Gravitação

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AFA/EN/EFOMM/EsPCEx – FÍSICA 1 
 
 
Prof.: Daniel Macedo 
Data: 16/04/2020 
 
Aula 5 
 
 
1 
 
 
 
1. (Efomm 2019) Um planeta possui distância ao Sol no afélio que 
é o dobro de sua distância ao Sol no periélio. Considere um inter-
valo de tempo t muito pequeno e assuma que o deslocamento 
efetuado pelo planeta durante esse pequeno intervalo de tempo é 
praticamente retilíneo. Dessa forma, a razão entre a velocidade mé-
dia desse planeta no afélio e sua velocidade média no periélio, 
ambas calculadas durante o mesmo intervalo t, vale aproxima-
damente 
a) 
1
2
 
b) 
2
2
 
c) 
3
1
2
 
d) 
1
8
 
e) 2 
 
2. (Efomm 2018) Patrick é um astronauta que está em um planeta 
onde a altura máxima que atinge com seus pulos verticais é de 
0,5 m. Em um segundo planeta, a altura máxima alcançada por 
ele é seis vezes maior. Considere que os dois planetas tenham den-
sidades uniformes μ e 2 3,μ respectivamente. Determine a razão 
entre o raio do segundo planeta e o raio do primeiro. 
a) 1 2 
b) 1 4 
c) 1 6 
d) 1 8 
e) 110 
 
3. (Esc. Naval 2017) Analise a figura a seguir. 
 
 
 
A figura a seguir apresenta um sistema binário de estrelas, isolado, 
que é composto por duas estrelas de mesmo tamanho e de mesma 
massa M. O sistema, estável, gira em torno de seu centro de 
massa com um período de rotação constante T. 
 
Sendo D a distância entre as estrelas e G a constante gravitacio-
nal universal, assinale a opção correta. 
a) 2 2 2GMT 2 D ;π= a velocidade linear de cada uma das estre-
las em relação ao centro de massa do sistema é constante; a 
energia mecânica do sistema é conservada. 
b) 2 2 3GMT 2 D ;π= a velocidade angular de cada uma das es-
trelas em relação ao centro de massa do sistema é constante; a 
energia cinética do sistema é conservada. 
c) 2 2 3GMT D ;π= a velocidade angular de cada uma das estre-
las em relação ao centro de massa do sistema é constante; a 
energia mecânica de cada uma das estrelas é conservada. 
d) 2 2 32GMT D ;π= o vetor velocidade linear de cada uma das 
estrelas em relação ao centro de massa do sistema é constante; 
a energia mecânica do sistema é conservada. 
e) 2 2 32GMT D ;π= a velocidade angular de cada uma das es-
trelas em relação ao centro de massa do sistema é constante; a 
energia mecânica de cada uma das estrelas é conservada. 
 
4. (Esc. Naval 2016) Analise a figura abaixo. 
 
 
 
Na figura acima, tem-se duas cascas esféricas concêntricas: casca 
A de raio Ar 1,0 m= e casca B de raio Br 3,0 m,= ambas com 
massa M e com os centros em x 0.= Em x 20 m,= tem-se o 
centro de uma esfera maciça de raio cr 2,0 m= e massa 81M. 
Considere agora, uma partícula de massa m colocada em 
x 2,0 m.= 
 
Sendo G a constante gravitacional, qual a força gravitacional re-
sultante sobre a partícula? 
a) 
GMm
4
 para a direita. 
b) 
GMm
2
 para a direita. 
c) 
GMm
2
 para a esquerda. 
d) 
GMm
4
 para a esquerda. 
e) Zero. 
 
