Trabalho Final do Curso de CIG em PDF_2

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA 
CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS DE INFORMAÇÃO GEOGRÁFICA 
 
TRABALHO DE LICENCIATURA 
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO AJUSTAMENTO DE 
DADOS OBSERVACIONAIS (ÂNGULOS E DISTÂNCIAS) DUMA POLIGONAL 
FECHADA 
 “CASO DO ESTUDO POSTO ADMINISTRATIVO DE MAGUDE” 
 
Autor: 
Francesse Mauro Bacião 
 
Maputo, Novembro de 2016
 
Francesse Mauro Bacião 
 
 
TEMA: 
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO AJUSTAMENTO DE DADOS 
OBSERVACIONAIS (ÂNGULOS E DISTÂNCIAS) DUMA POLIGONAL FECHADA 
 
 
Supervisor: António Alfredo Assane (PhD) 
 
 
 
Maputo, Novembro de 2016
I 
 
DECLARAÇÃO DE HONRA 
Eu Francesse Mauro Bacião, declaro por minha honra que o presente trabalho é resultado da minha 
investigação, e das orientações do meu supervisor Antônio Alfredo Assane e que o mesmo foi realizado 
para ser submetido à Faculdade de Ciências apenas para a obtenção do grau de Licenciatura em Ciências 
de Informação Geográfica na Universidade Eduardo Mondlane e nunca foi publicado e apresentado. 
 
 
 
Maputo, Novembro de 2016 
_______________________________________________ 
(Francesse Mauro Bacião) 
 
 
II 
 
DEDICATÓRIA 
Este trabalho em primeiro lugar é dedicado a Deus, por ter sido e continuar a ser primordial e essencial 
na minha vida e em especial na vida acadêmica, pois acredito na existência de algo maior que me 
acompanha e guarda no meu dia a dia. E dedico ainda, as pessoas que incondicionalmente com muito 
amor e sacrifício deram o seu apoio nesta caminhada, aos meus pais Mauricio Adolfo Bacião e Angélica 
Francisco Gemo, aos meus irmãos Osvaldo, Agnesse, Evódia, Lemos, Alexandrino e Delfia. Aos meus 
tios Jorge e Cândida. 
 
III 
 
AGRADECIMENTOS 
O autor deseja externar os seus agradecimentos aos seguintes: 
A Deus por me ter dado saúde e força para superar as dificuldades da vida. 
Aos meus pais Mauricio Adolfo Bacião e Angélica Francisco Gemo, por terem lutado e doado as suas 
vidas e tudo terem feito para que este que é um sonho nosso, se torna-se realidade, incentivando nas horas 
difíceis, de desânimo e cansaço. 
Aos meus irmãos Osvaldo, Agnesse, Evódia, Lemos, Alexandrino e Delfia por me fortalecerem. Aos 
meus tios Cândida e António e as minhas sobrinhas Vania e Gência pela contribuição valiosa. 
Ao meu supervisor Dr. Antônio Alfredo Assane, pela orientação, apoio e confiança com vista a tornar 
possível a realização do presente trabalho. E ao Msc. Márcio Fernando Mathe pelo impulso e 
preocupação no que concerne ao termino do presente trabalho. 
Aos professores por me proporcionar o conhecimento não apenas racional, mas a manifestação do 
carecter e afectividade no processo de formação. Meus agradecimentos a todos os colegas no curso de 
Ciências de Informação Geográfica, pois com os mesmos aprendi à diferentes níveis, a cooperar, ajudar 
a sacrificar, dizer que do vosso lado a cada contacto, a cada conversa, eu sofria um processo de 
transformação intelectual, racional e moral. Em especial os meus agradecimentos vão para colegas como: 
Manuel, Pascoalino, Sansão, Herman, Azarias, Ruben, Sidónio, Helder, Edna, Constância e Florinda. 
A minha amiga e companheira de todos os tempos e momentos Stela Raquel, aos meus amigos que 
sempre estiveram e estão presentes na minha vida nomeadamente: Décio da Costa, Dionísio Carlito, 
Edito Cofe, Daniel Mondlane, Delço Nancuala e Estergio. A todos que directa ou indirectamente 
contribuíram para que eu fosse o que sou hoje. 
IV 
 
RESUMO 
Em diversas áreas de estudo como a Geodesia, Topografia dentre outras, devido a sua aplicabilidade 
onde apresentam um conjunto de dados de uma variável medida, e deseja-se descobrir uma tendência 
para estes valores ou até mesmo uma função que melhor represente este conjunto de dados. Dentre os 
diversos métodos existentes, tem-se o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), como um dos métodos 
para a determinação da melhor aproximação para estes conjuntos de pontos discretizados. Em 
levantamentos topográficos planimétricos, de acordo com a sua finalidade conhecer a qualidade das 
coordenadas estimadas é fundamental. 
Para este estudo dentro do Ajustamento das Observações pelo Método dos Mínimos Quadrados, é 
retratado o Ajustamento pelo Modelo das Equações de Observações ou Modelo Paramétrico. A aplicação 
prática deste modelo foi dada por uma poligonal fechada levantada no Posto Administrativo de Magude 
no Distrito de Magude na Província de Maputo. A poligonal é constituída por 10 vértices com um 
perímetro de 1024.91m e uma área de 0.057km2. O processamento dos dados deu-se mediante a 
utilização de 3 programas computacionais (Excel, Jupyter Notebook e ArcGis) onde o Excel e o Jupyter 
Notebook permitiram fazer o ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados, no Jupyter foi 
compilado o código em linguagem de programação Python. No ArcGis foram criados shapefiles, fez-se 
a edição bem como o layout da planta topográfica da poligonal com os dados ajustados. Feito o 
ajustamento havia necessidade de se fazer o teste de qualidade do mesmo, para este estudo o teste 
escolhido foi o Teste Bilateral. 
Como resultado teve-se os dados observacionais e os parâmetros ajustados em 3 iterações bem como a 
planta topográfica e a área da poligonal com os dados ajustados. A área da poligonal foi calculada pelo 
Método Analítico de Gauss. 
 
V 
 
ÍNDICE 
 
DECLARAÇÃO DE HONRA ................................................................................................................ I 
DEDICATÓRIA ..................................................................................................................................... II 
AGRADECIMENTOS ......................................................................................................................... III 
RESUMO ............................................................................................................................................... IV 
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................... IX 
LISTA DE TABELAS ............................................................................................................................ X 
LISTA DE ABREVIATURAS ............................................................................................................. XI 
LISTA DE UNIDADES DE MEDIDAS ............................................................................................. XI 
LISTA DE SÍMBOLOS ...................................................................................................................... XII 
LISTA DE ANEXOS ......................................................................................................................... XIII 
ESTRUTURA DO TRABALHO ........................................................................................................ XV 
 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1 
1.1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 1 
1.2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA .......................................................................................................... 3 
1.3. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................................ 3 
1.4. OBJECTIVOS ........................................................................................................................... 4 
1.4.1. Geral ...................................................................................................................................... 4 
1.4.2. Específicos .............................................................................................................................4 
 
CAPITULO II: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................... 5 
2.1. TOPOGRAFIA ............................................................................................................................... 5 
2.1.1. Levantamento Topográfico.................................................................................................... 6 
VI 
 
2.1.2. Poligonação ........................................................................................................................... 6 
2.2. DESVIO PADRÃO ......................................................................................................................... 9 
2.3. TEORIA DOS ERROS .................................................................................................................... 9 
2.3.1. Tipo de Erros ....................................................................................................................... 10 
2.3.1.1. Erros Grosseiros (Equivoco) ....................................................................................... 11 
2.3.1.2. Erros Sistemáticos ou Acumulativos ........................................................................... 11 
2.3.1.3. Erros Acidentais ou Aleatórios .................................................................................... 12 
2.4. AJUSTAMENTO NAS OBSERVAÇÕES .......................................................................................... 13 
2.4.1. Ajustamento de Observações pelo Método dos Mínimos Quadrados ................................. 13 
2.4.1.1. Princípio do Método dos Mínimos Quadrados ............................................................ 14 
2.4.1.2. Problema dos Mínimos Quadrados.............................................................................. 15 
2.4.2. Atribuição dos Pesos nas Observações ................................................................................ 17 
2.4.3. Matriz Variância-covariância .............................................................................................. 18 
2.4.4. Factor de Variância .............................................................................................................. 18 
2.4.5. Modelo Matemático ............................................................................................................. 19 
2.4.5.1. Modelo Funcional ........................................................................................................ 19 
2.4.5.2. Modelo Estocástico ..................................................................................................... 22 
2.4.6. Modelo de Ajustamento com Equações de Observação (Método Paramétrico) ................. 22 
2.4.7. Qualidade do Ajustamento das Observações....................................................................... 24 
3.1.1.1. Teste Bilateral .............................................................................................................. 25 
2.4.8. Matriz Variância-Covariância dos Parâmetros Ajustados ................................................... 27 
 
CAPITULO III: CARACTERIZAÇÃO DA ÁREA DE ESTUDO .................................................. 28 
3.1. LOCALIZAÇÃO GEOGRÁFICA DO POSTO ADMINISTRATIVO DE MAGUDE .................................. 28 
3.2. SOLOS E RELEVO ...................................................................................................................... 30 
3.3. CLIMA ...................................................................................................................................... 30 
3.4. HIDROGRAFIA ........................................................................................................................... 31 
VII 
 
CAPITULO IV: IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DOS MATERIAIS E METODOLOGIA 
USADAS NA REALIZAÇÃO DO ESTUDO ...................................................................................... 31 
4.1. INSTRUMENTOS E EQUIPAMENTOS USADOS: ............................................................................. 31 
4.1.1. No Trabalho de Campo........................................................................................................ 32 
4.1.2. No Gabinete ......................................................................................................................... 32 
4.1.3. Programas Computacionais Usados e Processamento dos Dados ....................................... 33 
4.1.3.1. Microsoft Excel 2013 .................................................................................................. 33 
4.1.3.2. Jupyter Notebook ......................................................................................................... 34 
4.1.3.3. ArcGIS ......................................................................................................................... 36 
4.2. MÉTODOS USADOS: .................................................................................................................. 37 
4.2.1. Revisão Bibliográfica .......................................................................................................... 37 
4.2.2. Método Cartográfico............................................................................................................ 37 
4.2.3. Observações Directas .......................................................................................................... 37 
4.2.3.1. Reconhecimento da Área ............................................................................................. 38 
4.2.3.2. Implantação da Base .................................................................................................... 38 
4.2.3.3. Medições de Ângulos e Distâncias Horizontais .......................................................... 39 
4.2.4. Cálculo dos Desvios Padrões ............................................................................................... 41 
4.2.5. Determinação do Número de Observações e de Equações do Problema ............................ 42 
4.2.6. Formulação das Equações dos Elementos Envolvidos no Problema .................................. 42 
4.2.7. Composição da Matriz Pesos ............................................................................................... 50 
4.2.8. Teste de Qualidade de Ajustamento .................................................................................... 53 
4.2.9. Cálculo da Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado ..................... 55 
4.2.10. Cálculo da Área da Poligonal pelo Método de Gauss ..................................................... 56 
4.3. RESUMO DA IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DOS MATERIAIS E METODOLOGIAS ........................... 57 
 
CAPITULO V: CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ................................................................ 58 
5.1. CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 58 
5.2. RECOMENDAÇÕES .................................................................................................................... 59 
VIII 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 60 
 
7. ANEXOS ........................................................................................................................................ 63 
 
 
IX 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1. Poligonal aberta (Adaptado pelo Autor) .................................................................................... 8 
Figura 2. Poligonal fechada com orientação interna (Adaptado pelo Autor) ............................................ 8 
Figura 3. Poligonal fechada com orientação externa (Adaptado pelo Autor) ........................................... 8 
Figura 4. Regiões de aceitação e rejeição do teste bilateral (Amorim, 2007) .........................................27 
 Figura 5. Mapa de Localização Geográfica da Área de Estudo (Adaptado pelo Autor) ........................ 29 
Figura 18. Fluxograma metodológico ..................................................................................................... 57 
 
 
X 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1. Coordenadas da base e cumprimento da linha da mesma........................................................ 39 
Tabela 2. Ângulos e distâncias observados ............................................................................................. 40 
Tabela 3. Ângulos e distancias com os seus respectivos desvios ............................................................ 41 
Tabela 4. Tabela das coordenadas aproximadas (parâmetros) em UTM ................................................ 46 
Tabela 5. Coordenadas da base e os azimutes (Directo e Inverso) .......................................................... 46 
Tabela 6. Resíduos e observações ajustadas (3ª iteração) ....................................................................... 53 
Tabela 7. Parâmetros de correção e coordenadas ajustadas (3ª iteração) ................................................ 53 
Tabela 8. Resultado do Teste de Qualidade Bilateral (3ª iteração) ......................................................... 54 
 
XI 
 
LISTA DE ABREVIATURAS 
 Abreviatura Significado 
1 ac Antes de cristo 
2 CAD Desenho Assistido por Computador 
3 CIG Ciências de Informação Geográfica 
4 GPS Sistema de Posicionamento Global 
5 GPS Sistema de Posicionamento Global 
6 MMQ Método dos Mínimos Quadrados 
7 PMA Pluviosidade Média Anual 
8 RAS República da África do Sul 
9 SIG Sistemas de Informação Geográfica 
10 TMA Temperatura Média Anual 
11 UTM Projeção Universal Transversal de Mercator 
 
LISTA DE UNIDADES DE MEDIDAS 
 Símbolo Unidade de Medida 
1 ºC Graus celsos 
2 ha Hectares 
3 m Metro (unidade de medida) 
4 m2 Metro quadrado 
 
 
XII 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 Símbolo Significado 
1 v Vector dos resíduos associados às observações 
2 ln Vector das observações 
3 pi Peso da observação i 
4 σ02 Variância de referência 
5 �̂�0
2 Variância a posterior 
6 σi2 Variância da observação i 
7 l̂ Observações ajustadas 
8 Lb, l Observações brutas 
9 r Grau de liberdade 
10 diag Matriz diagonal 
11 I Matriz identidade 
12 ∆ Vector de correção dos parâmetros aproximados 
13 𝑋2 Qui-quadrado 
14 B Matriz design 
15 d Comprimento do lado da poligonal 
16 𝛼 Ângulos horizontais 
17 c Número de equações 
18 u Parâmetros 
19 n0 Número de observações necessárias 
20 Az Azimute 
21 ∑ Somatório 
 
