Prova 2 Matemática Finita

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UFU

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Ricardo Ribeiro

20/04/2020

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Matematica Finita

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Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
2ª Prova de Matemática Finita - GMA012 - Data: 07/06/2018
Curso: Licenciatura e Bacharelado em Matemática - Turma: M
Professor: Victor Gonzalo Lopez Neumann
Aluno(a): Matŕıcula:
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Instruções
• Leia todas as questões antes de começar a resolvê-las. Comece pelas mais fáceis. O aluno tem o prazo
de uma hora, a partir do ińıcio da prova, para fazer perguntas unicamente com relação ao enunciado da
questão. Não pergunte nada sobre como se deve proceder na resolução ou se o procedimento de resolução
está correto.
• Desenvolva as questões de modo organizado e com letra leǵıvel. Deixe bem claro o racioćınio. O não
cumprimento dessa instrução acarretará nota zero para a questão em que essa regra não for respeitada.
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Notas das Questões
1ª Questão 2ª Questão 3ª Questão 4ª Questão 5ª Questão 6ª Questão
NOTA
Assinatura do aluno na vista de prova:
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Observações
1
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Questões
1. Com o Reino em expansão, o mago Merlin presenteou o Rei Arthur com uma mesa redonda com
capacidade para 25 cavaleiros, a famosa Távola Redonda. Cada um dos cavaleiros escolheu seu lugar
na mesa e por muitos anos eles não mudaram de lugar. Desde aquele dia até hoje, para melhorar a
convivência entre seus cavaleiros, cada vez que há alguma missão, o Rei Arthur escolhe um grupo de
cavaleiros para a missão, de tal forma que para cada par de cavaleiros no grupo escolhido, há pelo menos
3 cavaleiros entre eles, quando sentados na mesa nos seus respectivos lugares. De quantas formas o
Rei Arthur pode formar um grupo de 5 cavaleiros, satisfazendo a condição de convivência, cuja missão
consiste em recuperar o cajado de Merlin roubado por Morgana?
2. Todo ano, os 25 cavaleiros do Rei Arthur escolhem um dentre eles para ter a honra de ser o protetor da
Rainha Guinevere. Para tal, são escolhidos os 2 cavaleiros com maior número de missões bem sucedidas.
Após isso cada cavaleiro vota em um dos 2 escolhidos e coloca o voto em uma urna. O ano no qual
começa esta história, os 2 cavaleiros com maior número de missões bem sucedidas foram Sir Galahad e
Sir Lancelot. Cada um dos cavaleiros colocou seu voto na urna e ao ser realizada a contagem de votos,
em algum momento, Sir Galahad ficou com 3 votos a mais do que Sir Lancelot. No final da votação
Sir Lancelot obteve 15 votos e Sir Galahad 10 votos. Assim, esse ano, Sir Lancelot foi o protetor da
Rainha.
De quantas formas é posśıvel fazer essa apuração de tal forma que em algum momento Sir Galahad
fique com pelo menos 3 votos a mais do que Sir Lancelot?
3. Sir Perceval deseja se tornar um dia tão forte e corajoso quanto Sir Lancelot ou Sir Galahad. Para tal,
Sir Perceval treina todo dia com pelo menos um outro cavaleiro da Távola Redonda, de tal forma que
se um dia ele treina com um dado cavaleiro, ele não volta a treinar com o mesmo cavaleiro sem antes
ter treinado com os outros 23 cavaleiros. Por causa dos treinamentos serem exaustivos, no decorrer
de 8 dias consecutivos ele treina no máximo com 14 cavaleiros. Prove que existe um conjunto de dias
consecutivos durante os quais ele treina com exatamente 15 cavaleiros diferentes da Távola Redonda.
4. Para recuperar o cajado de Merlin, o Rei Arthur escolheu os seguintes cavaleiros: Sir Lancelot, Sir
