Slides de Aula - Unidade IV

Prévia do material em texto

Lógica
Prof. João Giardulli
UNIDADE IV
 Estudar técnicas adicionais para aplicabilidade em casos nos quais a Lógica 
proposicional não se aplica.
 O estudo da teoria dos conjuntos é apresentado como ferramenta auxiliar para o 
entendimento da lógica dos predicados.
Objetivo
Sentenças abertas
 São aquelas para as quais não se pode atribuir valor lógico verdadeiro ou falso.
Exemplo:
 x é menor que 8.
 Ele foi jogador do Palmeiras.
Lógica dos predicados
Sentenças fechadas
 São aquelas nas quais se pode atribuir valor lógico verdadeiro ou falso.
Exemplo:
 9 é menor que 8 (F).
 Ademir Da Guia foi jogador do Palmeiras (V).
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Intuitivamente, um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, 
chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer 
ordem associada. 
Angel Martinez e Akio Barbosa
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Conjuntos não têm uma definição matemática genérica. Podemos definir um 
conjunto específico a partir do conhecimento dos elementos que o compõe 
ficando, assim, aquele conjunto específico bem definido.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Em um conjunto, a ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser 
listado apenas uma vez.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Denotação por extensão: os elementos são listados exaustivamente.
Exemplo:
 Vogais = {a, e, i, o, u}
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Denotação por compreensão: definição de um conjunto por propriedades comuns 
aos seus elementos.
De forma geral, escreve-se: 
 {x | P(x)}, em que P(x) representa a propriedade.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Denotação por compreensão:
Exemplo:
 Pares = {n | n é par}
 Conjunto de todos os elementos n, tal que n é 
um número par.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Enumeração e omissão:
 Dígitos: {0, 1, 2, 3,..., 9}
 Pares: {0, 2, 4, 6,...}
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Relação de pertinência
 “a” é elemento de um conjunto A 
Então, podemos escrever: 
 “a” ∈ A (“a” pertence ao conjunto A)
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Relação de pertinência
 “a” não é elemento de um conjunto A 
Então, podemos escrever: 
 “a” ∉ A (“a” não pertence ao conjunto A)
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Relação de pertinência – exemplos 
Vogais = {a, e, i, o, u}
- e ∈ vogais
- m ∉ vogais
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Relação de pertinência – exemplos 
B = {x | x é brasileiro}
- Pelé ∈ B
- Bill Gates ∉ B
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Alguns conjuntos importantes.
 Conjunto-vazio não possui elementos.
 Notação: ∅ ou { }.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Alguns conjuntos importantes:
 N: conjunto dos números naturais.
 Z: conjunto dos números inteiros.
 Q: conjunto dos números racionais.
 I: conjunto dos números irracionais.
 R: conjunto dos números reais.
 C: conjunto dos números complexos.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Relação de inclusão:
Se todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um conjunto B, 
então, dizemos que:
A ⊆ B (A está contido em B)
ou
B ⊃ A (B contém A)
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Relação de inclusão:
Se todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um conjunto B e 
existe b ∈ B, tal que b ∉ A, então, diz-se que:
A ⊂ B (está contido propriamente em B)
ou
B ⊃ A (B contém propriamente A)
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Conjunto universo:
 Definição: é o conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo 
considerados, ou seja, define o contexto de discussão.
 A ⊆ U, qualquer que seja o conjunto A.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Igualdade de conjuntos:
 Definição: dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, possuem os mesmos 
elementos.
 A = B se e somente se A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Sentença aberta:
 Definição: dá-se o nome de sentença aberta de uma variável em um conjunto A, 
ou apenas sentença aberta em A, a uma expressão p(x), tal que p(a) é falsa (F) ou 
verdadeira (V) para todo a ∈ A.
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Sentença aberta:
 p(x) é uma sentença aberta em A
 se e somente se
 p(x) torna-se uma proposição (falsa ou verdadeira) todas 
as vezes que se substitui a variável x por qualquer 
elemento a do conjunto A (a ∈ A).
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
 Sentença aberta: Exemplos
 y + 4 = 10
 x é divisor de 50
 z não é primo
 k é múltiplo de 7
 u é capital da Argentina
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Conjunto verdade de uma sentença aberta com uma variável
 Dá-se o nome de conjunto verdade (Vp) de uma sentença aberta p(x) em um 
conjunto A ao conjunto de todos os elementos a ∈ A, tais que p(a) é uma 
proposição verdadeira (V).
