metodologia matematica

Prévia do material em texto

0Aula 1: A Matemática basilar no Ensino Fundamental - abordagem de conteúdos e metodologias
Nesta aula, o diálogo será em torno dos objetivos do ensino da Matemática e de seus conteúdos basilares.
Serão abordadas as diferentes concepções de Matemática presentes na prática docente com o intuito de criar um espaço de reflexão acerca dessa atividade.
Objetivos
Debater sobre o ensino da Matemática;
Identificar conteúdos matemáticos basilares para o Ensino Fundamental.
Palavras iniciais
Iniciaremos esta disciplina relembrando as discussões realizadas sobre o ensino da Matemática e, em seguida, enriqueceremos o debate com o diálogo sobe os conteúdos basilares de Matemática para o Ensino Fundamental.
Já estudamos, em disciplinas anteriores, os documentos norteadores da prática docente no âmbito curricular, que nos servirão de base, juntamente com as teorias sobre aprendizagem. Também trataremos da ética e de outras nuances do processo de ensino-aprendizagem.
Temos como principal norteador a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), elaborada em quatro anos, ao longo dos quais o Ministério da Educação (MEC) coordenou o processo de discussão e elaboração desse documento que irá orientar os rumos da educação básica no país.
Saiba mais
Quer conhecer melhor a BNCC?
http://basenacio nalcomum. mec.gov.br/
Com sua aprovação e homologação, as escolas de todo o país têm agora um documento norteador que irá orientar a construção do currículo escolar, respeitando as especificidades locais, para toda a educação básica.
É necessário compreender que esse documento é fruto de muitos debates, mas também de um grande processo de negociações com os diferentes atores do meio educacional e da sociedade brasileira. Muitas foram as mudanças – umas boas; outras, nem tanto – mas dispomos agora de um documento de extrema valia para o trabalho em educação.
Trata-se de um documento plural e contemporâneo, que reflete as experiências mundiais em educação. As redes de ensino e instituições escolares públicas e particulares passaram a ter uma referência nacional comum para a elaboração de seus currículos e propostas pedagógicas.
Mas, afinal, o que se espera disso?
Prevista na Constituição de 1988, na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, de 1996, e no Plano Nacional de Educação, de 2014, a BNCC expressa o compromisso do Estado brasileiro com a promoção de uma educação integral e com o desenvolvimento pleno dos estudantes, visando ao acolhimento com respeito às diferenças.
As ideias básicas contidas nesse documento, no que se refere à Matemática, refletem, muito mais do que uma mera mudança de conteúdo, uma mudança de filosofia de ensino e de aprendizagem, como não poderia deixar de ser. Nesse sentido, apontam para a necessidade de mudanças urgentes não só sobre o que ensinar, mas, principalmente, sobre como ensinar e avaliar e, ainda, como organizar as situações de ensino e de aprendizagem.
A BNCC, ao estabelecer as competências e habilidades direcionadas aos estudantes durante seu percurso escolar, acaba por demandar uma inovação no trabalho com os currículos, o que irá exigir dos educadores um pensamento interdisciplinar sobre trabalhar os diferentes conteúdos.
(Fonte: Shutterstock).
Comentário
Você, como futuro professor, terá que, norteado por esse documento, garantir que os estudantes tenham o direito de aprendizagem expressa por essas competências e habilidades. A abordagem por competências e habilidades, conforme expressa na BNCC, defende a formação de um estudante que aprenda a aprender continuamente, que se envolva em vivências práticas, compreendendo as questões cada vez mais complexas ao longo de seu processo formativo.
As competências trazem ainda a possibilidade, como direito do estudante, de uma formação pautada na ética, com base em valores claros, compartilhados socialmente e fundamentados em situações diversas, vivenciadas pelos estudantes. A ideia é que poderão aprender no convívio, e com os modelos de relacionamento, a lidar com as diferenças, a respeitar, a argumentar, a cuidar de si e do outro, a esperar, a se comprometer consigo e com o grupo, entre outras competências.
É necessário que compreendamos que nesse ambiente, no entanto, também se podem aprender o desrespeito, a violência, a dissimulação e a injustiça, conforme a própria BNCC nos alerta.
Educar e fazer escolhas
Para cada ato, precisamos nos perguntar: qual o objetivo da aprendizagem? Por que estamos ensinando? Você deve estar se questionando sobre o tamanho da responsabilidade.
Como educadores, temos uma responsabilidade imensurável, pois quando ensinamos, quando estamos na escola, quando recebemos os estudantes e suas famílias, deixamos claro que confiamos em sua capacidade, que estamos disponíveis para auxiliar aqueles que apresentam maior dificuldade e que os acolhemos e os respeitamos independentemente de suas realidades e vivências.
Comentário
Nós, educadores, bem como a maioria dos profissionais, precisamos ser guiados pela ética, buscando sempre fazer o melhor, que é o que se espera de nós. A BNCC aponta um caminho a ser percorrido nesse sentido.
Segundo a BNCC, a aprendizagem é um processo contínuo, que ocorrerá durante toda a vida do indivíduo. Assim, os desenvolvimentos cognitivos, emocionais, físicos e sociais acabam por consistir em uma transformação que pode alterar a maneira desse sujeito compreender e realizar suas interações com o mundo, com os outros e consigo.
Ainda conforme esse documento, é papel da escola ensinar, gerando situações que auxiliem os estudantes no desenvolvimento da empatia e do compromisso ético:
"Atuar com compromisso ético na Educação pressupõe gerar condições para que as crianças e os jovens aprendam e tenham liberdade de escolha sobre o que fazer e sobre como e onde viver. O ambiente escolar e as situações didáticas devem estar direcionados para que todos desenvolvam as competências específicas e gerais por meio da aprendizagem das habilidades preconizadas na BNCC. Na escola, na sala de aula, os educadores são os guardiões das aprendizagens e referência para que cada aluno também aprenda o que é ter compromisso ético em seu trabalho e em sua vida independentemente das circunstâncias que enfrentem. "
- (BNCC, p. 12.)
O ensino da Matemática tem como objetivo ser um meio facilitador para a estruturação e o desenvolvimento do pensamento de nossos estudantes e para a formação básica de sua cidadania.
"Falar em formação básica para a cidadania significa falar em inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura, no âmbito da sociedade brasileira. "
- (MEC/SEF, 1997.)
Podemos, então, fazer uma referência à pluralidade étnica existente no Brasil, à diversidade e à riqueza do conhecimento encontrado em sala de aula, trazido por nossos estudantes e como resultado de suas vivências. Essa ideia é corroborada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs1 - 1996), que serviram como base para todo o planejamento durante o período que antecedeu a BNCC.
Na BNCC, fica evidenciada a orientação de se organizar as situações de ensino-aprendizagem, privilegiando as conexões com as diferentes áreas da Matemática e as interconexões com as demais áreas do conhecimento, perspectiva que favorece uma visão mais integrada e menos compartimentalizada da disciplina.
O documento abrange ainda o trabalho com outros temas:
Ética; saúde; Meio ambiente; Pluralidade cultural e Orientação sexual.
Saiba mais
A palavra ética é derivada do grego e significa reunião das normas de valor moral presentes numa pessoa, sociedade ou grupo social, logo, podemos defini-la como moral. Precisamos compreender que a ética e a cidadania (condição de quem possui direitos civis, políticos e sociais, que garante a participação na vida política) são dois dos conceitos considerados basilares para nossa sociedade.
Assim, o processo de ensino e aprendizagem em todas as áreas, e não somente na Matemática, orienta sobre a necessidade de o professor trabalhar cada vez mais com colegas de outras disciplinas. Essa interação permitirá que osprojetos desenvolvidos sejam mais interessantes e voltados para a realidade dos estudantes.
As ideias apresentadas não são novas para quem pesquisa e acompanha as tendências da educação matemática no mundo. Muitos países já passaram por essas reformulações, com maior ou menor grau de sucesso.
Cabe a você, como futuro educador matemático, realizar um estudo aprofundado da BNCC a fim de colaborar com o uso adequado das orientações contidas nos documentos norteadores em sala de aula. Dessa forma, será capaz de assegurar o melhor entendimento dos conteúdos propostos.
A BNCC prioriza o desenvolvimento da competência, substantivo feminino com origem no termo em latim competere, que significa aptidão para cumprir alguma tarefa ou função.
Nesse contexto, uma discussão conceitual sobre as competências e habilidades pode ser pensada, considerando a concepção assumida no documento do Exame Nacional do Ensino Médio (1997): As competências seriam, nesse caso, a sistematização da inteligência, o que nos leva ao entendimento de que são as ações e operações que utilizamos para estabelecer relações com os objetos, ao vivenciarmos as diferentes situações ou fenômenos. Já as habilidades são oriundas das competências adquiridas do saber fazer. Por meio das ações e operações, as habilidades aperfeiçoam-se e articulam-se, possibilitando nova reorganização das competências. Essa caracterização é da competência, que se diferencia da de conteúdo. A competência, nessa formulação (ENEM), diz respeito ao que o aluno pode fazer com os conteúdos, como os interpreta, além de como utiliza-os juntamente com outros.
