CalculoII-EAD-UFPB

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Professor: Eduardo Gonçalves dos Santos 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL 
eduardo@mat.ufpb.br 
 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br 
Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br 
Site do curso www.mat.ufpb.br/ead 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
 
Ementa 
 
Derivadas e Integrais. 
 
Descrição 
 
Esta disciplina consiste de uma continuação do estudo das derivadas iniciado no curso de Cálculo 
Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentação ao conceito de integral. O programa da disciplina está 
dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivação, através de um 
aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitará a derivação de funções compostas, bem como de 
funções dadas na forma implícita e de funções inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicações da 
derivada, destacando-se aí aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma função no que se refere a 
máximos, mínimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de 
integral definida e primitiva, relacionando-os através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo. A quarta 
unidade faz um estudo sobre algumas técnicas para a determinação de primitivas. Na quinta unidade serão dadas 
algumas aplicações geométricas da integral definida, como o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos. 
Também durante a quarta unidade será feito um rápido estudo sobre o sistema de coordenadas polares. 
As idéias presentes neste curso são bastante antigas e sobre elas vários homens de ciência dedicaram boa 
parte de suas carreiras nos mais variados períodos da história da humanidade. Dentre eles, podemos citar 
Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis 
Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass. 
Esse ramo da Matemática, conhecido em um contexto mais avançado como Análise Matemática, 
despertou paixões, causou crises e, logicamente, promoveu o avanço do conhecimento humano. O seu estudo, 
além de enriquecedor no sentido da aquisição pura e simples do conhecimento, é útil e importante na formação 
do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligação entre conceitos de aspectos puramente teóricos a 
situações das mais variadas naturezas. 
 
Objetivos 
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a: 
� Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utilizá-la no cálculo de derivadas de funções 
dadas tanto na forma explícita quanto na forma implícita. 
� Compreender a interpretação dada à derivada de uma função como sendo uma velocidade e utilizá-la 
na resolução de diversos problemas. 
� Estudar o comportamento de uma função no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e 
comportamento no infinito. 
� Esboçar com rigor o gráfico das principais funções. 
� Compreender o significado da integral definida e relacioná-lo com o conceito de primitiva. 
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� Utilizar a integral definida para calcular áreas, volumes e comprimentos de arco em alguns casos. 
� Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 
 
Unidades Temáticas Integradas 
Unidade I Regras de Derivação 
• Derivada da função composta 
• Derivada de funções dadas na forma implícita 
• Derivada da função inversa 
• Derivadas de algumas funções inversas 
Unidade II Interpretando e Utilizando a Derivada 
• Taxas de variação 
• Crescimento e decrescimento 
• Máximos e mínimos locais 
• Máximos e mínimos globais 
• Concavidade e pontos de inflexão 
• Esboço de gráficos 
• O Teorema do valor médio 
Unidade III Integral Definida e Primitivas 
• Motivação inicial: o problema da área 
• Integral definida: definição e propriedades 
• Primitivas 
• O teorema fundamental do cálculo 
Unidade IV Algumas Técnicas para se Encontrar Primitivas 
• Integração por substituição 
• Integração por partes 
• Substituições trigonométricas 
• O método das frações parciais 
Unidade V Aplicações Geométricas da Integral Definida 
• Cálculo de áreas 
• O sistema de coordenadas polares 
• Comprimentos de arcos 
• Volumes de sólidos de revolução 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidade I: Regras de Derivação 
1. - Situando a Temática 
 
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I tivemos a oportunidade de definir e interpretar 
geometricamente um objeto bastante importante na matemática que é a derivada de uma função. Vimos que para 
obtê-la existem algumas regras que evitam o uso da definição e tornam seu cálculo bastante simplificado. Nesta 
unidade ampliaremos o estudo da Regra da Cadeia o que nos permitirá derivar uma quantidade considerável de 
funções. 
Além disso, utilizaremos a referida regra para obter a derivada de funções dadas na forma implícita e a 
derivada da inversa de algumas funções. 
 
2. - Problematizando a Temática 
 
As primeiras regras de derivação que foram estudadas em Cálculo Diferencial e Integral I não eram 
suficientes para derivar uma quantidade importante de funções como determinados tipos de funções compostas. 
Para tratar desse problema, tornou-se necessária a introdução de uma nova regra, conhecida como Regra da 
Cadeia. Aqui vamos explorar este tema de uma forma mais profunda. 
 
3. - Conhecendo a Temática 
 
3.1. - Derivada da Função Composta 
 
No curso de Matemática para o Ensino Básico II tomamos contato com uma situação que permitia obter 
uma nova função a partir de duas outras. Mais especificamente, dadas :f A B→ e :g B C→ funções, 
definimos a função :h A C→ pela fórmula ( ) ( )( )h x g f x= . A função h é chamada de função composta de 
g e f e denotada por .g fo Estamos interessados aqui em obter uma fórmula que forneça a derivada da função 
h a partir das derivadas de f e .g Com esse objetivo em mente vamos analisar o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 3.1.1. Considere a função ( ) ( )
2
2 3h x x= + e vamos tentar obter sua derivada. O nosso impulso 
inicial é desenvolver o quadrado do binômio. Fazendo isso ficamos com: 
 
( ) 24 12 9.h x x x= + + 
Agora usamos a regra de derivação de polinômios e vemos que: 
 
( )' 8 12.h x x= + 
Aqui há algo que simplificou bastante essa tarefa: o expoente do binômio é pequeno, o que permitiu que nós o 
desenvolvêssemos. Se o expoente fosse, por exemplo, 20, tal desenvolvimento, apesar de possível, seria bastante 
laborioso e o cálculo da derivada tornar-se-ia bastante penoso. Imagine o caso em que o expoente é 100. 
 
A situação discutida no Exemplo 3.1.1. nos mostra ser necessário o conhecimento de uma nova regra de 
derivação que permita derivar funções como aquela que lá foi discutida. Essa nova regra será chamada Regra da 
Cadeia pelo fato de que as derivadas serão executadas como num processo em cadeia, em seqüência. Vamos 
revisitar o Exemplo 3.1.1. a fim de que possamos ter uma pista acerca do funcionamento da dita regra. 
 
Exemplo 3.1.1 (Revisitado). Em primeiro lugar vamos encarar h como uma função composta. De fato, se 
fizermos ( ) 2g x x= e ( ) 2 3f x x= + então vemos que ( ) ( )( ).h x g f x= Agora perceba que: 
 
( ) ( )' 8 12 2 2 3 2.h x x x= + = × + × 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 68 
Mas veja que ( )' 2g x x= , ( )' 2f x = e ( )( ) ( )' 2 2 3 .g f x x= × + Portanto olhando para a expressão de 
( )'h x obtida antes vemos que: 
( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= × 
A conclusão obtida na nova visita que fizemos ao Exemplo 3.1.1. nos dá uma pista sobre o aspecto da Regra da 
Cadeia. Ela sugere que a derivada da função composta é obtida multiplicando as derivadas das funções 
envolvidas, mas com uma ressalva: nesse produto a derivada da função g está calculada no ponto ( )f x . Em 
termos mais precisos podemos enunciá-la assim. 
 
Regra da Cadeia:Se ( ) ( )( )h x g f x= e f e g são funções deriváveis então 
( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= × 
 
A demonstração da Regra da Cadeia ficará postergada para o curso de Introdução à Análise. Aqui vamos 
explorar o seu poder para derivar funções mais complexas. Veremos agora diversos exemplos. 
 
Exemplo 3.1.2. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a. ( ) ( )
2008
2 3h x x= + b. ( )
52
2
3 4
2 1
x x
h x
x
 +
=  
+ 
 c. ( )
2
2 1
5 3
x
h x
x
−
+ 
=  
+ 
 d. ( ) 3 23 5 6h x x x x= + + 
 
Vejamos a letra (a). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 3f x x= + e ( ) 2008.g x x= Como ( )' 2f x = e 
( ) 2007' 2008 ,g x x= segue pela regra da cadeia que: 
( ) ( ) ( )
2007 2007
' 2008 2 3 2 4016 2 3 .h x x x= + × = + 
 
Vejamos a letra (b). Aqui vamos precisar lembrar a regra de derivação do quociente. Em primeiro lugar temos 
( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( )
2
2
3 4
2 1
x x
f x
x
+
=
+
 e ( ) 5g x x= . Note que: 
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 22 2
2 1 6 4 3 4 4 6 4 8
'
2 1 2 1
x x x x x x x
f x
x x
+ + − + + −
= =
+ +
 
e que ( ) 4' 5 .g x x= 
 
Assim, pela regra da cadeia, podemos dizer que: 
( )
( )
( ) ( )
( )
44 2 22 2
2 62 2 2
5 3 4 6 4 83 4 6 4 8
' 5
2 1 2 1 2 1
x x x xx x x x
h x
x x x
+ + − + + −
= = 
+  + +
. 
 
Passemos à letra (c). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( )
2 1
5 3
x
f x
x
+
=
+
 e ( ) 2.g x x−= Agora note que 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 5 3 5 2 1 1
'
5 3 5 3
x x
f x
x x
+ − +
= =
+ +
 e que ( ) 3
2
'g x
x
−
= . Portanto 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 69 
( )
( )
( )
( )
3 2 3
2 5 32 1
'
2 1 5 3 2 1
5 3
x
h x
x x x
x
+
= − × = −
+ + + 
 
+ 
. 
Finalmente, vejamos a letra (d). Note que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( )g x x= e ( ) 3 23 5 6f x x x x= + + . 
Como ( )
1
'
2
g x
x
= e ( ) 2' 9 10 6f x x x= + + , temos que 
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
1 9 10 6
' 9 10 6
2 3 5 6 2 3 5 6
x x
h x x x
x x x x x x
+ +
= × + + =
+ + + +
. 
Exemplo 3.1.3. Na tabela abaixo, são dadas informações sobre as funções f e g : 
 
x ( )f x ( )'f x ( )g x ( )'g x 
-1 2 3 2 -3 
2 0 4 1 -5 
 
Vamos determinar o valor de ( )' 1h − , onde ( ) ( )( )h x f g x= . Observe que, pela regra da cadeia, temos que 
( ) ( )( ) ( )' ' ' ,h x f g x g x= × ou seja, quando fizermos 1,x = − vamos obter 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 ' 2 ' 1 4 3 12h f g g f g− = − × − = × − = × − = − . De forma análoga, podemos calcular 
( )' 1e − , onde ( ) ( )( ).e x g f x= Com efeito, pela regra da cadeia, temos que ( ) ( )( ) ( )' ' ' ,e x g f x f x= × ou 
seja, ( ) ( )( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 5 3 15.e g f f− = − × − = − × = − 
 
Exemplo 3.1.4. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a. ( ) ( )( )( )cosf x sen tg x= b. ( ) ( )( )2cos ln 1g x x= + 
 
Observe que nesses dois exemplos há uma composição de mais de duas funções. Nesse caso, como em outros 
desse tipo, usamos uma interpretação muito útil e que simplifica bastante o uso da Regra da Cadeia. Se 
observarmos, em todos os exemplos até agora vistos, a regra da cadeia funciona assim: 
 
Começamos derivando a função mais externa, sem mexer naquela que está “dentro” dela e multiplicamos essa 
derivada pela derivada daquela que está “dentro”. Enquanto houver funções “dentro”, continuamos derivando, 
até chegarmos à variável independente. 
 
