Equações exponenciais Un2

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(
)
2
3
4
,
x
y
y
x
f
-
=
TÓPICO 1
1. Considere as funções 
, 
(
)
1
3
-
=
t
t
x
 e 
(
)
3
1
t
t
y
-
=
.
a) Calcule a função composta 
(
)
(
)
(
)
t
t
x
f
z
,
=
.
))
t
(
y
),
t
(
x
(
f
z
=
 
(
)
(
)
(
)
(
)
6
3
3
6
3
3
6
3
2
3
3
2
-3t
2t
1
3
6t
-3t
4t
 4
1
2t
t
-3
4t
 4
1
t
-3
t
1
 4
(t)
3x
4y(t)
x(t), y(t)
f 
+
=
-
+
-
=
+
-
×
-
=
-
×
-
×
=
-
=
b) Encontre 
dt
dz
 usando o item (a).
5
2
t
18
t
6
)
t
(
dt
dz
-
=
c) Encontre 
dt
dz
 usando a regra da cadeia.
 
(
)
(
)
(
)
(
)
t
dt
dy
)
t
(
y
),
t
(
x
y
f
t
dt
dx
)
t
(
y
),
t
(
x
x
f
)
t
(
dt
dz
×
¶
¶
+
×
¶
¶
=
km/h
 
90
V
km
 
3
,
0
X
A
A
=
-
=
(
)
6
t
6
1
t
6
)
t
(
x
6
))
t
(
y
),
t
(
x
(
x
f
3
3
+
-
=
-
×
-
=
×
-
=
¶
¶
4
))
t
(
y
),
t
(
x
(
y
f
=
¶
¶
2
2
t
3
)
y
,
x
(
dt
dy
 
t
3
)
y
,
x
(
dt
dx
-
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
5
2
2
2
3
2
2
3
t
6
t
18
t
12
t
18
t
18
t
3
4
t
3
6
t
6
t
dt
dy
)
t
(
y
),
t
(
x
y
f
t
dt
dx
)
t
(
y
),
t
(
x
x
f
)
t
(
dt
dz
+
-
=
×
-
+
-
=
-
×
+
×
+
-
=
×
¶
¶
+
×
¶
¶
=
+
2. Use a regra da cadeia para determinar 
x
z
¶
¶
 e 
y
z
¶
¶
, sabendo que 
2
2
v
u
z
+
=
, 
2
2
y
x
u
-
=
 e 
xy
e
v
2
=
.
v
2
)
v
,
u
(
v
z
u
2
)
v
,
u
(
u
z
v
u
)
v
,
u
(
z
2
2
=
¶
¶
=
¶
¶
+
=
 
y
2
)
y
,
x
(
y
u
x
2
)
y
,
x
(
x
u
y
x
)
y
,
x
(
u
2
2
-
=
¶
¶
=
¶
¶
-
=
xy
xy
xy
e
x
)
y
,
x
(
y
v
e
y
)
y
,
x
(
x
v
e
)
y
,
x
(
v
×
=
¶
¶
×
=
¶
¶
=
OBS: Note que 
(
)
)
y
,
x
(
v
)
y
,
x
(
u
)
y
,
x
(
v
),
y
,
x
(
u
z
2
2
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xy
2
2
3
xy
xy
2
2
xy
ye
2
xy
4
x
4
ye
e
2
x
2
y
x
2
ye
)
y
,
x
(
v
2
x
2
)
y
,
x
(
u
2
y
,
x
x
v
)
y
,
x
(
v
),
y
,
x
(
u
v
z
y
,
x
x
u
)
y
,
x
(
v
),
y
,
x
(
u
u
z
y
,
x
x
z
+
-
=
×
+
×
-
=
×
+
×
=
¶
¶
×
¶
¶
+
¶
¶
×
¶
¶
=
¶
¶
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xy
2
3
2
xy
xy
2
2
xy
xe
2
y
4
yx
4
xe
e
2
y
2
y
x
2
xe
)
y
,
x
(
v
2
y
2
)
y
,
x
(
u
2
y
,
x
y
v
)
y
,
x
(
v
),
y
,
x
(
u
v
z
y
,
x
y
u
)
y
,
x
(
v
),
y
,
x
(
u
u
z
)
y
,
x
(
v
),
y
,
x
(
u
y
z
+
+
-
=
×
+
-
×
-
=
×
+
-
×
=
¶
¶
×
¶
¶
+
¶
¶
×
¶
¶
=
¶
¶
3. Determine a derivada da função implícita f tal que 
(
)
x
f
y
=
 está definida pela equação 
0
78
4
3
4
=
-
+
-
xy
y
x
.
Seja F a função de duas variáveis reais 
78
xy
4
y
x
)
y
,
x
(
F
3
4
-
+
-
=
. Note que F é diferenciável, com 
3
3
y
4
x
4
)
y
,
x
(
x
F
=
¶
¶
 e 
0
xy
12
1
)
y
,
x
(
y
F
2
¹
+
-
=
¶
¶
. 
Logo, estamos em condições de aplicarmos o Teorema da Função Implícita.
Queremos encontrar 
dx
dy
)
x
(
dx
df
=
. Por outro lado, 
km/h
 
