Slides de Aula - Unidade I - MATEMATICA INTEGRADA

Prévia do material em texto

Prof. Emilio Celso
UNIDADE I
Matemática Integrada
Nesta unidade veremos:
 Amostragem;
 Correlação;
 Regressão linear;
 Estimativa de parâmetros.
Introdução
População Amostra
Amostragem
Inferência
Análises
estimativas
- x s2
- I.C. 95%
- Testes
 População
 Amostra: é a parte mais importante de uma pesquisa porque permite inferências 
em relação à população de origem.
 Amostragem: é uma técnica usada para coletar amostras que vão garantir o 
acaso na escolha.
 Inferência
Amostragem
Fonte: http://www.ufscar.br/jcfogo/EACH/Arquivos/Material_Aula_2.pdf
 Amostragem não probabilística: São amostragens em que há uma escolha 
deliberada dos elementos da amostra. Depende dos critérios e julgamento 
do pesquisador.
 Amostragem probabilística: São amostragens em que a seleção é aleatória de 
tal forma que cada elemento da população tem uma probabilidade conhecida de 
fazer parte da amostra. São métodos rigorosamente científicos.
Técnicas de amostragem probabilística:
Tipos de amostragem
 Todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de pertencer à 
amostra. SORTEIO.
 Exemplo: Obter uma amostra representativa, de 10%, de uma população de 200 
alunos de uma escola.
 1º) Numerar os alunos de 1 a 200;
 2º) Escrever os números (1 a 200) em pedaços de papel e 
colocá-los em uma urna;
 3º) Retirar 20 pedaços de papel, um a um, da urna, 
formando a amostra da população.
Amostragem aleatória simples
 Para população heterogênea.
 Quando a população se divide em subpopulações homogêneas ou estratos. A 
variável em estudo pode ter comportamentos diferentes de um estrato para o 
outro, porém apresentar comportamento homogêneo dentro de cada estrato.
 A definição dos estratos pode ser de acordo com sexo, idade, renda, grau de 
instrução, etc.
 Ex.: selecionar uma amostra com números de homens e 
mulheres proporcionais aos números de homens e 
mulheres existentes na população, por classe social.
Amostragem aleatória estratificada
 É usada quando a identificação dos elementos da população é extremamente 
difícil, porém pode ser relativamente fácil dividir a população em conglomerados 
(subgrupos) heterogêneos representativos da população global.
 Ex.: entrevistar uma amostra de estudantes do curso de EAD. É impraticável 
selecionar essa amostra de estudantes, em que a população não é definida 
exatamente. Então, deve selecionar aleatoriamente estudantes de duas ou três 
disciplinas, tomando o cuidado para garantir que não existam vícios.
Amostragem por conglomerados
 Amostragem sistemática: Quando os elementos da população se apresentam 
ordenados de acordo com algum critério. Um exemplo seria a retirada de 
elementos de uma amostra, periodicamente, a partir de listas telefônicas.
 Amostragem em múltiplas etapas: é uma técnica utilizada para produzir uma 
amostra representativa de uma população muito espalhada. É similar à técnica por 
conglomerados, mas nesse caso o processo só é finalizado quando há seleção de 
unidades individuais de amostragem.
Amostragem sistemática e Amostragem em múltiplas etapas
 As formas que os dados de uma amostra são explorados podem mudar 
completamente um estudo.
 Em um estudo, o cuidado na escolha da amostra é importante para o emprego 
adequado dos métodos estatísticos. 
 Existem várias técnicas de amostragem que podem ser 
utilizadas para facilitar o trabalho de pesquisa, evitando, 
dessa forma, um custo excessivo e desnecessário na 
caracterização de todos os elementos de uma população.
Dados de uma amostra
A Secretaria de Educação de um município deseja investigar os casos de fraude e 
burla da fila de espera para matrícula de alunos na rede municipal de ensino. Assim, 
analisam-se (1) as listas de espera com ordenação por data de inserção dos 
candidatos; (2) listas de alunos matriculados, ordenados por data de matrícula. A 
técnica de amostragem adotada é:
a) Amostragem aleatória simples. 
b) Amostragem aleatória estratificada.
c) Amostragem sistemática.
d) Amostragem em múltiplas etapas.
e) Amostragem não probabilística.
