Aula 03 - Distribuicao de frequencia

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Distribuição de frequência
Características da distribuição de frequência
As variáveis podem ser observadas e estudadas muito mais facilmente quando dispusermos valores
ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparece repetido.
Denominamos frequência o número de repetições de determinado valor da variável estudada. A
distribuição de frequência é a análise de todas essas frequências e como elas estão distribuídas.
Como exemplo, vamos analisar uma table de distribuição de frequência de alturas de estudantes de uma
determinada turma:
Altura (cm) Frequência
151 1
152 0
153 1
154 1
155 4
156 3
157 1
158 2
159 0
160 5
161 4
162 3
163 2
164 3
165 1
166 1
Classes
Mas o processo dado ainda é inconveniente, já que exige muito espaço, mesmo quando o número de
valores da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela própria
natureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em vários intervalos. Como exemplo:
Altura (cm) Frequência
151 - 155 8
156 - 160 11
161 - 165 13
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Altura (cm) Frequência
166 - 170 1
Os intervalos criados são chamados de classes. Na tabela acima, à direita, podemos ver a frequência de
cada classe.
Classes de frequência ou apenas classes são intervalos de uma variação da variável.
Extremos
Denominanos também de limites de classe os extremos de cada classe
No caso há o limite inferior e o superior de cada classe. Nos exemplos anteriores, os limites inferiores
seriam: 151, 156, 161, 166; e os superiores: 155, 160, 165, 170.
Amplitude
Amplitude de um intervalo de classe ou apenas amplitude é a medida do intervalo que
define a classe.
Ela é obtida pela diferença entre os limites superiores e inferiores. Nos exemplos anteriores, há as
seguintes amplitudes para cada classe em ordem: 4.
Amplitude total da distribuição
Amplitude total da distribuição é a diferença entre o limite superior da última classe e o
limite inferior da primeira classe. Ou também a diferença entre o menor dado e o maior.
No exemplo, a amplitude total seria 19, por o limite inferior da primeira classe ser 151 e o limite superior
da última classe ser 170.
Número de classes
A primeira preocupação que temos em uma distribuição de frequência é a determinação do número de
classes.
Normalmente é utilizado a regra de Sturges, que nos dá o número de classes a partir da seguinte
função:
A amplitude de cada classe é dada pela divisão entre a amplitude total e o número de classes:
Tipos de frequência
Frequência simples ou absoluta
amplitude: 155 − 151 = 160 − 156 = 165 − 161 = 170 − 166 = 4
quantidade de classes = 1 + 3, 3 ∗ log(n)
amplitude de cada classe = 
amplitude total
número de classes
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Frequência simples ou absoluta são os valores que realmente representam o número de
dados de cada classe
Exemplo:
Altura (cm) Frequência simples
151 - 155 8
156 - 160 11
161 - 165 13
166 - 170 1
Frequência relativa
Frequência relativa são os valores das razões entre as frequências simples e a frequência
total
Exemplo com total 33:
Altura (cm) Frequência relativa
151 - 155 8/33
156 - 160 11/33
161 - 165 13/33
166 - 170 1/33
Frequência acumulada
Frequência acumulada é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite
superior do intervalo de uma dada classe.
Altura (cm) Frequência acumulada
151 - 155 8
156 - 160 19
161 - 165 32
166 - 170 33
Frequência acumulada relativa
Frequência acumulada relativa é a frequência acumulada das classes dividido pelo total
da distribuição.
Exemplo com total 33:
Altura (cm) Frequência acumulada relativa
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Altura (cm) Frequência acumulada relativa
151 - 155 8/33
156 - 160 19/33
161 - 165 32/33
166 - 170 33/33
Representação gráfica
Além do gráfico de barras ou histograma para representar graficamente uma distribuição de frequência
podemos utilizar as seguintes possibilidades.
Polígono de frequência
Para uma representação gráfica da distribuição de frequência se utiliza o polígono de frequência.
O polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de
classe.
Exemplo:
Polígono de frequência acumulada
O polígono de frequência acumulada é traçado marcando-se as frequências acumuladas
sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas aos pontos correspondentes aos
limites superiores dos intervalos de classe.
Exemplo:
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Curva de frequência
Como em geral, os dados coletados pertencem a uma amostra extraída de uma população, a linha
poligonal não é a melhor representação da realidade de população. Para demonstrar a realidade da
população usa-se a curva de frequência, colocando-se em evidência a natureza da distribuição da
população.
Enquanto o polígono de frequência é dada a imagem real do fenômeno estudado, a curva de frequência
fornece a imagem tendencial.
Assim, após o traçado de um polígono de frequência é desejável realizar um polimento de modo a
mostrar o que seria tal polígono com um número maior de dados.
Esse polimento consiste na eliminação dos vértices da linha poligonal. Consegue-se isso com o emprego
de uma fórmula a partir das frequências reais, obtendo assim frequências calculadas.
A fórmula da frequência calculada de uma classe i é:
Fc é a frequência calculada
Fi é a frequência simples da classe
Fi-1 é a a frequência simples da classe anterior
Fi+1 é a a frequência simples da classe seguinte
Altura (cm) Frequência Frequência calculada
151 - 155 8 (0 + 16 + 11)/4 = 6,75
156 - 160 11 (8 + 22 + 13)/4 = 10,75
161 - 165 13 (11 + 26 + 1)/4 = 9,5
166 - 170 1 (13 + 2 + 0)/4 = 3,75
As formas das curvas de frequência
=Fc
+ 2 ∗ +Fi−1 Fi Fi+1
4
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Curvas em forma de um sino
Caracterizam-se pelo fato de apresentarem um valor máximo na região central. São as
mais encontradas na natureza. Exemplos: alturas, notas de alunos, crescimento diário de
preços de ações etc...
Podem ser simétricas:
E podem ser assimétricas:
As assimétricas podem ser enviesadas para direita ou esquerda, ou respectivamente assimétricas
positivas ou negativas.
Curvas em forma de jota
São relativas às distribuições extremamente assimétricas. Normalmente encontradas em
funções exponenciais. Exemplos: crescimento populacional, valor de um fundo, preço de
produtos no tempo.
Curvas em forma de U
São relativas às distribuições que apresentam ordenadas máximas em ambas as
extremidades. Pode ser encontrada em situações bem específicas: temperatura durante o
ano, taxa de mortalidade por idade.
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Exercícios
1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram: 
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 
Decidiu-se dividir as frequências em 5 classes (0-2, 2-4, 4-6, 6-8 e 8-10). Responda:
a) Complete a distribuição de frequência das classes. 
b) Qual a amplitude amostral? 
c) Qual a amplitude da distribuição? 
d) Qual o número de classes da distribuição?e) Qual o limite superior da quarta classe? 
f) Qual o limite superior da classe de ordem 2? 
g) Qual a amplitude do segundo intervalo de classe? 
2) Conhecida as notas de 50 alunos: 
 
