02_Matematica_Financeira_Estatistica_e_Probabilidade

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BANRISUL 
Escriturário 
 
Matemática Financeira: Juros simples e juros compostos .................................................................... 1 
Taxas de juros: nominal, efetiva, real, equivalente e aparente ........................................................... 10 
Desconto. Valor Presente, Valor Futuro e Montante .......................................................................... 14 
Estatística e Probabilidade: Análise combinatória .............................................................................. 20 
Noções de probabilidade; Probabilidade condicional ......................................................................... 31 
Noções de estatística; População e amostra; Análise e interpretação de tabelas e gráficos; Regressão, 
tendências, extrapolações e interpolações; Tabelas de distribuição empírica de variáveis e histogramas; 
Estatística descritiva (média, mediana, variância, desvio padrão, percentis, quartis, outliers, 
covariância) ............................................................................................................................................ 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
JUROS SIMPLES1 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
Nos juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
1 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
Matemática Financeira: Juros simples e juros compostos 
 
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Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 
400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. 
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 
150,00, foi de 
(A) 8,70%. 
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. 3 
(B) 7,50%. 
(C) 6,25%. 
(D) 5,10%. 
 
02. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemática financeira 
e finanças, julgue o item seguinte. 
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante 
ao final do período será inferior a R$ 10.140. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do 
seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com 
menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. 
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, 
para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: 
(A) R$ 3.096,00; 
(B) R$ 3.144,00; 
(C) R$ 3.192,00; 
(D) R$ 3.200,00; 
(E) R$ 3.252,00. 
 
04. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: 
(A) A capitalização de juros ocorre sobre o capital inicial 
(B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. 
(C) Os juros são pagos durante o período de capitalização 
(D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização 
(E) Todas as alternativas acima estão erradas 
 
05. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
06. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capitalde R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
07. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
08. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
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(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
O capital será de: 400,00 
2 trimestres: 2.3 = 6 meses 
J = 150 reais. 
Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos: 
 
j = 
100
.. tiC
 
150 . 100 = 400 . i . 6 
 i = 
15000
2400
 = 6,25% ao mês 
 
02. Resposta: Errado 
Pela fórmula de juros simples teremos j = 
100
.. tiC
 
Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. 
i = 12% ao ano = 1% ao mês 
t = 45 dias = 1,5 meses 
C = 10000 
Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. 
Vamos lá! 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
10000 . 1 . 1,5
100
 = 
15000
100
 = 150 reais, que é superior à 140 reais conforme dito no enunciado. 
 
03. Resposta: A 
Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! 
i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia 
 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
3000 . 0,4 . 8
100
 = 
9600
100
 = 96 reais 
 
Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 
 
04. Resposta: A 
Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está 
correta. 
 
05. Resposta: E 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
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Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
06. Resposta: B 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
07. Resposta: C 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
08. Resposta: C 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros 
compostos2 na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
 
2 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
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Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Onde: 
M = montante, 
C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
 
- O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
Exemplo 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
 
Resolução 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
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informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadorana prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
Questões 
 
01. (UFLA – Administrador – UFLA/2018) A alternativa que apresenta o valor futuro correto de uma 
aplicação de R$ 100,00 à taxa de juros compostos de 10% ao ano pelo período de dois anos é: 
(A) R$ 121,00 
(B) R$ 112,00 
(C) R$ 120,00 
(D) R$ 110,00 
 
02. (BANPARÁ – Técnico Bancário – FADESP/2018) Na realização de um empréstimo de R$ 
8.000,00 por três meses, havia duas possibilidades de sistema a considerar: juros simples a 5%a.m ou 
juros compostos a 4%a.m. Comparando os montantes obtidos nesses dois sistemas, é correto afirmar 
que o de juros simples é, aproximadamente, 
(A) inferior ao de juros compostos em R$ 300,00. 
(B) inferior ao de juros compostos em R$ 200,00. 
(C) igual ao de juros compostos. 
(D) superior ao de juros compostos em R$ 200,00. 
(E) superior ao de juros compostos em R$ 300,00. 
 
03. (STM – Analista Judiciário – CESPE/2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma 
dívida de R$ 20.000, cuja taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples. 
Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue o item 
subsequente. 
No regime de juros compostos, o valor dos juros de mora na situação apresentada será R$ 100 menor 
que no regime de juros simples. 
( )Certo ( )Errado 
 
04. (TRANSPETRO – Engenheiro Junior – CESGRANRIO/2018) Uma empresa captou R$ 100.000 
reais a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. 
Ao cabo de seis meses no futuro, essa dívida terá um valor em reais, no presente, de 
(A) R$ 103.030 
(B) R$ 104.060 
(C) R$ 105.101 
(D) R$ 106.000 
(E) R$ 106.152 
 
05. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
06. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
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(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
07. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
08. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
C = 100 
i = 10%a.a = 0,1 
t = 2 anos (taxa e tempo na mesma unidade, ok!) 
M = ? 
 
