Aula10_Método de Jacobi-Richardson

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Método de Jacobi-Richardson (ou Gauss-Jacobi)
Cálculo Numérico Computacional
Método
	Neste método, o sistema Ax = b é escrito na forma x = Cx + g.
	O processo consiste em a partir de uma aproximação inicial x0 calcular x1, x2,..., xn por:
 
xk+1 = Cxk + g.
Método
Para isso colocamos x1 em função de x2,x3, ...,xn da seguinte forma:
Método
De maneira análoga, colocamos x2 em função de x1,x3, ...,xn da seguinte forma:
A partir daí, montamos um processo iterativo dado por:
Método
xk+1
C
xk
g
As equações escritas na forma matricial ficam:
Critérios de Parada
Podemos definir vários critérios de parada para o método entre eles:
que é a distância euclidiana entre duas iterações consecutivas ser menor que ɛ.
Um outro critério de parada é dado por:
neste caso consideramos os elementos do vetor xk+1 e os respectivos elementos do vetor xk e consideramos o máximo da diferença entre eles em módulo. Se essa diferença for menor que ɛ paramos o processo.
Critérios de Parada
Um outro critério é o da distância relativa, dado por:
Exemplo
Resolver o seguinte sistema linear pelo método de Jacobi-Richardson:
com
com
e com o critério de parada da
distância relativa.
Exemplo
Inicialmente colocamos o sistema na seguinte forma:
A partir daí começamos a calcular a sequência de soluções.
Note que neste caso estamos usando o critério da distância relativa.
A solução do sistema é portanto:
11
1
11
1
3
11
13
2
11
12
1
11
1
11
1
3
11
13
2
11
12
1
1
1
3
13
2
12
1
11
...
...
...
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
b
x
a
x
a
x
a
x
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n
n
n
n
n
n
+
-
-
-
=
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+
+
=
+
+
+
22
2
22
2
3
22
23
1
22
21
2
22
2
22
2
3
22
23
2
1
22
21
2
2
3
23
2
22
1
21
...
...
...
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
b
x
a
a
x
a
a
x
x
a
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
n
n
n
n
n
n
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-
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x
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1
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0
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2
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x
1
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î
ï
í
ì
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+
+
6
10
3
2
8
5
7
2
10
3
2
1
3
2
1
3
2
1
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x
x
x
x
x
x
x
x
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ö
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0
0
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05
,
0
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3
2
6
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10
1
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8
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5
1
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2
7
(
10
1
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2
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1
)
1
(
3
)
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3
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1
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1
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2
)
(
3
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2
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1
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k
k
k
k
k
k
k
k
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x
x
x
x
x
x
-
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-
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+
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>
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£
1828
,
0
86
,
1
34
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0
max
34
,
0
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1
(
3
1
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i
r
x
d
e
>
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=
£
£
0606
,
0
98
,
1
12
,
0
max
12
,
0
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1
(
3
1
i
i
r
x
d
e
<
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=
£
£
0163
,
0
9888
,
1
0324
,
0
max
12
,
0
)
1
(
3
1
i
i
r
x
d
966
,
0
6
,
0
3
,
0
2
,
0
98
,
1
6
,
1
2
,
0
2
,
0
978
,
0
7
,
0
1
,
0
2
,
0
)
1
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2
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1
(
1
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2
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3
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1
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3
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1
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2
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1
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3
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1
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2
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-
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-
-
-
=
=
+
-
-
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x
x
x
x
x
x
x
x
x
94
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0
6
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0
3
,
0
2
,
0
86
,
1
6
,
1
2
,
0
2
,
0
96
,
0
7
,
0
1
,
0
2
,
0
)
0
(
2
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0
(
1
)
1
(
3
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0
(
3
)
0
(
1
)
1
(
2
)
0
(
3
)
0
(
2
)
1
(
1
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-
-
=
-
=
-
-
-
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+
-
-
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x
x
x
x
x
x
x
x
x
÷
÷
÷
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ö
ç
ç
ç
è
æ
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94
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0
86
,
1
96
,
0
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1
(
x
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
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9984
,
0
9888
,
1
9994
,
0
)
3
(
x
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
=
=
9984
,
0
9888
,
1
9994
,
0
)
3
(
x
x
22
2
)
(
22
2
)
(
3
22
23
)
(
1
22
21
)
1
(
2
...
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
k
n
n
k
k
k
+
-
-
-
=
+
11
1
)
(
11
1
)
(
3
11
13
)
(
2
11
12
)
1
(
1
...
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
k
n
n
k
k
k
+
-
-
-
=
+
nn
n
k
n
nn
n
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nn
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k
nn
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n
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b
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a
x
a
a
x
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-
-
=
-
-
+
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2
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0
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/
0
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/
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0
...
33
3
22
2
11
1
3
2
1
3
2
1
33
3
33
32
32
31
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
3
2
1
e
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-
+
k
i
k
i
k
i
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x
x
max
max
1
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0
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3
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2
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1
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2
1
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0
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1
)
1
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34
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0
26
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0
26
,
0
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x
d
x
x
d
x
x
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-
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-
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-