Galahad, Sir Gauvain, Sir Lucan e Sir Perceval. Como o cajado era mágico Merlin foi com eles. Nossos
heróis seguiram a pista de Morgana até a entrada de uma caverna. A caverna era guardada por Trolls e
a entrada estava fechada por um encantamento. Enquanto os cavaleiros lutavam bravamente contra os
Trolls, Merlin tentava desfazer o encantamento da entrada da caverna. O encantamento da entrada só
poderia ser desfeito se Merlin conseguisse resolver um enigma. O enigma consistia em calcular
n
∑
p=1
p
3.
Após 5 minutos, o mago Merlin descubriu que a resposta do enigma era
n
∑
p=1
p
3 =
[
n(n + 1)
2
]2
.
Sim, o mago Merlin era muito bom em Matemática. De fato, um pré-requisito para se tornar um mago
poderoso, era ter paixão pela Matemática.
Prove o resultado acima utilizando o teorema das colunas do triângulo de Pascal.
5. O número de Trolls contra os quais os cavaleiros lutavam na entrada era igual ao número de monômios
no desenvolvimento de (2x+3x2+4x3)8. Como os Trolls não eram muito criativos, cada um deles tinha
como nome um dos monômios na expansão de (2x+3x2+4x3)8. Por exemplo, um dos Trolls se chamava
x
8. A energia vital de cada Troll era igual ao coeficiente do monômio respectivo no desenvolvimento
de (2x+3x2 +4x3)8. Por exemplo o Troll x8 tinha 28 de energia vital. Os cavaleiros perceberam que
se não conseguiam derrubar um Troll de um único golpe, o Troll regenerava as feridas. Dessa forma era
necessário desferir um golpe de poder igual à energia do Troll acertado. Sir Lucan se encontrava face
a face com vários Trolls, um deles era x20. Enquanto se esquivava dos ataques dos Trolls, Sir Lucan
conseguiu desferir um golpe de poder
8! · 28 · 34
4! · 4!
no Troll x20, cortando assim o braço que segurava o
machado. O Troll deu um grito de dor e rapidamente o braço cresceu no corpo dele a uma velocidade
impressionante. Lucan soube nesse momento que não desferiu um golpe forte o suficiente para derrotar
o Troll. Enquanto o Troll se abaixava para recuperar o machado, Lucan desfere um golpe de poder igual
à energia vital de x20. Desta vez, o Troll não se levantou nunca mais.
Qual era o número de Trolls contra os quais os cavaleiros lutavam e qual era a energia vital do Troll
x
20?
2
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Questões
6. Após desfazer o encantamento da entrada e vencer todos os Trolls, Merlin e os cavaleiros entraram na
caverna. Nela se depararam com outro grupo de Trolls. Desta vez o nome de cada Troll era igual a
um dos monômios, não constantes, no desenvolvimento de (3 + 2y)20 e cada Troll tinha energia vital
igual ao coeficiente do monômio respectivo no desenvolvimento de (3+2y)20. Após vencer os 10 Trolls
mais fracos, os outros fugiram pelos túneis da caverna. Eram tantos túneis que parecia um labirinto.
Rapidamente Merlin percebeu que o ĺıder dos Trolls era o de maior energia vital. Este Troll fugiu até a
câmara onde se encontrava o cajado.
Qual era o nome do Troll ĺıder e qual era sua energia vital?
Desenlace
Sendo bom em Matemática, Merlin seguiu o ĺıder atê a câmara onde se encontrava o cajado. A maga Morgana
tinha fugido, ela não conseguiu aprender a utilizar o cajado de Merlin nesse curto peŕıodo de tempo. Para
dominar o poder do cajado era necessário ter um profundo conhecimento de funções geradoras, relações de
recorrência e teoria de grafos. Ela foi uma boa aprendiz de Merlin, mas Merlin rapidamente percebeu que ela
seria consumida pelo poder e não ensinou essas noções a ela. Após esta derrota, Morgana fugiu e começou
seriamente a aprender Matemática, para num futuro próximo conseguir vencer Merlin e destruir o reino de
Camelot.
Se você fosse Merlin, teria conseguido recuperar o cajado?
3