80
V
km
 
4
,
0
X
B
B
=
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
Þ
=
×
¶
¶
+
×
¶
¶
Þ
=
×
¶
¶
+
×
¶
¶
Þ
=
)
y
,
x
(
y
F
)
y
,
x
(
x
F
 
)
y
,
x
(
dx
dy
 
 
0
)
y
,
x
(
dx
dy
)
y
,
x
(
y
F
1
)
y
,
x
(
x
F
 
 
0
)
x
(
dx
dy
)
y
,
x
(
y
F
dx
dx
)
y
,
x
(
x
F
0
)
y
,
x
(
F
 
1
dx
dx
=
 porque x é uma variável, não uma função.
Substituindo as derivadas de F na equação acima, temos
1
xy
12
y
4
x
4
xy
12
1
y
4
x
4
 
)
y
,
x
(
dx
dy
2
3
3
2
3
3
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
-
=
OBS: Ao resolver este exercício, incluímos a demonstração da fórmula final, uma vez que estamos focando no seu aprendizado. Entretanto, na hora de resolver um exercício via Teorema da Função Implícita, basta verificar se as hipóteses são satisfeitas e, uma vez que isso aconteça, aplicar diretamente a fórmula.
4. Se 
0
5
4
3
=
-
+
-
xz
xy
x
, calcular 
x
z
¶
¶
 e 
y
z
¶
¶
 usando a regra de derivação de função implícita.
Seja F a função de três variáveis reais 
5
xz
4
xy
x
)
z
,
y
,
x
(
F
3
-
+
-
=
. Note que F é diferenciável, com 
z
4
y
x
3
y
x
x
F
2
+
-
=
¶
¶
)
,
(
, 
x
y
x
y
F
-
=
¶
¶
)
,
(
 e 
0
x
4
y
x
z
F
¹
=
¶
¶
)
,
(
 . Logo, estamos em condições de aplicarmos o Teorema da Função Implícita.
Queremos encontrar 
)
,
(
y
x
x
z
¶
¶
 e 
)
,
(
y
x
y
z
¶
¶
. Por outro lado, 
 
 
0
)
y
,
x
(
x
z
)
z
,
y
,
x
(
z
F
x
y
)
z
,
y
,
x
(
y
F
x
x
)
z
,
y
,
x
(
x
F
0
)
y
,
x
(
F
=
¶
¶
×
¶
¶
+
¶
¶
×
¶
¶
+
¶
¶
×
¶
¶
Þ
=
Como x e y são variáveis e não funções, 
1
x
x
=
¶
¶
e 
0
x
y
=
¶
¶
. Logo podemos reescrever a equação acima como
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
Þ
=
¶
¶
×
¶
¶
+
¶
¶
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
x
F
 
)
y
,
x
(
x
z
 
 
0
)
y
,
x
(
x
z
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
x
F
 
De modo análogo, mostra-se que 
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
(
z
y
x
z
F
z
y
x
y
F
y
x
y
z
 
Substituindo as equações: 
x
4
z
4
y
x
3
x
4
z
4
y
x
3
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
x
F
)
y
,
x
(
x
z
 
2
2
-
+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
4
1
x
4
x
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
y
F
)
y
,
x
(
y
z
 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
OBS: Ao resolver este exercício, incluímos a demonstração das fórmulas finais, uma vez que estamos focando no seu aprendizado. Entretanto, na hora de resolver um exercício via Teorema da Função Implícita, basta verificar se as hipóteses são satisfeitas e, uma vez que isso aconteça, aplicar diretamente as fórmulas.
5. Mostre que a equação 
(
)
0
 
sen
,
2
=
+
=
y
y
x
y
x
F
 define implicitamente uma função derivável 
(
)
x
f
y
=
.
Precisamos verificar se a função y=f(x) é derivável. Note que F definida acima é diferenciável, pois é composta pela soma de funções diferenciáveis. Mais precisamente, 
xy
2
)
y
,
x
(
x
F
=
¶
¶
 e 
0
y
cos
x
)
y
,
x
(
y
F
2
¹
+
=
¶
¶
. Visto que supomos y=f(x), pelo Teorema da Função Implícita,
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
)
y
,
x
(
y
F
)
y
,
x
(
x
F
 
)
y
,
x
(
dx
dy
, ou seja, 
y
cos
x
xy
2
 
)
y
,
x
(
dx
dy
2
+
-
=
.
Portanto, a função y é diferenciável para todo número real x, tal que 
0
y
cos
x
2
¹
+
.
6. O raio de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de 3 cm/s e a altura está diminuindo a uma taxa de 2 cm/s. A que taxa está variando o volume do cone no instante em que a altura é igual a 20 cm e o raio é igual a 14 cm?
Volume do cone: 
3
h
r
)
h
,
r
(
V
2
×
×
p
=
3
)
t
(
dt
dr
=
 
