O EIXO DO MOTOR DO VEÍCULO HÍBRIDO NOVO

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CÁLCULO DE ÁREA LONGITUDINAL E VOLUME DE UM SÓLIDO DE 
REVOLUÇÃO 
Fabiano Teixeira de Menezes 
Gabriel Vicenzi 
Leandro Maestri 
Resumo 
O presente trabalho apresenta um exemplo de aplicação dos conhecimentos obtidos nas 
disciplinas de Álgebra Linear e Geometria Analítica II e Cálculo Diferencial e Integral II do 
segundo semestre do curso de Engenharia Mecânica do Centro Universitário Católica de Santa 
Catarina – Campus de Jaraguá do Sul, o objetivo principal deste trabalho é demostrar a metodologia 
de cálculo de área e volume para objetos de revolução utilizando o cálculo de integrais. Para tal, 
tomou-se como objeto de estudo um eixo de motor encontrado em um veículo elétrico híbrido, por 
apresentar forma geométrica totalmente descrita por um sólido de revolução. O processo de cálculo 
resume-se a segmentação do perfil de revolução e determinação das curvas que definem cada 
segmento deste perfil ao longo do eixo, para os quais são obtidas as equações correspondentes. A 
seguir as áreas e volumes são calculados individualmente para cada segmento. O volume total do 
objeto é então obtido pela soma dos volumes calculados para cada segmento, o mesmo 
procedimento é aplicado para a obtenção da área do sólido de revolução. 
Palavras-chave: Eixo Motor. Veículo Híbrido. Integrais. Área. Volume. 
Abstract 
 This paper presents an example of application of the knowledge obtained in the courses 
of Linear Algebra and Analytic Geometry II and Differential an Integral Calculus II in the second 
semester of Mechanical Engineering at University Center Católica of Santa Catarina – Campus of 
Jaraguá do Sul. The purpose of the study is to demonstrate the calculation methodology of the 
volume of revolution objects using integral calculus. The object of study is a motor shaft used in 
hybrid electric vehicle, because its geometric shape is represented by a revolution solid. The 
calculation procedure consists in the segmentation of the revolution profile and the determination 
of the curves that describe each segment of the profile throughout the shaft, for which the 
corresponding equations are obtained. Then, the areas and volumes are calculated for each segment. 
The total volume of the object is the summation of the volumes of each segment, and the same 
procedure is applied for the calculation of the total area of the solid. 
 
Key-words: Motor. Shaft. Hybrid Vehicle .Integral. Area. Volume. 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Desenvolvido durante as aulas de Álgebra Linear e Geometria Analítica II e Cálculo 
Diferencial e Integral II ao longo do segundo semestre do curso de Engenharia Mecânica e 
contando-se com a orientação dos professores, a elaboração deste projeto visa o aprimoramento e 
aplicação dos conceitos estudados em sala bem como o aprimorando as habilidades de 
interpretação e resolução de problemas comuns ao cotidiano do profissional de engenharia 
mecânica. 
O objetivo principal deste trabalho é demostrar a metodologia de cálculo de área e volume 
para objetos de revolução utilizando o cálculo de integrais. Adotou-se com premissa de trabalho a 
utilização de um objeto que apresentasse no mínimo quatro curvas do tipo cônicas (circunferência, 
elipse, hipérbole e parábola). Para o desenvolvimento do trabalho obteve-se o tema: automóvel, 
sendo que cabia ao grupo de trabalho definir seu próprio objeto de estudo. Tomou-se então um eixo 
de motor encontrado em um veículo elétrico híbrido, por apresentar forma geométrica totalmente 
descrita por um sólido de revolução. 
Após a escolha do sólido de revolução obtiveram-se as curvas de geração do perfil de 
revolução através de medições. Tendo-se os dados das medições e feito um desenho do mesmo, 
tornou-se possível determinar as equações de cada segmento usadas para determinar a área do 
mesmo. Através das equações também foi possível determinar o volume de cada segmento. Ambas 
as áreas e volumes foram determinadas pelo uso das integrais. 
 