 
XIII 
 
LISTA DE ANEXOS 
Anexo 1. Matriz B (1ª iteração) ............................................................................................................... 64 
Anexo 2. Vector f (1ª iteração) ................................................................................................................ 65 
Anexo 3. Parâmetros de Correção e Coordenadas Ajustadas (1ª iteração) ............................................. 65 
Anexo 4. Resíduos e Ângulos e Distâncias Ajustadas (1ª iteração) ........................................................ 66 
Anexo 5. Teste de qualidade de ajustamento (1ª iteração) ...................................................................... 66 
Anexo 6. Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado (1ª iteração) ....................... 67 
Anexo 7. Matriz B (2ª iteração) ............................................................................................................... 68 
Anexo 8. Vector f (2ª iteração) ................................................................................................................ 69 
Anexo 9. Parâmetros de correção e coordenadas ajustadas (2ª iteração) ................................................ 69 
Anexo 10. Resíduos e Ângulos e Distâncias Ajustadas (2ª iteração) ...................................................... 70 
Anexo 11. Teste de qualidade de ajustamento (2ª iteração) .................................................................... 70 
Anexo 12. Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado (2ª iteração) .................... 71 
Anexo 13. Planta Topográfica da Poligonal com dados Ajustados pelo MMQ ...................................... 72 
Anexo 14. Área da poligonal calculada pelo Método de Gauss com as coordenadas ajustadas ............. 73 
Anexo 15. Importando os pacotes de leitura de ficheiros em xlsx, tratamento de vectores e operações 
com matrizes ............................................................................................................................................ 74 
Anexo 16. Código de leitura de ficheiros no formato xlsx ...................................................................... 74 
Anexo 17. Código para o armazenamento dos dados no formato xlsx, num vector ............................... 74 
Anexo 18. Código de definição duma função para o cálculo duma matriz transposta............................ 74 
Anexo 19. Código de definição duma função para a multiplicação de matrizes..................................... 74 
Anexo 20. Código de definição duma função para o cálculo duma matriz inversa ................................ 74 
Anexo 21. Código para o cálculo do vector de correção dos parâmetros e vector dos resíduos ............. 75 
Anexo 22. Código para o cálculo da variância a posterior, qui-quadrado e MVC dos Parâmetros 
Ajustados ................................................................................................................................................. 75 
Anexo 23. Código para avaliação da qualidade do ajustamento (Hipótese Nula e Teste Bilateral) ....... 75 
Anexo 24. Código de impressão da variância a posteriori, valor do qui-quadrado e MVC dos Parâmetros 
Ajustados ................................................................................................................................................. 75 
XIV 
 
Anexo 25. Código para a gravação no formato xlsx. dos resultados do ajustamento ............................. 76 
Anexo 26. Gravando os ficheiros ............................................................................................................ 76 
Anexo 27. Planta Topográfica da Poligonal com dados Ajustados pelo MMQ ...................................... 77 
 
XV 
 
ESTRUTURA DO TRABALHO 
O presente trabalho divide-se em cinco (V) capítulos, dos quais o I° capitulo é composto pela parte 
introdutória envolvendo a introdução, definição do problema, justificativa e objectivos. 
O II° capitulo é composto pela revisão bibliográfica, onde é descrito o tema no âmbito geral bem como 
no âmbito especifico. 
O III° capitulo descreve a caracterização da área de estudo. 
O IV° capitulo descreve os matérias e métodos usados no decorrer do estudo onde, nos métodos usados 
em simultâneo são apresentados os resultados dos mesmos. 
O V° capitulo envolve a conclusão, recomendações, referências bibliográficas que serviram de suporte 
para a composição teórica do trabalho e os anexos
 
1 
 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO 
1.1. Introdução 
A combinação de observações feitas necessariamente com erros, para estimação de parâmetros de 
posição de corpos celestes é um dos maiores problemas com que sempre os astrônomos se debateram. 
Este problema terá sido notado pelos primeiros a introduzir medidas na Astronomia, pois repararam que 
as suas medidas eram falíveis e variavam ligeiramente de momento para momento e de observador para 
observador (Carvalho, 2007). Porém, Crato (2001) acrescenta que esses astrónomos aceitavam uma 
medida aproximada, que lhes parecia mais rigorosa, e não se preocupavam com os problemas estatísticos 
das suas mensurações ou, pelo menos, não escreveram sobre esses problemas. 
Os processos experimentais de medidas para a recolha de dados (observações) são necessários para as 
demaisciências, sendo uma delas a Topografia, devido à presença de erros nesses processos 
experimentais de medições, são necessários critérios e métodos para o ajustamento das mesmas. 
Basicamente, os erros que influenciam as observações topográficas são classificados em aleatórios 
(acidentais) sistemáticos e grosseiros (Gemael, 1994). 
Segundo Bisognin (1997) o ajustamento surge na necessidade de calcular os parâmetros das órbitas dos 
planetas, e para tal efeito, aplicou-se o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Visto que para calcular 
os parâmetros das órbitas dos cometas fazia-se necessário medidas pontuais, efectuadas em diferentes 
momentos. 
Tem sido costume encarar como um axioma a hipótese de que, se uma quantidade foi determinada por 
várias observações directas, nas mesmas condições ou seja medições de igual precisão, então a média 
aritmética dos valores observados fornece o valor mais provável, se não rigorosamente, pelo menos com 
grande aproximação (Farebrother, 1999 citado por Bisognin, 2006). 
 
2 
 
Dentre os métodos para o ajustamento dos dados onde o número de observações é superabundante e o 
sistema de equações é inconsistente, devido à presença de erros no processo experimental de medições, 
o Método dos Mínimos Quadrados é um dos mais utilizado (Kavouras, 1982 citado por Santos, 2006). 
Quando apenas erros de natureza aleatória contaminam as observações, o Método dos Mínimos 
Quadrados é dito como sendo um estimador imparcial (Gemael, 1994). Além disso, quando a ponderação 
das observações é tomada em função de variâncias e covariâncias, correctamente determinadas, o MMQ 
é dito o melhor estimador linear imparcial, bem como quando os erros aleatórios seguem distribuição 
normal multivariada, a solução pelo MMQ coincide com a solução de máxima verossimilhança 
(Teunissen, 2003 citado por Klein, 2011). 
 
3 
 
1.2. Definição do Problema 
De acordo com Amorim (2005) na medição de uma determinada grandeza, a limitação humana, 
imperfeição instrumental e instabilidade da natureza, são factores que impedem a exactidão absoluta das 
medidas. Os resultados de uma mesma medida, repetida várias vezes por um mesmo operador, 
provavelmente não serão idênticas, por maior que seja o cuidado empregue nas observações. Deste modo, 
pode-se afirmar que, de uma forma ou de outra, todas as medidas contêm erros. 
No âmbito do presente estudo verificou-se que, os erros ocorrem devido a diversos factores tais como 
condições climáticas, erros de leitura no instrumento, desgastes que os parafusos dos instrumentos sofrem 
e erros grosseiros que podem vir a surgir no momento de transcrever ou digitar o resultado duma dada 
observação (Bisognin, 2006). E uma vez reconhecida a impossibilidade de tornar as medidas isentas de 
erros, visto que os métodos de levantamento em geral são superabundantes e sujeitos a flutuações 
probabilísticas as observações devem então ser ajustadas com o objectivo de proporcionar coordenadas 
únicas e confiáveis dos pontos de interesse (Monico, 1988). Assim sendo, torna-se imprescindível 
estabelecer um método seguro e conveniente de modo que através dele se possa estabelecer o valor mais 
aceitável de uma grandeza. 
1.3. Justificativa 
Apesar do MMQ ser bem dominado no meio acadêmico nota-se uma grande dificuldade em encontrar 
exemplos e relatos claros da aplicação deste no âmbito topográfico. Desta feita faz-se necessário 
apresentar uma revisão teórica e aplicação deste método, com finalidade de inverter e contribuir no 
âmbito acadêmico actual com um melhor entendimento prático do mesmo. 
A escolha deste tema, bem como a utilização das observações resultante do estágio realizado no Distrito 
de Magude na Província de Maputo, visa mostrar que nesse tipo de actividade (estágio), para além dos 
objectivos que o mesmo tem, quer-se aqui contribuir com mais um componente no que concerne ao 
tratamento dos dados. Mostrando como as repetições que são feitas nas medições com intuito de 
 
4 
 
aperfeiçoamento podem ser usadas para garantir maior precisão nos resultados esperados. Porém, viu-se 
também no tema a possibilidade que o mesmo da, de poder trazer um produto resultante de uma fusão e 
interligação das diversas disciplinas lecionadas no curso de Ciências de Informação Geográfica (CIG) 
disciplinas como: Introdução as Tecnologias de Comunicação, Matemática (Álgebra Linear, Análise e 
Estatística) Programação e Topografia. 
1.4. OBJECTIVOS 
1.4.1. Geral 
 O presente trabalho tem como objectivo geral, apresentar a aplicação do Método dos Mínimos 
Quadrados (MMQ) no Ajustamento de Observações topográficas. 
1.4.2. Específicos 
Os objectivos específicos são: 
 Implantar no terreno uma base, usando um receptor GPS e uma trena; 
 Traçar e levantar uma poligonal fechada (ângulos e distâncias), com recurso a um teodolito 
completo e uma trena respectivamente; 
 Aplicar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), para ajustar os dados levantados usando 
Excel e linguagem de programação Python corrida no Jupyter Notebook; 
 Fazer o Teste de Qualidade do Ajustamento (Teste Bilateral) e calcular a Matriz Variância-
Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustados 
 Calcular a área da poligonal pelo Método Analítico de Gauss e elaborar a planta topográfica da 
mesma no ArcMap 10.1. 
 
5 
 
CAPITULO II: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
Antes de tratar concretamente do ajustamento de observações pelo MMQ propriamente dito, visto que 
para o presente estudo, o Ajustamento das Observações é direcionado para a área topográfica, faz-se 
necessário primeiro, apresentar a definição da Topografia bem como alguns conceitos da mesma que 
serão bastante usuais no decorrer do presente estudo. 
2.1. Topografia 
De acordo com Antunes (1995) a Topografia é uma disciplina da Geodesia que na sua concepção clássica 
dedica-se na representação local de uma parcela da superfície terrestre, onde o efeito da curvatura da 
terra é considerado desprezível, ou seja, ela tem a superfície terrestre como um plano. Por outro lado 
Brandalize (1987) define a Topografia como descrição exacta e minuciosa de um lugar, que tem como 
finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relactiva de numa porção limitada da superfície 
terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da 
esfericidade da terra. Por outro lado a Topografia tem como objectivo, o estudo dos instrumentos e 
métodos utilizados para se obter a representação gráfica de um lugar (Augusto et al. 2012). 
Para Wolf (1977) citado por Veiga et al. (2012) o trabalho prático de Topografia pode ser dividido em 
cinco (5) etapas a saber: 
 Tomada de decisão – são relacionados os métodos de levantamento, equipamento, posição ou 
pontos a serem levantados; 
 Trabalho de campo ou aquisição de dados – são efectuadas medições bem como a gravação de 
dados; 
 Cálculo ou processamento – baseando-se nas medidas obtidas elaboram-se os cálculos afim de 
determinar as coordenadas, volumes dentre outros; 
 Representação ou mapeamento – a partir dos dados medidos são produzidas as cartas ou mapas; 
e 
 
6 
 
 Locação – neste processo é feita a implantação. 
2.1.1. Levantamento Topográfico 
Segundo Fonte (1996) o levantamento topográfico é a operação de recolha de informação necessária para 
a elaboração de uma planta ou carta topográfica de uma região. Porém, Antunes (1995) acrescenta que 
para a coordenação dos pontos, as distâncias bem como os ângulos (coordenadas polares) são medições 
estritamente necessárias para o levantamento topográfico. Os levantamentos topográficos são, em geral 
apoiados num conjunto de pontos de coordenadas geodésicas conhecidas, cuja determinação pertence à 
Geodesia (Fonte, 2004). Veiga et al. (2012) acrescenta que às operações efectuadas em campo tem como 
objectivo final a representação gráfica do fenômeno no papel. 
Os levantamentos topográficos podem ser realizados utilizandoos seguintes métodos (Fonte, 1996): 
 Métodos topográficos clássicos – estes métodos têm como base fundamental a medição de 
ângulos e distâncias recorrendo a instrumentos tais como teodolitos, níveis e distanciometros; 
 Método fotogramétrico - neste método a informação é obtida por via de fotografias aéreas 
métricas, ou imagens numéricas multiespectrais recolhidas por sensores instalados em satélites 
artificiais da terra; e 
 O Sistema de Posicionamento Global (GPS) – este método utiliza receptores dos sinais emitidos 
pelos satélites da constelação GPS, permitindo a determinação precisa das coordenadas dos locais 
onde as antenas dos receptores são colocadas. 
2.1.2. Poligonação 
Consiste em estabelecer no terreno polígonos irregulares do qual são medidos os ângulos entre 
alinhamentos consecutivos e as distâncias entre os vértices vizinhos, para se determinar as coordenadas 
 
7 
 
rectangulares de seus vértices (Silva et al. 2006). Antunes (1995) afirma que as poligonais são formadas 
por um número finito de lados, interligando em dois ou mais pontos de coordenadas conhecidas, 
designados de pontos de apoio, nos quais previamente também se conhece a orientação (Azimute). 
De acordo com Espartel (1987) citado por Brandalize (2002) o método de poligonação é utilizado no 
levantamento de superfícies relactivamente extensas e com relevo acidentado, este oferece maior 
confiabilidade no que diz respeito aos resultados. Brandalize (2002) acrescenta que o processamento dos 
dados neste método, inclui o fechamento dos ângulos horizontais, o transporte dos azimutes, o 
fechamento das distâncias horizontais, o transporte das coordenadas e o cálculo da área. 
As poligonais são divididas em 3 tipos a saber (Antunes, 1995): 
 Poligonal aberta – este tipo de poligonal apoia-se em dois pontos coordenados e distintos ou 
seja, é uma poligonal com n pontos estacionados, apoiada nos seus extremos com orientação para 
pontos exteriores; 
 Poligonal fechada com orientação interna – é uma poligonal com um único ponto de apoio ou 
seja, a mesma tem n pontos observados começa e termina no mesmo ponto onde o rumo de 
orientação é dado pela direcção de visada atrás no ponto de apoio; e 
 Poligonal fechada com orientação externa – é uma poligonal com n-1 pontos, considerando n 
estações ou seja o primeiro ponto (de partida e de chegada) é estacionado no início e no fim da 
observação da poligonal. A orientação da poligonal é dada por uma direcção externa, assim sendo 
o rumo inicial e final de orientação da poligonal é o mesmo. 
Na fase do levantamento da poligonal, no sentido horário, medindo-se ângulos e distâncias horizontais 
percorre-se as estações da poligonal, uma a uma anotando os valores das observações dos pontos em 
cadernetas de campo apropriadas ou registadas na memória do próprio aparelho (Brandalize, 1987). Em 
seguida são ilustradas em forma de figuras os 3 tipos de poligonais: 
 
8 
 
 
Figura 1. Poligonal aberta (Adaptado pelo Autor) 
 
 
Figura 2. Poligonal fechada com orientação interna (Adaptado pelo Autor) 
 
Figura 3. Poligonal fechada com orientação externa (Adaptado pelo Autor) 
Az 
Az 
Az 
Az 
 
9 
 
 
2.2. Desvio Padrão 
O desvio padrão é uma medida que leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo 
e não apenas os valores externos, como a amplitude total (Crespo, 2002). Esta medida de dispersão é a 
mais utilizada, isto porque, a mesma aponta de forma mais precisa a dispersão dos valores em relação à 
média aritmética (Nazareth, 2003). 
Segundo Lopes (2003) o desvio padrão mede bem a dispersão de um conjunto de dados e o desvio padrão 
de uma série será sempre um valor positivo e quanto maior esse valor, maior será a dispersão entre os 
elementos. O desvio padrão é dado pela seguinte expressão: 
 S = √
∑(xi− x̂
n−1
 (1.0) 
De acordo com o mesmo autor, quando o desvio padrão é em relação à média que são as diferenças entre 
cada elemento da distribuição de valores e a média destes valores, calcula-se pela seguinte expressão: 
Sm = 
S
√n
 (1.1) 
Sendo: 𝑥𝑖 - cada elemento do conjunto de dados; 𝑥 é media do conjunto; e n é o número de elementos 
do conjunto. 
2.3. Teoria Dos Erros 
Sob ponto de vista de que, na sua maioria se não mesmo todas as observações topográficas resumirem-
se em medição de ângulos bem como de distâncias verticais e horizontais, por influência de diversos 
factores dentre eles atmosféricos, instrumentais bem como humanos (observador) é de se esperar que as 
 
10 
 
observações estejam contaminadas por erros (Klein, 2011). Assim sendo as observações, o registo, 
manuseamento das observações e a imperfeição dos métodos levam-nos a valores contaminados por 
erros, isto é, o processo de observação está sempre sujeito a influência de variadíssimas fontes de erros 
(Antunes, 1995). Segundo Carvalho et al. (2007) os erros de observação não permitem que haja um 
fechamento geométrico adequado da poligonal e, portanto, é necessário que se faça um controle da 
qualidade dos erros nas observações de ângulos e distâncias. 
Para Antunes (1995) as causas dos erros podem ser de origem: 
 Ambientais - tem como causa as variações das condições ambientais, como vento, temperatura 
dentre outras; 
 Instrumentais - tem como causa a imperfeição na construção do equipamento ou ajuste do 
mesmo, sendo que na sua maioria podem ser reduzidos adoptando técnicas de verificação, 
calibração e classificação, além de técnicas particulares de observação; e 
 Pessoais - tem como causa falhas humanas, tais como falta de atenção ao executar uma medição, 
cansaço, distração dentre outras. 
A teoria dos erros tem como finalidade o estabelecimento dum método seguro e conveniente, método 
este que possibilita estabelecer permanentemente o valor mais aceitável de uma grandeza, visto que é 
impossível tornar as medidas isentas de erros (Corrêa, 2012). 
2.3.1. Tipo de Erros 
Amorim (2005) classifica os erros em 3 tipos a saber: 
 Erros Grosseiros (Equivoco); 
 Erros Sistemáticos ou acumulativo; e 
 Erros Acidentais ou aleatórios. 
 