Vamos ver como funciona isso nesse caso. A função mais externa é o seno, em seguida vem o co-seno e por 
último vem a tangente. Seguindo a interpretação dada, primeiro derivamos o seno, sem mexer no que está dentro 
dele. Fazendo isso, obtemos ( )( )( )cos cos tg x . Em seguida, multiplicamos essa derivada pela derivada da 
próxima função, sem derivar quem está dentro dela. Fazendo isso, obtemos 
( )( )( ) ( )( )( )cos cos .tg x sen tg x× − Finalmente, derivamos a última função e obtemos: 
 
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )2 2' cos cos sec cos cos sec .f x tg x sen tg x x tg x sen tg x x= × − × = − 
 
Vejamos agora a letra (b). A função mais externa é o co-seno, seguida do logaritmo e por último a função 
quadrática. Repetindo o argumento anterior, ficamos com: 
Aniely
Realce
 70 
 
( ) ( )( )
( )( )22
2 2
2 ln 11
' ln 1 2 .
1 1
xsen x
g x sen x x
x x
− +
= − + × × =
+ +
 
 
Ampliando o seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. - Derivadas de funções dadas na forma implícita 
 
Na linguagem quotidiana a palavra implícita diz respeito a algo que não está dito de modo claro, 
evidente. Em matemática o significado é bastante semelhante. Para entendermos isso basta olharmos para as 
funções com as quais temos lidado até agora. Quando dizemos seja ( )y f x= uma função de x, fica claro, 
explícito a maneira de associar um único y para cada x atribuído. Entretanto, nem sempre as coisas acontecem 
assim. Em determinados contextos, nos é dada uma expressão envolvendo x e y e pergunta-se: em que condições 
essa expressão nos permite explicitar y como função de x, ou o contrário? A resposta não é simples e não 
trataremos desta questão aqui. O nosso principal interesse é o seguinte: Dada uma expressão envolvendo x e y, e 
supondo que essa expressão nos permita explicitar y como função de x, como fazer para encontrar a derivada de 
y com relação a x? Antes de prosseguirmos, convém adotarmos uma notação. Nesta seção a derivada de y com 
relação a x será denotada por y’. Vejamos através de alguns exemplos, como proceder para atingirmos nosso 
objetivo. 
 
 
A segunda será aquela que nós utilizaremos com mais freqüência. Derivamos diretamente a expressão, sempre 
lembrando que é possível explicitar y como função de x. Fazendo isso, teremos: 
 
( )
'
0xy = , 
uma vez que a derivada da função constante é zero. Usando a regra do produto, ficaremos com: 
 
' ' 0x y xy+ = . 
como a derivada de x com relação a x é 1, temos que essa última igualdade toma o seguinte aspecto: 
' 0,y xy+ = 
ou ainda, 
' .
y
y
x
−
= 
Leia com atenção os exemplos acima. Não deixe de compreender nenhuma passagem. Na plataforma 
MOODLE vamos disponibilizar mais exemplos resolvidos para que você fique bastante familiarizado 
com a regra da cadeia. Não deixe de visitar o nosso ambiente virtual. 
Exemplo 3.2.1. Vamos olhar para a expressão 1xy = cujo 
gráfico no plano cartesiano é uma curva chamada hipérbole que 
está desenhada ao lado. Observe que, neste caso, a expressão 
tanto fornece y como função de x como o contrário. Se 
quiséssemos encontrar y’ poderíamos proceder de duas maneiras. 
A primeira é expressar diretamente y como função de x usando a 
equação, o que resulta em: 
1
y
x
= , 
que, quando derivada, nos fornece 
2
1
'y
x
= − . 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 71 
Notemos que se substituirmos y por 
1
,
x
 obteremos nessa última expressão 
2
1
'y
x
= − , ou seja, o mesmo que 
encontramos anteriormente. Agora um comentário sobre este exemplo: ele é muito especial, pois a expressão nos 
permite tirar y como função de x e o contrário. Agora vamos ver um exemplo onde não podemos fazer isso. 
 
Exemplo 3.2.2. Supondo que a expressão 4 3 3 60x y xy− = defina implicitamente y como função de x, vamos 
encontrar y’. Usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar ambos os membros da igualdade com 
relação a x, ficaremos com: 
 
( )3 3 2 44 3 ' 3 ' 0x y y y x y xy+ − + = . 
Agora isolando y’ ficamos com 
3 3
2 4
3 4
'
3 3
y x y
y
y x x
−
=
−
. 
 
Perceba uma diferença entre este exemplo e o anterior. No primeiro, y’ ficou apenas em função de x, enquanto 
que no segundo, y’ ficou em função tanto de y como de x. Isso aconteceu porque no primeiro exemplo pudemos 
explicitar y como função de x, enquanto que no segundo isso não foi possível. 
 
Lembre que, no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, foi visto que a derivada de uma função f no ponto 
( )( ),a f a é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico daquela função naquele ponto. Portanto, quando 
calculamos a derivaday’ de uma função definida implicitamente por uma expressão envolvendo x e y o que 
estamos encontrando é o coeficiente angular da reta tangente àquela curva - já que no plano cartesiano a 
expressão é representada por uma curva - num dado ponto. Vamos ver dois exemplos sobre isso. 
 
 
Isolando o termo y’, ficaremos com: 
2 2
2 2
6 3 2
'
3 6 2
y x y x
y
y x y x
− −
= =
− −
, 
 
Agora fazendo x=3 e y=3, encontraremos ' 1.y = − Portanto, a equação da reta tangente ao Fólium de Descartes 
no ponto ( )3,3 será dada por: 
 
3
1
3
y
x
−
= −
−
, 
ou seja, 3 3 ,y x− = − ou ainda, 6.x y+ = Veja que na figura acima a reta possui coeficiente angular negativo, o 
que se confirma no coeficiente por nós encontrado. 
 
Exemplo 3.2.3. Usando a técnica da derivação implícita, vamos 
encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva 
3 3 6x y xy+ = no ponto ( )3,3 . Ao lado está mostrado o esboço 
de um pedaço dessa curva, conhecida como Fólium de Descartes. 
Observe que para encontrarmos a equação da reta pedida, 
devemos primeiro encontrar o seu coeficiente angular que será 
dado por y’, calculado em ( )3,3 . Derivando a equação da curva 
com respeito a x, ficamos com: 
( )2 23 3 ' 6 ' .x y y y xy+ = + 
Aniely
Realce
 72 
 
Exemplo 3.2.4. Vamos determinar os pontos da curva 2 2 3,x xy y− + = onde a reta tangente é horizontal. A 
curva dada representa uma elipse com eixos não paralelos aos eixos cartesianos. Para encontrarmos os pontos 
pedidos, devemos derivar a equação implicitamente com relação a x e encontrarmos os pontos onde ' 0.y = 
Fazendo isso, obtemos: 
 
( )2 ' 2 ' 0.x y xy yy− + + = 
Isolando ',y ficamos com: 
 
2
'
2
y x
y
y x
−
=
−
. 
 
 
 
Ampliando o seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. - Derivada da função inversa 
A regra da cadeia vista anteriormente nos serve para encontrar a derivada da inversa de uma função. 
Vamos recordar a seguinte definição 
Uma função :f A B→ é dita invertível se existir uma outra função :g B A→ de modo que ( )( ) ,g f x x= 
para todo x A∈ e ( )( ) ,f g x x= para todo .x B∈ 
 
Em termos mais concretos, a função f é invertível, se existir uma outra função g que desfaça o que ela 
faz. Perceba que se f é invertível então a g que desfaz o que ela faz também é invertível, pois f desfaz o que g 
faz! Chamamos a função g de inversa da função f. Pela discussão precedente, a função f será chamada de inversa 
da função g. 
Exemplo 3.3.1. A função :f R R→ dada por ( ) 3f x x= é invertível, pois a função ( )
1
3g x x= satisfaz 
( )( ) ,g f x x= para todo x R∈ e ( )( ) ,f g x x= para todo x R∈ . 
Existe um critério bastante interessante que nos permite dizer se uma dada expressão da forma 
( ), 0F x y = define y como função de x ou o contrário. Esse resultado é conhecido como Teorema 
da Função Implícita e é um dos principais resultados da disciplina chamada Análise Matemática. 
Nos pontos que queremos determinar vale .0'=y Portanto, 
.2xy = Substituindo na equação da curva, teremos: 
 
( ) ( ) ,322 22 =+− xxxx 
 
ou seja, 33 2 =x o que nos fornece 12 =x e, portanto, 1=x ou 
1−=x . Assim, substituindo em ,2xy = ficaremos com dois 
valores, 2=y ou 2−=y e daí os pontos serão ( )2,1 e ( )2,1 −− . 
Veja a figura ao lado. 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 73 
Nosso interesse agora é obter uma fórmula para o cálculo da derivada da função inversa. Seja então 
:f A B→ uma função invertível, onde A e B são subconjuntos de R..Derivando a igualdade 
( )( ) ,f g x x= ficaremos com 
( )( )( ) ' 1,f g x = 
Usando a Regra da Cadeia, esta igualdade transforma-se em: 
 
( )( ) ( )' ' 1,f g x g x× = 
ou seja, ( )
( )( )
1
' .
'
g x
f g x
= para todo x onde essa fração fizer sentido. Podemos então enunciar o seguinte 
fato: 
 
Fórmula para a derivada da função inversa: 
Se :f A B→ é uma função invertível, onde A e B são subconjuntos de R e :g B A→ é a sua inversa, então 
( )
( )( )
1
' .
'
g x
f g x
= 
onde essa fração fizer sentido 
 
Vamos discutir alguns exemplos. 
Exemplo 3.3.2. Considere a função ( ) 32 5 3f x x x= + + . Podemos mostrar que f é invertível. Não faremos isso 
aqui. Vamos explorar outro aspecto. Chamando a inversa de f de g, podemos calcular ( )' 3 .g Usando a fórmula 
para a derivada da função inversa, temos que: 
( )
( )( )
1
' 3 .
' 3
g
f g
= 
Sabemos que ( ) 2' 6 5,f x x= + mas não conhecemos o valor de ( )3 .g Mas veja que se fizermos ( )3g a= e 
levarmos em conta que g é a inversa de f, teremos que ( ) 3.f a = Como o único número cujo f é 3 é 0, segue que 
a=0. Portanto, usando a fórmula anterior, temos 
( )
( )( ) ( ) 2
1 1 1 1
' 3
' 0 6 0 5 5' 3
g
ff g
= = = =
× +
. 
Exemplo 3.3.3. Considere a função ( ) 3 2f x x= + . Observe que a função inversa de f é ( ) 3 2g x x= − . 
Vamos calcular ( )' 10g de duas maneiras: primeiro derivando g diretamente e segundo utilizando a fórmula 
para a derivada da função inversa. Derivando g, obtemos: 
( ) ( )
2
3
1
' 2 .
3
g x x
−
= − 
Portanto, ( ) ( )
2
3
1 1
' 10 8
3 12
g
−
= = . Agora vamos obter esse mesmo resultado usando a fórmula para a derivada 
da função inversa. A dita fórmula nos diz que 
( )
( )( )
1
' 10 .
' 10
g
f g
= 
 
Observe que ( ) 2' 3f x x= e ( )10 2g = , portanto ( )
( ) 2
1 1 1
' 10 .
' 2 3 2 12
g
f
= = =
×
 
 
Aniely
Realce
 74 
3.4. - Derivadas de algumas funções inversas 
 
Vamos utilizar os conhecimentos adquiridos nos parágrafos anteriores para obtermos a derivada de 
algumas funções inversas muito importantes. 
 