 
 
 
 
 
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
 A maioria dos veículos ainda contam com motores do tipo MCI (Motor de Combustão 
Interna), porém é cada vez mais comum o uso de motores elétricos aplicados como propulsores de 
veículos. Dentro deste universo existem veículos movidos totalmente por motores MCI e por outro 
lado veículo totalmente movidos por motores elétricos alimentados por baterias. Além destes, tem-
se também uma classe de motores denominados híbridos, onde coexistem motores MCI e Elétricos, 
estes últimos atuando como propulsores. Nestes casos os motores MCI são empregados em um 
conjunto gerador que alimenta os motores elétricos e as baterias. Alguns veículos híbridos também 
possuem freios regenerativos, que quando utilizados carregam a bateria, aumentando a autonomia 
do veículo. 
 Essa nova tecnologia permite uma menor utilização de combustível, levando assim a 
menores emissões de gases poluentes na atmosfera, inclusive os gases responsáveis pelo efeito 
estufa. Várias indústrias automotivas tem dado mais atenção para questões ambientais, tendo em 
vista esse fato, “(...) a tecnologia de armazenamento da energia elétrica, as baterias, estão sendo 
aperfeiçoadas, visando diminuir suas dimensões e aumentar sua capacidade de armazenagem de 
energia” (MOREIRA et al. p. 1). 
 Em função do tema principal deste trabalho ser o cálculo de área e volume de um solido de 
revolução de uma peça existente em um automóvel e sendo o tema veículo elétrico bastante atual, 
optou-se pela escolha deste como foco para seleção do solido de revolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. METODOLOGIA 
 
Após a seleção do eixo (sólido de revolução), tomaram-se uma série de medições visando 
a definição de todas as curvas que compõem o perfil de revolução da peça. Para cada trecho 
formado por uma curva distinta chamou-se de segmento. Ao todo a peça foi dividida em 10 
segmentos. Em vista de o eixo não possuir todas as cônicas obrigatórias, dadas como premissa, 
desenhou-se o perfil de revolução com algumas alterações visando obter os tipos de cônicas 
ausentes no eixo original. Ressalta-se que tais alterações foram obtidas para fins didáticos. A figura 
01 apresenta o desenho em 3 dimensões obtidos após as medições da peça e aplicadas as respectivas 
alterações e a figura 2 ilustra o eixo sem adaptações Seguindo-se a ordem numérica mostrada na 
figura 01, os segmentos são caracterizados por: circunferência (1), retas (2, 3, 5, 7, 9 e 10), 
hipérbole (4), parábola (6) e elipse (8). 
 
Figura 01 – Representação em 3D do sólido de revolução com adaptações – Software de CAD 
 
 
Figura 02 – Representação em 3D do sólido de revolução sem adaptações – Software de CAD 
 
 
A partir da figura 01 extraíram-se todos os dados para a construção das equações algébricas 
necessárias para as realizações dos cálculos de integrais de áreas e volumes referentes a cada 
segmento. 
 
3.1. Determinação das Equações 
 
 
Uma vez que todos os conhecimentos necessários para dar continuidade ao trabalho já 
foram adquiridos por meio da disciplina de Álgebra Linear, Geometria Analítica II e Cálculo 
Diferencial e Integral II, e com os tipos das cônicas e retas, os pontos, vértices, centros, limitantes 
já definidos, foram aplicados os valores às equações das cônicas e retas para obter as funções que 
descrevem cada segmento. A partir destas funções traçou-se um perfil do eixo utilizando-se o 
software Winplot, conforme ilustrado na figura 3. 
 
Figura 03 – Representação gráfica do eixo – Winplot. 
 
Os cálculos detalhados das equações encontram-se no memorial em anexo. 
 
3.2 Cálculos de área e volume 
 
 
Tendo-se as equações das curvas e retas já concluídas, partiu-se para o cálculo das áreas e 
volumes em cada segmento através da integração das funções que geram o perfil de revolução. 
Esses cálculos vêm ao encontro das futuras atividades desenvolvidas por um Engenheiro Mecânico, 
uma vez que informações como: quantidadede material, resistência mecânica e outras 
especificações necessárias à execução de projetos dependem desses cálculos para o seu 
desenvolvimento. 
 
A figura 4 ilustra o procedimento de cálculo da área para um segmento do solido. Observa-
se que cada segmento é definido por uma função, conforme descrito anteriormente. O 
procedimento de determinação da área resume-se a obtenção da função e a sua integração entre os 
respectivos intervalos (x1 e x2 indicados na figura). A área total da seção transversal é obtida 
multiplicando-se a área do perfil por 2, conforme eq. 1. Finalmente o volume é obtido conforme 
eq. 2. 
 