Interatividade
A Secretaria de Educação de um município deseja investigar os casos de fraude e 
burla da fila de espera para matrícula de alunos na rede municipal de ensino. Assim, 
analisam-se (1) as listas de espera com ordenação por data de inserção dos 
candidatos; (2) listas de alunos matriculados, ordenados por data de matrícula. A 
técnica de amostragem adotada é:
c) Amostragem sistemática.
Comentário:
 Os elementos da população se apresentam ordenados de 
acordo com algum critério. No caso, estão ordenados 
por data.
Resposta
 O significado do termo “correlação” é a existência da relação em dois sentidos (co 
+ relação). O termo é usado em estatística para demonstrar a força da relação 
entre dois conjuntos de dados.
 Verificar a possível existência e o grau de relação entre as variáveis e a 
correlação.
 Se houver relação, será descrita sob forma matemática, por meio de uma função. 
 Exemplo: a estatura de uma pessoa e o seu peso. Para 
uma estatura maior, corresponde, em geral, a um peso 
maior. Dizemos, por isso, que entre as variáveis peso e 
estatura existe correlação.
Correlação
 O coeficiente de correlação linear, ou coeficiente de Pearson, indica se existe 
correlação entre as variáveis analisadas.
 Existirá correlação linear se esse coeficiente estiver entre -1 e + 1, o que em 
porcentagem representa um valor entre -100% e + 100%.
Esse coeficiente é calculado assim:
Coeficiente de correlação de Pearson
Tipo de correlação
Coeficiente de correlação r Tipo de correlação
r = 1 Perfeita positiva
0,8 < r < 1 Forte positiva
0,5 < r < 0,8 Moderada positiva
0,1 < r < 0,5 Fraca positiva
0 < r < 0,1 Íntima positiva
0 Nula
-0,1 < r < 0 Íntima negativa
-0,5 < r < -0,1 Fraca negativa
-0,8 < r < -0,5 Moderada negativa
-1 < r < -0,8 Forte negativa
r = -1 Perfeita negativa
Fonte: Livro-texto.
 Os diagramas de dispersão mostram o comportamento da relação entre variáveis 
em decorrência do coeficiente de correlação linear. 
 Pesquisa em um grupo de pessoas da mesma faixa etária sobre o nível de 
escolaridade e o número de carros que tiveram até o momento. 
 xi: número de anos que a pessoa estudou; yi: número de carros que a pessoa teve 
em sua vida.
Diagrama de dispersão
xi 3 5 7 9 10
yi 1 2 3 5 7
anos de estudo
n
ú
m
e
ro
 d
e
 c
a
rr
o
s
 Deseja-se estudar se há relação entre a mudança de temperatura xi (em graus) e o 
número de venda de cobertores yi durante certo período.
Pede-se:
a) Verificar se existe correlação entre as variáveis.
b) Em caso afirmativo, que tipo de correlação, positiva ou negativa? Fraca, forte ou 
moderada? Justifique.
Exemplo de aplicação
xi 5 15 20 25 30 35
yi 48 43 34 19 11 6
a) Verificando se há 
correlação. E definir 
as variáveis 
dependentes e 
independentes.
Tabela: Temperatura x Vendas
Cálculo das somatórias
xi yi xi
2 yi
2 xiyi
5 48 (5)2 = 25 (48)2 = 2304 (5.48) = 240
15 43 (15)2 = 225 (43)2 = 1849 (15.43) = 645
20 34 (20)2 = 400 (34)2 = 1156 (20.34) = 680
25 19 (25)2 = 625 (19)2 = 361 (25.19) = 475
30 11 (30)2 = 900 (11)2 = 121 (30.11) = 330
35 6 (35)2 = 1225 (6)2 = 36 (35.6) = 210
∑xi = 130 ∑yi = 161 ∑xi
2 = 3400 ∑yi
2 = 5827 ∑xiyi = 2580
 Ou seja, há uma correlação negativa forte.
 Pode-se concluir que o aumento da temperatura diminui a venda de cobertores.
