CAPÍTULO 8 - Água Subterrânea

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Água Subterrânea 
 
 
8.1� 
 
 
 
ÍNDICE DO CAPÍTULO 8
 
Lista de Figuras 2 
Lista de Quadros 3 
8 ÁGUA SUBTERRÂNEA 8.4 
8.1 INTRODUÇÃO 8.4 
8.2 DEFINIÇÕES E CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8.4 
8.2.1 Aquíferos 8.4 
8.2.2 Características dos aquíferos 8.6 
8.2.3 Recarga 8.12 
8.3 OCORRÊNCIA DE ÁGUA SUBTERRÂNEA 8.13 
8.3.1 Tipos de rochas 8.13 
8.3.2 Caracterização dos aquíferos 8.13 
8.4 HIDRÁULICA DO ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO 8.15 
8.4.1 Introdução 8.15 
8.4.2 Lei de Darcy 8.15 
8.4.3 Equação da continuidade 8.20 
8.4.4 Escoamento bidimensional plano. Função potencial e função de corrente8.23 
8.4.5 Escoamento bidimensional radial 8.25 
8.5 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM AQUÍFEROS CONFINADOS 8.25 
8.5.1 Escoamento plano num aquífero confinado 8.25 
8.5.2 Escoamento radial num aquífero confinado 8.27 
8.6 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM AQUÍFEROS FREÁTICOS 8.32 
8.6.1 Hipótese de Dupuit 8.32 
8.6.2 Escoamento plano num aquífero freático 8.34 
8.6.3 Escoamento radial num aquífero freático 8.36 
8.7 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM REGIME VARIÁVEL 8.40 
8.7.1 Escoamento radial num aquífero confinado 8.40 
8.7.2 Escoamento radial num aquífero freático 8.42 
8.8 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM AQUÍFEROS SEMICONFINADOS8.42 
8.8.1 Equações gerais 8.42 
8.8.2 Escoamento plano num aquífero semiconfinado 8.43 
8.8.3 Estabilidade de escavações 8.45 
8.9 INTRUSÃO SALINA EM AQUÍFEROS COSTEIROS 8.46 
8.9.1 Introdução 8.46 
8.9.2 Teoria de Ghyben-Herzberg 8.46 
8.9.3 Problemas de exploração 8.48 
8.9.4 Exploração da água subterrânea em ilhas marítimas 8.48 
EXERCÍCIOS 8.50 
BIBLIOGRAFIA 8.55 
 
 
 
Lista de Figuras 
 
Figura 8.1 – Tipos de aquífero (adaptada de USBR, 1995) ............................................................8.6 
Figura 8.2 – Porosidade primária .....................................................................................................8.6 
Figura 8.3 – Porosidade secundária ..................................................................................................8.7 
Figura 8.4 – Variação da porosidade, rendimento específico e retenção específica com o tipo de 
solo .....................................................................................................................................................8.9 
Figura 8.5 – Permeâmetro de carga constante ...............................................................................8.11 
Figura 8.6 – Exemplos ilustrativos de isotropia e homogeneidade ..............................................8.12 
Figura 8.7 – Perfil típico dum aquífero numa rocha ígnea ou metamórfica ................................8.14 
Figura 8.8 – Experiência laboratorial ilustrativa da lei de Darcy .................................................8.16 
Figura 8.9 – Escoamento em aquíferos estratificados ...................................................................8.18 
Figura 8.10 – Escoamento através da fundação duma barragem .................................................8.20 
Figura 8.11 – Escoamento através do volume de controlo ...........................................................8.21 
Figura 8.12 – Exemplo de rede de fluxo ........................................................................................8.24 
Figura 8.13 – Exemplo de escoamento plano ................................................................................8.26 
Figura 8.14 – Escoamento radial num aquífero confinado ...........................................................8.27 
Figura 8.15 – Ensaio de bombagem para determinação da permeabilidade ................................8.30 
Figura 8.16 – Poço de penetração parcial ......................................................................................8.30 
Figura 8.17 – Rebaixamento num campo de furos ........................................................................8.32 
Figura 8.18 – Ilustração da hipótese de Dupuit .............................................................................8.33 
Figura 8.19 – Escoamento para valas num aquífero freático com recarga ..................................8.35 
Figura 8.20 – Escoamento radial num aquífero freático ...............................................................8.36 
Figura 8.21 – Superfícies equipotenciais no escoamento radial num aquífero freático..............8.37 
Figura 8.22 – Ensaio de bombagem num aquífero freático ..........................................................8.38 
Figura 8.23 – Escoamento na fundação duma barragem ..............................................................8.43 
Figura 8.24 – Escoamento subterrâneo numa escavação ..............................................................8.45 
Figura 8.25 – Esquema da intrusão salina segundo Ghyben e Herzberg .....................................8.47 
Figura 8.26 – Salinização dum aquífero por exploração excessiva (adaptada de Lencastre e 
Franco, 1992) ...................................................................................................................................8.48 
Figura 8.27 – Equilíbrio água doce-água salgada numa ilha marítima ........................................8.49 
 
 
 
Lista de Quadros 
 
 
Quadro 8.1 – Porosidade predominante ...........................................................................................8.7 
Quadro 8.2 – Valores de porosidade para diversos solos e rochas.................................................8.7 
Quadro 8.3 – Valores de rendimento específico para diversos materiais ......................................8.8 
Quadro 8.4 – Valores de permeabilidade de solos e rochas .........................................................8.10 
Quadro 8.5 – Valores de F em poços de penetração parcial .........................................................8.31 
Quadro 8.6 – Valores de W(u) para a curva – tipo........................................................................8.41 
Água subterrânea 
8.4 
8 ÁGUA SUBTERRÂNEA 
8.1 INTRODUÇÃO 
 
 Parte da água que se infiltra e percola chega à zona saturada. O volume de água subterrâneo 
assim armazenado escoa-se para rios, fontes, lagos e oceanos. Dada a importância das reservas 
de água subterrânea, o conhecimento da sua ocorrência, fluxo e qualidade é importante para a 
gestão dos recursos hídricos e preservação do ambiente, para o projeto e operação de sistemas de 
abastecimento de água, de redes de drenagem urbana e agrícola ou de obras hidráulicas como 
barragens e diques de defesa. Esse conhecimento é também necessário em obras de construção 
como pontes e edifícios que envolvam grandes escavações. 
 
 A água subterrânea é muito utilizada para o abastecimento de água urbano e rural. A 
utilização da água subterrânea, sobretudo para o abastecimento de pequenas comunidades rurais, 
apresenta algumas vantagens em relação à água superficial. As reservas de água subterrânea são 
cerca de trezentas vezes maiores que as de água superficial, embora a sua utilização sustentável 
seja muito limitada pelo longo tempo de residência que é várias ordens de grandeza superior ao 
da água superficial. Além disso, a disponibilidade da água subterrânea geralmente mostra menor 
variabilidade temporal que a da água superficial, devido à muito baixa velocidade do caudal 
subterrâneo e a uma menor exposição às perdas por evaporação comparativamente à evaporação 
nas albufeiras. A água subterrânea também se distribui por áreas geográficas extensas em lugar 
de estar concentrada como a água superficial. Finalmente, a água subterrânea tem muitas vezes 
melhor qualidade biológica e um mais baixo teor de sedimentos que a água superficial, por 
beneficiar dum sistema natural de filtração e de um longo tempo de residência. 
 
 Neste capítulo, apresentam-se conceitos fundamentais, analisam-se as equações do 
escoamento subterrâneo e a sua resolução em situações de interesse prático em aquíferos 
confinados e freáticos e ainda os problemas de exploração de aquíferos costeiros. 
 
8.2 DEFINIÇÕES E CONCEITOS FUNDAMENTAIS8.2.1 Aquíferos 
 
 No vasto domínio do conhecimento que é a hidrologia, a parte dedicada ao estudo da água 
subterrânea designa-se por geohidrologia. O geohidrólogo é, portanto, um hidrólogo que se 
especializa no estudo de água subterrânea. Por seu lado, a hidrogeologia é a parte da geologia 
que se preocupa com a ocorrência da água subterrânea. Em princípio, a geohidrologia tem um 
caráter mais quantitativo do que a hidrogeologia mas frequentemente as duas designações 
confundem-se. 
 
 O conhecimento da ocorrência da água subterrânea requer um estudo da distribuição vertical 
da água nos materiais ou formações geológicas subsuperficiais. A região subsuperficial pode 
dividir-se numa zona de aeração e numa zona de saturação. 
 
 Na zona de aeração, a água fica retida pelas forças da capilaridade e pela atração molecular, 
agindo contra a força da gravidade. Designa-se esta zona também como zona não saturada, pois, 
além de material sólido e água, contém também ar a preencher parte do volume de vazios. 
 
Água subterrânea 
8.5 
 Na zona de saturação, a água fica sob pressão hidrostática. Esta zona designa-se também por 
zona saturada, com o volume de vazios inteiramente ocupado por água. Apenas a água da zona 
saturada constitui o que se designa por água subterrânea. 
 
 O lençol ou toalha ou nível freático é o nível do solo abaixo do qual os poros estão 
completamente preenchidos por água, estabelecendo a fronteira entre a zona de aeração e a zona 
saturada. 
 
 Um aquífero é uma unidade geológica saturada que alimenta nascentes, rios, lagos e oceanos 
e de que pode ser extraída água em quantidade suficiente através de poços ou furos. Pode-se 
também definir um aquífero simplesmente como uma camada saturada de solo permeável que 
pode ceder água com facilidade. A grande maioria dos aquíferos em exploração ou com 
potencial para tal é constituída por materiais de textura grosseira (areia, seixo, calhau), rocha 
calcária carsificada onde a água formou cavidades por dissolução do material, rocha fraturada ou 
com falhas preenchidas por material permeável. As formações argilosas são aquíferos fracos, 
devido à dificuldade de cederem água. 
 
 Um aquicludo é uma camada impermeável que não deixa passar água, embora possa contê-
la, como acontece nos sedimentos com poros não ligados ou sedimentos com poros muito 
pequenos (por exemplo, estratos de argila compata). Também as rochas ígneas e metamórficas 
não fraturadas constituem exemplos de aquicludos. 
 
 Um aquitardo é uma camada de solo semipermeável que só deixa passar um caudal 
relativamente pequeno. Toma-se em conta apenas o escoamento numa direção, pois o 
escoamento na direção perpendicular é desprezável. 
 
 Consideram-se quatro tipos de aquíferos, confinado, semiconfinado, freático e suspenso, 
conforme se ilustra na Figura 8.1, adaptada de USBR (1995). Estes diversos tipos apresentam 
características distintas, que condicionam o modo como o escoamento se processa. 
 