2
)
t
(
dt
dh
-
=
Queremos encontrar 
)
20
,
14
(
dt
dV
(
)
)
t
(
h
)
t
(
r
3
3
)
t
(
h
)
t
(
r
)
t
(
h
),
t
(
r
V
2
2
×
×
p
=
×
×
p
=
.
Então:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
r
3
2
rh
2
2
r
3
3
rh
2
3
t
dt
dh
h
,
r
h
V
t
dt
dr
h
,
r
r
V
)
t
(
h
),
t
(
r
dt
dV
×
p
-
p
=
-
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
p
+
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
p
=
×
¶
¶
+
×
¶
¶
=
66
,
136
3
1288
3
392
56014
3
2
20
14
2
)
20
 
,
14
(
dt
dV
2
@
p
=
p
-
p
=
×
p
-
×
×
p
=
7. Um carro A está viajando para o norte na rodovia 16, e um carro B está viajando para o oeste na rodovia 83. Os dois carros se aproximam da interseção dessas rodovias. Em um certo momento, o carro A está a 0,3 km da interseção viajando a 90 km/h, ao passo que o carro B está a 0,4 km da interseção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante?
Se chamarmos de 
D
 a distância entre os carros A e B em um dado instante t, 
A
x
 a posição do carro A e 
B
x
a posição do carro B neste mesmo instante t, segue que D depende de 
A
x
 e 
B
x
. Mais ainda: D pode ser determinada através do Teorema de Pitágoras:
 
(
)
2
B
2
A
B
A
x
x
x
,
x
D
+
=
Por outro lado, a posição ocupada por cada carro depende da velocidade do mesmo e do instante considerado, ou seja,
(
)
t
v
t
x
A
A
×
=
 e 
(
)
t
v
t
x
B
B
×
=
. 
(Estamos supondo que o movimento seja retilíneo uniforme, ou seja, a velocidade constante)
Assim, para determinarmos a variação da distância entre os carros no instante t, temos que aplicar a regra da cadeia:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
dt
dx
x
,
x
x
D
t
dt
dx
x
,
x
x
D
)
t
(
x
),
t
(
x
dt
dD
B
B
A
B
A
B
A
A
B
A
×
¶
¶
+
×
¶
¶
=
Determinemos então as derivadas acima:
(
)
(
)
2
B
2
A
B
B
2
B
2
A
B
A
B
2
B
2
A
A
A
2
B
2
A
B
A
A
x
x
x
x
2
x
x
1
2
1
x
,
x
x
D
x
x
x
x
2
x
x
1
2
1
x
,
x
x
D
+
=
×
+
×
=
¶
¶
+
=
×
+
×
=
¶
¶
(
)
(
)
B
B
A
A
v
t
dt
dx
 
 
 
 
v
t
dt
dx
=
=
Logo 
(
)
B
2
B
2
A
B
A
2
B
2
A
A
B
A
v
x
x
x
v
x
x
x
)
t
(
x
),
t
(
x
dt
dD
×
+
+
×
+
=
Substituindo os valores:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
km
 
118
80
4
,
0
3
,
0
4
,
0
90
4
,
0
3
,
0
3
,
0
)
t
(
x
),
t
(
x
dt
dD
2
2
2
2
B
A
-
=
×
-
+
-
-
+
×
-
+
-
-
=
8. Determine 
x
z
¶
¶
 e 
y
z
¶
¶
 se 
(
)
z
y
x
xyz
+
+
=
cos
3
.
Seja F a função de três variáveis reais 
(
)
z
y
x
cos
xyz
)
z
,
y
,
x
(
F
3
+
+
-
=
. Note que F é diferenciável, com 
(
)
z
y
x
sen
yz
)
y
,
x
(
x
F
3
+
+
+
=
¶
¶
, 
(
)
z
y
x
sen
xz
)
y
,
x
(
y
F
3
+
+
+
=
¶
¶
 e 
(
)
0
z
y
x
sen
xyz
3
)
y
,
x
(
z
F
2
¹
+
+
+
=
¶
¶
 . 
Logo, pelo Teorema da Função Implícita:
(
)
(
)
z
y
x
sen
xyz
3
z
y
x
sen
yz
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
x
F
 
)
y
,
x
(
x
z
2
3
+
+
+
+
+
-
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
(
)
(
)
z
y
x
sen
xyz
3
z
y
x
sen
xz
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
y
F
 