Perrenoud (1999) define competência como sendo uma capacidade de agir eficazmente em um determinado tipo de situação, apoiada em conhecimentos, mas sem limitar-se a eles. Para o autor, o enfrentamento de uma situação de forma positiva possui implicações que envolvem todos os nossos diversos recursos cognitivos.
A habilidade seria, então, um complemento para cada competência, o que significa que o estudante deverá desenvolver várias habilidades para o desenvolvimento de uma competência.
Exemplo
Um exemplo simples e prático é o da competência para dirigir um automóvel, que requer habilidades como interpretar a sinalização de trânsito, operar o veículo e possuir noções de distância.
Nesse sentido, Machado (2010) assinala que a palavra competência vem do grego e tem a mesma raiz etimológica da palavra competição, do verbo competere, que significa esforço. Na educação, é oportuno observar que as análises do ensino por competências e habilidades precisam que um sistema avaliativo seja adotado pela escola com finalidade formativa ou somativa.
A avaliação formativa ocorre em sala de aula e busca observar o que o aluno aprendeu ao longo do processo de ensino-aprendizagem. Esse tipo de avaliação é, segundo Fernandes (2009), da responsabilidade exclusiva dos professores e das escolas.
"[...] a ideia que prevalecia era a de que a avaliação seria uma questão essencialmente técnica que, por meio de testes bem construídos, permitiria medir, com rigor e isenção, as aprendizagens dos alunos. " - FERNANDES, 2009
A BNCC relaciona 10 competências gerais, que deverão ser trabalhadas em cada uma das áreas de conhecimento – Linguagens, Matemática, Ciências Humanas, Ciências da Natureza e Ensino Religioso – além de construídas por habilidades desenvolvidas a partir de atividades em sala de aula. São elas:
• Conhecimento: valorização e utilização de conhecimentos de mundo, incentivando o entendimento por meio de explicações sobre a realidade macro e micro que cerca o estudante;
• Pensamento científico, crítico e criativo: incentivo à criatividade e à criticidade;
• Repertório cultural: valorização das diversas manifestações e formas artísticas e culturais, além do incentivo à participação de práticas diversificadas da produção artístico-cultural;
• Comunicação: valorização e uso de diferentes linguagens, incentivando a expressão e a partilha de informações, experiências, ideias e sentimentos;
• Cultura digital: incentivo à utilização e à criação de tecnologias digitais de forma crítica, significativa e ética;
• Trabalho e projeto de vida: incentivo à valorização e à apropriação de conhecimentos e experiências;
• Argumentação: incentivo à argumentação com base em fatos, dados e informações confiáveis;
• Autoconhecimento e autocuidado: incentivo ao autoconhecimento para compreender-se na diversidade humana;
• Empatia e cooperação: incentivo à empatia, ao diálogo, à resolução de conflitos e à cooperação;
• Responsabilidade e cidadania: incentivo a agir pessoal e coletivamente com autonomia.
Para facilitar a compreensão dos conceitos apresentados pela BNCC, todo o conteúdo é organizado em unidades temáticas. Os objetos de conhecimento podem ser entendidos como os principais conteúdos, conceitos e processos que serão trabalhados dentro de cada unidade temática. Por fim, as habilidades são as aptidões que o estudante irá desenvolver no estudo de determinado objeto de conhecimento. Segundo a BNCC, temos competências específicas da Matemática no Ensino Fundamental:
1 Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho
2 Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo
3 Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções
4 Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes
5 Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados
6 Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados)
7 Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza
8 Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Cabe ainda discutir o papel dos conteúdos do ensino sob a ótica da aprendizagem, não como fins de ensino, mas como meio para atingir objetivos educacionais não se limitando a instruir, no sentido do ensino por pesquisa e do incentivo a trabalhar questões relativas ao cotidiano do estudante e seus interesses pessoais. Isso implica uma mudança de atitude que cabe ao professor promover ao realçar o papel do aluno na construção do seu conhecimento, com base no construtivismo e no desenvolvimento pessoal e social dos estudantes.
Essa perspectiva de ensinorequer alterações profundas no processo de ensino-aprendizagem, envolvendo abordagem de situações-problema, pluralismo metodológico e necessidade de uma avaliação formadora.
Conteúdos basilares- Definiremos aqui que os conteúdos basilares são aqueles que influenciam de forma mais evidente a aprendizagem da sequência estabelecida nos conteúdos programáticos ou nos objetos de conhecimento.
Exemplo
As quatro operações fundamentais em Matemática são essenciais para o processo de ensino-aprendizagem porque permearão todos os outros conteúdos ou objetos de conhecimento, como definido na BNCC.
Podemos citar alguns dos principais conteúdos da Matemática básica:
Adição e subtração de números naturais;
Multiplicação e divisão de números naturais;
Números primos e compostos;
Mínimo múltiplo comum – MMC;
Máximo divisor comum – MDC;
Divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10;
Operações com frações;
Razão e proporção;
Regra de três;
Porcentagem;
Potenciação;
Equações do primeiro grau.
Aula 2: Operações de adição e subtração - discussões metodológicas
Trabalharemos a importância e os fundamentos da adição e da subtração como conteúdo basilar para o ensino da Matemática, com enfoque metodológico diferenciado.
Objetivos
Identificar conceitos basilares de matemática com enfoque metodológico;
Reconhecer a importância do ensino de adição e subtração.
As operações fundamentais e seu significado
Quando ensinamos Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, uma boa parte do tempo é usada para tratar das quatro operações. O objetivo é fazer as crianças aprenderem a fazer contas e a resolver problemas, usando as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão.
A segunda parte do objetivo, isto é, resolver problemas, é a mais importante. As contas podem ser feitas por calculadoras, mas nenhuma máquina é capaz de entender uma situação-problema e nos dizer que operação (ou operações) deve ser feita para achar a solução.
No entanto, sabemos que muitos alunos têm dificuldades para resolver problemas. Todos nós, professores, estamos acostumados a lidar com crianças que leem um problema e vêm nos perguntar: é um problema de mais ou de vezes?
Essas crianças não sabem qual operação usar. Provavelmente, elas não entendem as operações, não sabem seus significados.
O que queremos dizer com a expressão significados das operações?
Vamos entender que o conhecimento das operações não se limita a saber fazer as contas, pois é necessário que o aluno também compreenda o significado de cada operação para que possa aplicá-las, com segurança, em situações-problema que surjam em seu convívio social.
Alguns professores ensinam os significados das operações, levando as crianças a decorar palavras-chave.
Exemplo
Eles dizem aos alunos que devem subtrair sempre que aparecer a expressão quanto falta num problema. Esse método pode dar algum resultado, mas acaba sendo nocivo para as crianças. Primeiro, porque elas aprendem como papagaio, sem desenvolver seu raciocínio. Em segundo lugar, porque terão que decorar muita coisa e acabarão ficando confusas.
A melhor maneira de fazermos com que os alunos aprendam é fazê-los pensar sobre as operações e descobrir seus significados por si mesmos. Para tanto, torna-se necessário que o educador elabore situações-problema que estejam próximas da realidade de seus educandos para que eles se sintam motivados a resolvê-las, associando o conhecimento matemático empírico ao conhecimento sistematizado, que a escola deve ensinar.
Assim, é fundamental para nós, educadores, trazermos para a sala de aula as experiências acumuladas pelos alunos em suas práticas diárias e estimularmos a externarem seus pensamentos por meio da troca de experiências com colegas e professor, no sentido de evitar que as “contas“ trabalhadas na sala de aula se tornem vazias de significados, por estarem fora de contexto.
Ideias presentes em cada operação
Todas as quatro operações têm mais de um significado, ou mais de um uso. Isso precisa ser conhecido para saber qual operação empregar na resolução de um problema. As crianças não precisam saber explicar para que serve cada operação, mas precisam identificar quando cada uma deve ser usada.
Para exemplificar as ideias de cada operação, apresentaremos alguns modelos de problemas encontrados em livros didáticos, sem nos preocuparmos com uma apreciação crítica desses enunciados.
Ideias básicas da adição
Primeiro contar e depois adicionar?
É bastante comum a opinião de que, primeiro, a criança deve aprender a contar e escrever números para, depois, aprender as operações. No caso da adição, essa concepção só em parte é verdadeira. Veja:
Na formação da sequência numérica usada na contagem, está presente a ideia de "somar um":
Em geral, o nome de um número já traz embutida a ideia da adição:
Dezoito significa dez e oito, ou seja, dez mais oito, 18 = 10 + 8;
432 = 400 + 30 + 2, quatrocentos e trinta e dois.
A adição está associada às ideias de juntar, reunir e acrescentar, que são intuitivas. Essas ideias, que adquirimos na vida e levamos para a escola, constituem o ponto de partida para o aprendizado da adição que, como vimos, está presente na construção de um dos números do sistema de numeração decimal. Não é verdade, portanto, que primeiro se deve aprender os números para, depois, aprender a adicionar.