 Observação: Vp⊂ A
Lógica dos predicados
Revisão de teoria dos conjuntos
Conjunto-verdade de uma sentença aberta com uma variável – exemplo:
 Vp = {x | x ∈ A ∧ p(x) é V}
Lógica dos predicados
Considere N = {0, 1, 2, 3...} o conjunto universo para as afirmações abaixo:
I. x + 4 > 7; Vp = {x | x ∈ N ∧ x > 3}
II. x + 10 < 3; Vp = {x | x ∈ N ∧ x < -7} = ∅
III. x + 2 > 1; Vp = {x | x ∈ N ∧ x > -1} = N
a) Todas são falsas.
b) I e II são verdadeiras.
c) I e III são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) Todas são verdadeiras.
Interatividade
Considere N = {0, 1, 2, 3...} o conjunto universo para as afirmações abaixo:
I. x + 4 > 7; Vp = {x | x ∈ N ∧ x > 3}
II. x + 10 < 3; Vp = {x | x ∈ N ∧ x < -7} = ∅
III. x + 2 > 1; Vp = {x | x ∈ N ∧ x > -1} = N
a) Todas são falsas.
b) I e II são verdadeiras.
c) I e III são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) Todas são verdadeiras.
Resposta
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Negação:
 U = N (conjunto dos números naturais)
 X > 12
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Negação:
 U = N (conjunto dos números naturais)
 ~ X > 12 (não é verdade que...)
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Negação:
 U = N (conjunto dos números naturais)
 ~X > 12  (x = 12) ∨ (x < 12) ou (x ≤ 12)
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Negação:
 Dada uma sentença p(x) aberta em um conjunto A, e seja o elemento a ∈ A, este 
satisfaz a sentença aberta ~p(x) em A se a proposição ~p(a) é verdadeira.
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Negação:
 Portanto, o conjunto verdade V~p da sentença aberta p(x) em A é o complemento
em relação a A do conjunto verdade Vp da sentença aberta p(x).
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
 Negação (em símbolos):
V~p = CAVp = CA; {x ∈ A I p(x)}
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Conjunção:
Sejam as seguintes sentenças abertas no conjunto universo H o conjunto 
dos seres humanos:
 “x é carpinteiro”
 “x é piloto de avião”
Lógica dos predicados
 Operações lógicas sobre sentenças abertas
Conjunção:
“x é carpinteiro” ∧ “x é piloto de avião”
 Será verdadeira para todos os indivíduos do conjunto H que satisfazem ao mesmo 
tempo as duas condições dadas e só por esses indivíduos.
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Disjunção:
Sejam as seguintes sentenças abertas no conjunto universo H o conjunto 
dos seres humanos:
 “x é carpinteiro”
 “x é piloto de avião”
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Disjunção:
“x é carpinteiro” ∨ “x é piloto de avião”
 Será verdadeira para todos os indivíduosdo conjunto H que satisfazem, pelo 
menos, uma das duas condições dadas.
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Exemplo:
Sejam as sentenças abertas em Z:
 p(x): x – 3 = 0
 q(x): x2 – 9 = 0
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Exemplo:
Temos:
 Vp∨q = {x ∈ Z | x – 3 = 0} ∪ {x ∈ Z | x
2 – 9 = 0}
 Vp∨q = {3} ∪ {-3, 3} = {-3, 3}
 Vp∨q = {x ∈ Z | x = -3 ∨ x = 3}
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Condicional:
 Dadas duas proposições p(x) e q(x) que sejam sentenças abertas em um mesmo 
conjunto A, se essas duas sentenças abertas forem unidas pelo conectivo (→) 
surgirá, então, uma nova sentença aberta em A:“p(x) → q(x)”, que é verdadeira 
para todo elemento a ∈ A, tal que a condicional “p(a) → q(a)” é verdadeira.
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Condicional – em símbolos:
Vp→q = V~p U Vq = CA Vp U Vq
Ou seja:
Vp→q = CA {x ∈ A | p(x)} U {x ∈ A | q (x)}
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Bicondicional:
 Dadas duas proposições p(x) e q(x) que sejam sentenças abertas em um mesmo 
conjunto A, se essas duas sentenças abertas forem unidas pelo conectivo (↔) 
surgirá, então, uma nova sentença aberta em A:“p(x)↔q(x)”, que é verdadeira para 
todo elemento a ∈ A, tal que a bicondicional “p(a) ↔ q(a)” é verdadeira.
