7_12_EspacoVetorial

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Álgebra Linear 
Espaço Vetorial 
 
 
Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle 
 
 
Dpto. de Ciências Básicas – FZEA – USP 
Aulas: 8 – 10. 
Um conjunto não vazio E, no qual estão definidas 
duas operações e , é um espaço vetorial se as 
seguintes propriedades são satisfeitas: 
A1: Se 
A2: 
A3: 
A4: Existe tal que 
A5: A cada , existe tal que 
 
e 
Espaço vetorial - Definição 
EvuEvEu  ,
 
wvuwvuEwvu  )()(,,
E0 Evvv  ,0
uvvuEvu  ,
Ev Ev  )(
0)(  vv
Espaço vetorial – Definição (cont) 
M1: Dado um escalar , e dado 
 então . 
M2: 
M3: 
M4: 
M5: 
 
Nota: Identificar onde são realizadas as operações. 
Os elementos de um espaço vetorial são vetores. 
K Ex
Ex
ExKxx  ;,);()( 
Exxx  ;1
EyxKyxyx  ,;);()()( 
ExKxxx  ;,);()()( 
São espaços vetoriais? 
1. (complexos), com: 
e 
2. o conjunto de matrizes coluna com duas 
filas, considere a soma usual: 
 
 
 e considere a multiplicação vezes escalar como: 
 
 
(Não – Falha na distributiva). 
12xM





















2121
1111
21
11
21
11
yx
yx
y
y
x
x
yx













21
11
21
11
x
x
x
x
x


C
inbmanimbia )()()()( 
biabia   )(
Principais Exemplos 
1. O conjunto de polinômios de grau n 
 
 
 
 Assim os polinômios são vetores. 
2. O conjunto de n-uplas 
}/...)({ 01
1
1 RaaxaxaxaxpP i
n
n
n
nn 


)()(...)(, 0011 baxbaxbaqpPqp
n
nnn 
)()(...)(, 01 axaxapPpR
n
nn  
}/),,...,,{( 011 KaaaaaK inn
n  
),,...,(, 0011 bababakhKkh nn
n 
),,...,(, 01 aaakKkR n
n  
Principais exemplos 
3. o conjunto de matrizes de m linhas e n 
colunas, com a soma usual: 
mxnM




































mnmnmm
nn
mnm
n
mnm
n
yxyx
yxyx
yy
yy
xx
xx
yx
...
.........
...
...
.........
...
...
.........
...
11
111111
1
111
1
111
Principais exemplos 
 e com a multiplicação vezes escalar usual: 
 
 
 
 
 é um espaço vetorial. 
 Assim as matrizes são vetores. 






















mnm
n
mnm
n
xx
xx
xx
xx
x



...
.........
...
...
.........
...
1
111
1
111
• Dado um espaço vetorial M, com uma adição e 
multiplicação veces escalar definidas, então 
 um subconjunto W de M, 
 com a adição e multiplicação veces escalar de M 
restringindo para W, 
 é subespaço vetorial se ele é 
 fechado para a adição restringida e é 
 fechado para a multiplicação por escalar restringida. 
 
Exemplo: Retas e Planos passando pela origem. 
Subespaço vetorial 
Mais exemplos 
1. O conjunto solução do problema 2, é um espaço 
vetorial com as operações usuais? 
O sistema toma a forma: 
 
 
 
Assim temos um grau de liberdade, e o conjunto 
 
 é um espaço vetorial. 
 (Verifique como subespaço vetorial). 
 
 



































00
06
05
0000
0610
0501
0610
0111
0501
32
31
xx
xx
RS 















 



/6
5
Mais exemplos (cont) 
2. Problema 5(lista), para . O conjunto solução 
é um espaço vetorial com as operações usuais? 
 
 
 
 
 
 
 O conjunto solução não 
 é espaço vetorial! 




























00000
10100
10010
21001
63333
12302
31231
41111
1w
RS 


















 
 


/
1
1
2
Espaços vetoriais similares 
Observar que é possível expressar de forma similar, 
todo elemento dos espaços: 
 

R
2 )1,0()0,1(),( 2121
2 xxxxxx R
12xM 


















1
0
0
1
2111
21
11
12 xx
x
x
xMx x
21xM      1001 1211121121 xxxxxMx x 
1P )1()( 21211 ataataxPx 
Outros espaços vetoriais 
Relacionar Ternas e Matrices 3x1 ou 1x3 e polinômios 
de ordem 2. 
Relacionar com matrices nx1(1xn) e polinômios 
de ordem (n-1). 

