UNIVESP - 2019 - Gabarito da Atividade Avaliativa da Semana 6_ GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - MGA001

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Aplicações6
 
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
Considerando a equação pode-se afirmar que:
Assinale a alternativa correta:
Resolução
A resposta correta é: Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Justificativa
1.
A equação representa uma elipse cuja distância focal é igual à metade da medida do
eixo maior.
I.
A cônica possui um foco em (3, 2).II.
A cônica não é degenerada e possui centro em (-2, 2) e eixo maior paralelo ao eixo y.III.
Todas as afirmativas são verdadeiras.a.
Nenhuma das afirmativas é verdadeira.b.
Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.c.
Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.d.
Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.e.
I – Como não existe termo misto, basta completar quadrados.
Assim,
I.
 A cônica é uma elipse, tal que e 
Como para elipses temos a relação:
distância focal 
Logo, 2c = a. Portanto, I é uma afirmação verdadeira.
Sabendo que o eixo maior é paralelo ao eixo x e que c = 1, então os focos dessa
elipse são e . Assim, a afirmativa II é verdadeira.
II.
Descobriu-se então que a cônica não é degenerada, pois é uma elipse, porém seu
centro é (2, 2). Assim, a afirmativa III é falsa.
III.
A equação , representa:
Resolução
A resposta correta é: Um par de retas concorrentes.
Justificativa
Então:
Ou seja, 
2.
Uma elipse.a.
Uma hipérbole.b.
Uma parábola.c.
Uma circunferência.d.
Um par de retas concorrentes.e.
Um ponto.f.
 
Para 
 
 e 
 
Para 
 
 e 
 
 
Assim,
 
 
Fazendo mudança de variável na parte linear da equação, temos:
 
 
 
Logo, a equação completa nas novas variáveis é dada por:
 
 
Completando os quadrados, temos:
 
 
 Cônica degenerada.
 
Fazendo mais uma mudança de variável, temos:
 
 
Tem-se que: 
 
Portanto, a equação representa um par de retas concorrentes.
Considere o seguinte sistema de equações diferenciais de 1º grau:
e a condição inicial .
Assinale Verdadeiro ou Falso:
[Falso] A solução para a função x(t) no sistema S, para a condição inicial , é
dada por 
[Falso] A solução para a função y(t) no sistema S, para a condição inicial , é
dada por .
[Verdadeiro] Considerando , as funções envolvidas nas soluções de S são , 
 e .
 
3.
Resolução
A sequência correta de respostas é: Falso | Falso | Verdadeiro.
Justificativa
 
 
Pois: 
 Se , as funções envolvidas nas soluções para S são:
, e . Assim, a afirmativa III é verdadeira.
Para 
Para 
Para 
 
Portanto, a solução geral de S é:
 
 
 
Assim, 
 
 
Para a condição inicial , temos:
 
 
Logo, , e . Portanto, a
afirmativa I e II são falsas 
Seja C o círculo com centro no ponto (4, -1) e que passa no foco da cônica representada
pela equação .
Considere as seguintes afirmações:
Assinale a alternativa correta.
 
Resolução
A resposta correta é: Todas as afirmativas são verdadeiras.
Justificativa
4.
O centro do círculo C é um ponto da cônica.I.
O círculo C e a cônica possuem duas interseções.II.
A cônica é uma parábola e sua diretriz tangencia o círculo C.III.
Todas as afirmativas são verdadeiras.a.
Nenhuma das afirmativas é verdadeira.b.
Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.c.
Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.d.
Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.e.
é uma parábola.
 
, com a concavidade para baixo.
Assim, e 
 
O ponto A = (4, -1), que é o centro do círculo C, pertence à parábola, pois 
 
O raio do círculo é dado pela distância entre o seu centro A e o foco da parábola.
 
Assim, 
 
Como a distância entre o ponto A e a reta diretriz y=4 também é igual a 5, temos que a
diretriz tangencia o círculo.
 
Temos as equações gerais e e seus gráficos.
 
 
Logo, as curvas se interceptam em dois pontos I e I . Assim, todas as afirmativas estão
corretas.
1 2
Considerando o gráfico a seguir, assinale a alternativa que contém a equação que a
representa.
 
Resolução
A resposta correta é: 
Justificativa
Completando quadrados
5.
a.
b.
c.
d.
; C=(-3,-1); elipse.a.
; C=(-3,1).b.
; C=(3,-1).c.
; C=(3,-1); elipse.d.