UNIVESP - 2019 - Gabarito da Atividade Avaliativa da Semana 4_ GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - MGA001

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Transformações lineares4
 
 
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
Considerando os pontos , e , pode-se afirmar
que:
Resolução:
A resposta correta é: Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Justificativa:
Em relação à alternativa I:
, 
1.
A equação reduzida da reta que passa por A e B é , .
I.
A área do ABC é .II.
A altura do ABC em relação à base AB é .III.
Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.a.
Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.b.
Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.c.
Todas as afirmativas são verdadeiras.d.
Nenhuma das afirmativas é verdadeira.e.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.
 
 
Em relação à alternativa II:
Portanto, a afirmativa II é verdadeira.
Quanto à alternativa III:
 
 
Portanto, a afirmativa III é falsa.
Observação: a altura do ABC é a distância do ponto C à base AB.
Dadas as equações e , pode-se afirmar que:
Resolução:
A sequência correta de respostas é Falso | Falso | Falso | Falso.
Justificativa:
2.
As equações determinam planos paralelos distintos no espaço, cuja distância entre
eles é igual a 8.[Falso]
I.
As equações determinam planos ortogonais no espaço.[Falso]II.
O vetor é normal ao primeiro plano.[Falso]III.
O vetor é ortogonal ao primeiro plano.[Falso]IV.
Quanto à afirmativa I:
Sejam:
e
Dividindo a equação do plano por , temos:
Logo é vetor normal aos dois planos e
Os planos são paralelos distintos, mas a distância é diferente de 8.
Portanto, a afirmativa é falsa.
Quanto à afirmativa II:
Se os planos são paralelos distintos, então não são ortogonais.
 
 
Portanto, a afirmativa é falsa.
Quanto à afirmativa III, ela é falsa, pois, para ser vetor normal, precisaria ser
proporcional ao vetor formado pelos coeficientes das variáveis, isto é, proporcional ao vetor 
, o que não acontece.
Quanto à afirmativa IV, ela é falsa, pois, para ser ortogonal ao primeiro
plano, deveria existir , tal que . Nesse caso, também não existe que
torne iguais os vetores e 
Assinale VERDADEIRO ou FALSO.
Considere as afirmações:
3.
Resolução:
A sequência correta de respostas é Verdadeiro | Falso.
Justificativa:
Quanto à afirmativa I:
 
É uma equação reduzida em y da reta que passa na origem, cujo vetor diretor é (-6,3,1), pois
para:
 
 (equações paramétricas)
 
Portanto, a afirmativa é verdadeira.
 
Quanto à afirmativa II, a equação representa um plano, entretanto não é um subespaço
vetorial, pois não passa pela origem, isto é, . Não satisfaz a primeira condição de
subespaço vetorial. Portanto, a afirmativa é falsa.
Resolução:
 é um subespaço vetorial do , conhecido
na geometria como a reta que passa na origem e possui a direção do vetor 
[Verdadeiro]
I.
O plano é um subespaço vetorial do pois é o conjunto
solução de um sistema linear com apenas uma equação.
[Falso]
II.
Considere o sistema linear
 
 
4.
Pode-se afirmar que:
Assinale a alternativa correta:
Resolução:
A resposta correta é: Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
Justificativa:
Quanto à afirmativa I:
 
 não é homogêneo, portanto a afirmativa é falsa.
Quanto à afirmativa II:
Escalonando o sistema linear:
 
 
 
 
 
O sistema linear S é homogêneo.I.
A solução do sistema é uma reta.II.
O sistema linear S é possível determinado.III.
A solução do sistema linear S representa a interseção de 3 planos, sendo 2 a 2 não
paralelos.
IV.
Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.a.
Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.b.
Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.c.
Todas as afirmativas são verdadeiras.d.
Nenhuma das afirmativas é verdadeira.e.
 
Solução 
 
Portanto, a afirmativa II é falsa.
Quanto à afirmativa III: veja a solução da afirmativa II. Portanto, a afirmativa é verdadeira.
Quanto à afirmativa IV: é verdadeira, pois sejam os planos:
Como e não são proporcionais, os planos e não são paralelos. Igualmente temos
que e não são proporcionais e também não o são os vetores e .
Sejam as retas:
, 
e
Assinale a alternativa que determina a sua posição relativa:
Resolução:
A resposta correta é: As retas r e s são reversas.
Justificativa:
5.
As retas r e s são paralelas.a.
As retas r e s são concorrentes não perpendiculares.b.
As retas r e s são concorrentes e perpendiculares.c.
As retas r e s são reversas.d.
 r não é paralela a s, pois os vetores diretores não são proporcionais.
 
 r não é perpendicular a s.
 
Seja:
 
 
 
 r e s são retas reversas.