Vamos observar estes problemas:
Sobre a mesa, há 15 livros e, no armário, 3 livros. Reunindo todos os livros numa prateleira, quantos livros teremos?
Tenho 15 livros de estórias. Se no meu aniversário eu ganhar outros 3 livros, com quantos livros ficarei?
Para resolver tanto um quanto outro problema, o algoritmo a ser feito é o mesmo.
15 + 3 = 18 ou 15+31815 + 3 = 18 ou 15+318
No entanto, o raciocínio em cada uma das duas situações é diferente: o primeiro problema corresponde à ideia de juntar duas quantidades e o segundo diz respeito à ideia de acrescentar uma quantidade à outra já colocada.
Para o aprofundamento progressivo do estudo da adição e das demais operações, é necessário compreender bem as regras básicas do sistema de numeração decimal. Sem essa compreensão, é bem mais difícil entender, por exemplo, como funcionam os processos de cálculo que usamos habitualmente.
Qual o momento da subtração? Ou quando os estudantes precisarão subtrair?
Vimos que a adição está associada às ideias intuitivas de juntar, reunir, acrescentar. Nesse sentido, podemos dizer que a adição é uma operação bastante natural. De um modo geral, não há dificuldades para identificar as situações que envolvem a adição. Entretanto, o mesmo não se passa com a subtração.
Em geral, é mais difícil a criança identificar a presença da subtração nos problemas. Qual será a razão dessa dificuldade? Ela está no fato de que, geralmente, associamos a subtração apenas ao ato de retirar, mas há outras duas situações que também estão relacionadas com a subtração: os atos de comparar e de completar.
Vamos exemplificar cada uma das três situações.
Ideias básicas da subtração
Problema que envolve o ato de retirar- Quando Oswaldo abriu a papelaria pela manhã, havia 56 cadernos na prateleira. Durante o dia, vendeu 13. Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na prateleira? Ao resolver este problema, pensamos assim: dos 56 cadernos, tiramos 13. Para saber quantos ficaram, fazemos uma subtração: 56 - 13 = 43. No final, havia 43 cadernos na prateleira.
Problema que envolve comparação- João pesa 36 quilos, e Luís, 70 quilos. Quantos quilos Luís tem a mais que João?
Essa pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luís é mais pesado que João, queremos saber quantos quilos a mais ele tem. Respondemos à pergunta efetuando uma subtração: 70 - 36 = 34. Luís tem 34 quilos a mais que João.
Problema que envolve a ideia de completar- O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43. Quantas faltam?
Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum, pensamos numa subtração:
60 - 43 = 17. Faltam 17 figurinhas.
Opção 04- teste
Pode ser difícil estabelecer distinção entre essas três situações. De certo modo, elas se confundem, namedida em que todas podem ser resolvidas com base na mesma operação: a subtração. Entretanto, há uma diferença sutil entre elas.
Consideremos o primeiro problema.
É um caso em que é possível pensar no ato de empilhar 56 cadernos, retirar 13 e contar quantos sobraram. Em problemas desse tipo, não há dificuldade para identificar a subtração.
Entretanto, no segundo problema, que significado há em tirar os 36 quilos de João dos 70 quilos de Luís? Concretamente essa operação não pode ser realizada. Podemos apenas efetuar uma comparação dos pesos, verificando quantos quilos a mais tem João.
Vamos agora ao problema do álbum de figurinhas. Também não faz sentido tirar 43 figurinhas dos 60 lugares vazios do álbum. Em problemas como esse, é comum raciocinar pensando em quanto falta para completar uma certa quantidade: se já possuo 43 figurinhas, quantas faltam para completar 60? Note que a ideia envolvida é a de juntar, acrescentar. O cálculo pode até ser feito por etapas, para facilitar: Tenho 43, junto mais 7, fico com 50; tenho 50; junto mais 10; completo as 60 figurinhas. Logo, preciso de 10 + 7 = 17 figurinhas.
Exemplo
A ideia de completar ou de "quanto falta para" leva naturalmente à adição. Isso é o que fazem, em geral, os caixas de lojas e os comerciantes quando dão o troco.
Por exemplo, numa compra de 2,70 reais em que o freguês paga com uma nota de 5,00 reais, o caixa dá 10 centavos e diz 2,80; dá mais 10, e diz 2,90; dá mais 10 e diz 3,00; dá mais 1,00, diz 4,00 e, finalmente, dá mais 1,00 e diz 5,00 reais.
Por fim, precisamos compreender que o entendimento dessas bases metodológicas trará a você, professor, um arcabouço teórico para um trabalho mais bem fundamentado em Matemática no Ensino Fundamental.
Aula 3: Operações de multiplicação e divisão - discussões metodológicas
Reconheceremos a importância e os fundamentos da multiplicação e da divisão como conteúdo basilar para o ensino da Matemática, com enfoque metodológico diferenciado.
Objetivos
Definir frações;
Aplicar operações de multiplicação e divisão.
Primórdios da matemática
Não existe vestígio do uso de frações pelos homens da Idade da Pedra, mas, durante a Idade do Bronze, à medida que as culturas se desenvolviam, parece ter havido a necessidade do conceito e, mais tarde, da representação das frações.
Historicamente, o Homem introduziu as frações quando sentiu necessidade de realizar medições.
As antigas civilizações necessitavam representar as medidas das terras que margeavam os principais rios para a sobrevivência desses povos. Assim sendo, uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo subiam muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo das suas margens. Quando as águas baixavam, restava descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo.
Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado. Sesóstris, o rei, repartiu essas valiosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava para marcar os limites do seu terreno.
Eles usavam cordas para fazer a medição, havendo uma unidade de medida assinalada na própria corda. Os encarregados de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, motivo pelo qual essas pessoas ficaram conhecidas como estiradores de cordas.
No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.

(Fonte: Shutterstock).
ondemand_videoVídeo.
Saiba mais
Curiosidades sobre terminologias:
• Meia três-quartos: diz-se da meia que chega quase ao joelho. Ela cobre aproximadamente três quartos da distância do joelho até o pé.
• Rezar o Terço: o Terço é 1/3 do Rosário. O Santo Rosário é um colar de 165 contas correspondentes a 15 dezenas de Ave-Marias e 15 Padre-nossos. Os fiéis que rezavam essa grande quantidade de orações usavam as contas do Rosário para não errarem o número de orações. O Terço também é um colar de contas, correspondendo a 5 dezenas de Ave-Marias e 5 Padre-nossos, ou seja, 1/3 do Rosário.
• “Vá para os quintos!”: Mandar para os quintos é mandar para longe, para o inferno. A origem da expressão é muito antiga: quando o Brasil pertencia aos portugueses, estes cobravam um imposto que correspondia a 1/5 do ouro extraído. O imposto era enviado a Portugal no chamado "navio dos quintos", que passou a significar um navio que ia para muito longe, quem sabe até o inferno.
Representação das frações
Uma fração é sempre representada por dois números naturais:
2828
Numerador e Denominador
Essas designações têm razão de ser: denominador significa "aquele que dá o nome" (no exemplo acima, estamos lidando com "meios") e numerador significa "aquele que dá o número de partes consideradas". Portanto, os nomes das frações dependem do número de partes em que a unidade é dividida e do número de partes que estamos considerando.
Vejamos alguns exemplos:
 (Fonte: Shutterstock).
Representações recentes
1212
A barra foi introduzida por árabes do século XIII, que copiavam o esquema numerador sobre denominador utilizado na Índia. O matemático italiano Fibonacci (1175-1250) foi o primeiro europeu a usar o traço.
1/21/2
O traço diagonal surgiu por uma necessidade da imprensa. Ao publicar uma fração, era preciso montar tipos em três andares. Tipógrafos mexicanos foram os primeiros a usar a barra na diagonal, em 1784.
Frações de grandezas discretas e frações de grandezas contínuas
 (Fonte: Shutterstock).
Consideremos um gostoso bolo de chocolate, dividido em 3 fatias de igual tamanho, sendo cada uma dessas fatias, correspondente a 1/3 do bolo.
Consideremos, agora, uma classe com 36 alunos.
Qual o significado da fração 1/3 desses alunos?
Devemos dividir os alunos dessa classe em 3 grupos, sendo que cada grupo deverá ter a mesma quantidade de alunos. Como 36: 3 = 12, cada um dos grupos deverá ter 12 alunos e, consequentemente, 1/3 dos alunos dessa classe corresponde a 12 alunos.
No caso do bolo, que pode ser dividido em fatias de qualquer tamanho (e ainda conservar características de bolo), temos uma grandeza contínua. No caso de uma classe de alunos, temos uma grandeza discreta ou descontínua, uma vez que alunos só podem ser contados um a um.