M = 100.(1 + 0,1)² 
M = 100.1,21 = 121 reais 
 
02. Resposta: D 
Nesta questão precisamos calcular o valor obtido no regime de juros simples e o valor obtido em juros 
compostos, para depois calcularmos. 
- Juros Simples 
M = ? 
J = ? 
C = 8000 
i = 5%a.m. = 0,05 
t = 3 meses 
J = 8000.0,05.3 = 1200 
M = 8000 + 1200 = 9200 
 
- Juros compostos 
 
M = ? 
C = 8000 
i = 4% a.m. = 0,04 
t = 3 meses 
M = 8000.(1 + 0,04)³ = 8000.1,04³ = 8998,12 
 
Fazendo a variação entre os valores teremos 9200 – 8998,12 = 201,09, que aproximadamente será 
200 reais, assim o sistema de juros simples será superior em 200 reais se compararmos com o regime 
de juros compostos. 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 9 
03. Resposta: Certo 
Neste exercício devemos saber no regime de juros simples e no regime de juros compostos para então 
podermos compará-los. 
 
- Juros Simples 
C = 20000 
i = 21%a.m. = 0,21 
t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o 
tempo na unidade da taxa) 
t = 15/30 = ½ mês 
 
J = 20000.0,21 . 
1
2
 = 2100 
 
- Juros Compostos 
C = 20000 
i = 21%a.m. = 0,21 
t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o 
tempo na unidade da taxa) 
t = 15/30 = ½ mês 
 
M = 20000.( 1 + 0,21)
1
2 
M = 20000.1,21
1
2 
Muita atenção neste momento, pois o expoente é uma fração e para isto você deve lembrar de algumas 
propriedades de potência, 𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
, portanto no nosso exercício temos 1,21
1
2 = √1,211
2
= √1,21
2
 = 1,1. 
 
Prosseguindo, 
M = 20000.1,21
1
2 
M = 20000.√1,21
2
 
M = 20000.1,1 = 22000 
 
Sendo de Juros = 22000 – 20000 = 2000 
Portanto em juros simples = 2100 
Juros compostos = 2000 
Em juros simples é 100 reais maior que em juros compostos 
 
04. Resposta: E 
Vamos captar as informações: 
M = ? 
C = 100000 
i = 1%a.m. = 0,01 
t = 6meses 
 
M = 100000.(1 + 0,01)6 
M = 100000.1,016 
M = 100000. 1,06152 = 106152 reais 
 
05. Resposta: A 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
 
06. Resposta: B 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 10 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
07. Resposta: E 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
08. Resposta: B 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
 
 
TAXAS DE JUROS: EFETIVA, NOMINAL, PROPORCIONAIS, EQUIVALENTES, REAL E 
APARENTE3 
 
As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos 
financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. 
As taxas serão incorporadas sempre ao capital. 
 
Taxa Efetiva 
São aquelas onde a taxa da unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período de 
capitalização(valorização). Utilizado muito em caderneta de poupança. 
 
Exemplos 
 
 
 
- Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. 
- Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. 
 
Quando no enunciado não estiver citando o período de capitalização, a mesma vai coincidir com 
unidade da taxa. Em outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!! 
 
 
3 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
mundoeducacao.com/matematica/taxa-efetiva-taxa-real.htm 
 
Taxas de juros: nominal, efetiva, real, equivalente e aparente 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 11 
Taxa Nominal 
São aquelas cujas unidade de tempo NÃO coincide com as unidades de tempo do período de 
capitalização. 
Exemplos 
 
 
- 5% ao trimestre com capitalização semestral. 
- 15% ao semestre com capitalização bimestral. 
 
Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobrir a taxa 
efetiva (multiplicando ou dividindo a taxa) 
 
Exemplo 
 
Como são 12meses que existem no ano, então dividimos a taxa por 12, trazendo a taxa para o mesmo 
período da capitalização, tendo assim a taxa efetiva da operação. 
 
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente. 
 
Taxas Proporcionais ou Lineares (regime de juros simples) 
São taxas em unidade de tempo diferente que aplicadas sobre o mesmo capital ao mesmo período de 
tempo irão gerar o mesmo montante. 
 
Exemplos 
- 2% a.s é proporcional quantos % a.a? 
Como 1 ano tem 2 semestre 2%. 2(semestres) = 4% a.a 
- Uma taxa de 60% a.a geraria as seguintes taxas: 5% a.m (60%/12 meses);10% a.b (60%/6 
bimestres); 20% a.q(60%/3quadrimestres) .... 
 
Taxas Equivalentes (regime de juros compostos) 
As taxas de juros se expressam também em função do tempo da operação, porém não de forma 
proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas equivalentes. 
 
Exemplos 
 
- 24% a.a é equivalente a %a.m? 
Vamos aplicar o conceito acima, para resolução deste exemplo: 
(1+ia)=(1+im)12 (expoente na menor unidade de tempo) (1+0,24) = (1+im)12  1,24 = (1+im)12  Para 
retirar o expoente, basta fazermos a operação inversa da potenciação  √1,24 
12 = √(1 + 𝑖𝑚)
1212 
√1,24 
12
= 1 + 𝑖𝑚 → 𝑖𝑚 = 1,24
1
12 − 1 
Algumas bancas informam o valor da raiz, outras deixam como está. 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 12 
√𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
 
Taxa Real, Aparente e Inflação 
Taxa Real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos. 
Taxa Aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais). 
Taxa de Inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra. 
 
Podemos escrever todas essas taxas em função uma das outras: 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
 
Onde: (1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
 , independe da quantidade de períodos e do regime de juros. 
 