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Bicondicional – em símbolos:
p(x) ↔ q(x)
(p(x) → q(x)) ∧ (q(x) → p(x))
(~p(x) ∨ q(x)) ∧ (~q(x) ∨ p(x))
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Bicondicional – em símbolos:
Vp↔q = Vp→q ∩ Vq→p = 
= (V~p U Vq) ∩ (V~q U Vp) = 
= (CAVp U Vq) ∩ (CAVq U Vp)
Lógica dos predicados
Propriedades das sentenças abertas
 As propriedades das sentenças abertas têm o mesmo comportamento das 
proposições normais.
Lógica dos predicados
Dadas as sentenças abertas em N:
p(x): x < 13
q(x): x > 9
Escreva o conjunto verdade Vp→q
a) {x ∈ N |x > 9}
b) {x ∈ N |x < 13}
c) {x ∈ N |x  9}
d) {x ∈ N |x  13}
e) {x ∈ N |x  9}
Interatividade
Dadas as sentenças abertas em N:
p(x): x < 13
q(x): x > 9
Escreva o conjunto verdade Vp→q
= CN {x ∈ N |x < 13} U {x ∈ N | x > 9}
= {x ∈ N |x . 13} U {x ∈ N | x > 9}
= {x ∈ N |x > 9}
Portanto, 
a) {x ∈ N |x > 9}
Resposta
Quantificador universal:
 Seja p(x) sentença aberta em A (A ≠ ∅), Vp é o conjunto verdade de p(x).
 Em símbolos: Vp = {x | x ∈ A ∧ p(x)}.
Lógica dos predicados
Quantificador universal:
Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença 
aberta p(x), pode-se escrever de alguma destas maneiras a seguir:
 “Para todo elemento x em A, p(x) é verdadeira”.
Lógica dos predicados
Quantificador universal:
Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença 
aberta p(x), pode-se escrever de alguma destas maneiras a seguir:
 “Para todo elemento x em A, p(x) é verdadeira”.
 “Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira”.
Lógica dos predicados
Quantificador universal:
 Em símbolos: ∀ x ∈ A, p(x)
Lógica dos predicados
Quantificador universal:
Em símbolos: ∀ x ∈ A, p(x)
∀ x, p(x)
Vale a equivalência: (∀ x ∈ A) (p(x)) ⇔ Vp = A
Lógica dos predicados
Quantificador universal – exemplo:
Seja o universo finito A = {2, 4, 6} e 
Seja p(x) a sentença aberta “x é par”,
tem-se:
(∀ x ∈ A) (x é par) ⇔ (2 é par ∧ 4 é par ∧ 6 é par)
Qualquer que seja o elemento x pertencente a A, 
ele será par.
Lógica dos predicados
Quantificador universal – exemplo:
(∀ x) (x é mortal), lê-se:
“Qualquer que seja x, x é mortal”
 É uma proposição verdadeira no universo A dos animais.
Lógica dos predicados
Quantificador universal – exemplo:
(∀ x) (3x > x): “qualquer que seja x, 3x > x”
“O triplo de um número é sempre maior que esse número” 
 Verdadeiro, quando x ∈ N
 Falso, quando x ∈ Z
Lógica dos predicados
Quantificador existencial:
Dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto não vazio A (A ≠ ∅) e seja Vp o seu 
conjunto verdade:
Vp = {x I x ∈ A ∧ p(x)}
Lógica dos predicados
Quantificador existencial:
Quando Vp não é vazio (Vp ≠ ∅), então, pelo menos, um elemento do conjunto A 
satisfaz a sentença aberta p(x), daí pode-se dizer que:
1. Existe, pelo menos, um x ∈ A, tal que p(x) é verdadeira
2. Para algum x ∈ A, p(x) é verdadeira
Lógica dos predicados
Quantificador existencial:
Em símbolos: ∃ x ∈ A, p(x)
Simplificadamente, por exemplo: ∃x, p(x)
Vale a equivalência:
(∃ x ∈ A)(p(x)) ⇔ Vp ≠ ∅
Lógica dos predicados
Quantificador existencial:
Em um universo finito, o quantificador existencial equivale a disjunções sucessivas.