Veja, porém, que em ambos os casos a ideia de fração se prende ao ato de dividir o todo em partes iguais e considerar uma ou mais unidades fracionárias.
No caso de quantidades contínuas, isto é sempre possível e, assim, podemos ter as mais variadas frações do bolo. No entanto, no caso de uma grandeza discreta, como a classe de alunos, não é possível considerarmos, por exemplo, frações como 3/8 ou 2/5 dessa classe, pois não podemos dividir igualmente 36 alunos em grupos de 8 ou de 5, senão sobrarão alunos.
Dica
Só podemos associar frações a grandezas discretas quando é possível dividir essa grandeza em subgrupos com o mesmo número de elementos, em que o número de subgrupos é igual ao denominador da fração a ele associada. Nesse caso, não devem sobrar elementos.
Abordagem metodológica no ensino de frações
Ao abordarmos o estudo das frações, é fundamental que trabalhemos com situações-problema associadas à divisão, tanto como ideia de repartição equitativa de grandezas discretas quanto como ideia de medida – grandezas contínuas –, de modo que os alunos percebam a ligação entre números naturais e frações, como também para tornar evidente a noção de um novo campo numérico: os conjuntos fracionários.
O estudo de equivalência entre frações é essencial, não só para o próprio conceito de número fracionário enquanto uma classe de equivalência, como também para o entendimento das operações com números fracionários. Assim sendo, é necessário que trabalhemos a equivalência de frações pormeio de experiências diversas, utilizando material concreto tanto de natureza contínua como de natureza discreta.
Relembrando alguns conceitos básicos
Qual é a unidade?
Frações maiores que a unidade
A mesma parte com escritas diferentes
Aula 4: A Matemática basilar no Ensino Fundamental - anos finais
Abordaremos a importância do ensino de frações.
Objetivo
Ilustrar conceitos basilares de matemática com enfoque metodológico;
Reconhecer a importância do ensino das operações de multiplicação e divisão.
As ideias básicas da multiplicação
Na maioria das salas de aula, a multiplicação é apresentada aos alunos como sendo uma maneira mais rápida de adicionar parcelas iguais. Nesse caso, a multiplicação é entendida como sendo um caso particular da adição, na qual, como todas as parcelas são iguais, podemos escrevê-la na forma de produto.
Exemplo
Por exemplo, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 pode ser representada por 2 x 5 = 10, onde o multiplicador (5) indica quantas vezes a parcela igual (2) se repetiu na adição.
Se analisarmos o exemplo acima, vamos ver que a multiplicação realmente simplifica a adição, porém, também introduz um conceito de operador (5), o qual não aparece na adição, que gerou a multiplicação.
Em toda multiplicação, o aluno opera de forma abstrata com o multiplicador, uma vez que não é concreto. No nosso exemplo, não há cinco laranjas ou cinco bananas, ou cinco elementos quaisquer, mas há grupos, cada um com uma quantidade igual a dois elementos. Portanto, ao mesmo tempo em que pensamos no número de elementos de cada grupo, temos também de pensar na quantidade de grupos.
É importante, entretanto, que o aluno compreenda a estreita relação entre a multiplicação e a adição. Assim, ao ler o número 567, por exemplo, dizemos quinhentos e sessenta e sete, onde quinhentos significa cinco vezes cem; sessenta é seis vezes dez. A multiplicação está presente, portanto, na nossa maneira de escrever os números no nosso dia a dia e nem sempre temos consciência disso.
No entanto, essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam outras situações relacionadas à multiplicação, mas apenas aquelas que são essencialmente situações aditivas. Há também outras situações que estão relacionadas à multiplicação e que devem estar presentes em situações de aprendizagem.
A organização retangular
Considere estes problemas:
a) Márcio, o marceneiro, fez um armário cheio de gavetas:
Quantas são as gavetas?
b) Jurandir já assentou a primeira fileira e a primeira coluna de azulejos na parede da cozinha. Veja:
Quantos azulejos serão gastos para revestir a parede toda?
Você pode resolver o primeiro problema contando as gavetas uma a uma, mas há de concordar que é um pouco trabalhoso. E, usando a contagem, o segundo problema fica mais difícil, pois não vemos todos os azulejos. Os dois problemas podem, no entanto, serem resolvidos com o uso da multiplicação.
No problema do gaveteiro, você pode ver que cada fileira de gavetas contém 10 gavetas e que todas as fileiras têm a mesma quantidade de gavetas:
Como há 7 fileiras de gavetas, o total é:
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 107 parcelas iguais= 7 x 10 =710 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10⏟7 parcelas iguais= 7 x 10 =7
A resolução que acabamos de ver mostra que a multiplicação nos permite encontrar o total de objetos organizados numa disposição retangular, como é o caso das gavetas.
Usando o mesmo raciocínio, resolve-se o problema dos azulejos: Cada fileira tem 22 azulejos; são 12 fileiras; total de azulejos: 12 x 22 = 264.
Observando esses dois exemplos, verificamos que a organização retangular equivale à ideia de repetição de parcelas iguais.
Observe a formação de soldados. Como saber o total de soldados, sem contar um por um?
Já observamos que é comum a criança conhecer a multiplicação a partir da adição de parcelas iguais. Mas, mais tarde, elas devem também relacionar a multiplicação diretamente com os arranjos retangulares.
Os arranjos retangulares são importantes, primeiro porque são muito comuns no dia a dia:
Em segundo lugar, eles facilitam a percepção de certas propriedades da multiplicação. Vamos ver um exemplo.
Nesta figura, pode-se encontrar o total de quadradinhos fazendo 3 x 6 = 18, pois temos 6 fileiras de 6.
Mas também é correto encontrar o total fazendo 6 x 3 = 18, pois há 6 colunas de 3.
Conclui-se que a ordem dos fatores não altera o produto, pois tanto 3 x 6 como 6 x 3 resultam em 18. Esse fato é conhecido como propriedade comutativa da multiplicação. Comutar significa trocar; no caso, troca-se a ordem dos fatores.
Há ainda outra razão importante que justifica a ênfase nos problemas que envolvem a organização retangular: eles facilitarão, posteriormente, o cálculo de áreas.
Quadradinho unitário
A área do retângulo de lados 3 e 5 é igual a 3 x 5 (ou 5 x 3), pois este é o número de quadradinhos unitários que cabem em seu interior.
A área do quadrado de lado 4 é igual a 4 x 4, pois no seu interior cabem 4 x 4 quadradinhos unitários.
A área desta figura é igual a 31 porque cabem 31 quadradinhos unitários no seu interior.
Para trabalhar a multiplicação utilizando a ideia de organização retangular podemos utilizar papéis quadriculados, escrevendo de várias maneiras diferentes o número de quadradinhos de cada figura.
• 2 + 2 + 2 + 2 + 2
• 5 x 2
• 5 + 5
• 2 x 5
• 3 + 3 + 3 + 6 + 6
• 3 x 3 + 2 x 6
• 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5
• 3 x 2 + 3 x 5
O raciocínio combinatório
Dado o problema:
Os sanduíches da padaria Regência são famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3 tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano. Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto ou mortadela. Quantos tipos de sanduíche a padaria oferece?
Raciocinando:
Quem encontra pela primeira vez esse tipo de problema pode não perceber que se trata de uma situação que envolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar de forma desorganizada algumas combinações de pão com recheio. Vejamos como o problema pode ser resolvido.
Para todas as combinações possíveis, precisamos pensar de maneira organizada. Isto pode ser alcançado, por exemplo, com a ajuda de uma tabela retangular:
Salame	Queijo	Presunto	Mortadela
Pão de forma	Pão de forma com salame	Pão de forma com queijo	Pão de forma com presunto	Pão de forma com mortadela
Pão francês	Pão francês com salame	Pão francês com queijo	Pão francês com presunto	Pão francês com mortadela
Pão italiano	Pão italiano com salame	Pão italiano com queijo	Pão italiano com presunto	Pão italiano com mortadela
Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo:
Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore (deitada), é conhecido com árvore das possibilidades. Tanto com a tabela retangular como com a árvore das Possibilidades, podemos obter a solução do problema: contamos os tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos.
O que não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação. Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pão temos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, os sanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12. Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheio para obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de raciocínio combinatório, o qual leva à multiplicação.
Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de desenho do raciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 galhos iniciais saem outros 4, dando um total de 12.
Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, como no caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação. Mas quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginou desenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios?
Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.
Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número,não pode haver repetição de algarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantos números podem ser escritos nestas condições?
Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginar escrevendo um número de três algarismos, obedecendo às restrições mencionadas no problema. Ao escrever o algarismo das centenas, temos 3 possibilidades:
Ao escrevermos o algarismo das dezenas, não podemos usar aquele que já foi usado nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenas, temos duas maneiras de escolher o das dezenas.
Ao escrever o algarismo das unidades, não podemos repetir nenhum dos dois que já foram usados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os dois primeiros algarismos, temos uma só escolha para o último dígito.
Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.
