Ajustes de Curvas com Quadrados Mínimos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
UFMS – CAMPUS DE AQUIDAUANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
 Unidade II
Ajustes de Curvas
 Prof. Leandro
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1
0011 0010
1
 
 1 – Introdução
	 2 – Quadrados Mínimos (Caso discreto – Modelo linear)
	 3 – Quadrados Mínimos (Caso discreto – Modelo não linear)
 3.1 – Teste de alinhamento
 
 4 – Quadrados Mínimos (Caso contínuo) 
 
Sumário:
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1 – Introdução
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3
 Obter uma função matemática que represente (ou que ajuste)
estes dados, permite fazer simulações do processo, reduzindo
assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto.
 Em geral, experimentos em laboratório geram um conjunto de 
dados que devem ser analisados com o objetivo de determinar
certas propriedades do processo em análise. 
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5
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 Nesta unidade será estudado uma das técnicas mais utilizadas
 para se ajustar dados, conhecida com Método dos Quadrados
 Mínimos (MQM).
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2 – Quadrados Mínimos
Caso discreto - Modelo linear
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 Seja uma tabela de pontos (xi, yi), i = 0, 1,..., m, xi [a, b].
O problema de ajuste de curvas consiste em escolher n funções
g1, g2,..., gn contínuas e linearmente independentes em [a, b] e 
obter n constantes a1, a2,...,an tais que:
 Este é um modelo linear porque a função j(x) utilizada no 
ajuste dos pontos é linear nos parâmetros aj, embora as funções
gj(x) possam ser não-lineares (ex.: ex, 1 + x2, ln(x) ).
j(xk) = a1g1(xk) + a2g2(xk) +...+ angn(xk)
seja uma boa aproximação para os pontos y(xk), ou seja, jk ≈ yk.
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 A escolha das funções gj(x) pode ser feita observando
 o gráfico dos pontos tabelados, 
chamado de diagrama de dispersão, 
Através do qual podemos observar o tipo de curva 
que melhor se ajusta aos dados. 
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Exemplo 1: Considere a seguinte tabela de pontos.
	xk	0.1	0.2	0.5	0.7	0.8	0.9	1.1	1.23	1.35	1.5	1.7	1.8
	yk	0.19	0.36	0.75	0.91	0.96	0.99	0.99	0.94	0.87	0.75	0.51	0.35
A análise do diagrama de dispersão mostra que a função que procuramos se comporta como uma parábola. 
Logo poderíamos escolher as funções g1(x) = 1, g2(x) = x e g3(x) = x2, pois j(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + a3g3(x) representa uma família de parábolas, e com a escolha adequada dos aj teremos aquela que 
melhor se ajusta aos pontos.
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 Para obter a curva que melhor se ajusta a função tabelada a idéia
é impor que o desvio em relação à função aproximada seja o menor
possível, ou seja:
dk = |yk – j(xk)|
j(x)
yk
d1
d2
d3
dk
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 O Método dos Quadrados Mínimos consiste em escolher aj de 
tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima:
isto é, encontrar os parâmetros aj que minimizam a função:
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1
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 A função F é uma função quadrática que satisfaz F(a) ≥ 0 .
Isto é, uma função limitada inferiormente e portanto tem um ponto 
de mínimo. 
 O ponto crítico de F(a) é encontrado igualando seu gradiente a
zero:
Desta forma temos:
[yk – a1g1(xk) - a2g2(xk) – ... – angn(xk)](-gj(xk)) = 0
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12
 A equação anterior pode ser reescrita como:
 Assim, para obter aj temos que resolver o seguinte sistema:
onde,
g1(xk)g1(xk)
g2(xk)g1(xk)
gn(xk)g1(xk)
yk g1(xk)
g1(xk)g2(xk)
g2(xk)g2(xk)
gn(xk)g2(xk)
yk g2(xk)
g1(xk)gn(xk)
g2(xk)gn(xk)
gn(xk)gn(xk)
yk gn(xk)
gi(xk)gj(xk)
yk gi(xk)
å
å
=
=
=
=
m
k
i
m
k
ij
b
A
1
1
Observação
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 A matriz A é a matriz Hessiana de F(a),
 portanto se A for positiva definida, 
garante-se que o ponto crítico é ponto mínimo.
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 No exemplo anterior ajustamos os dados a uma parábola, mas outras funções bases poderiam ser usadas.
 Como exemplo, poderíamos pensar que os dados representam o primeiro meio período de uma função senoidal.
 A soma dos quadrados dos desvios em cada ponto tabelado fornece uma medida que pode ser usada como parâmetro de comparação entre ajustes diferentes. 
 E neste caso poderíamos tomar j(x) = a1 + a2sen( x). Afinal qual seria a melhor escolha?
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Aplicando o Método dos Quadrados Mínimos para o caso da 
função senoidal, obtém-se:
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Calculando a soma dos quadrados dos desvios para cada caso:
Parábola:
Portanto, para este caso, o melhor ajuste foi obtido usando a 
parábola.
Senóide:
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2.1 – Coeficiente de correlação (r)
 Fornece uma medida do percentual de pontos bem ajustados:. 
onde,
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3 – Quadrados Mínimos
Caso discreto - Modelo não linear
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 Existem casos, onde o diagrama de dispersão de uma função indica que os dados devem ser ajustados por uma função que não é linear com relação aos parâmetros aj.
Como exemplo, considere os seguintes dados:
	xk	-1.0	-0.5	0	0.5	1	1.5	2.0	2.5	3
	yk	0.157	0.234	0.350	0.522	0.778	1.162	1.733	2.586	3.858
Observando o diagrama podemos
considerar que os dados tem um 
comportamento exponencial, que
nos sugere o seguinte ajuste: 
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20
 Para aplicar o Método dos Quadrados Mínimos torna-se necessário efetuar uma linearização do problema.
 A linearização da função escolhida para ajustar os pontos anteriores deve ser feita da seguinte forma:
Fazendo b1 = lna1 e b2 = a2 o problema consiste em ajustar os dados de z pela reta:
z(x) = b1 + b2x
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21
Para isso devemos construir uma nova tabela com os dados de 
zk = ln(yk) = b1 + b2x.
	xk	-1.0	-0.5	0	0.5	1	1.5	2.0	2.5	3
	yk	0.166	0.189	0.250	0.600	0.800	1.200	1.800	2.640	3.700
	zk = ln(yk)	-1.796	-1.666	-1.386	-0.511	-0.223	0.182	0.588	0.971	1.308
Resolvendo o sistema anterior obtemos a seguinte solução:
b1 = -1.114 
b2 = 0.832
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22
Desta forma os valores de aj são dados por: 
Portanto temos: 
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Para calcular o coeficiente de correlação escrevemos a seguinte
tabela:
	yk	(yk – y )2	jk	(yk - jk)2 
	0,166	1,1980	0,1427	0,0005
	0,189	1,1482	0,2164	0,0007
	0,25	1,0212	0,3280	0,0061
	0,6	0,4363	0,4972	0,0106
	0,8	0,2121	0,7537	0,0021
	1,2	0,0037	1,1425	0,0033
	1,8	0,2910	1,7320	0,0046
	2,64	1,9029	2,6255	0,0002
	3,7	5,9509	3,9799	0,0783
	 ∑	12,1644	 	0,1066
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 Linearização de algumas curvas:
 Curva Hiperbólica
 Curva Exponencial
 Curva Geométrica
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 Uma vez escolhida uma função não linear em a1, a2,..., an para ajustar uma função dada, uma forma de verificarmos se a escolha feita foi razoável é aplicarmos o teste de alinhamento, que consiste em:
3.1 – Teste de Alinhamento 
i) fazer a “linearização” da função não linear escolhida; 
ii) fazer o diagrama de dispersão dos novos dados; 
iii) se os pontos do diagrama (ii) estiverem alinhados, isto
significará que a escolha da função foi adequada. 
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26
Exemplo 4: Considere a função dada pela tabela:
	xk	-8	-6	-4	-2	0	2	4
	yk	30	10	9	6	5	4	4
Qual das funções
Em primeiro lugar devemos linearizar as funções:
a)
ou
b)
ajustaria melhor os dados da tabela?
	xk	-8	-6	-4	-2	0	2	4
	z1=1/yk	0.03	0.10	0.11	0.17	0.20	0.25	0.25
	xk	-8	-6	-4	-2	0	2	4
	z2=ln(yk)	3.40	2.30	2.20	1.79	1.61	1.39	1.39
:
obtemos
 