Lógica dos predicados
Quantificador existencial – exemplo:
Seja o conjunto universo finito A = {3, 4, 5}
Sendo p(x) a sentença aberta “x é par”
Temos:
(∃ x ∈ A) (p(x)) = (3 é par ∨ 4 é par ∨ 5 é par)
Lógica dos predicados
Quantificador da unicidade:
 Seja uma sentença aberta p(x) em um conjunto não vazio A (A ≠ ∅) e seja Vp o seu
conjunto verdade composto por apenas um elemento e somente um elemento.
Usa-se a seguinte simbologia:
 ∃! ou ∃|, isto é, existe um e somente um.
Lógica dos predicados
Quantificador de unicidade – exemplo:
Seja a sentença: “x – 3 = 0”, em que o conjunto universo é o dos números naturais N
(∃! x ∈ N)(x – 3 = 0)
Ou seja, existe um e somente um x em N, tal que x – 3 = 0 seja verificada.
Lógica dos predicados
Negação de um quantificador:
~∀ ∃ (qualquer x existe) 
~∃ ∃ (não existe x existe)
Lógica dos predicados
Negação de um quantificador – exemplos:
“Todos os carros são bonitos”.
“Nem todos os carros são bonitos”.
Lógica dos predicados
Negação de um quantificador – exemplos:
Pelo menos um aluno tirou nota dez em lógica.
Nenhum aluno tirou dez em lógica.
Lógica dos predicados
Quais as formas corretas da negação da proposição: “Todo o político quer poder”.
I. Nenhum político quer poder.
II. Algum político não quer poder.
III. Existe, pelo menos, um político que não quer poder.
a) Todas estão corretas.
b) I e II estão corretas.
c) I e III estão corretas.
d) II e III estão corretas.
e) Todas estão erradas.
Interatividade
Quais as formas corretas da negação da proposição: “Todo o político quer poder”.
I. Nenhum político quer poder.
II. Algum político não quer poder.
III. Existe, pelo menos, um político que não quer poder.
a) Todas estão corretas.
b) I e II estão corretas.
c) I e III estão corretas.
d) II e III estão corretas.
e) Todas estão erradas.
Resposta
Proposições categóricas:
Seja o seguinte argumento:
1. Todos os bandidos são pessoas de mau caráter. (P1)
2. Alguns políticos são bandidos. (P2)
3. Logo, alguns políticos são pessoas de mau caráter. (Q)
Silogismos categóricos
Proposições categóricas:
Seja o seguinte argumento:
1. Todos os bandidos são pessoas de mau caráter. (P1)
2. Alguns políticos são bandidos. (P2)
3. Logo, alguns políticos são pessoas de mau caráter. (Q)
Silogismos categóricos
Proposições categóricas:
 A relação que existe entre as proposições simples do argumento decorre da 
estrutura interna das proposições, particularmente, em razão da presença dos 
quantificadores “todos” e “alguns”.
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – estrutura:
Quantificador + termo sujeito (S) + verbo “ser” + termo predicado (P)
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – classificação:
 Proposição universal afirmativa: “Todo S é P”.
 Exemplo: “Todos os políticos são ricos”.
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – classificação:
 Proposição universal negativa: “Nenhum S é P”.
 Exemplo: “Nenhum político é rico”.
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – classificação:
Proposição particular afirmativa: “Algum S é P”.
Exemplo: “Alguns políticos são ricos”.
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – classificação:
Proposição particular negativa: “Algum S não é P”.
Exemplo:“Alguns políticos não são ricos”.
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – verbo “ser”:
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – verbo “ser”:
“Alguns répteis vivem na água”
Silogismos categóricos
Proposições categóricas – verbo “ser”:
“Alguns répteis vivem na água”
x
“Alguns répteis são seres que vivem na água”
Silogismos categóricos
Proposições categóricas:
 O quantificador “algum” apresenta o sentido de “pelo menos um”. Esse sentido se 
mantém quando se emprega o plural: “alguns”.
 Ou seja, considera-se, por convenção, que “algum” e “alguns” têm o 
mesmo significado.
Silogismos categóricos
Diagramas de Euler:
 Todos os políticos são ricos.