No aprendizado da multiplicação, os problemas combinatórios são um item importante. No entanto, em muitos desses problemas é difícil perceber a presença da multiplicação. Sugerimos então que, primeiramente, os alunos usem tabelas ou a árvore de possibilidades, até descobrirem que podem resolvê-los utilizando a multiplicação.
Além dessas ideias, existem situações-problema bastante frequentes no nosso cotidiano que estão associadas à multiplicação envolvendo a ideia de proporcionalidade.
Exemplo
Se um tablete de chocolate custa R$ 2,30, quanto paguei por três desses chocolates? Para resolver esse problema é necessário que o aluno compreenda que vai comprar o triplo de chocolate e deverá pagar o triplo do valor de um chocolate, ou seja, 3 x 2,30 = 6,90. A partir dessa situação de proporcionalidade, podemos sugerir outras utilizando o pensamento multiplicativo.
Para que o aluno compreenda essas diferentes ideias, presentes no conceito de multiplicação, é fundamental que o professor propicie aos seus educandos situações-problema relacionadas com essas ideias para que o seu processo de ensino-aprendizagem aconteça sem muitas dificuldades e de forma significativa.
Divisão: na vida e na Matemática
Em Matemática, quando propomos dividir 7 por 3, está subentendido que a divisão deve ser feita em partes iguais.
Na vida também é sempre assim?
Veja o que aconteceu com Adriana:
Adriana tem 5 anos. Como toda criança, ela também não gosta de ir ao dentista. Mas, desta vez não achou ruim. É que, ao final da consulta, ganhou 7 pirulitos com a recomendação de dividi-los entre ela e seus irmãos.
De volta para casa, sentada no ônibus, foi pensando em voz alta:
- Um para mim, um para minha irmã e um para meu irmão.
Como ainda havia pirulitos sobrando, ela prosseguiu:
- Um para mim outra vez, outro para minha irmã e outro para meu irmão.
O sétimo pirulito Adriana foi chupando no caminho!
Com muita naturalidade, Adriana dividiu os 7 pirulitos entre ela, sua irmã e seu irmão, ficando com 3 pirulitos para si e dando 2 para cada um deles. Outra criança poderia, talvez, tentar dividir o sétimo pirulito em três partes. Uma outra, quem sabe, daria o sétimo pirulito para seu pai.
Comentário
No dia a dia as pessoas, e as crianças em particular, dividem, repartem, distribuem coisas. Essas experiências constituem o ponto de partida para o trabalho com a divisão. Precisamos compreender, entretanto, que na vida cotidiana e, principalmente para a criança, dividir não significa, necessariamente, dividir em partes iguais.
É importante perceber também que, em nossa língua, a palavra dividir é empregada com muitos sentidos diferentes:
O corpo humano divide-se em três partes: cabeça, tronco e membros. Nesta frase o verbo dividir é empregado no sentido de distinguir as diversas partes;
A notícia dividiu os moradores da cidade. Aqui, dividir tem o sentido de estabelecer desavenças, pôr em discórdia;
O Rio Uruguai divide vários países". Nesta frase dividir significa demarcar, limitar.
A altura AH divide o triângulo ABC nos triângulos ABH e ACH. Nesta sentença, dividir significa cortar, repartir, secionar.
O último exemplo mostra que, até mesmo num contexto matemático, a palavra dividir nem sempre é empregada no sentido de dividir em partes iguais. Quando se trata de dividir um número por outro número, então sim, subentende-se que a divisão seja feita em partes iguais.
Exemplo
André e Otávio trabalham no almoxarifado de uma empresa. Há 1.485 unidades de um produto em estoque. Eles devem transportar esse material para um outro depósito. Farão o serviço colocando as peças numa caixa e levando 48 unidades de cada vez. Quando já iam começar, André teve uma ideia: se colocasse 1 peça a mais na caixa, economizariam viagens. André está correto?
A escolha de critérios para dividir
Nas séries iniciais do ensino fundamental, ao trabalhar com a divisão, pretendemos que a criança compreenda o que significa, na Matemática, dividir um número por outro. Para que ela atinja essa compreensão, é preciso realizar um trabalho que tem como ponto de partida, como vimos, as experiências com situações em que ela, espontaneamente, reparte, divide, distribui.
Precisamos estar atentos para as divisões que as crianças realizam nas atividades, jogos e brincadeiras, ou na hora de repartir o chocolate ou o lanche. Em cada oportunidade devemos discutir com elas o critério que usaram para dividir: a divisão foi em partes iguais ou não? Não se trata, neste momento, de classificar estas divisões como certas ou erradas.
A finalidade das discussões é fazê-las compreender que uma divisão sempre envolve a escolha de critérios para dividir.
Exemplo
Repartir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas. Não foi exigido que a divisão fosse feita em partes iguais. Temos muitas maneiras de fazer a distribuição:
- 3 Pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola;
- 2 Pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 bolas;
- As 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas;
- Cada pessoa recebe 1 bola e ficam sobrando 6 bolas;
- 3 Pessoas com 2 bolas e 1 pessoa com 4 bolas; etc.
As ideias básicas da divisão
Agora, imagine as seguintes situações:
Abaixo temos 4 imagens com suas respectivas explicações.
Você precisa distribuir 72 ovos em 6 cestos de modo que não sobrem ovos e todos os cestos tenham a mesma quantidade.
Quantos ovos deverá colocar em cada cesto?
Você precisa guardar 90 ovos em caixas iguais. Cada caixa deverá conter 18 ovos. Não devem sobrar ovos.
Quantas caixas serão necessárias?
 Comparação das situações-problema
Aula 5: Proporcionalidade – possibilidades de aprendizagem
Apresentaremos as implicações do trabalho com a proporcionalidade como norteadora do ensino da Matemática.
Objetivo
Definir proporcionalidade;
Reconhecer metodologias de aprendizagem.
Um pouco de história
Uma lenda egípcia explica que as pirâmides, tão conhecidas, teriam sido descritas por um estudioso como algo cuja área de uma das faces era igual ao quadrado de sua altura. Algumas dessas pirâmides, como a de Quéops, por exemplo, foi construída por volta de 5750 a.C. Essa proporcionalidade apresentada pode ser um indício de que a humanidade, representada pelos egípcios, já utilizava a proporção áurea.
Para Contador (2007), em alguns desenhos primitivos ou rupestres, pode-se facilmente encontrar a proporção áurea, mas nada nos garante que os povos antigos já conhecessem essas proporções, embora, de alguma forma, em sua prática, tenham observado sua importância, mesmo que de forma inconsciente.
Em outras regiões, a proporção também foi encontrada, como na Babilônia, mesmo não tendo ocorrido, segundo historiadores, a troca de informações matemáticas.
Na escola pitagórica, um centro de estudo onde o lema era os números governam o mundo, acreditava-se que todo o conhecimento ou a base dele estaria na aritmética criada por seus participantes, como os números incomensuráveis.
A descoberta pelos pitagóricos dos números incomensuráveis trouxe à tona uma espécie de crise na matemática grega porque, até então,acreditava-se que a razão entre dois segmentos seria uma fração com dois números inteiros, o que não é verdade, uma vez que conseguiram encontrar, analisando o lado e a diagonal de um quadrado, um par de segmentos não comensuráveis. Surgiram, então, os números incomensuráveis.
Foi durante o século IV a. C. que um matemático chamado Eudoxo, com a teoria das proporções, redefiniu um conceito mais geral de razão entre dois segmentos, o que permitiu definir – com a utilização de sua teoria – a razão entre dois segmentos comensuráveis ou não.
Grandezas
Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, como tempo, velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura, entre outros. Assim, toda grandeza pode ser quantificada ou representada por um número.
As grandezas são classificadas em diretamente 1 e inversamente proporcionais.
Proporção é a igualdade entre duas razões.
A proporção entre A/B e C/D é a igualdade: A/B=C/D ou ½ =1/4
Propriedades das proporções
a) Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
½ =1/4 1 x 4 = 2 x 1
ou
ab=cd⇒a . d=b . cab=cd⇒a . d=b . c
B. Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente. Temos então:
ab=cd⇒a + cb+d = ab ou ab=cd⇒a + cb+d = cdab=cd⇒a + cb+d = ab ou ab=cd⇒a + cb+d = cd
Ou
ab=cd⇒a − cb−d = ab ou ab=cd⇒a − cb−d = cdab=cd⇒a - cb-d = ab ou ab=cd⇒a - cb-d = cd
C. Toda proporção, soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:
ab=cd⟺a±ba ou b=c±dc ou dab=cd⟺a±ba ou b=c±dc ou d
Mas de que forma trabalhar grandezas em sala de aula?
Uma sugestão é que você, professor, trabalhe com instrumentos como balança, pesos e medidas, realizando comparações entre as grandezas.
Sugerimos que trabalhe de forma contextualizada, como a apresentada na obra O homem que calculava, de Malba Tahan, que escreveu mais de 100 livros magníficos, muitos deles sobre a matemática, principalmente. Sua maior felicidade era poder brincar com os números, desafiando os estudantes a fazer descobertas.