)
y
,
x
(
y
z
 
2
3
+
+
+
+
+
-
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
9. Determine 
x
z
¶
¶
 e 
y
z
¶
¶
 se 
(
)
z
x
yz
+
=
ln
.
Seja F a função de três variáveis reais 
(
)
z
x
ln
yz
)
z
,
y
,
x
(
F
+
-
=
. Note que F é diferenciável, com 
z
x
1
)
y
,
x
(
x
F
+
-
=
¶
¶
, 
z
)
y
,
x
(
y
F
=
¶
¶
 e 
0
z
x
1
y
)
y
,
x
(
z
F
¹
+
-
=
¶
¶
 . 
Logo, pelo Teorema da Função Implícita:
1
yz
yx
1
z
x
1
yz
yx
z
x
1
z
x
1
y
z
x
1
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
x
F
 
)
y
,
x
(
x
z
-
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
(
)
1
yz
yx
z
x
z
z
x
1
yz
yx
z
z
x
1
y
z
)
z
,
y
,
x
(
z
F
)
z
,
y
,
x
(
y
F
 
)
y
,
x
(
y
z
 
-
+
+
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
TÓPICO 2
Mostre que as funções a seguir são diferenciáveis em 
2
IR
.
1. 
(
)
2
2
xy
4
y
x
3
y
x
f
+
=
,
 
As derivadas parciais existem? Sim:
2
y
4
xy
6
)
y
,
x
(
x
f
+
=
¶
¶
xy
8
x
3
)
y
,
x
(
y
f
2
+
=
¶
¶
 Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue que f é diferenciável.
2. 
(
)
2
2
2
7
,
xy
xy
x
y
x
f
+
-
=
As derivadas parciais existem? Sim:
2
y
2
y
7
x
2
)
y
,
x
(
x
f
+
-
=
¶
¶
xy
4
x
7
)
y
,
x
(
y
f
+
-
=
¶
¶
 Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue que f é diferenciável.
3. 
(
)
(
)
2
sen
,
xy
y
x
f
=
As derivadas parciais existem? Sim:
)
(xy
y
y
x
x
f
2
2
cos
)
,
(
×
=
¶
¶
)
(xy
xy
2
y
x
y
f
2
cos
)
,
(
×
=
¶
¶
 Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue que f é diferenciável.
4. Se 
2
2
3
y
xy
x
z
+
-
=
 e 
(
)
y
x
,
 varia de 
(
)
1
 
,
3
-
 a 
(
)
95
,
0
 
;
96
,
2
-
, compare os valores de dz e ∆z.
(
)
(
)
dy
y
x
dx
y
x
dy
y
z
dx
x
z
dz
6
2
+
-
+
-
=
¶
¶
+
¶
¶
=
Tomando x = 3, 
04
,
0
-
=
D
=
x
dx
; y = - 1 e 
05
,
0
=
D
=
y
dy
; obtemos
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
05
,
0
1
6
3
04
,
0
1
3
2
×
-
×
+
-
+
-
×
-
-
×
=
dz
(
)
(
)
73
,
0
05
,
0
9
04
,
0
7
-
=
×
-
+
-
×
=
dz
(
)
(
)
1
,
3
95
,
0
 
;
96
,
2
-
-
-
=
D
f
f
z
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
1
3
1
3
3
95
,
0
3
95
,
0
96
,
2
96
,
2
-
×
+
-
×
-
-
-
×
+
-
×
-
=
D
z
7189
,
0
15
2811
,
14
-
=
-
=
D
z
Assim, 
dz
z
»
D
.
5. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo 0,1 cm. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
a área de um retângulo é dada por A = x.y
xdy
ydx
dy
y
A
dx
x
A
dA
+
=
¶
¶
+
¶
¶
=
Como cada erro é de, no máximo, 0,1 cm, temos 
1
,
0
£
D
x
 e 
1
,
0
£
D
y
.
Usamos 
1
,
0
=
dx
 e 
1
,
0
=
dy
 com x = 30 e y = 24.
Então o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo é de 
2
4
,
5
1
,
0
30
1
,
0
24
cm
dA
=
×
+
×
=
6. O período T de um pêndulo simples com uma pequena oscilação é calculado da fórmula 
g
L
T
p
2
=
, onde L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. Suponha que os valores de L e g tenham erros de, no máximo, 0,05% e 0,01%, respectivamente. Use diferencias para aproximar o erro percentual máximo no valor calculado de T.
O período T de um pêndulo simples é dado por 
g
L
T
p
2
=
.
Sabemos que 
0005
,
0
£
L
dL
 e 
0001
,
0
£
g
dg
.
Como 
2
1
2
1
2
1
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
¶
¶
+
¶
¶
=
-
-
g
L
dg
g
L
L
dL
g
L
g
T
dg
g
T
dL
L
T
T
dT
p
p
p
,
temos 
g
dg
L
dL
g
dg
L
dL
T
dT
2
1
2
1
2
1
2
1
+
£
+
=
0003
,
0
0001
,
0
2
1
0005
,
0
2
1
=
×
+
×
£
T
dT
.
Estimamos o erro percentual máximo cometido no cálculo do período T é de 0,03%.
7. O raio de um cilindro circular reto é medido com um erro de, no máximo, 2% e altura é medida com um erro de, no máximo, 4%. Qual o erro percentual máximo possível no volume calculado?
O volume de um cilindro é dado por 
h
r
V
2
p
=
.
Sabemos que 
02
,
0
£
r
dr
 e 
04
,
0
£
g
dg
.
Como 
h
r
dh
r
dr
rh
V
dh
h
V
dr
r
V
V
dV
2
2
 