11 
 
Para além da classificação dos erros supracitadas, (Antunes, 1995) avança um quarto tipo de erro 
designado por erros periódicos. Este tipo de erro são de caracter determinísticos, visto que a cada um 
corresponde um outro mais ou menos igual porém, de sinal contrário. Dependendo do tipo de observação 
a sua grandeza varia. 
2.3.1.1. Erros Grosseiros (Equivoco) 
A falha instrumental bem como a imperícia e descuido do operador, são as principais causas para o 
aparecimento dos erros grosseiros. Este é um tipo de erro que pode ser evitado tomando algumas 
precauções tais como cuidado e atenção, criando-se operações de controle, fazendo uma comparação dos 
valores obtidos com medidas já conhecidas, instruindo e treinando os operadores dos instrumentos e os 
responsáveis pelos registos (Amorim, 2005). Os erros grosseiros são todos aqueles, superiores a 3 vezes 
o desvio padrão. O estudo dos erros grosseiros vem ganhando grande importância devido a uma massiva 
utilização dos instrumentos eletrônicos, isto porque na sua maioria os dados são descarregados 
automaticamente e processados em computadores, onde o observador não tem a possibilidade de analisar 
estes mesmos dados (Dalmolin, 2002). Uma vez que no processo de descarga e processamento dos dados 
torna-se imperceptível pelo operador a existência de erros, faz-se necessário a introdução de 
metodologias automáticas que ajudem a detectar a existência desse tipo de erros para melhor tratar. 
Assim sendo existe uma parte do ajustamento que se dedica ao estudo deste tipo de casos e é denominada 
por Outliers (Klein, 2011). 
2.3.1.2. Erros Sistemáticos ou Acumulativos 
Segundo Amorrim (2005) os erros sistemáticos têm tendênciasa ocorrer em um único sentido, 
conservando-se em medições sucessivas. Tem como causas a deficiência do instrumento, do observador, 
do método usado (modelo matemático) podem também ser provenientes de causas permanentes 
(conhecidas ou não) e seguem uma determinada lei. Sempre que uma determinada acção se repete nas 
mesmas circunstâncias, os erros sistemáticos repetem-se do mesmo modo e são erros que, quando 
conhecidos, podem sempre ser expressos através de uma formulação matemática. Quando se pretende 
 
12 
 
fazer um ajustamento das observações torna-se imprescindível que se tenha um conhecimento da fonte 
dos erros sistemáticos visto que antes de se efectuar o ajustamento faz-se necessário a eliminação deste 
tipo de erros (Fonte, 2005). 
Amorrim (2005) avança que os erros sistemáticos podem ser originados por 3 fontes diferentes a saber: 
 Erros sistemáticos introduzidos pelo observador – quando por algum problema de visão do 
observador, as medidas têm discrepância sistemática em relação ao valor mais provável; 
 Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento – uso de instrumentos em condições 
diferentes daquelas para as quais foram calibradas e instrumentos não calibrados; e 
 Erros sistemáticos introduzidos pelo modelo matemático – utilização de modelos baseados 
em equações matemáticas não representativas do fenômeno. 
Porém, Gemael (1994) acrescenta que a correção dos erros sistemáticos pode ser feita comparando-se o 
instrumento utilizado com um instrumento padrão, ou ainda podem ser eliminados a posteriori mediante 
fórmulas fornecidas pela teoria. 
2.3.1.3. Erros Acidentais ou Aleatórios 
Diferentemente dos erros sistemáticos os erros acidentais ou aleatórios não ocorrem em apenas um único 
sentido, assim sendo as suas causas são desconhecidas. Estes tipos de erros causam discrepâncias que a 
princípio se apresentam sem nenhuma conformidade matemática, ou seja não seguem nenhuma lei 
matemática. A sua influência sobre as observações é aleatória, sendo que qualquer tratamento deve ser 
baseado em teorias probabilísticas (Amorim, 2005). 
Para Fonte (2004) os Erros Acidentais são de pequena amplitude cuja origem é desconhecida e 
apresentam propriedades análogas às propriedades estatísticas de uma amostragem. A existência de erros 
aleatórios é uma característica inerente ao processo físico de medição, e é, uma propriedade das 
 
13 
 
observações. A teoria da distribuição dos erros acidentais é baseada em postulados sugeridos pela 
experiência prática. 
2.4. Ajustamento nas Observações 
Uma vez feitas as observações de direcções e distancias em campo estas estão sujeitas a erros, é preciso 
que posteriormente seja feito um ajustamento dessas observações (Melo et al. 2012). O ajustamento é 
um ramo da Matemática Aplicada cujo o objectivo é adoptar solução única para problemas onde o 
número de observações é superabundante e o sistema de equações lineares é inconsistente. Tem ainda 
como objectivo a estimativa da qualidade da solução (Klein, 2011). Segundo Gemael (1994) o 
ajustamento de observações para além de ser um ramo da Matemática Aplicada, o mesmo usa-se da 
Estatística, para estimar valores únicos e mais prováveis para um conjunto de observações. O 
Ajustamento nas Observações é a ferramenta indicada para a análise na determinação da qualidade 
posicional dos vértices para se estimar a propagação de variância dos pontos a serem locados em obra 
(Segundo et al. 2015). 
2.4.1. Ajustamento de Observações pelo Método dos Mínimos Quadrados 
De acordo com Gemael (1994) citado por Mendonça et al. (2010) o ajustamento de observações pelo 
Método dos Mínimos Quadrados surgiu independentemente com Gauss em 1795 sendo que Legendre 
em 1805 foi o primeiro a publicar o método, com maior difusão na Europa e nos Estados Unidos, somente 
em 1809 é que Gauss publicou suas conclusões. O ajustamento por MMQ permite verificar a precisão e 
variância das coordenadas e das observações como forma de identificar e separar erros de observação de 
reais deslocamentos. 
Quando se tem um conjunto de observações redundantes, que geram um conjunto de valores para um 
conjunto de parâmetros desconhecidos o MMQ permite por via dum modelo matemático obter um 
conjunto único de valores para este mesmo conjunto de parâmetros desconhecidos (Bisognin, 2006). No 
 
14 
 
ajustamento pelo MMQ somente as observações que contém erros acidentais podem ser tratadas. E no 
caso das observações estiverem contaminadas pelos erros grosseiros, essas devem ser eliminados e as 
contaminadas pelos erros sistemáticos essas devem ser corrigidas (Antunes, 1995). 
Krakiwsky (1975) citado por Bisognin (2006) divide o modelo de ajustamento pelo MMQ em: 
 Modelo combinado com ponderação de parâmetros; 
 Modelo combinado (ou implícito); 
 Modelo paramétrico (ou de equações de observação); e 
 Modelo dos correlatos (ou das equações de condição). 
As notações utilizadas nas equações matemáticas do presente estudo são baseadas em (Gemael, 1994). 
2.4.1.1. Princípio do Método dos Mínimos Quadrados 
Segundo Fonte (1994) o MMQ é uma técnica geral, que se aplica para determinar parâmetros de uma 
relação funcional, entre duas ou mais grandezas de um fenômeno, ou o valor mais provável de uma única 
grandeza medida várias vezes. O critério do MMQ consiste em minimizar a função e tem como objectivo 
encontrar solução única para os parâmetros a serem estimados através da minimização da soma dos 
quadrados dos resíduos. Schaal (2006) acrescenta que o princípio dos MMQ estima o melhor valor para 
um parâmetro baseando-se numa série de observações ou medições e fornece parâmetros estimados com 
menores variâncias. O princípio fundamental do MMQ, é que a soma dos quadrados dos resíduos deve 
ser mínima (Gemael, 1994). 
ϕ = vtPv (2.0) 
Sabendo que: v é o vector dos resíduos associados às n observações l1,l2,...,ln, 
 
15 
 
vn,1 = [
v𝟏
v𝟐
⋮
v𝐧
] (2.1) 
A matriz dos pesos das observações é representada por P, é uma matriz quadrada de ordem n quando se 
trata de observações tidas como não correlacionadas ou independente a matriz P toma a seguinte forma: 
P = 
[
 
 
 
w𝟏
w𝟐
⋱
w𝐧]
 
 
 
 = σ02 
[
 
 
 
1 σ12⁄
1 σ12⁄
⋱
1 σn2⁄ ]
 
 
 
 (2.2) 
Nas observações não correlacionadas a matriz P é uma matriz diagonal, a função ϕ toma a seguinte 
forma: 
ϕ = ∑ (pivi
2)ni=l (2.3) 
No caso das observações para além de serem não correlacionadas são de precisão igual (pi = 1) tem-se: 
ϕ = ∑ (vi
2)ni=l (2.4) 
Deste modo as observações ajustadas serão os elementos do vector l̂ = l + v, onde l é o vector das 
observações e v o vector dos resíduos que tornam a função ϕ mínima. 
2.4.1.2. Problema dos Mínimos Quadrados 
De acordo com Bisognin (2006) independentemente da distribuição dos resíduos, o valor médio 
aritmético (média aritmética) é uma medida de localização estimada pelo MMQ. 
 
16 
 
Considerando a amostra, x1,x2,...,xn, a mesma pode ser escrita do seguinte modo, x = [xi]nx1, e os 
respectivos desvios vl em relação à média: 
[
 
 
 
 
 
x̅ − x1
x̅ − x2
⋮ 
x̅ xl
⋮ 
x̅ xn ]
 
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
v1
v2
⋮
vl
⋮
vn]
 
 
 
 
 
 = 1∙x̅ – x = v (3.0) 
No princípio do MMQ a soma dos resíduos (desvios vl) tem de ser mínima e a sua notação vectorial é : 
vTv = mín (3.1) 
Verifica-se em problemas ligados a Topografia e Geodesias, que o número de observações (n) é superior 
ao número de incógnitas (u) deste modo a igualdade (n = u) não se faz necessário o usodo MMQ, visto 
que este problema é possível resolver socorrendo-se da álgebra linear (Bisognin, 1997). 
 nAu ∙ ux1 =n l1
b+nv1; n > u (3.2) 
O problema da inconsistência da solução no sistema de equações, reside no facto de, as observações 
conterem sempre erros, assim sendo com a introdução dos resíduos possibilita a remoção da 
inconsistência (Fonte, 1994). O melhor estimador é tido como aquele que conduz a resíduos que 
satisfazem a seguinte condição: vTv = mín; isolando em nAu ∙ ux1 =n l1
b+nv1 tem-se: 
Φ = (ATx̂T - LbT)(Ax̂ - lb) = mín (3.3) 
Aplicando as propriedades matriciais e a derivação das formas quadráticas e bi lineares tem-se: 
 
17 
 
 ATAx̂ - ATlb = 0 (3.4) 
Este sistema é de c equações normais a u incógnitas. Não havendo singularidade na matriz dos 
coeficientes das incógnitas, a solução do sistema é: 
x̂ = (ATA)−1 ATlb= 0 (3.5) 
2.4.2. Atribuição dos Pesos nas Observações 
As precisões relactivas das observações vão estimar o peso de uma observação. Pode-se duma certa 
forma dizer-se que, se uma observação é boa então tem um bom peso pois uma boa medição precisa 
apresentar pequenos valores no desvio padrão (Santos, 2006). Caso as observações não sejam de precisão 
igual, as mesmas mediante a multiplicação por pesos podem ser homogeneizadas. O peso será sempre 
maior quanto maior for a confiança que uma observação inspira, ou seja, quanto maior for o valor da 
variância amostral (σ̂2) maior será o peso (Bisognin, 2006). 
Santos (2006) sustenta que o processo de atribuição dos pesos deve ser feito duma forma muito 
cuidadosa, levando em consideração diferentes factores tais como: 
 Tipo de instrumento; 
 Operador; 
 Condições atmosféricas para o instrumento utilizado; 
 Horário de observações indicado; e 
 Instalação no campo de cada instrumento; 
Quando as observações são independentes e de igual precisão, a matriz dos pesos bem como a matriz co-
factora serão matrizes identidades (I) e quando as observações forem independentes e de precisão 
 
18 
 
diferente a matriz peso será representada por uma matriz diagonal formada pelo inverso de cada precisão 
(Santos 2006). Para montar a matriz dos pesos é necessário que se conheçam as precisões com que foram 
obtidas as observações (ângulos e distâncias). Caso não tenha sido feito medidas repetidas para obtenção 
das precisões das observações, pode-se considerar a precisão nominal do aparelho. Essa matriz será 
diagonal, devido a não consideração das correlações entre as observações (Salles et al. 2007) 
2.4.3. Matriz Variância-covariância 
Na fase de pré-ajustamento bem como na fase de pós-ajustamento a matriz variância-covariância é de 
extrema importância, visto que é através da mesma que se obtém as precisões finais das observações 
ajustadas e dos erros marginais (Klein, 2011). É importante estimar a precisão das medidas efectuadas, 
antes do ajustamento para formar a matriz variância-covariância dos valores observados que juntamente 
com o factor de variância de peso a priori (σ0
2) determinará a matriz dos pesos (Amorim, 2005) 
P = σ0
2∑−1
lb (4.0) 
2.4.4. Factor de Variância 
Os factores σ0
2 e σ̂0
2, são conhecidos como variância de unidade de peso a priori e variância a posteriori 
respectivamente, o primeiro factor é atribuído pelo calculista e geralmente o valor atribuído é um (1) 
enquanto que o segundo é obtido após o ajustamento em função dos resíduos e é representado pela 
seguinte equação (Santos, 2006): 
σ̂0
2 = 
VTPV
r
 (4.1) 
Onde: r - que é a redundância é obtido pela diferença entre o número de observações (n) e o número de 
incógnitas (u). 
 