5. (Esc. Naval 2015) Considere dois corpos, A e B , de massas 
Am m= e Bm (500 kg m),= − respectivamente. Os corpos 
estão separados por uma distância fixa d. Para que o módulo da 
energia potencial gravitacional do sistema seja a maior possível, o 
valor de m, em kg, é 
a) 300 
b) 250 
c) 200 
 
 
 
d) 150 
e) 100 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Se necessário, use 
aceleração da gravidade: 2g 10 m / s= 
densidade da água: d 1,0 kg / L= 
calor específico da água: c 1cal / g C=  
1cal 4 J= 
constante eletrostática: 9 2 2k 9 ,0 10 N m / C=   
constante universal dos gases perfeitos: R 8 J / mol K=  
 
 
6. (Epcar (Afa) 2016) Considere a Terra um Planeta esférico, ho-
mogêneo, de raio R, massa M concentrada no seu centro de 
massa e que gira em torno do seu eixo E com velocidade angular 
constante ,ω isolada do resto do universo. 
Um corpo de prova colocado sobre a superfície da Terra, em um 
ponto de latitude ,φ descreverá uma trajetória circular de raio r e 
centro sobre o eixo E da Terra, conforme a figura abaixo. Nessas 
condições, o corpo de prova ficará sujeito a uma força de atração 
gravitacional F, que admite duas componentes, uma centrípeta, 
cpF , e outra que traduz o peso aparente do corpo, P. 
 
 
 
Quando 0 ,φ =  então o corpo de prova está sobre a linha do 
equador e experimenta um valor aparente da aceleração da 
gravidade igual a eg . Por outro lado, quando 90 ,φ =  o corpo 
de prova se encontra em um dos Polos, experimentando um valor 
aparente da aceleração da gravidade igual a pg . 
Sendo G a constante de gravitação universal, a razão e
p
g
g
 vale 
a) 
2 3R
1
GM
ω
− 
b) 
( )2 2GM r R
GM
ω−
 
c) 
21 r
GM
ω−
 
d) 
2 2 2GMR r
GM
ω−
 
 
7. (Epcar (Afa) 2015) Na cidade de Macapá, no Amapá, Fernando 
envia uma mensagem via satélite para Maria na mesma cidade. A 
mensagem é intermediada por um satélite geoestacionário, em ór-
bita circular cujo centro coincide com o centro geométrico da Terra, 
e por uma operadora local de telecomunicação da seguinte forma: 
o sinal de informação parte do celular de Fernando direto para o 
satélite que instantaneamente retransmite para a operadora, que, 
da mesma forma, transmite para o satélite mais uma vez e, por fim, 
é retransmitido para o celular de Maria. 
Considere que esse sinal percorra todo trajeto em linha reta e na 
velocidade da luz, c; que as dimensões da cidade sejam despre-
zíveis em relação à distância que separa o satélite da Terra, que 
este satélite esteja alinhado perpendicularmente à cidade que se 
encontra ao nível do mar e na linha do equador. Sendo, M, massa 
da Terra, T, período de rotação da Terra, TR , raio da Terra e G, 
a constante de gravitação universal, o intervalo de tempo entre a 
emissão do sinal no celular de Fernando e a recepção no celular de 
Maria, em função de c, M, T, G e TR é 
a) 
2
3
T2
4 T GM
R
c 4π
 
 −
 
 
 
b) T
2 2TGM
R
c 4π
 
+  
 
 
c) 3 T2
4 TGM
R
c 4π
 
−  
 
 
d) T
1 TGM
R
c 2π
 
+  
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Pela 2ª lei de Kepler, temos que: 
 
 
 
P A P A
P A A
P
A
P
t t A A
x d x 2d x 1
2 2 x 2
v 1
v 2
Δ Δ=  =
 
=  =
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Por conservação de energia, a altura máxima atingida pelo corpo é: 
2 2
0 0mv vmgh h
2 2g
=  = 
 
Devemos ter que 2
1
h
6,
h
= logo: 
2
0
2 1
2
20
1
v
2g g
6 6
gv
2g
=  = 
 
Da Gravitação, sabemos que 
2
GM
g ,
R
= portanto: 
1
2 2
1 1 2
2
2 2 12
2
GM
R M R
6 6
GM M R
R
=   = 
 
Como 3
4
M V R ,
3
μ μ π= = chegamos a: 
3
21
2 1
23 212
2
1
4
R
R R3 6 4
2 4 RRR
3 3
R 1
R 4
μ π
μ π
 =  =
 =
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
 
 
 
A força de atração gravitacional entre os corpos é igual a resultante centrípeta. Portanto: 
g cp
2
2
22
2
2 2
2 2
2 2 3
F F
G M M
M R
D
GM 2 D
M
T 2D
GM 4 MD
D 2T
GMT 2 D
ω
π
π
π
=
 