Figura 04 – Procedimento de obtenção da área por integração 
 
 
Calculo da área da seção transversal: 2 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 eq. (1) 
 
Cálculo do Volume do segmento: ∫ 𝜋(𝑓(𝑥))2
𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥 eq. (2) 
 
 Realizados os cálculos para cada segmento, obteve-se os valores da área da seção 
transversal longitudinal e volume do sólido de revolução somando-se os valores parciais obtidos 
para cada segmento. 
4. ANÁLISE DE RESULTADOS 
 
 Os resultados analíticos obtidos com os cálculos são mostrados na tabela 1. Os resultados 
obtidos pelos autores encontram-se no Memorial de Cálculo anexo. 
 De forma complementar geram-se os valores de área e volume utilizando-se o software 
Mathcad para comparação e ratificação dos resultados. Em anexo encontra-se um tabela 
comparativa entre os valores mostrados na tabela 1 e os valores obtidos com o uso do software. 
Comparando-se os resultados obtidos analiticamente e os resultados gerados através do 
MathCad, percebem-se diferenças devido a erros de arredondamentos. Essas diferenças são 
mostradas na tabela comparativa no memorial de cálculo. 
 
Tabela 1 –Modelamento matemático e resultados 
 
 
Segmento Função 
Área 
[mm2] 
Volume 
[mm3] 
1 Circunferência y = √64 − (x − 8)2 + 27 532.530 27.921,428 
2 Reta y = 35 3.640 200.100 
3 Reta y = 42,5 3.230 215.600 
4 Hipérbole y = √(x − 98)2 ∙
19
15
+ 2704 3.328 290.700 
5 Reta y = 62 56.660 5.519.000 
6 Parábola y = (−9.444 ∙ 10−3x2 + 11x − 3.141 ∙ 103) 3.508 . 322.800 
7 Reta y = 50 6.700 526.200 
8 Elipse y = −√64 −
64
625
∙ (x − 707)2 + 50 2.186 150.400 
9 Reta y = 35 3.150 173.200 
10 Reta y = 32,5 6.500 331.800 
TOTAL 89.434.00 7.757.720 
5. CONSIDERAÇÕES 
 
 Diariamente profissionais da engenharia enfrentam diversas situações em que devem criar 
ou aprimorar projetos, peças equipamentos e máquinas. Tais conhecimentos que são obtidos nas 
primeiras fases do curso de engenharia e oferecem as ferramentas para este processo. 
 Mesmo se tratando de um objeto de estudo simples, o eixo de um motor, os cálculos 
desenvolvidos possibilitaram um entendimento adequado do processo de obtenção da área 
longitudinal e do volume do sólido. Após todo o processo do desenvolvimento das equações e 
realização dos cálculos foi possível observar a aplicação dos conhecimentos desenvolvidos em sala 
de aula voltados à uma aplicação real. Este processo possibilitou uma maior compreensão dos 
conhecimentos obtidos. 
 Destaca-se também que este trabalho permitiu a familiarização com o software MathCad, 
uma importante ferramenta para a realização de cálculos de engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação 
e integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Makron books, 1987. 
 
STEWART, James. Cálculo, volume I. Tradução: Antonio Carlos Moretti; Antonio Carlos Gilli. 
6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012. 
MOREIRA, José Roberto et al. A Contribuição Do Veículo Elétrico Híbrido Para A Melhoria 
Da Qualidade Do Ar Nas Regiões Metropolitanas. São Paulo. 
COMO FUNCIONAM OS CARROS HÍBRIDOS: entenda como funciona esse veículo, que 
possui um motor elétrico e outro de combustão. 2013. Disponível em: < 
http://salaodocarro.com.br/como-funciona/carros-hibridos.html>. Acesso em: 02 nov. 2014. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://salaodocarro.com.br/como-funciona/carros-hibridos.html
MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS, CÁLCULOS DE ÁREA E VOLUME DOS SEGMENTOS DO 
SÓLIDO DE REVOLUÇÃO. 
 
1° SEGMENTO – CIRCUNFERÊNCIA 
Dados: 
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: 𝐶 = (0,27) 
𝑅𝑎𝑖𝑜: 𝑟 = 8 
𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜: 82 = (x − 8)2 + (y − 27)2 
Função: y = √64 − (x − 8)2 + 27 
Intervalo: 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 
 
Cálculo da área: 
 
∫ √64 − (𝑥 − 8)2
8
0
+ 27 𝑑𝑥 = 
 ∫ √64 − (𝑥 − 8)2
8
0
𝑑𝑥
⏟ 
𝐴1
+∫ 27 𝑑𝑥
8
0⏟ 
𝐴2
 
∗ Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴1 = ∫ √64 − 𝑢2𝑑𝑢
0
−8
 
𝐴1 = ∫ √82 − 𝑢2𝑑𝑢
0
−8
 
𝐴1 = ∫ √64 − 64𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
Troca dos limitantes 
𝑢 = 𝑥 − 8 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑢 = 0 − 8 → 𝑢 = −8 
𝑢 = 8 − 8 → 𝑢 = 0 
𝐴1 = ∫ √64(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝐴1 = ∫ 64 𝑐𝑜𝑠
2𝜃 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝐴1 = 64∫
1 + 𝑐𝑜𝑠22𝜃
2
𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝐴1 = 32 (𝜃 +
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
)|
−
𝜋
2
0
 
