Trabalho Final do Curso de CIG em PDF_2

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA 
CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS DE INFORMAÇÃO GEOGRÁFICA 
 
TRABALHO DE LICENCIATURA 
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO AJUSTAMENTO DE 
DADOS OBSERVACIONAIS (ÂNGULOS E DISTÂNCIAS) DUMA POLIGONAL 
FECHADA 
 “CASO DO ESTUDO POSTO ADMINISTRATIVO DE MAGUDE” 
 
Autor: 
Francesse Mauro Bacião 
 
Maputo, Novembro de 2016
 
Francesse Mauro Bacião 
 
 
TEMA: 
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO AJUSTAMENTO DE DADOS 
OBSERVACIONAIS (ÂNGULOS E DISTÂNCIAS) DUMA POLIGONAL FECHADA 
 
 
Supervisor: António Alfredo Assane (PhD) 
 
 
 
Maputo, Novembro de 2016
I 
 
DECLARAÇÃO DE HONRA 
Eu Francesse Mauro Bacião, declaro por minha honra que o presente trabalho é resultado da minha 
investigação, e das orientações do meu supervisor Antônio Alfredo Assane e que o mesmo foi realizado 
para ser submetido à Faculdade de Ciências apenas para a obtenção do grau de Licenciatura em Ciências 
de Informação Geográfica na Universidade Eduardo Mondlane e nunca foi publicado e apresentado. 
 
 
 
Maputo, Novembro de 2016 
_______________________________________________ 
(Francesse Mauro Bacião) 
 
 
II 
 
DEDICATÓRIA 
Este trabalho em primeiro lugar é dedicado a Deus, por ter sido e continuar a ser primordial e essencial 
na minha vida e em especial na vida acadêmica, pois acredito na existência de algo maior que me 
acompanha e guarda no meu dia a dia. E dedico ainda, as pessoas que incondicionalmente com muito 
amor e sacrifício deram o seu apoio nesta caminhada, aos meus pais Mauricio Adolfo Bacião e Angélica 
Francisco Gemo, aos meus irmãos Osvaldo, Agnesse, Evódia, Lemos, Alexandrino e Delfia. Aos meus 
tios Jorge e Cândida. 
 
III 
 
AGRADECIMENTOS 
O autor deseja externar os seus agradecimentos aos seguintes: 
A Deus por me ter dado saúde e força para superar as dificuldades da vida. 
Aos meus pais Mauricio Adolfo Bacião e Angélica Francisco Gemo, por terem lutado e doado as suas 
vidas e tudo terem feito para que este que é um sonho nosso, se torna-se realidade, incentivando nas horas 
difíceis, de desânimo e cansaço. 
Aos meus irmãos Osvaldo, Agnesse, Evódia, Lemos, Alexandrino e Delfia por me fortalecerem. Aos 
meus tios Cândida e António e as minhas sobrinhas Vania e Gência pela contribuição valiosa. 
Ao meu supervisor Dr. Antônio Alfredo Assane, pela orientação, apoio e confiança com vista a tornar 
possível a realização do presente trabalho. E ao Msc. Márcio Fernando Mathe pelo impulso e 
preocupação no que concerne ao termino do presente trabalho. 
Aos professores por me proporcionar o conhecimento não apenas racional, mas a manifestação do 
carecter e afectividade no processo de formação. Meus agradecimentos a todos os colegas no curso de 
Ciências de Informação Geográfica, pois com os mesmos aprendi à diferentes níveis, a cooperar, ajudar 
a sacrificar, dizer que do vosso lado a cada contacto, a cada conversa, eu sofria um processo de 
transformação intelectual, racional e moral. Em especial os meus agradecimentos vão para colegas como: 
Manuel, Pascoalino, Sansão, Herman, Azarias, Ruben, Sidónio, Helder, Edna, Constância e Florinda. 
A minha amiga e companheira de todos os tempos e momentos Stela Raquel, aos meus amigos que 
sempre estiveram e estão presentes na minha vida nomeadamente: Décio da Costa, Dionísio Carlito, 
Edito Cofe, Daniel Mondlane, Delço Nancuala e Estergio. A todos que directa ou indirectamente 
contribuíram para que eu fosse o que sou hoje. 
IV 
 
RESUMO 
Em diversas áreas de estudo como a Geodesia, Topografia dentre outras, devido a sua aplicabilidade 
onde apresentam um conjunto de dados de uma variável medida, e deseja-se descobrir uma tendência 
para estes valores ou até mesmo uma função que melhor represente este conjunto de dados. Dentre os 
diversos métodos existentes, tem-se o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), como um dos métodos 
para a determinação da melhor aproximação para estes conjuntos de pontos discretizados. Em 
levantamentos topográficos planimétricos, de acordo com a sua finalidade conhecer a qualidade das 
coordenadas estimadas é fundamental. 
Para este estudo dentro do Ajustamento das Observações pelo Método dos Mínimos Quadrados, é 
retratado o Ajustamento pelo Modelo das Equações de Observações ou Modelo Paramétrico. A aplicação 
prática deste modelo foi dada por uma poligonal fechada levantada no Posto Administrativo de Magude 
no Distrito de Magude na Província de Maputo. A poligonal é constituída por 10 vértices com um 
perímetro de 1024.91m e uma área de 0.057km2. O processamento dos dados deu-se mediante a 
utilização de 3 programas computacionais (Excel, Jupyter Notebook e ArcGis) onde o Excel e o Jupyter 
Notebook permitiram fazer o ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados, no Jupyter foi 
compilado o código em linguagem de programação Python. No ArcGis foram criados shapefiles, fez-se 
a edição bem como o layout da planta topográfica da poligonal com os dados ajustados. Feito o 
ajustamento havia necessidade de se fazer o teste de qualidade do mesmo, para este estudo o teste 
escolhido foi o Teste Bilateral. 
Como resultado teve-se os dados observacionais e os parâmetros ajustados em 3 iterações bem como a 
planta topográfica e a área da poligonal com os dados ajustados. A área da poligonal foi calculada pelo 
Método Analítico de Gauss. 
 
V 
 
ÍNDICE 
 
DECLARAÇÃO DE HONRA ................................................................................................................ I 
DEDICATÓRIA ..................................................................................................................................... II 
AGRADECIMENTOS ......................................................................................................................... III 
RESUMO ............................................................................................................................................... IV 
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................... IX 
LISTA DE TABELAS ............................................................................................................................ X 
LISTA DE ABREVIATURAS ............................................................................................................. XI 
LISTA DE UNIDADES DE MEDIDAS ............................................................................................. XI 
LISTA DE SÍMBOLOS ...................................................................................................................... XII 
LISTA DE ANEXOS ......................................................................................................................... XIII 
ESTRUTURA DO TRABALHO ........................................................................................................ XV 
 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1 
1.1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 1 
1.2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA .......................................................................................................... 3 
1.3. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................................ 3 
1.4. OBJECTIVOS ........................................................................................................................... 4 
1.4.1. Geral ...................................................................................................................................... 4 
1.4.2. Específicos .............................................................................................................................4 
 
CAPITULO II: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................... 5 
2.1. TOPOGRAFIA ............................................................................................................................... 5 
2.1.1. Levantamento Topográfico.................................................................................................... 6 
VI 
 
2.1.2. Poligonação ........................................................................................................................... 6 
2.2. DESVIO PADRÃO ......................................................................................................................... 9 
2.3. TEORIA DOS ERROS .................................................................................................................... 9 
2.3.1. Tipo de Erros ....................................................................................................................... 10 
2.3.1.1. Erros Grosseiros (Equivoco) ....................................................................................... 11 
2.3.1.2. Erros Sistemáticos ou Acumulativos ........................................................................... 11 
2.3.1.3. Erros Acidentais ou Aleatórios .................................................................................... 12 
2.4. AJUSTAMENTO NAS OBSERVAÇÕES .......................................................................................... 13 
2.4.1. Ajustamento de Observações pelo Método dos Mínimos Quadrados ................................. 13 
2.4.1.1. Princípio do Método dos Mínimos Quadrados ............................................................ 14 
2.4.1.2. Problema dos Mínimos Quadrados.............................................................................. 15 
2.4.2. Atribuição dos Pesos nas Observações ................................................................................ 17 
2.4.3. Matriz Variância-covariância .............................................................................................. 18 
2.4.4. Factor de Variância .............................................................................................................. 18 
2.4.5. Modelo Matemático ............................................................................................................. 19 
2.4.5.1. Modelo Funcional ........................................................................................................ 19 
2.4.5.2. Modelo Estocástico ..................................................................................................... 22 
2.4.6. Modelo de Ajustamento com Equações de Observação (Método Paramétrico) ................. 22 
2.4.7. Qualidade do Ajustamento das Observações....................................................................... 24 
3.1.1.1. Teste Bilateral .............................................................................................................. 25 
2.4.8. Matriz Variância-Covariância dos Parâmetros Ajustados ................................................... 27 
 
CAPITULO III: CARACTERIZAÇÃO DA ÁREA DE ESTUDO .................................................. 28 
3.1. LOCALIZAÇÃO GEOGRÁFICA DO POSTO ADMINISTRATIVO DE MAGUDE .................................. 28 
3.2. SOLOS E RELEVO ...................................................................................................................... 30 
3.3. CLIMA ...................................................................................................................................... 30 
3.4. HIDROGRAFIA ........................................................................................................................... 31 
VII 
 