R
n
Conceitos necessários 
Combinação linear de um conjunto de vetores 
Um conjunto de vetores pode ser GERADOR de um 
espaço vetorial. 
Um conjunto de vetores pode ser LI, linearmente 
independentes. 
Uma base é um conjunto de vetores, não vazio, que 
gera o espaço vetorial e eles são LI. 
A dimensão do espaço é o tamanho da base. 
Combinação linear de vetores 
Seja um espaço vetorial , e seja um 
subconjunto , onde , então 
um vetor é combinação linear de , se 
existem escalares , tal que: 
 
Exemplos: 
1. sendo 
2. sendo 
3. sendo 
EE  ),,(
ES   nS  ,,, 21 
Ev S
nccc , , , 21 
nncccv  2211  
]825[v      401 ,211 S
]825[v       121,121 ,210 S
ttv 574 2   22 342 ,9 ,2 ttttS 
Gerador de um espaço vetorial 
Um conjunto de vetores é um 
gerador do espaço , se todo vetor 
é combinação linear de . 
Exemplos: 
1. é gerador de ? 
2. é gerador de ? 
3. é gerador de ? 
4. é gerador de ? 
     401 ,211 S
      121,121 ,210 S
 22 342 ,9 ,2 ttttS 
     401 ,211 S
2P
EE  ),,(
  ES n  , , , 21  
Ev
S
31xM
31xM
21xM
Conjunto linearmente independente (L.I.) 
Um conjunto de vetores é 
linearmente independente ( é L.I.), sempre que 
 então necessariamente 
 . 
Caso contrário, é linearmente dependente (L.D.). 
Exemplos: 
1. é L.I. em ? 
2. é L.I. em ? 
3. é L.I. em ? 
4. é L.I. em ? 
     401 ,211 S
       121 ,121 ,210 S
 22 342 ,9 ,2 ttttS 
     401 ,211 S
2P
  ES n  , , , 21  
S
nnccc  0 2211  
0 , ,0 ,0 21  nccc 
31xM
31xM
21xM
S
Única forma de combinar o vetor 0 
é com coeficientes nulos (zeros). 
Base e dimensão de um espaço vetorial 
Um conjunto de vetores é 
uma base do espaço vetorial , se: 
 gera o espaço , e 
 é linearmente independente (L.I.). 
O número de elementos da base de é a dimensão 
Exemplos: 
1. é base de ? 
2. é base de ? 
3. é base de ? 
4. é base de ? 
     401 ,211 S
       121 ,121 ,210 S
 22 342 ,9 ,2 ttttS 
     401 ,211 S
2P
  ES n  , , , 21  
S
31xM
31xM
21xM
S
E
E
E .n
Exercícios e problemas 
1. Qual o valor de c para que o conjunto , não 
seja base de . 
2. Geram os conjuntos abaixo? 
 
 
3. Dada a equação homogênea . É L.I. o 
seguinte conjunto de vetores solução? 2c2t ,3 2  tS
S
1P
2P
 4 t,2 ,12t ,2 222  ttttS
 1 t,12 t 22  tS
0AX


































2
2
1
 
1
7
4
 
1
1
2
321 XXX
Mais problemas e exercícios 
1. Determine uma base para o conjunto solução do 
sistema homogêneo 
2. Seja . O conjunto S gera W. Determine 
uma base e a dimensão de W, onde 
 
 
3. Sejam M, N e R os pontos médios dos lados de 
um triângulo, cuja área não é nula. Determine os 
vértices do triângulo. 
 3432 ,2 ,1 ,12 233223  tttt-tttttS
3PW 
O espaço vetorial 
• Estudamos em particular os espaços vetoriais com 
muitas aplicações geométricas. Entre eles estão o 
Plano ( ) e o Espaço ( ). 
• é um espaço vetorial com a soma usual de n 
componentes (somando as componentes corres-
pondentes) e a multiplicação vezes escalar usual 
de todas as componentes vezes o escalar. 
• Pretendemos incrementar mais uma operação 
“produto escalar”. E no caso de , mais outra 
chamada “produto vetorial”. 
 