𝐴1 = 32(−
𝜋
2
+
𝑠𝑒𝑛2
−𝜋
2
2
) 
𝐴1 = 16𝜋 
 
𝐴2 = ∫ 27 𝑑𝑥
8
0
 
𝐴2 = 5𝑥|
0
8
27 ∙ 8 − 27 ∙ 0 
𝐴2 = 216 
∗ 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴 = 16𝜋 + 216 
𝑨 = 𝟐𝟔𝟔, 𝟐𝟔𝟓 ∙ 𝟐 = 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟓𝟑𝟐, 𝟓𝟑 𝒎𝒎𝟐 
 
 
 
Integração por substituição 
trigonométrica 
𝑢 = 8 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑑𝑢 = 8 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 
Troca dos limitantes 
0 = 8 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = 0 
−8 = 8 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = −
𝜋
2
 
 
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 
 
Cálculo do Volume: 
 
𝑉 = ∫ 𝜋 ∙ (√64 − (𝑥 − 8)2 + 27)
2
𝑑𝑥
8
0
 
𝑉 = 𝜋∫ (64 − (𝑥 − 8)2 + 54√64 − (𝑥 − 8)2 + 729) 𝑑𝑥
8
0
 
∗ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉1 + 𝑉2 
𝑉 = 𝜋∫ 793 − (𝑥 − 8)2 𝑑𝑥 + 54𝜋∫ √64 − (𝑥 − 8)2 𝑑𝑥
8
0
8
0
 
𝑉1 = 𝜋 ∙ [793 ∙ 𝑥 −
(𝑥 − 8)3
3
]||
0
8
 
𝑉1 = 𝜋 ∙ [793 ∙ 8 −
(−8)3
3
] 
𝑉1 = 𝜋 ∙ [6344 −
512
3
] 
𝑉1 =
18520
3
𝜋 
 
𝑉2 = 54 ∙ 𝜋∫ √64 − (𝑥 − 8)2 𝑑𝑥
8
0
 
𝑉2 = 54 ∙ 𝜋∫ √64 − 𝑢2 𝑑𝑢
0
−8
 
𝑉2 = 54 ∙ 𝜋∫ 8𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 8𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝑉2 = 54 ∙ 64𝜋∫ 𝑐𝑜𝑠
2𝜃 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
Troca dos limitantes 
𝑢 = 𝑥 − 8 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑢 = 0 − 8 → 𝑢 = −8 
𝑢 = 8 − 8 → 𝑢 = 0 
 
𝑉2 = 54 ∙ 64𝜋∫
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝑉2 =
54 ∙ 64𝜋
2
∫ 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝑉2 = [1728 ∙ 𝜋 (𝜃 +
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
)]|
−
𝜋
2
0
 
𝑉2 = 1728𝜋 ∙
𝜋
2
 
𝑉2 = 8527,33 
 
∗ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉1 + 𝑉2 
 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =
18520
3
𝜋 + 8527,33 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟐𝟕𝟗𝟐𝟏. 𝟒𝟐𝟖 𝒎𝒎𝟑 
 
 
2° SEGMENTO – RETA 
 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: (8,35) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 2: (60,35) 
Função: y = 35 
Intervalo: 8 ≤ 𝑥 ≤ 60 
 
 
Integração por substituição 
trigonométrica 
𝑢 = 8 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑑𝑢 = 8 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 
Troca dos limitantes 
0 = 8 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = 0 
−8 = 8 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = −
𝜋
2
 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ 35 𝑑𝑥 
60
8
= 
𝐴 = 35𝑥|
8
60
35 ∙ 60 − 35 ∙ 8 = 
𝑨 = 𝟏. 𝟖𝟐𝟎 ∙ 𝟐 = 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟑. 𝟔𝟒𝟎 𝒎𝒎𝟐 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ 𝜋(35)2 𝑑𝑥 
60
8
= 
𝑉 = 𝜋 ∙ (35𝑥)|
8
60
𝜋 ∙ (1225 ∙ 60 − 1225 ∙ 8) = 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟗, 𝟒𝟓𝟐 𝒎𝒎𝟑 
 
3° SEGMENTO – RETA 
 
Dados: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: (60,42.5) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 2: (98,42.5) 
Função: y = 42 
Intervalo: 60 ≤ 𝑥 ≤ 98 
 