19 
 
Segundo Bisognin (2006), Hamilton (1964) mostrou que no caso a posterior (σ̂0
2 não conhecido) a região 
de confiança para os parâmetros ajustados é determinada pela distribuição de Fischer, e se for conhecida 
a região de confiança é descrita pela distribuição de qui-quadrado. 
2.4.5. Modelo Matemático 
O Modelo Matemático é uma relação funcional entre as observações e parâmetros (incógnitas) (Monico, 
1988). Para Fonte (1994) o Modelo Matemático é a representação abstrata dum fenômeno no mundo real, 
ou seja, é o modo pelo qual uma situação física é descrita. A formação dum modelo pode variar de um 
ponto de vista para o outro, pois um mesmo fenômeno físico pode ser descrito por mais de um modelo. 
O estabelecimento do Modelo Matemático a considerar deve ser feito e precisa ser especificado antes de 
iniciar a fase de aquisição dos dados num levantamento. Um certo número de variáveis bem como um 
conjunto de relações entre elas servirá de base para a construção do modelo, escolhendo desta feita as 
grandezas a observar, o número de observações que deverão ser feitas e a sua precisão. 
O estabelecimento do Modelo Matemático, nas investigações cientificas e tecnológicas, é uma das etapas 
iniciais e de maior importância, isto porque possibilita as interligações entre as variáveis conhecidas e as 
variáveis desconhecidas de um fenômeno em estudo, de maneira simplificada e que seja adequada aos 
cálculos (Santos, 2006). Os Modelos Matemáticos são frequentemente compostos pelos Modelos 
Funcionais e Estocástico (Mikhail e Ackermann, 1976 citado por Santos, 2006). Devido à importância 
da determinação do Modelo Matemático Teunissen (2003) considera que, a determinação de um Modelo 
Matemático apropriado pode ser considerada a “arte” da disciplina. 
2.4.5.1. Modelo Funcional 
Este modelo é usado quando no problema se pretende descrever a geometria bem como as características 
físicas dum determinado problema ou seja o Modelo Funcional descreve as propriedades determinísticas 
do fenômeno físico ou considerações sobre o evento (Fonte, 1994). Segundo, Teunissen (2003) o Modelo 
 
20 
 
Funcional descreve duma maneira teórica, a realidade física do problema, e é, o grau de aproximação 
entre a realidade física do problema e do Modelo Funcional adoptado, intimamente ligado ao nível de 
incerteza considerado aceitável, evitando custos extras aos propósitos do ajustamento. 
O número de observações feitas é que ditará a necessidade de se fazer ou não um ajustamento, se as 
observações forem mais do que o número mínimo de variáveis independentes que permitem definir o 
modelo escolhido de uma forma única, será necessário ajustar as observações para que se tenha uma 
solução única (Fonte, 1994). 
Designando o número mínimo por n0, fazendo-se n observações, com n > n0, assim sendo a redundância 
r (número de graus de liberdade) é dada por: 
r = n - n0 (5.0) 
Se tivermos u parâmetros independentes no ajustamento o número de condições a escrever será: 
c = r + u (5.1) 
A este caso considera-se como sendo o caso geral dentro do grupo das técnicas contendo parâmetros 
independentes. Quando u = 0, o que implica c = r e quando u = n0, o que implica que c = n, estes casos 
são tidos como casos extremos. Só será possível que o número de condições exceda o número de 
observações (u > n0) no caso em que os parâmetros não sejam independentes assim sendo faz-se 
necessário verificar as seguintes desigualdades: 
r ≤ c ≤ n e 0 ≤ u ≤ n0 (5.2) 
Escolhidos os parâmetros a envolver no ajustamento, constrói-se as c equações de condição 
independentes, com os u parâmetros e as n observações. 
 
21 
 
Quando se trabalha com ajustamento de redes obtidas por triangulação,trilateração e poligonação as 
observações obtidas não são lineares, assim sendo faz-se necessário a linearização das mesmas utilizando 
a formula de Taylor. Esta linearização vai introduzir um erro de aproximação, erro este tanto menor 
quanto melhor forem os valores aproximados do vector (Dalmolin 2002, citado por Ivandro, 2011). 
A forma linearizada do modelo funcional do caso geral é a seguinte: 
Av + B∆ = f (5.3) 
sabendo que: 
V – vector dos resíduos, vn,1 = [
v1
v2
⋮
vn
] (5.4) 
∆ - vector das correcções dos parâmetros ∆u,1 = [
x1
x2
⋮
xu
] (5.5) 
A – matriz Jacobiana jfl = (
δfi
δli
)
0
, Ac,n = 
[
 
 
 
 
 
δf1
δl1
 
δf1
δl2
 . . .
δf1
δln
δf2
δl1
 
δf2
δl2
 . . .
δf2
δln
⋮ 
δfc
δl1
 
δfc
δl2
 . . .
δfc
δln]
 
 
 
 
 
 (5.6) 
B – matriz Jacobiana jfx = (
δfi
δxi
)
0
, Bc,u = 
[
 
 
 
 
 
δf1
δx1
 
δf1
δx2
 . . .
δf1
δxu
δf2
δx1
 
δf2
δx2
 . . .
δf2
δxu
⋮ 
δfc
δx1
 
δfc
δx2
 . . .
δfc
δxu]
 
 
 
 
 
 (5.7) 
 
22 
 
L – vector coluna das observações, ln,1 = [
l1
l2
⋮
ln
] (5.8) 
2.4.5.2. Modelo Estocástico 
De acordo com Fonte (1996) o Modelo Estocástico descreve as propriedades não determinística ou 
estocásticas das variáveis, principalmente as variáveis que representam as observações. No modelo 
estocástico são descritas as propriedades estatísticas dos elementos que estão envolvidos no modelo 
funcional. Teunissen (2006) acrescenta que o modelo estocástico é de fundamental importância para a 
análise da qualidade e confiabilidade do ajustamento. 
Gemeal (1994) avança que o Modelo Matemático pode envolver observações directas, observações 
directas condicionadas ou observações indirectas. 
 Observações directas – são observações tidas quando as incógnitas do problema a resolver são 
as próprias grandezas mensuradas; 
 Observações directas condicionadas - estas observações também são directas mas se 
relacionam por via de equações de condição; e 
 Observações indirectas – este tipo de observações ocorre quando os parâmetros do problema a 
resolver não são directamente as grandezas mensuradas, mas se relacionam com estas por via de 
um Modelo Matemático. 
2.4.6. Modelo de Ajustamento com Equações de Observação (Método Paramétrico) 
Nesta técnica de ajustamento, também conhecida como Ajustamento de Observações Indirectas, as 
observações não se processam directamente sobre as grandezas procuradas ou sobre os parâmetros que 
se pretende conhecer. É através de Modelos Matemáticos que elas se vinculam aos parâmetros 
 
23 
 
desconhecidos, ou seja, necessita de formulação de equações, para que relacionem os parâmetros às 
observações e é por via das medições directas que geralmente estas grandezas são obtidas (Santos 2006). 
Segundo Fonte (1994) o Método Paramétrico caracteriza-se pelo facto de cada uma das equações que 
formam o Modelo Funcional contém apenas uma observação e essa observação tem coeficiente unitário 
assim sendo têm-se n observações e u parâmetros. 
Os parâmetros e as observações serão ajustados pelo Modelo Funcional Linearizado representado pelo 
sistema Av + B∆ = f. Este é um sistema com c equações lineares com n + u incógnitas, que são os 
elementos dos vectores v e ∆ (Idem). 
No caso geral obteve-se como forma linearizada do Modelo Funcional Av + B∆ = f sabendo que: 
A = (
δf
δl
)0 e B = (
δf
δx
)0 
Uma vez que no Método das Equações de Observação cada função f contém apenas uma observação com 
coeficientes unitários, a matriz A reduz-se a matriz identidade e terem-se como Modelo Linearizado: 
v + B∆ = f (6.0) 
Pode-se ainda representar a forma linearizada do modelo paramétrico como sendo: 
f = d – l ⟺ 1 + v + B∆ = d com d = - f(l, x0) + l0 (6.1) 
De acordo com Fonte (1994) no caso especifico (Método Paramétrico) as expressões que permitem 
calcular as variáveis do problema (v e ∆) podem ser obtidas de forma análoga, a partir do caso geral, 
substituindo apenas a matriz A pela matriz identidade ficando: 
 
24 
 
v = f - B∆ (6.2) 
 ∆ = N−1t (6.3) 
Sabendo que: 
N = BtPB e t = BtPf 
As observações ajustadas serão dadas pela expressão: 
l̂ = l + v (6.4) 
Segundo Amorim (2005) o processo de linearização do Modelo Matemático Funcional f, é realizada por 
meio de um processo iterativo, onde os parâmetros aproximados são actualizados a cada iteração e o 
processo converge quando o vector das correções se aproxima de zero ou quando for igual ou inferior a 
um valor de limiar pré-estabelecido. 
2.4.7. Qualidade do Ajustamento das Observações 
Feito o ajustamento, com vista a avaliar a qualidade do ajustamento um estudo comparativo entre a 
variância a priori e a variância a posteriori é realizado. Geralmente é no início do ajustamento que 
arbitrariamente se atribui um valor para a variância a priori, geralmente para este valor se adopta a 
unidade. Independentemente do valor atribuído a variância a priori, este valor não irá influenciar no 
vector solução do ajustamento, mas o mesmo ira fazer-se sentir na matriz dos coeficientes das equações 
normais (Santos, 2006). 
O teste estatístico é um dos mecanismos do qual o ajustamento das observações dispõe para o controle 
de qualidade no ajustamento. O método estatístico detecta e remove possíveis erros, basicamente os erros 
grosseiros e nos parâmetros desconhecidos este teste avalia os efeitos dos erros grosseiros não 
 
25 
 
detectáveis. A probabilidade de se detectar falhas neste tipo de teste será maior, quanto mais controláveis 
forem as observações (Amorim, 2005). 
Quando se pretende fazer uma inspeção ao Modelo Estocástico que se tenha usado, faz-se necessário 
calcular a estatística afim de detectar os erros grosseiros, sabendo que (n - u) é o número de graus de 
liberdade do ajustamento no Modelo Paramétrico, ou seja, o número de equações superabundantes do 
sistema de equações normais. Com a variância de peso unitário a posterior σ̂0
2, sob nível de significância 
α deve ser testada estatisticamente a variância de peso unitário a prior σ0
2 (Bisognin, 1997). 
3.1.1.1. Teste Bilateral 
A comparação da variância da unidade peso a priori com a variância da unidade de peso a posteriori é 
efectuada mediante o teste qui-quadrado na forma quadrática dos resíduos (Bisognin, 1997). 
A forma quadrática (6.1) segue uma distribuição x2 (qui-quadrado) (Gemael, 1994): 
σ̂0
2 = 
VTPV
r
 (7.0) 
Segundo Salles (2007) a esperança matemática da distribuição qui-quadrado e grau de liberdade (r) para 
o Teste Bilateral, somente poderá ser atendida se a relação entre a variância a posteriori e a variância a 
priori for igual a um (1). Segundo Mikhail (1976) e Gemael (1994) citados por Teixeira (2005) o Teste 
Global Bilateral é realizado mediante a formulação das hipóteses nula e alternativa: 
𝐻0 : σ0
2 = σ̂0
2 
𝐻1 : σ0
2 ≠ σ̂0
2 
 
26 
 
E sabendo que os valores teóricos do qui-quadrado podem ser calculados pela seguinte expressão: 
X𝑐
2 = 
VTPV
σ0
2 = 
σ̂0
2 ∗ 𝑟
σ0
2 (7.1) 
Para onível de significância α, seguindo o princípio do Teste Bilateral, a hipótese nula não será rejeitada 
ao nível de significância 𝛼, se estiver dentro do intervalo (Amorim, 2005): 
𝑥𝑟,α
2
 < X𝑐
2 < 𝑥𝑟,1− α
2
 (7.2) 
Onde: 𝑥𝑟,α
2
 e 𝑥𝑟,1− α
2
 são valores teóricos. 
Segundo Gemael (1994) citado por Teixeira (2005) no caso de rejeição da hipótese nula, o ajustamento 
apresenta problema que se pode atribuir a diferentes causas tais como: 
 Erros grosseiros; 
 Sistema mal condicionado; 
 Modelo Matemático inadequado; 
 Erros de cálculo; 
 Ponderação errônea das observações; e 
 Problema na linearização. 
Assim sendo, ao se constatar que o Teste Global Bilateral falhou, esforços devem ser empregues para em 
princípio examinar e, consequentemente, solucionar possíveis problemas dos itens acima descritos. Na 
sequência, um novo ajustamento é feito e, se o Teste Global falhar novamente, pode-se atribuir a presença 
de erros grosseiros. 
 
27 
 
Com auxílio de uma tabela de distribuição qui-quadrado, podem se calcular os valores. Bastando para 
isso, entrar com o número do grau de liberdade (r) e o nível de significância α. 
 
Figura 4. Regiões de aceitação e rejeição do teste bilateral (Amorim, 2007) 
2.4.8. Matriz Variância-Covariância dos Parâmetros Ajustados 
A MVC dos parâmetros estimados dada pela equação 6.7, é uma matriz completa e simétrica, permite 
determinar a precisão com que os parâmetros foram estimados. Onde na diagonal principal encontram-
se valores de variância e fora da diagonal, valores de covariância (Salles et al. 2007). 
 O cálculo da MVC dos Parâmetros Ajustados tem como finalidade averiguar com que precisão os 
valores mais prováveis das grandezas pretendidas foram determinados (Fonte, 1994). 
A matriz Variância-Covariância dos Parâmetros Ajustados é dada pela seguinte expressão: 
∑ =𝑥𝑦 σ̂0
2 (BtPB )−1 (6.7) 
Sabendo que: σ̂0
2 – é a variância a posteriori; B – é a matriz design; e P – é a matriz dos pesos. 
 
28 
 
CAPITULO III: CARACTERIZAÇÃO DA ÁREA DE ESTUDO 
3.1. Localização Geográfica do Posto Administrativo de Magude 
O Posto Administrativo de Magude localiza-se no Distrito de Magude, Província de Maputo e faz limite 
com 2 Distritos da Província de Maputo (Manhiça e Moamba) e 1 da Província de Gaza (Bilene). 
Limitando-se à Norte no Distrito no qual faz parte pelos Postos Administrativos de Motaze e Mahele e a 
Noroeste pelo Posto Administrativo de Panjane, á Nordeste é limitado pelo Distrito de Bilene, á Este e 
Sudeste pelo Distrito de Manhiça e a Sul, Sueste e Oeste é limitado pelo Distrito de Moamba. 
O Posto Administrativo de Magude está localizado aproximadamente entre as coordenadas geográficas, 
32⁰ 22ʹ 32ʺ e 32⁰ 56ʹ 37ʺ de longitude Este e entre os paralelos 24⁰ 41ʹ 57.4ʺ e 25⁰ 18ʹ 59ʺ de latitude 
Sul. E possui uma extensão territorial de 1.800 km2. 
 