 Um aquífero confinado é um aquífero limitado superior e inferiormente por camadas 
impermeáveis. O nível piezométrico em qualquer ponto do aquífero confinado excede o nível do 
limite superior do aquífero e, por isso, quando se abre um poço ou um furo, a água sobe acima 
desse limite superior. Note-se que um aquífero confinado terá de dispor de uma zona não 
confinada através da qual possa ser alimentado, como se vê na Figura 8.1, caso contrário, a água 
armazenada será fóssil, não sofrendo um processo de renovação. 
 
 Uma situação particular num aquífero confinado é a do furo ou poço artesiano em que o 
nível piezométrico se situa acima do nível da superfície do terreno, o que faz com que a água 
jorre sem necessidade de bombagem. O nome artesiano deve-se ao grande número de poços 
deste tipo abertos desde o século XII na província francesa de Artois, que era antes a região 
flamenga de Artesie. 
 
 Um aquífero semiconfinado é um aquífero limitado por uma camada impermeável e por uma 
semipermeável ou por duas camadas semipermeáveis. Normalmente, as camadas 
semipermeáveis são-no apenas no sentido vertical (perpendicular à sua espessura). 
 
 Um aquífero freático é um aquífero limitado inferiormente por uma camada impermeável ou 
semipermeável e não limitado superiormente. O limite superior do aquífero freático é definido 
pelo próprio nível freático. 
 
Água subterrânea 
8.6 
 Um caso particular do aquífero freático é o aquífero suspenso, em que o aquífero se forma 
por cima duma camada impermeável de pequena extensão. 
 
 
 
Figura 8.1 – Tipos de aquífero (adaptada de USBR, 1995) 
 
8.2.2 Características dos aquíferos 
 
 Na caracterização dum aquífero interessam as propriedades relativas ao armazenamento e 
cedência de água, à forma como a água se escoa e à homogeneidade e isotropia. 
 
 A porosidade n é a característica que define a capacidade de armazenamento. Como se viu 
no Capítulo 7, a porosidade é um valor adimensional definido como a relação entre o volume 
ocupável por fluidos (ar e água) e o volume total de solo. Distingue-se normalmente entre a 
porosidade primária e a porosidade secundária. 
 
 A porosidade primária resulta do período de constituição da rocha ou do solo (Figura 8.2) e é 
determinante para solos (areias, argilas, siltes), assim como para certas rochas como os basaltos. 
A porosidade secundária é gerada após a constituição da rocha por fraturação, alteração e, no 
caso das rochas calcárias, por dissolução do carbonato de cálcio pela água (carsificação). A 
Figura 8.3 mostra exemplos de porosidade secundária. 
 
Figura 8.2 – Porosidade primária 
Água subterrânea 
8.7 
 
Figura 8.3 – Porosidade secundária 
 O Quadro 8.1 mostra o tipo de porosidade predominante para as várias rochas e sedimentos, 
enquanto o Quadro 8.2 apresenta valores representativos da porosidade. 
 
Quadro 8.1 – Porosidade predominante 
Tipo de rocha Porosidade primária Porosidade 
primaria e 
secundária 
Porosidade secundária 
Rochas ígneas 
intrusivas 
(plutónicas) 
rocha meteorizada granito, diorito, gabro 
Rochas ígneas 
extrusivas 
(vulcânicas) 
cinza, ejeções 
vulcânicas 
tufo vulcânico, 
escória, pomes 
riolito, basalto, andesito 
Rochas 
metamórficas 
 quartzito, gneisse, xisto, 
filito, micaxisto, mármore 
Carbonatos calcário oolítico, 
grés calcário 
calcário, dolomite 
Outras rochas 
sedimentares 
 argilito, grés, 
conglomerado, 
ardósia, brecha 
 
Formações não 
consolidadas 
argila, silte, areia, areão 
 
Quadro 8.2 – Valores de porosidade para diversos solos e rochas 
Material Porosidade (%) 
areão grosseiro 25-35 
areão fino 25-40 
areia grossa 30-40 
areia fina 25-50 
silte 35-50 
argila 40-60 
grés 5-30 
calcário 0-35 
dolomite 0-20 
calcário carsificado 5-50 
xisto argiloso 0-15 
rocha cristalina fraturada 0-10 
rocha cristalina compata 0-5 
basalto 3-35 
granito meteorizado 35-55 
Água subterrânea 
8.8 
 
 A porosidade diminui com o aumento do diâmetro médio das partículas (a argila é mais 
porosa que a areia grossa), porque materiais grosseiros têm uma granulometria menos uniforme, 
resultando em menor espaço vazio entre os grãos. 
 
 A porosidade varia com o grau de compatação. Por exemplo, se considerarmos um material 
composto por esferas todas com o mesmo diâmetro, a porosidade pode variar de cerca de 48 por 
cento num arranjo cúbico para cerca de 26 por cento num arranjo romboédrico. 
 
 Embora a porosidade represente a quantidade de água que um aquífero pode conter, não 
indica quanta água ele pode fornecer. Quando a água é drenada num material pela ação da 
gravidade, só parte do volume total armazenado nos seus poros é libertada. A quantidade de água 
que a unidade de volume do material fornece nessas condições chama-se rendimento específico 
ou cedência específica, que é um parâmetro adimensional. O rendimento específico Sy (do inglês 
specific yield) é entãodefinido como a relação entre o volume de água drenada por gravidade 
num solo inicialmente saturado e o volume total do solo. O Quadro 8.3 apresenta alguns valores 
representativos para o rendimento específico de várias rochas. 
 
Quadro 8.3 – Valores de rendimento específico para diversos materiais 
Material Rendimento 
específico (%) 
areão grosseiro 22-23 
areão médio 23-24 
areão fino 25 
areia grossa 27 
areia média 26-28 
areia fina 21-23 
silte 8 
argila arenosa 7 
argila 2-3 
grés 21-27 
calcário 14 
 
 Note-se que a argila e o silte têm um rendimento específico bastante baixo, embora a 
respetiva porosidade seja alta. 
 
 A retenção específica r é também um parâmetro adimensional, definido como o volume de 
água que fica retido, por atração molecular, adsorção e capilaridade, no solo inicialmente 
saturado depois de terminada a drenagem por gravidade, como percentagem do volume total de 
solo. A retenção específica é o mesmo que a capacidade de campo, já apresentada no Capítulo 7. 
 
 Com estas definições de porosidade n, rendimento específico Sy e retenção específica r, é 
evidente que n = r + Sy. 
 
 A Figura 8.4 mostra a relação entre a porosidade, o rendimento específico e a retenção 
específica dos diversos materiais de aquíferos. 
 
Água subterrânea 
8.9 
 
Figura 8.4 – Variação da porosidade, rendimento específico e retenção específica com o tipo de 
solo 
 
 Outros parâmetros relacionados com a função de armazenamento do aquífero são o 
armazenamento específico e o coeficiente de armazenamento. O armazenamento específico Ss, 
com dimensões [L
-1
], é o volume de água que pode ser libertado por unidade de volume do 
aquífero para um abaixamento unitário da altura piezométrica. O significado do armazenamento 
específico é o seguinte: quando o nível piezométrico diminui, reduz a pressão sobre os grãos que 
constituem o esqueleto sólido do aquífero; o volume da fase sólida aumenta devido ao novo 
arranjo dos grãos, a porosidade diminui e a água é expulsa. 
 
 O coeficiente de armazenamento S é o volume de água libertado por uma coluna de aquífero 
de secção transversal unitária para um abaixamento unitário da altura piezométrica e é um 
parâmetro adimensional. 
 
 A relação entre o armazenamento específico e o coeficiente de armazenamento no caso dum 
aquífero confinado de espessura h é dada por: 
 
 S = h × Ss (8.1) 
 
 Quando o aquífero é freático com uma espessura saturada h, essa relação é 
 
S = h × Ss + Sy (8.2) 
 
 Com efeito, no aquífero freático, para além da água que é expulsa pela expansão do 
esqueleto sólido, acresce a água correspondente ao abaixamento unitário do nível freático. 
Normalmente, o valor do rendimento específico Sy é muito superior a h Ss. Por isso, o 
Água subterrânea 
8.10 
coeficiente de armazenamento é muito maior num aquífero freático do que num aquífero 
confinado. 
 
b) Características relativas à condutividade de água 
 
 A permeabilidade ou condutividade hidráulica K é uma característica do aquífero que define 
a sua capacidade de escoar água subterrânea. Tem as dimensões duma velocidade, sendo 
geralmente expressa em metros por dia. A permeabilidade depende das características do solo e 
do líquido. Em termos de características do solo, a permeabilidade depende muito do tamanho e 
uniformidade dos grãos no caso de formações não consolidadas e do grau da alteração e 
fraturação no caso das formações rochosas. No que se refere ao líquido, a característica mais 
importante é a viscosidade cinemática. 
 
 Para que um solo tenha uma permeabilidade alta, não basta que a porosidade seja alta, é 
preciso que os poros e fissuras também estejam ligados. O Quadro 8.4 apresenta valores típicos 
de permeabilidade para os mais frequentes materiais constituintes de aquíferos 
 
Quadro 8.4 – Valores de permeabilidade de solos e rochas 
Material Permeabilidade 
(m/dia) 
Areão 100-1000 
Areia grossa 20-100 
Areia média 5-20 
Areia fina 1-5 
Silte 0,1-1 
Argila (superficial) 0,01-0,2 
Argila (profunda) 10
-8
-0,1 
Grés 0,2-3 
Calcário 1 
Dolomite 0,001 
Basalto 0,01 
Granito meteorizado 1,5 
Granito não meteorizado 0,2 
 
 A permeabilidade de um solo pode ser determinada em laboratório com a utilização de um 
permeâmetro. Para solos arenosos, utilizam-se permeâmetros de carga constante, como o 
ilustrado na Figura 8.5, ao passo que para solos argilosos utilizam-se permeâmetros de carga 
variável. No caso do permeâmetro de carga constante, a permeabilidade é calculada através da 
aplicação da lei de Darcy, que se refere no ponto 8.4.2. 
 
Água subterrânea 
8.11 
 
Figura 8.5 – Permeâmetro de carga constante 
 
 A permeabilidade de um aquífero pode ser determinada no campo através de ensaios de 
bombagem como se descreve mais adiante. Pode também fazer-se a sua determinação através de 
análises da granulometria do solo, mas este método é pouco rigoroso embora Shepherd (1989) 
tenha proposto a equação geral K = C d50 
j
 onde d50 é o diâmetro mediano, C é um fator de forma 
das partículas e j um expoente assumindo valores entre 1,5 e 2. 
 