Exemplos 
 
01. Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: 
− Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. 
− Período de aplicação: um ano. 
− Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. 
− Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. 
Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é 
(A) R$ 53.550,00. 
(B) R$ 53.500,00. 
(C) R$ 53.000,00. 
(D) R$ 52.500,00. 
(E) R$ 51.500,00. 
 
Observe que o período de aplicação é de 1 ano, então tanto faz utilizar o regime de juros simples ou 
compostos. 
C = R$ 50.000,00 
t= 1 ano 
ii = 5% = 0,05 
ir = 2% = 0,02 
M=? 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)  (1+ia) = (1+0,02).(1+0,05i)  (1+ia) = 1,02 . 1,05  (1+ia) = 1,071  
 ia = 1,071-1  ia = 0,071(taxa efetiva da operação) 
Aplicando a fórmula do montante: M = C.(1+i)t  M= 50 000.(1+0,071)1  50 000. 1,071  
M= 53.550,00 
Resposta: A. 
 
02. Uma pessoa investiu R$ 1.000,00 por 2 meses, recebendo ao final desse prazo o montante de R$ 
1.060,00. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 4%, então a taxa de inflação desse bimestre foi 
de aproximadamente 
(A) 1,92. 
(B) 1,90. 
(C) 1,88. 
(D) 1,86. 
(E) 1,84. 
 
Neste exemplo, está nos faltando saber o valor da taxa de juros aparente, mas com as outras 
informações do enunciado podemos chegar ao seu valor: 
C = 1.000,00 
M = 1.060,00 
t = 2 meses 
ir = 4% = 0,04 
ii= ? 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 13 
(1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
⇒ (1 + 𝑖𝑎) =
1060
1000
 ⇒ (1 + 𝑖𝑎) = 1,06 
 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ 1,06 = (1 + 0,04). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ (1 + 𝑖𝑖) =
1,06
1,04
⇒ (1 + 𝑖𝑖) = 1,0192 ⇒ 
 
𝑖𝑖 = 1,0192 − 1 ⇒ 𝑖𝑖 = 0,0192 ⇒ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 100(𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙) ⇒ 1,92 
 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere as seguintes situações: 
I- Carlos comprou um produto que à vista custava R$ 1.000,00. Como ele não tinha todo esse valor, 
ele fez um plano de pagamento com 12 prestações iguais, de R$ 100,00 cada uma, sem entrada. 
II- Ana comprou o mesmo produto que Carlos, na mesma loja e com o mesmo preço à vista, mas fez 
o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$ 100,00 e mais 11 prestações de R$ 100,00 cada 
uma. 
 
Com base nessas situações, é possível afirmar corretamente que: 
(A) a taxa de juros do plano de Ana foi menor que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(B) a taxa de juros do plano de Ana foi igual à taxa de juros do plano de Carlos. 
(C) a taxa de juros do plano de Ana foi maior que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(D) não há como comparar as taxas de juros dos planos de Ana e de Carlos. 
 
02. (TJ/PE - Analista Judiciário-Contador - FCC) Uma taxa de juros nominal de 21% ao trimestre, 
com juros capitalizados mensalmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, 
aproximadamente, 
(A) 21,7%. 
(B) 22,5%. 
(C) 24,8%. 
(D) 32,4%. 
(E) 33,7%. 
 
03. (Pref. Florianópolis/SC – Auditor Fiscal – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% 
equivalente à taxa de: 
(A) 12,5% trimestral. 
(B) 16% quadrimestral. 
(C) 25,5% semestral. 
(D) 36,0% anual. 
(E) 52% anual. 
 
04. (BAHIAGÁS – Técnico de Processos Tecnológicos – IESES) Uma pessoa faz um investimento 
em uma aplicação que rende 14% de juros (taxa aparente) anuais. Porém a inflação em seu país é de 
10% anuais. Portanto a taxa de juros real que remunera a aplicação é: 
(A) Maior que 3,8% e menor que 3,9% ao ano. 
(B) Maior que 3,6% e menor que 3,7% ao ano. 
(C) Menor que 3,6% ao ano. 
(D) Maior que 3,9% ao ano. 
(E) Maior que 3,7% e menor que 3,8% ao ano. 
 
05. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um financiamento está sendo 
negociado a uma taxa nominal de 20% ao ano. 
A taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados semestralmente, é: 
(A) 10,00% 
(B) 20,21% 
(C) 21,00% 
(D) 22,10% 
(E) 24,20% 
 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 14 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
I. Carlos: 12 . 100 = 1200 
II. Ana: 100 + 11 . 100 = 100 + 1100 = 1200 
Os valores são iguais, porém Carlos não deu entrada e Ana sim. Por isso, a taxa de juros do plano de 
Ana foi maior que a de Carlos. 
 