CAPITULO IV: IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DOS MATERIAIS E METODOLOGIA 
USADAS NA REALIZAÇÃO DO ESTUDO ...................................................................................... 31 
4.1. INSTRUMENTOS E EQUIPAMENTOS USADOS: ............................................................................. 31 
4.1.1. No Trabalho de Campo........................................................................................................ 32 
4.1.2. No Gabinete ......................................................................................................................... 32 
4.1.3. Programas Computacionais Usados e Processamento dos Dados ....................................... 33 
4.1.3.1. Microsoft Excel 2013 .................................................................................................. 33 
4.1.3.2. Jupyter Notebook ......................................................................................................... 34 
4.1.3.3. ArcGIS ......................................................................................................................... 36 
4.2. MÉTODOS USADOS: .................................................................................................................. 37 
4.2.1. Revisão Bibliográfica .......................................................................................................... 37 
4.2.2. Método Cartográfico............................................................................................................ 37 
4.2.3. Observações Directas .......................................................................................................... 37 
4.2.3.1. Reconhecimento da Área ............................................................................................. 38 
4.2.3.2. Implantação da Base .................................................................................................... 38 
4.2.3.3. Medições de Ângulos e Distâncias Horizontais .......................................................... 39 
4.2.4. Cálculo dos Desvios Padrões ............................................................................................... 41 
4.2.5. Determinação do Número de Observações e de Equações do Problema ............................ 42 
4.2.6. Formulação das Equações dos Elementos Envolvidos no Problema .................................. 42 
4.2.7. Composição da Matriz Pesos ............................................................................................... 50 
4.2.8. Teste de Qualidade de Ajustamento .................................................................................... 53 
4.2.9. Cálculo da Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado ..................... 55 
4.2.10. Cálculo da Área da Poligonal pelo Método de Gauss ..................................................... 56 
4.3. RESUMO DA IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DOS MATERIAIS E METODOLOGIAS ........................... 57 
 
CAPITULO V: CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ................................................................ 58 
5.1. CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 58 
5.2. RECOMENDAÇÕES .................................................................................................................... 59 
VIII 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 60 
 
7. ANEXOS ........................................................................................................................................ 63 
 
 
IX 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1. Poligonal aberta (Adaptado pelo Autor) .................................................................................... 8 
Figura 2. Poligonal fechada com orientação interna (Adaptado pelo Autor) ............................................ 8 
Figura 3. Poligonal fechada com orientação externa (Adaptado pelo Autor) ........................................... 8 
Figura 4. Regiões de aceitação e rejeição do teste bilateral (Amorim, 2007) .........................................27 
 Figura 5. Mapa de Localização Geográfica da Área de Estudo (Adaptado pelo Autor) ........................ 29 
Figura 18. Fluxograma metodológico ..................................................................................................... 57 
 
 
X 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1. Coordenadas da base e cumprimento da linha da mesma........................................................ 39 
Tabela 2. Ângulos e distâncias observados ............................................................................................. 40 
Tabela 3. Ângulos e distancias com os seus respectivos desvios ............................................................ 41 
Tabela 4. Tabela das coordenadas aproximadas (parâmetros) em UTM ................................................ 46 
Tabela 5. Coordenadas da base e os azimutes (Directo e Inverso) .......................................................... 46 
Tabela 6. Resíduos e observações ajustadas (3ª iteração) ....................................................................... 53 
Tabela 7. Parâmetros de correção e coordenadas ajustadas (3ª iteração) ................................................ 53 
Tabela 8. Resultado do Teste de Qualidade Bilateral (3ª iteração) ......................................................... 54 
 
XI 
 
LISTA DE ABREVIATURAS 
 Abreviatura Significado 
1 ac Antes de cristo 
2 CAD Desenho Assistido por Computador 
3 CIG Ciências de Informação Geográfica 
4 GPS Sistema de Posicionamento Global 
5 GPS Sistema de Posicionamento Global 
6 MMQ Método dos Mínimos Quadrados 
7 PMA Pluviosidade Média Anual 
8 RAS República da África do Sul 
9 SIG Sistemas de Informação Geográfica 
10 TMA Temperatura Média Anual 
11 UTM Projeção Universal Transversal de Mercator 
 
LISTA DE UNIDADES DE MEDIDAS 
 Símbolo Unidade de Medida 
1 ºC Graus celsos 
2 ha Hectares 
3 m Metro (unidade de medida) 
4 m2 Metro quadrado 
 
 
XII 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 Símbolo Significado 
1 v Vector dos resíduos associados às observações 
2 ln Vector das observações 
3 pi Peso da observação i 
4 σ02 Variância de referência 
5 �̂�0
2 Variância a posterior 
6 σi2 Variância da observação i 
7 l̂ Observações ajustadas 
8 Lb, l Observações brutas 
9 r Grau de liberdade 
10 diag Matriz diagonal 
11 I Matriz identidade 
12 ∆ Vector de correção dos parâmetros aproximados 
13 𝑋2 Qui-quadrado 
14 B Matriz design 
15 d Comprimento do lado da poligonal 
16 𝛼 Ângulos horizontais 
17 c Número de equações 
18 u Parâmetros 
19 n0 Número de observações necessárias 
20 Az Azimute 
21 ∑ Somatório 
 
 
XIII 
 
LISTA DE ANEXOS 
Anexo 1. Matriz B (1ª iteração) ............................................................................................................... 64 
Anexo 2. Vector f (1ª iteração) ................................................................................................................ 65 
Anexo 3. Parâmetros de Correção e Coordenadas Ajustadas (1ª iteração) ............................................. 65 
Anexo 4. Resíduos e Ângulos e Distâncias Ajustadas (1ª iteração) ........................................................ 66 
Anexo 5. Teste de qualidade de ajustamento (1ª iteração) ...................................................................... 66 
Anexo 6. Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado (1ª iteração) ....................... 67 
Anexo 7. Matriz B (2ª iteração) ............................................................................................................... 68 
Anexo 8. Vector f (2ª iteração) ................................................................................................................ 69 
Anexo 9. Parâmetros de correção e coordenadas ajustadas (2ª iteração) ................................................ 69 
Anexo 10. Resíduos e Ângulos e Distâncias Ajustadas (2ª iteração) ...................................................... 70 
Anexo 11. Teste de qualidade de ajustamento (2ª iteração) .................................................................... 70 
Anexo 12. Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado (2ª iteração) .................... 71 
Anexo 13. Planta Topográfica da Poligonal com dados Ajustados pelo MMQ ...................................... 72 
Anexo 14. Área da poligonal calculada pelo Método de Gauss com as coordenadas ajustadas ............. 73 
Anexo 15. Importando os pacotes de leitura de ficheiros em xlsx, tratamento de vectores e operações 
com matrizes ............................................................................................................................................ 74 
Anexo 16. Código de leitura de ficheiros no formato xlsx ...................................................................... 74 
Anexo 17. Código para o armazenamento dos dados no formato xlsx, num vector ............................... 74 
Anexo 18. Código de definição duma função para o cálculo duma matriz transposta............................ 74 
Anexo 19. Código de definição duma função para a multiplicação de matrizes..................................... 74 
Anexo 20. Código de definição duma função para o cálculo duma matriz inversa ................................ 74 
Anexo 21. Código para o cálculo do vector de correção dos parâmetros e vector dos resíduos ............. 75 
Anexo 22. Código para o cálculo da variância a posterior, qui-quadrado e MVC dos Parâmetros 
Ajustados ................................................................................................................................................. 75 
Anexo 23. Código para avaliação da qualidade do ajustamento (Hipótese Nula e Teste Bilateral) ....... 75 
Anexo 24. Código de impressão da variância a posteriori, valor do qui-quadrado e MVC dos Parâmetros 
Ajustados ................................................................................................................................................. 75 
XIV 
 
Anexo 25. Código para a gravação no formato xlsx. dos resultados do ajustamento ............................. 76 
Anexo 26. Gravando os ficheiros ............................................................................................................ 76 
Anexo 27. Planta Topográfica da Poligonal com dados Ajustados pelo MMQ ...................................... 77 
 
XV 
 
ESTRUTURA DO TRABALHO 
O presente trabalho divide-se em cinco (V) capítulos, dos quais o I° capitulo é composto pela parte 
introdutória envolvendo a introdução, definição do problema, justificativa e objectivos. 
O II° capitulo é composto pela revisão bibliográfica, onde é descrito o tema no âmbito geral bem como 
no âmbito especifico. 
O III° capitulo descreve a caracterização da área de estudo. 
O IV° capitulo descreve os matérias e métodos usados no decorrer do estudo onde, nos métodos usados 
em simultâneo são apresentados os resultados dos mesmos. 
O V° capitulo envolve a conclusão, recomendações, referências bibliográficas que serviram de suporte 
para a composição teórica do trabalho e os anexos
 
1 
 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO 
1.1. Introdução 
A combinação de observações feitas necessariamente com erros, para estimação de parâmetros de 
posição de corpos celestes é um dos maiores problemas com que sempre os astrônomos se debateram. 
Este problema terá sido notado pelos primeiros a introduzir medidas na Astronomia, pois repararam que 
as suas medidas eram falíveis e variavam ligeiramente de momento para momento e de observador para 
observador (Carvalho, 2007). Porém, Crato (2001) acrescenta que esses astrónomos aceitavam uma 
medida aproximada, que lhes parecia mais rigorosa, e não se preocupavam com os problemas estatísticos 
das suas mensurações ou, pelo menos, não escreveram sobre esses problemas. 
Os processos experimentais de medidas para a recolha de dados (observações) são necessários para as 
demaisciências, sendo uma delas a Topografia, devido à presença de erros nesses processos 
experimentais de medições, são necessários critérios e métodos para o ajustamento das mesmas. 
Basicamente, os erros que influenciam as observações topográficas são classificados em aleatórios 
(acidentais) sistemáticos e grosseiros (Gemael, 1994). 
Segundo Bisognin (1997) o ajustamento surge na necessidade de calcular os parâmetros das órbitas dos 
planetas, e para tal efeito, aplicou-se o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Visto que para calcular 
os parâmetros das órbitas dos cometas fazia-se necessário medidas pontuais, efectuadas em diferentes 
momentos. 
Tem sido costume encarar como um axioma a hipótese de que, se uma quantidade foi determinada por 
várias observações directas, nas mesmas condições ou seja medições de igual precisão, então a média 
aritmética dos valores observados fornece o valor mais provável, se não rigorosamente, pelo menos com 
grande aproximação (Farebrother, 1999 citado por Bisognin, 2006). 
 
