INTEGRAIS DÚPLAS E SUAS APLICAÇÕES

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1Estudante de graduação do curso de Engenharia Civil, e-mail: clesiorodrigues@outlook.com. 
2Estudante de graduação do curso de Engenharia Civil, e-mail: raphaelcivil98@gmail.com. 
3Estudante de graduação do curso de Engenharia Civil, e-mail: helde_silva@hotmail.com. 
4Estudante de graduação do curso de Engenharia Civil, e-mail: vitor.j7@hotmail.com. 
5Estudante de graduação do curso de Engenharia Civil, e-mail: witor_c3@hotmail.com. 
6Professor Adjunto da UEMASUL, e-mail: alexiocardozo@hotmail.com. 
INTEGRAIS DÚPLAS E SUAS APLICAÇÕES 
 
Clésio de Oliveira Rodrigues1 
Francisco Raphael Lima Duarte2 
Helde Costa Silva3 
Vitor de Sousa Machado4 
Witor Carvalho Bomjardim5 
Luis Alexandro V. Cardozo6 
RESUMO 
Via de regra, o conceito de integração é feito a partir da definição de soma de Riemann, modo 
que, o entendimento é enunciado tratando-se de uma soma entre infinitas parcelas 
infinitesimais. Fundamentado neste pensar, o cálculo integral pode proporcionar ao acadêmico 
de engenharia ter uma interpretação abrangedora, fazendo-o útil no cotidiano de maneira 
inteligível e bastante ligada à prática de ofício. Tal modo que, uma abordagem didática com a 
fundamentação de retratar o estudo do cálculo, tratando-se de um certo ideal de juízo aos mais 
variados problemas estruturais. Para tal, ao analisarmos os esforços aos quais estão sujeitos os 
corpos rígidos, nos deparamos com as mais variadas conjunturas. Uma vez que, um corpo pode 
estar sujeito a carregamentos assíduos, isto é, que atuam em um ponto específico, como também 
em carregamentos distribuídos ao longo de sua superfície. Para tanto, o entendimento técnico-
científico requer o uso de ferramentas didáticas exploradas pelo cálculo integral que produzem 
resultados surpreendentes no estudo de dimensionamento de sistemas construtivos, como 
aplicações em áreas, momento de inércia, centro de massa e volume. Por fim, conforme 
observado a grande importância da matemática para a construção civil, torna-se possível 
elaborar um objeto de estudo didático do cálculo integral correlacionado à análise de estruturas 
para que o acadêmico de Engenharia Civil tenha uma visão mais abrangente do tema, posto 
que, torna útil na vida profissional de modo prático, ligado ao exercício da função. 
Palavras-chave: Integração. Construção civil. Estruturas. 
1 INTRODUÇÃO 
Por todo o decurso da humanidade, buscamos suscitar a expansão do progresso 
técnico-científico, logo, as questões matemáticas associadas às concepções de volume deriva-
se aos tempos dos egípcios centenas de anos atrás, no qual problemas como cálculo de volumes 
de grãos começaram a ter grande relevância. Ao longo do progresso científico da humanidade 
e com isso, da matemática, inúmeras insuficiências foram sendo ultrapassadas e com elas 
muitos conceitos novos contemplados, um dos maiores feitos é o cálculo integral elaborado por 
Leibniz e Newton. Por meio deste descobrimento várias ferramentas surgiram solucionando 
problemas que até então não possuíam respostas. 
Via de regra, o conceito de integração é feito a partir da definição de soma de 
Riemann, modo que, o entendimento é enunciado tratando-se de uma soma entre infinitas 
parcelas infinitesimais. Fundamentado neste pensar, o cálculo integral pode proporcionar ao 
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acadêmico de engenharia ter uma interpretação abrangedora, assim, fazendo-o útil no cotidiano 
de maneira inteligível e bastante ligada à prática de ofício. 
Podemos evidenciar dentre esses instrumentos a integral dupla que surge a partir da 
extensão dos teoremas e propriedades de integral simples, através dela várias questões 
geométricas foram desvendadas, por exemplo, problemas de áreas e volumes, tendo também 
grande contribuição na física, propiciando a solução de problemas envolvendo centro de massa, 
momentos de inércia, entre outros. 
Essa pesquisa tem por objetivo geral desmitificar os empasses sobre conceitos 