02. Resposta: B. 
21% a. t capitalizados mensalmente (taxa nominai), como um trimestre tem 3 meses, 21/3 = 7% 
a.m(taxa efetiva). 
im = taxa ao mês 
it= taxa ao trimestre. 
(1+im)3 = (1+it)  (1+0,07)3 = 1+it  (1,07)3 = 1+it  1,225043 = 1+it  it= 1,225043-1  it = 
0,225043 x 100  it= 22,5043% 
 
03. Resposta: C. 
Sabemos que taxas a juros simples são ditas taxas proporcionais ou lineares. Para resolução das 
questões vamos avaliar item a item para sabermos se está certo ou errado: 
4,25% a.m 
Trimestral = 4,25 .3 = 12,75 (errada) 
Quadrimestral = 4,25 . 4 = 17% (errada) 
Semestral= 4,25 . 6 = 25,5 % (correta) 
Anual = 4,25.12 = 51% (errada) 
 
04. Resposta: B. 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
Jogando os valores que temos, na fórmula. 
1+ 0,14=(1+taxa real) . (1+ 0,1 
1,14= (1+taxa real) . (1,1) 
1,14/1,1= (1+taxa real) 
1,0363= 1+ taxa real 
1.0363-1=taxa real 
Taxa real = 0,0363 
Taxa real = 3,63% 
 
05. Resposta: C. 
Taxa nominal: 20%a.a. capitalizada semestralmente, ou seja 20/2 = 10% ao semestre. 
Agora, basta determinar a taxa efetiva: 
 
(1+iquero) = (1+itenho) 
(1+iquero)1 = (1+0,10)² 
iquero = 1,21 – 1 = 0,21 = 21% 
 
 
 
DESCONTOS 
 
Entende-se por Valor Nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data 
de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. 
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou 
um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença 
entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. 
Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 
 
Desconto.Valor Presente, Valor Futuro e Montante 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 15 
Valor descontado = Valor nominal – Desconto 
 
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros 
compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, 
restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo. 
Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto: 
(a) desconto “por dentro” (ou racional) e; 
(b) desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial). 
 
Exemplo 
Ao resgatar uma duplicata dois meses, antes da data do vencimento (04/03/2005), o credor José da 
Silva (aquele que irá receber o valor da mesma) recebe uma quantia de R$ 460,00. 
A essa diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual) damos o nome 
de desconto. 
 
D = N – A 
Onde: 
D = desconto 
N = valor nominal 
A = valor atual 
 
O desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento é maior, resultando 
num resgate de menor valor para o proprietário do título. O desconto é o contrário da capitalização. 
 
Comparando com o regime de juros, observamos que: 
 
- o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante; 
- o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital; 
- e o Desconto nos dá ideia de Juros. 
 
DESCONTOS SIMPLES4 
 
Desconto Racional Simples (por dentro) 
O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações 
básicas de juros simples. Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a 
taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de 
seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples 
 
𝐷𝑟 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑛 
 
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital 
no cálculo do desconto, tem-se: 
 
𝐷𝑟 = 𝑁 − 𝑉𝑟 
 
Sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e V o valor descontado racional (ou valor 
atual) na data da operação. 
 
Como: 
𝑉𝑟 = 𝐶 = 
𝑁
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
Tem-se: 
 
𝐷𝑟 = 
𝑁. 𝑖. 𝑛
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
 
4 NETO. A. Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ed. Atlas, São Paulo. 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 16 
A partir dessa fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de determinado valor 
nominal (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a determinado prazo de antecipação (n). 
Já o valor descontado, conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte expressão de cálculo: 
 
𝑉𝑟 = 
𝑁
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
Observe, uma vez mais, que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples. 
É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital 
liberado da operação. 
A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do 
desconto. 
 
Desconto Comercial Simples (por fora) 
Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, 
proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. Observe que, ao contrário dos 
juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, 
sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais 
ao tomador de recursos. 
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em 
operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. 
O valor desse desconto, genericamente denominado desconto “por fora” (Df) no regime de juros 
simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por 
fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é: 
 
Df = N . d . n 
 
O valor descontado “por fora” (Vf), aplicando-se a definição, é obtido: 
 
Vf = Nx(1 – d . n) 
 
Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada 
Em alguns casos teremos acréscimos de taxas pré-fixadas aos títulos, que são as taxas de despesas 
bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) cobradas sobre o valor nominal (N). Quando 
as mesmas aparecem nos enunciados, devemos somá-la à taxa de juros, conforme a fórmula abaixo: 
 
Df = N. (i.t + h) 
 
Onde: 
Df = desconto comercial ou bancário 
N = valor nominal 
i = taxa de juros cobrada 
t = tempo ou período 
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias. 
 
Temos ainda o valor bancário recebido, que nada mais é que: V = N – Db na qual podemos escrever 
da seguinte forma: 
 
V = N – Db → V = N – N (i.t + h) → V = N . [1 - (i.t + h)] 
 
Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr) 
Algumas questões propõem a utilização dessa relação para sabermos o valor do desconto caso fosse 
utilizado o desconto comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa. A relação é dada 
por: 
 
Df = Dr . (1 + i.t) 
 
 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 17 
Questões 
 
01. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros 
simples de 12% a.m. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da 
promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível 
em três meses. O valor da comissão é de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 30.000,00 
(C) R$ 40.000,00 
(D) R$ 50.000,00 
(E) R$ 60.000,00 
 
02. (FCC) Dois títulos são descontados em um banco 4 meses antes de seus vencimentos com uma 
taxa de desconto, em ambos os casos, de 2% ao mês. O valor atual do primeiro título foi igual a R$ 
29.440,00 e foi utilizada a operação de desconto comercial simples. O valor atual do segundo título foi 
igual a R$ 20.000,00 e foi utilizada a operação de desconto racional simples. A soma dos valores nominais 
destes dois títulos é igual a 
(A) R$ 53.600,00. 
(B) R$ 54.200,00. 
(C) R$ 55.400,00. 
(D) R$ 56.000,00. 
(E) R$ 56.400,00. 
 
03. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a. O 
valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o 
tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de: 
(A) R$ 9000,00 
(B) R$ 8600,22 
(C) R$ 8000,00 
(D) R$ 9600,22 
(E) R$ 10.600,00 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
h = 0,04 
t = 3 
iB = 0,12 . 3 
AB = N . [1 - (iB + h)] 
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)] 
300 000 = N . [1 – 0,4] 
N = 500 000 
Vc = 0,04 . N 
Vc = 0,04 . 500 000 
Vc = 20 000 
 
02. Resposta: A. 
1º título - Dcs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 29440 
N1 = ? 
D = N – A 
Dcs = N.i.t → N – A = N.i.t → N – 29440 = N.0,02.4 → N – 29440 = N.0,08 → N – 0,08N = 29440 → 
0,02N = 29440 → N = 29440 / 0,02 → N = 32000 
 
2º título - Drs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 18 
A = 20000 
N2 = ? 
N = A (1 + i.t) → N = 20000 (1 + 0,02.4) → N = 20000 (1 + 0,08) → N = 20000.1,08 → N = 21600 
Como o enunciado da questão pede a soma dos valores nominais, então teremos: 
N1 + N2 → 32000 + 21600 = 53600. 
 
03. Resposta: B. 
Dc = 860 
Dr = 781,82 
Usando N = (Dc . Dr) / (Dc – Dr), 
N = (860 . 781,82) / (860 – 781,82) = 672365,2 / 78,18 = 8600,22 
 
DESCONTOS COMPOSTOS5 
 
Desconto Racional Composto (por dentro) 
As fórmulas estão associadas com os juros compostos, assim teremos: 
 
Onde: 
D = Desconto Racional Composto 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Onde: 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Desconto Comercial Composto (por fora) 
 
Como a taxa incide sobre o Valor Nominal (maior valor),trocamos na fórmula o N pelo A e vice versa, 
mudando o sinal da taxa (de positivo para negativo). 
 
 
Onde: 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Questões 
 
 
5 NETO. A. Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ed. Atlas, São Paulo. 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 19 
01. (FCC) Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, 
foram descontados hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma 
de seus valores nominais é R$ 5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$ 5.005,00. O maior 
dos valores nominais supera o menor deles em 
(A) R$ 1.195,00. 
(B) R$ 1.215,50. 
(C) R$ 1.417,50. 
(D) R$ 1.484,00. 
(E) R$ 1.502,50. 
 
02. (CESPE) Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor 
de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto 
anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente 
o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas 
para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com base nessa situação hipotética, julgue o item 
a seguir. 
Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na 
antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que seria 
obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (FCC) O valor do desconto de um título de valor nominal igual a R$ 15.961,25, resgatado 2 anos 
antes de seu vencimento e segundo o critério do desconto composto real, é igual a R$ 3.461,25. A taxa 
anual de desconto utilizada foi de 
(A) 11%. 
(B) 13%. 
(C) 14%. 
(D) 15%. 
(E) 16%. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
t = 30 dias = 1 mês (1º título) e 60d = 2 meses(2º título) 
Drc 
i = 5% a.m = 0,05 
N1 + N2 = 5418 
A1 + A2 = 5005 → A1 = 5005 – A2 
Temos que o Drc é dado por : 
N = A (1 + i)t → N1 = A1 (1 + 0,05)1 e N2 = A2 (1,05)2 → N2 = A2.(1,1025) 
N1 + N2 = 5418 , substituindo teremos: 
A1 (1,05) + A2(1,1025) = 5418 , como temos que A1 = 5005 – A2 : 
(5005 – A2).(1,05) + A2(1,1025) = 5418 → 5255,25 – 1,05 A2 + 1,1025 A2 = 5418 → 
0,0525 A2 = 5418 – 5255,25 → 0,0525 A2 = 162,75 → A2 = 3100 e A1 = 5005 – 3100 = 1905 
N1 = 1,05 .1905 = 2000,25 e N2 = 1,1025. 3100 = 3417,75 
O maior é N2 e o menor N1 , assim faremos N2 – N1 = 3417,75 – 2000,25 = 1417,5 
 
02. Resposta: CERTO. 
Como ele pede para saber se antecipássemos o valor da 3º parcela em um 1 ano, termos: 
N = 132.000 
t = 1 
i = 10% a.a = 0,10 
- Para o Desconto Racional Composto: A = N / (1 + i)t 
A = 132.000 / (1 + 0,1)¹ → A = 132.000 / 1,1 
- Fazendo no Desconto Racional Simples: A = N / (1 + i.t) 
A = 132.000 / (1 + 0,1.1) 
A = 132.000 / 1,1 
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. 20 
Ao anteciparmos 3° parcela em um ano, o desconto obtido com o valor desta parcela será o mesmo 
que seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
 
03. Resposta: B. 
O termo real faz referência a racional. 
N = 15961,25 
t = 2 anos 
Drc = 3461,25 
i = ? 
D = N – A → 3461,25 = 15961,25 – A → A = 15961,25 – 3461,25 → A = 12500 
N = A (1 + i)t → 15961,25 = 12500.(1 + i)2 → (1 + i)2 = 15961,25 / 12500 → (1 + i)2 = 1,2769 → 1 + i = 
√ 1,279 → 1,13 = 1 + i → i = 1,13 – 1 → i = 0,13 → i = 13% 
 
 
 
OBS.: Caro(a) candidato(a) neste momento iremos abordar apenas análise combinatória, a 
partir do tópico abaixo iremos abordar os conceitos de Estatística e Probabilidade. 
 