 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ 42,5 𝑑𝑥 
98
60
= 
𝐴 = 42,5𝑥|
60
98
42,5 ∙ 98 − 42,5 ∙ 60 = 
𝑨 = 𝟏𝟔𝟏𝟓 ∙ 𝟐 = 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟑. 𝟐𝟑𝟎 𝒎𝒎𝟐 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ 𝜋(42,5)2 𝑑𝑥 
98
60
= 
𝑉 = 𝜋(42,5𝑥)|
60
98
𝜋 ∙ (
7225
4
∙ 98 −
7225
4
∙ 60) = 
𝑉 =
137275
2
𝜋 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟐𝟏𝟓. 𝟔𝟑𝟏, 𝟎𝟔𝟓 𝒎𝒎𝟑 
 
4° SEGMENTO – HIPÉRBOLE 
 
Dados: 
Centro: 𝐶 = (98,0) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: (98,62) 
𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑎 = 52 
𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜: 
(y − 0)2
522
−
(x − 98)2
(
52√285
19
)2
= 1 
𝐹𝑢𝑛çã𝑜: 𝑦 = √(𝑥 − 98)2 ∙
19
15
+ 2704 
Intervalo: 98 ≤ 𝑥 ≤128 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ √(𝑥 − 98)2 ∙
19
15
+ 2704 𝑑𝑥 
128
98
= 
𝐴 = ∫ √
19
15
∙ (𝑥 − 98)2 + 2704 𝑑𝑥 
128
98
= 
𝐴 = ∫ √
19
15
∙ [(𝑥 − 98)2 +
15
19
∙ 2704] 𝑑𝑥 
128
98
 
𝐴 = √
285
15
∫ √(𝑥 − 98)2 +
40560
19
128
98
 𝑑𝑥 
𝐴 = √
285
15
∫ √𝑢2 +
40560
19
30
0
 𝑑𝑢 
𝑢 =
52√285
19
tan 𝜃 
𝑑𝑢
𝑑𝜃
=
52√285
19
sec 𝜃 
𝑑𝑢 = 
52√285
19
𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 
𝐴 = √
285
15
∫ √
40560
19
∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 +
40560
19
 ∙
0,575886
0
52√285
19
𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 
𝐴 = √
285
15
∫ √
40560
19
∙ (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃)
0,575886
0
 ∙
52√285
19
𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 
Troca dos limitantes 
𝑢 = 𝑥 − 98 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑢 = 98 − 98 → 𝑢 = 0 
𝑢 = 1288 − 98 → 𝑢 = 30 
 
Troca dos limitantes 
0 =
52√285
19
tan𝜃 → 𝜃 = 0 
30 =
52√285
19
tan𝜃 → 𝜃 = 0,575886 
 
𝑡𝑎𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 
𝐴 = √
285
15
∫ √
40560
19
∙ 𝑠𝑒𝑐2𝜃
0,575886
0
 ∙
52√285
19
𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 
𝐴 = √
285
15
∫
52√285
19
0,575886
0
sec 𝜃 ∙
52√285
19
𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 
𝐴 = 2402,567048∫ 𝑠𝑒𝑐3
0,575886
0
 
𝐴 = 2402.567048 ∙
1
2
(sec 𝜃 ∙ tan 𝜃 + ln|sec 𝜃 + tan𝜃|)|
0
0,575886
 
𝐴 = 1201.283524 ∙ [(1.192307041 ∙ 0.6493043049) + 0.6106409199] = 
𝑨 = 𝟏. 𝟔𝟔𝟑, 𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟐 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟑. 𝟑𝟐𝟕, 𝟏𝟎 𝒎𝒎𝟐 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ 𝜋(√(𝑥 − 98)2 ∙
19
15
+ 2704)
2
 𝑑𝑥 
128
98
= 
𝑉 = 𝜋∫ (𝑥 − 98)2 ∙
19
15
+ 2704 𝑑𝑥 
128
98
 
𝑉 = 𝜋∫
19
15
∙ (𝑥 − 98)2 𝑑𝑥 + 𝜋∫ 2704 𝑑𝑥
128
98
 
128
98
 
𝑉 = 𝜋∫
19
15
128
98
∙ (𝑥2 − 196𝑥 + 9604) 𝑑𝑥 + 𝜋∫ 2704 𝑑𝑥
128
98
 
𝑉 = 𝜋 [
19
15
(
𝑥3
3
− 98𝑥2 + 9604𝑥) + 2704𝑥]||
98
128
 
𝑉 = 𝜋 [
19
15
(
1283
3
− 98 ∙ 1282 + 9604 ∙ 128) + 2704 ∙ 128]
− [
19
15
(
983
3
− 98 ∙ 982 + 9604 ∙ 98) + 2704 ∙ 98] 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟐𝟗𝟎. 𝟔𝟔𝟎, 𝟏𝟓 𝒎𝒎𝟑 
 