 O potencial de transmissão de água de um aquífero depende não só da permeabilidade, mas 
também da sua espessura. A característica que traduz esse potencial é a transmissividade T, 
definida como o produto da permeabilidade K pela espessura H, T = K H. Como a 
permeabilidade tem as dimensões de velocidade, a transmissividade tem as dimensões de um 
caudal específico, sendo expressa geralmente em m
2
/dia. 
 
 No caso de um aquitardo, interessa conhecer a sua resistência hidráulica. A resistência 
hidráulica c duma camada semipermeável, que deixa passar água principalmente na direção 
vertical, é a razão entre a espessura H da camada e a sua permeabilidade K, c = H / K. Tem 
dimensão do tempo, expressando-se normalmente em dias. 
 
c) Homogeneidade e isotropia 
 
 Para a caracterização dum aquífero, importa conhecer a variação das suas características, 
principalmente da permeabilidade, em diversas direções e de ponto para ponto, utilizando-se 
para tal os conceitos de homogeneidade e isotropia dum meio contínuo. 
 
 Diz-se que um aquífero é isotrópico se, em qualquer ponto, as suas características não variam 
com a direção. Caso isso não se verifique, o aquífero diz-se anisotrópico. 
 
Água subterrânea 
8.12 
 Diz-se que um aquífero é homogéneo se as suas características não variam de ponto para 
ponto, caso contrário, diz-se que é heterogéneo. A Figura 8.6 apresenta diversos exemplos 
ilustrativos de homogeneidade e isotropia. 
 
 
Figura 8.6 – Exemplos ilustrativos de isotropia e homogeneidade 
 
8.2.3 Recarga 
 
 Define-se recarga R como a parte da precipitação que se infiltra e percola até ao lençol 
freático. A recarga depende das características da zona superficial não saturada, da zona de 
recarga e do modo como ocorre a precipitação. Precipitações prolongadas de baixa intensidade 
originam maiores recargas que precipitações intensas de curta duração, atendendo ao rápido 
decréscimo da capacidade de infiltração. Para além da precipitação, podem existir outras fontes 
de recarga dum aquífero, principalmente rios e lagos, fluxos interaquíferos e irrigação. 
 
 A recarga anual média é normalmente uma fração bastante pequena da precipitação anual 
média na região onde se dá a recarga do aquífero, raramente excedendo 20 por cento e sendo 
frequentemente muito inferior. A recarga estabelece o limite superior do que é designado por 
rendimento seguro ou extração garantida (safe yield), definido como o máximo caudal médio 
que se pode extrair do aquífero de forma sustentável. O rendimento seguro varia normalmente 
entre 10 e 40 por cento do valor da recarga. 
 
 O potencial de extração de água subterrânea está, no entanto, limitado não apenas pela 
recarga mas também pelo fato de o aquífero poder ser um contributo importante para a 
alimentação de rios(escoamento de base), lagos e pântanos. Esta interligação entre água 
subterrânea e água superficial deve ser bem compreendida para evitar uma dupla contagem dos 
mesmos recursos hídricos. Em termos médios, a entrada de água no aquífero através da recarga 
está em equilíbrio com a saída de água, seja para um rio, uma fonte, o mar ou por evaporação no 
Água subterrânea 
8.13 
caso de aquíferos pouco profundos. A extração de água do aquífero vai, pois, reduzir o valor de 
uma ou mais dessas descargas, como realçado por Theis (1940). 
 
 No caso de aquíferos costeiros, que escoam diretamente para o mar, para além da limitação 
imposta pelo valor da recarga, existe ainda o risco de intrusão salina, como se verá mais adiante. 
 
8.3 OCORRÊNCIA DE ÁGUA SUBTERRÂNEA 
8.3.1 Tipos de rochas 
 
 As características dum aquífero dependem do material de que é composto, da sua origem, da 
relação entre os grãos e os poros, da profundidade, da recarga a que está sujeito e de outros 
fatores. Contudo, a estrutura geológica, a litologia e a estratigrafia de rochas e sedimentos numa 
zona podem dar uma primeira ideia do potencial dos aquíferos. 
 
 As rochas ígneas são formadas a partir de magma vindo do interior da Terra. Existem rochas 
ígneas intrusivas ou plutónicas, formadas no interior da crusta terrestre, como o granito, o 
sienito, ou o diorito, e rochas ígneas extrusivas ou vulcânicas, formadas à superfície por vulcões, 
de que são exemplo os riolitos e os basaltos. Os minerais mais importantes nas rochas ígneas são 
o quartzo, o alcali-feldspato, a plagioclase e a mica. 
 
 As rochas metamórficas são formadas pela mudança de composição mineralógica de rochas 
ígneas ou rochas sedimentares, devido à sua exposição a altas pressões e/ou altas temperaturas. 
São exemplos o gneisse (origem: granito), o quartzito (origem: grés), o migmatito (mistura), o 
filito (origem: argilito) e o mármore (origem: calcário). 
 
 As rochas sedimentares são o resultado da meteorização de rochas ígneas ou metamórficas, 
seguidas pelo transporte e deposição do material meteorizado num outro lugar e, finalmente, a 
cimentação do mesmo. São exemplos os grés (origem: areia), o calcário (origem: argila) e o 
conglomerado (origem: areão). 
 
 Os sedimentos (materiais não consolidados) são formados da mesma maneira que as rochas 
sedimentares, mas não sofrem cimentação. 
. 
 
8.3.2 Caracterização dos aquíferos 
 
a) Rochas ígneas e metamórficas 
 
 Rochas ígneas e metamórficas não alteradas são fracos aquíferos, uma vez que as suas 
permeabilidades e porosidade são muito baixas. Basicamente existem dois tipos de aquíferos nas 
rochas ígneas e metamórficas: aquíferos em vales e aquíferos em zonas de fraturação e falhas. 
 
 Os aquíferos em vales são formados durante o processo de meteorização. Existem 
principalmente nos estratos superficiais, até a uma profundidade de cerca de 50 metros. Este 
substrato é designado por regolito e geralmente forma aquíferos limitados, devido à baixa 
transmissividade (baixa permeabilidade e espessura limitada). A Figura 8.7 mostra um perfil 
típico destes aquíferos. Interessa escolher as zonas com maiores espessuras do regolito, que 
assim podem permitir pequenos aproveitamentos. 
Água subterrânea 
8.14 
 
 
Figura 8.7 – Perfil típico dum aquífero numa rocha ígnea ou metamórfica 
 
 No caso de aquíferos em zonas de fraturação e falhas, é muito importante analisar o sistema 
da fraturação, bem como o processo da recarga. A profundidade de falhas em rochas ígneas e 
metamórficas raramente ultrapassa 150 metros. A zona adjacente à falha pode ser fraturada, mas 
este tipo de aquíferos ainda continua limitado em termos de produtividade. Importa salientar que 
nem sempre as falhas se tornam zonas produtivas num meio hidrogeológico. A sua 
produtividade depende muito da forma final da falha, se é aberta ou fechada, e do material de 
enchimento da falha. As falhas podem tornar-se barreiras ao escoamento subterrâneo no caso em 
que elas são enchidas por materiais de baixa permeabilidade. 
 
 O mármore carsificado, que pode ter características hidráulicas muito boas, é uma exceção à 
regra geral de fraca produtividade das rochas metamórficas. 
 
 Também algumas rochas ígneas extrusivas, como os basaltos, podem, por vezes, ter boas 
características hidráulicas, dependendo da presença de fraturas e da meteorização física e 
química dos vários estratos. Os riolitos são geralmente menos permeáveis que os basaltos que 
são mais facilmente meteorizáveis. Embora esta situação seja vantajosa, a maior parte dos 
produtos de pulverização dos basaltos consiste em materiais finos argilosos na superfície devido 
à predominância de minerais de ferro e magnésio, situação que apenas melhora com a 
profundidade. 
 
b) Rochas sedimentares 
 
 As rochas sedimentares podem ter características hidráulicas muito variáveis. A 
permeabilidade e a porosidade do grés dependem muito da composição original do material 
arenoso cimentado, em termos de granulometria e uniformidade, e da sua fraturação. O argilito 
pode por vezes ter uma porosidade alta, mas geralmente tem uma permeabilidade muito baixa. O 
conglomerado é, muitas das vezes, um bom aquífero, porém a sua distribuição espacial é 
Água subterrânea 
8.15 
limitada. É de salientar que as características hidráulicas do grés e do conglomerado são 
inferiores às do material original não consolidado (areia, areão). 
 
 Calcários e dolomitos bem carsificados podem constituir aquíferos excelentes, com 
porosidades altas e permeabilidades altíssimas. Se não existe uma porosidade secundária, as 
características dependem muito da composição do material, que pode variar muito. Assim, a 
porosidade primária e permeabilidade podem também variar muito. 
 
 Os aquíferos em rochas sedimentares consistem geralmente em camadas com porosidade 
primária (e muitas das vezes também secundária). Assim, os sistemas aquíferos podem ser 
extensos, desde que sejam contínuos. A ocorrência de água subterrânea não é limitada às 
camadas superficiais. Podem encontrar-se aquíferos em rochas sedimentares até profundidades 
de 1000 metros. 
 
c) Sedimentos 
 
 A maioria dos aquíferos no mundo é desenvolvida em sedimentos, principalmente areias e 
areão. A argila pode ter uma porosidade alta, mas a sua permeabilidade é quase sempre baixa. 
 
 Aquíferos em sedimentos consistem quase sempre em camadas, principalmente com 
porosidade primária. Tal como no caso dos aquíferos em rochas sedimentares, os sistemas 
aquíferos em sedimentos são contínuos, podem ser muito extensos, e a água subterrânea pode 
encontrar-se até grandes profundidades. 
 
8.4 HIDRÁULICA DO ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO 
8.4.1 Introdução 
 
 A hidráulica do escoamento subterrâneo baseia-se na lei de Darcy e na equação da 
continuidade. A conjugação destas duas leis permite estabelecer as equações diferenciais do 
escoamento subterrâneo, cuja integração é normalmente complexa, sendo essa integração aqui 
feita para algumas situações particulares de maior interesse prático. 
8.4.2 Lei de Darcy 
 
 A lei de Darcy é uma das equações fundamentais para o estudo da hidráulica do escoamento 
subterrâneo. Como já se apresentou no capítulo anterior, ela diz que o escoamento da água 
através dum meio poroso saturado homogéneo e isotrópico é proporcional ao gradiente do 
potencial hidráulico ou gradiente hidráulico, Figura 8.8. 
 
