REVISÃO GEOMATRIA ESPACIAL 3° ANO EQUIPE 1

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REVISÃO
Matemática
Ensino MÉDIO - 3º Ano
GEOMETRIA espacial
1ª PARTE: 
 GEOMETRIA ESPACIAL BÁSICA E POLIEDROS
PROFESSOR: leonardo campos de souza silva
Geometria espacial
Pontos, retas e planos
Na geometria espacial, são conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
 
retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P2) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semirretas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
Temos que considerar dois casos particulares:
Retas perpendiculares:
 retas ortogonais: 
DETERMINANAÇÃO DE UM PLANO
D
8
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares. Um plano também pode ser determinado por:
a)uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
b)duas retas distintas concorrentes:
c)duas retas paralelas distintas:
Posições relativas da reta e plano
a) reta contida no plano: se uma reta r tem dois pontos distintos num plano  , então r está contida nesse plano:
b) reta concorrente ou incidente ao plano: dizemos que a reta r "fura" o plano   ou que r e   são concorrentes em P quando  . 
c) reta paralela ao plano: se uma reta r e um plano   não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano  ; portanto, r //  . 
Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano   se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de   que passam pelo ponto de intersecção de r e  . 
Note que:
se uma reta r é perpendicular a um plano  , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de  :
Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
c) Planos paralelos
Dois planos,  , são paralelos quando sua intersecção é vazia:
Dois planos,  , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro: 
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano    é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P: 
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano    é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre  : 
Distâncias entre ponto, reta e planos
A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:
Ângulos entre retas e planos
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:
Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
Triedos
Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:
Ângulo poliédrico
Sejam  n ( ) semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semiespaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
a)tetraedro: quatro faces b)pentaedro: cinco faces c)hexaedro: seis faces
d)heptaedro: sete faces e)octaedro: oito faces f)icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares(PLATÃO)
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.Existem cinco poliedros regulares, que são apresentados a seguir:
Relação de Euler: Em um poliedro convexo, vale a fórmula V + F = A + 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
Soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo: S = (V – 2)360o.
1)Um poliedro convexo possui 10 faces triangulares, 10 faces quadrangulares e 1 face decagonal. Determine o número de vértices deste poliedro.
GABARITO:
2)Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices desse poliedro.
GABARITO:
3)Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: 
a) 3240º b) 3640º c) 3840º d) 4000º e) 4060º
4)A figura a seguir representa uma cadeira onde o assento é um paralelogramo perpendicular ao encosto.
A partir dos pontos dados, é correto afirmar que os segmentos de retas
a) CD e EF são paralelos.
b) BD e FJ são concorrentes.
c) AC e CD são coincidentes.
d) AB e EI são perpendiculares
5)  Analise as afirmativas a seguir, relativas à geometria espacial e coloque V nas Verdadeiras  e F nas Falsas.
(    ) Se uma reta está contida em um plano, então toda reta perpendicular a ela será perpendicular ao plano.
(    ) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro.
(    ) Se dois planos distintos são paralelos a uma reta fora deles, então eles são paralelos entre si.
(    ) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA.
a)  F – F – V – V 
b) F – V – V – F 
c) F – F – F – F 
d)  V – F – F – V 
e) V – V – F – F
21
V
2
40
21
V
2
A
F
V
21
F
1
10
10
F
40
A
2
80
A
2
lados
de
total
A
80
lados
de
Total
lados
10
10
x
1
FD
1
.
lados
40
4
x
10
FQ10
.
lados
30
3
x
10
FT
10
=
®
+
=
+
®
+
=
+
=
®
+
+
=
=
®
=
®
=
®
=
=
®
=
®
=
®
8
V
2
13
7
V
2
A
F
V
7
F
1
2
4
F
13
A
2
26
A
2
lados
de
total
A
26
lados
de
Total
lados
6
6
x
1
FH
1
.
lados
8
4
x
2
FQ
2
.
lados
12
3
x
4
FT
4
=
®
+
=
+
®
+
=
+
=
®
+
+
=
=
®
=
®
=
®
=
=
®
=
®
=
®
º
3240
S
º
360
.
9
S
º
360
).
2
11
(
S
º
360
).
2
V
(
S
11
V
2
17
8
V
2
A
F
V
8
F
4
2
2
F
17
A
2
34
A
2
lados
de
total
A
34
lados
de
Total
lados
20
5
x
4
FP
4
.
lados
8
4
x
2
FQ
2
.
lados
6
3
x
2
FT
2
=
®
=
®
-
=
®
-
=
=
®
+
=
+
®
+
=
+
=
®
+
+
=
=
®
=
®
=
®
=
=
®
=
®
=
®