2 1 2 1 2
2 1
A B H O H O Hg
A B H O Hg
h
A B Hg H O
P P P P P P gh gh gh
P P g h h gh
P P gh
  
 
 

        
 
    
 
 
  
1 
2 
Alternativa A) 
Exercício 22 – Pág. 100 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos – 2010) 
22) A figura abaixo mostra um manômetro diferencial colocado entre as 
seções P e Q de um tubo horizontal no qual escoa água (peso específico 
igual a 10 kN/m3). A deflexão do mercúrio (peso específico igual a 136 
kN/m³) no manômetro é de 500 mm, sendo o mais baixo dos níveis o mais 
próximo de P. Com base nessas informações, conclui-se que a pressão 
relativa em 
 
a) P excede a pressão relativa em Q em 
6,3 metros de coluna d’água. 
b) P excede a pressão relativa em Q em 
7,3 metros de coluna d’água. 
c) P excede a pressão relativa em Q em 
63 metros de coluna d’água. 
d) Q excede a pressão relativa em P em 
6,3 metros de coluna d’água. 
e) Q excede a pressão relativa em P em 
7,3 metros de coluna d’água 
Resolução – Exercício 22 – Pág. 100 
1. Peso específico da água igual a 10 kN/m3 
2. Peso específico do mercúrio igual a 136 kN/m³ 
3. Deflexão da coluna de mercúrio de 500 mm 
4. O mais baixo dos níveis está mais próximo de P PP > PQ 
 
 
kPa63PP
5,010136PP
hPP
QP
QP
20HHgQP



Para calcular a pressão em coluna da 
água basta dividi-la pelo peso 
específico da água 
 
2 2
/ 63 / 6,3 de coluna d’águaP Q H O H OP P kPa m   
Alternativa A) 
Exercício 23 - Pág. 84 
23) Uma esfera metálica oca flutua com 1/3 do seu volume acima da água. 
Qual a fração de volume da esfera ocupada pelo metal? 
 
Dados: densidade da água ρágua = 1,0 x 10
3 kg/m3 
densidade do metal ρmetal = 8,0 x 10
3 kg/m3 
 
(A) 1,0 
(B) 0,66 
(C) 0,017 
(D) 0,083 
(E) 0 
 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Eng. de Equipamentos Júnior - 
Terminais e Dutos - 2012) 
Volume da Casca 
  0verticalnaForças
PE 
  mgsubmersoVolumeg
água

  gVVV
3
2
g
metalrRRágua







Resolução – Exercício 23 - Pág. 84 
3
3
2 2 1 10
1 1
3 3 8 10
0,917
águar
R metal
r
R
V x
V x
V
V


   
        
  
 Fração da Parte Oca 
Fração da Metal é dada por: 
Alternativa D) 083,0
V
V
V
V
1
V
V
R
Metal
R
r
R
Metal


Resolução – Exercício 23 - Pág. 85 
  gVVV
3
2
g
metalrRRágua







54) Duas pequenas janelas de observação são instaladas em um 
reservatório de água cilíndrico, conforme mostrado na figura. Sendo g a 
aceleração da gravidade local, a diferença entre as pressões atuantes nas 
janelas 2 e 1 (p2 – p1) é 
 
(A) ρH2O gh2 
(B) ρH2O g(h1+h2) 
(C) ρH2O g(h1+h3) 
(D) ρH2O g(h2+h3) 
(E) ρH2O g(h1+h2+h3) 
 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos 
Júnior - Eletrônica - 2012) 
Exercício 54 - Pág. 88 
Pressão Exercida por uma coluna d’água: 
ghP
água

A diferença (p2 - p1) 
   
   
 
2água12
332água12
3água32água12
ghpp
hhhgpp
ghhhgpp



Alternativa A) 
Resolução – Exercício 54 - Pág. 88 
Exercício 27 - Pág. 81 
27) Uma partícula de massa 140,0 g é vista afundando, totalmente 
submersa, em um copo de água, com a aceleração de 7,0 m/s2. 
 