5° SEGMENTO – RETA 
 
Dados: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: (128,62) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 2: (585,62) 
Função: y = 62 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 128 ≤ 𝑥 ≤ 585 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ 62 𝑑𝑥 
585
128
= 
𝐴 = 62𝑥|
128
585
62 ∙ 585 − 62 ∙ 128 = 
𝑨 = 𝟐𝟖. 𝟑𝟑𝟒 ∙ 𝟐 = 
𝑨 = 𝟓𝟔. 𝟔𝟔𝟖 𝒎𝒎𝟐 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ 𝜋(62)2 𝑑𝑥 
585
128
= 
𝑉 = 𝜋(62𝑥)|
128
585
𝜋(3.844 ∙ 585 − 3844 ∙ 128) = 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟓. 𝟓𝟏𝟖. 𝟖𝟔𝟎, 𝟗𝟒 𝒎𝒎𝟑 
 
6° SEGMENTO – PARÁBOLA 
 
Dados: 
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: (585, 62) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜: (585,52) 
𝐹𝑢𝑛çã𝑜: 𝑦 = (−9.444 ∙ 10−3𝑥2 + 11𝑥 − 3.141 ∙ 103) 
Intervalo: 585 ≤ 𝑥 ≤ 615 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ (−9.444 ∙ 10−3𝑥2 + 11𝑥 − 3.141 ∙ 103) 𝑑𝑥
615
585
= 
𝐴 = (−9.444 ∙ 10−3 ∙
𝑥3
3
+ 11 ∙
𝑥2
2
− 3.141 ∙ 103 ∙ 𝑥)||
585
615
 
𝐴 = |
585
615
− 9.444 ∙ 10−3 (
6153
3
−
5853
3
) + 11(
6152
2
−
5852
2
) − 3.141 ∙ 103(615 − 585) = 
𝐴 = (−102016.449 + 198.000 − 94.230) = 
𝑨 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟑. 𝟓𝟓 ∙ 𝟐 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝟑. 𝟓𝟎𝟕, 𝟏𝟎 𝒎𝒎𝟐 
 
 
 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ (−9.444 ∙ 10−3𝑥2 + 11𝑥 − 3.141 ∙ 103)2 ∙ 𝜋 𝑑𝑥
615
585
= 
𝑉 = ∫ 𝜋 ∙ (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑐)2 𝑑𝑥
615
585
 
𝑉 = ∫ 𝜋 ∙ (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑐) ∙ (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑐) 𝑑𝑥
615
585
 
𝑉 = ∫ 𝜋 ∙ [𝑎2𝑥4 + 2𝑎𝑏𝑥3 − (2𝑎𝑐 + 𝑏2)𝑥2 − 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑐2] 𝑑𝑥
615
585
 
𝑉 = 𝜋 ∙ [𝑐2 ∙ 𝑥 +
𝑎2 ∙ 𝑥5
5
+ (
𝑏2
3
+
2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
3
) ∙ 𝑥3 +
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥4
2
+ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑥2]||
585
615
 
𝑉 = 𝜋 [𝑐2 ∙ 615 +
𝑎2 ∙ 6155
5
+ (
𝑏2
3
+
2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
3
) ∙ 6153 +
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 6154
2
+ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 6152
− [𝑐2 ∙ 585 +
𝑎2 ∙ 5855
5
+ (
𝑏2
3
+
2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
3
) ∙ 5853 +
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 5854
2
+ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 5852]] 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟑𝟐𝟐. 𝟖𝟐𝟕, 𝟕𝟗 𝒎𝒎𝟑 
 
7° SEGMENTO – RETA 
 
Dados: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: (615,50) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 2: (682,50) 
Função: y = 50 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 615 ≤ 𝑥 ≤ 682 
 
 
Constantes da Função 
𝑎 = −9.444 ∙ 10−3 
𝑏 = 11 
𝑎 = 3141 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ 50 𝑑𝑥 
682
615
= 
𝐴 = 50𝑥|
615
682
50 ∙ 682 − 50 ∙ 615 = 
𝑨 = 𝟑. 𝟑𝟓𝟎 ∙ 𝟐 
 Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝟔. 𝟕𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟐 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ 𝜋(50)2 𝑑𝑥 
682
615
= 
𝑉 = 𝜋(50𝑥)|
615
682
𝜋(2.500 ∙ 682 − 2.500 ∙ 615) = 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟓𝟐𝟔. 𝟐𝟏𝟔, 𝟕𝟔 𝒎𝒎𝟑 
 
8° SEGMENTO – ELIPSE 
 
Dados: 
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: (707,50) 
𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑎 = 25 
𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑏 = 8 
𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜: 
(x − 707)2
252
+
(y − 50)2
82
= 1 
y = −√64 −
64
625
∙ (x − 707)2 + 50 
Intervalo: 682 ≤ 𝑥 ≤ 707 
 