Água subterrânea 
8.16 
 
Figura 8.8 – Experiência laboratorial ilustrativa da lei de Darcy 
 
 A lei de Darcy é expressa pela fórmula: 
 
 
L
Kv 21
 
 (8.3) 
em que 
 v é a velocidade de escoamento (m/dia); 
 φ é o potencial hidráulico ou carga (m); 
 φ1 – φ2 é a perda de carga (m); 
 L é a distância entre os pontos onde as cargas φ2 e φ1 foram medidas (m); 
 K é uma constante de proporcionalidade (m/dia). 
 
 Como o valor da velocidade é muito baixo, a componente da carga cinemáticapode ser 
desprezada, e φ é então igual à cota piezométrica. O valor de (φ2 – φ1)/L é o gradiente hidráulico 
i = grad(φ) e é adimensional. Assim, pode escrever-se: 
 
 iKv  (8.4) 
 Pode ver-se que a constante de proporcionalidade tem as dimensões duma velocidade 
(m/dia). De fato, esta constante de proporcionalidade é a permeabilidade K. Quando se introduz 
no dispositivo experimental areia mais grossa, com maior permeabilidade, regista-se uma maior 
velocidade de escoamento. O sinal negativo na equação (8.4) exprime que o escoamento é no 
sentido contrário ao do sentido positivo do gradiente hidráulico. 
 
 v representa a velocidade aparente de filtração. A velocidade efetiva do escoamento é maior 
do que v, porque uma parte da secção do escoamento é ocupada por partículas sólidas, estando 
apenas os poros disponíveis para o escoamento. Dada a irregularidade das dimensões e da 
distribuição dos poros, apenas se torna possível definir a velocidade média efetiva do 
escoamento, através de 
Água subterrânea 
8.17 
 
e
e
n
v
v  (8.5) 
sendo ne a porosidade efetiva do meio, ou seja, a parte dos poros utilizada pelo escoamento 
subterrâneo. Para areão, areia, silte e argila, o valor da porosidade efetiva é aproximadamente 
igual ao rendimento específico. 
 
 Interessa saber quais os limites de validade da lei de Darcy. Como se sabe da mecânica dos 
fluidos (Quintela, 1983), no escoamento em regime laminar a velocidade média do escoamento é 
diretamente proporcional ao gradiente hidráulico, tal como na lei de Darcy. Por isso, assume-se 
que a lei de Darcy é válida para escoamentos laminares em meio poroso. 
 
 No escoamento em condutas e outras secções de grande dimensão, o critério utilizado para 
distinguir entre o regime laminar e o regime turbulento é o do número de Reynolds, dado por 
 
υ
Dv
Re  (8.6) 
em que 
 Re é o número de Reynolds; 
 v é a velocidade do escoamento; 
 D é o diâmetro da secção; 
  é a viscosidade cinemática da água. 
 
 Para se aplicar este critério ao escoamento subterrâneo, introduzem-se as seguintes alterações 
na fórmula do número de Reynolds: a velocidade do escoamento é substituída pela velocidade 
aparente de filtração e o diâmetro da secção é substituído por um diâmetro característico dos 
poros, como D10 da curva granulométrica do material do aquífero. 
 
 Estudos experimentais referidos em Bear (1988) e Fetter (2001) indicam que a lei de Darcy 
se mantém válida para valores de Re não superiores a 10, verificando-se desvios para valores 
superiores de Re, embora o movimento turbulento apenas se inicie para valores de Re na faixa de 
60–150. Verifica-se que, em grande parte dos casos, o escoamento subterrâneo se processa com 
valores de Re inferiores a 1, bem dentro do domínio de validade da lei de Darcy. 
 
 A partir da lei de Darcy, pode exprimir-se o caudal específico (caudal por unidade de largura 
do aquífero) pela fórmula: 
 
 iHKq  (8.7) 
em que o caudal específico q vem expresso em m
2
/dia. 
 
 O gradiente hidráulico depende da orientação. A lei de Darcy pode ser escrita de forma 
generalizada como: 
 
 xxx iKv  (8.8) 
em que 
 vx é a velocidade do escoamento no sentido x; 
 Kx é a permeabilidade no sentido x; 
 ix = 
x

é o gradiente hidráulico no sentido x. 
Água subterrânea 
8.18 
 
 Podem escrever-se expressões análogas para vy e vz. Note-se que no caso dum aquífero 
isotrópico será Kx = Ky = Kz = K. 
 
 Tem interesse considerar a situação dum meio estratificado, i.e., um meio composto por 
camadas paralelas, cada uma delas homogénea e isotrópica, mas com diferenças de 
permeabilidade entre as várias camadas. A estratificação pode verificar-se numa direção 
perpendicular ao fluxo ou numa direção paralela ao fluxo. 
 
Figura 8.9 – Escoamento em aquíferos estratificados 
 
a) Estratificação em direção perpendicular ao fluxo 
 
 Neste caso, o caudal e a velocidade são iguais em todas as camadas atravessadas, conforme o 
esquema da esquerda na Figura 8.9. Para cada uma das camadas j pode escrever-se: 
 
 
jjj
jjjjj
KHvΔh
HΔhKiKv


 (8.9) 
 A perda de carga total do escoamento ao atravessar as várias camadas, Δh, calcula-se como: 
 
 )K/(HvΔhΔh j
j
j
j
j   (8.10) 
 
 Para todo o aquífero, com espessura total H e no qual o escoamento se processa com a perda 
de carga total Δh, pode escrever-se a lei de Darcy como: 
 
 
j
j
j
jeqeqeq H/ΔhKH/ΔhKiKv (8.11) 
em que Keq é a permeabilidade equivalente do aquífero, dada por: 
 
 


j
j
j j
j
veq
c
H
K
H
H
KK (8.12) 
Água subterrânea 
8.19 
sendo cj a resistência hidráulica da camada j (dias). Pode então tratar-se o aquífero estratificado 
na direção perpendicular ao fluxo como um aquífero homogéneo isotrópico com permeabilidade 
Keq = Kv. 
 
 Dado que a resistência hidráulica de todo o aquífero na direção vertical é igual a H/Kv, pode 
também concluir-se que um escoamento que atravessa um aquífero estratificado enfrenta uma 
resistência hidráulica igual ao somatório das resistências hidráulicas dos estratos atravessados. 
 
b) Estratificação em direção paralela ao fluxo 
 
 Neste caso, o gradiente do escoamento subterrâneo é igual em todas camadas, conforme o 
esquema da direita na Figura 8.9. Para cada uma das camadas j pode escrever-se: 
 
 LΔHHKiHKq jjjjj  (8.13) 
 
em que qj é o caudal específico na camada j. O caudal total q que atravessa as várias camadas é 
dado por 
 
 
L
Δh
)H(Kqq j
j
j
j
j   (8.14) 
 
 Para todo o aquífero com espessura total H e no qual o caudal q se processa com a mesma 
perda de carga total Δh, pode escrever-se a lei de Darcy como: 
 
 
L
Δh
HKq
j
jeq  (8.15) 
 
em que Keq é a permeabilidade equivalente de todo o aquífero, dada por 
 
 
H
HK
KK
j
jj
heq

 (8.16) 
 
 Pode, pois, tratar-se o aquífero estratificado na direção paralela ao fluxo com um aquífero 
homogéneo isotrópico com permeabilidade Keq = Kh . Dado que a transmissividade de todo o 
aquífero na direção horizontal é igual a HKh , pode também concluir-se que a transmissividade 
dum aquífero estratificado na direção do caudal é igual ao somatório das transmissividades dos 
estratos. 
 
 Num aquífero estratificado, existem diferenças marcadas no escoamento nas camadas mais 
permeáveis (aquíferos) e nas menos permeáveis (aquitardos). O escoamento horizontal, na 
direção paralela à estratificação, processa-se na quase totalidade nos aquíferos, sendo 
desprezável o caudal que passa nos aquitardos. 
 
 Por outro lado, o escoamento vertical é uma fração muito pequena do escoamento horizontal. 
Geralmente, o escoamento vertical nos aquíferos pode ser desprezado em relação ao escoamento 
Água subterrânea 
8.20 
horizontal. Os aquitardos contribuem com a quase totalidade da resistência hidráulica vertical, ao 
passo que em geral a resistência hidráulica vertical nos aquíferos pode ser desprezada. Assim, 
quase não se verifica uma perda de carga nos aquíferos na direção vertical. Isso é uma vantagem 
na instalação de piezómetros para registar níveis piezométricos, pois a profundidade do filtro não 
é crítica. 
 
 O exemplo do escoamento subterrâneo através da fundação permeável duma barragem de 
terra, Figura 8.10, ilustra bem o interesse do estudo dos meios anisotrópicos e estratificados. A 
construção duma vala corta-águas na fundação preenchida com material impermeável reduz 
muito o caudal que se escoa através da fundação, podendo determinar-se a largura da vala 
necessária para reduzir esse caudal a um valor máximo predeterminado. 
 
 
Figura 8.10 – Escoamento através da fundação duma barragem 
 
8.4.3 Equação da continuidade 
 
 A equação da continuidade aplicada a um aquífero diz que o caudal de entrada no aquífero, 
incluindo a recarga menos o caudal de saída, será igual à variação do volume armazenado por 
unidade de tempo.A aplicação da equação da continuidade em conjugação com a lei de Darcy dá origem a 
equações diferenciais, cuja integração será mais ou menos complexa, como se verá ao 
estudarem-se os escoamentos nos diferentes tipos de aquíferos. 
 
 Como as variações de nível nos aquíferos são bastante lentas, é possível estudar muitos 
problemas práticos numa situação de regime permanente. Em certos casos, porem, terá de se 
fazer o estudo considerando o regime como variável. 
 
 Considere-se num aquífero isotrópico confinado um elemento de volume infinitesimal, 
volume de controlo, Figura 8.11. 
Água subterrânea 
8.21 
 
Figura 8.11 – Escoamento através do volume de controlo 
 Fetter (2001) mostra que, desprezando a compressibilidade da água, a equação da 
continuidade conduz a 
 
t
S
z
q
y
q
x
q
s
zyx










 
 (8.17) 
sendo qj o caudal específico que se escoa na direção j, e φ, a carga hidráulica. Conjugando agora 
a equação da continuidade com a lei de Darcy, obtém-se 
 
 
t
S
z
K
y
K
x
K s2
2
z2
2
y2
2
x










 
 (8.18) 
que é a equação geral do escoamento subterrâneo num aquífero confinado em meio homogéneo 
anisotrópico em regime variável, sendo Ss o armazenamento específico anteriormente definido. 
 
