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Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
Nesta seção, estudaremos os conceitos de vibrações
translacionais, livres, não amortecidas com um grau de
liberdade. Isso permitirá compreender melhor o fenômeno da
vibração. Você, uma pessoa antenada com as tendências
ecológicas e de sustentabilidade, ao deslocar-se de sua casa
até seu trabalho de bicicleta, certamente já passou sobre algum
desnível acentuado no pavimento, o que fez com que a
bicicleta oscilasse para cima e para baixo, certo? Esse
fenômeno é conhecido como vibração livre. Como o
movimento ocorre somente no sentido vertical, é conhecido
como vibração translacional, podendo ser amortecida ou não,
dependendo da configuração de sua bicicleta.
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Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
A compreensão das vibrações livres de um grau de
liberdade (1 GDL) é de grande importância para o
entendimento de sistemas vibratórios mais complexos.
Esse tipo de vibração ocorre quando o sistema oscila a partir de
uma excitação inicial e nenhuma outra perturbação posterior
ocorre. As oscilações de um ciclista ou de um veículo após
passar por uma saliência na estrada são exemplos de vibração
livre (RAO, 2008, p. 50).
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Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
De acordo com Hibbeler (2011, p. 504), “a vibração livre
ocorre quando o movimento é mantido por forças
restauradoras gravitacionais ou elásticas”.
Muitos sistemas que apresentam vários graus de
liberdade podem ser idealizados em apenas um GDL, visto
que uma barra com massa distribuída pode ser resumida a
um ponto material com massa concentrada.
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Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
O sistema vibracional mostrado na Figura 2.2 é o
sistema mais simples, que possui apenas uma massa e uma
mola. Como já visto anteriormente, a massa (m) representa o
elemento que armazena energia cinética, enquanto a mola (k)
representa a rigidez do sistema ou o elemento que armazena
energia potencial.
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Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
Esse sistema tem um grau de liberdade, visto que
apenas a coordenada x é suficiente para descrever a posição
da massa do sistema, em qualquer instante de tempo. Uma
vez que uma perturbação inicial é inserida nesse sistema, temos
que um movimento oscilatório livre de forças externas se iniciará.
Como o sistema não possui meio de dissipação de energia
(sistema não amortecido), a vibração se perpetuará
indefinidamente.
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
Para determinar a equação de movimento
característico dessa vibração, usaremos a segunda lei de
Newton, que, definida por Hibbeler (2011, p. 83), dita que
“quando uma força desequilibrada atua sobre uma partícula, a
acelerará na direção da força com uma intensidade que é
proporcional à força”. Desta forma, temos que:
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
Para definir a equação do movimento vibracional,
usando a segunda lei de Newton, passaremos por quatro
etapas descritas por Rao (2008, p. 51), que serão
apresentadas resumidamente a seguir:
1- Selecionar uma coordenada que descreva a posição
da massa ou corpo rígido. Usando uma coordenada linear e
outra angular para descrever o movimento, pode-se chegar a
resultados mais precisos.
2- Determinar a configuração de equilíbrio do sistema e
medir o deslocamento inicial da massa ou corpo rígido.
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
3- Desenhar o diagrama de corpo livre que permita
visualizar todos os aspectos importantes a serem
considerados na elaboração do equacionamento, indicando
todas as forças ativas e reativas a que o corpo rígido é
submetido.
4- Por fim, deve-se aplicar a segunda lei de Newton à
massa ou corpo rígido.
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
Usaremos a definição de taxa de variação de movimento
para definir o movimento em relação ao tempo. Sabendo que a
aceleração (a) é a derivada da velocidade em função do tempo,
podemos reescrever a força como sendo:
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
Com isso em mãos, se aplicarmos as quatro etapas do
procedimento descrito anteriormente ao sistema simples
apresentado na Figura 2.2, teremos:
1- Como já visto, o sistema pode ser representado pela
coordenada x, que descreve a posição do corpo em oscilação.
2- Nessa etapa, devemos medir o deslocamento inicial que
gera o movimento, em relação ao ponto de equilíbrio, que pode
ser visto na Figura 2.3.
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
3- Nesse ponto, devemos montar o diagrama de corpo livre
que permitirá visualizar todas as forças que agem sobre o corpo.
O diagrama do sistema em análise pode ser visto na Figura 2.4.
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Equação de movimento pela segunda lei de Newton
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Equações do movimento por outros métodos
Princípio de D’Alembert: as equações 2.4 e 2.6 podem 
ser reescritas das seguintes formas: 
Essas equações de equilíbrio representam uma força e um
momento fictícios, conhecidos como força ou momento de inércia,
e o equilíbrio fictício é conhecido como equilíbrio dinâmico. A
aplicação desse princípio ao diagrama mostrado na Figura 2.4
resulta na equação:
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Equações do movimento por outros métodos
Princípio dos deslocamentos virtuais: esse princípio
afirma que “se um sistema que está em equilíbrio sob ação
de um conjunto de forças for submetido a um deslocamento
virtual, então o trabalho virtual total realizado pelas forças
será zero” (RAO, 2008, p. 52).
Um deslocamento virtual é o deslocamento
infinitesimal, ou seja, diferente e muito próximo de zero. A
Figura 2.5 demonstra um deslocamento infinitesimal aplicado
a um sistema massa-mola.
Tem-se que todo deslocamento virtual deve ser
fisicamente possível e compatível com as restrições do
sistema.
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Equações do movimento por outros métodos
O trabalho virtual é realizado por todas as forças
resultantes desse deslocamento.
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Equações do movimento por outros métodos
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Equações do movimento por outros métodos
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Equações do movimento por outros métodos
Princípio da conservação de energia: um sistema é
conservativo quando não possui perdas de energia devido a
dissipação de nenhum tipo. Se nenhum trabalho for realizado por
forças externas, então a energia total é constante. Sabemos que
um sistema vibracional é parcialmente cinético e parcialmente
potencial. Assim, podemos dizer que:
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Equações do movimento por outros métodos
E U é a energia potencial da mola, obtida por:
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Equação de movimento de um sistema massa-mola vertical
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Equação de movimento de um sistema massa-mola vertical
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Solução e movimento harmônico
De acordo com Rao (2008), podemos encontrar uma
solução para a Equação 2.8, admitindo que:
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Solução e movimento harmônico
Fazendo algumas operações podemos chegar a equação
abaixo:
A Equação 2.23 denota a frequência angular natural do
sistema massa-mola, a qual é dada em radianos por segundo
(rad/s) em que o corpo oscila em uma vibração livre.
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Solução e movimento harmônico
Sendo Ao definida como a amplitude de oscilação:
Também conseguimos definir a posição em função do
tempo utilizando a equação abaixo:
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Solução e movimento harmônico
Também conseguimos definir a posição em função do
tempo utilizando a equação abaixo:
E fi é o ângulo de fase dado por: 
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Solução e movimento harmônico
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