,
 
1
)
(
 
De
bx
a
x
y
+
=
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1
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Fazendo o diagrama de dispersão para cada função:
Vemos que os dados de z1 = a + bx se aproximam mais de uma reta. 
Assim, devemos escolher para ajustar os dados.
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1
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4 – Quadrados Mínimos
Caso contínuo
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 No caso contínuo temos uma função f(x) dada num intervalo [a, b]e não mais uma tabela de pontos. 
 O procedimento é análogo ao caso discreto. Escolhidas as funções 
bases gj devemos determinar a função j(xk) = a1g1(xk) + a2g2(xk) +...
+ angn(xk) de modo que o desvio seja mínimo, onde:
 Neste caso os aj também são determinados pela resolução de um 
sistema, onde os elementos Aij são obtidos por intermédio do 
produto interno entre as funções gi(x) e gj(x). 
 E os elementos bi pelo produto interno entre f(x) e gj(x), ou seja:
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5
1
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30
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0
2
4
6
8
10
12
14
Î
0
0.5
1
1.5
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
[
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Þ
-
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å
å
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m
k
k
k
m
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x
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m
k
k
n
n
k
k
k
m
k
k
x
g
x
g
x
g
y
d
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2
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1
1
2
)
(
)
(
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a
a
K
å
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+
-
=
m
k
x
k
n
n
k
k
n
k
x
g
x
g
y
F
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2
)
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1
2
1
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...
)
(
(
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,
(
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4
4
4
8
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a
a
m
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a
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¶
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L
L
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1
3
2
1
3
2
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3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
a
a
a
a
å
å
å
å
å
å
å
å
å
å
å
å
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m
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m
k
n
m
k
m
k
m
k
m
k
n
m
k
m
k
m
k
1
1
2
1
1
1
1
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k
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j
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1
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0.4
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0.7
0.8
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.
0
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k
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S
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a
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2.5
3
0
0.5
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2
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3
3.5
4
x
z
x
z
e
x
x
2
1
1
ln
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j
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Þ
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k
k
k
k
k
k
k
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k
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b
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(
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m
k
t
y
y
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2
1
2
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1
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y
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),
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1
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(
1
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x
a
x
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ln
ln
)
(
2
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1
b
x
a
z
ln
ln
2
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bx
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y
+
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1
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-6
-4
-2
0
2
4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
-8
-6
-4
-2
0
2
4
1
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2
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3
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