29 
 
 
Figura 5. Mapa de Localização Geográfica da Área de Estudo (Adaptado pelo Autor) 
 
30 
 
Visto que a área em estudo encontra-se inserida no Distrito de Magude e não apresenta características 
físicas naturais diferentes das gerais do Distrito de Magude, usou-se das características gerais do Distrito 
de Magude para descrever as características físicas-geográficas da mesma. 
3.2. Solos e Relevo 
Relactivamente aos solos o Distrito de Magude apresenta formações de solos argilosos vermelhos com 
boa fertilidade, em algumas zonas deste Distrito pode-se encontrar também solos francos-argilosos-
arenosos acastanhados de fertilidade intermedia a boa. Neste Distrito há ainda existência de solos fluviais 
com um elevado índice de fertilidade, entretanto são de difícil lavoura, sendo que uma parte deste 
problema deve-se ao facto de que estes solos apresentarem excessos de água e salinidade. Há ainda 
existência de solos delgados pouco profundos, rochosos e não propícios à pratica da agricultura, estes 
tipos de solos, se verificam ao longo da fronteira com a República da África do Sul (RAS) (INE, 2005). 
Ainda de acordo com a mesma fonte, o Distrito de Magude possui formações extrusivas sedimentares 
que tem início na Suazilândia e é na fronteira com a República da África do Sul (RAS) onde se destacam 
os solos da era quaternárea (Basaltos, Riolitos e Tufos vulcânicos). No interior do Distrito de Magude 
predominam os conglomerados e calcários, com uma espessura que chega a atingir cerca de 20 metros e 
na bacia do Incomáte, verifica-se a existência de fosforites. Na zona do posto administrativo de 
Mapulanguene e numa faixa de Catusse passando pelos Montes Libombos há existência de ágatas. De 
acordo com o Perfil do Distrito de Magude (2005) no que concerne ao relevo, o Distrito de Magude 
apresenta em determinadas áreas cotas que não ultrapassam os 100 metros e em outras áreas cotas que 
oscilam entre 100 e 200 metros, ou seja o Distrito tem fundamentalmente áreas planas. 
3.3. Clima 
De acordo com o INE (2005) o clima deste Distrito é classificado como subtropical seco, com uma 
Temperatura Média Anual (TMA) que varia de 22 a 24 ºC, o Distrito apresenta ainda uma Pluviosidade 
Média Anual (PMA) de 630 mm. Pode-se encontrar neste Distrito duas épocas distintas, de Outubro a 
 
31 
 
Março e de Abril a Setembro sendo que a primeira época é tida como quente e de pluviosidade elevada 
e é nesta época que se verifica 80% da precipitação anual, a segunda época é tida como a época fresca e 
seca. 
3.4. Hidrografia 
Tal como os diversos rios, distribuídos ao longo do país, os rios do Distrito de Magude são de regime 
periódico, ou seja eles correm em determinados períodos, existindo períodos de muito baixo caudal 
principalmente na época seca (Abril a Setembro). O Distrito de Magude é atravessado pelo rio Incomáti 
e os seus afluentes Mazimuchopes, Massintonto e Uanétze. 
CAPITULO IV: IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DOS MATERIAIS E METODOLOGIA 
USADAS NA REALIZAÇÃO DO ESTUDO 
Neste capitulo serão descritos os matérias e métodos usados na realização do estudo, no entanto para o 
levantamento bem como o processamento de dados serão apresentados em simultâneo os resultados dos 
mesmos. Porém, visto que o Ajustamento das Observações pelo MMQ pela sua natureza é de caracter 
iterativo como resultados serão apresentados somente os resultados da última iteração (terceira) as 
restantes duas iterações estão patentes nos anexos. 
4.1. Instrumentos e Equipamentos Usados: 
Segundo Corrêa (2012) todas as observações topográficas se resumem na medição de uma distância, 
ângulo ou de uma diferença de nível, assim sendo as grandezas que nos interessam são medidas por 
intermédio dos nossos sentidos e com auxílio de instrumentos. Porém, Fonte (1996) avança que os 
instrumentos usados no método clássico, método que tem como base a medição de ângulos e distancias 
são instrumentos tais como teodolitos, níveis e distanciometros. 
 
32 
 
4.1.1. No Trabalho de Campo 
É necessário que a informação proveniente do campo para além do conjunto de coordenadas e 
designações dos pontos de pormenor, a mesma também deve conter informação de categorização e 
conexão dos elementos bem como croquis que representem o levantamento, de forma a poder ajudar na 
edição topográfica visto que este é um procedimento efectuado no gabinete. Assim sendo a informação 
que vem do campo e passa para o gabinete deve ser completa e sem causar nenhum tipo de ambiguidade 
ou omissão, pois normalmente quem edita não é quem executa o levantamento (Antunes, 1995). Deste 
modo a utilização de instrumentos e equipamentos adequados na realização dos trabalhos topográficos é 
imprescindível para a qualidade do produto final. 
Para a realização do trabalho de campo, fez-se necessário os seguintes instrumentos e equipamentos: 
 Um receptor GPS (GARMIN eTrex 30X) com uma precisão de até 2m, com a capacidadede 
efectuar ligação a mais de 24 satélites quando estiver a utilizar os dois sistemas GPS e 
GLONASS; 
 Um teodolito electrônico completo (STONEX) para a medição de ângulos com uma precisão de 
até 5ʺ; 
 Uma trena de 100m para medição de distâncias horizontais; e 
 Uma catana para cortar os arbustos que impediam a visibilidade entre os pontos bem como a 
passagem, um martelo para ajudar no processo de cravação de estacas e uma caderneta de campo 
onde foram registrados todos os elementos levantados no campo. 
4.1.2. No Gabinete 
Quaisquer dos métodos topográficos requer, para além do trabalho de recolha de informação, 
denominado de trabalho de campo, a posterior execução de ajustamentos e cálculos necessários à 
obtenção das quantidades pretendidas, a que se chama usualmente trabalho de gabinete (Fonte, 1996). 
 
33 
 
Para a realização do trabalho de gabinete, fez-se necessário os seguintes materiais: 
 Uma máquina calculadora (Cientifica) para efectuar os cálculos aritméticos; e 
 Um computador (portátil), foi neste computador onde foram instalados todos os programas 
computacionais usados no processamento dos dados. 
4.1.3. Programas Computacionais Usados e Processamento dos Dados 
 A informática (tecnologias de informação) é meio auxiliar para se desenvolver as actividades em um 
processo, atingir os objectivos estabelecidos e se chegar a um determinado fim (Moran et al. 2000). As 
novas possibilidades de informação se bem utilizadas, poderão tornar os trabalhos mais eficiente. Falar 
de avanços tecnológicos no contexto da Topografia, é dizer que neste campo houve completa 
remodelação, tanto nos métodos e equipamentos de levantamentos, como nas ferramentas utilizadas para 
cálculos, desenhos e análises de dados geográficos (Alencar, 2004). 
O processamento dos dados levantados em campo associados as caracteristicas dos equipamentos 
utilizados bem como os métodos, técnicas e procedimentos usados nas medições é que vão garantir a 
precisão nos resultados finais dos levantamentos de dados topográficos (Orth, 2008). 
O processamento dos dados consistiu no cálculo de coordenadas e observações ajustadas, MVC dos 
Parâmetros Ajustados, elaboração da planta da poligonal e cálculo da área da mesma. Na realização do 
estudo teve-se como programas computacionais e o processamento pelos mesmos o seguinte: 
4.1.3.1. Microsoft Excel 2013 
O Excel 2013 faz parte do pacote de produtividade da Microsoft System de 2013 que sucede ao Office 
2010 para além de ser uma base de dados, é também uma folha de cálculo automática, permiti a 
introdução de funções que facilitam até as mais complexas operações, bem como a simplificação de 
 
34 
 
repetição de operações. Em relação ao seu ante sucessor (Office 2010) este apresenta novas 
funcionalidades nas categorias de matemática e trigonometria, estatística, engenharia, data e hora, 
pesquisa e referências, logica e funções de texto. Em relação as funcionalidades anteriores ressaltar que 
para esta versão foram aprimoradas e algumas chegaram até a serem substituídas de modo a fornecer 
maior exactidão (Pinto, 2013) 
A utilização deste programa (Excel 2013) para o presente estudo consistiu em, modelar uma planilha, 
onde na mesma foram introduzidas formulas para o cálculo automático dos parâmetros aproximados, o 
vector dos valores independentes (f) a matriz design (B), ajuste dos parâmetros e observações e cálculo 
da área da poligonal. A modelação da planilha consistiu em: 
 Introduzir formulas na planilha onde basta-se introduzir os dados observacionais e o azimute a 
mesma automaticamente calculava os parâmetros aproximados; 
 Introduzir formulas na planilha que calculassem as 378 derivadas para a formação da matriz B, 
onde bastasse introduzir na planilha, os parâmetros aproximados, os azimutes e as observações 
(ângulos e distancia) a mesma procedia a formação da matriz B; 
 Introduzir formulas na planilha para o cálculo do vector f, onde basta-se introduzir os parâmetros 
aproximados, os azimutes e as observações (ângulos e distancia) a mesma procedia a formação 
deste vector; e 
 Introduzir formulas do Modelo Analítico de Gauss para o cálculo da área da poligonal, onde com 
a introdução dos parâmetros ajustados a mesma procedeu com o cálculo da área da poligonal. 
4.1.3.2. Jupyter Notebook 
O Jupyter Notebook é um programa do projecto Ipython, que fornece um conjunto de ferramentas para 
a computação cientifica usando shells interactivos avançados que combinam a execução do código com 
a criação de um documento de computação activo. 
 
35 
 
Visto que o ajustamento pelo MMQ é baseado em operações com matrizes (Matriz inversa, transposta, 
multiplicação, adição e escalonamento) e neste caso as matrizes apresentavam dimensões que numa 
máquina calculadora convencional não seriam suportadas, e mesmo sendo suportadas levariam bastante 
tempo para que se tivesse os resultados destas operações, não obstante de que usando uma máquina 
calculadora convencional corria-se o risco de cometer-se erros grosseiros no processo de transcrição dos 
valores, viu-se no Jupyter Notebook a solução para estes problemas todos, isto porque, o mesmo permite 
a introdução de funções de leitura de ficheiros em variados formatos no caso Excel (formato que estão 
as matrizes B, f e P) permite operação com dados que estiverem nestes ficheiro e a posterior gravação 
dos resultados obtidos em diferentes formatos. Sem contar que o mesmo corre no PC assim sendo, a 
rapidez na execução das operações depende da capacidade de processamento que o PC oferece, quanto 
maior for a capacidade de processamento do PC maior será a rapidez na execução das operações. 
Em forma de Anexos são apresentados todos os códigos escritos em Python, desenvolvidos para a 
concretização do presente estudo os mesmos partem do anexo 15 até o anexo 26: 
 
 
 
36 
 
4.1.3.3. ArcGIS 
De acordo com Silva (2010) o ArcGIS é um produto da empresa americana ESRI (Enviromental Systems 
Research Institute) e é um conjunto integrado de programas de Sistemas de Informação Geográfica (SIG) 
que fornece ferramentas baseadas em padrões para a realização de analise espacial, armazenamento, 
manipulação, processamento de dados geográficos e mapeamento e o mesmo é constituído por: 
 ArcCatalog; 
 ArcMap; 
 ArcToolBox; 
 ArcScene; e 
 ArcGlobe. 
A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de uma Projeção 
Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica. Ou seja, não só os limites desta superfície, bem 
como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão projectados sobre um plano considerado 
horizontal (Brandalize, 2002). A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta ou 
Plano Topográfico (Espartel, 1987). Actualmente a utilização dos CADʹs (Desenho Assistido por 
Computador) está generalizada na edição cartográfica, a edição topográfica ou mais genericamente, 
edição cartográfica é a componente dos CADʹs que elabora a carta ou planta em formato digital sempre 
convertida em formato analógico através da impressão em impressoras sofisticadas a jacto de tinta ou a 
laser (Antunes, 1995). 
Para o presente trabalho a representação gráfica no ArcGIS consistiu em: 
 Importação das coordenadas ajustadas para o ArcMap; 
 Atribuição do sistema de projecção; 
 
37 
 
 Criação de um shapefile (forma de armazenamento de dados vectoriais da ESRI, armazena formato, 
posição e atributos de feições gráficas) no ArcCatalog; 
 Com as ferramentas de edição (Editor) fez-se a edição dos dados (coordenadas ajustadas e o shapefile) 
introduzidos no ArcMap; e 
 Elaborou-se o layout da planta topográfica da poligonal que pode ser vista no anexo 27. 
4.2. Métodos Usados: 
4.2.1. Revisão Bibliográfica 
No que concerne a revisão bibliográfica, para a realização do presente estudo foram revistas obras que 
duma formadirecta ou indirecta tiveram relação com o tema, tais como: Artigos científicos, trabalhos de 
licenciatura, apostilas e diferentes manuais científicos físicos e digitais. Os digitais na sua maioria foram 
adquiridos via internet. A revisão bibliográfica teve como finalidade garantir uma sustentação teórica 
credível, e para tal todas as obras que serviram de base para a compilação deste estudo foram citadas. 
4.2.2. Método Cartográfico 
Para o presente estudo a cartografia consistiu na análise de plantas topográficas da área em estudo, a fim 
de ter um conhecimento prévio da situação geográfica da área em estudo. 
4.2.3. Observações Directas 
As observações directas são efectuadas directamente sobre a grandeza e no terreno, sem que existam 
meios para verificação do erro, visto que não se conhece os seus valores reais ou teóricos (Amorim, 
2005). 
As observações directas consistiram nas seguintes fases: 
 
38 
 
4.2.3.1. Reconhecimento da Área 
Segundo Fonte (1996) o reconhecimento é uma operação importante pois dela depende em grande parte 
a flexibilidade e facilidade na execução dos trabalhos bem como a precisão dos resultados obtidos. O 
estabelecimento de uma poligonal deve ser feito após um prévio reconhecimento da zona, dependendo o 
seu traçado, acidentado do terreno e o facto de se tratar, ou não, de uma zona densamente arborizada. É 
durante esta fase, que costuma-se fazer a implantação dos piquetes (também denominadas estações ou 
vértices) para a delimitação da superfície a ser levantada (Brandalize, 1987). 
Esta etapa consistiu no deslocamento da brigada para área, munida do anteprojecto, afim de verificar as 
características físicas e geográficas dentro e fora da área levantada onde a brigada: 
 Percorreu em volta da área (dentro e fora); 
 Verificou a existência de marcas cadastrais e geodésicas na área e dispostas nos arredores da 
área; 
 Analisou o relevo; 
 Verificou o tipo de vegetação patente na área; 
 Verificou as vias de acesso e comunicação; 
 Verificou os indícios de ocupação; e 
 Verificou a existência ou não de benfeitorias na área e outros pormenores físicos geográficas. 
A fase do reconhecimento consistiu também na abertura de picadas, onde tirou-se do caminho os 
obstáculos que impediam a visibilidade entre os pontos. 
4.2.3.2. Implantação da Base 
Durante um levantamento topográfico, em norma determinam-se pontos de apoio ao levantamento, que 
a partir destes pontos são levantados os restantes pontos que permitem a representação da área levantada, 
 
39 
 
esta etapa designa-se por estabelecimento do apoio topográfico ou implantação da base (Veiga et al., 
2012). 
Uma base é um lado de um dos polígonos a partir das extremidades dessa base são medidos os restantes 
ângulos dos polígonos (Fonte, 1996). A base deverá, conforme as possibilidades, ter uma orientação o 
mais paralelo possível com o alinhamento a ser determinado. A distância entre os pontos da base deverá 
ser medida com uma trena com grande precisão e no mínimo duas vezes ou através de um equipamento 
eletrônico de medida de distância (Corrêa, 2012). 
 A implantação da base consistiu na determinação no terreno duma linha, cujas extremidades foram 
sinalizadas por estacas. Posto a sinalização, com recurso ao receptor GPS com uma precisão de 2m e 
com pelo menos 4 satélites captados determinou-se as coordenadas das extremidades da linha sinalizadas 
por estacas. E com recurso a uma trena mediu-se o cumprimento da linha da base. Como resultado deste 
procedimento teve-se os dados da tabela 1 que contém as coordenadas da base e o cumprimento da linha 
da mesma. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1. Coordenadas da base e cumprimento da linha da mesma 
4.2.3.3. Medições de Ângulos e Distâncias Horizontais 
O levantamento topográfico pode ser dividido em duas partes a saber: o levantamento planimétrico onde 
se procura determinar a posição planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y) e o levantamento 
altimétrtico onde o objectivo é determinar a cota ou altitude de ponto (coordenada Z). Na medição de 
ângulos e distâncias horizontais o objectivo é de posteriormente determinar as coordenadas planimétricas 
dos pontos (Veiga et al. 2012). 
Pontos X 
(m) 
Y 
(m) 
Cumprimento da 
Linha da base (m) 
A 462984.000 7230951.000 105.550 
 B 462936.000 7230857.000 
 