A Análise Combinatória6 é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem, sendo eles: 
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 
- Fatorial de um número natural; 
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação); 
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação). 
 
A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as 
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem-PFC (Princípio Multiplicativo) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através das possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 
 
 
 
6
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina 
Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
 
Estatística e Probabilidade: Análise combinatória 
 
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. 21 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa 
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o 
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Sílvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
DEFINIÇÃO do PFC: Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer de a maneiras e um outro 
evento que chamaremos de E2 puder ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente será dado por axb, 
isto é, a quantidade de maneiras de a ocorrer, multiplicado pela quantidade de maneiras de b ocorrer. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua 
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente 
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções 
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
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. 22 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermoso pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
Fatorial de um Número Natural 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
 
Exemplos 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
 
 
 
 
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. 23 
Tipos de Agrupamento 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é importante, é o que diferencia. 
 
Exemplos 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
 
Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
 
 
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. 24 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Exemplos 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo 
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes 
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
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. 25 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois 
pontos entre os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então 
sabemos que se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos 
tomados 2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
Vejamos: 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
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. 26 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟒. (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏) 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
Exemplo 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶! 𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑!𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 27 
 
 
Exemplo 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Questões 
 
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, 
um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só 
não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições 
alimentares dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
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. 28 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
06. (Pref. Lagoa da Confusão/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge 
de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas 
idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa sala há 
3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é 
possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
08. (CREA/PR – Agente Administrativo– FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio de 
futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo 
um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
09. (ESA – Música – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da 
palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
 
10. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
 
 
 
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. 29 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
02. Resposta: C. 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
03. Resposta: B. 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
 
04. Resposta: E. 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
 
05. Resposta: A. 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
06. Resposta: C. 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
 
07. Resposta: C. 
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 30 
𝐶4,4 =
4!
0! 4!
= 1 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
08. Resposta: A. 
Engenheiros 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
 
09. Resposta: D. 
O anagrama que ele quer é ZILUF, assim como se inicia com Z podemos admitir todos os outros 
anagramas que iniciam com letra diferente de “Z” estão antes do desejado, assim: 
F_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
I_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
L_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
U_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
Daí começa os com Z 
Portanto colocaremos Z e a menor letra na segunda opção que será o F 
ZF_ _ _ = 3.2.1 = 6 
Agora depois do último que começa com ZF vem o que começa com ZI 
Mas antes do L temos o F 
Assim devemos contar todos que comecem por ZIF 
ZIF_ _ = 2 
Agora temos o que começa com ZIL 
Mas só temos estes possíveis anagramas em ordem crescente que começam com ZIL 
 
ZILFU = 1 
ZILUF (Que é o anagrama que queremos) 
 
Agora basta saber a posição em que ele ficará, 
24 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 = 105 antes dele, portanto ele estará na 106ª posição. 
 
10. Resposta: D. 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI. 31 
 
 
A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos de 
cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos do 
conhecimento. 
 
Definições7: 
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para 
estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos 
probabilísticos. 
- Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, 
mesmo que as condições sejam semelhantes. 
 
Exemplos: 
a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima 
b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces 
c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número das suas páginas. 
 
- Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado 
experimento aleatório. Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S, A, Ω ... variando de acordo 
com a bibliografia estudada. 
 
Exemplo: 
a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda 
cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é: 
S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do 
espaço amostral n(A) = 8 
 
- Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser 
caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E. 
 
Exemplo: 
a) no lançamento de 3 moedas: 
E1→ aparecer faces iguais 
E1 = {(c,c,c);(k,k,k)} 
O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2 
 
E2→ aparecer coroa em pelo menos 1 face 
E2 = {(c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)} 
Logo n(E2) = 7 
 
Veremos agora alguns eventos particulares: 
- Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto 
de si mesmo); E = S. 
E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12. 
- Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio. 
E: o número de uma das faces de um dado comum ser 7. 
E: Ø 
 
7
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
BUCCHI, Paulo – Curso prático de Matemática – Volume 2 – 1ª edição - Editora Moderna 
Noções de probabilidade; Probabilidade condicional 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 32 
- Evento simples: evento que possui um único elemento. 
E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12. 
E: {(6,6)} 
 
- Evento complementar: se E é um evento do espaço amostral S, o evento complementar de E 
indicado por C tal que C = S – E. Ou seja, o evento complementar é quando E não ocorre. 
E1: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser menor ou igual a 2. 
E2: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser maior que 2. 
S: espaço amostral é dado na tabela abaixo: 
 
 
 
E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)} 
Como, C = S – E 
C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), 
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
- Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a 
ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, 
então: A ∩ B = Ø. 
Sejam os eventos: 
A: quando lançamos um dado, o número na face voltada para cima é par. 
A = {2,4,6} 
B: quando lançamos um dado, o número da face voltada para cima é divisível por 5. 
B = {5} 
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = Ø. 
 