2 
 
Dentre os métodos para o ajustamento dos dados onde o número de observações é superabundante e o 
sistema de equações é inconsistente, devido à presença de erros no processo experimental de medições, 
o Método dos Mínimos Quadrados é um dos mais utilizado (Kavouras, 1982 citado por Santos, 2006). 
Quando apenas erros de natureza aleatória contaminam as observações, o Método dos Mínimos 
Quadrados é dito como sendo um estimador imparcial (Gemael, 1994). Além disso, quando a ponderação 
das observações é tomada em função de variâncias e covariâncias, correctamente determinadas, o MMQ 
é dito o melhor estimador linear imparcial, bem como quando os erros aleatórios seguem distribuição 
normal multivariada, a solução pelo MMQ coincide com a solução de máxima verossimilhança 
(Teunissen, 2003 citado por Klein, 2011). 
 
3 
 
1.2. Definição do Problema 
De acordo com Amorim (2005) na medição de uma determinada grandeza, a limitação humana, 
imperfeição instrumental e instabilidade da natureza, são factores que impedem a exactidão absoluta das 
medidas. Os resultados de uma mesma medida, repetida várias vezes por um mesmo operador, 
provavelmente não serão idênticas, por maior que seja o cuidado empregue nas observações. Deste modo, 
pode-se afirmar que, de uma forma ou de outra, todas as medidas contêm erros. 
No âmbito do presente estudo verificou-se que, os erros ocorrem devido a diversos factores tais como 
condições climáticas, erros de leitura no instrumento, desgastes que os parafusos dos instrumentos sofrem 
e erros grosseiros que podem vir a surgir no momento de transcrever ou digitar o resultado duma dada 
observação (Bisognin, 2006). E uma vez reconhecida a impossibilidade de tornar as medidas isentas de 
erros, visto que os métodos de levantamento em geral são superabundantes e sujeitos a flutuações 
probabilísticas as observações devem então ser ajustadas com o objectivo de proporcionar coordenadas 
únicas e confiáveis dos pontos de interesse (Monico, 1988). Assim sendo, torna-se imprescindível 
estabelecer um método seguro e conveniente de modo que através dele se possa estabelecer o valor mais 
aceitável de uma grandeza. 
1.3. Justificativa 
Apesar do MMQ ser bem dominado no meio acadêmico nota-se uma grande dificuldade em encontrar 
exemplos e relatos claros da aplicação deste no âmbito topográfico. Desta feita faz-se necessário 
apresentar uma revisão teórica e aplicação deste método, com finalidade de inverter e contribuir no 
âmbito acadêmico actual com um melhor entendimento prático do mesmo. 
A escolha deste tema, bem como a utilização das observações resultante do estágio realizado no Distrito 
de Magude na Província de Maputo, visa mostrar que nesse tipo de actividade (estágio), para além dos 
objectivos que o mesmo tem, quer-se aqui contribuir com mais um componente no que concerne ao 
tratamento dos dados. Mostrando como as repetições que são feitas nas medições com intuito de 
 
4 
 
aperfeiçoamento podem ser usadas para garantir maior precisão nos resultados esperados. Porém, viu-se 
também no tema a possibilidade que o mesmo da, de poder trazer um produto resultante de uma fusão e 
interligação das diversas disciplinas lecionadas no curso de Ciências de Informação Geográfica (CIG) 
disciplinas como: Introdução as Tecnologias de Comunicação, Matemática (Álgebra Linear, Análise e 
Estatística) Programação e Topografia. 
1.4. OBJECTIVOS 
1.4.1. Geral 
 O presente trabalho tem como objectivo geral, apresentar a aplicação do Método dos Mínimos 
Quadrados (MMQ) no Ajustamento de Observações topográficas. 
1.4.2. Específicos 
Os objectivos específicos são: 
 Implantar no terreno uma base, usando um receptor GPS e uma trena; 
 Traçar e levantar uma poligonal fechada (ângulos e distâncias), com recurso a um teodolito 
completo e uma trena respectivamente; 
 Aplicar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), para ajustar os dados levantados usando 
Excel e linguagem de programação Python corrida no Jupyter Notebook; 
 Fazer o Teste de Qualidade do Ajustamento (Teste Bilateral) e calcular a Matriz Variância-
Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustados 
 Calcular a área da poligonal pelo Método Analítico de Gauss e elaborar a planta topográfica da 
mesma no ArcMap 10.1. 
 
5 
 
CAPITULO II: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
Antes de tratar concretamente do ajustamento de observações pelo MMQ propriamente dito, visto que 
para o presente estudo, o Ajustamento das Observações é direcionado para a área topográfica, faz-se 
necessário primeiro, apresentar a definição da Topografia bem como alguns conceitos da mesma que 
serão bastante usuais no decorrer do presente estudo. 
2.1. Topografia 
De acordo com Antunes (1995) a Topografia é uma disciplina da Geodesia que na sua concepção clássica 
dedica-se na representação local de uma parcela da superfície terrestre, onde o efeito da curvatura da 
terra é considerado desprezível, ou seja, ela tem a superfície terrestre como um plano. Por outro lado 
Brandalize (1987) define a Topografia como descrição exacta e minuciosa de um lugar, que tem como 
finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relactiva de numa porção limitada da superfície 
terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da 
esfericidade da terra. Por outro lado a Topografia tem como objectivo, o estudo dos instrumentos e 
métodos utilizados para se obter a representação gráfica de um lugar (Augusto et al. 2012). 
Para Wolf (1977) citado por Veiga et al. (2012) o trabalho prático de Topografia pode ser dividido em 
cinco (5) etapas a saber: 
 Tomada de decisão – são relacionados os métodos de levantamento, equipamento, posição ou 
pontos a serem levantados; 
 Trabalho de campo ou aquisição de dados – são efectuadas medições bem como a gravação de 
dados; 
 Cálculo ou processamento – baseando-se nas medidas obtidas elaboram-se os cálculos afim de 
determinar as coordenadas, volumes dentre outros; 
 Representação ou mapeamento – a partir dos dados medidos são produzidas as cartas ou mapas; 
e 
 
6 
 
 Locação – neste processo é feita a implantação. 
2.1.1. Levantamento Topográfico 
Segundo Fonte (1996) o levantamento topográfico é a operação de recolha de informação necessária para 
a elaboração de uma planta ou carta topográfica de uma região. Porém, Antunes (1995) acrescenta que 
para a coordenação dos pontos, as distâncias bem como os ângulos (coordenadas polares) são medições 
estritamente necessárias para o levantamento topográfico. Os levantamentos topográficos são, em geral 
apoiados num conjunto de pontos de coordenadas geodésicas conhecidas, cuja determinação pertence à 
Geodesia (Fonte, 2004). Veiga et al. (2012) acrescenta que às operações efectuadas em campo tem como 
objectivo final a representação gráfica do fenômeno no papel. 
Os levantamentos topográficos podem ser realizados utilizandoos seguintes métodos (Fonte, 1996): 
 Métodos topográficos clássicos – estes métodos têm como base fundamental a medição de 
ângulos e distâncias recorrendo a instrumentos tais como teodolitos, níveis e distanciometros; 
 Método fotogramétrico - neste método a informação é obtida por via de fotografias aéreas 
métricas, ou imagens numéricas multiespectrais recolhidas por sensores instalados em satélites 
artificiais da terra; e 
 O Sistema de Posicionamento Global (GPS) – este método utiliza receptores dos sinais emitidos 
pelos satélites da constelação GPS, permitindo a determinação precisa das coordenadas dos locais 
onde as antenas dos receptores são colocadas. 
2.1.2. Poligonação 
Consiste em estabelecer no terreno polígonos irregulares do qual são medidos os ângulos entre 
alinhamentos consecutivos e as distâncias entre os vértices vizinhos, para se determinar as coordenadas 
 