Observe o trecho que narra a história de 35 camelos que deveriam ser divididos entre três herdeiros, de forma justa e que atendesse à vontade do falecido pai.
Esse matemático fez adivinhações?
Na verdade, não foi feita adivinhação por parte do matemático, mas uma relação entre razões retiradas, para encontrar o resultado:
Primeiro- O pai, ao deixar metade ao mais velho, um terço para o do meio e um nono para o mais jovem, distribuiu apenas (1/2 + 1/3 +1/9) de sua herança de forma proporcional.
Segundo- A soma dessas frações não é igual a 1, mas sim igual a 17/18, que é menor do que 1. Não é possível atribuir a ninguém uma razão igual a 1/18 dos 35. Por quê? 35/18 é igual a 1+17/18 – esta parte que o pai não deixou para ninguém.
Terceiro- Esse problema deve ser apresentado aos estudantes para que busquem e apresentem a solução. O trabalho deverá ser realizado em grupo.
Aula 6: Geometria – sólidos geométricos
Identificaremos a importância do ensino dos sólidos geométricos.
Objetivo
Definir sólidos geométricos;
Reconhecer metodologias de aprendizagem.
Noções introdutórias
Podemos definir Geometria como a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. A geometria, particularmente, desde a educação infantil apresenta um ensino baseado em explorações de situações e problemas de natureza explorativa e investigativa. Dessa forma, é possível conceber atividades que trabalhem a criatividade.
Pitágoras
Um dos grandes nomes da Geometria foi Pitágoras, que nasceu por volta de 570 a. C, na ilha de Samos (Magna Grécia). Consta que sua morte tenha ocorrido por volta de 497 a.C. Mas, como em toda a história da Matemática, há muitos fatos que não podem ser comprovados.
Fundou uma escola de “sábios” chamada de Pitagórica, onde estudiosos de várias partes do mundo vinham estudar e pesquisar com esse grande sábio matemático e filósofo que foi influenciado cientificamente e filosoficamente pelos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.
Teorema de Pitágoras: Fórmula
Durante o período em que viveu e estudou no Egito, sempre mostrou sua admiração pelas pirâmides que são segundo o dicionário são poliedros construídos a partir de uma base poligonal e um ponto fora do plano onde se encontra essa base.
Se pensarmos matematicamente, são figuras tridimensionais e, por isso, são definidas como um espaço que possui três ou mais dimensões. Segundo Boyer (2010), podemos definir pirâmide como um conjunto de segmentos de reta cujas extremidades são um polígono e um ponto fora do plano que contém esse polígono.
As pirâmides são formadas quase que totalmente por segmentos de reta.
Alguns conceitos nessa figura:
As Faces: triangulares;
Arestas: intersecções das faces;
Vértices: são os pontos de encontro entre as arestas;
Vértice da pirâmide: é o ponto V na figura acima;
Base: também forma a base desta pirâmide;
Arestas laterais;
Faces laterais;
Altura da pirâmide: altura da base até o vértice.
Pitágoras, durante suas andanças pelo Egito, desenvolveu o Teorema de Pitágoras, segundo o qual é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Esse matemático conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Comentário
O Teorema de Pitágoras é explicado pela geometria euclidiana (porque Euclides, um matemático de Alexandria, considerado no Egito o pai da Geometria, acabou por escrever o livro Elementos de Euclides).
Para compreendermos, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que formam o triângulo. O Teorema de Pitágoras também pode ser enunciado estabelecendo uma relação entre as áreas do triângulo retângulo.
O teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado. Isso pode ser traduzido em uma fórmula:
a² = b² + c²
Onde:
a: representa a hipotenusa;
b e c: representam os catetos oposto e adjacente.
Exemplo
Considere um triângulo com as seguintes medidas:
Hipotenusa: X cm
Cateto Adjacente: 60 cm
Cateto Oposto: 80 cm
Aplicando o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos tem que ser igual à hipotenusa ao quadrado, assim: a² = b² + c²
x2 = 602 + 802
x2 = 3600 + 6400
x2 = 10000
x2−−√ = 1000−−−−√x2 = 1000
x = 100
Segundo a BNCC (2017):
"A Geometria envolve o estudo de um amplo conjunto de conceitos e procedimentos necessários para resolver problemas do mundo físico e de diferentes áreas do conhecimento. Assim, nessa unidade temática, estudar posição e deslocamentos no espaço, formas e relações entre elementos de figuras planas e espaciais pode desenvolver o pensamento geométrico dos alunos. Esse pensamento é necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas e produzir argumentos geométricos convincentes."
É importante, também, considerar o aspecto funcional que deve estar presente no estudo da Geometria: as transformações geométricas, sobretudo as simetrias. As ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temática são, principalmente, construção, representação e interdependência.
Sobre a seleção de conteúdo em Geometria, a Base Nacional Comum Curricular destaca a importância das transformações geométricas a fim de desenvolver habilidades de percepção espacial e indução de forma experimental à descoberta. Além disso, é fundamental que os estudos sejam realizados utilizando objetos cotidianos dos mais simples aos mais complexos.
Atualmente não é difícil perceber que os professores estão cada vez mais desmotivados. A esses profissionais são apresentados grandes desafios no que diz respeito à pratica educativa. Essa percepção acaba por influenciar diretamente nas metodologias e atividades aplicadas na sala de aula, na forma como os conteúdos são ensinados. Assim, para que tenhamos uma possibilidade de mudançadesse cenário, devemos utilizar metodologias diferenciadas para o trabalho com Geometria.
Uma metodologia a ser trabalhada é a construção e desconstrução de poliedros, a qual poderá despertar a ideia de: faces, arestas, perspectivas, e raciocínio lógico.
Poliedros
Chamamos de poliedros as figuras geométricas que são formadas por números finitos de faces, por três ou mais arestas e vértices. Essas construções matemáticas são consideradas regulares quando suas faces são polígonos regulares e congruentes. Quando possuem o mesmo número de arestas em todas as faces, assim como em todos os ângulos poliédricos, os poliedros são chamados de Poliedros de Platão.
Um sólido geométrico é composto por:
Faces
São as superfícies planas que constituem um sólido.
Arestas
São os segmentos de reta que liga dois vértices.
Vértices
São os pontos de encontro das arestas.
Os Poliedros de Platão
Para Gomes (2011), alguns poliedros são denominados Poliedros de Platão:
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Os poliedros platônicos possuem uma propriedade que os distingue dos demais: somente eles podem ser inscritos na esfera.
As faces desses poliedros precisam ser polígonos, mesmo que não regulares, mas que possuam o mesmo número de lados. Além disso, os bicos precisam ser formados com o mesmo número de arestas.
Vamos entendê-los mais detalhadamente.
Cubo (hexaedro)
Um cubo é um poliedro formado por seis faces quadradas. Todas as faces são congruentes, estão dispostas de forma paralela e aos pares, e têm quatro lados.
Tetraedro
O tetraedro regular é uma pirâmide regular que apresenta as quatro faces congruentes e as seis arestas também congruentes.
Octaedro
O octaedro é um poliedro de 8 (oito) faces. Tem 6 (seis) vértices e 12 (doze) arestas. Pode também ser chamado pirâmide quadrada. O octaedro regular é um dos cinco sólidos platônicos. Ele não é um prisma e nem pirâmide.
Icosaedro
O icosaedro é um sólido formado por 30 arestas, 12 vértices e 20 faces no formato de um triângulo equilátero.
Platão fez ainda uma relação dos poliedros com os elementos da natureza. Em sua visão, o tetraedro foi associado ao fogo, o hexaedro à terra, octaedro ao ar, icosaedro à água e dodecaedro ao universo.
Segundo Giovanni (2015), durante a montagem dos poliedros podemos trabalhar a Fórmula de Euler. Com ela, definimos quantos vértices, arestas e faces o poliedro possui. A fórmula foi desenvolvida por Leonhard Euler, um matemático Suíço:
V – A + F = 2
Considere que V se refere ao vértice, A à aresta e F à face.
Aula 7: Material dourado - possibilidades de aprendizagem
Trabalharemos a importância do ensino de operações fundamentais com o uso do material dourado. O enfoque será em metodologia e em conceitos basilares.
Definir material dourado;
Reconhecer metodologias de aprendizagem.
Trabalhando com o material dourado
Nos estudos apresentados por Jean Piaget (1896-1980) como a Teoria do Desenvolvimento Cognitivo, ele pesquisou sobre o desenvolvimento intelectual das crianças a partir de suas respostas incorretas aos testes, assim como sobre a análise de suas respostas corretas. Piaget foi um renomado psicólogo e filósofo nascido na suíça que ficou conhecido por seu trabalho pioneiro no campo da inteligência infantil.
Esse estudioso passou grande parte de sua vida profissional realizando interações com crianças a fim de estudar seu processo de raciocínio. Seus estudos tiveram um grande impacto sobre os campos da Psicologia e da Pedagogia, lançando um novo olhar sobre a aprendizagem, não somente de Matemática.