 No caso de um aquífero freático, há que considerar que a espessura saturada varia, ao 
contrário do que se passa com um aquífero confinado. De acordo com Fetter (2001), a equação 
geral do escoamento num aquífero freático homogéneo anisotrópico é a chamada equação de 
Boussinesq: 
 
t
h
S
z
h
h
z
K
y
h
h
y
K
x
h
h
x
K yzyx
































 (8.19) 
 
onde h é a espessura do aquífero e Sy, o rendimento específico anteriormente definido. 
 
 Para os casos em que a variação é pequena em comparação com a espessura saturada, pode 
tomar-se uma espessura saturada média, H, constante no aquífero, chegando-se a: 
 
 
t
h
H
S
z
h
K
y
h
K
x
h
K
y
2
2
z2
2
y2
2
x











 (8.20) 
 Estas equações não são integráveis analiticamente, podendo recorrer-se a soluções numéricas 
através de métodos como o dos elementos finitos. Neste capítulo ver-se-ão soluções analíticas 
para situações simplificadas de interesse prático em engenharia civil, designadamente as do 
escoamento plano e do escoamento radial num meio isotrópico em regime permanente. 
Água subterrânea 
8.22 
 
 As equações (8.18) e (8.20) podem ser simplificadas para uma série de casos particulares. 
Assim, num aquífero confinado homogéneo isotrópico, a permeabilidade é constante, donde 
resulta 
 
t
S)
zyx
(K s2
2
2
2
2
2










 
 (8.21) 
Esta equação pode escrever-se: 
 
tKh
S
zyx 2
2
2
2
2
2










 
 (8.22) 
em que S é o coeficiente de armazenamento e h, a espessura saturada do aquífero, considerada 
constante. 
 
 Se, em vez de regime variável, se tiver regime permanente num aquífero confinado 
homogéneo, obter-se-á 
 0
z
K
y
K
x
K
2
2
z2
2
y2
2
x 







 
 (8.23) 
uma vez que ∂φ/∂t = 0. 
 
 Se, além de homogéneo, o aquífero for isotrópico, então a igualdade anterior simplifica-se 
 0
zyx
2
2
2
2
2
2
2











 (8.24) 
 A equação (8.24) é a conhecida equação de Laplace. Mesmo neste caso mais simples dum 
aquífero homogéneo e isotrópico em regime permanente, a equação de Laplace muitas das vezes 
não consegue integrar-se analiticamente, fazendo-se a integração por métodos numéricos. 
 
 Considerando agora um aquífero freático homogéneo isotrópico em regime variável, com 
uma espessura aproximadamente constante, H, a equação (8.20) simplifica-se, uma vez que K é 
constante: 
 
 
t
h
KH
S
z
h
y
h
x
h y
2
2
2
2
2
2











 (8.25) 
 No caso de um aquífero freático homogéneo anisotrópico em regime permanente, a equação 
(8.20) reduz-se a 
 
 0
2
2
2
2
2
2









z
h
K
y
h
K
x
h
K zyx (8.26) 
 
 Finalmente, se se tiver um aquífero freático homogéneo isotrópico em regime permanente, 
obtém-se novamente a equação de Laplace: 
 
 0
z
h
y
h
x
h
2
2
2
2
2
2









 (8.27) 
Água subterrânea 
8.23 
 No remanescente deste capítulo, serão analisados escoamentos em meio homogéneo 
isotrópico e regime permanente. Sempre que se tratar de escoamento em meio anisotrópico ou 
em regime variável, tal será explicitamente referido. 
8.4.4 Escoamento bidimensional plano. Função potencial e função de corrente 
 
 Em muitas situações, o escoamento subterrâneo pode ser tratado como um escoamento 
bidimensional, se as características do aquífero e as condições de fronteira se repetem em planos 
paralelos – escoamento plano – ou em planos todos concorrentes num mesmo eixo – escoamento 
radial. 
 
 No caso do escoamento bidimensional plano, a equação diferencial do escoamento em 
regime permanente num meio homogéneo e isotrópico é 
 
 0
yx 2
2
2
2





 
 (8.28) 
 Também neste caso se pode fazer a integração numérica da equação diferencial utilizando 
métodos numéricos. Um outro processo consiste em utilizar os conceitos de função potencial Ф e 
função de corrente Ψ, com base nos quais é possível traçar redes de escoamento compostas por 
linhas equipotenciais (Ф constante) e por linhas de corrente (Ψ constante) que se cruzam 
perpendicularmente. 
 
 Define-se a função potencial Ф como: 
 KΦ  (8.29) 
 
 Como K é constante num aquífero homogéneo e isotrópico, pode escrever-se: 
 ΦΦgradv 

 (8.30) 
 Como se tem 0Φ22   , a função potencial Ф é uma função harmónica. 
 
 A função de corrente Ψ é definida por 
 
x
Ψ
y
Φ
v
y
Ψ
x
Φ
v yx













 (8.31) 
 Definindo-se deste modo Ф e Ψ, verifica-se que as duas funções são ortogonais em qualquer 
ponto, sendo igualmente 0
2  . As funções Ф e Ψ definem a função complexa W = Ф + i Ψ, 
de grande interesse na resolução de problemas de escoamento em meio poroso. As dimensões de 
Ф e Ψ são L
2
T
-1
, sendo normalmente expressas em m
2
/dia. 
 
 A utilização da função potencial e da função de corrente permitem uma resolução gráfica do 
problema do escoamento plano, através do traçado de uma rede de escoamento (Cedergren, 
1989). A rede de escoamento num meio homogéneo e isotrópico em regime permanente resulta 
num conjunto de retângulos (aproximados) e dela se podem calcular velocidade, caudais e 
perdas de carga. A Figura 8.12 mostra um exemplo duma tal rede para escoamento subterrâneo 
na fundação de uma barragem, com a representação das linhas equipotenciais e das linhas de 
corrente. 
 
 
Água subterrânea 
8.24 
 
Figura 8.12 – Exemplo de rede de fluxo 
 
 O caudal que passa entre quaisquer duas linhas de corrente contíguas é o mesmo. Com efeito, 
se considerarmos um retângulo genérico da rede, com dimensões Δs (segundo a linha de 
corrente) e Δn (segundo a linha equipotencial), teremos que a velocidade vp num ponto no 
interior do quadrado é dada por 
 
 
Δs
ΦΦ
Δs
ΔΦ
v 12p

 (8.32) 
e também por 
 
Δn
ΨΨ
Δn
ΔΨ
v 12p

 (8.33) 
 O caudal é então dado por 
 1212p ΨΨ)Φ(Φ
Δs
Δn
ΔnvΔq  (8.34) 
 Habitualmente, constrói-se uma rede de fluxo tal que Δn = Δs, uma vez que o traçado se 
torna mais simples. Harr (1962) sugeriu os seguintes passos para o traçado duma rede de 
escoamento: 
 
 desenhar os limites do domínio do escoamento à mesma escala horizontal e vertical, de 
modo a que todas as linhas equipotenciais e de corrente que se desenham estejam 
contidas dentro desses limites; 
 traçar tentativamente três ou quatro linhas de corrente, que definam uma transição suave 
entre as linhas de corrente limitantes do problema, tendo em conta que a distância entre 
linhas decorrente adjacentes aumenta na direção do maior raio de curvatura; 
 traçar tentativamente as linhas equipotenciais, tendo em conta que devem cortar todas as 
linhas de corrente, incluindo as limitantes, formando ângulos retos e que devem formar 
quadrados (exceto nas proximidades de pontos singulares); 
 ajustar a posição das linhas de corrente e das equipotenciais, até se obter a correta 
ortogonalidade e a formação dos quadrados curvilíneos, num procedimento de 
aproximações sucessivas. 
 
 O traçado duma rede de escoamento é mais simples num aquífero confinado, visto que num 
aquífero freático têm de fazer-se tentativas para se obter a correta definição da superfície 
freática. 
Água subterrânea 
8.25 
 
 Uma vez traçada a rede de escoamento, há que atribuir valores às várias linhas equipotenciais 
e de corrente. A atribuição de valores às linhas equipotenciais é relativamente simples, pois, em 
geral, conhece-se a diferença de níveis de água entre dois pontos, Δh. Se entre eles houver n+1 
equipotenciais (contando as que passam pelos próprios pontos), a variação de nível entre 
equipotenciais sucessivas é dada por Δh/n, sendo o valor da função potencial dado pela equação 
(8.29). 
 
 Se essas equipotenciais são cortadas por s+1 linhas de corrente, o caudal que passa entre 
duas linhas de corrente adjacentes é q/s, sendo q o caudal total. Conhecendo Δh e a 
permeabilidade K, o caudal que passa entre linhas de corrente adjacentes é dado por 
 ΔhK
s
q
 (8.35) 
 É igualmente simples determinar a velocidade média entre linhas de corrente e a perda de 
carga ao longo das várias linhas de corrente. 
 
8.4.5 Escoamento bidimensional radial 
 
 O escoamento bidimensional radial tem bastante interesse no estudo do escoamento 
subterrâneo, porque o escoamento para um poço ou furo pode ser considerado como tendo 
simetria radial. Num aquífero confinado homogéneo e isotrópico, utilizando coordenadas 
cilíndricas, a equação (8.20) transforma-se em 
 
tKh
S
z
)
r
(r
rr
1
2
2









 
 (8.36) 
para escoamento em regime variável. No regime permanente, o 2º membro é igual a zero. 
 
 Para um aquífero freático homogéneo e isotrópico, a equação (8.23) em coordenadas 
cilíndricas é 
 
t
h
KH
S
z
h
)
r
h
(r
rr
1 y
2
2










 (8.37) 
 
8.5 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM AQUÍFEROS CONFINADOS 
8.5.1 Escoamento plano num aquífero confinado 
 
 Embora a equação diferencial do escoamento subterrâneo não permita na generalidade dos 
casos uma integração analítica, existem algumas situações de interesse prático em que é possível 
obter facilmente soluções analíticas. Tal é o caso do escoamento plano e do escoamento radial. 
 
 Em variadas situações, o escoamento pode processar-se num aquífero confinado, cujo 
comprimento é muito maior que a espessura. Nesses casos, o escoamento torna-se 
unidimensional (exceto em zonas restritas próximas das fronteiras do aquífero) e a integração da 
equação de Laplace é simples. Com efeito, nessas condições pode admitir-se que a velocidade 
apenas tem componente segundo x, vx, veja-se a Figura 8.13. 
 
Água subterrânea 
8.26 
 
Figura 8.13 – Exemplo de escoamento plano 
 
 Com efeito, se v = vx, a equação diferencial do escoamento torna-se simplesmente uma 
equação diferencial ordinária, cuja integração é imediata: 
 
 
K
c
x
K
c
KcxcΦ
c
dx
dΦ
0
dx
Φd
x
Φ
11
21
1
2
2
2
2








 (8.38) 
 
considerando a definição de função potencial Ф dada pela equação (8.27). As duas constantes de 
integração, c1 e c2, são determinadas a partir das condições de fronteira: 
 
2
1
L;x
0;x




 
 
donde se obtêm os valores de c1 e c2: 
 
 /LKc
Kc
121
12




 
 
e a equação da linha piezométrica φ(x), que é uma reta, com os valores de φ a variarem 
linearmente entre φ1 e φ2. 
 
 x
L
)( 12
1



 (8.39) 
 A velocidade do escoamento é constante e dada por 
Água subterrânea 
8.27 
 
L
Kv 21
 
 (8.40) 
 O caudal por metro de largura do aquífero será 
 
L
T
L
KHvHq 2121
 


 (8.41) 
 
8.5.2 Escoamento radial num aquífero confinado 
 
 Considere-se a situação representada na Figura 8.14 dum poço cilíndrico no centro duma ilha 
circular em que o poço atravessa toda a espessura do aquífero confinado, supondo uma espessura 
constante H. 
 
 
Figura 8.14 – Escoamento radial num aquífero confinado 
 
 Abrangem-se aqui, na designação de poço, quer os poços quer os furos. Um poço que 
atravessa toda a espessura dum aquífero diz-se um poço completo ou poço de penetração 
completa. 
 
 A situação hipotética representada na figura é uma idealização de uma situação prática dum 
furo num aquífero extenso que não sofre a influência de outros furos. 
 
 Na situação da Figura 8.14 existe no aquífero um escoamento radial dirigido da periferia para 
o centro. Como o sistema apresenta simetria radial, as superfícies equipotenciais são cilíndricas, 
concêntricas com o poço, e as linhas de corrente são semirretas horizontais radiais. 
 
 A uma distância r do centro do poço, a cota piezométrica é φ < φ0. A diferença de φ – φ0 = s 
designa-se por rebaixamento. No poço (r = rp), a cota piezométrica é φp e o rebaixamento é sp. 
Do poço extrai-se um caudal constante Q0. 
 
 Devido à simetria radial e à espessura constante, o escoamento pode ser estudado como 
unidirecional na direção radial. A equação (8.36) do escoamento radial em regime permanente 
escreve-se então, atendendo a que tanto ∂φ/∂z como ∂φ/∂t são nulos, 
Água subterrânea 
8.28 
 
 0)
dr
d
(r
dr
d
r
1


 (8.42) 
 A integração desta equação diferencial conduz a 
 
 
r
1
c
dr
d
1

 (8.43) 
 
21 c(r)lnc  (8.44) 
 
 As constantes de integração c1 e c2 podem ser determinadas a partir das condições de 
fronteira. Considere-se uma superfície cilíndrica com raio r. O caudal que atravessa qualquer 
superfície cilíndrica concêntrica com o poço é um caudal constante Q. A equação de 
continuidade escreve-se simplesmente como: Q = – Q0, utilizando-se o sinal negativo porque o 
sentido de Q é contrário ao do eixo r. 
 
 Será também: 
 rvHr2πQ  (8.45) 
 
em que vr é a velocidade do escoamento na direção radial: 
 
r
1
2ππ
Q
v 0r  (8.46) 
 Note-se que a velocidade tangencial é nula visto que a superfície cilíndrica é uma superfície 
equipotencial. 
 
 A lei de Darcy escreve-se para o escoamento radial: 
 
dr
d
Kv r

 (8.47) 
em que o sinal negativo indica que o escoamento se processa no sentido de φ decrescente, ou 
seja, para o centro do poço. Assim: 
 
r
1
H2π
Q
dr
d
Kv 0r 

 (8.48) 
 Será portanto, comparando as equações (8.43) e (8.48), 
 
 
T2π
Q
HK2π
Q
c 001  (8.49) 
 
 A condição de fronteira para a determinação de c2 é φ = φ0 para r = r0: 
    0
0
022o
0
0 rln
T2π
Q
ccrln
T2π
Q
  (8.50) 
 
Água subterrânea 
8.29 
 A expressão resultante é a equação apresentada por Thiem em 1906 (Custodio e Llamas, 
1983): 
 






r
r
ln
T2π
Q
s 000  (8.51) 
que mostra que a cota piezométrica decresce de forma logarítmica desde a periferia até ao poço. 
 
 Da equação de Thiem obtém-se imediatamente o valor do rebaixamento no poço, sp: 
 









p
00
p
r
r
ln
T2π
Q
s (8.52) 
 Se se considerar um ponto a uma distância r1 onde se verifica um rebaixamento s1, pode 
escrever-se: 
 









p
10
1p
r
r
ln
T2π
Q
ss (8.53) 
 A equação (8.53) é designada por curva característica do poço. 
 
 A equação de Thiem e as seguintes foram obtidas considerando a situação idealizada dum 
poço completo no centro de uma ilha circular. Como na prática não se está nessa situação, toma-
se para r0, raio de influência do poço, a distância para a qual a ação do poço já pouco se faz 
sentir, i.e. o rebaixamento é negligenciável.Se se instalarem vários piezómetros (poços ou furos onde se pode medir o nível de água) a 
distâncias ri e se medirem os rebaixamentos si para um dado caudal extraído em regime 
permanente, é possível marcar num gráfico em papel semilogarítmico os pontos [s i, ln(ri)] e 
traçar a reta que melhor se ajusta a esses pontos. Para s = 0, obter-se-á o valor de ln(r0). Para r = 
rp, obtém-se o rebaixamento teórico no poço, sp. Este valor pode diferir do valor real medido no 
poço, spr, devido às perdas de carga à entrada do poço. Chama-se raio equivalente do poço, re, ao 
valor de r que corresponde a spr na equação de Thiem. 
 
 Após o traçado da reta, é possível obter os valores da permeabilidade K e da 
transmissividade T = K H a partir de 
 







1
2
21
0
r
r
ln
)s(sH2π
Q
K (8.54) 
sendo s1 – s2 a diferença de rebaixamento entre os pontos 1 e 2, situados a distâncias r1 e r2, 
respetivamente. 
 
 O ensaio de bombagem para determinar a permeabilidade K dum aquífero consiste 
precisamente em bombear um dado caudal constante, Q0, durante tempo suficiente para se 
estabelecer o regime permanente, dispondo de dois ou mais piezómetros para medição dos níveis 
da água e usando-se as equações anteriores para calcular K. A Figura 8.15 mostra o esquema de 
um ensaio de bombagem. 
 
Água subterrânea 
8.30 
 
Figura 8.15 – Ensaio de bombagem para determinação da permeabilidade 
 
 Com frequência a espessura do aquífero é demasiado grande para que o furo ou poço abranja 
a totalidade da espessura, H. Apenas num certo comprimento, menor que H, se estabelece uma 
zona filtrante por onde se processa a entrada de água no poço, como se representa na Figura 
8.16. As linhas de corrente já não são horizontais e há um afastamento em relação à teoria dos 
poços completos. 
 
Figura 8.16 – Poço de penetração parcial 
 
Água subterrânea 
8.31 
 Estes poços, chamados poços de penetração parcial, devem ser estudados usando redes de 
fluxo ou métodos numéricos. Com base nessas análises e em medições de campo, têm sido 
propostas diversas fórmulas, como a proposta por TNO (1964): 
 )),F()
r
4b
((ln
δ
δ1
T2π
Q
s)(s
p
ppp 

 (8.55) 
em que 
 (sp)p é o rebaixamento no poço de penetração parcial; 
 sp é o rebaixamento de um poço completo similar que bombeia o mesmo caudal; 
 δ é a razão l/H entre o comprimento l da zona filtrante e a espessura H do aquífero; 
 ε é a excentricidade relativa da zona filtrante, dada por |a – b|/(2H); 
 a é a distância do topo da zona filtrante ao topo do aquífero; 
 b é a distância da base da zona filtrante à base do aquífero. 
 
 O Quadro 8.5 apresenta valores de F (δ,ε) para valores habituais de δ e ε. 
Quadro 8.5 – Valores de F em poços de penetração parcial 
ε 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 
δ 
0.1 4,298 4,297 4,294 4,287 4,276 4,259 4,232 4,184 4,084 3,605 
0.2 3,809 3,806 3,797 3,781 3,756 3,716 3,650 3,525 3,116 
0.3 3,586 3,581 3,566 3,537 3,490 3,425 3,276 2,893 
0.4 3,479 3,471 3,445 3,395 3,312 3,165 2,786 
0.5 3,447 3,433 3,388 3,302 3,145 2,754 
0.6 3,479 3,455 3,374 3,208 2,786 
0.7 3,586 3,538 3,370 2,893 
0.8 3,809 3,688 3,116 
0.9 4,298 3,605 
 
 Schneebeli (1966) propôs uma outra fórmula para poços de penetração parcial: 
 )
r
2l
ln
l
H
2H
r
(ln
T2π
Q
)(s
p
0
pp  (8.56) 
 No caso de se ter um campo de furos com n furos relativamente próximos uns dos outros, 
isto é, com distâncias entre furos muito inferiores a r0, pode usar-se em primeira aproximação a 
seguinte fórmula para calcular o rebaixamento num ponto qualquer do aquífero, aplicando o 
princípio de sobreposição (Figura 8.17): 
 





 
 i
0
n
1i
i
d
r
lnQ
T2π
1
s (8.57) 
em que di é a distância do ponto ao furo i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Água subterrânea 
8.32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.17 – Rebaixamento num campo de furos 
 
8.6 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM AQUÍFEROS FREÁTICOS 
8.6.1 Hipótese de Dupuit 
 
 O estudo do escoamento subterrâneo em aquíferos freáticos é mais complexo que o relativo 
aos aquíferos confinados, visto que o nível freático que define o limite superior do aquífero é 
alterado pelo próprio escoamento. Um outro fator que aumenta a complexidade da análise é que 
nos aquíferos freáticos há casos em que é preciso entrar em conta com a recarga no estudo do 
escoamento. 
 
 Considerando a situação do escoamento tridimensional em regime permanente num aquífero 
freático com recarga R, mas sem alimentação de aquíferos mais profundos, a equação da 
continuidade (8.17) escreve-se: 
 0R
z
q
y
q
x
q zyx 








 (8.58) 
sendo qx, qy e qz os caudais que atravessam o volume de controlo ao longo da espessura total do 
aquífero. 
 
 Com a inclusão da recarga R, a equação de Boussinesq (8.19) passa então a ser 
 
 0R
z
h
h
z
K
y
h
h
y
K
x
h
h
x
K zyx 





























 (8.59) 
 
 Esta equação representa o escoamento num aquífero freático homogéneo e anisotrópico em 
regime permanente, com recarga R, mas sem alimentação de aquíferos mais profundos. 
 