7 
 
rectangulares de seus vértices (Silva et al. 2006). Antunes (1995) afirma que as poligonais são formadas 
por um número finito de lados, interligando em dois ou mais pontos de coordenadas conhecidas, 
designados de pontos de apoio, nos quais previamente também se conhece a orientação (Azimute). 
De acordo com Espartel (1987) citado por Brandalize (2002) o método de poligonação é utilizado no 
levantamento de superfícies relactivamente extensas e com relevo acidentado, este oferece maior 
confiabilidade no que diz respeito aos resultados. Brandalize (2002) acrescenta que o processamento dos 
dados neste método, inclui o fechamento dos ângulos horizontais, o transporte dos azimutes, o 
fechamento das distâncias horizontais, o transporte das coordenadas e o cálculo da área. 
As poligonais são divididas em 3 tipos a saber (Antunes, 1995): 
 Poligonal aberta – este tipo de poligonal apoia-se em dois pontos coordenados e distintos ou 
seja, é uma poligonal com n pontos estacionados, apoiada nos seus extremos com orientação para 
pontos exteriores; 
 Poligonal fechada com orientação interna – é uma poligonal com um único ponto de apoio ou 
seja, a mesma tem n pontos observados começa e termina no mesmo ponto onde o rumo de 
orientação é dado pela direcção de visada atrás no ponto de apoio; e 
 Poligonal fechada com orientação externa – é uma poligonal com n-1 pontos, considerando n 
estações ou seja o primeiro ponto (de partida e de chegada) é estacionado no início e no fim da 
observação da poligonal. A orientação da poligonal é dada por uma direcção externa, assim sendo 
o rumo inicial e final de orientação da poligonal é o mesmo. 
Na fase do levantamento da poligonal, no sentido horário, medindo-se ângulos e distâncias horizontais 
percorre-se as estações da poligonal, uma a uma anotando os valores das observações dos pontos em 
cadernetas de campo apropriadas ou registadas na memória do próprio aparelho (Brandalize, 1987). Em 
seguida são ilustradas em forma de figuras os 3 tipos de poligonais: 
 
8 
 
 
Figura 1. Poligonal aberta (Adaptado pelo Autor) 
 
 
Figura 2. Poligonal fechada com orientação interna (Adaptado pelo Autor) 
 
Figura 3. Poligonal fechada com orientação externa (Adaptado pelo Autor) 
Az 
Az 
Az 
Az 
 
9 
 
 
2.2. Desvio Padrão 
O desvio padrão é uma medida que leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo 
e não apenas os valores externos, como a amplitude total (Crespo, 2002). Esta medida de dispersão é a 
mais utilizada, isto porque, a mesma aponta de forma mais precisa a dispersão dos valores em relação à 
média aritmética (Nazareth, 2003). 
Segundo Lopes (2003) o desvio padrão mede bem a dispersão de um conjunto de dados e o desvio padrão 
de uma série será sempre um valor positivo e quanto maior esse valor, maior será a dispersão entre os 
elementos. O desvio padrão é dado pela seguinte expressão: 
 S = √
∑(xi− x̂
n−1
 (1.0) 
De acordo com o mesmo autor, quando o desvio padrão é em relação à média que são as diferenças entre 
cada elemento da distribuição de valores e a média destes valores, calcula-se pela seguinte expressão: 
Sm = 
S
√n
 (1.1) 
Sendo: 𝑥𝑖 - cada elemento do conjunto de dados; 𝑥 é media do conjunto; e n é o número de elementos 
do conjunto. 
2.3. Teoria Dos Erros 
Sob ponto de vista de que, na sua maioria se não mesmo todas as observações topográficas resumirem-
se em medição de ângulos bem como de distâncias verticais e horizontais, por influência de diversos 
factores dentre eles atmosféricos, instrumentais bem como humanos (observador) é de se esperar que as 
 
10 
 
observações estejam contaminadas por erros (Klein, 2011). Assim sendo as observações, o registo, 
manuseamento das observações e a imperfeição dos métodos levam-nos a valores contaminados por 
erros, isto é, o processo de observação está sempre sujeito a influência de variadíssimas fontes de erros 
(Antunes, 1995). Segundo Carvalho et al. (2007) os erros de observação não permitem que haja um 
fechamento geométrico adequado da poligonal e, portanto, é necessário que se faça um controle da 
qualidade dos erros nas observações de ângulos e distâncias. 
Para Antunes (1995) as causas dos erros podem ser de origem: 
 Ambientais - tem como causa as variações das condições ambientais, como vento, temperatura 
dentre outras; 
 Instrumentais - tem como causa a imperfeição na construção do equipamento ou ajuste do 
mesmo, sendo que na sua maioria podem ser reduzidos adoptando técnicas de verificação, 
calibração e classificação, além de técnicas particulares de observação; e 
 Pessoais - tem como causa falhas humanas, tais como falta de atenção ao executar uma medição, 
cansaço, distração dentre outras. 
A teoria dos erros tem como finalidade o estabelecimento dum método seguro e conveniente, método 
este que possibilita estabelecer permanentemente o valor mais aceitável de uma grandeza, visto que é 
impossível tornar as medidas isentas de erros (Corrêa, 2012). 
2.3.1. Tipo de Erros 
Amorim (2005) classifica os erros em 3 tipos a saber: 
 Erros Grosseiros (Equivoco); 
 Erros Sistemáticos ou acumulativo; e 
 Erros Acidentais ou aleatórios. 
 
11 
 
Para além da classificação dos erros supracitadas, (Antunes, 1995) avança um quarto tipo de erro 
designado por erros periódicos. Este tipo de erro são de caracter determinísticos, visto que a cada um 
corresponde um outro mais ou menos igual porém, de sinal contrário. Dependendo do tipo de observação 
a sua grandeza varia. 
2.3.1.1. Erros Grosseiros (Equivoco) 
A falha instrumental bem como a imperícia e descuido do operador, são as principais causas para o 
aparecimento dos erros grosseiros. Este é um tipo de erro que pode ser evitado tomando algumas 
precauções tais como cuidado e atenção, criando-se operações de controle, fazendo uma comparação dos 
valores obtidos com medidas já conhecidas, instruindo e treinando os operadores dos instrumentos e os 
responsáveis pelos registos (Amorim, 2005). Os erros grosseiros são todos aqueles, superiores a 3 vezes 
o desvio padrão. O estudo dos erros grosseiros vem ganhando grande importância devido a uma massiva 
utilização dos instrumentos eletrônicos, isto porque na sua maioria os dados são descarregados 
automaticamente e processados em computadores, onde o observador não tem a possibilidade de analisar 
estes mesmos dados (Dalmolin, 2002). Uma vez que no processo de descarga e processamento dos dados 
torna-se imperceptível pelo operador a existência de erros, faz-se necessário a introdução de 
metodologias automáticas que ajudem a detectar a existência desse tipo de erros para melhor tratar. 
Assim sendo existe uma parte do ajustamento que se dedica ao estudo deste tipo de casos e é denominada 
por Outliers (Klein, 2011). 
2.3.1.2. Erros Sistemáticos ou Acumulativos 
Segundo Amorrim (2005) os erros sistemáticos têm tendênciasa ocorrer em um único sentido, 
conservando-se em medições sucessivas. Tem como causas a deficiência do instrumento, do observador, 
do método usado (modelo matemático) podem também ser provenientes de causas permanentes 
(conhecidas ou não) e seguem uma determinada lei. Sempre que uma determinada acção se repete nas 
mesmas circunstâncias, os erros sistemáticos repetem-se do mesmo modo e são erros que, quando 
conhecidos, podem sempre ser expressos através de uma formulação matemática. Quando se pretende 
 
12 
 
fazer um ajustamento das observações torna-se imprescindível que se tenha um conhecimento da fonte 
dos erros sistemáticos visto que antes de se efectuar o ajustamento faz-se necessário a eliminação deste 
tipo de erros (Fonte, 2005). 
Amorrim (2005) avança que os erros sistemáticos podem ser originados por 3 fontes diferentes a saber: 
 Erros sistemáticos introduzidos pelo observador – quando por algum problema de visão do 
observador, as medidas têm discrepância sistemática em relação ao valor mais provável; 
 Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento – uso de instrumentos em condições 
diferentes daquelas para as quais foram calibradas e instrumentos não calibrados; e 
 Erros sistemáticos introduzidos pelo modelo matemático – utilização de modelos baseados 
em equações matemáticas não representativas do fenômeno. 
Porém, Gemael (1994) acrescenta que a correção dos erros sistemáticos pode ser feita comparando-se o 
instrumento utilizado com um instrumento padrão, ou ainda podem ser eliminados a posteriori mediante 
fórmulas fornecidas pela teoria. 
2.3.1.3. Erros Acidentais ou Aleatórios 
Diferentemente dos erros sistemáticos os erros acidentais ou aleatórios não ocorrem em apenas um único 
sentido, assim sendo as suas causas são desconhecidas. Estes tipos de erros causam discrepâncias que a 
princípio se apresentam sem nenhuma conformidade matemática, ou seja não seguem nenhuma lei 
matemática. A sua influência sobre as observações é aleatória, sendo que qualquer tratamento deve ser 
baseado em teorias probabilísticas (Amorim, 2005). 
Para Fonte (2004) os Erros Acidentais são de pequena amplitude cuja origem é desconhecida e 
apresentam propriedades análogas às propriedades estatísticas de uma amostragem. A existência de erros 
aleatórios é uma característica inerente ao processo físico de medição, e é, uma propriedade das 
 