Cálculo da área: 
A = ∫ −√64 −
64
625
∙ (x − 707)2 + 50
707
682
 dx 
A = ∫ −√
64
625
(
625
64
∙ 64) − (x − 707)2 + 50
707
682
 dx 
A =
8
25
∫ −√625 − (x − 707)2 dx
707
682
 
A =
8
25
∫ −√625 − (x − 707)2 dx
707
682⏟ 
A1
+∫ 50
707
682
 dx
⏟ 
A2
 
∗ Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴1 =
8
25
∫ −√625 − 625 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
0
−25
 𝑑𝜃 
𝐴1 =
8
25
∫ −(25 cos 𝜃 ∙ 25 cos 𝜃 )𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝐴1 = −200∫ 𝑐𝑜𝑠
2 𝜃 𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝐴1 = −200∫
1 + cos 2𝜃
2
𝑑𝜃
0
−
𝜋
2
 
𝐴1 = −100∫ 1 + cos 2𝜃 
0
−
𝜋
2
𝑑𝜃 
𝐴1 = −100 (𝜃 +
sen 2𝜃
2
)|
−
𝜋
2
0
 
Integração por substituição 
trigonométrica 
𝑢 = 25 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑑𝑢 = 25 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 
Troca dos limitantes 
0 = 25 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = 0 
−25 = 25 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = −
𝜋
2
 
 
𝐴1 = −100(
−𝜋
2
+
sen 2 (
−𝜋
2 )
2
) 
𝑨𝟏 = −𝟓𝟎𝝅 
 
 
𝐴2 = ∫ 50 𝑑𝑥
707
682
 
𝐴2 = 50𝑥|
682
707
707 ∙ 50 − 682 ∙ 50 
𝑨𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟎 
∗ 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴 = −50𝜋 + 1.250 
𝑨 = 𝟏. 𝟎𝟗𝟐, 𝟗𝟐 ∙ 𝟐 = 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝟐. 𝟏𝟖𝟓, 𝟖𝟒 𝒎𝒎𝟐 
 
Cálculo do volume: 
V = ∫ π ∙ (−√64 −
64
625
∙ (x − 707)2 + 50)
2
707
682
 
𝑉 = 𝜋∫ [64 −
64
625
∙ (𝑥 − 707)2 + 2500]
707
682⏟ 
𝑉1
+∫ −100√64 −
64
625
∙ (𝑥 − 707)2
707
682⏟ 
𝑉2
 
𝑉1 = 𝜋∫ 64 −
64
625
∙ (𝑥 − 707)2 + 2500
707
682
 
Troca dos limitantes 
𝑢 = 𝑥 − 707 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑢 = 682 − 707 → 𝑢 = −25 
𝑢 = 707 − 707 → 𝑢 = 0 
 
𝑉1 = 𝜋 ∙ (64𝑥 −
64
625
∙ (
𝑥 − 707
3
)
3
+ 2500𝑥)||
682
707
𝜋 ∙ (1812748 − 1749181.333)
= 63566,667 ∙ 𝜋 
𝑽𝟏 = 𝟏𝟗𝟗𝟕𝟎𝟎. 𝟓𝟕𝟒𝟏 
𝑉2 = ∫ 𝜋 ∙ (−100√64 −
64
625
∙ (𝑥 − 707)2)
707
682
 
𝑉2 = −100 ∙ 𝜋∫ √64 −
64
625
∙ (𝑥 − 707)2
707
682
 
𝑉2 = −100 ∙ 𝜋∫ √
64
625
∙ [
625
64
∙ 64 − (𝑥 − 707)2]
707
682
 
𝑉2 = −32 ∙ 𝜋∫ √625 − (𝑥 − 707)2
707
682
 
𝑉2 = −32 ∙ 𝜋∫ √625 − 𝑢2
0
−25
 
𝑉2 = −32 ∙ 𝜋∫ √625 − 625 sen2 𝜃
0
−25
 
𝑉2 = −32 ∙ 𝜋∫ √625 ∙ (1 − sen2 𝜃)
0
−25
 
𝑉2 = −32 ∙ 𝜋∫ √625 cos2 𝜃
0
−25
 
𝑉2 = −32 ∙ 𝜋∫ 25 cos 𝜃 ∙ 25 cos 𝜃 𝑑𝜃 
0
−25
 
𝑉2 = −20000 ∙ 𝜋 ∫ cos
2 𝜃 𝑑𝜃 
0
−
𝜋
2
 
𝑉2 = −20000 ∙ 𝜋∫
1 + cos 2𝜃
2
 
0
−
𝜋
2
 
Troca dos limitantes 
𝑢 = 𝑥 − 707 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑢 = 682 − 707 → 𝑢 = −25 
𝑢 = 707 − 707 → 𝑢 = 0 
 