3.4.1. - Função Logarítmica 
 
 A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Mais precisamente, seja ( ) xf x e= a função 
exponencial de base e. A inversa de f é a função ( ) ( )ln .g x x= Sabemos do curso de Cálculo I que a derivada 
de f é dada por ( )' xf x e= . Usando a fórmula para a derivada da inversa temos que 
( )
( )( ) ( )ln
1 1 1
'
' x
g x
xf g x e
= = = , ou seja, 
 
( )( )
' 1
ln ,x
x
= para todo 0.x > 
 
Exemplo 3.4.1.1. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a. ( ) ( )2ln 1f x x= + b. ( ) ( )2ln 1 xf x e= + 
Observe que, na letra (a), ( ) ( )( ) ,f x m n x= onde ( ) ( )lnm x x= e ( ) 2 1.n x x= + Assim, usando a Regra da 
Cadeia, ficaremos com: 
( ) ( )( ) ( ) 2 2
1 2
' ' ' 2
1 1
x
f x m n x n x x
x x
= × = × =
+ +
. 
No caso da letra (b), a função mais externa é ( )ln .x Vamos derivá-la, sem mexer no que está dentro dela, que no 
nosso caso é 
2
1 xe+ . Feito isso obtemos 2
1
1 xe+
. Em seguida, multiplicamos esse resultado pela derivada da 
função que estava dentro. Só que essa também possui uma dentro de si. Assim, repetimos o mesmo processo de 
antes. Quando fizermos esse produto ficaremos com 
2
2
1
1
x
x
e
e
×
+
. Agora multiplicamos esse resultado pela 
derivada da função que estava dentro de 1 xe+ que era 2x . Feito isso ficaremos com: 
( )
2
2
2 2
1 2
' 2 .
1 1
x
x
x x
xe
f x e x
e e
= × × =
+ +
 
 
3.4.2. - Função arco seno 
 
 A função ( ) ( )f x sen x= possui como domínio o conjunto dos números reais, conforme aprendemos 
no curso de Matemática para o ensino básico II, e imagem o intervalo fechado [ ]1,1 .− Entretanto ela não é 
invertível pelo fato de não ser injetora. Esse impedimento será contornado agora a fim de possibilitar que esta 
função, bem como as outras funções trigonométricas, possua 
inversa. O nosso procedimento aqui parecerá arbitrário e até 
mesmo artificial numa primeira olhada, mas, em alguns 
casos, os fins justificam os meios. A nossa estratégia será 
diminuir o domínio da função f a fim de que, neste novo 
domínio, ela passe a ser invertível. Observe o gráfico ao lado: 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 75 
Vamos tomar a função seno definida apenas no intervalo fechado ,
2 2
π π 
−  
 e tomando valores em [ ]1,1− . 
Agora definiremos uma função [ ]: 1,1 ,
2 2
g
π π 
− → −  
 da seguinte maneira: 
 
Dado [ ]1,1,x ∈ − ( )g x é definido como o único ,
2 2
y
π π 
∈ −  
 tal que ( ) .sen y x= 
 
 Perceba algo de muito interessante com a função g: a sua definição foi construída de propósito, para que 
ela fosse a inversa de f. A função g definida acima será chamada de função arco seno e representada assim 
( ) ( ).g x arcsen x= Antes de passarmos para o cálculo da derivada da função arco seno, vamos ver um 
exemplo. 
Exemplo 3.4.2.1. Vamos calcular ( )0arcsen . Quem é ele? É o único ,
2 2
y
π π 
∈ −  
 tal que ( ) 0.sen y = Esse 
y é justamente 0. Portanto, ( )0 0.arcsen = Calculemos agora ( )1 .arcsen Ele é o único ,
2 2
y
π π 
∈ −  
 tal que 
( ) 1.sen y = Mas 1.
2
sen
π 
= 
 
 Logo ( )1 .
2
arcsen
π
= 
Passaremos agora ao cálculo da derivada de ( ) ( ).g x arcsen x= Se fizermos ( ) ,arcsen x y= então teremos 
( )sen y x= e, como conseqüência da identidade ( ) ( )2 2cos 1,sen y y+ = teremos ( ) 2cos 1y x= − que é 
positivo, pois ,
2 2
y
π π 
∈ −  
. Utilizando a fórmula para a derivada da função inversa com ( ) ( )f x sen x= e 
( ) ( )g x arcsen x= bem como o fato de que a derivada da função seno é a função co-seno, teremos que 
( )( )
( )( ) 2
1 1 1
'
coscos 1
arcsen x
yarcsen x x
= = =
−
. 
 
Como essa expressão só faz sentido se ( )1,1 ,x ∈ − segue que a derivada da função arco seno só existe nesse 
intervalo. Resumindo nossa discussão, destacamos: 
 
( )( )
'
2
1
1
arcsen x
x
=
−
, com ( )1,1 ,x ∈ − 
 
Exemplo 3.4.2.2. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a. ( ) ( )3f x arcsen x= b. ( ) ( )2 2m x arcsen x= 
 
Comecemos pela letra (a). Observe que ( ) ( )( )f x g h x= , onde ( ) ( )g x arcsen x= e ( ) 3 .h x x= Portanto, 
pela Regra da Cadeia temos que: 
( ) ( )( ) ( )
( )
2 2
1 3
' ' ' 3
1 91 3
f x g h x h x
xx
= × = × =
−−
 
Vejamos agora a letra (b). Em primeiro lugar derivamos a função mais de externa, que é 2x sem mexermos na 
que está dentro. Feito isso obteremos ( )( )2 2arcsen x . Em seguida multiplicamos esse resultado pela derivada 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 76 
da próxima função, que no caso é ( )arcsen x , mas sem mexer no que está dentro dela. Assim procedendo 
obteremos ( )( )
( )
2
1
2 2 .
1 2
arcsen x
x−
Para finalizar, multiplicamos esse resultado pela derivada da próxima 
função que é 2x e obteremos: 
( ) ( )( )
( )
2
1
' 2 2 2
1 2
f x arcsen x
x
= × ×
−
 
Portanto: 
( )
( )
2
4 2
' .
1 4
arcsen x
f x
x
=
−
 
 
3.4.3. - Função arco tangente 
 
 A função ( ) ( )f x tg x= possui como domínio o 
conjunto dos números reais diferentes de 
2
π
, 
3
2
π
, bem 
como de seus múltiplos e imagem o conjunto dos números 
reais. Ela, assim como a função seno, não é invertível. A 
nossa missão aqui é a mesma do item anterior, ou seja, 
reduzir convenientemente o seu domínio a fim de que ela 
passe a ter inversa e, depois, encontrar a derivada dessa 
inversa. Observe o gráfico mostrado ao lado: 
 
Se tomarmos ( ) ( )f x tg x= definida apenas no intervalo ,
2 2
π π 
− 
 
 tomando valores em R, podemos definir a 
função : ,
2 2
g R
π π 
→ − 
 
 da seguinte maneira: 
 
Dado x R∈ , ( )g x é definido como o único ,
2 2
y
π π 
∈ − 
 
 tal que ( ) .tg y x= 
 
Essa função, pela sua própria construção, é a inversa de f. Ela será chamada de função arco tangente e será 
representada por ( ) ( ).g x arctg x= Vamos ver um exemplo. 
Exemplo 3.4.3.1. Vamos calcular ( )3arctg . Ele é o único ,
2 2
y
π π 
∈ − 
 
 tal que ( ) 3tg y = . A 
Trigonometria nos ensina que esse y é .
3
π
Portanto ( )3 .
3
arctg
π
= 
Vamos agora efetuar o cálculo da derivada de ( ) ( ).g x arctg x= Se fizermos ( )y arctg x= , teremos 
( )tg y x= e, conseqüentemente, ( )2 2sec 1 .y x= + Utilizando agora a fórmula da derivada da função inversa e 
lembrando que a derivada da tangente é a secante ao quadrado, teremos 
 
( )( )
( )( ) ( )2 22
1 1 1
' .
sec 1sec
arctg x
y xarctg x
= = =
+
 
 
 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 77 
Como essa expressão faz sentido para qualquer ,x R∈ segue que a função arco tangente é derivável em todo o 
conjunto dos números reais. Assim, podemos destacar: 
 
( )( ) 2
1
' ,
1
arctg x
x
=
+
para todo .x R∈ 
 
Exemplo 3.4.3.2. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a. ( ) ( )21f x arctg x= − b. ( ) ( )( )2 cosg x x arctg x= 
 
Comecemos pela letra (a). Derivando a função mais externa, sem mexer naquela que está dentro, obtemos 
( )
2 2 42
1 1
2 21 1 x xx
=
− ++ −
 . Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da que está dentro. Fazendo 
isso, ficamos com: 
( ) ( )2 4 2 4
1 2
' 2
2 2 2 2
x
f x x
x x x x
−
= × − =
− + − +
 
 
Vejamos agora a letra (b). Aqui primeiro vamos usar a regra do produto. Fazendo isso, obtemos: 
( ) ( )( ) ( )( )( )2' 2 cos cos 'g x xarctg x x arctg x= + 
Falta agora calcular ( )( )( )cos '.arctg x Agora é que entra em ação a regra da cadeia. Derivando a função mais 
externa, obtemos 
( )2
1
.
1 cos x+
 Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da função que está dentro. 
Fazendo isso, ficamos com: 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
( )( )2 2 2
1
' 2 cos cos ' 2 cos .
1 cos
g x xarctg x x arctg x xarctg x x sen x
x
= + = + −
+
 
 
3.4.4. - Função arco secante 
 
 A função ( ) ( )secf x x= possui o mesmo domínio 
da função tangente e sua imagem é o conjunto dos números 
reais cujo módulo é maior que ou igual a um. Como as duas 
funções precedentes ela também não é invertível. Observe o 
seu gráfico mostrado ao lado. 
 