13 
 
observações. A teoria da distribuição dos erros acidentais é baseada em postulados sugeridos pela 
experiência prática. 
2.4. Ajustamento nas Observações 
Uma vez feitas as observações de direcções e distancias em campo estas estão sujeitas a erros, é preciso 
que posteriormente seja feito um ajustamento dessas observações (Melo et al. 2012). O ajustamento é 
um ramo da Matemática Aplicada cujo o objectivo é adoptar solução única para problemas onde o 
número de observações é superabundante e o sistema de equações lineares é inconsistente. Tem ainda 
como objectivo a estimativa da qualidade da solução (Klein, 2011). Segundo Gemael (1994) o 
ajustamento de observações para além de ser um ramo da Matemática Aplicada, o mesmo usa-se da 
Estatística, para estimar valores únicos e mais prováveis para um conjunto de observações. O 
Ajustamento nas Observações é a ferramenta indicada para a análise na determinação da qualidade 
posicional dos vértices para se estimar a propagação de variância dos pontos a serem locados em obra 
(Segundo et al. 2015). 
2.4.1. Ajustamento de Observações pelo Método dos Mínimos Quadrados 
De acordo com Gemael (1994) citado por Mendonça et al. (2010) o ajustamento de observações pelo 
Método dos Mínimos Quadrados surgiu independentemente com Gauss em 1795 sendo que Legendre 
em 1805 foi o primeiro a publicar o método, com maior difusão na Europa e nos Estados Unidos, somente 
em 1809 é que Gauss publicou suas conclusões. O ajustamento por MMQ permite verificar a precisão e 
variância das coordenadas e das observações como forma de identificar e separar erros de observação de 
reais deslocamentos. 
Quando se tem um conjunto de observações redundantes, que geram um conjunto de valores para um 
conjunto de parâmetros desconhecidos o MMQ permite por via dum modelo matemático obter um 
conjunto único de valores para este mesmo conjunto de parâmetros desconhecidos (Bisognin, 2006). No 
 
14 
 
ajustamento pelo MMQ somente as observações que contém erros acidentais podem ser tratadas. E no 
caso das observações estiverem contaminadas pelos erros grosseiros, essas devem ser eliminados e as 
contaminadas pelos erros sistemáticos essas devem ser corrigidas (Antunes, 1995). 
Krakiwsky (1975) citado por Bisognin (2006) divide o modelo de ajustamento pelo MMQ em: 
 Modelo combinado com ponderação de parâmetros; 
 Modelo combinado (ou implícito); 
 Modelo paramétrico (ou de equações de observação); e 
 Modelo dos correlatos (ou das equações de condição). 
As notações utilizadas nas equações matemáticas do presente estudo são baseadas em (Gemael, 1994). 
2.4.1.1. Princípio do Método dos Mínimos Quadrados 
Segundo Fonte (1994) o MMQ é uma técnica geral, que se aplica para determinar parâmetros de uma 
relação funcional, entre duas ou mais grandezas de um fenômeno, ou o valor mais provável de uma única 
grandeza medida várias vezes. O critério do MMQ consiste em minimizar a função e tem como objectivo 
encontrar solução única para os parâmetros a serem estimados através da minimização da soma dos 
quadrados dos resíduos. Schaal (2006) acrescenta que o princípio dos MMQ estima o melhor valor para 
um parâmetro baseando-se numa série de observações ou medições e fornece parâmetros estimados com 
menores variâncias. O princípio fundamental do MMQ, é que a soma dos quadrados dos resíduos deve 
ser mínima (Gemael, 1994). 
ϕ = vtPv (2.0) 
Sabendo que: v é o vector dos resíduos associados às n observações l1,l2,...,ln, 
 
15 
 
vn,1 = [
v𝟏
v𝟐
⋮
v𝐧
] (2.1) 
A matriz dos pesos das observações é representada por P, é uma matriz quadrada de ordem n quando se 
trata de observações tidas como não correlacionadas ou independente a matriz P toma a seguinte forma: 
P = 
[
 
 
 
w𝟏
w𝟐
⋱
w𝐧]
 
 
 
 = σ02 
[
 
 
 
1 σ12⁄
1 σ12⁄
⋱
1 σn2⁄ ]
 
 
 
 (2.2) 
Nas observações não correlacionadas a matriz P é uma matriz diagonal, a função ϕ toma a seguinte 
forma: 
ϕ = ∑ (pivi
2)ni=l (2.3) 
No caso das observações para além de serem não correlacionadas são de precisão igual (pi = 1) tem-se: 
ϕ = ∑ (vi
2)ni=l (2.4) 
Deste modo as observações ajustadas serão os elementos do vector l̂ = l + v, onde l é o vector das 
observações e v o vector dos resíduos que tornam a função ϕ mínima. 
2.4.1.2. Problema dos Mínimos Quadrados 
De acordo com Bisognin (2006) independentemente da distribuição dos resíduos, o valor médio 
aritmético (média aritmética) é uma medida de localização estimada pelo MMQ. 
 
16 
 
Considerando a amostra, x1,x2,...,xn, a mesma pode ser escrita do seguinte modo, x = [xi]nx1, e os 
respectivos desvios vl em relação à média: 
[
 
 
 
 
 
x̅ − x1
x̅ − x2
⋮ 
x̅ xl
⋮ 
x̅ xn ]
 
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
v1
v2
⋮
vl
⋮
vn]
 
 
 
 
 
 = 1∙x̅ – x = v (3.0) 
No princípio do MMQ a soma dos resíduos (desvios vl) tem de ser mínima e a sua notação vectorial é : 
vTv = mín (3.1) 
Verifica-se em problemas ligados a Topografia e Geodesias, que o número de observações (n) é superior 
ao número de incógnitas (u) deste modo a igualdade (n = u) não se faz necessário o usodo MMQ, visto 
que este problema é possível resolver socorrendo-se da álgebra linear (Bisognin, 1997). 
 nAu ∙ ux1 =n l1
b+nv1; n > u (3.2) 
O problema da inconsistência da solução no sistema de equações, reside no facto de, as observações 
conterem sempre erros, assim sendo com a introdução dos resíduos possibilita a remoção da 
inconsistência (Fonte, 1994). O melhor estimador é tido como aquele que conduz a resíduos que 
satisfazem a seguinte condição: vTv = mín; isolando em nAu ∙ ux1 =n l1
b+nv1 tem-se: 
Φ = (ATx̂T - LbT)(Ax̂ - lb) = mín (3.3) 
Aplicando as propriedades matriciais e a derivação das formas quadráticas e bi lineares tem-se: 
 
17 
 
 ATAx̂ - ATlb = 0 (3.4) 
Este sistema é de c equações normais a u incógnitas. Não havendo singularidade na matriz dos 
coeficientes das incógnitas, a solução do sistema é: 
x̂ = (ATA)−1 ATlb= 0 (3.5) 
2.4.2. Atribuição dos Pesos nas Observações 
As precisões relactivas das observações vão estimar o peso de uma observação. Pode-se duma certa 
forma dizer-se que, se uma observação é boa então tem um bom peso pois uma boa medição precisa 
apresentar pequenos valores no desvio padrão (Santos, 2006). Caso as observações não sejam de precisão 
igual, as mesmas mediante a multiplicação por pesos podem ser homogeneizadas. O peso será sempre 
maior quanto maior for a confiança que uma observação inspira, ou seja, quanto maior for o valor da 
variância amostral (σ̂2) maior será o peso (Bisognin, 2006). 
Santos (2006) sustenta que o processo de atribuição dos pesos deve ser feito duma forma muito 
cuidadosa, levando em consideração diferentes factores tais como: 
 Tipo de instrumento; 
 Operador; 
 Condições atmosféricas para o instrumento utilizado; 
 Horário de observações indicado; e 
 Instalação no campo de cada instrumento; 
Quando as observações são independentes e de igual precisão, a matriz dos pesos bem como a matriz co-
factora serão matrizes identidades (I) e quando as observações forem independentes e de precisão 
 
18 
 
diferente a matriz peso será representada por uma matriz diagonal formada pelo inverso de cada precisão 
(Santos 2006). Para montar a matriz dos pesos é necessário que se conheçam as precisões com que foram 
obtidas as observações (ângulos e distâncias). Caso não tenha sido feito medidas repetidas para obtenção 
das precisões das observações, pode-se considerar a precisão nominal do aparelho. Essa matriz será 
diagonal, devido a não consideração das correlações entre as observações (Salles et al. 2007) 
2.4.3. Matriz Variância-covariância 
Na fase de pré-ajustamento bem como na fase de pós-ajustamento a matriz variância-covariância é de 
extrema importância, visto que é através da mesma que se obtém as precisões finais das observações 
ajustadas e dos erros marginais (Klein, 2011). É importante estimar a precisão das medidas efectuadas, 
antes do ajustamento para formar a matriz variância-covariância dos valores observados que juntamente 
com o factor de variância de peso a priori (σ0
2) determinará a matriz dos pesos (Amorim, 2005) 
P = σ0
2∑−1
lb (4.0) 
2.4.4. Factor de Variância 
Os factores σ0
2 e σ̂0
2, são conhecidos como variância de unidade de peso a priori e variância a posteriori 
respectivamente, o primeiro factor é atribuído pelo calculista e geralmente o valor atribuído é um (1) 
enquanto que o segundo é obtido após o ajustamento em função dos resíduos e é representado pela 
seguinte equação (Santos, 2006): 
σ̂0
2 = 
VTPV
r
 (4.1) 
Onde: r - que é a redundância é obtido pela diferença entre o número de observações (n) e o número de 
incógnitas (u). 
 
