AULA_11___CENTRO_DE_MASSA_E_GRAVIDADE

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Centroide
MKT-MDL-05
Versão 00
Oficina Profissionalizante
Introdução
• Os conceitos de CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE 
MASSA e CENTRÓIDE, muitas vezes são utilizados como se 
fossem a mesma coisa, pois, na prática são originários de 
um mesmo princípio, o desenvolvimento do primeiro, leva 
aos outros dois, com algumas particularidades. 
• O TEOREMA DE VARIGNON é utilizado para desenvolver o 
conceito de centro de gravidade. 
Teorema de Varignon
• “O momento da resultante de um sistema de forças 
coplanares, em relação a um ponto qualquer de seu plano, 
é igual a soma algébrica dos momentos parciais das forças 
constituintes do sistema em relação ao mesmo ponto.” 
Teorema de Varignon
• O sistema abaixo, compõem-se de uma viga com as três 
forças indicadas (F1, F2, F3), tendo como resultantes: FR = 
- 14 N e MRO = - 33 N.m (sentido horário).
Características Geométricas
Características Geométricas
1. Área
2. Momento Estático de Área 
3. Centro de Gravidade; Centro de Massa, Centroide 
4. Momento de Inércia
5. Raio de Giração 
Área
• Área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu 
contorno. 
• Unidade de área: [L²] – unidade de comprimento ao 
quadrado 
• Sistema Internacional [m²] outras unidades: in²; cm²; mm²; 
• A área é utilizada para a determinação das tensões normais 
de tração e compressão (σ) e das tensões de cisalhamento 
ou corte (τ).
Centro de Gravidade
𝑥𝐺 =
𝑚1 ∙ 𝑥1 +𝑚2 ∙ 𝑥2 +𝑚3 ∙ 𝑥3
𝑚1 +𝑚2 +𝑚3
𝑦𝐺 =
𝑚1 ∙ 𝑦1 +𝑚2 ∙ 𝑦2 +𝑚3 ∙ 𝑦3
𝑚1 +𝑚2 +𝑚3
• Centro de gravidade: quando 
se utiliza as forças-pesos.
• Centro de massa: quando se 
utiliza as massas.
Centroide
• Quando consideramos uma superfície 
(figura no plano XY) ao invés de um 
corpo sólido (volume), a expressão 
centro de gravidade é denominada por 
alguns autores de CENTRÓIDE, ou ainda 
de BARICENTRO de uma superfície.
𝑥𝐺 =
𝐴1 ∙ 𝑥1 + 𝐴2 ∙ 𝑥2 + 𝐴3 ∙ 𝑥3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
𝑦𝐺 =
𝐴1 ∙ 𝑦1 + 𝐴2 ∙ 𝑦2 + 𝐴3 ∙ 𝑦3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
Pontos a Considerar
• O centroide representa o centro geométrico de um corpo. 
Esse ponto coincide com o centro de massa ou centro de 
gravidade somente se o material que compõe o corpo for 
uniforme ou homogêneo.
• As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou 
o centroide simplesmente representam um equilíbrio entre 
a soma dos momentos de todas as partes do sistema e o 
momento da ‘resultante’ do sistema.
• Em alguns casos, o centroide está localizado em um ponto 
que não está sobre o objeto, como no caso de um anel, 
onde o centroide está no seu centro.
Centroides de Superfícies Planas
• Retângulo * Quadrado * Triângulo
Centroides de Superfícies Planas
• Círculo ¼ de Círculo Semicírculo
Centroide - Exemplo
• Calcular e localizar o centroide da peça abaixo:
Centroide – Exemplo
Centroide – Exemplo
Centroide – Exemplo
• Determinar o centro de 
gravidade da figura, 
utilizando o Momento 
Estático de Área 
Centroide – Exercícios
• Calcular o CG das figuras abaixo:
Centro de Massa de um Corpo
• Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado 
de um corpo, é importante localizar o centro de massa 𝐶𝑚
do corpo.
• Essa localização pode ser determinada através das 
notações:
ҧ𝑥 =
׬ ෤𝑥𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
ത𝑦 =
׬ ෤𝑦𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
ҧ𝑧 =
׬ ǁ𝑧𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
Centro de Massa de um Corpo
• A integral ∫ x ⋅ dV é conhecida como Momento Estático ou 
Momento de Primeira Ordem de Volume em relação ao 
plano yz. Analogamente, ∫ y ⋅ dV em relação a xz e ∫ z ⋅ dV
em relação a xy.
• Ou seja, ha dois métodos para determinar o CG de 
volumes: por Integração e Composição de Corpos.
Centroide por Integração –
Exemplos
• Localize o centroide da área mostrada na figura.
Centroide por Integração -
Exemplo
• Determinar o centroide ത𝑦
da área sombreada.
Momento de Inércia
Momento de Inércia
• Momento de Inércia é uma grandeza que mede a resistência 
que uma determinada área oferece quando solicitada ao 
giro em torno de um determinado eixo. Normalmente 
representamos pelas letras I e J.
• Caracteriza ou quantifica a capacidade de resistência dos 
elementos estruturais. (Ex.: flexão de vigas).
Momento de inércia
• Por definição, os momentos de inércia 
de uma área diferencial 𝑑𝐴 em relação 
aos eixos 𝑥 e 𝑦 são:
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴
𝑑𝐼𝑦 = 𝑥
2𝑑𝐴
• Para a área inteira, temos:
𝐼𝑥 = න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴
𝐼𝑦 = න
𝐴
𝑥2𝑑𝐴