fundamentais de integrais duplas, trazendo um entendimento de modo geral qual o melhor meio 
para produzir interpretações geométricas e algébricas no tocante aos volumes, caracterizando 
situações cotidianas em que as integrais duplas podem ser utilizadas de modo prático e 
funcional. 
2 CÁLCULO 
O cálculo é a linguagem usada pelos engenheiros, cientistas e economistas, para 
impactar no seu dia a dia, de forma direta. Ou seja, “[...] desde o seu micro-ondas, telefone 
celular, TV, e carro até os remédios que você toma, os mecanismos da economia, e a sua 
segurança nacional. Neste exato momento, algo ao seu alcance ou à sua vista foi impactado 
pelo cálculo.” (RYAN, 2011, p. 10). 
2.1 LIMITE 
A definição de reto ou curvo, vai depender de sua perspectiva em relação ao que 
está sendo observado, segundo RYAN, “A matemática dos limites é o microscópio que amplia 
uma curva.” (RYAN, 2011, p. 23). Ou seja, o limite pode ser definido como o processo de 
ampliar uma curva até que ela se torne reta. A matemática dos limites é toda baseada nesse 
processo de aproximação, e ele funciona, novamente, porque quanto mais você aproxima, mais 
reta a curva fica. 
2.2 O CÁLCULO SEGUNDO A IDEIA DE DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO 
O conceito de limite é um conceito importante na definição de derivada e integral. 
No cálculo diferencial, você estuda a diferenciação, que é o processo de derivar – isto é, 
encontrar – derivadas. Essas são grandes palavras para uma simples ideia: Encontrar a 
inclinação de uma reta ou de uma curva. E a integração, nada mais é que achar a área ou o 
volume de determinada forma dividindo-a em pequenas partes, tantas partes quanto for 
possível, para depois soma-las. 
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2.3 DERIVADA 
A derivada de uma curva é apenas um termo sofisticado do cálculo para a inclinação 
da reta, a inclinação de uma reta é também uma simples razão como quilômetros por hora ou 
lucro por item. O coeficiente angular da reta (inclinação da reta), que pode ser denominado 
como a taxa de variação da função, que por sua vez é a inclinação relativa ao eixo “𝑥”, medido 
a partir do ângulo “𝛼”, partindo sempre de “𝑥” no sentido horário. 
𝑑
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎. 
Ou seja, a derivada nada mais é que o limite da variação de y dividido pela variação de x, 
quando a variação de x tender a zero (0). 
2.4 INTEGRAL 
Integração é a segunda grande ideia em cálculo, e é basicamente apenas uma adição 
mais sofisticada. Integração é o processo de dividir uma área em pequenas seções, descobrir as 
áreas dessas seções menores, e depois somar os pequenos pedaços da área para achar a área 
total. Na matemática tudo possui o seu inverso, como por exemplo, a subtração como inverso 
da adição, divisão como inverso da multiplicação, entre outros, e a integral como inverso da 
derivada denominada de antiderivação e tem como fórmula geral: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
3 INTEGRAL DUPLA 
De acordo com Howard Anton “a integral definida de uma função variável 
originou-se do problema da determinação de áreas sob curvas.” E é matematicamente 
representada pela expressão abaixo: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘→0
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗)∆𝑥𝑘 =
𝑛
𝑘=𝑙
𝑏
𝑎
lim
𝑛→+∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗)∆𝑥𝑘
𝑛
𝑘=𝑙 
Semelhantemente a motivação para a concepção das integrais duplas originou-se 
do problema da determinação do volume. Levando em consideração que alguns volumes são 
calculados multiplicando a área da base pela sua altura, vamos calcular o volume de uma figura 
irregular e com isso chegar à definição de integral dupla. 
 
Figura 01 
4 
 
Para determinar o volume da figura 01 abaixo a região R deve ser subdividida em 
pequenos retângulos de área ∆𝐴𝑘 e ponto médio (𝑥𝑘
∗, 𝑦𝑘
∗), depois a área destes vários 
retângulos devem ser somadas para determinar a área total R. 
 