19 
 
Segundo Bisognin (2006), Hamilton (1964) mostrou que no caso a posterior (σ̂0
2 não conhecido) a região 
de confiança para os parâmetros ajustados é determinada pela distribuição de Fischer, e se for conhecida 
a região de confiança é descrita pela distribuição de qui-quadrado. 
2.4.5. Modelo Matemático 
O Modelo Matemático é uma relação funcional entre as observações e parâmetros (incógnitas) (Monico, 
1988). Para Fonte (1994) o Modelo Matemático é a representação abstrata dum fenômeno no mundo real, 
ou seja, é o modo pelo qual uma situação física é descrita. A formação dum modelo pode variar de um 
ponto de vista para o outro, pois um mesmo fenômeno físico pode ser descrito por mais de um modelo. 
O estabelecimento do Modelo Matemático a considerar deve ser feito e precisa ser especificado antes de 
iniciar a fase de aquisição dos dados num levantamento. Um certo número de variáveis bem como um 
conjunto de relações entre elas servirá de base para a construção do modelo, escolhendo desta feita as 
grandezas a observar, o número de observações que deverão ser feitas e a sua precisão. 
O estabelecimento do Modelo Matemático, nas investigações cientificas e tecnológicas, é uma das etapas 
iniciais e de maior importância, isto porque possibilita as interligações entre as variáveis conhecidas e as 
variáveis desconhecidas de um fenômeno em estudo, de maneira simplificada e que seja adequada aos 
cálculos (Santos, 2006). Os Modelos Matemáticos são frequentemente compostos pelos Modelos 
Funcionais e Estocástico (Mikhail e Ackermann, 1976 citado por Santos, 2006). Devido à importância 
da determinação do Modelo Matemático Teunissen (2003) considera que, a determinação de um Modelo 
Matemático apropriado pode ser considerada a “arte” da disciplina. 
2.4.5.1. Modelo Funcional 
Este modelo é usado quando no problema se pretende descrever a geometria bem como as características 
físicas dum determinado problema ou seja o Modelo Funcional descreve as propriedades determinísticas 
do fenômeno físico ou considerações sobre o evento (Fonte, 1994). Segundo, Teunissen (2003) o Modelo 
 
20 
 
Funcional descreve duma maneira teórica, a realidade física do problema, e é, o grau de aproximação 
entre a realidade física do problema e do Modelo Funcional adoptado, intimamente ligado ao nível de 
incerteza considerado aceitável, evitando custos extras aos propósitos do ajustamento. 
O número de observações feitas é que ditará a necessidade de se fazer ou não um ajustamento, se as 
observações forem mais do que o número mínimo de variáveis independentes que permitem definir o 
modelo escolhido de uma forma única, será necessário ajustar as observações para que se tenha uma 
solução única (Fonte, 1994). 
Designando o número mínimo por n0, fazendo-se n observações, com n > n0, assim sendo a redundância 
r (número de graus de liberdade) é dada por: 
r = n - n0 (5.0) 
Se tivermos u parâmetros independentes no ajustamento o número de condições a escrever será: 
c = r + u (5.1) 
A este caso considera-se como sendo o caso geral dentro do grupo das técnicas contendo parâmetros 
independentes. Quando u = 0, o que implica c = r e quando u = n0, o que implica que c = n, estes casos 
são tidos como casos extremos. Só será possível que o número de condições exceda o número de 
observações (u > n0) no caso em que os parâmetros não sejam independentes assim sendo faz-se 
necessário verificar as seguintes desigualdades: 
r ≤ c ≤ n e 0 ≤ u ≤ n0 (5.2) 
Escolhidos os parâmetros a envolver no ajustamento, constrói-se as c equações de condição 
independentes, com os u parâmetros e as n observações. 
 
21 
 
Quando se trabalha com ajustamento de redes obtidas por triangulação,trilateração e poligonação as 
observações obtidas não são lineares, assim sendo faz-se necessário a linearização das mesmas utilizando 
a formula de Taylor. Esta linearização vai introduzir um erro de aproximação, erro este tanto menor 
quanto melhor forem os valores aproximados do vector (Dalmolin 2002, citado por Ivandro, 2011). 
A forma linearizada do modelo funcional do caso geral é a seguinte: 
Av + B∆ = f (5.3) 
sabendo que: 
V – vector dos resíduos, vn,1 = [
v1
v2
⋮
vn
] (5.4) 
∆ - vector das correcções dos parâmetros ∆u,1 = [
x1
x2
⋮
xu
] (5.5) 
A – matriz Jacobiana jfl = (
δfi
δli
)
0
, Ac,n = 
[
 
 
 
 
 
δf1
δl1
 
δf1
δl2
 . . .
δf1
δln
δf2
δl1
 
δf2
δl2
 . . .
δf2
δln
⋮ 
δfc
δl1
 
δfc
δl2
 . . .
δfc
δln]
 
 
 
 
 
 (5.6) 
B – matriz Jacobiana jfx = (
δfi
δxi
)
0
, Bc,u = 
[
 
 
 
 
 
δf1
δx1
 
δf1
δx2
 . . .
δf1
δxu
δf2
δx1
 
δf2
δx2
 . . .
δf2
δxu
⋮ 
δfc
δx1
 
δfc
δx2
 . . .
δfc
δxu]
 
 
 
 
 
 (5.7) 
 
22 
 
L – vector coluna das observações, ln,1 = [
l1
l2
⋮
ln
] (5.8) 
2.4.5.2. Modelo Estocástico 
De acordo com Fonte (1996) o Modelo Estocástico descreve as propriedades não determinística ou 
estocásticas das variáveis, principalmente as variáveis que representam as observações. No modelo 
estocástico são descritas as propriedades estatísticas dos elementos que estão envolvidos no modelo 
funcional. Teunissen (2006) acrescenta que o modelo estocástico é de fundamental importância para a 
análise da qualidade e confiabilidade do ajustamento. 
Gemeal (1994) avança que o Modelo Matemático pode envolver observações directas, observações 
directas condicionadas ou observações indirectas. 
 Observações directas – são observações tidas quando as incógnitas do problema a resolver são 
as próprias grandezas mensuradas; 
 Observações directas condicionadas - estas observações também são directas mas se 
relacionam por via de equações de condição; e 
 Observações indirectas – este tipo de observações ocorre quando os parâmetros do problema a 
resolver não são directamente as grandezas mensuradas, mas se relacionam com estas por via de 
um Modelo Matemático. 
2.4.6. Modelo de Ajustamento com Equações de Observação (Método Paramétrico) 
Nesta técnica de ajustamento, também conhecida como Ajustamento de Observações Indirectas, as 
observações não se processam directamente sobre as grandezas procuradas ou sobre os parâmetros que 
se pretende conhecer. É através de Modelos Matemáticos que elas se vinculam aos parâmetros 
 
23 
 
desconhecidos, ou seja, necessita de formulação de equações, para que relacionem os parâmetros às 
observações e é por via das medições directas que geralmente estas grandezas são obtidas (Santos 2006). 
Segundo Fonte (1994) o Método Paramétrico caracteriza-se pelo facto de cada uma das equações que 
formam o Modelo Funcional contém apenas uma observação e essa observação tem coeficiente unitário 
assim sendo têm-se n observações e u parâmetros. 
Os parâmetros e as observações serão ajustados pelo Modelo Funcional Linearizado representado pelo 
sistema Av + B∆ = f. Este é um sistema com c equações lineares com n + u incógnitas, que são os 
elementos dos vectores v e ∆ (Idem). 
No caso geral obteve-se como forma linearizada do Modelo Funcional Av + B∆ = f sabendo que: 
A = (
δf
δl
)0 e B = (
δf
δx
)0 
Uma vez que no Método das Equações de Observação cada função f contém apenas uma observação com 
coeficientes unitários, a matriz A reduz-se a matriz identidade e terem-se como Modelo Linearizado: 
v + B∆ = f (6.0) 
Pode-se ainda representar a forma linearizada do modelo paramétrico como sendo: 
f = d – l ⟺ 1 + v + B∆ = d com d = - f(l, x0) + l0 (6.1) 
De acordo com Fonte (1994) no caso especifico (Método Paramétrico) as expressões que permitem 
calcular as variáveis do problema (v e ∆) podem ser obtidas de forma análoga, a partir do caso geral, 
substituindo apenas a matriz A pela matriz identidade ficando: 
 
24 
 
v = f - B∆ (6.2) 
 ∆ = N−1t (6.3) 
Sabendo que: 
N = BtPB e t = BtPf 
As observações ajustadas serão dadas pela expressão: 
l̂ = l + v (6.4) 
Segundo Amorim (2005) o processo de linearização do Modelo Matemático Funcional f, é realizada por 
meio de um processo iterativo, onde os parâmetros aproximados são actualizados a cada iteração e o 
processo converge quando o vector das correções se aproxima de zero ou quando for igual ou inferior a 
um valor de limiar pré-estabelecido. 
2.4.7. Qualidade do Ajustamento das Observações 
Feito o ajustamento, com vista a avaliar a qualidade do ajustamento um estudo comparativo entre a 
variância a priori e a variância a posteriori é realizado. Geralmente é no início do ajustamento que 
arbitrariamente se atribui um valor para a variância a priori, geralmente para este valor se adopta a 
unidade. Independentemente do valor atribuído a variância a priori, este valor não irá influenciar no 
vector solução do ajustamento, mas o mesmo ira fazer-se sentir na matriz dos coeficientes das equações 
normais (Santos, 2006). 
O teste estatístico é um dos mecanismos do qual o ajustamento das observações dispõe para o controle 
de qualidade no ajustamento. O método estatístico detecta e remove possíveis erros, basicamente os erros 
grosseiros e nos parâmetros desconhecidos este teste avalia os efeitos dos erros grosseiros não 
 