Observe que, a despeito de terem o mesmo domínio, não usaremos o mesmo intervalo que o da tangente 
para inverter a função secante. Isso porque, no intervalo onde invertemos a tangente, a função secante não é 
injetora, não podendo ser, portanto, invertível. A solução é considerar a união dos intervalos 0,
2
π 
 
 e , .
2
π
π
 
  
 
Se considerarmos ( ) ( )secf x x= definida apenas nessa união, podemos definir a função 
{ }: | 1 0, ,
2 2
g x R x
π π
π
   
∈ ≥ → ∪     
 da seguinte maneira: 
 
Dado { }| 1 ,x x R x∈ ∈ ≥ ( )g x é definido como o único 0, ,
2 2
y
π π
π
   
∈ ∪     
 tal que ( )sec .y x= 
 
 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 78 
A função g, pela sua própria construção é a inversa de f, será chamada de função arco secante e será representada 
por ( ) ( )sec .g x arc x= Vejamos um exemplo. 
Exemplo 3.4.4.1. Vamos calcular ( )sec 1 .arc Ele é o único 0, ,
2 2
y
π π
π
   
∈ ∪     
 tal que ( )sec 1.y = Como 
( )
( )
1
sec ,
cos
y
y
= para que ( )sec 1,y = devemos ter ( )cos 1.y = Mas em 0, ,
2 2
π π
π
   
∪     
 o único y que 
possui essa característica é 0,y = o que nos mostra que ( )sec 1 0.arc = 
 
Vamos agora calcular a derivada de ( ) ( )sec .g x arc x= Se fizermos ( )sec ,y arc x= teremos que 
( )sec y x= e, portanto, ( )
1
cos .y
x
= Usando a identidade ( ) ( )2 2cos 1,sen y y+ = obtemos 
( )
2
2
1
.
x
sen y
x
−
= Agora utilizando a fórmula para a derivada da função inversa e o fato de que 
( )( )
( )
( )2
sec ' ,
cos
sen y
y
y
= vamos ficar com: 
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )
( )
2
2
'' 2 2 2 2
1
cos1 1 1
sec ' .
secsec sec 1 1 1
y xxarc x
sen yyarc x x x x x x
x
= = = = = =
− − −
 
Como a expressão acima só faz sentido se 1,x > segue que a função arco secante só é derivável no conjunto 
{ }| 1 .x R x∈ > Assim podemos destacar 
 
( )( )
2
1
sec ' ,
1
arc x
x x
=
−
para todo { }| 1 ,x x R x∈ ∈ ≥ 
 
Veremos agora alguns exemplos sobre as derivadas vistas acima. 
 
Exemplo 3.4.4.2. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a. ( ) ( )( )sec lnf x arc x= b. ( ) ( )secxarc xg x e= 
 
Comecemos pela letra (a). Usando a regra da cadeia temos 
 
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 1 1
' .
ln ln 1 ln ln 1
f x
x
x x x x x
= × =
− −
 
 
Agora a letra (b). Usando a regra da cadeia temos 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )2sec sec
2 21 sec1
' sec
1 1
xarc x xarc x x x arc x x
g x e arc x x e
x x x x
   − +
  = + ⋅ =
   − −   
. 
 
 
 79 
 
 
 
 
 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
4. Avaliando o que foi construído 
 
 Nesta unidade você ampliou seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e pode perceber a sua potência 
tanto para derivar funções dadas na forma explícita, quanto funções dadas na forma implícita, bem como no 
cálculo da derivada de algumas inversas. O que vimos aqui é muito importante para a próxima unidade. 
 
 
 No Moodle.. . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Podemos demonstrar fórmulas análogas para a derivada de outras funções trigonométricas 
inversas. 
Visite o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial II na plataforma MOODLE, onde você terá a 
oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos 
estudos e, portanto, devemos caminhar juntos no curso. Aguardo você no MOODLE! 
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas 
sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a 
orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte 
conosco. 
 80 
Unidade II: Interpretando e Utilizando a Derivada 
1. - Situando a Temática 
O que faz da derivada um objeto tão importante na Matemática é, dentre outras coisas, a possibilidade de 
que, através dela, podemos obter informações muito valiosas acerca do comportamento de uma dada função. O 
conhecimento da derivada de uma função nos permite descobrir seus pontos de máximo e mínimo locais, em 
alguns casos até os globais, aspectos ligados à sua concavidade, dentre outros. Por outro lado, graças à sua 
interpretação como velocidade, podemos ter idéia de como grandezas que se relacionam entre si de forma 
explícita e, até mesmo de forma implícita, se comportam uma em relação à outra. 
2. - Problematizando a Temática 
Os problemas de máximo e mínimo estão entre os mais belos e antigos da Matemática. Determinar os 
pontos de máximo e mínimo de uma função com a ajuda das suas derivadas é uma tarefa que envolve um 
raciocínio simples, elegante e, acima de tudo, útil. Traçar o gráfico de uma função com rigor é uma tarefa que, 
para nós, até então, só está perfeitamente justificada para o caso das funções do primeiro grau. Como justificar, 
por exemplo, que a parábola tem aquela aparência ou porque outros gráficos têm este ou aquele jeito? Com o 
auxílio da derivada poderemos responder a estas e a outras interessantes questões acerca do comportamento de 
uma função de uma maneira bastante satisfatória. 
3. - Conhecendo a Temática 
 
3.1. - Taxas de variação 
 
Uma das interpretações mais importantes da derivada diz respeito a como uma grandeza varia em função 
de uma outra. Sendo mais específicos, poderíamos perguntar: se y é função de x podemos dizer o que ocorre com 
y quando x aumenta ou diminui? com que rapidez y cresce ou decresce quando x cresce ou decresce? Essas 
perguntas nos enviam a uma das mais importantes interpretações que a derivada possui que é a de Velocidade. A 
princípio associamos velocidade quando estamos diante do movimento de um carro, um avião, ou outro tipo de 
veículo. Vamos ver agora que o conceito de velocidade se expande um pouco mais. Começaremos com um 
exemplo: imagine que um veículo desloca-se por uma estrada e sua posição em um determinado instante é dada 
pela seguinte função ( ) 22 4 8 ,S t t t= + + onde t é dado em segundos e S é dado em metros. Um conceito que 
surge, particularmente na Física, é o de Velocidade Média. Dados dois tempos 1t e 2t , com 1 2t t< , definimos a 
velocidade média do móvel entre 1t e 2t , como sendo: 
( ) ( )2 1
2 1
.m
S t S t
V
t t
−
=
−
 
 
Essa nova grandeza nos diz de que forma a posição do móvel variou entre 1t e 2t . Se, por exemplo, 
1 2t = e 2 4t = , então: 
( ) ( ) ( ) ( )2 1
2 1
4 2 146 42
. 52 /
4 2 2m
S t S t S S
V m s
t t
− − −
= = = =
− −
. 
 
O que nos diz esse número? Ele diz que nesse intervalo de tempo, o móvel percorreu, em média, 52 metros a 
cada segundo. Entretanto, ele não nos diz, por exemplo, se o móvel parou em algum instante ou se deu marcha ré 
em algum instante, dentre outras possibilidades. Portanto, é um conceito que não oferece muito em termos de 
informação quantitativa do movimento do veículo. Para termos um conceito que nos informe um pouco mais 
sobre o movimento do veículo, precisamos de um conceito mais fino, que é o de Velocidade Instantânea. 
Imagine que queiramos saber quanto vale a velocidade do móvel no instante 2.t = Primeiro vamos tentar 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Sublinhado
Aniely
Sublinhado
 81 
construir o que significa a expressão velocidade num determinado instante. Imaginemos que o instante 2t = 
está fixo. A velocidade média entre 2t = e um instante 2t > é dada por: 
 
( ) ( ) 2 22 2 4 8 42 8 4 40
2 2 2m
S t S t t t t
V
t t t
− + + − + −
= = =
− − −
. 
 
Se fizermos esse instante t se aproximar cada vez mais de 2, essa velocidade média será calculada em um 
intervalo de tempo cada vez menor, [ ]2, t . Em virtude disso, é razoável definirmos a Velocidade Instantânea em 
2t = como sendo: 
 
( )( )
( )
( )
2
2 2 22
8 20 28 4 40
lim lim lim lim 8 20 36
2 2m t t tt
t tt t
V t
t t→ → →→
+ −+ −
= = = + =
− −
. 
 
O que nos diz esse número? Ele diz que se de repente o móvel passasse a se mover exatamente como está em 
2t = ele percorreria 2 metros a cada segundo. Outro fato importante nessa forma de pensar a velocidade 
instantânea é que ela é dada pela derivada da função ( )S t calculada no instante 2t = . De fato, veja que 
( )' 16 4S t t= + e daí ( )' 2 16 2 4 36.S = × + = 
Na discussão acima, as grandezas S e t tiveram um papel apenas ilustrativo. Na realidade se uma 
grandeza y é função de uma outra x, podemos definir a Velocidade Média ou, como é mais comum, a Taxa de 
variação média de y com relação a x, quando x varia de 1x até 2x como sendo: 
( ) ( )2 1
2 1
y x y x
y
x x
−
=
−
. 
 
Também podemos definir a Velocidade instantânea ou, como é mais comum, a Taxa de variação 
instantânea de y com relação a x, quando 1x x= , como sendo ( )1' .y x Portanto, quando calculamos uma 
derivada, podemos interpretá-la como uma velocidade. Vamos ver alguns exemplos dessa situação. 
 
Exemplo 3.1.1. Suponhamos que um petroleiro esteja com um vazamento de óleo no mar e que a mancha de 
óleo formada tenha um formato circular. Com o passar do tempo tanto a área A da mancha, bem como o seu raio 
r, muda com relação ao tempo. Vamos avaliar como variam. Digamos que a velocidade de crescimento da área A 
seja constante e igual a 10000 2 /m hora . Queremos determinar a velocidade de crescimento do raio r quando 
ele for igual a 20 m. Observe que a área A e o raio r relacionam-se através da fórmula: 2.A rπ= Sabemos que 
tanto A como r são funções do tempo t. O dado que temos é que 210000 /
dA
m hora
dt
= e r=20 m. Derivando a 
fórmula que dá a área em função do raio, levando em conta que, tanto A como r são funções implícitas de t, 
teremos: 
2 ,
dA dr
r
dt dt
π= 
 
donde concluímos, substituindo os valores de 
dA
dt
 e r ,que 
10000
79,61
40
dr
dt π
= ≈ m/hora. 
 
Exemplo 3.1.2. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número 
de pessoas atingidas pela referida moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da 
epidemia) é dado, aproximadamente, por ( )
3
64 .
3
t
n t t= − Observe que 264
dn
t
dt
= − . Como a derivada de n 
com relação a t mede a velocidade do número de casos em relação ao tempo, temos que se essa derivada for 
Aniely
Realce
Aniely
Realce
Aniely
Realce
 82 
positiva, o referido número de casos está aumentando, ao passo que se ela fornegativa, então esse número de 
casos está diminuindo. Como 0,t ≥ temos que 0
dn
dt
≥ apenas quando 0 8,t≤ ≤ ou seja, até o oitavo dia a 
epidemia cresceu. Do oitavo dia em diante a epidemia arrefeceu, pois, a partir desse dia, 0.
dn
dt
< 
 
Exemplo 3.1.3. Um tanque de água em forma de um cone circular reto invertido está sendo esvaziado a uma 
taxa de 32 /m h . O raio da base do cone é 5 m e a sua altura é 14 m. Determine: 
 
a) A taxa de variação da altura da água, quando a mesma for 6 m. 
b) A taxa de variação do raio do topo da água quando a altura da mesma for 6 m. 
 