Probabilidade em espaços equiprováveis 
Considerando um espaço amostral S, não vazio, e um evento E, sendo E ⊂ S, a probabilidade de 
ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que: 
 
𝐏(𝐄) =
𝐧(𝐄)
𝐧(𝐒)
 
 
Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma 
“chance de acontecer. 
Onde: 
n(E) = número de elementos do evento E. 
n(S) = número de elementos do espaço amostral S. 
 
Exemplo: 
Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida 
da seguinte forma: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 
E = {1, 3, 5} n(E) = 3 
 
P(E) =
n(E)
n(S)
=
3
6
=
1
2
= 0,5 𝑜𝑢 50% 
 
 
 
 
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. 33 
Probabilidade da união de dois eventos 
Vamos considerar A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral A, o número de 
elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de 
elementos do evento B, subtraindo o número de elementos da intersecção de A com B. 
 
 
Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação 
por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A U B). 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
−
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
 
 
Para eventos mutuamente exclusivos, onde A ∩ B = Ø, a equação será: 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) 
 
 
Exemplo: 
A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A 
probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. 
Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A) = 95% = 0,95 
Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B) = 8% = 0,08 
P (A ∩ B) = a probabilidade de ser 110 milhões: P (A ∩ B) = ? 
P (A U B) = 100% = 1 
Utilizando a regra da união de dois eventos, temos: 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
1 = 0,95 + 0,08 - P (A ∩ B) 
P (A ∩ B) = 0,95 + 0,08 - 1 
P (A ∩ B) = 0,03 = 3% 
 
Probabilidade condicional 
Vamos considerar os eventos A e B de um espaço amostral S, definimos como probabilidade 
condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P(A | B) ou 𝑃 (
𝐴
𝐵
), a razão: 
 
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑩)
= 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
 
Lemos P (A | B) como: a probabilidade de A “dado que” ou “sabendo que” a probabilidade de B. 
Exemplo: 
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o 
número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7. 
Montando temos: 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 34 
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), 
(3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), 
(6,5), (6,6)} 
Evento A: o número 5 no primeiro dado. 
A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
 
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7. 
B = {(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
A ∩ B = {(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
P (A ∩ B) = 4/36 
P(B) = 15/36 
Logo: 
𝑃(𝐴|𝐵) = 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
4
36
15
36
=
4
36
.
36
15
=
4
15
 
 
Probabilidade de dois eventos simultâneos (ou sucessivos) 
A probabilidade de ocorrer P (A ∩ B) é igual ao produto de um deles pela probabilidade do outro em 
relação ao primeiro. Isto significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrem dois eventos 
simultâneos (ou sucessivos), que é P (A ∩ B), é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles 
P(B) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P (A | B). 
Sendo: 
 
𝐏(𝐀|𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
 𝐨𝐮 𝐏(𝐁|𝐀) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐀)
 
 
- Eventos independentes: dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando 
P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Sendo os eventos A e B independentes, temos: 
 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
 
Exemplo: 
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 
na dadoe cara na moeda. 
Sendo, c = coroa e k = cara. 
 
S = {(1,c), (1,k), (2,c), (2,k), (3,c), (3,k), (4,c), (4,k), (5,c), (5,k), (6,c), (6,k)} 
Evento A: 3 ou 5 no dado 
A = {(3,c), (3,k), (5,c), (5,k)} 
𝑃(𝐴) =
4
12
=
1
3
 
 
Evento B: cara na moeda 
B = {(1,k), (2,k), (3,k), (4,k), (5,k), (6,k)} 
𝑃(𝐵) =
6
12
=
1
2
 
 
Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer o evento A não modifica a probabilidade de 
ocorrer o evento B. Com isso temos: 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
3
.
1
2
=
1
6
 
 
Observamos que A ∩ B = {(3,k), (5,k)} e a P (A ∩ B) poder ser calculada também por: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
2
12
=
1
6
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 35 
No entanto nem sempre chegar ao n(A ∩ B) nem sempre é fácil dependendo do nosso espaço 
amostral. 
 
Lei Binomial de probabilidade 
Vamos considerar um experimento que se repete n número de vezes. Em cada um deles temos: 
P(E) = p, que chamamos de probabilidade de ocorrer o evento E com sucesso. 
P(�̅�) = 1 – p, probabilidade de ocorrer o evento E com insucesso (fracasso). 
 
A probabilidade do evento E ocorrer k vezes, das n que o experimento se repete é dado por uma lei 
binomial. 
 
A probabilidade de ocorrer k vezes o evento E e (n - k) vezes o evento �̅� é o produto: pk . (1 – p)n - k 
 
As k vezes do evento E e as (n – k) vezes do evento �̅� podem ocupar qualquer ordem. Então, 
precisamos considerar uma permutação de n elementos dos quais há repetição de k elementos e de (n – 
k) elementos, em outras palavras isso significa: 
 
𝑃𝑛
[𝑘,(𝑛−𝑘)] =
𝑛!
𝑘.(𝑛−𝑘)!
= (𝑛
𝑘
), logo a probabilidade de ocorrer k vezes o evento E no n experimentos é 
dada: 
 
𝒑 = (
𝒏
𝒌
) . 𝒑𝒌. 𝒒𝒏−𝒌 
 
A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições: 
 
- O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes. 
- Em cada experimento devem ocorrer os eventos E e �̅�. 
- A probabilidade do E deve ser constante em todas as n vezes. 
- Cada experimento é independente dos demais. 
 