Silogismos categóricos
Ricos
Políticos
Fonte: livro-texto (adaptado)
Diagramas de Euler:
 Todos os políticos são ricos.
Silogismos categóricos
Ricos
Ricos não políticos
Políticos
Ricos = políticos
2ª representação1ª representação
Fonte: livro-texto (adaptado)
Diagramas de Euler:
 Nenhum político é rico.
Silogismos categóricos
RicosPolíticos
Fonte: livro-texto (adaptado)
Diagramas de Euler:
 Alguns políticos são ricos.
Silogismos categóricos
Ricos
Políticos
Fonte: livro-texto (adaptado)
Diagramas de Euler:
 Alguns políticos são ricos.
Silogismos categóricos
RicosPolíticos
Políticos não ricos Políticos ricos
Fonte: livro-texto (adaptado)
Diagramas de Euler:
Silogismos categóricos
Ricos
Políticos
Políticos ricos
Fonte: livro-texto (adaptado)
Diagramas de Euler:
 Admitindo-se a existência de políticos (hipótese existencial).
 Todos os políticos são ricos (verdadeira).
 Alguns políticos são ricos (verdadeira).
Silogismos categóricos
Diagramas de Euler:
Se a proposição “todo S é P” é verdadeira, 
Então,
A proposição “algum S é P” também é.
Silogismos categóricos
Diagramas de Euler:
Alguns políticos não são ricos.
Silogismos categóricos
RicosPolíticos
Políticos não ricos Políticos ricos
Fonte: livro-texto (adaptado)
Diagramas de Euler:
Admitindo-se que existem políticos
(hipótese existencial)
 Nenhum político é rico. (verdadeira)
 Alguns políticos não são ricos. (verdadeira)
Silogismos categóricos
Diagramas de Euler:
Se a proposição “Nenhum S é P” é verdadeira,
Então, 
A proposição “Algum S não é P” também é.
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
Negação de “Todo S é P”
a. Nem todo S é P.
b. Existe, pelo menos, um S que não é P.
c. Algum S não é P.
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
“Todos os políticos são ricos”.
“Alguns políticos não são ricos”.
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
Negação de “Nenhum S é P”
a. Não é verdade que nenhum S é P.
b. Existe, pelo menos, um S que é P.
c. Algum S é P.
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
“Nenhum político é rico”.
“Alguns políticos são ricos”.
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
Negação de “Algum S é P”
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
“Alguns políticos são ricos”
“Nenhum político é rico”
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
Negação de “Algum S não é P”
a. Não é verdade que algum S não é P.
b. Todo S é P.
c. Nenhum S não é P.
Silogismos categóricos
Proposições contraditórias:
“Alguns políticos não são ricos”
“Todos os políticos são ricos”
Silogismos categóricos
Proposições contrárias:
“Todos os políticos são ricos”
“Nenhum político é rico”
Não são contraditórias. São contrárias.
Silogismos categóricos
Proposições subcontrárias:
“Alguns políticos são ricos”
“Alguns políticos não são ricos”
Não são contraditórias. São subcontrárias.
Silogismos categóricos
Silogismo:
 Argumento com duas premissas.
Silogismo categórico:
 Duas premissas (proposições categóricas).
Silogismos categóricos
Exemplo:
 Todos os mamíferos voam.
 Todos os gatos são mamíferos.
 Logo, todos os gatos voam.
Silogismos categóricos
Exemplo no diagrama de Euler:
Silogismos categóricos
Animais que voam
Animais que são 
mamíferos
Gatos
Fonte: livro-texto (adaptado)
Qual a negação da proposição universal afirmativa: “Todo automóvel é econômico”?
I. Nenhum automóvel é econômico.
II. Algum automóvel é econômico.
III. Existe, pelo menos, um automóvel que não é econômico.
a) Todas estão corretas.
b) Apenas I está correta.
c) Apenas II está correta.
d) Apenas III está correta.
e) Todas estão erradas.
Interatividade
Qual a negação da proposição universal afirmativa: “Todo automóvel é econômico”?
I. Nenhum automóvel é econômico.
II. Algum automóvel é econômico.
III. Existe, pelo menos, um automóvel que não é econômico.
a) Todas estão corretas.
b) Apenas I está correta.
c) Apenas II está correta.
d) Apenas III está correta.
e) Todas estão erradas.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!