Integração por substituição 
trigonométrica 
𝑢 = 25 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑑𝑢 = 25 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 
Troca dos limitantes 
0 = 25 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = 0 
−25 = 25 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜃 = −
𝜋
2
 
 
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 
 
𝑉2 = −10000 ∙ 𝜋∫ 1 + cos 2𝜃 
0
−
𝜋
2
 
𝑉2 = −10000 ∙ 𝜋 (𝜃 +
sen 2𝜃
2
)|
−
𝜋
2
0
 
𝑉2 = (−10000 ∙ 𝜋 ∙
1
2
∙ 𝜋) 
𝑽𝟐 = −𝟒𝟗𝟑𝟒𝟖. 𝟎𝟐𝟐𝟎𝟏 
 
 
∗ 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 199700.5741 − 49348.02201 = 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟏𝟓𝟎. 𝟑𝟓𝟐. 𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟑 
 
9° SEGMENTO – RETA 
 
Dados: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: (707,35) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 2: (752,35) 
Função: y = 35 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 707 ≤ 𝑥 ≤ 752 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ 35 𝑑𝑥 
752
707
= 
𝐴 = 35𝑥|
707
752
35 ∙ 752 − 35 ∙ 707 = 
𝑨 = 𝟏. 𝟓𝟕𝟓 ∙ 𝟐 = 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟑. 𝟏𝟓𝟎 𝒎𝒎𝟐 
 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ 𝜋(35)2 𝑑𝑥 
752
707
= 
𝑉 = 𝜋(50𝑥)|
707
752
𝜋(1.225 ∙ 752 − 1.225 ∙ 707) = 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟏𝟕𝟑. 𝟏𝟖𝟎, 𝟐𝟗 𝒎𝒎𝟑 
 
10° SEGMENTO – RETA 
 
Dados: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: (752,32.5) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 2: (852,32.5) 
Função: y = 32,5 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 752 ≤ 𝑥 ≤ 852 
 
Cálculo da área: 
𝐴 = ∫ 32,5 𝑑𝑥 
852
752
= 
𝐴 = 32,5𝑥|
752
852
32,5 ∙ 852 − 32,5 ∙ 752 = 
𝑨 = 𝟑. 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟐 = 
Á𝑹𝑬𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟔. 𝟕𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟐 
Cálculo do volume: 
𝑉 = ∫ 𝜋(32,5)2𝑑𝑥 
852
752
= 
𝑉 = 𝜋(32,5𝑥)|
752
852
𝜋 (
4225
4
∙ 852 −
4225
4
∙ 752) = 
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬 = 𝟑𝟑𝟏. 𝟖𝟑𝟎, 𝟕𝟐 𝒎𝒎𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA COMPARATIVA DE CÁLCULO ENTRE O CALCULADO 
ANALITICAMENTE E PELO SOFTWARE MATHCAD 
 
 
2.1 ADAPTAÇÕES 
 
 Escolhido o eixo do veículo elétrico híbrido como objeto de estudo, o mesmo foi adaptado 
para atender todas as cônicas requeridas para o trabalho. As adaptações feitas não afetam o seu 
desempenho, foram simplesmente feitas para atender os quatro tipos de cônicas. 
Tabela Comparativa de cálculo 
Segmento 
Área Calculada 
pelo software 
MathCad 
[mm2] 
Área calculada 
analiticamente 
[mm2] 
Volume 
Calculado pelo 
software 
MathCad 
[mm3] 
Volume 
calculado 
analiticamente 
[mm3] 
1 Circunferência 532.53 532.53 27.921,46 27.921,42 
2 Reta 3.640 3.640 200.119,45 200.119,45 
3 Reta 3.230 3.230 215.631,06 215.631,06 
4 Hipérbole 3.327,10 3.327,10 290.660,15 290.660,15 
5 Reta 56.668 56.668 5.518.860,94 5.518.860,94 
6 Parábola 3.507,10 3.507,10 322.827,79 322.827,79 
7 Reta 6.700 6.700 526.216,76 526.216,76 
8 Elipse 2.185,82 2.185,84 150.352,49 150.352,55 
9 Reta 3.150 3.150 173.180,29 173.180,29 
10 Reta 6.500 6.500 331.830,72 331.830,72 
TOTAL 89.440,55 89.440,57 7.757.601,11 7.757.601,13 
 A seguir duas imagens comparando os eixos, a figura 1 representa o eixo sem adaptações, 
e a figura 2 o eixo com as adaptações.