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54 
 
Obtenha a distribuição de frequência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo
de classe.
3) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 
 
1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 
5 5 5 3 3 3 5 5 5 5 
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5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 
 
Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.
4) Dada a distribuição de frequência: 
 
x Frequência
3 2
4 5
5 12
6 10
7 8
8 3
Determine:
a) O somatório das frequências 
b) As frequências relativas 
c) As frequências acumuladas 
d) As frequências relativas acumuladas 
5) Confeccione a curva polida relativa à distribuição de frequência: 
 
i classes Frequência
1 4 - 8 2
2 8 - 12 5
3 12 - 16 9
4 16 - 20 6
5 20 - 24 2
6 24 - 28 1
6) Cite o tipo de curva correspondente a cada distribuição a seguir: 
 
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a) Número de mulheres de 15 a 30 anos, em uma dada população, casadas,
classificadas segundo o número de vezes que hajam contraído matrimôni
o; 
b) Notas de alunos que cursam a última série do 2º grau, em uma dada po
pulação; 
c) Coeficiente de mortalidade por acidente, por grupo de idade; 
d) Tempo de estacionamento de veículos motorizados em uma área de conge
stionamento; 
e) Número de homens capacitados, por grupo de idade, que estão desempre
gados. 
7) Os números abaixo apresentam os coeficientes de liquidez obtidos da análise do balanço de 50
indústrias: 
 
3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,6 
18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7 
4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 0,8 4,4 
7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9 
4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 16,0 
 
a) Forme com esses dados uma distribuição com intervalos de classe igua
is a 3, tais que os limites inferiores sejam múltiplos de 3; 
b) Confeccione o histograma e o polígono de frequência correspondentes. 
8) Um grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo: 
 
Nebulosidade Frequência
0 - 0,5 320
0,5 - 1,5 125
1,5 - 2,5 75
2,5 - 3,5 65
3,5 - 4,5 45
4,5 - 5,5 45
5,5 - 6,5 55
6,5 - 7,5 65
7,5 - 8,5 90
8,5 - 9,5 145
9,5 - 10 676
Construa o histograma correspondente.
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9) Considerando a distribuição abaixo: 
 
Classes Frequência
1 - 2 7
2 - 3 3
3 - 4 10
4 - 5 11
5 - 6 12
6 - 7 37
7 - 8 35
8 - 9 45
9 - 10 39
10 - 11 30
11 - 12 25
Construa o histograma correspondente.
10) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes: 
 
Áreas (m²) Número de lotes
300 - 400 14
400 - 500 46
500 - 600 58
600 - 700 76
700 - 800 68
800 - 900 62
900 - 1000 48
1000 - 1100 22
1100 - 1200 6
Com referência a essa tabela, determine:
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In [ ]:
 
a) a amplitude total; 
b) o limite superior da quinta classe; 
c) o limite inferior da oitava classe; 
d) o ponto médio da sétima classe; 
e) amplitude do intervalo da segunda classe; 
f) frequência da quarta classe; 
g) frequência relativa da sexta classe; 
h) frequência acumulada da quinta classe; 
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m²; 
j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m²; 
l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m²; 
m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500 m², no mínimo, mas inferi
or a 1000 m²;