Exemplo: 
Lançando-se uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrência 3 caras? 
Está implícito que ocorrerem 3 caras deve ocorrer uma coroa. Umas das possíveis situações, que 
satisfaz o problema, pode ser: 
 
Temos que: 
n = 4 
k = 3 
𝑃(𝐸) =
1
2
, 𝑃(𝐸)̅̅ ̅ = 1 −
1
2
 
 
Logo a probabilidade de que essa situação ocorra é dada por: 
(
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, como essa não é a única situação de ocorre 3 caras e 1 coroa. Vejamos: 
 
1525685 E-book gerado especialmente para FELIPE ANDRE KOCZICESKI
 
. 36 
Podemos também resolver da seguinte forma: (4
3
) maneiras de ocorrer o produto (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, 
portanto: 
𝑃(𝐸) = (
4
3
) . (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
= 4.
1
8
.
1
2
=
1
4
 
 
Questões 
 
01. (BANESTES – Técnico em Segurança do Trabalho – FGV/2018) Dados os conjuntos A = {1, 2, 
3} e B = {4, 5, 6, 7}, João escolhe ao acaso um elemento de cada um deles. A probabilidade de que o 
produto dos dois elementos escolhidos seja um número par é: 
 
(A) 1/4; 
(B) 1/3; 
(C) 1/2; 
(D) 2/3; 
(E) 3/4. 
 
02. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês 
é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em 
uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador 
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos 
alunos. 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é 
(A) 23,7% 
(B) 30,0% 
(C) 44,1% 
(D) 65,7% 
(E) 90,0% 
 
03. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas 
numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. 
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? 
(A) 1/100 
(B) 19/100 
(C) 20/100 
(D) 21/100 
(E) 80/100 
 
 04. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades 
dos funcionários de certa repartição pública: 
 
Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é: 
(A) 30%; 
(B) 35%; 
(C) 40%; 
(D) 45%; 
(E) 55%. 
 
05. (Pref. Niterói – Fiscal de Posturas – FGV) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. 
São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5. 
Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. 
A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é: 
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(A) 16/25; 
(B) 16/19; 
(C) 12/19; 
(D) 4/5; 
(E) 3/5. 
 
06. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 
quadradinhos brancos. 
 
Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro é: 
(A) ½; 
(B) ¼; 
(C) 1/8; 
(D) 9/16; 
(E) 7/32. 
 
07. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Fernanda organizou 
um sorteio de amigo secreto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de 
cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro 
de um saco. Fernanda, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A 
probabilidade de Fernanda retirar seu próprio nome é: 
(A) 3/5. 
(B) 2/10. 
(C) 1/10. 
(D) ½. 
(E) 2/3. 
 
08. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Uma loja 
de eletrodoméstico tem uma venda mensal de sessenta ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis 
apresentam algum tipo de problema nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto 
em um serviço autorizado. 
Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos não apresentem problemas nos 
seis primeiros meses é de aproximadamente: 
(A) 90% 
(B) 81% 
(C) 54% 
(D) 11% 
(E) 89% 
 
09. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma 
caixa estão acondicionados uma dúzia e meia de ovos. Sabe-se, porém, que três deles estão impróprios 
para o consumo. 
Se forem escolhidos dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados? 
(A) 2/153 
(B) 1/9 
(C) 1/51 
(D) 1/3 
(E) 4/3 
 
 
 
 
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Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Vamos fazer o total de possíveis resultados entre os conjuntos A e B. 
Como em A temos 3 elementos e em B temos 4 elementos, teremos um total de 12 possibilidades de 
fazer A vezes B, 
Vamos ver quais serão pares agora: 
A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7}, 
A . B 
1 . 4 = 4 
1 . 6 = 6 
2 . 4 = 8 
2 . 5 = 10 
2 . 6 = 12 
2 . 7 = 14 
3 . 4 = 12 
3 . 6 = 18 
Assim, teremos 8 possibilidades de um total de 12, logo a probabilidade desse número ser par será de 
8/12 = 2/3 (simplificando a fração) 
 
02. Resposta: D. 
A probabilidade de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita pelo entrevistador é 
0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3% 
Portanto, a possibilidade dele ser entendido é de: 100% – 34 ,3% = 65,7% 
 
03. Resposta: C. 
A probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 é 20/100, pois são 20 números entre 
100. 
 
04. Resposta: D. 
O espaço amostral é a soma de todos os funcionário: 
2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40 
O número de funcionário que tem mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18 
Logo a probabilidade é: 
𝑃(𝐸) =
18
40
= 0,45 = 45% 
 
05. Resposta: C. 
B = bolas brancas 
T = bolas pretas 
Total 20 bolas = S (espaço amostral) 
P(B) = 1/5 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
→
1
5
=
𝑛(𝐵)
20
→ 𝑛(𝐵) =
20
5
= 4 
 
Logo 20 – 4 = 16 bolas pretas 
𝑃(𝑇1) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
16
20
=
4
5
 
 
Como não há reposição a probabilidade da 2º bola ser preta é: 
 
𝑃(𝑇2) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
15
19
 
 
Como os eventos são independentes multiplicamos as probabilidades: