2017827_22222_Lista+01_+cálculo+III

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Lista 01 – Coordenadas polares 
1- Substitua as equações polares por equações cartesianas equivalentes. Em 
seguida, descreva ou identifique o gráfico. 
 
(a) 𝑟 cos 𝜃 = 2 
(b) 𝑟 sin 𝜃 = −1 
(c) 𝑟 sin 𝜃 = 0 
(d) 𝑟 cos 𝜃 = 0 
(e) 𝑟 = 4 csc 𝜃 
(f) 𝑟 = −3 sec 𝜃 
(g) 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 sin 𝜃 = 1 
(h) 𝑟 sin 𝜃 = 𝑟 cos 𝜃 
(i) 𝑟2 = 1 
(j) 𝑟2 = 4𝑟 sin 𝜃 
(k) 𝑟 =
5
sin 𝜃−2 cos 𝜃
 
(l) 𝑟2 sin 2𝜃 = 2 
(m) 𝑟 = cot 𝜃 csc 𝜃 
(n) 𝑟 = tan 𝜃 sec 𝜃 
(o) 𝑟 = csc 𝜃 𝑒𝑟 cos 𝜃 
(p) 𝑟 sin 𝜃 = ln 𝑟 + ln cos 𝜃 
(q) 𝑟2 + 2𝑟2 cos 𝜃 sin 𝜃 = 1 
(r) cos2 𝜃 = sin2 𝜃 
(s) 𝑟2 = −4𝑟 cos 𝜃 
(t) 𝑟2 = −6𝑟 sin 𝜃 
(u) 𝑟 = 8 sin 𝜃 
(v) 𝑟 = 3 cos 𝜃 
(w) 𝑟 = 2 cos 𝜃 + 2 sin 𝜃 
(x) 𝑟 = 2 cos 𝜃 − sin 𝜃 
(y) 𝑟 sin (𝜃 +
𝜋
6
) = 2 
(z) 𝑟 sin (
2𝜋
3
− 𝜃) = 5
 
 
 
2- Substitua as equações cartesianas por equações polares equivalentes. 
(a) 𝑥 = 7 
(b) 𝑦 = 1 
(c) 𝑥 = 𝑦 
(d) 𝑥 − 𝑦 = 3 
(e) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 
(f) 𝑥2 − 𝑦2 = 4 
(g) 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 
(h) 𝑥𝑦 = 2 
(i) 𝑦2 = 4𝑥 
(j) 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1 
(k) 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 4 
(l) (𝑥 − 5)2 + 𝑦2 = 25 
(m) (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 4 
(n) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 16 
3- Desenhe os gráficos dos conjuntos de pontos cujas coordenadas polares 
satisfaçam as equações e desigualdades. 
(a) 𝑟 = 2 
(b) 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 
(c) 𝑟 ≥ 1 
(d) 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 
(e) 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
6
, 𝑟 ≥ 0 
(f) 𝜃 =
2𝜋
3
, 𝑟 ≤ −2 
(g) 𝜃 =
11𝜋
4
, 𝑟 ≤ −1 
 
 
(h) 𝜃 =
𝜋
3
, −1 ≤ 𝑟 ≤ 3 
(i) 𝜃 =
𝜋
2
, 𝑟 ≥ 0 
(j) 𝜃 =
𝜋
2
, 𝑟 ≤ 0 
(k) 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 𝑟 = 1 
(l) 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 𝑟 = −1 
(m) 
𝜋
4
≤ 𝜃 ≤
3𝜋
4
, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 
(n) −
𝜋
4
≤ 𝜃 ≤
𝜋
4
, −1 ≤ 𝑟 ≤ 1 
(o) −
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
, 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 
(p) 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
, 1 ≤ |𝑟| ≤ 2 
4- (a) Mostre que toda reta vertical no plano 𝑥𝑦 tem uma equação polar da forma 
𝑟 = 𝑎 sec 𝜃 
(b) Encontre a equação polar análoga para retas horizontais no plano 𝑥𝑦 
 
5- Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. 
(a) ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√1−𝑥2
0
1
−1
 
(b) ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
0
6
0
 
(c) ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 𝑑𝑦
√1−𝑦2
0
1
0
 
(d) ∫ ∫ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥
0
2
0
 
(e) ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑦2
0
2
0
 
(f) ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥
1
√3
1
 
(g) ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√𝑎2−𝑥2
−√𝑎2−𝑥2
𝑎
−𝑎
 
(h) ∫ ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
√4−𝑦2
2
√2
 
(i) ∫ ∫
2
1+√𝑥2+𝑦2
 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
−√1−𝑥2
0
−1
 
(j) ∫ ∫
2
(1+𝑥2+𝑦2)2
 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√1−𝑥2
−√1−𝑥2
1
−1
 
(k) ∫ ∫ 𝑒√𝑥
2+𝑦2𝑑𝑥 𝑑𝑦
√(ln 2)2−𝑦2
0
ln 2
0
 
(l) ∫ ∫ ln(𝑥2 + 𝑦2 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√1−𝑦2 
−√1−𝑦2
1
−1
 
(m) ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
√2−𝑥2 
𝑥
1
0
 
 
 
 
 
 
6- Esboce a região de integração e converta cada uma das integrais polares ou soma 
de integrais a uma integral cartesiana ou soma de integrais. 
 
(a) ∫ ∫ 𝑟3 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃
1 
0
𝜋
2
0
 
(b) ∫ ∫ 𝑟2 cos 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃
csc 𝜃 
1
𝜋
2
𝜋
6
 
(c) ∫ ∫ 𝑟5 sin2 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃
2 sec 𝜃 
0
𝜋
4
0
 
 
(d) ∫ ∫ 𝑟7𝑑𝑟 𝑑𝜃 +
3 sec 𝜃 
0
tan−1
4
3
0
∫ ∫ 𝑟7𝑑𝑟 𝑑𝜃
4 csc 𝜃 
0
𝜋
2
tan−1
4
3