 
2
p
p
p
+
=
¶
¶
+
¶
¶
=
,
temos 
h
dh
r
dr
h
dh
r
dr
V
dV
+
£
+
=
2
2
08
,
0
04
,
0
02
,
0
2
=
+
×
£
T
dT
.
Estimamos o erro percentual máximo cometido nocálculo do volume do cilindro é de 8%.
8. 
2
2
3
y
xy
y
x
z
+
+
=
, 
(
)
3
 
,
0
P
y
xy
x
f
3
2
+
=
¶
¶
 e 
y
x
x
y
f
2
3
2
+
+
=
¶
¶
Então, 
y
x
x
y
xy
f
2
3
 
,
3
2
2
+
+
+
=
Ñ
.
(
)
j
i
P
f
r
r
6
9
+
=
Ñ
9. 
(
)
(
)
y
x
xy
y
x
f
+
-
=
sen
,
, 
÷
ø
ö
ç
è
æ
0
 
,
2
p
P
(
)
y
x
y
x
f
+
-
=
¶
¶
cos
 e 
(
)
y
x
x
y
f
+
-
=
¶
¶
cos
Então, 
(
)
(
)
y
x
x
y
x
y
f
+
-
+
-
=
Ñ
cos
 
,
cos
.
(
)
j
P
f
r
2
p
=
Ñ
10. 
(
)
yz
xz
xy
z
y
x
f
+
+
=
,
,
, 
(
)
5
 
,
3
 
,
1
-
P
z
y
x
f
+
=
¶
¶
, 
z
x
y
f
+
=
¶
¶
 e 
y
x
z
f
+
=
¶
¶
Então, 
y
x
z
x
z
y
f
+
+
+
=
Ñ
 
,
 
,
.
(
)
k
j
i
P
f
r
r
r
2
4
8
+
+
=
Ñ
11. Se 
(
)
4
4
100
,
2
2
+
+
=
y
x
xy
y
x
T
 é a temperatura em graus Celsius, sobre uma lâmina metálica, x e y medidos em cm, determine a direção de crescimento máximo de T a partir do ponto 
(
)
1
 
,
1
 e a taxa máxima de crescimento de T, nesse ponto.
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
4
2
100
4
4
100
+
+
×
-
+
+
×
=
¶
¶
y
x
x
xy
y
x
y
x
T
 e 
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
4
8
100
4
4
100
+
+
×
-
+
+
×
=
¶
¶
y
x
y
xy
y
x
x
y
T
(
)
2
2
2
3
2
4
4
400
400
100
+
+
+
+
-
=
¶
¶
y
x
y
y
y
x
x
T
 e 
(
)
2
2
2
2
3
4
4
400
400
100
+
+
-
+
=
¶
¶
y
x
xy
x
x
y
T
Então, 
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
4
4
400
400
100
 
,
4
4
400
400
100
+
+
-
+
+
+
+
+
-
=
Ñ
y
x
xy
x
x
y
x
y
y
y
x
f
.
(
)
j
i
f
r
r
81
100
81
700
1
 
,
1
+
=
Ñ
(
)
2
2
,
y
x
y
x
T
+
=
Ñ
(
)
2
2
81
100
81
700
,
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
Ñ
y
x
T
(
)
cm
/
º
73
,
8
1
 
,
1
»
Ñ
T
TÓPICO 3
1. 
(
)
2
6
,
2
2
+
-
+
+
=
x
xy
y
x
y
x
f
As derivadas parciais são 
6
2
-
+
=
¶
¶
y
x
x
f
 e 
x
y
y
f
+
=
¶
¶
2
. Então,
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equações temos,
î
í
ì
=
+
=
-
+
0
2
0
6
2
y
x
y
x
2
6
 
3
0
4
2
6
2
-
=
=
-
=
-
-
=
+
y
y
y
x
y
x
(
)
4
0
2
2
0
2
=
=
-
×
+
=
+
x
x
y
x
(
)
2
 