 No caso dum aquífero homogéneo e isotrópico, Kx = Ky = Kz = K, donde se chega a 
Água subterrânea 
8.33 
 0
K
2R
z
h
y
h
x
h
2
22
2
22
2
22









 (8.60) 
 
 Note-se que, num aquífero freático, a cota piezométrica é dada por h, altura da toalha freática 
acima da camada impermeável suposta horizontal. Tal como no caso dos aquíferos confinados, 
estas equações podem ser integradas usando métodos numéricos, embora com a dificuldade 
adicional de a fronteira superior do domínio não estar definida a priori. 
 
 O engenheiro francês Jules Dupuit apresentou em 1863 a seguinte hipótese para permitir 
determinar uma equação do escoamento subterrâneo em aquíferos freáticos que se pudesse 
analisar com mais facilidade: 
 numa secção transversal qualquer, a distribuição de velocidades é uniforme; 
 a componente vertical da velocidade em qualquer ponto é desprezável, portanto vz = 0. 
Isto não é válido em zonas do aquífero onde a curvatura da toalha freática é acentuada, 
como acontece na vizinhança de valas ou poços para onde se dá o escoamento. 
 
 A Figura 8.18 ilustra esta hipótese. Se se admitir que vz = 0, as superfícies equipotenciais são 
verticais. 
 
Figura 8.18 – Ilustração da hipótese de Dupuit 
 
Com a hipótese de Dupuit (vz = 0), chega-se a: 
 0
K
2R
y
h
x
h
2
22
2
22






 (8.61) 
 
que é a chamada equação de Dupuit-Forchheimer, válida para um aquífero freático homogéneo e 
isotrópico em regime permanente, com componente vertical da velocidade desprezável em 
qualquer ponto. 
 
 Nos subcapítulos seguintes, apresentam-se resoluções da equação de Dupuit-Forchheimer 
para escoamentos unidimensionais (plano e radial). 
 
Água subterrânea 
8.34 
8.6.2 Escoamento plano num aquífero freático 
 
 Considere-se o aquífero freático representado na Figura 8.18, onde o escoamento se processa 
da vala da esquerda para a vala da direita, com os níveis nas valas constantes (regime 
permanente) numa situação em que não há recarga. Como se trata dum escoamento plano, h ≡ 
h(x). A equação de Dupuit-Forcheimer reduz-se a 
 0
dx
hd
2
22
 (8.62) 
 A integração conduz a 
 21
2 cxch  
 
 As condições de fronteira são h = h0, para x = 0, e h = h1, para x = L, permitindo assim obter 
a equação da linha freática: 
 
 x
L
hh
hh
2
1
2
02
0
2  (8.63) 
 
 Num aquífero freático, h representa a cota piezométrica. Note-se que, enquanto num aquífero 
confinado a variação da cota piezométrica com x é linear, no aquífero freático, a variação de h 
com x é parabólica. 
 Como 
dx
dh
Kvv x  
ctehvqq xx  
deduz-se facilmente que o caudal q por metro de largura é dado pela seguinte expressão:   2120
2
hh
2L
K
dx
hd
K
2
1
q  (8.64) 
 
 Considere-se agora o aquífero freático representado na Figura 8.19, em que se tem de 
considerar a recarga R por metro de comprimento do aquífero. Os níveis nas valas mantêm-se 
constantes (regime permanente) e iguais. Nestas condições, há simetria no escoamento e a linha 
freática atinge a sua cota mais alta a meia distância entre as valas. 
 
Água subterrânea 
8.35 
 
Figura 8.19 – Escoamento para valas num aquífero freático com recarga 
 Tomando o ponto a meia distância entre as valas como a origem do eixo xx, pode fazer-se a 
integração da equação de Dupuit-Forcheimer. 
 
 0
K
2R
dx
hd
2
22
 (8.65) 
obtendo-se 
 
 21
22 cxcx
K
R
h  
 
 Daqui se obtêm facilmente as expressões da velocidade e do caudal: 
 
2
Kcx2R
vhq
2h
Kcx2R
dx
dh
Kvv
1
1
x




 (8.66) 
 As condições de fronteira são: para x = 0, q = 0 (o gradiente do nível freático é nulo); para x 
= L/2, h = h1. Donde 
 

















2
2
2
1
2
1
x
2
L
K
R
hh
xRq
0c
 (8.67) 
 
 É fácil obter a expressão de hmax e do caudal q escoado para cada uma das valas: 
Água subterrânea 
8.36 
 
2
RL
q
4K
RL
hh
2
2
1
2
max


 (8.68) 
 
 A obtenção das equações para o caudal e para o nível freático para a situação mais geral do 
escoamento com recarga e sem simetria (níveis diferentes nas valas) pode ser feita de modo 
semelhante, considerando nesse caso que a localização da secção onde se verifica hmax é 
desconhecida. Havendo uma terceira incógnita, a condição de fronteira adicional é o 
conhecimento do valor de h2 , diferente de h1. 
8.6.3 Escoamento radial num aquífero freático 
 
 Considere-se a situação de um poço completo num aquífero freático extenso (Figura 8.20). 
Do poço está a ser bombeado um caudal constante Q0. O aquífero pode receber uma recarga 
uniforme R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.20 – Escoamento radial num aquífero freático 
 
 Considerando o poço no centro duma ilha circular, existe uma superfície cilíndrica, 
concêntrica com o poço à distância r0, que seria o raio dessa ilha hipotética. Numa situação real, 
r0 é a distância do poço até onde se situa o divisor de águas (o gradiente de nível freático é nulo), 
que então não é atravessado por nenhum caudal. A distância desse divisor de águas r0 é 
determinada pela relação entre o caudal bombeado do poço e a recarga. Sendo r0 bastante grande 
relativamente ao raio do poço, pode tomar-se rp = 0. As superfícies equipotenciais são 
superfícies cilíndricas, como se representa na Figura 8.21. 
. 
 
 
 
 
Água subterrânea 
8.37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.21 – Superfícies equipotenciais no escoamento radial num aquífero freático 
 Para o escoamento radial com escoamento em regime permanente, a equação de Dupuit –
Forcheimer escreve-se: 
 0
K
R
dr
dh
r
dr
d
r
h






 (8.69) 
 No caso de não haver recarga, a integração desta equação conduz a 
 (r)lncch 21
2  
 A determinação das constantes de integração é feita com a imposição das condições de 
fronteira: 
 – para r = r0, h = h0; 
 – o caudal que atravessa qualquer superfície equipotencial é igual ao caudal Q0 retirado do 
poço. 
 
 
)(rln
πK
Q
hc
πK
Q
c
QπKcr2πhvQ
rh2
Kc
dr
dh
Kv
rh2
c
dr
dh
r
c
dr
dh
2h
)(rlncch
0
02
01
0
2
02
2
22
021
2
0





 (8.70) 
Água subterrânea 
8.38 
 O sinal negativo para v e Q significa que o escoamento se processa em sentido oposto ao de 
r. Chega-se então à expressão da superfície freática: 
 








0
02
0
2
r
r
ln
πK
Q
hh (8.71) 
 Quando existe uma recarga uniforme R, a integração da equação diferencial conduz à 
seguinte expressão para a superfície freática: 
  220
0
02
0
2 rr
2K
R
)
r
r
ln(
πK
Q
hh  (8.72) 
 Neste caso, o caudal que atravessa uma dada superfície equipotencial não é constante, 
podendo ser calculado simplesmente por 
 RrπQQ 20  (8.73) 
 A distância da linha de separação das águas, r0, pode então calcular-se atendendo a que nessa 
linha o caudal Q será nulo: 
 
Rπ
Q
r0RrπQ 00
2
00  (8.74) 
 A expressão (8.71) da situação sem recarga pode ser utilizada para a determinação da 
permeabilidade num aquífero freático através de um ensaio de bombagem, onde se medem os 
rebaixamentos s1 e s2 em dois piezómetros situados a distâncias r1 e r2 do poço onde se bombeia 
o caudal Q0, como se ilustra na Figura 8.22. No ensaio de bombagem é preciso garantir que não 
se verifique recarga nenhuma, sendo necessário tomar medidas adequadas para evitar que a água 
bombeada se infiltre e retorne ao aquífero. 
 
 
Figura 8.22 – Ensaio de bombagem num aquífero freático 
 
 Os rebaixamentos são dados por 
Água subterrânea 
8.39 
 
202
101
hhs
hhs


 (8.75) 
 A partir da equação (8.69) pode escrever-se: 
 





















2
102
2
2
1
2
002
2
2
0
1
002
1
2
0
r
r
ln
πK
Q
hh
r
r
ln
πK
Q
hh
r
r
ln
πK
Q
hh
 (8.76) 
donde se calcula o valor da permeabilidade K através de 
 
  








2
1
2
2
2
1
0
r
r
ln
hhπ
Q
K (8.77) 
 
 O rebaixamento no poço, sp, é dado por sp = h0 – hp. Como h0
2
 – hp
2
 = (h0 – hp) (h0 + hp), 
então: 
 
  









p
0
p0
0
p
r
r
ln
hhπK
Q
s (8.78) 
 
 Esta equação, que relaciona o rebaixamento no poço com o caudal bombeado Q0, designa-se 
por curva característica do poço. 
 
 Por outro lado, como hp = h0 – sp, pode escrever-se 
   







0
p
p0e
p r
r
lns2hπKq
s
Q
 (8.79) 
em que qe é o caudal específico ou o caudal por metro de rebaixamento no poço. A partir desta 
última expressão verifica-se que 
 0Q0sp  (8.80) 
 








0
p2
0maxmax0p
r
r
lnhKπQQQhs (8.81) 
 
     
max0
p
2
0
2
p
2
0
p0p0
2
0
p0p
max Q
Q
1
h
h
h
h
1
h
hhhh
h
s2hs
Q
Q




 (8.82) 
 
 A experiência indica que não se deve explorar um poço num aquífero freático com valores de 
rebaixamento sp acima de 0,5 h0, o que corresponde a extrair um caudal Q de cerca de 75 por 
cento do caudal máximo. 
 
 Para pequenos rebaixamentos e numa zona afastada do poço, tem-se 
Água subterrânea 
8.40 
     






r
r
ln
hK2π
Q
s2hshhhhhh 0
0
000
22
0
 (8.83) 
expressão semelhante à encontrada para o aquífero confinado. 
 