=  
 
=   
 
=
 =
 
 
No MCU, a velocidade linear dos corpos é tangencial à trajetória, com módulo constante, mas com direção variável no tempo. A velocidade 
angular é constante e a energia cinética se conserva. 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
A força de atração gravitacional entre dois corpos é dada por 1 2
2
GM M
F ,
d
= ou seja, depende apenas das massas e da distância entre eles. 
E de acordo com a Lei de Gauss para o campo gravitacional, um corpo interior a outro não sofre a ação da força de atração dev ido a este. 
Portanto, a força resultante no corpo de massa m será: 
r A B C
r 2 2
r
F F F F
GMm G81Mm GMm GMm
F 0
4 42 18
F 0 N
= + −
= + − = −
 =
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
A energia potencial gravitacional entre a duas massas é: 
( )
( )A B 2p p p2 2 2
Gm m Gm 500 m G
E E E 500m m .
d d d
−
=  =  = − 
 
A partir dessaexpressão, podemos arrematar de duas maneiras. 
 
1ª Solução: 
( )2p 2
G
E 500m m .
d
= − 
 
Trata-se de uma função do 2º grau. O gráfico (mostrado a seguir) é um arco de parábola de concavidade para baixo (o coeficiente de 2m é 
negativo). 
 
Determinando as raízes da função: 
( ) ( )
( )
2
p p2 2
G G
E 500m m E m 500 m
d d
m 0;
Raízes: m 500 m 0 
500 m 0 m 500.
= −  = −
=
− =  
− =  =
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
Da simetria da parábola, o valor de m para energia potencial máxima é: 
500 0
m m 250 kg.
2
+
=  = 
 
 
2ª Solução: 
Derivando em relação à m e igualando a zero, encontra-se o ponto de máximo da função, pois o gráfico é um arco de parábola de concavi-
dade para baixo (o coeficiente de 2m é negativo). 
 ( )
( )
( )
( )
p2
p 2 2
d EG G
E 500m m 500 2m 0 500 2m 0 m 250kg.
d md d
= −  = − =  − =  = 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
A força resultante centrípeta representa a diferença entre a força gravitacional e o peso aparente em cada localização no globo terrestre. 
c gF F P= − 
 
Sendo, 
g 2
G M m
F
R
 
= 
 
P m g=  
 
Então: 
2
2
G M m
m r m g
R
ω
 
  = −  
 
Para o corpo no equador, temos r R= 
2
e2
G M m
m R m g
R
ω
 
  = −  
 
Isolando eg e simplificando: 
2
e 2
G M
g R
R
ω

= −  (1) 
 
Para o corpo localizado em um dos polos: r 0,= e: 
p2
G M m
0 m g
R
 
= −  
 
Isolando pg e simplificando: 
p 2
G M
g
R

= (2) 
 
Fazendo a razão 
( )
( )
1
:
2
 
 
 
 
2
2 32
e e
p p
2
G M
R
g g RR 1
G Mg g G M
R
ω
ω

− 

=  = −
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
A figura abaixo ilustra a situação do problema: 
 
 
 
Neste caso, a força gravitacional é a força resultante centrípeta, então: 
g cF F= 
 
2
2
M m m v
G
RR
 
= 
 
Isolando v temos a equação para a velocidade orbital do satélite: 
GM
v
R
= (1) 
 
Sabendo que a distância percorrida pela onda eletromagnética é TR R− e a sua velocidade é c, temos: 
( )
( )T T
4 R R 4
c t R R
t c
−
=  = − (2) 
 
Como o satélite é geoestacionário, executa um movimento circular uniforme com período igual ao tempo de rotação da Terra. 
2 R
v
T
=
π
 (3) 
 
Fazendo (3) = (1), obtemos uma expressão para R : 
2 R GM
T R
π
= 
 
Isolando R fica: 
2
3
2
T GM
R
4π
= (4) 
 
Substituindo-se (4) em (2): 
2
3
T2
4 T GM
t R
c 4π
 
 = −
 
 