Dados os vetores u⃗ =(2,0,−3) e v⃗ =(1,1,1) , então o ângulo θ formado por u⃗ e v⃗ é igual a: a. θ=arccos(−113√) b. θ=arccos(−139√) c. θ=arccos(139√) d. θ=arccos(113√) e. θ=arccos(113√)

Question

Dados os vetores u⃗ =(2,0,−3)  e v⃗ =(1,1,1) , então o ângulo θ  formado por u⃗   e v⃗   é igual a:  a. θ=arccos(−113√)  b. θ=arccos(−139√)  c. θ=a...

Ed · Answer

Para encontrar o ângulo θ formado pelos vetores $ \vec{u} = (2, 0, -3) $ e $ \vec{v} = (1, 1, 1) $, utilizamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:

$$
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}
$$

1. **Calculando o produto escalar $ \vec{u} \cdot \vec{v} $**:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 = 2 + 0 - 3 = -1
   $$

2. **Calculando as normas dos vetores**:
   $$
   ||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 0 + 9} = \sqrt{13}
   $$
   $$
   ||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
   $$

3. **Substituindo na fórmula do cosseno**:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{\sqrt{39}}
   $$

4. **Encontrando o ângulo**:
   $$
   \theta = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{39}}\right)
   $$

Agora, analisando as alternativas:

a) $ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{13}}\right) $  
b) $ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{39}}\right) $  
c) $ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{39}}\right) $  
d) $ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right) $  
e) $ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right) $

A alternativa correta é a **b)** $ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{39}}\right) $.

Ed · Answer

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, você pode usar a fórmula do produto escalar. O cosseno do ângulo entre dois vetores u e v é dado por u.v / (||u|| * ||v||), onde u.v é o produto escalar de u e v, e ||u|| e ||v|| são as magnitudes dos vetores u e v, respectivamente.

Dado que u⃗ =(2,0,−3) e v⃗ =(1,1,1), podemos calcular o produto escalar u.v = 2*1 + 0*1 + (-3)*1 = 2 - 3 = -1. As magnitudes dos vetores são ||u|| = sqrt(2^2 + 0^2 + (-3)^2) = sqrt(4 + 0 + 9) = sqrt(13) e ||v|| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3).

Substituindo na fórmula, temos cos(θ) = -1 / (sqrt(13) * sqrt(3)) = -1 / (sqrt(39)). Portanto, o ângulo θ entre os vetores u e v é dado por θ = arccos(-1 / sqrt(39)), que corresponde à alternativa:

b. θ = arccos(-1 / sqrt(39))

Geometria Analítica

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Dados dois vetores u⃗ =(2,4) e v⃗ =(6,1) , assinale a alternativa que apresenta os resultados de u⃗ +v⃗ e 2u⃗ , respectivamente. a. (6,7) e (2,8) b. (8,5) e (4,8) c. (6,4) e (2,8) d. (3,10) e (4,4) e. (8,3) e (4,8)

Dados os pontos A=(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) , temos o ponto médio do segmento AB é o ponto M=(x1+x22,y1+y22,z1+z22) . Se A=(3,−2,−1) e B=(−1,4,7) , então M é igual a: a. M=(4,2,1) b. M=(0,1,3) c. M=(1,1,3) d. M=(0,2,3) e. M=(1,2,3)

Seja a reta r determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(3,−2,3) . A equação simétrica da reta é: a. r:x−1−2=y2=z−1−2 b. r:x+2−1=y−21=z+2−1 c. r:x−12=y−2=z−12 d. r:x+12=y−2=z+12 e. r:x−1−2=y−2=z−1−2

Sendo u⃗ =(−1,2,0) e v⃗ =(3,−3,4) , então o vetor w⃗ =2v⃗ −3u⃗ é: a. w⃗ =(3,−12,8) b. w⃗ =(3,0,8) c. w⃗ =(9,0,8) d. w⃗ =(9,−12,11) e. w⃗ =(9,−12,8)

Dados os vetores: v⃗ =2i⃗ −2j⃗ +k⃗ e u⃗ =3i⃗ −6j⃗, a projeção ortogonal de v⃗ sobre u⃗ é:
a. proju⃗ v⃗ =(2,−2,1)
b. proju⃗ v⃗ =(−2,2,1)
c. proju⃗ v⃗ =(1,−1,12)
d. proju⃗ v⃗ =(4,−4,2)
e. proju⃗ v⃗ =(8,−8,4)

Considere o plano π, que contém os pontos A=(1,0,1) , B=(−1,0,1) e C=(2,1,2) . Uma equação de π é dada por: a. π:2y−2z+2=0 b. π:2x−2y+2z=0 c. π:2x−2y+1=0 d. π:2x−2z−1=0 e. π:2x+2y−2z+2=0

Sendo u⃗ =(−1,−3,1) , v⃗ =(1,0,1) e w⃗ =(2,1,1) , o produto misto (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ ) é igual a: a. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=1 b. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=2 c. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=−4 d. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=−1 e. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=−2

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