Matemática Combinatória: Coeficientes Binomiais, Binômio de Newton, Teorema Multinomial

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Lista 2 de Matema´tica Combinato´ria (Coeficientes Binomiais, Binoˆmio de Newton, Teorema Multinomial)
1 Para n, p e r inteiros na˜o negativos, mostre que:
(i)
(
n
p
)
=
(
n
n−p
)
(ii)
(
n
r
)
×
(
n−r
p
)
=
(
n
p
)
×
(
n−p
r
)
(iii) n
(
n−1
p
)
= (p+ 1)
(
n
p+1
)
2 Calcule o valor das somas:
(i) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . .+ 50.51.52
(ii) 12 + 22 + . . .+ n2
3 Mostre por induc¸a˜o:
(i) o Teorema das Linhas,
(ii) o Teorema das Colunas,
(iii) o Teorema das Diagonais.
4 Dois habitantes de uma cidade na˜o podem ter a mesma disposic¸a˜o de dentes na boca. Quantos habitantes,
no ma´ximo pode ter essa cidade? (Suponha que o nu´mero ma´ximo de dentes seja 32)
5 Entre 2n objetos, n sa˜o ideˆnticos. De quantas formas podemos selecionar n entre esses 2n objetos?
6 Entre 3n+ 1 objetos, n sa˜o ideˆnticos. De quantas formas podemos selecionar n entre esses 3n+ 1 objetos?
7 Qual o coeficiente de x8 no desenvolvimento de (2x3 + x−1)20?
8 Para que valores de k, o coeficiente binomial
(
n
k
)
, e´ ma´ximo?
9 Calcule 114 usando o Teorema Binomial.
10 Calcule o termo em x6 no desenvolvimento de (3x6 + 5/x3)10.
11 Qual o coeficiente de x4y5z6w2 em (x+ y + z + w)17?
12 Determine o coeficiente de x15 no desenvolvimento de (2 + 3x7 − x8)21.