40 
 
A observação dos ângulos pode ser feita por dois métodos, medindo os ângulos um a um e de forma 
independente, ou observando todas as direcções que formam os ângulos. Esses métodos são: o método 
do giro do horizonte, para observações de direcções; e para medição de ângulos o método dos ângulos 
independentes e justapostos e o método de Shcriber estes dois métodos diferem-se um do outro no facto 
do primeiro medir apenas os ângulos justapostos e no segundo medirem-se todas as combinações 
possíveis de ângulos (Antunes, 1995). 
No que concerne aos métodos usados nesta etapa, para a medição dos ângulos aplicou-se o método de 
um ângulo isolado (esquerda) e as distâncias horizontais, foram medidas no sentido directo e inverso. 
Como resultado desta operação tem-se a tabela 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2. Ângulos e distâncias observados 
Observação Ângulo Horário 
(GMS) 
Observaç
ão 
Distância (m) 
α1 239ᵒ 48ʹ 12.00ʺ d1 98.600 
α2 237ᵒ 00ʹ 25.00ʺ d2 117.430 
α3 162ᵒ 33ʹ 32.00ʺ d3 71.610 
α4 214ᵒ 21ʹ 18.00ʺ d4 84.000 
α5 188ᵒ 40ʹ 03.00ʺ d5 104.400 
α6 274ᵒ 16ʹ 54.00ʺ d6 84.900 
α7 165ᵒ 34ʹ 27.00ʺ d7 93.000 
α8 275ᵒ 45ʹ 51.00ʺ d8 71.500 
α9 171ᵒ 25ʹ 24.00ʺ d9 76.900 
α10 190ᵒ 04ʹ 46.00ʺ d10 222.570 
α11 40ᵒ 29ʹ 59.00ʺ 
∑ 2160ᵒ 00ʹ 51.00ʺ 1024.910 
 
41 
 
4.2.4. Cálculo dos Desvios Padrões 
A partir desta fase, assume-se que os dados já tenham passado pelo apuramento topográfico para 
trabalhos desta natureza, uma vez não constituir objectivo deste estudo descrever taxativamente os 
métodos topográficos de apuramento de dados mas sim o MMQ. 
Visto que as observações (ângulos e distâncias) não são de precisão igual, o cálculo dos desvios ajudou 
a determinar com que precisão cada observação foi obtida e para tal recorreu-se a fórmula (1.1). É com 
base no cálculo dos desvios padrões que se formulam as matrizes dos pesos matriz que é responsável 
pela homogeneização das medições (Salles et al. 2007). Como resultado do cálculo do desvio padrão 
tem-se a tabela 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 3. Ângulos e distancias com os seus respectivos desvios 
 
Observação 
Ângulo Horário 
(GMS) 
 
Desvio 
Padrão 
(S) 
 
Observação 
Distância 
Horizontal 
(m) 
Desvio 
Padrão 
(m) 
α1 239ᵒ 48ʹ 12.00ʺ 7.11ʺ d1 98.600 0.016 
α2 237ᵒ 00ʹ 25.00ʺ 7.13ʺ d2 117.430 0.018 
α3 162ᵒ 33ʹ 32.00ʺ 5.01ʺ d3 71.610 0.014 
α4 214ᵒ 21ʹ 18.00ʺ 4.93ʺ d4 84.000 0.016 
α5 188ᵒ 40ʹ 03.00ʺ 4.85ʺ d5 104.400 0.020 
α6 274ᵒ 16ʹ 54.00ʺ 5.16ʺ d6 84.900 0.016 
α7 165ᵒ 34ʹ 27.00ʺ 5.35ʺ d7 93.000 0.017 
α8 275ᵒ 45ʹ 51.00ʺ 7.00ʺ d8 71.500 0.016 
α9 171ᵒ 25ʹ 24.00ʺ 5.00ʺ d9 76.900 0.016 
α10 190ᵒ 04ʹ 46.00ʺ 5.01ʺ d10 222.570 0.018 
α11 40ᵒ 29ʹ 59.00ʺ 3.99ʺ 
∑ 2160ᵒ 00ʹ 51.00ʺ 00ᵒ 01ʹ 0.54ʺ 1024.910 0.167 
 
42 
 
4.2.5. Determinação do Número de Observações e de Equações do Problema 
A necessidade de se fazer ou não um ajustamento, vai depender do número de observações (Amorim, 
2005). Antes de se fazer o ajustamento das observações, determinou-se o número de observações feitas 
pois se as mesmas fossem mais do que o número mínimo de variáveis independentes que permitiriam 
definir o modelo escolhido de uma forma única, seria necessário ajustar as observações para que se 
obtivesse uma solução única. 
No caso teve-se: 
 Número de observações: n = 21; 
 Número de observações necessárias: n0 = 18; 
 Número de parâmetros: u = 18; 
 Pela fórmula (5.0) tem-se redundância: r = 3; e 
 E pela fórmula (5.1) tem-se o número de equações que formam o modelo: c = 21. 
4.2.6. Formulaçãodas Equações dos Elementos Envolvidos no Problema 
Na formulação das equações que relacionaram todos os elementos envolvidos, de modo que em cada 
equação se tivesse apenas uma observação, com um coeficiente unitário teve-se como elementos: 
azimutes, ângulos, distâncias horizontais e coordenadas planimétricas aproximadas (parâmetros). 
As equações dos elementos envolvidos no problema foram dadas por: 
 
43 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(BA) + α1 − (BC) = 0 
(CB) + α2 − (CD) = 0
(DC) + α3 − (DE) = 0 
(ED) + α4 − (EF) = 0 
(FE) + α5 − (FG) = 0 
(GF) + α6 − (GH) = 0 
(HG) + α7 − (HI) = 0 
(IH) + α8 − (IJ) = 0 
(JI) + α9 − (JK) = 0 
(KJ) + α10 − (KB) = 0 
(BK) + α11 − (BA) = 0
d1 − BC̅̅̅̅ = 0 
d2 − CD̅̅ ̅̅ = 0 
d3 − DE̅̅ ̅̅ = 0 
d4 − EF̅̅̅̅ = 0 
d5 − FG̅̅̅̅ = 0 
d6 − GH̅̅ ̅̅ = 0 
d7 − HI̅̅ ̅ = 0 
d8 − IJ̅ = 0 
d9 − JK̅ = 0 
d10 − KB̅̅ ̅̅ = 0
 
 <=> 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f1 = (BA) + α1 − arct
XC − XB
YC − YB
= 0
f2 = arct
XB − XC
YB− YC
+ α2 − arct
XD − XC
YD − YC
= 0
f3 = arct
XC − XD
YC− YD
+ α2 − arct
XB − XC
YB− YC
= 0 
f4 = arct
XD− XE
YD− YE
+ α4 − arct
XF− XE
YF− YE
= 0 
f5 = arct
XE− XF
YE− YF
+ α5 − arct
XG− XF
YG− YF
= 0 
f6 = arct
XF− XG
YF− YG
+ α6 − arct
XH− XG
YH− YG
= 0 
f7 = arct
XG− XH
YG− YH
+ α7 − arct
XF− XH
YF− YH
= 0 
f8 = arct
XH− XF
YH− YF
+ α8 − arct
XJ− XI
YJ− YI
= 0 
f9 = arct
XI− XJ
YI− YJ
+ α9 − arct
XK− XJ
YK− YJ
= 0 
f10 = arct
XJ− XK
YJ− YK
+ α10 − arct
XB− XK
YB− YK
= 0 
f11 = arct
XK− XB
YK− YB
+ α11 − (AB) = 0 
f12 = d1 − √(XC − XB)2 + (YC − YB)2 = 0
f13 = d2 −√(XD − XC)2 + (YD − YC)2 = 0 
f14 = d3 −√(XE − XD)2 + (YE − YD)2 = 0 
f15 = d4 −√(XF − XE)
2 + (YF − YE)
2 = 0 
f16 = d5 −√(XG − XF)2 + (YG − YF)2 = 0 
f17 = d6 −√(XH − XG)2 + (YH − YG)2 = 0 
f18 = d7 −√(XI − XH)2 + (YI − YH)2 = 0 
f19 = d8 −√(XJ − XI)
2
 + (YJ − YI)
2
= 0 
f20 = d9 −√(XK − XJ)
2
 + (YK − YJ)
2
= 0 
f21 = d10 −√(XB − XK)2 + (YB − YK)2 = 0
 
 
44 
 
Tendo em conta que o modelo não foi linear, no caso a linearização do mesmo foi feita recorrendo a 
equação (5.3). Mas para este caso, cada função f continha apenas uma observação com coeficiente 
unitário, deste modo a matriz A ficou reduzida à matriz identidade (I) e teve-se como formula linearizada 
do Modelo Funcional a formula (6.0). 
A seguir tem-se o cálculo dos vectores e matrizes envolvidos no modelo funcional linearizado: 
B = 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓1
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓2
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓2
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓3
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓3
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓4
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓4
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓5
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓5
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓6
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓6
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓7
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓7
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓8
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓8
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓9
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓9
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓10
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓10
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓11
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓11
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓12
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓12
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓1
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓13
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓13
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐶
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐶
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐷
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐷
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐸
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐸
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐹
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐹
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐺
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐺
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐻
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐻
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐼
𝛿𝑓14𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐼
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐽
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐽
𝛿𝑓14
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓15
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓16
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓17
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓18
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓19
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓20
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓21
𝛿𝑋𝐾
𝛿𝑓14
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓15
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓16
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓17
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓18
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓19
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓20
𝛿𝑌𝐾
𝛿𝑓21
𝛿𝑌𝐾 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
 
 
45 
 
As 378 derivadas para a composição da matriz B deram-se do seguinte modo: 
Para (arctg u)ʹ = 
u′
1+ U2
 , como exemplo: 
 b11 = 
δf1
δXC
 = − 
yc− yb
(yc− yb)
2+ (xc− xb)
2; e 
 b12 = 
δf1
δyC
 = − 
xc− xb
(yc− yb)
2+ (xc− xb)
2. 
E para (√u)ʹ = 
1
2√u
 , como exemplo: 
 b12,1 = 
δf12
δXC
 = −
xc− xb
2√(yc− yb)
2+ (xc− xb)
2
; e 
 b12,2 = 
δf12
δyC
 = − 
yc− yb
2√(yc− yb)
2+ (xc− xb)
2
; 
As coordenadas aproximadas (parâmetros) foram obtidas a partir de: 
 Xn = dn * sen(Az) + Xn−1 
 Yn = dn * cos(Az) + Yn−1 
Sendo: 
Xn e Yn - coordenadas aproximadas; 
dn – distância horizontal entre os pontos; e 
Az – azimute. 
 
46 
 
Os resultados do cálculo das coordenadas aproximadas (parâmetros) são vistos na tabela 4. 
 
 
 
 
 
Tabela 4. Tabela das coordenadas aproximadas (parâmetros) em UTM 
Com as coordenadas da base, no programa GeoUTM foram determinados os azimutes directo e inverso 
os resultados desta operação são apresentados na tabela 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 5. Coordenadas da base e os azimutes (Directo e Inverso) 
 
COORDENADAS APROXIMADAS EM UTM 
Pontos X (m) Y (m) 
C 462837.548 7230851.589 
D 462768.299 7230946.424 
E 462710.671 7230988.939 
F 462683.011 7231068.254 
G 462663.883 7231170.887 
H 462748.274 7231180.163 
I 462835.270 7231213.043 
J 462853.700 7231143.960 
K 462884.381 7231073.445 
 
Pontos 
 
X (m) 
 
Y(m) 
Cumprimento da 
Linha da base 
(m) 
Azimute 
Directo (AB) 
(GMS) 
Azimute 
Inverso (BA) 
(GMS) 
A 462984.000 7230951.000 
105.550 
 
 
207ᵒ 03ʹ 03.00ʺ 
 
27ᵒ 03ʹ 02.00ʺ 
B 462936.000 7230857.000 
 
47 
 
Para a 3ª iteração substituindo o valor dos parâmetros aproximados, observações e os azimutes teve-se como matriz B a seguinte: 
 
0.000558 0.010125 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.006317 0.015148 -0.006875 -0.005023 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
-0.006875 -0.005023 0.015162 0.016259 -0.008287 -0.011237 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 -0.008287 -0.011237 0.019526 0.015159 -0.011239 -0.003922 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.011239 -0.003922 0.020655 0.005679 -0.009416 -0.001757 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.009416 -0.001757 0.010707 -0.009954 -0.001291 0.011711 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.001291 0.011711 0.005095 -0.021772 -0.003805 0.010061 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.003805 0.010061 -0.009708 -0.013669 0.013513 0.003608 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.013513 0.003608 -0.025437 -0.008800 0.011924 0.005191 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.011924 0.005191 -0.016294 -0.006236 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.004370 0.001045 
0.998485 0.055029 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
-0.589903 0.807474 0.589903 -0.807474 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 -0.804812 0.593530 0.804812 -0.593530 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.329488 0.944160 0.329488 -0.944160 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.183446 0.983030 0.183446 -0.983030 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.993982 0.109541 -0.993982 -0.109541 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.935353 0.353715 -0.935353 -0.353715 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.257983 -0.966149 -0.257983 0.966149 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.399186 -0.916870 -0.399186 0.916870 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.232569 -0.972580 
 
48 
 
Visto que, o processo de ajustamento é interativo, na medida em que para que uma observação considere-
se completamente ajustada é necessário que se repita o ajustamento até que exista uma convergência para 
os valores do vector ∆ (Vector de Correção aos Parâmetros Aproximados para a obtenção dos Parâmetros 
Ajustados) nesse mesmo processo (Dalmolin, 2002). Na primeira iteração teve-se f = - f(X0, l0): 
f = - 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (BA) + α1 − arct
XC − XB
YC − YB
arct
XB − XC
YB− YC
+ α2 − arct
XD − XC
YD − YC
arct
XC − XD
YC− YD
+ α3 − arct
XB − XC
YB− YC
 
arct
XD− XE
YD− YE
+ α4 − arct
XF− XE
YF− YE
 
arct
XE− XF
YE− YF
+ α5 − arct
XG− XF
YG− YF
 
arct
XF− XG
YF− YG
+ α6 − arct
XH− XG
YH− YG
 
 arct
XG− XH
YG− YH
+ α7 − arct
XF− XH
YF− YH
 
arct
XH− XF
YH− YF
+ α8 − arct
XJ− XI
YJ− YI
 
arct
XI− XJ
YI− YJ
+ α9 − arct
XK− XJ
YK− YJ
 
arct
XJ− XK
YJ− YK
+ α10 − arct
XB− XK
YB− YK
 
 arct
XK− XB
YK− YB
+ α11 − (AB) 
 d1 − √(XC − XB)
2 + (YC − YB)
2 
d2 −√(XD − XC)
2 + (YD − YC)
2 
d3 −√(XE − XD)
2 + (YE − YD)
2 
d4 −√(XF − XE)
2 + (YF − YE)
2 
d5 −√(XG − XF)
2 + (YG − YF)
2 
d6 −√(XH − XG)
2 + (YH − YG)
2 
d7 −√(XI − XH)
2 + (YI − YH)
2 
d8 −√(XJ − XI)
2
 + (YJ − YI)
2
 
d9 −√(XK − XJ)
2
 + (YK − YJ)
2
 
d10 −√(XB − XK)
2 + (YB − YK)
2 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
Nas interações subsequentes f = - f(X0, l0) + l0 – l: 
f = - 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (BA) + α1 − arct
XC − XB
YC − YB
arct
XB − XC
YB− YC
+ α2 − arct
XD − XC
YD − YC
arct
XC − XD
YC− YD
+ α3 − arct
XB − XC
YB− YCarct
XD− XE
YD− YE
+ α4 − arct
XF− XE
YF− YE
 
