aula 6 exercicio 3 função 2°grau

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Exemplos 
 
Exemplo 1: 
 
Uma empresa produz furadeiras elétricas com o custo definido pela seguinte função 
C(x) = x² – 80x + 3000. 
 
Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine: 
 
a) A quantidade (x) de furadeiras elétricas para que o custo seja mínimo. 
b) O valor (R$) desse custo mínimo. 
 
Resolução: 
 
a) A quantidade (x) de furadeiras elétricas para que o custo seja mínimo. 
 
( 80)
40
2 2(1)
V
b
x
a

    



 
 
Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá produzir somente 40 unidades de 
furadeiras elétricas. 
 
b) O valor (R$) desse custo mínimo. 
2 1400[( 80) 4(1)(3000)] [6400 12000]
4 4(1) 4
Vy
a


    
     

 
 
O valor do custo mínimo é de R$1.400,00. 
 
 
 
 2 
 
Exemplo 2: 
 
O lucro de uma fábrica na venda de sucos engarrafados é dado pela função 
L(x) = -5x2 + 100x -80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o 
lucro em reais. 
 
a) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses sucos engarrafados? 
b) Quantos sucos engarrafados precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo? 
 
Resolução: 
 
a) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses sucos engarrafados? 
 
Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) = -5x2 + 100x -80, é uma função 
polinomial do 2º grau, percebemos que a = -5 < 0. 
 
Isso implica que a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada 
para baixo, tendo, portanto, um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da 
parábola. 
 
O lucro máximo da empresa será dado pelo Yv (coordenada y do vértice). 
 
Assim, teremos: 
 
 
 
Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$420,00. 
 
 
 
 
 
 3 
 
b) Quantos sucos engarrafados precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo? 
 
Solução: 
 
O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado 
pelo Xv (coordenada x do vértice). 
 
Teremos: 
 
 
Concluímos que a fábrica precisa vender 10 sucos engarrafados para obter o lucro 
máximo desejado (R$420,00). 
 
Exemplo 3: 
 
O número de sinistros registrados no período noturno (das 18h às 24h) em um dia do 
mês de janeiro, em uma determinada delegacia, é dado por: 
 
f(x) = – x² + 40x - 360 
 
Em que 18 ≤ x ≤ 24 é a hora desse dia. 
 
Qual o número máximo de ocorrências nesse período noturno? 
 
Resolução: 
 
Veja que a função quadrática f(x) = – x² + 40x – 360 representa uma parábola com a 
concavidade para baixo (a  0). 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
Assim sendo, o x que faz a função ser máxima é justamente o x do vértice, que pode 
ser calculado utilizando a fórmula abaixo: 
 
( 40)
20
2 2( 1)
V
b
x
a

    



 
 
Logo, x = 20 horas foi o momento de maior número de sinistros. 
 
Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular f(20): 
f(20) = – 20² + 40.20 – 216 = -400 + 800 – 360 = 40 ocorrências. 
 
Exemplo 4: 
 
Uma agência de turismo vende pacotes turísticos (transporte + hospedagem) com 
destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$2.000,00 por pessoa (total = 
R$80.000,00), mas, a cada possível desistente, cada um dos demais viajantes terão 
R$100,00 acrescidos. 
 
 
 
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Para que essa agência de turismo obtenha lucro máximo na venda desse pacote de 
viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a: 
 
Resolução: 
 
Observe que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por 
pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente. 
 
C(x) = x(2000 + 100(40 – x)) 
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x) 
C(x) = x(6000 – 100x) 
C(x) = 6000x – 100x² 
 
Temos uma função polinomial do 2° grau que representa uma parábola com a 
concavidade para baixo (a  0). 
 
 
Assim sendo, o x que faz a função ser máxima é justamente o x do vértice, que pode 
ser calculado utilizando a fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 6 
6000
30
2 2( 100)
V
b
x
a

    



 
 
Logo, o valor máximo ocorre quando x = 30 pessoas. 
 
Exemplo 5: 
 
(ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola 
em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. 
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 
23( ) 6
2
f x x x c   , onde c é a medida da altura do líquido contido na taça, em 
centímetros. 
 
Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o 
eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 7 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
Resolução: 
 
A função polinomial do 2° grau 
23( ) 6
2
f x x x c   apresenta duas raízes reais iguais, 
visto que seu gráfico corta o eixo x em um único ponto. 
 
A condição para que isso aconteça é que o discriminante (∆ = b2 – 4ac) dessa função 
polinomial do 2° grau seja igual à zero. 
 
Logo, ∆ = b2 – 4ac = (-6)2 - 4. 
3
2
.c = 36 – 6c = 0 c=6 (letra e).