Dela podemos concluir que 
5 14
,
r h
= ou seja, 
5
14
h
r = . Portanto, substituindo esse valor de r na fórmula de V, 
ficaremos com: 
2 3
21 1 5 25 .
3 3 14 588
h h
V r h h
π
π π
 
= = = 
 
 
 
Derivando essa última igualdade com relação a t, ficaremos com: 
 
275
.
588
dV h dh
dt dt
π
= × 
 
Substituindo os valores dados, obtemos: 
 
5400
2 ,
588
dh
dt
π
− = × 
donde concluímos que: 
1176
0,07 /
16956
dh
m h
dt
≈ − ≈ − . 
 
Note que o valor que encontramos é negativo, o que corrobora com o fato de que a altura está diminuindo com 
relação ao tempo. Agora vamos à letra (b). O que queremos encontrar é 
dr
dt
 quando 6h = m. O procedimento 
Vejamos a letra (a). Sabemos que o volume de um cone circular reto 
é dado por: 
21 ,
3
V r hπ= 
onde r é o raio de sua base e h é a sua altura. Queremos encontrar 
dh
dt
quando 6h = m. Na fórmula que dá o volume em função de r e 
h, precisaremos explicitar r em função de h. Para isso, vamos usar 
semelhança de triângulos. Veja a figura ao lado. Dela podemos 
concluir que 
5 14
,
r h
= ou seja, 
5
14
h
r = . 
 
 83 
aqui é semelhante ao que foi feito na letra (a). A mesma semelhança de triângulos obtida na letra (a) nos permite 
dizer que 
14
.
5
r
h = Quando 6h = , temos que 
30
.
14
r = Substituindo o valor de h na fórmula de V vamos obter: 
3
2 21 1 14 14 .
3 3 5 15
r r
V r h r
π
π π
 
= = = 
 
 
 
Derivando essa igualdade com relação a t, obteremos: 
 
214
5
dV r dr
dt dt
π
= × . 
Substituindo os valores dados, obteremos: 
 
3150
2
245
dr
dt
π
− = × 
ou seja, 0,05 /
dr
m h
dt
≈ − . Observe que a taxa de variação do raio com respeito ao tempo é negativa pelo fato de 
que ele está diminuindo com o passar do tempo. 
 
Veremos agora alguns problemas envolvendo taxas de variação um pouco diferentes dos exemplos 
acima. Nos exemplos que seguem, não há uma forma explícita que nos permita obter uma variável em função da 
outra. Mas isso não será problema, pois basta usarmos a técnica da derivação implícita. Problemas desse tipo 
costumam ser chamados de problemas de Taxas Relacionadas. 
 
Exemplo 3.1.4. Sales e Joaquim estão fazendo um passeio aéreo usando um balão de ar quente. O balão sobe a 
uma taxa de 3 /m s . Passados 15 segundos, Lenimar lembra-se de que eles não levaram um rádio para contato. 
Lenimar, que havia estacionado seu carro a 50m do ponto de partida, desloca-se em direção a este com uma 
velocidade de 2 /m s . Vamos determinar a velocidade com que aumenta a distância entre o balão e o carro de 
Lenimar, quando o balão estiver a 30m do solo. Desenhar uma figura sempre ajuda. Façamos uma então. 
 
Lembrando que queremos encontrar 
ds
dt
 , derivamos a igualdade acima. Fazendo isso, obteremos: 
2 2 2 ,
ds dx dy
s x y
dt dt dt
× = × + × 
ou seja: 
.
ds dx dy
s x y
dt dt dt
× = × + × 
Na figura acima, y denota a altura do balão em relação 
ao ponto de partida, x denota a distância do ponto de 
partida até onde Lenimar estacionou seu carro e s a 
distância do carro Lenimar até o balão. Agora veja, essa 
figura vai começar a se transformar, pois as distâncias 
x,y e s estarão se modificando. Mas veja uma 
peculiaridade que esta figura vai manter: o fato desse 
triângulo ser retângulo. Portanto, pelo Teorema de 
Pitágoras teremos: 
 
2 2 2.s x y= + 
 84 
Agora note que no instante em que Lenimar partiu em direção ao balão, este já estava a 15m acima do solo. 
Portanto, quando o balão estiver a 30m do solo, significa que, para efeito da nossa análise, passaram-se 5s já 
que a velocidade do balão é 3 / .m s Nesse período o carro avançou 10m , já que sua velocidade é 
2 / .m s Portanto, os valores de x e y no triângulo acima são 30x = e 40y m= , donde 50 .s m= Portanto, 
teremos: 
( )50 30 2 40 3
ds
dt
× = × − + × , 
ou seja, 1,2 / .
ds
m s
dt
= Na expressão acima usamos a velocidade com um sinal negativo pelo fato de que a 
distância x vai estar diminuindo. 
 
3.2. - Crescimento e decrescimento 
 
A interpretação da derivada como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função agora 
vai se mostrar muito eficaz nesta seção. Com a ajuda dessa interpretação vamos poder estudar os intervalos onde 
a função cresce e onde ela decresce. Se nós refletirmos um pouco, esse problema só está respondido 
satisfatoriamente no caso das funções do primeiro grau. Recorde que se ( ) ,f x ax b= + com 0,a ≠ a função f 
será crescente se 0a > e decrescente se 0.a < Para funções do segundo grau também temos um critério, mas 
que aparece sem a devida justificativa. Vamos recordar algumas definições. 
 
• Uma função f definida num certo intervalo I do eixo-x é dita crescente nesse intervalo quando para 
todos 1 2x x I∈ , com 1 2x x< tivermos ( ) ( )1 2 .f x f x< 
• Uma função f definida num certo intervalo I do eixo-x é dita decrescente nesse intervalo quando para 
todos 1 2x x I∈ , com 1 2x x< tivermos ( ) ( )1 2 .f x f x> 
 
 
 
Analogamente constatamos que, para valores de x pertencentes ao intervalo ( )4,+∞ , os coeficientes 
angulares das retas tangentes ao gráfico de f são negativos. Note também que a função é decrescente no 
intervalo ( )4, +∞ . Como o coeficiente angular ao gráfico de f no ponto ( )( ),x f x é dado por ( )'f x 
podemos arriscar um palpite: A função f será crescente onde a sua derivada for positiva e decrescente onde sua 
derivada é negativa. De fato, o nosso palpite está correto e o resultado que temos é o seguinte: 
 
• Se 'f é positiva num intervalo I do eixo-x então f será crescente em .I 
• Se 'f é negativa num intervalo I do eixo-x então f será decrescente em .I 
 
O aspecto do gráfico de uma função crescente é o de uma 
curva ascendente, enquanto que o de uma função decrescente 
é o de uma curva descendente. Nosso intuito é relacionar o 
crescimento e o decrescimento de uma função com a sua 
derivada. Para termos uma pista de tal relação, vamos 
observar atentamente o gráfico mostrado a seguir. Perceba 
que, para valores de x pertencentes ao intervalo ( ), 4−∞ , os 
coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico dessa 
função nos pontos ( )( ),x f x são positivos. Note também 
que, a função é crescente justamente no intervalo ( ), 4−∞ . 
 85 
Essas observações podem ser provadas com o uso do conhecido Teorema do Valor Médio, mas não faremos isso 
agora. O que faremos é analisar o crescimento e o decrescimento de algumas funções conhecidas. 
 
Exemplo 3.2.1. Considere a função do primeiro grau ( ) .f x ax b= + Vamos obter o seu crescimento, que já é 
conhecido, através dos nossos novos conhecimentos. Observe que ( )' .f x a= Portanto, se 0a > então f será 
crescente em todo o eixo-x e se 0a < , f será decrescente em todo o eixo-x. 
 
 
Exemplo 3.2.3. Considere a função ( ) 2 1f x x= − . Temos que ( )' 2 .f x x= Como ( )' 0f x > quando 0,x > 
concluímos que f é crescente quando 0.x > Por outro lado, 
( )' 0f x < apenas quando 0x < , o que implica ser f decrescente 
apenas quando 0.x < 
Exemplo 3.2.4. Determine os intervalos onde 
( ) 3 26 9 1f x x x x= − + + é crescente e os intervalos onde ela é 
decrescente. Inicialmente vamos encontrar a derivada de .f Temos 
que ( ) 2' 3 12 9.f x x x= − + As raízes da equação ( )' 0f x = irão 
nos indicar os intervalos pedidos. De fato, a equação 
( ) 2' 3 12 9 0f x x x= − + = possui duas raízes reais e diferentes, a 
saber,1x = e 3.x = Como ( )'f x é uma função do segundo grau, 
o estudo do seu sinal é simples e está resumido na tabela abaixo, 
onde também está mostrado o gráfico de f ao lado. 
 
Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão 
1x < positivo f é crescente 
1 3x≤ ≤ negativo f é decrescente 
3x > positivo f é crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.2.2. Considere a função ( ) 3f x x x= + . 
Observe que ( ) 2' 3 1f x x= + é sempre positiva. Portanto, 
f é crescente em todo o seu domínio. Veja um esboço do 
gráfico desta funçãna figura ao lado. 
 
 
 
Exemplo 3.2.5. Considere a função definida por 
( )
2 4 3
8 3
x se x
f x
x se x
 − <
= 
− ≥
, cujo gráfico está mostrado ao lado. 
Vamos determinar os seus intervalos de crescimento e de 
decrescimento. Inicialmente vamos determinar quem é 
( )' .f x Observe que para 3x < nós temos ( )' 2f x x= e que para 
3x > nós temos ( )' 1.f x = − Resta-nos descobrir se existe ( )' 3f . 
 86 
Observe que a derivada à esquerda ( )_' 3 6f = e que a derivada à direita ( )' 3 1f + = − . Como esses valores são 
diferentes segue que f não é derivável em 3.x = Assim: 
( )
2 3
'
1 3
x se x
f x
se x
<
= 
− >
 
 
Observe que o ponto 3x = vai nos auxiliar na determinação dos intervalos pedidos. Veja que o estudo do sinal 
de ( )'f x e as conclusões dele decorrentes estão listados na tabela abaixo: 
 
Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão 
0x < negativo f é decrescente 
0 3x≤ < positivo f é crescente 
3x > negativo f é decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão 
0x < negativo f é decrescente 
0 1x< < positivo f é crescente 
1x > negativo f é decrescente 
 
3.3. - Máximos e mínimos locais 
 
Com o auxílio da derivada podemos abordar interessantes questões acerca de máximos e mínimos de 
funções. Vamos dar algumas definições para, em seguida, abordarmos os problemas. 
 
• Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e 0x I∈ .Diremos que c é um ponto de máximo 
local para f se existir um intervalo J I⊂ com c J∈ de modo que ( ) ( )f x f c≤ para todo x J∈ . 
• Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e 0x I∈ .Diremos que c é um ponto de mínimo 
local para f se existir um intervalo J I⊂ com c J∈ de modo que ( ) ( )f x f c≥ para todo x J∈ . 
 
Exemplo 3.2.6. Considere a função ( ) 2/33 2f x x x= − . 
Observe que ( ) 1/3' 2 2f x x−= − . Vamos analisar o sinal 
de ( )'f x . Podemos escrever ( )'f x da seguinte forma: 
 
( ) ( )
3
1/3 1/3
3
1
' 2 2 2 1 2
x
f x x x
x
− −
 −
= − = − =   
 
. 
Inicialmente note que 1x = é a única solução da equação 
( )' 0.f x = Por outro lado a função ( )f x não é 
derivável em 0.x = O estudo do sinal de ( )'f x e as 
conclusões dele decorrentes estão reunidas na tabela 
abaixo: 
 
 87 
Usando outros termos, o ponto c é um ponto de máximo local se, próximo dele, nenhum ponto tem o 
valor de f maior que ( )f c . Da mesma forma, o ponto c é um ponto de mínimo local se, próximo dele, 
nenhum ponto tem o valor de f menor que ( )f c . 
Vamos observar agora um fato importante que ficou implícito nos exemplos da seção anterior. Para 
descobrirmos os intervalos onde uma dada função era crescente e os intervalos onde ela era decrescente foi 
preciso fazer o estudo do sinal de 'f . Em certos casos, para fazer este estudo, precisamos encontrar as raízes da 
equação ( )' 0f x = ou os pontos onde a função f não é derivável (veja os exemplos 3.2.3, 3.2.4 e 3.2.5 e 3.2.6). 
Esses pontos irão desempenhar um importante papel no estudo dos máximos e mínimos e, por isso, recebem o 
nome de Pontos críticos. 
 
 
Assim, com essa análise podemos enunciar um critério bastante prático para a determinação de extremos 
locais, conhecido como Teste da derivada primeira: 
 
Teste da derivada primeira: Sejam f uma função contínua definida num intervalo I do eixo-x e c I∈ um 
ponto crítico de f. Então: 
• Se ( )' 0f x < para x à esquerda e próximo de c e Se ( )' 0f x > para x à direita e próximo de c então c é 
um ponto de mínimo local para f. 
• Se ( )' 0f x > para x à esquerda e próximo de c e Se ( )' 0f x < para x à direita e próximo de c então c é 
um ponto de máximo local para f. 
 
Vamos ver agora alguns exemplos utilizando esse teste. 
Exemplo 3.3.1. Determine os pontos de máximo e de mínimo locais da função ( ) ( )4 3
1
4
5
f x x x= − . Observe 
que ( ) 3 2
4 12
'
5 5
f x x x= − . Como ( )'f x existe para todo x R∈ , os únicos pontos críticos de f são as raízes da 
equação ( )' 0f x = . Vamos encontrá-las. Fazendo ( )' 0f x = , ficamos com 3 24 12 0x x− = , ou seja, 
( )24 3 0x x − = cujas raízes são 0x = e 3x = . Fazendo o estudo do sinal de ( )'f x ficamos com: 
Suponhamos que f seja contínua. Digamos que x c= seja um 
ponto crítico. Vamos supor que, para valores de x que estão antes de c, a 
derivada de f é negativa e que para valores de x que estão depois de c a 
derivada de f é positiva. Pelo fato da derivada de f ser negativa antes de c 
vemos que o seu gráfico tem um aspecto de estar descendo. Pelo fato da 
derivada de f ser positiva depois de c vemos que a função f é crescente, ou 
seja, seu gráfico tem um aspecto de estar subindo. Portanto, nessa 
situação temos que o ponto x c= é um ponto de mínimo local. Veja a 
figura ao lado. 
 
Façamos agora uma discussão semelhante para a situação 
contrária, ou seja, vamos supor que para valores de x que estão antes de c 
a derivada de f é positiva e que para valores de x que estão depois de c a 
derivada de f é negativa. Pelo fato da derivada de f ser positiva antes de c 
vemos que o seu gráfico tem um aspecto de estar subindo. Pelo fato da 
derivada de f ser negativa depois de c vemos que a função f é decrescente, 
ou seja, seu gráfico tem um aspecto de estar descendo. Portanto, nessa 
situação temos que o ponto cx = é um ponto de máximo local. Veja a 
figura ao lado. 
 
 88 
 
Valores de x Sinal de ( )'f x 
0x < negativo 
0 3x< < negativo 
3x > positivo 
 
Portanto, vemos que o ponto 3x = é um ponto de mínimo local. Veja que o 
ponto 0x = apesar de ser ponto crítico não é de máximo nem de mínimo local. 
Veja ao lado um esboço do gráfico desta função. 
 
 
 
Exemplo 3.3.2. Vamos determinar os pontos de máximo e de mínimo 
locais da função ( ) 2
10
1
x
f x
x
=
+
. Observe que Como ( )'f x existe 
para todo x R∈ , os únicos pontos críticos de f são as raízes da 
equação ( )' 0f x = . Não é difícil verificar que essas raízes são 1x = e 
1x = − . Fazendo o estudo do sinal de ( )'f x ficamos com: 
Valores de x Sinal de ( )'f x 
1x < − negativo 
1 1x− < < positivo 
1x > negativo 
 
Veja a cima um esboço do gráfico de f : 
 
Em determinados casos o estudo do sinal da derivada primeira de uma função antes e depois de um 
ponto crítico onde ela é derivável pode se tornar difícil. Nessa situação, quando a função for duas vezes 
derivável temos um critério mais efetivo para nos garantir quando este ponto crítico é de máximo ou de mínimo. 
Mas o que significa uma função ser duas vezes derivável? A resposta é simples: quando pudermos calcular a 
derivada de sua derivada. A derivada da derivada é chamada de derivada segunda. Nós vamos representar a 
derivada segunda de uma função f por ''f . Por exemplo, se ( ) 2f x x= , temos ( )' 2f x x= e ( )'' 2f x = . 
Analogamente, se ( )f x senx= , temos que ( )' cosf x x= e ( )''f x senx= − . A derivada da derivada da 
derivada é chamada de derivada terceira, e assim sucessivamente. É claro que nem sempre podemos ir derivando 
assim. É preciso ter cuidado. Por exemplo, existem funções que só possuem a derivada primeira. Existem 
funções que não possuem sequer a derivada primeira. Agora podemos voltar ao critério para classificar pontos 
críticos. Esse critério é conhecido como teste da derivada segunda e é o seguinte: 
 
Teste da derivada segunda: Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e c I∈ um ponto crítico 
de f. Suponha que f é derivávelduas vezes em c . Então 
• Se ( )'' 0f c < então c é um ponto de máximo local para f. 
• Se ( )'' 0f c > então c é um ponto de mínimo local para f. 
• Se ( )'' 0f c = então o teste não é conclusivo. 
 
Um interessante exercício que você pode fazer é utilizar o teste da derivada segunda para classificar os 
pontos críticos das funções dos exemplos anteriores. Mas veja bem, ele só serve para os pontos críticos onde a 
função é duas vezes derivável. Vamos utilizar o teste da derivada segunda para solucionarmos dois interessantes 
problemas 
 89 
Exemplo 3.3.3. Qual o retângulo de perímetro 40 cm que possui a maior área? Vamos denotar por x e y os lados 
do retângulo. O seu perímetro é dado por 2 2p x y= + o qual, pelo enunciado vale 40 cm, ou seja, temos 
2 2 40,x y+ = o que nos fornece 20.x y+ = A área do retângulo é dada por .A xy= Tirando o valor de y na 
expressão obtida a partir do perímetro temos que 20y x= − que substituída na expressão da área nos dá 
( ) 220 20 .A x x x x= × − = − A função da qual queremos achar o máximo é A. Vamos achar os seus pontos 
críticos. Derivando a função A, encontramos ' 20 2 .A x= − O único ponto crítico de A é 10x = .Derivando A 
novamente, encontramos '' 2A = − , portanto o ponto 10x = é um ponto de máximo local. Com esse valor de x 
tiramos 10y = e, portanto, o retângulo pedido é um quadrado de lado 10 cm. 
 
 
Tirando o valor de y da expressão que dá a área total, ficamos com 
248
4
x
y
x
−
= , assim, o volume da caixa será 
dado por: 
 
( )
( ) ( )
22
2 2 3
4848 1 1
48 48
4 4 4 4
x xx
V x x x x x
x
−−
= × = = − = − . 
 
Vamos encontrar os pontos críticos. Derivando V, obtemos ( )2
1
' 48 3
4
V x= − , donde concluímos que os únicos 
pontos críticos são 4x = e 4x = − , sendo que o primeiro é o único que nos interessa por ser positivo. Derivando 
V novamente temos que 
6 3
''
4 2
V x x= − = − e que, portanto, 4x = é um ponto de máximo pelo teste da 
derivada segunda. Portanto as dimensões da caixa pedida são 4x = m e, substituindo 4x = em 
248
4
x
y
x
−
= , 
encontramos 2y = m. 
 
3.4. - Máximos e mínimos globais 
 
Os pontos de máximos e mínimos que apareceram na seção anterior, a princípio, só poderiam ser 
classificados como locais. O tipo de problema de máximos e mínimos que trataremos nesta seção são aqueles 
conhecidos como problemas de máximos e mínimos globais. Por um ponto de máximo global de uma função f 
definida em D, entendemos um ponto c tal que ( ) ( )f x f c≤ para todo x D∈ . Analogamente definimos ponto 
de mínimo global. Para esse tipo de problema, o principal resultado que temos é devido ao matemático alemão 
Karl Weierstrass que diz o seguinte: 
 
Teorema de Weierstrass: Se [ ]: ,f a b R→ é uma função contínua então f possui pontos de máximo e 
mínimo globais. 
 
Exemplo 3.3.4. Uma caixa aberta com base quadrada deve ser 
construída com 48 m2 de papelão.Vamos enccontrar as 
dimensões da caixa de maior volume possível que pode ser 
feita. Vamos denotar por x o lado da base da caixa, que estamos 
supondo quadrada, e por y a altura da caixa. A área total da 
caixa é dada por 2 4A x xy= + . Pela informação do enunciado 
temos que 2 4 48x xy+ = . O volume da caixa, que é a função 
que queremos maximizar, é dado por 2V x y= . 
 
 90 
Agora atente bem. O Teorema de Weierstrass apenas diz que os pontos de máximo e mínimo globais existem, 
mas não diz como encontrá-los. Olhando para a figura abaixo 
vemos que existem os seguintes candidatos a extremos globais: os 
pontos críticos de f que pertencem ao interior do intervalo e os 
extremos do intervalo. 
Portanto, o roteiro a ser seguido para encontrarmos os extremos 
globais de uma função [ ]: ,f a b R→ contínua é o seguinte: 
 
 
1. Determinar os pontos críticos de f que pertencem a ( ),a b e calcular o valor de f nestes pontos 
2. Calcular o valor de f nos extremos do intervalo [ ],a b e 
3. Comparar os valores obtidos nos itens (1) e (2). O ponto que fornecer o maior valor para f será o ponto de 
máximo e o que fornecer o menor valor será o de mínimo. 
 