,
4
-
2. 
(
)
3
2
4
2
3
8
,
y
y
xy
y
x
y
x
f
-
-
+
+
=
Calculando as derivadas parciais, temos 
y
x
x
f
+
=
¶
¶
2
 e 
2
3
3
6
32
y
y
x
y
y
f
-
-
+
=
¶
¶
.
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equações obtemos,
î
í
ì
=
+
-
-
=
+
0
6
3
32
0
2
2
3
x
y
y
y
y
x
Isola-se y na segunda equação 
x
y
2
-
=
 e substitui na segunda equação
0
6
3
32
2
3
=
+
-
-
x
y
y
y
(
)
(
)
(
)
0
2
6
2
3
2
32
2
3
=
+
-
-
-
-
-
x
x
x
x
0
13
12
256
2
3
=
+
-
x
x
x
(
)
0
13
12
256
2
=
+
-
x
x
x
0
1
=
x
 ou 
0
13
12
256
2
=
+
-
x
x
64
13
2
=
x
4
1
3
-
=
x
Substituímos os valores de x na primeira equação
x
y
2
-
=
x
y
2
-
=
x
y
2
-
=
0
2
1
×
-
=
y
64
13
2
2
×
-
=
y
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
×
-
=
4
1
2
3
y
0
1
=
y
32
13
2
-
=
y
2
1
3
=
y
(
)
0
 
,
0
; 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
32
13
 
,
64
13
; 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
1
 
,
4
1
3. 
(
)
xy
y
x
y
x
f
6
,
3
3
-
+
=
y
x
x
f
6
3
2
-
=
¶
¶
 e 
x
y
y
f
6
3
2
-
=
¶
¶
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
-
0
6
3
0
6
3
2
2
x
y
y
x
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
-
0
2
0
2
2
2
x
y
y
x
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos 
(
)
0
 
,
0
 e 
(
)
2
 
,
2
.
x
x
f
6
2
2
=
¶
¶
, 
6
2
-
=
¶
¶
¶
x
y
f
, 
6
2
-
=
¶
¶
¶
y
x
f
 e 
y
y
f
6
2
2
=
¶
¶
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
(
)
36
0
6
6
0
0
 
,
0
-
=
-
-
=
H
 e 
(
)
108
12
6
6
12
2
 
,
2
=
-
-
=
H
, 
Temos 
(
)
0
0
 
,
0
<
H
, logo 
(
)
0
 
,
0
 é um ponto de sela de f.
Temos 
(
)
0
2
 
,
2
>
H
 e 
(
)
0
2
 
,
2
2
2
>
¶
¶
x
f
, logo 
(
)
2
 
,
2
 é um ponto mínimo local de f.
Portanto, 
(
)
0
 
,
0
 ponto de sela; 
(
)
2
 
,
2
 mínimo local
4. 
(
)
2
3
4
4
3
2
3
1
,
y
xy
x
x
y
x
f
-
+
+
-
=
y
x
x
x
f
4
2
4
3
2
3
+
+
-
=
¶
¶
 e 
y
x
y
f
2
4
-
=
¶
¶
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
+
+
-
0
2
4
0
4
2
4
3
2
3
x
x
y
x
x
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos 
(
)
0
 
,
0
, 
(
)
8
 
,
4
 e 
(
)
4
 
,
2
-
-
.
x
x
x
f
4
4
9
2
2
2
+
-
=
¶
¶
, 
4
2
=
¶
¶
¶
x
y
f
, 
4
2
=
¶
¶
¶
y
x
f
 e 
2
2
2
-
=
¶
¶
y
f
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
(
)
16
2
4
4
0
0
 
,
0
-
=
-
=
H
, 
(
)
24
2
4
4
20
8
 
,
4
=
-
-
=
H
 e 
(
)
50
2
4
4
17
4
 
,
2
-
=
-
=
-
-
H
, 
Temos 
(
)
0
0
 
,
0
<
H
, logo 
(
)
0
 
,
0
 é um ponto de sela de f.
Temos 
(
)
0
2
 
,
2
>
H
 e 
(
)
0
2
 
,
2
2
2
>
¶
¶
x
f
, logo 
(
)
2
 
,
2
 é um ponto mínimo local de f.
(
)
0
 
,
0
 ponto de sela; 
(
)
8
 
,
4
 e 
(
)
4
 
,
2
-
-
 máximo local
5. 
(
)
2
3
6
6
,
2
3
-
+
+
-
+
=
y
x
xy
y
x
y
x
f
6
6
3
2
+
-
=
¶
¶
y
x
x
f
 e 
3
6
2
+
-
=
¶
¶
x
y
y
f
î
í
ì
=
+
+
-
=
+
-
0
3
2
6
0
6
6
3
2
y
x
y
x
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos 
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
3
 
,
1
 e 
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
27
 
,
5
.
x
x
f
6
2
2
=
¶
¶
, 
6
2
-
=
¶
¶
¶
x
y
f
, 
6
2
-
=
¶
¶
¶
y
x
f
 e 
2
2
2
=
¶
¶
y
f
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
24
2
6
6
6
2
3
 
,
1
-
=
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
H
 e 
24
2
6
6
30
2
27
 
,
5
=
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
H
.
Temos 
0
2
3
 
,
1
<
÷
ø
ö
ç
è
æ
H
, logo 
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
3
 