Cálculo do coeficiente de correlação r
Assinale a alternativa com a informação incorreta:
a) A regressão linear é a análise de relação entre uma variável chamada a variável 
dependente (X) e outras variáveis chamadas variáveis independentes (Y).
b) O diagrama de dispersão é uma ferramenta que indica a existência, ou não, de 
relações entre variáveis de um processo e sua intensidade, representando duas 
ou mais variáveis, uma em função da outra.
c) A correlação linear avalia e mede as relações entre as variáveis dependentese independentes.
d) Uma correlação positiva forte entre duas variáveis vai ter 
um valor r = 0,80.
e) Uma correlação negativa fraca entre duas variáveis vai 
ter um valor r = -0,80.
Interatividade
Assinale a alternativa com a informação incorreta:
a) A regressão linear é a análise de relação entre uma variável chamada a variável 
dependente (X) e outras variáveis chamadas variáveis independentes (Y).
b) O diagrama de dispersão é uma ferramenta que indica a existência, ou não, de 
relações entre variáveis de um processo e sua intensidade, representando duas 
ou mais variáveis, uma em função da outra.
c) A correlação linear avalia e mede as relações entre as variáveis dependentes 
e independentes.
d) Uma correlação positiva forte entre duas variáveis vai ter 
um valor r = 0,80.
e) Uma correlação negativa fraca entre duas variáveis vai 
ter um valor r = -0,80.
Resposta
 O uso da análise de regressão tem como prioridade fazer previsões, estimativas 
ou projeções.
 O objetivo é desenvolver um modelo estatístico que será usado para estimar 
valores de uma variável dependente y em função de uma variável independente x.
Regressão linear
 Estimativas usando modelo matemático que é igual a
Qual é o número de vendas 
esperado quando a temperatura 
é de 10º?
 Y = 45 cobertores 
Exemplo: Temperatura x Vendas
 Equação da reta:
 Determinar o coeficiente b
 n: nº de possíveis correlações entre x e y.
Determinação da equação de regressão linear simples
 Determinar o coeficiente a
Sendo:
a) Determinar o coeficiente linear b.
Exemplo de cálculo de regressão linear (T x venda de cobertores)
 Determinar o coeficiente a
 Sendo:
 Então
E a reta da regressão linear será:
Continuação do exemplo
A quantidade demandada de energia elétrica (y) é função da tarifa (x) e a equação 
de regressão é: y = - 0,56x + 158,8
Sendo assim, a estimação da quantidade demandada para uma tarifa de 100 
é igual a:
a) 560,0
b) 401,2
c) 214,8
d) 105,0
e) 102,8
Interatividade
A quantidade demandada de energia elétrica (y) é função da tarifa (x) e a equação 
de regressão é: y = - 0,56x + 158,8
Sendo assim, a estimação da quantidade demandada para uma tarifa de 100 
é igual a:
a) 560,0
b) 401,2
c) 214,8
d) 105,0
e) 102,8
Resposta
 O método de “estimação de parâmetros” é utilizado para se obter estimadores em 
casos específicos, por exemplo, quando fazemos alguma hipótese sobre algum 
parâmetro relativo à distribuição da população. Esse processo utiliza dados da 
amostra para fazer a estimativa de valores de parâmetros populacionais.
 Estimativa é o valor numérico assumido pelo estimador, ou seja, valor aproximado 
do parâmetro, calculado com base na amostra.
Estimativa de parâmetros
Estimadores Parâmetros
média amostral x; média populacional μ;
desvio padrão amostral S.
desvio padrão 
populacional σ.
 Distribuição amostral é a distribuição da grandeza calculada de cada amostra 
possível de ser extraída. Para cada amostra, é possível calcular uma grandeza 
estatística, que irá sofrer uma variação de uma amostra para outra.
 O teorema descreve a distribuição da média de uma amostra aleatória de uma 
população com variância finita.
Distribuição amostral e Teorema do limite central
 A distribuição das médias amostrais quando n  30 se aproxima de uma 
distribuição normal.
 α = nível de significância 
populacional: (mais 
usados são 1% e 5%).
Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
Fonte: Livro-texto.
P(- 1,96 < + 1,96) = 95%
c = 1 – α = 95% (nível 
de confiança do intervalo).
Exemplo: para  = 5%
Fonte: Livro-texto.
Tabela: distribuição normal padronizada
0,4750
Fonte: Livro-texto.