arct
XE− XF
YE− YF
+ α5 − arct
XG− XF
YG− YF
 
arct
XF− XG
YF− YG
+ α6 − arct
XH− XG
YH− YG
 
 arct
XG− XH
YG− YH
+ α7 − arct
XF− XH
YF− YH
 
arct
XH− XF
YH− YF
+ α8 − arct
XJ− XI
YJ− YI
 
arct
XI− XJ
YI− YJ
+ α9 − arct
XK− XJ
YK− YJ
 
arct
XJ− XK
YJ− YK
+ α10 − arct
XB− XK
YB− YK
 
 arct
XK− XB
YK− YB
+ α11 − (AB) 
 d1 − √(XC − XB)
2 + (YC − YB)
2 
d2 −√(XD − XC)2 + (YD − YC)2 
d3 −√(XE − XD)2 + (YE − YD)2 
d4 −√(XF − XE)2 + (YF − YE)2 
d5 −√(XG − XF)2 + (YG − YF)2 
d6 −√(XH − XG)2 + (YH − YG)2 
d7 −√(XI − XH)2 + (YI − YH)2 
d8 −√(XJ − XI)
2
 + (YJ − YI)
2
 
d9 −√(XK − XJ)
2
 + (YK − YJ)
2
 
d10 −√(XB − XK)
2 + (YB − YK)
2 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(α1)0
(α2)0
(α3)0
(α4)0
(α5)0
(α6)0
(α7)0
(α8)0
(α9)0
(α10)0
(α11)0
(𝑑1)0
(𝑑2)0
(𝑑3)0
(𝑑4)0
(𝑑5)0
(𝑑6)0
(𝑑7)0
(𝑑8)0
(𝑑9)0
(𝑑10)0]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8
α9
α10
α11
𝑑1
𝑑2
𝑑3
𝑑4
𝑑5
𝑑6
𝑑7
𝑑8
𝑑9
𝑑10]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Sabendo que: 
𝑙 = 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8
α9
α10
α11
𝑑1
𝑑2
𝑑3
𝑑4
𝑑5
𝑑6
𝑑7
𝑑8
𝑑9
𝑑10]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑙0 = 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(α1)0
(α2)0
(α3)0
(α4)0
(α5)0
(α6)0
(α7)0
(α8)0
(α9)0
(α10)0
(α11)0
(𝑑1)0
(𝑑2)0
(𝑑3)0
(𝑑4)0
(𝑑5)0
(𝑑6)0
(𝑑7)0
(𝑑8)0
(𝑑9)0
(𝑑10)0]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para 3ª interação teve-se f como sendo: f = - 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 −0.000152
−0.000015
−0.000011
−0.000006
0.000000
0.000000
0.000002
−0.000004
−0.000008
−0.000014
0.016238
0.018419
0.014266
0.004109
−0.000013
−0.027242
−0.030359
−0.002080
−0.006119
−0.002133]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.7. Composição da Matriz Pesos 
Os valores dos pesos são inversamente proporcionais aos valores das variâncias e a atribuição de peso 
pressupõe o conhecimento da precisão pelas quais foram efectuadas as medições (Amorim, 2005). 
Visto que as observações são independentes entre si, a matriz dos pesos se reduziu a uma matriz diagonal 
tomando na diagonal principal o inverso da variância de cada observação: 
P = 𝜎0
2*diag [1 σα1
2⁄ 1 σα2
2⁄ 1 σα3
2⁄ 1 σα4
2⁄ 1 σα5
2⁄ 1 σα6
2⁄ 1 σα7
2⁄ 1 σα8
2⁄ 1 σα9
2⁄ 1 σα10
2⁄ 1 σα11
2⁄ 1 σd1
2⁄
1
σd2
2⁄
1
σd3
2⁄
1
σd4
2⁄
1
σd5
2⁄
1
σd6
2⁄
1
σd7
2⁄
1
σd8
2⁄
1
σd9
2⁄
1
σd10
2⁄ ] 
 
51 
 
Considerando os desvios padrões da tabela 3 efectuou-se a substituição dos mesmos na matriz dos pesos 
teve-se como a matriz dos pesos (P) a seguinte: 
 
 
Composta no Excel todas as matrizes e vectores (B, P e f) que permitiram fazer o ajustamento pelo MMQ, 
posteriormente no Jupyter Notebook com os códigos em Python já discritos anteriormente, procedeu-se 
com o cálculo do Vector dos Parâmetros de Correção e o Vector dos Resíduos pelas expressões (6.3) e 
(6.2) respectivamente. E novamente no Excel fez-se o ajustamento das observações pela expressão (6.4) 
e dos parâmetros pela expressão abaixo designada como “parâmetros ajustados” e como resultado tem-
se as tabelas 6 e 7: 
 
 
52 
 
vector de correção dos Parâmetros: ∆ = 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋1
𝑌1
𝑋2
𝑌2
𝑋3
𝑌3
𝑋4
𝑌4
𝑋5
𝑌5
𝑋6
𝑌6
𝑋7
𝑌7
𝑋8
𝑌8
𝑋9
𝑌9 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Parâmetros ajustados :
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋𝐶 = 𝑋𝐶0 + 𝑋1
𝑌𝐶 = 𝑌𝐶0 + 𝑌1
𝑋𝐷 = 𝑋𝐷0 + 𝑋2
𝑌𝐷 = 𝑌𝐷0 + 𝑌2
𝑋𝐸 = 𝑋𝐸0 + 𝑋3
𝑌𝐸 = 𝑌𝐸0 + 𝑌3
𝑋𝐹 = 𝑋𝐹0 + 𝑋4
𝑌𝐹 = 𝑌𝐹0 + 𝑌4
𝑋𝐺 = 𝑋𝐺0 + 𝑋5
𝑌𝐺 = 𝑌𝐺0 + 𝑌5
𝑋𝐻 = 𝑋𝐻0 + 𝑋6
𝑌𝐻 = 𝑌𝐻0 + 𝑌6
𝑋𝐼 = 𝑋𝐼0 + 𝑋7
𝑌𝐼 = 𝑌𝐼0 + 𝑌7
𝑋𝐽 = 𝑋𝐽0 + 𝑋8
𝑌𝐽 = 𝑌𝐽0 + 𝑌8
𝑋𝐾 = 𝑋𝐾0 + 𝑋9
𝑌𝐾 = 𝑌𝐾0 + 𝑌9
 
Vector dos resíduos: v = 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v1
v3
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
v17
v18
v19
v20
v21]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
Tabela 6. Resíduos e observações ajustadas (3ª iteração) 
 
 
 
Tabela 7. Parâmetros de correção e coordenadas ajustadas (3ª iteração) 
4.2.8. Teste de Qualidade de Ajustamento 
Após o ajustamento fez-se o teste de qualidade, no caso segundo Ribeiro (2008), o nível de significância 
nos trabalhos topográficos deve ser fixado a priori, em geral α = 0,05 (5%) ou α = 0.1 (10%) o que leva 
ao valor limite 1,96 e 1,65 vezes o desvio padrão respectivamente. 
 
Observação 
 
Sinal 
(-/+) 
 
Resíduos 
(S) 
Ângulo Horário 
Ajustado 
(GMS) 
 
Observação 
 
Sinal 
(-/+) 
 
Resíduo
s (m) 
Distância 
Horizontal 
Ajustada (m) 
α1 + 0.08ʺ 239ᵒ 48ʹ 12.08ʺ d1 + 0.015 98.615 
α2 - 1.01ʺ 237ᵒ 00ʹ 23.99ʺ d2 + 0.016 117.446 
α3 + 0.19ʺ 162ᵒ 33ʹ 32,19ʺ d3 + 0.010 71.620 
α4 + 0.47ʺ 214ᵒ 21ʹ 18.47ʺ d4 + 0.006 84.006 
α5 + 1.01ʺ 188ᵒ 40ʹ 4.01ʺ d5 + 0.007 104.407 
α6 + 1.96ʺ 274ᵒ 16ʹ 55.96ʺ d6 - 0.016 84.884 
α7 + 2.24ʺ 165ᵒ 34ʹ 29.24ʺ d7 - 0.017 92.983 
α8 + 4.41ʺ 275ᵒ 45ʹ 55.41ʺ d8 - 0.005 71.494 
α9 + 1.74ʺ 171ᵒ 25ʹ 25.74ʺ d9 - 0.007 76.892 
α10 + 1.22ʺ 190ᵒ 04ʹ 47.22ʺ d10 - 0.008 222.562 
α11 - 0.26ʺ 40ᵒ 29ʹ 58.74ʺ 
∑ + 12.79ʺ 2160ᵒ 01ʹ 3.79ʺ + 0.002 1024.912 
 
PARÂMETROS DE CORREÇÃO E COORDENADAS AJUSTADAS EM UTM 
Pontos Sinal 
(-/+) 
Parâmetros de 
Correção ∆X (m) 
 
X (m) 
Sinal 
(-/+) 
Parâmetros de 
Correção ∆Y (m) 
 
Y (m) 
C + 0.002 462837.535 - 0.016 7230851.558 
D - 0.008 462768.242 - 0.026 7230946.384 
E - 0.009 462710.597 - 0.034 7230988.887 
F - 0.017 462682.911 - 0.034 7231068.200 
G - 0.027 462663.749 - 0.029 7231170.834 
H - 0.016 462748.122 - 0.022 7231180.138 
I - 0.005 462835.093 - 0.012 7231213.032 
J - 0.003 462853.540 - 0.008 7231143.959 
K - 0.002 462884.236 - 0.006 7231073.459 
 
54 
 
A variância a posteriori para o teste de qualidade foi obtida pela expressão (7.0) e o qui-quadrado foi 
calculado pela expressão (7.1) 
Na prática, a variância a priori σ0
2
 (também chamada de variância da unidade de peso) é usualmente 
igual a um (σ0
2
 = 1) pois o valor não influencia no vector solução (Gemael, 1994). 
Deste modo, fez-se a comparação do factor de variância a priori (σ0
2) com o factor de variância a 
posteriori (�̂�0
2) a um nível de confiança (1-α) de 95%. 
Calculada a estatística de Teste Bilateral do ajustamento, foi consultado na tabela da distribuição qui-
quadrado o valor crítico, conforme o valor de significância que no caso foi de α = 0,05. E avaliou-se 
para mais detalhes desta avaliação ver em 2.4.6. 
O resultado do teste de qualidade de ajustamento pode ser visto na tabela 8. 
 
 
Tabela 8. Resultado do Teste de Qualidade Bilateral (3ª iteração) 
Variância 
a Priori 
𝛔𝟎
𝟐 
Variância a 
Posteriori 
�̂�𝟎
𝟐 
Qui-
quadrado 
𝐗𝐜
𝟐 
 
Graus de 
Liberdade 
 
Nível de 
Significância 
Intervalo de 
Confiança 
𝐱𝐫,𝛂
𝟐
 < 𝐗𝐜
𝟐 < 𝐱𝐫,𝟏− 𝛂
𝟐
 
Avaliação do 
Teste 
Bilateral 
1.00 1.91 5.73 3 5% 0.216 < 5.73 < 9.347 Aceite 
 
55 
 
4.2.9. Cálculo da Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado 
A MVC permite ter a indicação da precisão dos valores estimados (Fonte, 1994). O cálculo da MVC para o presente estudo foi com base 
na expressão (6.7). E a para a 3ª iteração teve como MVC dos Parâmetros Ajustados a seguinte: 
 
 
 
56 
 
4.2.10. Cálculo da Área da Poligonal pelo Método de Gauss 
A área de uma superfície plana limitada por uma poligonal fechada, pode ser determinada analiticamente 
quando se conhecem as coordenadas ortogonaisdos seus vértices. Dentre os métodos analíticos 
conhecidos, sem dúvida, o mais empregado para a avaliação de áreas de figuras planas é o de Gauss 
(Domingues citado por Brandalize, 2002). 
Segundo Brandalize (2002) dada uma poligonal fechada qualquer, com as coordenadas dos vértices dadas 
em UTM (X e Y) a determinação da área desta figura será dada seguindo os seguintes critérios: 
 As coordenadas do ponto de partida e de chegada devem ser as mesmas 
X1 = Xn e Y1 = Yn; 
 Percorrendo a poligonal no sentido horário, somam-se as ordenadas (SY) dos pontos, aos pares, 
ou seja, de duas em duas; 
 Na sequência, Porém, em sentido contrário, subtraem-se as abcissas (DX) dos pontos, também 
aos pares; 
 Os resultados de cada soma e subtração, para um mesmo ponto, são multiplicados entre si 
(SY.DX); e 
 Somam-se, algebricamente, todos os produtos encontrados (S(SY . DX)). 
A área final é dada pela seguinte relação: 
2S = ∑ (Yi+1 + Yi)(Xi+1 − Xi)
n
1 
O cálculo da área da poligonal, deu-se pelo Método Analítico de Gauss, seguindo todos os passos do 
critério para o cálculo analítico de área de figuras planas, proposto por (Brandalize, (2002). A poligonal 
tem uma área de 0.057 km2 os procedimentos deste cálculo podem ser visto no anexo 14. 
 
57 
 
4.3. Resumo da Implementação Prática dos Materiais e Metodologias 
 
 
Figura 6. Fluxograma metodológico 
 
58 
 
CAPITULO V: CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 
5.1. Conclusão 
O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), pressupõe que o número de observações independentes seja 
sempre maior que o número mínimo de observações que definem o modelo a ser tratado ou seja, o MMQ 
pressupõe a necessidade de redundância. No ajustamento pelo MMQ, somente as observações 
contaminadas pelos erros acidentais podem ser tratadas. Enquanto que as contaminadas pelos erros 
grosseiros devem ser eliminadas e as com os sistemáticos devem ser corrigidas. 
O ajustamento pelo Modelo Paramétrico, permite obter os valores das coordenadas ajustadas e o vector 
dos valores observados ajustados. Inicialmente para o ajustamento pelo MMQ (Modelo Paramétricos) 
buscar uma função capaz de representar o grau de dependência entre as variáveis envolvidas no problema 
torna-se imprescindível. 
Notou-se que através da verificação das variações das coordenadas e da determinação dos resíduos dessas 
coordenadas que o MMQ permite a identificação da existência de erros nas observações de campo. No 
que concerne a parte prática constatou-se que os desvios padrões das observações processados foram 
satisfatórios para os resultados finais pretendidos pesa embora apresentassem valores elevados. Em 
relação aos programas computacionais estes mostraram-se bastantes funcionais, a linguagem de 
programação Python mostrou-se usual para o qual foi desenhada (fins científicos). 
Um factor preponderante para se alcançar os objetivos traçados e saber, se estava-se no caminho certo 
ou não foi a utilização do Teste Estatístico Bilateral. Assim sendo após o ajustamento com um nível de 
significância de 5% o mesmo permitiu fazer a validação do ajustamento onde as 3 iterações passaram 
neste teste. 
 
59 
 
5.2. Recomendações 
Com vista a garantir maior precisão nos resultados esperados, recomenda-se que nas próximas 
actividades de estágio seja utilizado um receptor GPS com maior precisão, para a implantação da base. 
Embora os desvios padrões tenham sido satisfatórios para este estudo, verificou-se que os mesmos 
apresentaram valores elevados e esses valores são advindos do modo de como as observações foram 
efectuadas, pra já recomenda-se que no processo de levantamento para este tipo de actividade sejam 
executados com mais rigorosidade de modo que no cálculo dos desvios não apresentem valores elevados 
e as observações apresentem maior confiança. 
 