25 
 
detectáveis. A probabilidade de se detectar falhas neste tipo de teste será maior, quanto mais controláveis 
forem as observações (Amorim, 2005). 
Quando se pretende fazer uma inspeção ao Modelo Estocástico que se tenha usado, faz-se necessário 
calcular a estatística afim de detectar os erros grosseiros, sabendo que (n - u) é o número de graus de 
liberdade do ajustamento no Modelo Paramétrico, ou seja, o número de equações superabundantes do 
sistema de equações normais. Com a variância de peso unitário a posterior σ̂0
2, sob nível de significância 
α deve ser testada estatisticamente a variância de peso unitário a prior σ0
2 (Bisognin, 1997). 
3.1.1.1. Teste Bilateral 
A comparação da variância da unidade peso a priori com a variância da unidade de peso a posteriori é 
efectuada mediante o teste qui-quadrado na forma quadrática dos resíduos (Bisognin, 1997). 
A forma quadrática (6.1) segue uma distribuição x2 (qui-quadrado) (Gemael, 1994): 
σ̂0
2 = 
VTPV
r
 (7.0) 
Segundo Salles (2007) a esperança matemática da distribuição qui-quadrado e grau de liberdade (r) para 
o Teste Bilateral, somente poderá ser atendida se a relação entre a variância a posteriori e a variância a 
priori for igual a um (1). Segundo Mikhail (1976) e Gemael (1994) citados por Teixeira (2005) o Teste 
Global Bilateral é realizado mediante a formulação das hipóteses nula e alternativa: 
𝐻0 : σ0
2 = σ̂0
2 
𝐻1 : σ0
2 ≠ σ̂0
2 
 
26 
 
E sabendo que os valores teóricos do qui-quadrado podem ser calculados pela seguinte expressão: 
X𝑐
2 = 
VTPV
σ0
2 = 
σ̂0
2 ∗ 𝑟
σ0
2 (7.1) 
Para onível de significância α, seguindo o princípio do Teste Bilateral, a hipótese nula não será rejeitada 
ao nível de significância 𝛼, se estiver dentro do intervalo (Amorim, 2005): 
𝑥𝑟,α
2
 < X𝑐
2 < 𝑥𝑟,1− α
2
 (7.2) 
Onde: 𝑥𝑟,α
2
 e 𝑥𝑟,1− α
2
 são valores teóricos. 
Segundo Gemael (1994) citado por Teixeira (2005) no caso de rejeição da hipótese nula, o ajustamento 
apresenta problema que se pode atribuir a diferentes causas tais como: 
 Erros grosseiros; 
 Sistema mal condicionado; 
 Modelo Matemático inadequado; 
 Erros de cálculo; 
 Ponderação errônea das observações; e 
 Problema na linearização. 
Assim sendo, ao se constatar que o Teste Global Bilateral falhou, esforços devem ser empregues para em 
princípio examinar e, consequentemente, solucionar possíveis problemas dos itens acima descritos. Na 
sequência, um novo ajustamento é feito e, se o Teste Global falhar novamente, pode-se atribuir a presença 
de erros grosseiros. 
 
27 
 
Com auxílio de uma tabela de distribuição qui-quadrado, podem se calcular os valores. Bastando para 
isso, entrar com o número do grau de liberdade (r) e o nível de significância α. 
 
Figura 4. Regiões de aceitação e rejeição do teste bilateral (Amorim, 2007) 
2.4.8. Matriz Variância-Covariância dos Parâmetros Ajustados 
A MVC dos parâmetros estimados dada pela equação 6.7, é uma matriz completa e simétrica, permite 
determinar a precisão com que os parâmetros foram estimados. Onde na diagonal principal encontram-
se valores de variância e fora da diagonal, valores de covariância (Salles et al. 2007). 
 O cálculo da MVC dos Parâmetros Ajustados tem como finalidade averiguar com que precisão os 
valores mais prováveis das grandezas pretendidas foram determinados (Fonte, 1994). 
A matriz Variância-Covariância dos Parâmetros Ajustados é dada pela seguinte expressão: 
∑ =𝑥𝑦 σ̂0
2 (BtPB )−1 (6.7) 
Sabendo que: σ̂0
2 – é a variância a posteriori; B – é a matriz design; e P – é a matriz dos pesos. 
 
28 
 
CAPITULO III: CARACTERIZAÇÃO DA ÁREA DE ESTUDO 
3.1. Localização Geográfica do Posto Administrativo de Magude 
O Posto Administrativo de Magude localiza-se no Distrito de Magude, Província de Maputo e faz limite 
com 2 Distritos da Província de Maputo (Manhiça e Moamba) e 1 da Província de Gaza (Bilene). 
Limitando-se à Norte no Distrito no qual faz parte pelos Postos Administrativos de Motaze e Mahele e a 
Noroeste pelo Posto Administrativo de Panjane, á Nordeste é limitado pelo Distrito de Bilene, á Este e 
Sudeste pelo Distrito de Manhiça e a Sul, Sueste e Oeste é limitado pelo Distrito de Moamba. 
O Posto Administrativo de Magude está localizado aproximadamente entre as coordenadas geográficas, 
32⁰ 22ʹ 32ʺ e 32⁰ 56ʹ 37ʺ de longitude Este e entre os paralelos 24⁰ 41ʹ 57.4ʺ e 25⁰ 18ʹ 59ʺ de latitude 
Sul. E possui uma extensão territorial de 1.800 km2. 
 
29 
 
 
Figura 5. Mapa de Localização Geográfica da Área de Estudo (Adaptado pelo Autor) 
 
30 
 
Visto que a área em estudo encontra-se inserida no Distrito de Magude e não apresenta características 
físicas naturais diferentes das gerais do Distrito de Magude, usou-se das características gerais do Distrito 
de Magude para descrever as características físicas-geográficas da mesma. 
3.2. Solos e Relevo 
Relactivamente aos solos o Distrito de Magude apresenta formações de solos argilosos vermelhos com 
boa fertilidade, em algumas zonas deste Distrito pode-se encontrar também solos francos-argilosos-
arenosos acastanhados de fertilidade intermedia a boa. Neste Distrito há ainda existência de solos fluviais 
com um elevado índice de fertilidade, entretanto são de difícil lavoura, sendo que uma parte deste 
problema deve-se ao facto de que estes solos apresentarem excessos de água e salinidade. Há ainda 
existência de solos delgados pouco profundos, rochosos e não propícios à pratica da agricultura, estes 
tipos de solos, se verificam ao longo da fronteira com a República da África do Sul (RAS) (INE, 2005). 
Ainda de acordo com a mesma fonte, o Distrito de Magude possui formações extrusivas sedimentares 
que tem início na Suazilândia e é na fronteira com a República da África do Sul (RAS) onde se destacam 
os solos da era quaternárea (Basaltos, Riolitos e Tufos vulcânicos). No interior do Distrito de Magude 
predominam os conglomerados e calcários, com uma espessura que chega a atingir cerca de 20 metros e 
na bacia do Incomáte, verifica-se a existência de fosforites. Na zona do posto administrativo de 
Mapulanguene e numa faixa de Catusse passando pelos Montes Libombos há existência de ágatas. De 
acordo com o Perfil do Distrito de Magude (2005) no que concerne ao relevo, o Distrito de Magude 
apresenta em determinadas áreas cotas que não ultrapassam os 100 metros e em outras áreas cotas que 
oscilam entre 100 e 200 metros, ou seja o Distrito tem fundamentalmente áreas planas. 
3.3. Clima 
De acordo com o INE (2005) o clima deste Distrito é classificado como subtropical seco, com uma 
Temperatura Média Anual (TMA) que varia de 22 a 24 ºC, o Distrito apresenta ainda uma Pluviosidade 
Média Anual (PMA) de 630 mm. Pode-se encontrar neste Distrito duas épocas distintas, de Outubro a 
 
31 
 
Março e de Abril a Setembro sendo que a primeira época é tida como quente e de pluviosidade elevada 
e é nesta época que se verifica 80% da precipitação anual, a segunda época é tida como a época fresca e 
seca. 
3.4. Hidrografia 
Tal como os diversos rios, distribuídos ao longo do país, os rios do Distrito de Magude são de regime 
periódico, ou seja eles correm em determinados períodos, existindo períodos de muito baixo caudal 
principalmente na época seca (Abril a Setembro). O Distrito de Magude é atravessado pelo rio Incomáti 
e os seus afluentes Mazimuchopes, Massintonto e Uanétze. 
CAPITULO IV: IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DOS MATERIAIS E METODOLOGIA 
USADAS NA REALIZAÇÃO DO ESTUDO 
Neste capitulo serão descritos os matérias e métodos usados na realização do estudo, no entanto para o 
levantamento bem como o processamento de dados serão apresentados em simultâneo os resultados dos 
mesmos. Porém, visto que o Ajustamento das Observações pelo MMQ pela sua natureza é de caracter 
iterativo como resultados serão apresentados somente os resultados da última iteração (terceira) as 
restantes duas iterações estão patentes nos anexos. 
4.1. Instrumentos e Equipamentos Usados: 
Segundo Corrêa (2012) todas as observações topográficas se resumem na medição de uma distância, 
ângulo ou de uma diferença de nível, assim sendo as grandezas que nos interessam são medidas por 
intermédio dos nossos sentidos e com auxílio de instrumentos. Porém, Fonte (1996) avança que os 
instrumentos usados no método clássico, método que tem como base a medição de ângulos e distancias 
são instrumentos tais como teodolitos, níveis e distanciometros. 
 