Observe que neste caso não é necessário fazer o estudo do sinal da derivada nem fazer o teste da derivada 
segunda. Vamos ver alguns exemplos: 
 
Exemplo 3.4.1. Considere a função definida por ( ) 3 22 9 1f x x x= − + . Vamos determinar os valores de 
máximo e de mínimo de f no intervalo [ ]1,1− . Observe que a função f é contínua, portanto o Teorema de 
Weierstrass nos garante que existem os pontos de máximo e mínimo global. Vamos localizá-los através do 
procedimento sugerido acima. Derivando f , obtemos ( ) 2' 6 18f x x x= − . Portanto, os pontos críticos de 
f são 0x = e 3x = . Calculando o valor de f em ambos obtemos ( )0 1f = e ( )3 26f = − . Agora calculamos 
o valor de f nos extremos. Feito isso, obtemos ( )1 10f − = − e ( )1 6f = − . Assim coletando os dados numa 
tabela ficamos com as seguintes informações: 
 
ponto Valor de f classificação 
0x = ( )0 1f = Máximo global 
3x = ( )3 26f = − Mínimo global 
1x = − ( )1 10f − = − nada 
1x = ( )1 6f = − nada 
 
 
 
 
Como A é uma função contínua, o Teorema de Weierstrass garante a existência do ponto de máximo. Vamos 
encontrar os pontos críticos de A. Derivando, obtemos 3' 8 4A x= − , donde o único pontos crítico de A é 
Exemplo 3.4.2. Determine as dimensões do retângulo de maior área 
que pode ser inscrito na região fechada limitada pelo eixo-x, pelo eixo-y 
e pelo gráfico de 38y x= − . A região e um retângulo típico estão 
mostrados na figura ao lado. A área do retângulo é dada por A xy= . 
Vamos expressar y em função de x. Observe que como o ponto ( ),x y 
pertence ao gráfico da curva dada, temos que 38y x= − . Portanto, 
( )3 48 8A xy x x x x= = × − = − . De acordo com a figura, temos que 
0 2x≤ ≤ , o que acarreta que desejamos encontrar o ponto de máximo 
global da função A no intervalo fechado [ ]0, 2 . 
 
 91 
3 2x = . Assim, calculando A em 30, 2x x= = e 2x = verificamos que o ponto de máximo é 3 2x = . 
Portanto as dimensões do retângulo são 3 2x = e 8 2 6y = − = . 
 
3.5. - Concavidade e Pontos de Inflexão 
 
A nossa próxima aplicação da derivada diz respeito a um aspecto muito importante de uma curva que é a 
concavidade. Vamos dar algumas definições. 
 
• Diremos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em um intervalo I do eixo-x se estiver 
acima de todas as retas tangentes a ele no intervalo I , exceto no ponto de tangência. 
• Diremos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I se estiver acima de todas as retas 
tangentes a ele neste intervalo, exceto no ponto de tangência. 
 
Observer as figuras abaixo. Na figura 1 o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo, enquanto que na 
figura 2 o gráfico de f tem concavidade voltada para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O nosso intuito é procurar relacionar essa idéia geométrica de 
concavidade com as derivadas de uma função. Vamos fazer uma 
discussão bastante intuitiva. Observe a figura a seguir. Nela vemos 
que o gráfico da função no trecho considerado é côncavo para cima. 
Além disso, e este é o fato que devemos perceber bem, os 
coeficientes angulares das retas tangentes vão crescendo à medida 
que x aumenta. Isso quer dizer que a função que fornece esses 
coeficientes angulares é crescente. Mas esses coeficientes angulares 
são dados pela derivada da função f nos respectivos pontos. Portanto, 
no trecho considerado, a função 'f é crescente, ou seja, '' 0f > . 
 
 
Através de uma discussão semelhante somos levados a concluir que, 
num intervalo onde o gráfico da função f é côncavo para baixo, 
temos '' 0f < . Veja a figura ao lado: 
 
 
 
 
 
Assim resumimos o resultado de nossa discussão: 
 
Seja f uma função real definida num intervalo I do eixo-x e que possui derivada segunda em seu domínio. 
• Se '' 0f > em I então o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em I. 
• Se '' 0f < em I então o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I.Figura 1 Figura 2 
 
 
 92 
A figura ao lado dá uma idéia acerca desse importante 
critério. Observe que antes do ponto P a função tem seu gráfico 
com a concavidade voltada para baixo. Após o ponto P há uma 
mudança da concavidade. 
Um ponto onde ocorre uma mudança na concavidade é 
conhecido como um ponto de inflexão. Para localizarmos esses 
pontos descobrimos as raízes da equação ( )'' 0f x = e os pontos 
onde ''f não existe e, em seguida, fazemos o estudo do sinal de 
''.f Veremos agora alguns exemplos. 
 
Exemplo 3.5.1. Seja ( ) 2f x ax bx c= + + , com 0a ≠ . Vamos estudar a concavidade de f . A derivada de f é 
dada por ( )' 2f x ax b= + e sua derivada segunda por ( )'' 2 .f x a= Portanto, se 0a > o gráfico de f tem a 
concavidade voltada para cima e se 0a < , terá a concavidade voltada para baixo. Isso nós conhecíamos desde o 
9º. Ano do ensino fundamental. Só não tínhamos uma justificativa mais precisa. 
 
Exemplo 3.5.2. Seja ( ) 3 22 12 18 2f x x x x= − + − . 
Vamos investigar a concavidade do gráfico de f . Observe 
que ( ) 2' 6 24 18f x x x= − + e 
( ) ( )'' 12 24 12 2f x x x= − = − . Vemos que 2x = é a 
única raiz de ( )'' 0f x = . Pela análise do sinal de ''f 
vemos que para valores de x menores que 2 o gráfico de f 
tem concavidade voltada para baixo e para valores de x 
maiores que 2 tem concavidade voltada para cima. Veja um 
esboço do gráfico de f na figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.5.3. Nem sempre um ponto que é raiz da equação 
( )'' 0f x = fornece pontos de inflexão. Tomemos a função 
( ) 4f x x= . Temos que ( ) 3' 4f x x= e ( ) 2'' 12f x x= cuja 
única raiz é 0x = . Entretanto o gráfico de f tem sempre a 
concavidade voltada para cima antes e depois do ponto em que 
0.x = Ao lado está mostrado um esboço do gráfico de f . 
 
 
 
 
3.6. - Esboço de gráficos 
 
Chegamos à nossa última aplicação da derivada e, com certeza, uma das mais importantes: a construção do 
gráfico de algumas funções de uma variável. As ferramentas desenvolvidas nas seções anteriores serão de grande 
importância aqui. Daremos a seguir um pequeno roteiro para o traçado do gráfico de uma função f definida em 
algum subconjunto do eixo-x. 
 
 
 93 
a) Determinamos o seu domínio. Caso esse domínio contenha pontos de descontinuidade devemos analisar os 
limites laterais em cada um deles. 
b) Determinamos os pontos onde o gráfico da função corta os eixos coordenados. Esses pontos são chamados 
de interceptos. Em alguns casos pode ser difícil encontrar os interceptos do eixo-x. O intercepto do eixo-y é 
( )0f . 
c) Determinamos os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente, através do estudo do 
sinal da derivada primeira antes e depois dos pontos críticos. 
d) Determinamos os intervalos onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima e os intervalos onde o 
gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo, através do estudo do sinal da derivada segunda antes 
dos pontos de inflexão. 
e) Determinamos o comportamento de f quando x → ±∞ . 
 
Vejamos alguns exemplos 
 
Exemplo 3.6.1. Vamos fazer um esboço do gráfico de ( ) 4 33 4f x x x= + . Inicialmente observamos que o seu 
domínio é o conjunto dos números reais. Vejamos os interceptos. Os pontos onde o gráfico de f corta o eixo-x 
são dados pelas raízes da equação ( ) 4 33 4 0f x x x= + = , ou seja, ( )3 3 4 0x x + = que são 0x = e 
4
3
x = − . O 
ponto onde o gráfico de f corta o eixo-y é ( )0 0.f = Vamos agora determinar os pontos críticos de f. Temos que 
( ) 3 2' 12 12 .f x x x= + Os pontos críticos são 0x = e 1.x = − Agora vamos estudar o sinal de '.f Podemos 
reescrevê-la como ( ) ( )3 2 2' 12 12 12 1f x x x x x= + = + . Como o fator 212x é sempre 0≥ , o sinal de 'f é o 
mesmo de 1x + . As conclusões estão listadas na tabela a seguir 
 
Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão 
1x < − negativo f é decrescente 
1 0x− < < positivo f é crescente 
0x > positivo f é crescente 
Da tabela acima vemos que o ponto 1x = − é um ponto de mínimo local. Vamos agora determinar os pontos 
de inflexão de f. Temos que ( ) 2'' 36 24f x x x= + . Vamos determinar agora os pontos de inflexão. 
Começamos localizando as raízes da equação ( )'' 0,f x = ou seja, 236 24 0x x+ = que são 0x = e 
2
3
x = − . Agora vamos estudar o sinal de ''f . Como se trata de uma função do segundo grau, reunimos na 
tabela abaixo as nossas conclusões: 
 
Valores de x Sinal de ( )''f x Conclusão 
2
3
x < − 
positivo f é côncava para cima 
2
0
3
x− < < 
negativo f é côncava para baixo 
0x > positivo f é côncava para cima 
Do estudo acima concluímos que 
2
3
x = − e 0x = são pontos de inflexão. Para finalizar determinamos 
( )lim
x
f x
→+∞
 e ( )lim
x
f x
→−∞
. Vamos determinar o primeiro. Observe que 
 94 
( ) 4 3 4
4
lim lim 3 4 lim 3
x x x
f x x x x
x→+∞ →+∞ →+∞
 
= + = + = +∞ 
 
 
 
( ) 4 3 4
4
lim lim 3 4 lim 3
x x x
f x x x x
x→−∞ →−∞ →−∞
 
= + = + = +∞ 
 
 
Um esboço do gráfico de f está mostrado abaixo 
 
 
 
Exemplo 3.6.2. Vamos fazer um esboço do gráfico de ( )
( )
2
9
1
x
f x
x
=
+
. Inicialmente notamos que o domínio 
de f é o conjunto os números reais diferentes de -1. Devemos, portanto, investigar o que ocorre com f próximo de 
1x = − . Observe que quando x está próximo de 1− pela esquerda, o numerador está próximo de -9 e o 
denominador próximo de 0, e ambos possuem sinais contrários. Em virtude disso, ( )
1
lim
x
f x
−→−
= −∞ . Por um 
argumento semelhante temos que ( )
1
lim
x
f x
+→−
= −∞ . Determinemos agora os interceptos de f. O ponto onde f 
corta o eixo-y é ( )0f que é igual a 0. Os pontos onde f corta o eixo-x são as raízes de ( ) 0f x = , ou seja, a raiz 
de 9 0x = que é 0x = . Veremos agora os intervalos onde f é crescente e aqueles onde f é decrescente. Temos 
que 
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
2
4 4 3
9 1 18 1 9 1 1 9 1
'
1 1 1
x x x x x x
f x
x x x
+ − + + − −
= = =
+ + +
. 
 
