Exercicio Fisica

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Parametrize o gráfico da figura 
Parametrize o gráfico da figura 
r(t) = r0 + t v, 
𝐫 𝑡 = 0,0,2 + 𝑡( 0,1,0 − 0,0,2 ) 
𝐫 𝑡 = 0,0,2 + 𝑡(0,1,−2) 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
Parametrize o gráfico da figura 
Parametrize o gráfico da figura 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑧 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
r(𝜃) = (r cos 𝜃)i + (r sen 𝜃)k 
r(𝜃) = (2 cos 𝜃)i + (2 sen 𝜃)k 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 
Parametrize a curva C formada pelo arco C1 da parábola y=x
2 de (0,0) a (1,1), seguido 
pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2) 
A curva C é mostrada na Figura. C1 é o gráfico de uma função 
de x, então podemos escolher x como parâmetro e as equações 
de C1 se tornam 𝑥 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2𝑀𝑀𝑀0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
Parametrize a curva C formada pelo arco C1 da parábola y=x
2 de (0,0) a (1,1), seguido 
pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2) 
𝐫 = 𝑥, 𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
Em C2: 
 𝐫 = (1, 𝑦) ; 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 
 
O círculo unitário pode ser parametrizado por meio das equações 𝑥 = cos 𝑡 e 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
 
 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 =𝐶 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝐫′ 𝑑𝑡𝑏𝑎 
A curva C é mostrada na Figura. C1 é o gráfico de uma função de 
x, então podemos escolher x como parâmetro e as equações de C1 
se tornam 𝑥 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2𝑀𝑀𝑀0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 =𝐶 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝐫′ 𝑑𝑡𝑏𝑎 
Cálculos de massa e momentos de inércia 
Nos tratamos molas e fios como massas distribuídas ao longo de curvas lisas no 
espaço. A distribuição e descrita por uma função de densidade continua 𝛿(x, y, z) 
representando massa por unidade de comprimento. O cálculo da massa é o 
calculo de uma integral de linha: 
Quando uma curva C é parametrizada por r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, a ≤ t ≤ b, 
então x, y e z são funções do parâmetro t, a densidade é a função 𝛿(x(t), y(t), z(t)), 
a fórmula para massa torna-se: 
 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 =𝐶 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝐫′ 𝑑𝑡𝑏𝑎 
𝑀 = 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 =𝐶 𝛿 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝐫′ 𝑑𝑡𝑏𝑎 
Fórmulas de massa e momento para molas helicoidais, fios e hastes finas 
distribuídos ao longo de uma curva lisa C no espaço 
Fórmulas de massa e momento para molas helicoidais, fios e hastes finas 
distribuídos ao longo de uma curva lisa C no espaço 
Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo 
do semicírculo y2 + z2 = 1, z ≥ 0, no plano yz. Encontre o centro de massa do 
arco se a densidade no ponto (x, y, z) no arco for 𝛿(x, y, z) = 2 – z. 
Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, 
encontra-se ao longo do semicírculo y2 + z2 = 1, z ≥ 0, no plano 
yz. Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto 
(x, y, z) no arco for 𝛿(x, y, z) = 2 – z. 
Sabemos que 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 porque o arco esta no plano yz com 
sua massa distribuída simetricamente em relação ao eixo z. 
Para encontrar 𝑧, parametrizamos a circunferência como: 
𝑀 = 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 =𝐶 𝛿 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝐫′ 𝑑𝑡𝑏𝑎 𝐯 = 𝐫′ 
Um arame tem o formato de um semicírculo x2 + y2 = 1, y ≥ 0, é mais grosso perto 
da base do que perto do topo. Calcule o centro de massa desse arame se a função 
densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta y = 1. 
R. 
Integrais de linha no plano: Aplicações para áreas de “cercas” 
C é uma curva lisa no plano xy parametrizado 
por r(t) = x(t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b, 
A integral de linha 𝑓 𝑑𝑠𝐶 fornece a área da porção da 
superfície cilíndrica ou “parede” abaixo de z =ƒ(x, y) ≥ 0. 
 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑠 =𝐶 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝐫′ 𝑑𝑡𝑏𝑎 
Encontre a área de um dos lados da “parede curva” de pé ortogonalmente sobre 
a curva y = x2, 0 ≤ x ≤ 2, e abaixo da curva na superficie ƒ(x, y) = x + 𝑦 . 
Encontre a área de um dos lados da “parede curva” de pé ortogonalmente sobre 
a curva y = x2, 0 ≤ x ≤ 2, e abaixo da curva na superficie ƒ(x, y) = x + 𝑦 . 
 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑠 =𝐶 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝐫′ 𝑑𝑡𝑏𝑎 
Calcule o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente 
F = xy i + y j – yz k r(t) = t i + t2 j + t k, 0 ≤ t ≤ 1 
Calcule o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente 
F = xy i + y j – yz k r(t) = t i + t2 j + t k, 0 ≤ t ≤ 1 
r´ (t) = 
𝑊 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝐶 𝑊 = 2𝑡3𝑑𝑡10 = 1/2 
𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 2𝑡3𝑑𝑡 
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F = xi + yj + zk na movimentação de um 
objeto ao longo da curva C parametrizada por r(t) = cos (𝜋 t) i + t2j + sen (𝜋 t) k, 0 ≤ t ≤ 1. 
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F = xi + yj + zk na movimentação de um 
objeto ao longo da curva C parametrizada por r(t) = cos (𝜋 t) i + t2j + sen (𝜋 t) k, 0 ≤ t ≤ 1. 
Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y) = x2 i - xy j ao se mover uma 
partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos t i + sen t j, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2 . 
Determine o trabalho feito pelo campo de força 
F(x, y) = x2 i - xy j ao se mover uma partícula ao longo de um 
quarto de círculo r(t) = cos t i + sen t j, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2 .