Figura 02 
Já a altura do sólido representado na figura 02 é determinada por 𝑧, sendo 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
Figura 03 
Sendo assim temos vários paralelepípedos retangulares com área dabase ∆𝐴𝑘 e 
altura 𝑓(𝑥𝑘
∗, 𝑦𝑘
∗) e de volume ∆𝐴𝑘. 𝑓(𝑥𝑘
∗, 𝑦𝑘
∗). Logo, o volume da figura da figura 03 será 
determinado pelo somatório dos volumes destes vários retângulos denominados de somas de 
Riemann, expressado matematicamente por: 𝑉 = lim
𝑛→+∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗ , 𝑦𝑘
∗)∆𝐴𝑘
𝑛
𝑘=𝑙 
Onde 𝑛 → +∞ indica que o número de sub-retângulos que preenchem a área R 
serão tantos que o comprimento e a largura deles tenderão a zero. O limite das somas de 
Riemann pode ser escrito como: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
= lim
𝑛→+∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗ , 𝑦𝑘
∗)∆𝐴𝑘
𝑛
𝑘=𝑙 
3.1 CALCULO DE INTEGRAIS DUPLAS 
O método utilizado para encontrar o valor da integral dupla será por meio do cálculo 
de duas integrais simples sucessivas. 
O processo para calcular as derivadas parciais de uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) é manter uma 
das variáveis fixa e derivando em relação à outra variável. Levando em consideração que a 
integral é o inverso deste processo temos a seguinte simbologia matemática ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
𝑏
𝑎
e 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 
𝑑
𝑐
que Howard Anton denomina de “integrais definidas parciais”, onde a primeira 
chama-se integral definida parcial em relação a x e é calculada mantendo-se y fixo e integrando 
x. A segunda é denomina-se integral definida parcial em relação à y, é calculada mantendo-se 
x fixo e integrando y. 
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Quanto calcula-se uma integral definida parcial em relação a x, a resposta é uma 
função de y, sendo assim ela pode ser integrada em relação a y. Similarmente, uma integral 
definida parcial em relação a y pode ser integrada em relação a x. Esse procedimento chama-se 
integração iterada (ou repetida) cuja representação matemática é ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
]
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 ou ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
]
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑑𝑥. 
4 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS 
As integrais duplas tornaram-se uma forte ferramenta matemática que possibilitou 
a solução de problemas que até então não possuíam respostas, gerando um grande avanço e 
contribuição para várias ciências que careciam de uma ferramenta para o seu desenvolvimento. 
Neste capítulo trataremos das aplicações das integrais duplas em diversas áreas do 
conhecimento. “Se aproximarmos um sólido por colunas retangulares e aumentarmos o número 
de colunas, o limite da soma dos volumes das colunas será o volume do sólido” 
(STEWART,2007, p. 978,2007). 
Como vimos anteriormente a soma de Riemann nas integrais duplas é a soma dos 
volumes dos paralelepípedos cujas bases são os sub-retângulos e cujas alturas correspondentes 
são os valores de f(ξi, γi), considerando f(x,y) maior ou igual a zero numa região D do 𝑅2, temos 
que ∬ 𝑓
𝐷
(x,y)dydx D é uma aproximação do volume da porção de espaço compreendido entre 
f(x,y) e a região D do plano xy. 
“Quando ∆x → 0 e ∆y → 0, essa soma vai se aproximando mais e mais do que 
podemos chamar o volume do sólido delimitado pelo domínio D, pelo gráfico f e pelas retas 
que passam pela fronteira de D e são paralelas ao eixo Oz.” (ÁVILA, 1995, p.136). Sendo assim 
podemos expressar o volume V de uma função f(x,y) não-negativa, contínua e integrável sobre 
uma região D, como V = ∬ f(x, y)dydx
D
. 
Através desta aplicação podemos calcular o volume de vários sólidos geométricos 
que até então representavam um grande problema para a geometria comum. Ela nos permite 
calcular o volume de qualquer espaço compreendido entre f(x,y) e o plano xy. 
4.1 CÁLCULO DE ÁREA 
A área de uma figura plana D, com fronteira regular, é definida como sendo a 
integral da função f(x,y) = 1 em D, isto é, A = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
. 
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É fácil perceber que quando fazemos f(x,y) = 1, a soma de Riemann somará somente 
a área dos polígonos que vão se aproximando gradativamente da área da região D do plano xy, 
à medida que ∆x e ∆y tendem a zero. 
Através desta aplicação podemos calcular a área de várias figuras planas, desde as 
mais simples até as mais complexas que as vezes se tornam um grande desafio para a geometria 
comum. 
4.2 MASSA 
Seja uma lâmina colocada numa região D do plano xy e cuja densidade (em 
unidades de massa por área) no ponto (x,y) em D é dada por δ(x, y), onde δ é uma função 
contínua e integrável sobre a região D, então δ(x, y)dxdy é a massa do elemento de área dxdy, e 
a massa total da lâmina é 𝑚 = ∬ δ𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
. 
Através desta aplicação podemos calcular a massa de qualquer lâmina numa região 
D do plano xy, basta termos a função densidade para obter a massa total de uma lâmina qualquer. 
4.3 CARGA ELÉTRICA 
Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D e a densidade de carga 
(em unidades de carga por unidade de área) é dada por δ (x, y) num ponto x, y em D, então a 
carga total q é: 𝑞 = ∬ δ(x, y)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
 
