PO I - Semana 6 - nota 10

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08/04/2020 Teste: Atividade para avaliação - Semana 6
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5 ptsPergunta 1
Alocação de tratores em tarefas observando dois objetivos.
Uma empresa cuida de realizar a alocação de máquinas agrícolas para tarefas em fazendas. Em seu
planejamento foi detectado que além da maximização do lucro a ser obtido com a alocação das
máquinas para as tarefas é necessário observar, também, a minimização dos custos advindos da
manutenção de acordo com características da tarefa tais como natureza do terreno, tempo de duração e
esforço a ser empregado.
Figura 1: Problema de alocação de máquinas para tarefas.
 
Em termos matemáticos, o modelo é dado como segue:
Conjuntos
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I – conjunto das máquinas;
J – conjunto das tarefas;
Índices
i – índice relacionado com os elementos do conjunto das máquinas (i = 1, 2);
j – índice relacionado com os elementos do conjunto das tarefas (j = 1, 2);
Variáveis
x – indica se ocorreu ou não a alocação da máquina i para realizar a tarefa j (1 – sim; 0 – não);ij
Parâmetros
d – lucro ao realizar a alocação da máquina i para a tarefa j;ij
c – custo de manutenção ao realizar a alocação da máquina i para a tarefa j;ij
 
A partir das informações anteriores, é possível elaborar o modelo matemático geral do problema de
designação bi-objetivo tal como dado pelas Eqs (1)-(4).
Max (1)
Min (2)
S.A. (2)
(3)
(4)
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O modelo dado pelas Eqs (1)-(4) deve ser reformulado para possa ser resolvido pelos métodos de
programação linear disponíveis (Simplex ou Método de Pontos Interiores). Nesse sentido, uma
reformulação possível é considerar os dois objetivos como um único objetivo onde cada termo é
multiplicado por um peso α ou 1-α de acordo com a importância dada ao termo. Essa reformulação do
problema é dada pelas Eqs. (5)-(8)
Max (5)
S.A. (6)
(7)
(8)
Para que ambos os objetivos tenham o mesmo peso basta escolher α = 0,5. Suponha que seja adotado
esse valor para α e considere os seguintes dados de lucro e custo de alocação dados nas Tabelas 1 e 2,
respectivamente.
Tarefa 1 Tarefa 2
Máquina 1 1500 3500
Máquina 2 1000 5000
Tabela 1: Lucro ao realizar a alocação entre as máquinas e tarefas.
Tarefa 1 Tarefa 2
Máquina 1 800 2500
Máquina 2 300 3900
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Tabela 2: Custo de manutenção ao realizar a alocação entre as máquinas e tarefas.
Dica 1: Uma possibilidade para obter a solução ótima de um modelo de programação linear é empregar
o solver gratuito GUSEK dado em: http://gusek.sourceforge.net/ (http://gusek.sourceforge.net/)
Dica 2: Caso tenha dificuldades em relação ao conteúdo para criar modelos no Gusek, você poderá
assistir as vídeo-aulas referentes ao problema de designação e como utilizar o software:
Introdução Designação:https://www.youtube.com/watch?v=JSMFhjKqeI8
(https://www.youtube.com/watch?v=JSMFhjKqeI8&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=17)
1.
Formulação do modelo de designação: https://www.youtube.com/watch?v=D6T-IMdo0OI
(https://www.youtube.com/watch?v=D6T-IMdo0OI&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=18)
2.
Exemplo numérico para o modelo de designação: https://www.youtube.com/watch?v=n7DNcyma41Q
 (https://www.youtube.com/watch?
v=n7DNcyma41Q&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=19)
3.
Modelo de designação no Gusek: https://www.youtube.com/watch?v=DF6a0JY5Cb8
(https://www.youtube.com/watch?v=DF6a0JY5Cb8&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=20)
4.
Dica 3: Um modelo em Gusek para o problema de designação pode ser obtido em:
https://drive.google.com/open?id=1e_lRDAwdzwMNnr10ijzUlN24kNkxLYOS
(https://drive.google.com/open?id=1e_lRDAwdzwMNnr10ijzUlN24kNkxLYOS)
Sejam as seguintes afirmativas para a solução ótima do problema reformulado de designação bi-
objetivo, indique quais são Verdadeiras e quais são Falsas:
FALSO A máquina 1 é designada para a tarefa 1;
FALSO A máquina 2 não é designada para a tarefa 1;
FALSO A máquina 1 não é designada para a tarefa 2;
A máquina 2 é designada para a tarefa 2;
http://gusek.sourceforge.net/
https://www.youtube.com/watch?v=JSMFhjKqeI8&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=17
https://www.youtube.com/watch?v=D6T-IMdo0OI&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=18
https://www.youtube.com/watch?v=n7DNcyma41Q&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=19
https://www.youtube.com/watch?v=DF6a0JY5Cb8&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=20
https://drive.google.com/open?id=1e_lRDAwdzwMNnr10ijzUlN24kNkxLYOS
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FALSO
FALSO A função objetivo obtida para a solução ótima desse problema está entre 2.500 e 3.000.
 