32 
 
4.1.1. No Trabalho de Campo 
É necessário que a informação proveniente do campo para além do conjunto de coordenadas e 
designações dos pontos de pormenor, a mesma também deve conter informação de categorização e 
conexão dos elementos bem como croquis que representem o levantamento, de forma a poder ajudar na 
edição topográfica visto que este é um procedimento efectuado no gabinete. Assim sendo a informação 
que vem do campo e passa para o gabinete deve ser completa e sem causar nenhum tipo de ambiguidade 
ou omissão, pois normalmente quem edita não é quem executa o levantamento (Antunes, 1995). Deste 
modo a utilização de instrumentos e equipamentos adequados na realização dos trabalhos topográficos é 
imprescindível para a qualidade do produto final. 
Para a realização do trabalho de campo, fez-se necessário os seguintes instrumentos e equipamentos: 
 Um receptor GPS (GARMIN eTrex 30X) com uma precisão de até 2m, com a capacidadede 
efectuar ligação a mais de 24 satélites quando estiver a utilizar os dois sistemas GPS e 
GLONASS; 
 Um teodolito electrônico completo (STONEX) para a medição de ângulos com uma precisão de 
até 5ʺ; 
 Uma trena de 100m para medição de distâncias horizontais; e 
 Uma catana para cortar os arbustos que impediam a visibilidade entre os pontos bem como a 
passagem, um martelo para ajudar no processo de cravação de estacas e uma caderneta de campo 
onde foram registrados todos os elementos levantados no campo. 
4.1.2. No Gabinete 
Quaisquer dos métodos topográficos requer, para além do trabalho de recolha de informação, 
denominado de trabalho de campo, a posterior execução de ajustamentos e cálculos necessários à 
obtenção das quantidades pretendidas, a que se chama usualmente trabalho de gabinete (Fonte, 1996). 
 
33 
 
Para a realização do trabalho de gabinete, fez-se necessário os seguintes materiais: 
 Uma máquina calculadora (Cientifica) para efectuar os cálculos aritméticos; e 
 Um computador (portátil), foi neste computador onde foram instalados todos os programas 
computacionais usados no processamento dos dados. 
4.1.3. Programas Computacionais Usados e Processamento dos Dados 
 A informática (tecnologias de informação) é meio auxiliar para se desenvolver as actividades em um 
processo, atingir os objectivos estabelecidos e se chegar a um determinado fim (Moran et al. 2000). As 
novas possibilidades de informação se bem utilizadas, poderão tornar os trabalhos mais eficiente. Falar 
de avanços tecnológicos no contexto da Topografia, é dizer que neste campo houve completa 
remodelação, tanto nos métodos e equipamentos de levantamentos, como nas ferramentas utilizadas para 
cálculos, desenhos e análises de dados geográficos (Alencar, 2004). 
O processamento dos dados levantados em campo associados as caracteristicas dos equipamentos 
utilizados bem como os métodos, técnicas e procedimentos usados nas medições é que vão garantir a 
precisão nos resultados finais dos levantamentos de dados topográficos (Orth, 2008). 
O processamento dos dados consistiu no cálculo de coordenadas e observações ajustadas, MVC dos 
Parâmetros Ajustados, elaboração da planta da poligonal e cálculo da área da mesma. Na realização do 
estudo teve-se como programas computacionais e o processamento pelos mesmos o seguinte: 
4.1.3.1. Microsoft Excel 2013 
O Excel 2013 faz parte do pacote de produtividade da Microsoft System de 2013 que sucede ao Office 
2010 para além de ser uma base de dados, é também uma folha de cálculo automática, permiti a 
introdução de funções que facilitam até as mais complexas operações, bem como a simplificação de 
 
34 
 
repetição de operações. Em relação ao seu ante sucessor (Office 2010) este apresenta novas 
funcionalidades nas categorias de matemática e trigonometria, estatística, engenharia, data e hora, 
pesquisa e referências, logica e funções de texto. Em relação as funcionalidades anteriores ressaltar que 
para esta versão foram aprimoradas e algumas chegaram até a serem substituídas de modo a fornecer 
maior exactidão (Pinto, 2013) 
A utilização deste programa (Excel 2013) para o presente estudo consistiu em, modelar uma planilha, 
onde na mesma foram introduzidas formulas para o cálculo automático dos parâmetros aproximados, o 
vector dos valores independentes (f) a matriz design (B), ajuste dos parâmetros e observações e cálculo 
da área da poligonal. A modelação da planilha consistiu em: 
 Introduzir formulas na planilha onde basta-se introduzir os dados observacionais e o azimute a 
mesma automaticamente calculava os parâmetros aproximados; 
 Introduzir formulas na planilha que calculassem as 378 derivadas para a formação da matriz B, 
onde bastasse introduzir na planilha, os parâmetros aproximados, os azimutes e as observações 
(ângulos e distancia) a mesma procedia a formação da matriz B; 
 Introduzir formulas na planilha para o cálculo do vector f, onde basta-se introduzir os parâmetros 
aproximados, os azimutes e as observações (ângulos e distancia) a mesma procedia a formação 
deste vector; e 
 Introduzir formulas do Modelo Analítico de Gauss para o cálculo da área da poligonal, onde com 
a introdução dos parâmetros ajustados a mesma procedeu com o cálculo da área da poligonal. 
4.1.3.2. Jupyter Notebook 
O Jupyter Notebook é um programa do projecto Ipython, que fornece um conjunto de ferramentas para 
a computação cientifica usando shells interactivos avançados que combinam a execução do código com 
a criação de um documento de computação activo. 
 
35 
 
Visto que o ajustamento pelo MMQ é baseado em operações com matrizes (Matriz inversa, transposta, 
multiplicação, adição e escalonamento) e neste caso as matrizes apresentavam dimensões que numa 
máquina calculadora convencional não seriam suportadas, e mesmo sendo suportadas levariam bastante 
tempo para que se tivesse os resultados destas operações, não obstante de que usando uma máquina 
calculadora convencional corria-se o risco de cometer-se erros grosseiros no processo de transcrição dos 
valores, viu-se no Jupyter Notebook a solução para estes problemas todos, isto porque, o mesmo permite 
a introdução de funções de leitura de ficheiros em variados formatos no caso Excel (formato que estão 
as matrizes B, f e P) permite operação com dados que estiverem nestes ficheiro e a posterior gravação 
dos resultados obtidos em diferentes formatos. Sem contar que o mesmo corre no PC assim sendo, a 
rapidez na execução das operações depende da capacidade de processamento que o PC oferece, quanto 
maior for a capacidade de processamento do PC maior será a rapidez na execução das operações. 
Em forma de Anexos são apresentados todos os códigos escritos em Python, desenvolvidos para a 
concretização do presente estudo os mesmos partem do anexo 15 até o anexo 26: 
 
 
 
36 
 
4.1.3.3. ArcGIS 
De acordo com Silva (2010) o ArcGIS é um produto da empresa americana ESRI (Enviromental Systems 
Research Institute) e é um conjunto integrado de programas de Sistemas de Informação Geográfica (SIG) 
que fornece ferramentas baseadas em padrões para a realização de analise espacial, armazenamento, 
manipulação, processamento de dados geográficos e mapeamento e o mesmo é constituído por: 
 ArcCatalog; 
 ArcMap; 
 ArcToolBox; 
 ArcScene; e 
 ArcGlobe. 
A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de uma Projeção 
Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica. Ou seja, não só os limites desta superfície, bem 
como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão projectados sobre um plano considerado 
horizontal (Brandalize, 2002). A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta ou 
Plano Topográfico (Espartel, 1987). Actualmente a utilização dos CADʹs (Desenho Assistido por 
Computador) está generalizada na edição cartográfica, a edição topográfica ou mais genericamente, 
edição cartográfica é a componente dos CADʹs que elabora a carta ou planta em formato digital sempre 
convertida em formato analógico através da impressão em impressoras sofisticadas a jacto de tinta ou a 
laser (Antunes, 1995). 
Para o presente trabalho a representação gráfica no ArcGIS consistiu em: 
 Importação das coordenadas ajustadas para o ArcMap; 
 Atribuição do sistema de projecção; 
 
37 
 
 Criação de um shapefile (forma de armazenamento de dados vectoriais da ESRI, armazena formato, 
posição e atributos de feições gráficas) no ArcCatalog; 
 Com as ferramentas de edição (Editor) fez-se a edição dos dados (coordenadas ajustadas e o shapefile) 
introduzidos no ArcMap; e 
 Elaborou-se o layout da planta topográfica da poligonal que pode ser vista no anexo 27. 
4.2. Métodos Usados: 
4.2.1. Revisão Bibliográfica 
No que concerne a revisão bibliográfica, para a realização do presente estudo foram revistas obras que 
duma forma