Jean Piaget. | Fonte: Wikipedia
Baseando-se em estudos como este, muitos pesquisadores começaram a buscar alternativas que pudessem minimizar os entraves em relação ao aprendizado das operações aritméticas valendo-se da manipulação de objetos (contas, pedrinhas, sementes etc.).
Essas experiências com materiais concretos é que permitiriam aos estudantes realizar as contas, raciocinando de forma abstrata.
Isso não significa que basta colocar na frente de um estudante diversos objetos de contagem para que ela passe a compreender um determinado conteúdo. O entendimento depende de ações e de atividades que auxiliem essa compreensão.
Para a utilização de um material concreto, devemos observar que ele é um recurso. Portanto:
Não é uma fórmula mágica que sozinho leve o aluno a raciocinar;
Deve estar envolvido em situações que levem o aluno a refletir sobre a experiência acumulada que possui;
Deve ser apresentado ao aluno para que ele compreenda a sua estrutura e reflita sobre o que está fazendo.
Outro aspecto interessante é que se deve, para um mesmo conteúdo, trabalhar com materiais variados. No caso dos algoritmos das quatro operações, é importante trabalhar com material dourado, ábaco, dinheiro, calculadora, entre outros.

Fonte: Freepik
Vamos conversar um pouco sobre o que é Material Dourado
O Material Dourado foi criado por Maria Montessori, médica e educadora italiana, para crianças com distúrbios de aprendizagem. O nome dourado se deve à versão original que era feita com contas douradas. Quando foi industrializado, esse material passou a ser feito de madeira mantendo o nome original. O material é constituído por: cubinhos, barras, placas e cubo.
Cubinhos
Barra
Placa
Cubo
Como qualquer material, a sua utilização deve ter certos cuidados:
Permitir que os alunos tenham oportunidade de explorar o material, antes de iniciar as atividades;
Dar tempo suficiente para que os alunos possam trabalhar cada atividade com calma;
Observar a evolução de cada aluno, pois às vezes é necessário acrescentar, formular as atividades para que a aprendizagem seja significativa.
Material dourado planificado
Caso você não possua Material Dourado industrializado é possível construir com papel quadriculado e cartolina (material dourado planificado).
Faça quadriculados de 1cm de lado em folha de papel sulfite e cole em cartolina para ficar mais resistente (ou quadricule uma folha de cartolina). Recorte a folha de maneira a obter, para cada dupla:
30 quadradinhos de 1cm de lado;
20 retângulos de dimensões: 10cm por 1cm;
10 quadrados de 10cm de lado.
A relação entre as peças do material dourado industrializado e o planificado é:
Sistema de numeração decimal	Material industrializado	Material planificado
Unidade	Cubinho	Quadradinho
Dezena	Barra	Retângulo
Centena	Placa	Quadrado
Folha sulfite
A folha sulfite deverá ser dividida em 3 partes e em cada parte os alunos deverão escrever (unidade, dezena e centena) e desenhar as peças em suas respectivas partes.
 Centena	 Dezena	 Unidade
Conhecendo o material Dourado
Para fazer as atividades abaixo, vocês usarão o Material Dourado. Nestas atividades quando mencionarmos cubinhos, barras, placas e cubo estão nos referindo às peças desse material.
Se estivermos trabalhando com o material dourado planificado, lembrar que:
ondemand_videoVídeo
Cubinhos
1 unidade
Barra
1 dezena ou
10 unidades
Placa
1 centena ou
10 dezenas ou
100 unidades
Cubo
1 milhar ou
10 centenas ou
10 dezenas ou
1000 unidades
O cubinho será representado pelo quadradinho
A barra será representada pelo retângulo
A placa será representada pelo quadrado
Atenção
É importante que os alunos percebam que:
10 cubinhos equivalem a 1 barra;
10 barras equivalem a 1 placa;
10 placas equivalem a 1 cubo.
O material Dourado e o sistema de numeração decimal
O sistema de numeração decimal possui uma regra de agrupamento e troca:
10 unidades são trocadas por 1 dezena;
10 dezenas são trocadas por 1 centena.
O contrário também pode ser feito:
1 dezena é trocada por 10 unidades;
1 centena é trocada por 10 dezenas.
O Material Dourado foi baseado no Sistema de Numeração Decimal. Observem:
O cubinho representa a unidade;
A barra representa a dezena;
A placa representa a centena;
O cubo representa a unidade de milhar.
Sugestões de aplicação
Jogando o Nunca dez
Este é um jogo para quatro jogadores.
Serão necessários dois dados e o material dourado.
 Jogo Nunca dez. | Fonte: http2.mlstatic.com/
Como jogar
Cada aluno do grupo, na sua vez de jogar, lançaos dados, conta quantos pontos fez e retira para si a quantidade, sendo 1 (uma) unidade correspondente aos pontos conseguidos nos dados.
O número que sair nos dados dá direito a retirar do material dourado apenas essa quantidade de unidades.
Toda vez que um jogador juntar 10 unidades, deve trocá-los por uma barra, e tem o direito de jogar novamente.
O jogador que conseguir 10 barras, troca-as por uma placa.
Nesse caso, ele é o vencedor e o jogo acaba.
Ao final do jogo, elabora-se um texto com a classe.
Pode-se aumentar o quantitativo para 1.000, o que aumentará o grau de dificuldade.
Quantas dezenas e quantas unidades?
Nesta atividade pretendemos chamar a atenção dos alunos para as relações entre as unidades, dezenas e centenas no Sistema de Numeração Decimal (SND). Pede-se aos alunos que representem com as peças do material base dez o número 128.
Em seguida, são propostos os seguintes problemas:
Representar o mesmo número utilizando apenas dezenas e unidades;
Representar a mesma quantidade utilizando apenas as unidades;
Em qual das representações foi utilizado o maior número de peças? Por quê?
A quantidade representada em cada caso mudou? Então o que mudou?
Podemos concluir que neste número há quantas dezenas? E unidades?
Atenção
Quando perguntar aos alunos “quantas dezenas há em 435”, você deve auxiliá-los a perceber que são 43 e não apenas 3.
Se desejar 3 como resposta, a pergunta deve ser: qual é o número que aparece na posição das dezenas? ou qual o número que vale 30 em 435? O mesmo vale para as unidades.
Aplicando o Material Dourado na compreensão dos algoritmos das operações fundamentais
De acordo com Marília Centurión (1994), quando estamos em um lugar desconhecido, é comum pedirmos orientação a alguém que conheça bem este lugar. A orientação deverá levar-nos ao local desejado, através de uma série de etapas, tais como:
Siga em frente por três quarteirões, dobre à esquerda e siga até encontrar uma igreja; vire a primeira à direita após essa igreja e siga por mais dois quarteirões.
Se a orientação dada for clara e correta, chegaremos facilmente ao local desejado. Essa sequência de etapas, que fazem parte de uma instrução exata a ser seguida, é um algoritmo.
Algoritmo, como o texto acima nos diz, significa qualquer regra especial de processo. Em matemática, é uma técnica operatória, um dispositivo prático que utilizamos para acelerar a obtenção do resultado de uma operação.
ondemand_videoVídeo
Compreender o que se está fazendo e por que se pode fazer alguma coisa desta ou daquela maneira é motivador e estimulante. Ao lidar com um algoritmo, isso também é verdade. Se a criança percebe por que vai um numa adição, por que empresta um numa subtração etc.; ela começa a sentir melhor o significado das operações no sistema de numeração decimal e a valorizar mais o importante papel dos algoritmos. Isso é, para a criança, algo como achar o fio da meada. Ao contrário, a apresentação dos algoritmos unicamente nas suas formas finais, acabadas e compactas, parece inibir a compreensão e a curiosidade da criança.

Fonte: Freepik
Trabalharemos a seguir algumas técnicas das operações fundamentais, usando o Material Dourado. Ressaltamos, no entanto, que é muito mais relevante o entendimento das estruturas operatórias que estão por trás dos algoritmos do que simplesmente aprender a armar as contas.
O algoritmo da adição
O algoritmo da adição consiste em escrever as parcelas uma abaixo da outra, adicionando-se da direita para a esquerda: primeiro a unidade, depois as dezenas etc.
Exemplo
Duas turmas da manhã do curso de Pedagogia fizeram uma excursão. Participaram 47 alunos de uma turma e 10 de outra. Quantos alunos participaram ao todo?
O algoritmo da subtração
A técnica operatória ou algoritmo da subtração propõe que se escreva o subtraendo abaixo do minuendo e que se comece a subtração da direita para a esquerda, lembrando que os algarismos da mesma ordem devem ocupar a mesma posição.
É bom ressaltar ainda, que a subtração exige recurso quando o subtraendo apresenta em uma de suas ordens (unidade, dezena, centena etc.) algarismos maiores do que o do minuendo na respectiva ordem. Neste caso, torna-se necessário recorrermos ao Sistema de Numeração Decimal para a realização das trocas e agrupamentos.