5 ptsPergunta 2
Problema de designação em dois níveis para alocação de colaborador para uma
máquina e da máquina para um material considerando dois objetivos.
Uma fábrica busca realizar a melhor alocação de colaboradores às máquinas e das máquinas para os
materiais a serem utilizados. A Figura 1 ilustra esse problema.
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Figura 1: Atribuição de colaboradores às máquinas e das máquinas aos materiais.
O problema descrito anteriormente é um problema de designação em dois níveis. Sua formulação
matemática pode ser obtida como um caso particular do modelo de transbordo.
Para o modelo de transbordo, sejam os seguintes conjuntos, índices, variáveis e parâmetros do modelo:
Conjuntos
I – conjunto dos colaboradores;
J – conjunto das máquinas;
K – conjunto dos materiais.
Índices
i – índice relacionado com os elementos do conjunto dos colaboradores (i = 1, 2);
j – índice relacionado com os elementos do conjunto das máquinas (j = 1, 2);
k – índice relacionado com os elementos do conjunto dos materiais (k = 1, 2).
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Variáveis
x – alocação entre o colaborador i e a máquina j (1 – sim; 0 - não);ij
y – alocação entre a máquina j e o material k (1 – sim; 0 - não);jk
Parâmetros
c – custo de alocação entre o colaborador i e as máquinas j;ij
h – custo de alocação entre a máquina j e o material k;jk
f – capacidade de alocação do colaborador i;i
d – demanda de alocação do material k;k
M – capacidade máxima de alocação da máquina j.j
 
A partir das informações anteriores, é possível elaborar o modelo matemático geral do problema de
transporte correspondente tal como dado pelas Eqs (1)-(6).
Min (1)
S.A. (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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Porém, percebeu-se que os custos de alocação devem ser considerados com uma função bi-objetivo
com um peso α tal a função objetivo (1) é reformulada como dado na Eq. (7).
Min (7)
Os dados do problema específicos para o problema de designação em dois níveis são dados nas
Tabelas 1, 2, 3, e 4 para os parâmetros c , h , f , e d , respectivamente.ij jk i k
Máquina 1 Máquina 2
Colaborador 1 1500 3500
Colaborador 2 1000 5000
Tabela 1: Custos de alocação em R$ entre os colaboradores e as máquinas.
Material 1 Material 2
Máquina 1 1059 996
Máquina 2 2786 802
Tabela 2: Custos de alocação em R$ entre as máquinas e os materiais.
Cap. Máx.
Colaborador 1 1
Colaborador 2 1
Tabela 3: Capacidade máxima de alocação de máquinas para cada colaborador.
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Demanda
Máquina 1 1
Máquina 2 1
Tabela 4: Demanda de atendimento de cada máquina.
A capacidademáxima (M ) de ambas as máquinas é de 1.j
Foi considerado o seguinte valor de α para obtenção de soluções ótimas: α = 0,7.
Dica 1: Uma possibilidade para obter a solução ótima de um modelo de programação linear é empregar
o solver gratuito GUSEK dado em: http://gusek.sourceforge.net/ (http://gusek.sourceforge.net/)
Dica 2: Caso tenha dificuldades em relação ao conteúdo para criar modelos no Gusek, você poderá
assistir as vídeo-aulas referentes ao problema de transporte e como utilizar o software:
Modelo de transbordo: https://www.youtube.com/watch?v=itwxbvuP5Ks
(https://www.youtube.com/watch?v=itwxbvuP5Ks&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=14)
1.
Modelo de transbordo no Gusek: https://www.youtube.com/watch?v=NdaMCa1ZWSg
(https://www.youtube.com/watch?
v=NdaMCa1ZWSg&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=15)
2.
Dica 3: Um modelo em Gusek para o problema de transbordo pode ser obtido em:
https://drive.google.com/open?id=1V8bX5mMEw2Gq-0txn0X6kU6_chBfhykR
(https://drive.google.com/open?id=1V8bX5mMEw2Gq-0txn0X6kU6_chBfhykR)
Sejam as seguintes afirmativas para a solução ótima do problema, indique quais são Verdadeiras e
quais são Falsas:
VERDADEIRO Não existe a alocação entre o colaborador 1 e a máquina 1;
VERDADEIRO Não existe a alocação entre a máquina 2 e o colaborador 2;
http://gusek.sourceforge.net/
https://www.youtube.com/watch?v=itwxbvuP5Ks&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=14
https://www.youtube.com/watch?v=NdaMCa1ZWSg&list=PLH9knZH6lcgoWG6Q2zn3ilb3mFjJoyvTi&index=15
https://drive.google.com/open?id=1V8bX5mMEw2Gq-0txn0X6kU6_chBfhykR
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Salvo em 12:11 
VERDADEIRO
Existe a alocação entre a máquina 1 e o material 1;
VERDADEIRO Existe a alocação entre o material 2 e a máquina 2;
FALSO A função objetivo obtida para a solução ótima desse problema está entre 6.000 e 6.500.
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