4.4 CENTRO DE MASSA 
É o ponto (�̅� ,�̅�) cujas coordenadas são definidas por: 
�̅� =
𝑀𝑦
𝑚
=
∬ xδ(x,y)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
∬ δ(x,y)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
 e �̅� = 
𝑀𝑥
𝑚
=
∬ yδ(x,y)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
∬ δ(x,y)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
 
Onde m é a massa, Mx e My são os momentos da lâmina em torno do eixo, ou seja, 
o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. “O momento total de toda a 
massa da lâmina é obtido pela soma: isto é, pela integração de todos os momentos 
“infinitesimais”.” (NUNEM; FOULIS, 1982, p.958) 
Nesse ponto temos o chamado ponto de equilíbrio da lâmina que é chamado de 
centro de massa. O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa 
estivesse concentrada no ponto (x, y). Quando a distribuição da massa é uniforme, temos que a 
densidade δ é constante, neste caso o centro de massa é o centro geométrico da região, por essa 
razão, é usualmente chamado de centróide. “O centróide de uma região plana é uma noção 
puramente geométrica e é independente da concepção física de massa” (NUNEM; FOULIS, 
1982, p.958). 
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4.5 MOMENTO DE INÉRCIA 
O momento de inércia de uma partícula cuja a massa é m em torno de um eixo é 
definido como 𝑚𝑟2, onde r é a distância da partícula ao eixo. Estendendo este conceito para 
uma lâmina com função densidade δ (x,y) contínua numa região D do plano xy e aplicando o 
conceito de integral dupla, temos então, o que chamamos de momento de inércia de uma 
distribuição contínua de massa. Logo temos que o momento de inércia em torno do eixo x e do 
eixo y será respectivamente determinado por: 𝐼𝑥 = ∬ 𝑦
2δ(x, y)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
 e Iy =
∬ x2δ(x, y)dxdy
D
. Podemos também determinar o momento de inércia em torno da origem, 
também chamado de momento polar de inércia ou momento de inércia em torno do eixo z: 𝐼0 =
∬ (𝑥2 + 𝑦2)δ(x, y)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
. 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Portanto, com este estudo, conseguimos desmistificar a integral dupla, que para 
muitos representa um maior grau de complexidade e para testar o quanto é importante para 
várias áreas do conhecimento, isso permitiu o avanço e desenvolvimento de várias ciências que 
careciam de uma poderosa ferramenta para encontrar soluções. problemas que ainda 
permaneciam sem resposta. 
REFERÊNCIAS 
ANTON, Howard. Cálculo, volume 2. Porto Alegre: Bookman, 2007. (Howard Anton; 
tradução: Claus Ivo Doering. – 8.ed.) 
 
ÁVILA, Geraldo Severo de Sousa. Cálculo 3: funções de várias variáveis. 5aed.Rio de 
Janeiro: LTC, 1995. 
 
FOULIS, David J.; NUNEM, Mustafa A. Cálculo volume 2. Rio de Janeiro: LTC,1982. 
 
RYAN, Mark. Cálculos para leigos. tradutora Marcia Danielle. 2ª ed. Rio de Janeiro. Alta 
Books, 2011. 
 
STEWART, James. Cálculo volume 1. 5° Ed. São Paulo-SP: Thomson Learning,2007.