 No caso de se verificarem grandes rebaixamentos no poço, o valor de sp a considerar para o 
cálculo do caudal difere do sp medido, devido às restrições impostas pela hipótese de Dupuit. 
Sendo sp o valor medido, pode utilizar-se a fórmula de Jacobs para obter o valor corrigido s’p: 
 
0
2
p
p
'
p
2h
s
ss  (8.84) 
 
8.7 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM REGIME VARIÁVEL 
8.7.1 Escoamento radial num aquífero confinado 
 
 Consideremos um poço de penetração completa num aquífero confinado de grande extensão 
e onde se bombeia um caudal constante. Quando se inicia a bombagem, a cota piezométrica é 
constante em todo o aquífero. O caudal bombeado é igual ao integral estendido à área de 
influência da redução da cota piezométrica vezes o coeficiente de armazenamento. Como o 
caudal resulta da redução do armazenamento de água no aquífero, a carga irá continuar a 
decrescer, mas cada vez mais lentamente, uma vez que a área de influência está continuamente a 
aumentar, até se chegar a uma situação em que tal decréscimo é negligenciável. Nessa altura, 
considera-se que se atingiu a situação de equilíbrio que foi estudada nos itens anteriores. Até lá, 
o escoamento processa-se em regime variável, cuja análise tem interesse prático, principalmente 
para a determinação da permeabilidade K e do coeficiente de armazenamentoS através dum 
ensaio de bombagem. 
 
 A equação diferencial do escoamento radial em regime variável, aceitando que as 
velocidades não têm componente vertical z, é 
 
tKh
S
)
r
(r
rr
1






 
 (8.85) 
em que φ é a carga, r, a distância radial ao poço, S, o coeficiente de armazenamento, K, a 
permeabilidade, h, a espessura saturada do aquífero e t, o tempo decorrido desde o início da 
bombagem. 
 
 Todd e Mays (2005) referem que Theis obteve uma solução para esta equação diferencial, 
impondo como condições h = h0, para t = 0, e h = h0, para r → ∞, para qualquer t. A expressão 
derivada por Theis foi 
 du
u
e
hK4π
Q
s
u
u



 (8.86) 
 
sendo s o rebaixamento, Q, o caudal constante bombeado, e u definido como 
 
thK4
Sr
u
2
 (8.87) 
 
Água subterrânea 
8.41 
 A equação (8.87) é chamada equação de Theis. Esta equação é mais utilizada em ensaios de 
bombagem destinados a determinar a permeabilidade dum aquífero do que as equações 
correspondentes à situação de equilíbrio por diversas razões: 
 Basta apenas um poço de observação em vez de dois. 
 O tempo requerido de bombagem, é menor visto que não é necessário chegar à situação 
de equilíbrio. 
 Permite determinar o valor do coeficiente de armazenamento S. 
 
 A equação de Theis não é, no entanto, de fácil utilização. Por isso, Theis propôs um método 
mais prático de resolução. Neste método, a equação (8.84) é escrita como 
 W(u)
hK4π
Q
s  (8.88) 
 Reescrevendo a equação (8.87) como 
 u
S
hK4
t
r 2
 (8.89) 
e atendendo a que 
hK4π
Q
 e 
S
hK4
 são constantes, a relação entre entre W(u) e u deve ser 
semelhante à relação entre s e r
2
/t. 
 
 Theis sugeriu uma solução aproximada para a determinação de S e K baseada num método 
gráfico de sobreposição. Prepara-se um gráfico em papel logarítmico de W(u) versus u, gráfico 
que se designa por curva – tipo. O Quadro 8.6, apresentado em Todd e Mays (2005), dá valores 
de W(u). Traça-se depois um gráfico de s versus r
2
/t também em papel logarítmico, designado 
por curva de dados, com valores de s, r e t obtidos no ensaio de bombagem. Sobrepõem-se os 
dois gráficos, mantendo os eixos coordenados paralelos, ajustando-se até se encontrar por 
tentativas uma posição onde a maioria dos pontos observados no ensaio de bombagem se situam 
sobre a curva – tipo. Escolhe-se então um ponto do qual se obtêm as coordenadas s, r
2
/t, u, W e, 
a partir delas, os valores de S e K pelas equações (8.88) e (8.89). 
 
Quadro 8.6 – Valores de W(u) para a curva – tipo 
u 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 
* 1 0,219 0,049 0,013 0,0038 0,0011 0,00036 0,00012 0,000038 0,00001 
* 10
-1 
1,82 1,22 0,91 0,70 0,56 0,45 0,37 0,31 0,26 
* 10
-2 
4,04 3,35 2,96 2,68 2,47 2,30 2,15 2,03 1,92 
* 10
-3 
6,33 5,64 5,23 4,95 4,73 4,54 4,39 4,26 4,14 
* 10
-4 
8,63 7,94 7,53 7,25 7,02 6,84 6,69 6,55 6,44 
* 10
-5 
10,94 10,24 9,84 9,55 9,33 9,14 8,99 8,86 8,74 
* 10
-6 
13,24 12,55 12,14 11,85 11,63 11,45 11,29 11,16 11,04 
* 10
-7 
15,54 14,85 14,44 14,15 13,93 13,75 13,60 13,46 13,34 
* 10
-8 
17,84 17,15 16,74 16,46 16,23 16,05 15,90 15,76 15,65 
* 10
-9 
20,15 19,45 19,05 18,76 18,54 18,35 18,20 18,07 17,95 
* 10
-10 
22,45 21,76 21,35 21,06 20,84 20,66 20,50 20,37 20,25 
* 10
-11 
24,75 24,06 23,65 23,36 23,14 22,96 22,81 22,67 22,55 
* 10
-12 
27,05 26,36 25,96 25,67 25,44 25,26 25,11 24,97 24,86 
* 10
-13 
29,36 28,66 28,26 27,97 27,75 27,56 27,41 27,28 27,16 
* 10
-14 
31,66 30,97 30,56 30,27 30,05 29,87 29,71 29,58 29,46 
* 10
-15 
33,96 33,27 32,86 32,58 32,35 32,17 32,02 31,88 31,76 
Água subterrânea 
8.42 
 
 Kruseman e De Ridder (1990) sumarizam outros processos para utilização da equação de 
Theis em ensaios de bombagem. 
8.7.2 Escoamento radial num aquífero freático 
 
 Os métodos apresentados para resolver o problema do escoamento em regime variável num 
aquífero confinado podem ser também utilizados para o caso dum aquífero freático, desde que se 
possa assumir que, tal como no caso do aquífero confinado, a água retirada do armazenamento é 
instantaneamente transformada em caudal. Esta hipótese é válida quando o rebaixamento é 
pequeno relativamente à espessura saturada do aquífero. 
 
 Quando o rebaixamento é grande, essa hipótese não se mantém inteiramente válida, porque, 
quando a superfície freática baixa, a drenagem por gravidade da água da zona não saturada dá-se 
com velocidade variável, referida como escoamento retardado. Por isso, Todd (1980) refere que 
o tempo mínimo de bombagem não deve ser inferior a 4 horas, para areia média a grossa e 
material mais grosseiro, 30 horas, para areia fina, e 7 dias, para silte e argila. 
 
8.8 ESCOAMENTO SUBTERRÂNEO EM AQUÍFEROS SEMICONFINADOS 
8.8.1 Equações gerais 
 
 Considere-se um aquífero semiconfinado que se encontra entre duas camadas 
semipermeáveis (aquitardos). A camada semipermeável de cima tem uma resistência hidráulica 
de cc, a de baixo, de cb. Os níveis piezométricos no aquífero de cima e no de baixo são 
respetivamente φc e φb. 
 
 A lei de Darcy diz que 
 
c
Δφ
H
Δφ
K
dz
dφ
Kv
s
ssz  
em que c = Hs/Ks é a resistência hidráulica da camada semipermeável, exprimindo-se em dias. 
 
 Assim, pode escrever-se a equação da continuidade em regime permanente para um aquífero 
semiconfinado com espessura H, como: 
 
   
0
ccy
v
H
x
v
H
b
b
c
cyx 








 
 (8.90) 
 Substituindo a lei de Darcy na equação da continuidade: 
 
   
0
ccy
K
y
H
x
K
x
H
b
b
c
c
yx 
























 
 (8.91) 
 Obtém-se então a equação geral de escoamento subterrâneo num aquífero semiconfinado, 
homogéneo e isotrópico em regime permanente: 
 
   
0
ccy
KH
x
KH
b
b
c
c
2
2
2
2












 (8.92) 
 É mais comum escrever essa equação como: 
Água subterrânea 
8.43 
 
   
0
cKHcKHyx b
b
c
c
2
2
2
2









 
 (8.93) 
ou como: 
 
   
0
λλyx 2b
b
2
c
c
2
2
2
2









 
 (8.94) 
 
 Define-se o fator λ = KHc como fator de dispersão. 
 
 Quando a permeabilidade K dos aquitardos é muito baixa, os valores de cb e cc são muito 
elevados, e esta equação reduz-se à equação de Laplace para escoamento bidimensional num 
aquífero confinado. 
 
 A resolução analítica da equação diferencial do escoamento subterrâneo em aquíferos 
semiconfinados também é complexa, obrigando à utilização de métodos numéricos para a sua 
integração. 
 
8.8.2 Escoamento plano num aquífero semiconfinado 
 
 Uma situação relevante na prática é a ressurgência de água subterrânea a jusante duma 
barragem, proveniente do escoamento subterrâneo através da sua fundação (Figura 8.23). 
 
 
Figura 8.23 – Escoamento na fundação duma barragem 
 Considere-se um aquífero semiconfinado com uma base impermeável. Neste caso, o 
escoamento torna-se unidimensional e a equação (8.92) simplifica-se. A equação geral do 
escoamento subterrâneo unidimensional em aquíferos semiconfinados pode escrever-se como: 
Água subterrânea 
8.44 
 
 
0
λ
h
dx
d
22
2




 (8.95) 
em que h é a carga na camada semipermeável. 
 
 Se a jusante o nível freático h for constante e uniforme, h1, a equação será 
 
 
0
λ
h
dx
d
2
1
2
2




 (8.96) 
 A integração desta equação conduz a 
 1
λ
x
2
λ
x
1 heCeC 

 
 Os valores de C1 e C2 obtêm-se através das condições de fronteira a jusante da barragem: 
 
 1h;x   
 C2 = 0 
 x = xj (limite da barragem a jusante): φ = φj 
   λ
x
1j11
λ
x
1j
jj
ehCheC 

 
 
 Assim: 
   1λ
xx
1j heh
j



 (8.97) 
 Como q = – KH dφ/dx , virá 
     λ
xx
1j
λ
xx
1j
11
e
c
λ
he
λ
KH
hq




  (8.98) 
 Se a barragem for impermeável, o caudal por baixo da barragem será constante,