O algoritmo da multiplicação
Convém lembrar que se inicie o ensino do algoritmo da multiplicação com exercícios mais simples utilizando, por exemplo, fatores menores do que dez e que, gradativamente, o grau de dificuldade das operações propostas aos alunos seja aumentado, iniciando-se o trabalho com o material concreto.
Muitas pessoas fazem o algoritmo da multiplicação mecanicamente, sem compreensão da técnica efetuada. No entanto, quando se ensina uma técnica ao aluno, é comum (é muito importante) que eles queiram saber os porquês e, para poder explicá-los com clareza, precisamos entender bem o processo. Além disso, se entendermos o processo do algoritmo podemos fazer estimativas acerca dos resultados esperados.
Exemplo
Representação no material dourado
Algoritmo no caderno
Comentário
O material não é indicado para o trabalho com a divisão porque estamos trabalhando com uma unidade.
Aula 8: A avaliação em Matemática
Discutiremos os critérios de avaliação do ensino de Matemática.
Definir avaliação;
Decodificar de forma geral a avaliação.
Palavras iniciais
A avaliação indica um preparo técnico e uma grande capacidade de observação dos profissionais envolvidos. Segundo Perrenoud (1999), a avaliação da aprendizagem, no novo paradigma, é um processo mediador na construção do currículo e se encontra intimamente relacionada à gestão da aprendizagem dos alunos. Na avaliação da aprendizagem, o professor não deve permitir que os resultados das provas periódicas, geralmente de caráter classificatório, sejam supervalorizados em detrimento de suas observações diárias, de caráter diagnóstico.
Já Luckesi (1995) afirma que o professor trabalha numa didática interativa, observa gradativamente a participação e produtividade do aluno, contudo é preciso deixar bem claro que a prova é somente uma formalidade do sistema escolar e não deverá ser simplesmente usada como avaliação.
Entendemos que a avaliação se dará dimensionada por um modelo teórico de mundo e de educação, traduzido em prática pedagógica. O reconhecimento das diferentes trajetórias de vida dos educandos implica flexibilizar das formas de ensinar e avaliar, ou seja, contextualizar e recriar metodologia aplicada.
Ainda Segundo Luckesi (1995), a avaliação tem sua origem na escola moderna com a prática de provas e exames que se sistematizou a partir dos séculos XVI e XVII, com a cristalização da sociedade burguesa.
A avaliação da aprendizagem tradicional, que durante anos foi desenvolvida nas nossas instituições de ensino, não encaminha a sua utilização para um processo que tenha elementos que auxiliem no processo ensino/aprendizagem, atendo-se a mensurar e a quantificar o saber, deixando de identificar e estimular os potenciais individuais e coletivos.
A avaliação do rendimento do aluno, isto é, do processo ensino-aprendizagem, é uma preocupação constante, em primeiro lugar, porque faz parte do trabalho docente verificar e julgar o rendimento dos alunos, avaliando os resultados do ensino, mas cabe ao professor reconhecer as diferenças na capacidade de aprender dos alunos, para poder ajudá-los a superar suas dificuldades e avançar na aprendizagem.
O processo de ensino-aprendizagem propicia a apropriação da cultura e da ciência, do desenvolvimento do pensamento e da construção da intelectualidade por meio da formação e operação com conceitos.
De acordo com Pilleti (2006), os princípios básicos que dão suporte ao processo ensino-aprendizagem são:
Estabelecer o que será avaliado, isso porque o processo de ensino aprendizagem precisa ter claro o desenvolvimento do indivíduo como um todo, envolvendo aspectos de aproveitamento (domínio cognitivo, afetivo, psicomotor), a inteligência, o desenvolvimento socioemocional do aluno;
Selecionar as técnicas adequadaspara avaliar, uma vez que a avaliação reflete tanto sobre o nível do trabalho do professor quanto sobre a aprendizagem do aluno;
Utilizar uma variedade de técnicas faz-se necessário, pois a verificação e a quantificação dos resultados de aprendizagem no processo completo visam sempre diagnosticar e superar dificuldades, corrigindo falhas e estimulando os alunos aos estudos;
Ver a avaliação como uma parte do processo ensino-aprendizagem, isto é, como um meio de diagnosticar o desempenho/a aprendizagem dos alunos.
Segundo Vasconcelos (2005), deve-se distinguir:
Avaliação
É um processo que precisa de uma reflexão crítica sobre a prática, podendo desta forma verificar os avanços e dificuldades e o que se fazer para superar esses obstáculos;
Nota
É uma exigência do sistema educacional, seja na forma de número ou conceitos.
Portanto, segundo Santos (2005, p. 23), avaliação é algo bem mais complexo do que apenas atribuir notas sobre um teste ou prova que se faz. Ela deve estar inserida ao processo de aprendizagem do aluno, para saber os tipos de avaliações que devem ser praticadas, as quais podem ser:
Formativa-Tem como objetivo verificar se tudo aquilo que foi proposto pelo professor em relação aos conteúdos estão sendo atingidos durante todo o processo de ensino aprendizagem;
Cumulativa-Neste tipo de avaliação permite reter tudo aquilo que se vai aprendendo no decorrer das aulas e o professor pode estar acompanhando o aluno dia a dia, e usar quando necessário;
Diagnóstica-Auxilia o professor a detectar ou fazer uma sondagem naquilo que se aprendeu ou não, e assim retomar os conteúdos que o aluno não conseguiu aprender, replanejando suas ações suprindo as necessidades e atingindo os objetivos propostos;
Somativa-Tem o propósito de atribuir notas e conceitos para o aluno ser promovido ou não de uma classe para outra, ou de um curso para outro, normalmente realizada durante o bimestre;
Autoavaliação-Pode ser realizada tanto pelo aluno quanto pelo professor, para se ter consciência do que se aprendeu ou se ensinou, e assim melhorar a aprendizagem;
Em grupo- É a avaliação dos trabalhos que os alunos realizaram, onde se verifica as atividades, o rendimento e a aprendizagem.
A partir desta análise, a avaliação constitui-se em um momento reflexivo sobre teoria e prática no processo ensino-aprendizagem. Ao avaliar, o professor estará constatando as condições de aprendizagem dos alunos, para, a partir daí, prover meios para sua recuperação, e não para sua exclusão, se considerar a avaliação um processo e não um fim.
Considerando-se parte mais importante de todo o processo de ensino-aprendizagem. Bevenutti (2002) diz que avaliar é mediar o processo ensino/aprendizagem, é oferecer recuperação imediata, é promover cada ser humano, é vibrar junto a cada aluno em seus lentos ou rápidos progressos.
Quer saber mais sobre o assunto? Confira o curso de Avaliação do Ensino e Aprendizagem na Educação Básica, Técnica e Tecnológica e As Teorias e o Processo de Aprendizagem, e utilize o certificado dos cursos para complementar suas atividades acadêmicas.
Se considerarmos a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas competências, há uma tendência que ocorra uma transição gradativa em nossas avaliações, isso para atender às mudanças propostas por esse documento como a leitura e interpretação da realidade que nos cerca, que são concebidas como pressupostos essenciais para a garantia da possibilidade de uma participação ativa do cidadão numa sociedade que exige que ele possa agir de forma autônoma, em diferentes situações e áreas do conhecimento, selecionando cada uma delas e se utilizando de conhecimentos já vivenciados para resolvê-las, ou seja, dando um tratamento transversal a questões sociais, que representam os campos de conhecimento e a cultura de nosso tempo, sabendo que a aquisição desses conhecimentos poderão contribuir para a o desenvolvimento das competências gerais expressas na BNCC, as quais objetivam a inserção social dos estudantes.
Considerando o exposto anteriormente, a avaliação precisará pensar a escola sob a ótica da inovação, o que demanda um trabalho educacional em equipe, de redesenhar o projeto educativo consequente da avaliação, para que cada profissional e estudantes tenham clareza das intencionalidades envolvidas durante todo o processo de ensino aprendizagem.
Desenvolvimento integral
As avaliações processuais, que ocorrem na escola, deverão seguir as competências e habilidades descritas na Base Nacional Comum Curricular. Assim, é importante que todo professor tenha conhecimento e estude as propostas descritas para uma adequação do currículo e diretrizes avaliativas.
Competências gerais da BNCC:
01 Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
02 Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
03 Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
04 Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
05 Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
06 Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
07 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
08 Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
09 Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
10 Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Aula 9: O tratamento do erro em Matemática
Apresentaremos um olhar sobre os erros dos estudantes como uma tendência para o ensino de Matemática.
Objetivos
Definir avaliação por tratamento do erro;
Orientar de forma geral o tratamento do erro durante a avaliação em matemática.
O Tratamento do erro
A ideia é reconhecer a capacidade de nossos estudantes e organizar as metodologias e aplicações de forma a atender sua aprendizagem, considerando que devido à forma