A força de resistência ao movimento, em Newtons, que atua na partícula é: 
Dado: considere g = 10,0 m/s2. 
 
(A) 0,42 
 
(B) 0,98 
 
(C) 1,40 
 
(D) 2,40 
 
(E) 4,60 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos 
Júnior - Mecânica - 2012) 
Alternativa A) 
  amcorponoatuantesForças
 
  20,14 10 7 /
0, 42
r
r
r
Peso Força resistiva m a
Força resistiva Peso m a
F m g a
F kg m s
F N
  
  
 
  

Resolução – Exercício 27 - Pág. 81 
Exercício 20 - Pág. 100 
20) A equação da hidrostática representa o comportamento da 
pressão p, em uma massa fluida incompressível (ρ constante). Nessa 
equação, Δ representa o operador 
a) Divergente e é expresso por 
 
 
b) Divergente e é expresso por 
 
 
c) Gradiente e é expresso por 
 
 
d) Gradiente e é expresso por 
 
 
e) Rotacional e é expresso por 
 
 
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminaise Dutos- 2010) 
0g p   
ˆˆ ˆi j k
x y z
  
 
  
x y z
  
 
  
ˆˆ ˆi j k
x y z
  
 
  
x y z
  
 
  
ˆˆ ˆi j k
x y z
  
 
  
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100 
Vetores unitários e operações vetoriais: 
 
Produto escalar de dois vetores 
 
Produto vetorial de dois vetores 
 
Assim temos: {lembrem-se cos(0°) = 1; cos(90°)=0} 
 
 
 
 
 
Operador vetorial diferencial “nabla” 
 
 
 
( ) cos vwv w vw  
[ ] { sen }vw vwv w vw n 
ˆ ˆ 1i i  ˆ ˆ 1j j  ˆ ˆ 1k k 
ˆ ˆ 0i j  ˆˆ 0j k  ˆ ˆ 0k i 

ˆˆ ˆi j k
x y z
  
   
  
vwn
Vetor 
perpendicular 
a v e w 
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100 
Gradiente é obtido aplicando-se o operador nabla à função e indica o sentido 
e a direção de maior alteração (máximo) no valor de uma quantidade por 
unidade de espaço. 
 
 
 
Divergente é a multiplicação escalar do operador nabla pela função vetorial. É 
um operador que mede magnitude da fonte ou poço/sorvedouro de um campo 
vetorial em um dado ponto. Ele pode ser entendido como o escalar que mede a 
dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto. 
 
 
 
 
ˆˆ ˆp p pp i j k
x y z
  
   
  
 
ˆˆ ˆ , campo vetorial
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
x y z
x y z
yx z
F F i F j F k
F i j k F i F j F k
x y z
FF F
F
x y z
   
   
         
   
 
    
  
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100 
Rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a 
esta função, ou seja, multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela 
função vetorial. Este operador calcula o quanto os vetores de um campo 
vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a uma superfície 
infinitesimal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ˆˆ ˆ campo vetorial
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
Determinante
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
x y z x y
y yx xz z
F F i F j F k
F i j k F i F j F k
x y z
i j k i j
F
x y z x y
F F F F F
F FF FF F
F i j k
y z z x x y
   
   
       
   
    
  
    
       
          
         
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100 
a) Divergente e é expresso por errado 
 
 
b) Divergente e é expresso por errado 
 
 
c) Gradiente e é expresso por certo 
 
 
d) Gradiente e é expresso por errado 
 
 
e) Rotacional e é expresso por errado 
 
 
ˆˆ ˆi j k
x y z
  
 
  
x y z
  
 
  
ˆˆ ˆi j k
x y z
  
 
  
x y z
  
 
  
ˆˆ ˆi j k
x y z
  
 
  
Alternativa C)