Para amostras grandes, temos: 
 P( -ZC < Z < +ZC ) = (1 - α)
Se o desvio padrão populacional for conhecido:
Amostragem de população infinita ou amostragem de população finita 
com reposição:
Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
Se o desvio padrão populacional for desconhecido e n ≥ 30:
 Normalmente, o desvio padrão da população σ não é conhecido e é necessário, 
então, em substituição a σ, usar a estimativa do desvio padrão S obtida da 
amostra, com a condição de que n ≥ 30.
Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
 Caso n < 30, a aproximação pela curva normal não será suficiente, devendo ser 
feita uma correção usando-se a variável t de Student.
 Exemplo: Foi testada uma amostra de 20 lâmpadas selecionadas ao acaso, que 
resultaram numa vida média de 48,2 meses e desvio padrão de 5,4 meses. 
Determine um intervalo de confiança de 95% em torno da verdadeira média da 
população (população infinita).
Dados:
Exemplo para intervalo de confiança para média populacional (n<30)
 Consultar a tabela de 
distribuição t de Student 
com  = 0,05 e gl = 19.
 O valor tabelado é tc = 2,093.
Continuação do exemplo
2,093
Fonte: Livro-texto.
 Diagrama de distribuição t de Student.
 E agora determinar o intervalo de confiança de 95% em torno da verdadeira média 
da população.
Continuação do exemplo
Fonte: Livro-texto.
Ainda continuando com o exemplo
A construção do intervalo de confiança para a variância é feita utilizando-se a 
distribuição de X2 (lê-se “qui-quadrado”), sendo definido por:
O valor de X2 é tabelado sendo:
Intervalo de confiança para a variância e o desvio padrão
 A amostra a seguir refere-se às vendas em kg de uma amostra de produtos 
hortigranjeiros de certo estabelecimento. Construa um intervalo de confiança para 
o desvio padrão populacional das vendas, com nível de confiança de 90%.
 Vendas - xi: 2, 2, 4, 4, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 9
Solução:
 Média aritmética das vendas.
Exemplo de aplicação
 Determinação do desvio padrão 
amostral das vendas.
s2 = 6,8
Solução (continuação)
xi (xi – x)
2
2 (2-6)2 = 16
2 (2-6)2 = 16
4 (4-6)2 = 4
4 (4-6)2 = 4
5 (5-6)2 = 1
7 (7-6)2 = 1
8 (8-6)2 = 4
8 (8-6)2 = 4
9 (9-6)2 = 9
9 (9-6)2 = 9
∑(xi – x)
2 = 68Fonte: Livro-texto.
  = 10% ou 0,01 e n = 11
Solução (Cálculo do intervalo de confiança)
Fonte: Livro-texto.
 (n – 1) = (11 – 1 ) = 10
 s² = 6,8
 Resposta
 O desvio padrão populacional está 
situado no intervalo 1,927 e 4,154, 
com uma confiança de 90%.
Intervalo de confiança para a variância:
 P (3,714 < σ2 < 17,259) = 0,90
Intervalo de confiança para o desvio padrão:
 P (1,927 < σ < 4,154) = 0,90
Solução (Cálculo do intervalo de confiança)
 Um Intervalo de Confiança (IC) é um intervalo estimado a respeito de um 
parâmetro estatístico. 
 Em vez de fazermos a estimativa do parâmetro por apenas um valor, é dado um 
intervalo de estimativas prováveis.
 O quanto serão prováveis essas estimativas, ou seja, o quanto podemos confiar 
nelas, é determinado pelo coeficiente de confiança (α).
Conclusão
Sabe que a vida útil de uma peça de equipamento tem σ = 5h. Uma amostra de 100 
unidades dessas peças forneceu ҧ𝑥 = 500h. O intervalo de confiança com nível de 
95% para média μ é:
a) 499,42 < μ < 500,98
b) 498,32 < μ < 499,98
c) 499,12 < μ < 500,78
d) 499,02 < μ < 500,98
e) 501,02 < μ < 501,98
Interatividade
 Alternativa correta é: “d”
Comentário:
 Como n = 100 > 30, a distribuição normal será usada. Assim, Zα/2 = 1,96 (para 1 - α
= 95%)
Cálculo do intervalo de confiança:
 Logo, 499,02 < μ < 500,98.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!