,
1
 é um ponto de sela de f.
Temos 
0
2
27
 
,
5
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
H
 e 
0
2
27
 
,
5
2
2
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
f
, logo 
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
27
 
,
5
 é um ponto mínimo local de f.
Portanto, 
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
3
 
,
1
 ponto de sela; 
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
27
 
,
5
 mínimo local
6. 
(
)
2
3
2
3
4
,
xy
x
x
y
x
f
-
-
=
2
2
2
9
4
y
x
x
f
-
-
=
¶
¶
 e 
xy
y
f
4
-
=
¶
¶
î
í
ì
=
-
=
+
-
-
0
4
0
4
2
9
2
2
xy
y
x
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos 
(
)
2
 
,
0
±
, 
÷
ø
ö
ç
è
æ
0
 
,
3
2
 e 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
0
 
,
3
2
.
x
x
f
18
2
2
-
=
¶
¶
, 
y
x
y
f
4
2
-
=
¶
¶
¶
, 
y
y
x
f
4
2
-
=
¶
¶
¶
 e 
x
y
f
4
2
2
-
=
¶
¶
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
(
)
32
0
2
4
2
4
0
2
 
,
0
-
=
-
-
=
H
 e 
(
)
32
0
2
4
2
4
0
2
 
,
0
-
=
=
-
H
32
3
8
0
0
12
0
 
,
3
2
=
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
H
 e 
32
3
8
0
0
12
0
 
,
3
2
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
H
.
Temos 
(
)
0
2
 
,
0
<
H
, logo 
(
)
2
 
,
0
 é um ponto de sela de f.
Temos 
(
)
0
2
 
,
0
<
-
H
, logo 
(
)
2
 
,
0
-
 é um ponto de sela de f.
Temos 
0
0
 
,
3
2
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
H
 e 
0
0
 
,
3
2
2
2
<
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
f
, logo 
÷
ø
ö
ç
è
æ
0
 
,
3
2
 é um ponto máximo local de f.
Temos 
0
0
 
,
3
2
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
H
 e 
0
0
 
,
3
2
2
2
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
¶
¶
x
f
, logo 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
0
 
,
3
2
 é um ponto mínimolocal de f.
Portanto, 
(
)
2
 
,
0
±
 ponto de sela; 
÷
ø
ö
ç
è
æ
0
 
,
3
2
 máximo local; 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
0
 
,
3
2
 mínimo local.
7. 
(
)
xy
y
x
y
x
f
4
,
4
4
-
+
=
y
x
x
f
4
4
3
-
=
¶
¶
 e 
x
y
y
f
4
4
3
-
=
¶
¶
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
-
0
4
4
0
4
4
3
3
x
y
y
x
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos 
(
)
0
 
,
0
, 
(
)
1
 
,
1
 e 
(
)
1
 
,
1
-
-
.
2
2
2
12
x
x
f
=
¶
¶
, 
4
2
-
=
¶
¶
¶
x
y
f
, 
4
2
-
=
¶
¶
¶
y
x
f
 e 
2
2
2
12
y
y
f
=
¶
¶
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
(
)
16
0
4
4
0
0
 
,
0
-
=
-
-
=
H
, 
(
)
128
12
4
4
12
1
 
,
1
=
-
-
=
H
 e 
(
)
128
12
4
4
12
1
 
,
1
=
-
-
=
-
-
H
.
Temos 
(
)
0
0
 
,
0
<
H
, logo 
(
)
0
 
,
0
 é um ponto de sela de f.
Temos 
(
)
0
1
 
,
1
>
H
 e 
(
)
0
1
 
,
1
2
2
>
¶
¶
x
f
, logo 
(
)
1
 
,
1
 é um ponto mínimo local de f.
Temos 
(
)
0
1
 
,
1
>
-
-
H
 e 
(
)
0
1
 
,
1
2
2
>
-
-
¶
¶
x
f
, logo 
(
)
1
 
,
1
-
-
 é um ponto mínimo local de f.
Portanto, 
(
)
0
 
,
0
 ponto de sela; 
(
)
1
 
,
1
 e 
(
)
1
 
,
1
-
-
 mínimo local
8. A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é dada pela equação 
(
)
2
2
40
24
16
,
y
x
x
y
x
T
+
+
=
. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.
24
32
+
=
¶
¶
x
x
T
 e 
y
y
T
80
=
¶
¶
î
í
ì
=
=
+
0
80
0
24
32
y
x
Resolvendo o sistema, temos o ponto crítico 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
0
 
,
4
3
.
32
2
2
=
¶
¶
x
T
, 
0
2
=
¶
¶
¶
x
y
T
, 
0
2
=
¶
¶
¶
y
x
T
 e 
80
2
2
=
¶
¶
y
T
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
2560
80
0
0
32
0
 