Portanto, os pontos críticos de f são 1x = − e 1x = . Observando a expressão da derivada, vemos que o estudo do 
seu sinal pode ser feito a partir do estudo do sinal do denominador uma vez que o denominador é sempre 
positivo. Assim sendo: 
 
Valores de x Sinal de ( )'f x Conclusão 
1x < − negativo f é decrescente 
1 1x− < < positivo f é crescente 
1x > negativo f é decrescente 
 
Da tabela acima constatamos que 1x = é um ponto de máximo local. Apesar de 'f ter sinal negativo antes de 
1x = − e positivo após, não podemos qualificá-lo como um ponto de mínimo local pois ele não pertence ao 
domínio de f. Vamos agora determinar os pontos de inflexão de f. Temos que 
 95 
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
3 2
6 4
9 1 27 1 1 1 9 4 2
''
1 1
x x x x
f x
x x
− + − − + − −
= =
+ +
. 
 
Os pontos onde ''f se anula ou não existe são 1x = − e 2x = , respectivamente. O estudo do sinal de ''f está 
listado na tabela abaixo: 
 
Valores de x Sinal de ( )''f x Conclusão 
1x < − negativo f é côncava para baixo 
1 2x− < < negativo f é côncava para baixo 
2x > positivo f é côncava para cima 
 
Deste estudo concluímos que 2x = é o único 
ponto de inflexão de f . Para finalizarmos 
devemos estudar ( )lim
x
f x
→+∞
 e ( )lim
x
f x
→−∞
. Note 
que: 
( )
( )
3
2
2
22
9 9
9 0
lim lim lim lim 0
2 42 4 11 11
x x x x
x x xf x
x x
x xx x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = = =
 + + ++ + 
 
. 
 
Analogamente mostramos que ( )lim 0
x
f x
→−∞
= . 
Um esboço do gráfico de f está mostrado ao lado: 
 
 
3.7. - O Teorema do valor médio 
 
Todos os resultados sobre crescimento, decrescimento e concavidade que obtivemos até o momento 
repousam essencialmente num dos teoremas mais importantes do Cálculo e que é conhecido como Teorema do 
valor médio. A primeira formulação feita desse teorema é devida ao matemático italiano Joseph-Louis Lagrange 
(1736-1813). O seu enunciado é o seguinte: 
 
Suponha que f seja uma função contínua no intervalo fechado [ ],a b e derivável no intervalo aberto( ),a b ,Então existe ( ),c a b∈ tal que 
 
( )
( ) ( )
'
f b f a
f c
b a
−
=
−
 
 
ou equivalentemente, ( ) ( ) ( )( )' .f b f a f c b a− = − 
 
 
 
 
 
 
 
Geometricamente ele significa existe um ponto ( ),c a b∈ tal que a 
reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( ),c f c é paralela à reta que 
passa pelos pontos ( )( ),a f a e ( )( ),b f b , conforme nos mostra a 
figura ao lado. Não faremos a prova desse Teorema. Indicamos o 
livro de Serge Lang, citado na bibliografia como fonte de consulta. 
 
 96 
 
 
Veremos agora através de um exemplo como esse resultado funciona. Para isso, vamos ver a prova de 
um resultado sobre crescimento estabelecido anteriormente que é o seguinte: 
 
Seja f uma função definida num intervalo I do eixo-x. Se 'f é positiva em I então f será crescente em .I 
 
De fato, sejam a e b em I, com a b< . Vamos provar que ( ) ( )f a f b< . Pelo teorema do valor médio, 
existe ( ),c a b∈ tal que ( ) ( ) ( )( )' .f b f a f c b a− = − Como ambos os fatores do lado direito dessa igualdade 
são positivos, pois 'f é positiva, então segue que ( ) ( ) 0f b f a− > , ou seja, ( ) ( )f b f a> . 
 
Ampliando o seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. - Avaliando o que foi construído 
 
Nesta unidade você teve a oportunidade de apreciar uma nova interpretação da derivada e viu como a 
derivada é útil no estudo do comportamento de uma função. Dentre os conhecimentos mais marcantes que vimos 
aqui podemos destacar a construção rigorosa do gráfico de uma função. Como dissemos anteriormente só as 
funções do primeiro grau possuíam um gráfico com construção totalmente justificada. 
 
 
No Moodle.. . 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagine que um objeto move-se em linha reta com sua posição sendo dada por uma função ( )s s t= 
com [ ],t a b∈ . Então de acordo com o Teorema do Valor Médio, existe um instante ( ),t c a b= ∈ 
tal que a velocidade instantânea em c é igual à velocidade média do móvel entre t a= e .t b= 
Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à leitura do material disponibilizado, discussões nos fóruns e 
resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade. Procure sempre sanar as suas dúvidas. 
Exponha seus pontos de vista sobre o assunto para que possamos crescer juntos no curso. 
 
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas 
sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a 
orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte 
conosco. 
 97 
Unidade III: Integral Definida e Primitivas 
1. - Situando a Temática 
 
A partir de agora nós vamos conhecer dois novos objetos da Matemática. São a integral definida e a 
primitiva. A primeira vai ser definida a partir de uma situação concreta, a saber, a determinação de uma área. 
Como quase tudo o que é feito em Matemática, começa-se com uma situação concreta, esta motiva uma 
definição abstrata e esta última cria vida própria e desenvolve-se dando origem a novos resultados que podem 
incluir até mesmo outras situações concretas diversas daquela inicial. Durante este curso esta atitude já foi 
tomada com relação à derivada. Motivaremos a integral definida para uma situação particular e sempre 
voltaremos a essa interpretação. O outro objeto, a primitiva de uma função, será definida como um processo 
inverso ao da derivação, ou seja, dada uma função f, procura-se uma outra g tal que a derivada de g seja f. A 
função g será chamada uma primitiva para f . Apesar da aparente simplicidade, tal procura, em geral, pode ser 
bastante laboriosa. O mais impressionante será o relacionamento entre os dois novos objetos introduzidos: a 
integral definida e a primitiva de uma função relacionam-se harmoniosamente num resultado conhecido como 
Teorema fundamental do cálculo. 
 
2. - Problematizando a Temática 
 
Determinar a área de uma figura plana foi um problema bastante atacado pelos antigos cientistas e, 
muito satisfatoriamente, por um dos maiores gênios da antiguidade, Arquimedes de Siracusa. Aqui abordaremos 
alguns problemas semelhantes aos que ele abordou e os resolveremos de uma maneira moderna usando o 
chamado Teorema fundamental do Cálculo. 
 
3. - Conhecendo a Temática 
 
3.1 - Motivação inicial: o problema da área 
 
O cálculo das áreas de polígonos já era conhecido desde 
Euclides. Entretanto foi Arquimedes quem primeiro construiu 
uma idéia satisfatória no cálculo de áreas de figuras planas em 
geral. A sua idéia baseava-se na aproximação da região por 
polígonos, dos quais se sabia efetivamente calcular a área. 
Vejamos a seguinte situação. Tomemos a função 
( ) 2 1f x x= + e o nosso problema é determinar a área da região 
S do plano limitada pelo gráfico de f , pelo eixo-x e pelas retas 
0x = e 2x = , conforme a figura ao lado: 
 
Vamos dividir o intervalo [ ]0, 2 em 4 intervalos iguais. 
Como são 4 intervalos, cada um terá comprimento 
2 0 2
0,5
4 4
x
−
∆ = = = . Assim, teremos os intervalos 
1 1 3
0, , ,1 , 1,
2 2 2
     
          
 e 
3
, 2
2
 
  
. Em cada um desses intervalos 
escolhemos um ponto qualquer. Vamos escolher o ponto extremo 
direito. Consideramos então os retângulos de base igual a cada 
intervalo e altura igual ao valor de f no ponto especificado. 
Calculamos a soma das áreas de cada um desses retângulos e obtemos um valor aproximado para a área 
desejada. 
 
Aqui temos um valor aproximado para essa área: 
 
 
 98 
( ) ( )
1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 13 1
1 2 2 5 5.75
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2
f f f f
   
× + × + × + × = × + × + × + × =   
   
. 
 
Evidentemente a escolha do ponto extremo direito foi uma opção nossa. Poderíamos também ter escolhido o 
ponto extremo esquerdo, ou outro qualquer. Caso tivéssemos escolhido o extremo esquerdo e repetido o 
processo, um valor aproximado para a área pedida seria 
 
( ) ( )
1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 13
0 1 1 2 3.75
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
f f f f
   
× + × + × + × = × + × + × + × =   
   
 
 
Uma figura neste caso está mostrada abaixo: 
 
 
 
Se tivéssemos tomado o ponto médio de cada intervalo, um valor aproximado para a área seria 
 
1 1 1 3 1 5 1 7 1 17 1 25 1 41 1 65
4.625.
2 4 2 4 2 4 2 4 2 16 2 16 2 16 2 16
f f f f
       
× + × + × + × = × + × + × + × =       
       
 
 
Uma figura representando essa situação está mostrada abaixo: 
 
 
 
Observe que o valor dessas aproximações vai melhorando cada vez mais quando fizermos a quantidade de 
intervalos aumentar. Se ao invés de 4 tivéssemos tomado 8, a aproximação seria 4,65625 usando como ponto 
escolhido o ponto médio de cada intervalo. Só para se ter uma idéia, o valor exato de tal área é 
14
4,666...
3
= 
Vale a pena notar também que se dividirmos o intervalo [ ]0, 2 em n subintervalos todos de igual comprimento 
2 0 2
n n
−
= teremos os seguintes subintervalos: 
( )
1 2 3
2 22 2 4 4 6
0, , , , , ,..., , 2n
n
I I I I
n n n n n n
 −     
= = = =              
. 
 99 
Se escolhermos um ponto qualquer em cada um deles, 1 1 2 2, ,..., n nc I c I c I∈ ∈ ∈ , o valor para a 
aproximação neste caso será: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2 3
1
2 2 2 2 2
1 1 1 ... 1 1
n
n i
i
c c c c c
n n n n n=
+ × + + × + + × + + + × = + ×∑ , 
 
Onde o símbolo ( )2
1
2
1
n
i
i
c
n=
+ ×∑ indica a soma das n parcelas que estão do lado esquerdo. Veja que todas 
elas são semelhantes, só diferem no índice. Por isso mesmo vamos usar com freqüência esta notação que é 
muito mais econômica. 
 
3.2. - Integral definida: definição e propriedades 
 
A idéia surgida anteriormente para o cálculo de área agora será usada como motivação para definirmos um 
novo objeto matemático: a integral definida. Suponha que f seja uma função contínua definida num intervalo 
[ ],a b do eixo-x