n
R
2
R
3
R
n
R
3
R
Tópicos 
• Interpretação geométrica das componentes como 
deslocamento nas direções (vetores base) dadas. 
• Produto escalar (ponto, interno). 
• Norma de um vetor. Vetor unitário correspondente 
• Ângulo entre vetores. Lei de cosenos. 
• Vetores ortogonais. Vetores paralelos. 
• Vetor projeção ortogonal. 
Produto escalar 
Definição de produto ponto (escalar, interior): 
Sejam , o produto escalar é: 
 
Propriedades: Comutatividade, distributividade. 
 
Aplicações: 
a) Norma de um vetor 
b) Ângulo entre vetores 
c) Vetor projeção de um vetor sobre outro 
d) Vetor unitário. 
 
nn KyKx  ,
Kyxyxyxyx nn  ...2211
Tópicos em três dimensões 
• Produto vetorial. 
• Não comutativo 
• Distributivo. 
• , para todo vetor . 
• O produto vetorial é um vetor ortogonal aos dois 
vetores que o geram: 
• 
• Se u e v são os vetores lados de um triângulo, a área é 
 
• O volume de um paralelogramo formado por três 
vetores u, v e w, é: 
0uu
3
Ru
wwvvwv  e 
)(senovuvu 
vu
2
1
A triângulodo Área
)( wvuVVolume 
Dado um vetor não nulo , que une dois pontos 
diferentes, e dado um ponto de passagem , então 
define-se uma reta como o conjunto: 
 
 
A expressão acima é a equação vetorial da reta. 
As equações paramétricas: 
 RR  ttuPQQ n todopara , / 0L
Visão vetorial: Retas em nR
nu R
0P
 RR  ttuQPQ n todopara , / 0L
R










t
tupq
tupq
tupq
nnn

222
111
:L
Dado dois vetores não nulos e L.I. , e dado 
um ponto de passagem , então define-se um 
plano como o conjunto: 
 
 
A expressão acima é a equação vetorial da reta. 
As equações paramétricas: 
 RR  stsvtuPQQ n , todopara , / 0P
Visão vetorial: Planos em nR
nvu R,
0P
R










t
svtupq
svtupq
svtupq
nnnn

2222
1111
:P
R stsvtuPQ , todopara , : 0P
Aplicações dos vetores em retas e planos 
1. Os pontos P=(6,3), Q=(10,6) e R=(-6,8) são vértices de 
um triângulo. Determine a equação da reta ortogonal a 
bissetriz do ângulo QPR e que passa pelo ponto Q. 
2. Sejam os vetores u=(-2,0,1), v=(1,-2,0) 
 e w=(1,1,1). Determine a projeção 
 ortogonal de u sobre o plano determi- 
 nado pelos vetores v e w. 
3. O ângulo entre duas retas é , a primeira passa pelo 
ponto A=(a,0), a < 0, a segunda passa pelo ponto C=(0,5), 
e o ponto B(no segundo quadrante) pertence as duas retas. 
Sabendo que AB+BC//(1,7), e a inclinação da primeira 
reta é -3, determine a equação vetorial da bissetriz de 
v 
w 
av+bw 
u 
t(vxw) 
4

 
.
Mais ainda 
4. Os vértices de um triângulo são os pontos A, B e 
C, onde: e . Determine a 
equação da reta que contêm a bissetriz interior do 
triângulo no ângulo correspondente ao vértice A. 
5. Seja ABC um triângulo. Se M=(1,9) e N=(6,2) são 
os pontos médios dos lados AB e BC respectiva-
mente, e . 
 
 Determine os vértices do triângulo. 
aBA  aAC 2
)1,1//(AB )1,3(
5
8
Proj AB
AN
Problemas e exercícios 
6. Determine a equação geral do plano que passa 
pelo ponto R=(5,-3,2) e é paralelo as retas 
 
 
 
7. Determine a equação geral do plano que passa 
pelo ponto (2,-1,3) e contém o eixo Z. 
8. Determine as equações paramétricas da reta que é 
intersecção dos planos: e 
R








t
tx
tx
tx
219
3
7
:
3
2
1
LR





 tz
yx-
10
3
30
2
20
:L
132  zyx
.052  zyx