,
4
3
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
H
.
Temos 
0
0
 
,
4
3
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
H
 e 
0
0
 
,
4
3
2
2
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
¶
¶
x
f
, logo 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
0
 
,
4
3
 é um ponto mínimo local de f.
Portanto, 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
0
 
,
4
3
 mínimo local.
9. Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado R$ 0,30 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 0,40 a garrafa. O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, venderam 
y
x
4
5
70
+
-
 garrafas da marca local e 
y
x
7
6
80
+
+
 garrafas da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?
Como lucro = lucro com a venda da marca local + lucro com a venda da marca nacional
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y
x
y
y
x
x
y
x
f
7
6
80
40
4
5
70
30
,
+
+
×
-
+
+
-
×
-
=
(
)
5300
240
20
10
7
5
,
2
2
-
+
-
+
-
-
=
y
x
xy
y
x
y
x
f
20
10
10
-
+
-
=
¶
¶
y
x
x
f
 e 
240
14
10
+
-
=
¶
¶
y
x
y
f
î
í
ì
=
+
-
=
-
+
-
0
240
14
10
0
20
10
10
y
x
y
x
Resolvendo o sistema, temos o ponto crítico 
(
)
5
5
 
,
53
.
10
2
2
-
=
¶
¶
x
f
, 
10
2
=
¶
¶
¶
x
y
f
, 
10
2
=
¶
¶
¶
y
x
f
 e 
14
2
2
-
=
¶
¶
y
f
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
(
)
40
14
10
10
10
55
 
,
53
=
-
-
=
H
.
Temos 
(
)
0
55
 
,
53
>
H
 e 
(
)
0
55
 
,
53
2
2
<
¶
¶
x
f
, logo 
(
)
55
 
,
53
 é um ponto mínimo local de f.
Ele deve vender o suco de laranja marca local R$ 0,53 e marca nacional R$ 0,55
TÓPICO 4
1. 
òò
R
2
dxdy
x
 
4
y
1
2
x
0
R
£
£
£
£
;
:
8
3
24
3
8
3
32
1
3
8
4
3
8
y
3
8
dy
3
8
dy
dx
x
3
8
3
0
3
8
3
0
3
2
3
x
dx
x
dy
dx
x
dy
dx
x
4
1
4
1
4
1
2
0
2
3
3
2
0
3
2
0
2
4
1
2
0
2
4
1
2
0
2
=
=
-
=
×
-
×
=
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
=
-
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
2. 
òò
R
2
dxdy
xy
 
4
y
1
2
x
0
R
£
£
£
£
;
:
(
)
(
)
42
63
3
2
1
64
3
2
1
4
3
2
y
3
2
3
y
2
dy
y
2
dy
dx
xy
y
2
2
0
2
4
y
2
0
2
2
y
2
x
y
xdx
y
dx
xy
dy
dx
xy
dy
dx
xy
3
3
4
1
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
0
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
4
1
2
0
2
4
1
2
0
2
=
×
=
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
=
ú
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ù
ê
ë
é
=
÷
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ö
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æ
-
=
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÷
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ö
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è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
3. 
òò
R
3
ydxdy
x
 
x
y
0
2
x
0
R
£
£
£
£
;
:
3
16
12
64
6
64
2
1
6
0
6
2
2
1
6
x
2
1
dx
x
2
1
dx
2
x
dx
ydy
x
2
x
2
0
2
x
x
2
y
x
ydy
x
ydy
x
dx
ydy
x
dx
ydy
x
ydxdy
x
6
6
2
0
6
2
0
5
2
0
5
2
0
x
0
3
5
2
2
3
x
0
2
3
x
0
3
x
0
3
2
0
x
0
3
2
0
x
0
3
R
3
=
=
×
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
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è
æ
=
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
òò
4. 
òò
+
R
y
x
dxdy
e
 
x
y
0
2
x
0
R
£
£
£
£
;
:
2
1
e
2
e
1
2
1
e
2
e
e
2
e
e
2
e
e
e
2
1
dx
e
e
dx
dy
e
e
e
e
e
e
dy
e
dx
dy
e
dx
dy
e
dxdy
e
2
4
2
4
0
0
2
2
2
2
2
0
x
x
2
2
0
x
x
2
2
0
x
0
y
x
x
x
2
0
x
x
x
x
0
y
x
x
0
y
x
2
0
x
0
y
x
2
0
x
0
y
x
R
y
x
+
-
=
+
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
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1
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8
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12
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7. 
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y
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y
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y
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(
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ò
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-
-
-
-
-
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
UNIDADE 2
� HYPERLINK "http://www.grupouniasselvi.com.br/pt_br/index.php" \o "Grupo UNIASSELVI" �� INCLUDEPICTURE "http://www.grupouniasselvi.com.br/pt_br/img/logo-uniasselvi.gif" \* MERGEFORMATINET ����
B
A
 •
O 
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•
 � EMBED Equation.3 ���
Rodovia 83
Rodovia 16
D
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