60 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Topografia. Brasil - Fortaleza: Universidade de Fortaleza (UNIFOR) - Laboratório de Topografia e 
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poligonal fechada e enquadrada. Brasil - Rio de Janeiro: Anais: XXIII Congresso Brasileiro de 
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Magude: Ministerio da Administração Estatal. 
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de Coimbra - Departamento de Matemática. 
14) Fonte, C. M. (1994). Ajustamento de Observações Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados. 
Coimbra. 
15) Galdino, A., Wilma, V., & Seixas, A. (2006). Métodos de levantamentos topográficos planimétricos 
para o georreferenciamento de imóveis rurais. Campo Grande: Universidade Federal de 
Pernambuco. 
16) Gemael, C. (1994). Introdução ao ajustamento de observações: aplicações de Geodésia. Curitiba: 
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17) Jesus, P. F. (2013). Manual Prático Microsft Excel 2017. DINFA. 
 
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19) Lopes, L. F. (2003). Apostila de Estatística. Brasil: Universidade - FSM. 
20) Melo, W. D., & Souza, A. d. (2012). 
Triangulações e Trilaterações. Brasil - Pernambuco: Universidade Federal de Pernambuco - UFPE. 
21) Mendonça, F. J., Garnés, S. J., Pereira, C. M., Neto, J. A., & Melo, W. D. (2010). Analise do 
Ajustamento por Minimos Quadrados de Uma Trilateracao Topografica com Injuncoes nos Planos 
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30) Santos, A. J. (2006). Proposta de Ajustamento para Melhoria da Confiabilidade e Precisão dos 
pontos de Redes Geodésicas para Fins Topográficos Locais. São Carlos. 
31) Schaal, R. E. (2006). Proposta de Ajustamento para Melhoria da Confiabilidade e Precisão dos 
Pontos de Redes Geodésicas para Fins Topograficos Locais. São carlos: Universidade de São Paulo- Escola de Engenharia de São Carlos. 
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34) Teixeira, N. N. (2005). Análise Geodésica de Deformações da Crosta em Regiões de Grandes 
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Global. Brasil -Paraná: Universidade Federal do Paraná - Departamento de Geomatica. 
35) Teunissen, P. J. (2003). Adjustment Theory: an introduction. Delft. 
36) Veiga, L. A., Zanetti, M. A., & Faggion, P. L. (2012). Fundamentos de Topografia - Engenharia 
Cartográfica e de Agrimensura. Brasil - Paraná: Universidade Federal do Paraná - . 
 
 
 
63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. ANEXOS
 
64 
 
Anexo 1. Matriz B (1ª iteração) 
 
0.000557 0.010127 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.006321 0.015149 -0.006877 -0.005022 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
-0.006877 -0.005022 0.015168 0.016259 -0.008291 -0.011237 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 -0.008291 -0.011237 0.019532 0.015157 -0.011241 -0.003920 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.011241 -0.003920 0.020657 0.005675 -0.009416 -0.001755 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.009416 -0.001755 0.010704 -0.009953 -0.001288 0.011708 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.001288 0.011708 0.005089 -0.021766 -0.003801 0.010058 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.003801 0.010058 -0.009712 -0.013664 0.013513 0.003605 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.013513 0.003605 -0.025437 -0.008793 0.011924 0.005188 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.011924 0.005188 -0.016296 -0.006231 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.004371 0.001043 
0.998493 0.054878 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
-0.589745 0.807590 0.589745 -0.807590 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 -0.804687 0.593700 0.804687 -0.593700 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.329279 0.944233 0.329279 -0.944233 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.183222 0.983072 0.183222 -0.983072 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.994007 0.109315 -0.994007 -0.109315 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.935434 0.353502 -0.935434 -0.353502 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.257765 -0.966208 -0.257765 0.966208 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.398976 -0.916961 -0.398976 0.916961 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.231977 -0.972721
 
65 
 
Anexo 2. Vector f (1ª iteração) 
 
0.000000 
 0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000370 
-0.000623 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
0.000000 
-0.054283 
 
 
Anexo 3. Parâmetros de Correção e Coordenadas Ajustadas (1ª iteração) 
 
PARÂMETROS DE CORREÇÃO E COORDENADAS AJUSTADAS EM UTM 
Pontos Sinal 
(-/+) 
Parâmetros de 
Correção ∆X (m) 
 
X (m) 
Sinal 
(-/+) 
Parâmetros de 
Correção ∆Y 
(m) 
 
Y (m) 
C - 0.0167 462837.5319 - 0.0061 7230851.5830 
D - 0.0398 462768.2551 + 0.0015 7230946.4259 
E - 0.0594 462710.6118 + 0.0031 7230988.9423 
F - 0.0734 462682.9384 + 0.0011 7231068.2558 
G - 0.0909 462663.7926 - 0.0066 7231170.8808 
H - 0.1267 462748.1479 + 0.0051 7231180.1733 
I - 0.1695 462835.1005 + 0.0079 7231213.0518 
J - 0.1556 462853.5446 + 0.0117 7231143.9718 
K - 0.1428 462884.2387 + 0.0231 7231073.4688 
 
66 
 
 
Anexo 4. Resíduos e Ângulos e Distâncias Ajustadas (1ª iteração) 
 
 
 
 
 
 
Anexo 5. Teste de qualidade de ajustamento (1ª iteração) 
 
 
 
Obser-
vação 
 
Sinal 
(-/+) 
 
Resíduos 
(S) 
Ângulo Horário 
Ajustado 
(GMS) 
 
Obser-
vação 
 
Sinal 
(-/+) 
 
Resíduos 
(m) 
Distância Horizontal 
Ajustada 
(m) 
α1 + 9.34ʺ 239ᵒ 48ʹ 21.34ʺ d1 + 0.016 98.616 
α2 - 9.00ʺ 237ᵒ 00ʹ 16ʺ d2 + 0.018 117.448 
α3 - 3.07ʺ 162ᵒ 33ʹ 28.93ʺ d3 + 0.014 71.624 
α4 - 2.31ʺ 214ᵒ 21ʹ 15.69ʺ d4 + 0.004 84.004 
α5 - 1.23ʺ 188ᵒ 40ʹ 1.77ʺ d5 + 0.000 104.400 
α6 + 0.05ʺ 274ᵒ 16ʹ 54.05ʺ d6 - 0.027 84.873 
α7 - 0.04ʺ 165ᵒ 34ʹ 26.96ʺ d7 - 0.030 92.970 
α8 + 0.03ʺ 275ᵒ 45ʹ 51.03ʺ d8 - 0.002 71.498 
α9 - 0.75ʺ 171ᵒ 25ʹ 23.25ʺ d9 - 0.006 76.894 
α10 - 1.72ʺ 190ᵒ 04ʹ 44.28ʺ d10 - 0.002 222.568 
α11 - 2.94ʺ 40ᵒ 29ʹ 56.06ʺ 
∑ - 11.32ʺ 2160ᵒ 00ʹ 39.60ʺ - 0.0149 1024.8951 
 
Variância 
a Priori 𝛔𝟎
𝟐 
Variância a 
Posteriori �̂�𝟎
𝟐 
Qui-quadrado 
𝐗𝐜
𝟐 
Graus de 
Liberdade 
Nível de 
Significância 
Intervalo de Confiança 
𝐱𝐫,𝛂
𝟐
 < 𝐗𝐜
𝟐 < 𝐱𝐫,𝟏− 𝛂
𝟐
 
Avaliação do 
Teste Bilateral 
1.00 1.91 8.51 3 5% 0.216 < 8.51 < 9.347 Aceite 
 
67 
 
Anexo 6. Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado (1ª iteração) 
 
 
68 
 
Anexo 7. Matriz B (2ª iteração) 
 
0.000557 0.010125 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.006318 0.015147 -0.006875 -0.005022 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
-0.006875 -0.005022 0.015163 0.016258 -0.008287 -0.011236 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 -0.008287 -0.011236 0.019527 0.015157 -0.011240 -0.003922 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.011240 -0.003922 0.020656 0.005678 -0.009416 -0.001757 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.009416 -0.001757 0.010707 -0.009956 -0.001290 0.011712 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.001290 0.011712 0.005095 -0.021774 -0.003805 0.010062 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.003805 0.010062 -0.009708 -0.013670 0.013513 0.003608 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.013513 0.003608 -0.025436 -0.008799 0.011924 0.005191 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.011924 0.005191 -0.016294 -0.006236 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.004370 0.001045 
0.998490 0.054930 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
-0.589842 0.807519 0.589842 -0.807519 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 -0.804773 0.593583 0.804773 -0.593583 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.329434 0.944178 0.329434 -0.944178 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.183397 0.983039 0.183397 -0.983039 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.993987 0.109497 -0.993987 -0.109497 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.935366 0.353680 -0.935366 -0.353680 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.257960 -0.966156 -0.257960 0.966156 0.000000 0.000000 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.399171 -0.916877 -0.399171 0.916877 
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.232561 -0.972582 
 
69 
 
Anexo 8. Vector f (2ª iteração) 
 
-0.000053 
-0.000068 
-0.000025 
-0.000020 
-0.000013 
-0.000006 
-0.000007 
-0.000011 
-0.000011 
-0.000017 
-0.000023 
0.017009 
0.019815 
0.016692 
0.002716 
-0.004374 
-0.034387 
-0.039036 
-0.000114 
-0.005297 
0.001304 
 
Anexo 9. Parâmetros de correção e coordenadas ajustadas (2ª iteração) 
 
PARÂMETROS DE CORREÇÃO E COORDENADAS AJUSTADAS EM UTM 
Pontos Sinal 
(-/+) 
Parâmetros de 
Correção ∆X (m) 
 
X (m) 
Sinal 
(-/+) 
Parâmetros de 
Correção ∆Y (m) 
 
Y (m) 
C + 0.001 462837.533 - 0.010 7230851.573 
D - 0.005 462768.250 - 0.016 7230946.410 
E - 0.006 462710.606 - 0.021 7230988.921 
F - 0.011 462682.928 - 0.022 7231068.234 
G - 0.017 462663.776 - 0.018 7231170.863 
H - 0.010 462748.138 - 0.014 7231180.160 
I - 0.003 462835.098 - 0.007 7231213.044 
J - 0.002 462853.543 - 0.005 7231143.967 
K - 0.001 462884.238 - 0.004 7231073.465 
 
70 
 
 Anexo 10. Resíduos e Ângulos e Distâncias Ajustadas (2ª iteração) 
 
Anexo 11. Teste de qualidade de ajustamento (2ª iteração) 
 
 
 
 
 
 
Obser-
vação 
 
Sinal 
(-/+) 
 
Resíduos 
(S) 
Ângulo Horário 
Ajustado 
(GMS) 
 
Obser-
vação 
 
Sinal 
(-/+) 
 
Resíduos 
(m) 
Distância 
Horizontal 
Ajustada 
(m) 
α1 + 0.08ʺ 239ᵒ 48ʹ 12.08ʺ d1 + 0.015 98.615 
α2 - 1.01ʺ 237ᵒ 00ʹ 23.99ʺ d2 + 0.016 117.446 
α3 + 0.19ʺ 162ᵒ 33ʹ 32,19ʺ d3 + 0.010 71.620 
α4 + 0.47ʺ 214ᵒ 21ʹ 18.47ʺ d4 + 0.006 84.006 
α5 + 1.01ʺ 188ᵒ 40ʹ 4.01ʺ d5 + 0.007 104.407 
α6 + 1.96ʺ 274ᵒ 16ʹ 55.96ʺ d6 - 0.016 84.884 
α7 + 2.24ʺ 165ᵒ 34ʹ 29.24ʺ d7 - 0.017 92.984 
α8 + 4.41ʺ 275ᵒ 45ʹ 55.41ʺ d8 - 0.005 71.495 
α9 + 1.74ʺ 171ᵒ 25ʹ 25.74ʺ d9 - 0.007 76.893 
α10 + 1.22ʺ 190ᵒ 04ʹ 47.22ʺ d10 - 0.008 222.563 
α11 - 0.26ʺ 40ᵒ 29ʹ 58.74ʺ 
∑ + 12.79ʺ 2160ᵒ 01ʹ 3.79ʺ + 0.0024 1024.9124 
 
Variância 
a Priori 𝛔𝟎
𝟐 
Variância a 
Posteriori �̂�𝟎
𝟐 
Qui-quadrado 
𝐗𝐜
𝟐 
Graus de 
Liberdade 
Nível de 
Significância 
Intervalo de Confiança 
𝐱𝐫,𝛂
𝟐
 < 𝐗𝐜
𝟐 < 𝐱𝐫,𝟏− 𝛂
𝟐
 
Avaliação do 
Teste Bilateral 
1.00 1.91 6.25 3 5% 0.216 < 6.25 < 9.347 Aceite 
 
71 
 
Anexo 12. Matriz Variância-Covariância (MVC) dos Parâmetros Ajustado (2ª iteração) 
 
 
 
 
72 
 
Anexo 13. Planta Topográfica da Poligonal com dados Ajustados pelo MMQ 
 
 
73 
 
Anexo 14. Área da poligonal calculada pelo Método de Gauss com as coordenadas ajustadas
 
 
 
Pontos X (m) Y (m) 𝐗𝐢+𝟏 − 𝐗𝐢−𝟏 𝐘𝐢−𝟏 − 𝐘𝐢+𝟏 𝐗𝐢(𝐗𝐢+𝟏 − 𝐗𝐢−𝟏) 𝐘𝐢(𝐘𝐢−𝟏 − 𝐘𝐢+𝟏) 
B 462936.000 7230857.000 -46.701 221.901 102726157.2 -337687175.3 
C 462837.535 7230851.558 -167.758 -89.384 -41370381.19 -1213032334 
D 462768.242 7230946.384 -126.938 -137.329 -63551705.5 -917885318.1 
E 462710.597 7230988.887 -85.332 -121.816 -56365473.1 -617031569.5 
F 462682.911 7231068.200 -46.847 -181.947 -84183555.7 -338756787.1 
G 462663.749 7231170.834 65.212 -111.938 -51789582.33 471555662.3 
H 462748.122 7231180.138 171.343 -42.199 -19527504.29 1239013306 
I 462835.093 7231213.033 105.418 36.179 16744972.28 762297530.8 
J 462853.540 7231143.959 49.144 139.574 64602114.14 355364204.2 
K 462884.236 7231073.459 82.460 286.959 132828693.5 596276216.4 
 2S 113735.008 113735.008 
 S(𝐦𝟐) 56867.50398 56867.50398 
 S(𝐤𝐦𝟐) 0.057 0.057 
 
74 
 
Anexo 15. Importando os pacotes de leitura de ficheiros em xlsx, tratamento de vectores e operações com matrizes 
 
 
Anexo 16. Código de leitura de ficheiros no formato xlsx 
 
 
Anexo 17. Código para o armazenamento dos dados no formato xlsx, num vector 
 
 
Anexo 18. Código de definição duma função para o cálculo duma matriz transposta 
 
 
Anexo 19. Código de definição duma função para a multiplicação de matrizes 
 
 
Anexo 20. Código de definição duma função para o cálculo duma matriz inversa 
 
 
 
 
75 
 
Anexo 21. Código para o cálculo do vector de correção dos parâmetros e vector dos resíduos 
 
 
 
Anexo 22. Código para o cálculo da variância a posterior, qui-quadrado e MVC dos Parâmetros Ajustados 
 
 
Anexo 23. Código para avaliação da qualidade do ajustamento (Hipótese Nula e Teste Bilateral) 
 
 
Anexo 24. Código de impressão da variância a posteriori, valor do qui-quadrado e MVC dos Parâmetros Ajustados 
 
 
 
 
76 
 
Anexo 25. Código para a gravação no formato xlsx. dos resultados do ajustamento 
 
 
Anexo 26. Gravando os ficheiros 
 
 
 
77 
 
Anexo 27. Planta Topográfica da Poligonal com dados Ajustados pelo MMQ