Aula 15 _ Aula de revisão para 2a avaliação

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Belém, 25 de maio de 2015 
 
Caro aluno, 
 
Faremos revisão para a 2ª avaliação. 
Antes, algumas teorias constantes nas notas de aula que não foram vistas em sala 
de aula como mudança de base da função logarítmica, fórmula interessante obtidas usando 
as derivadas de ordem superior e a Regra de L’Hospital para levantar indeterminação dos 
limites indeterminados. 
Revejam os exercícios e problemas relacionados aos conteúdos estudados depois da 
1ª avaliação: 
- Cálculo de taxas de variação e da reta tangente; 
- Regra de L’Hospital; 
- Derivada implícita; taxas relacionadas 
- Aproximações lineares e diferencial 
- Primitivas (integral indefinida); Regra da substituição 
Funções inversas 
Bons estudos. 
NÃO ESQUECER DOCUMENTO COM FOTO: RG, carteia de meia-passagem, 
carteira de estudante, CNH ou Carteira de Trabalho. 
 
 
2 
 
AULA 15 – Aula de revisão para 2ª avaliação 
Mudança de base da função logarítmica 
Estudamos a função logarítmica    xxf ln como inversa da função exponencial 
de base neperiano denotada por   xexf  onde RED  lnexp e 
*
lnexp  RDE (pág 32 
da nota de Aula 3) e 
n
n n
e 







1
1lim....90457182812845,2 devido fato de essa função 
ter sua taxa de variação igual a ela mesma. 
A função exponencial   xaxf  para uma base 1,0  aa para encontrar a 
função inversa após trocar as variáveis independentes por dependentes (isso é possível 
porque a função exponencial é uma função injetora e sobrejetora chamada função bijetora 
ver página 55 do livro texto) fazemos a mudança de base da seguinte forma: 
Dada 
xa y  isto é  xy alog 
Passando logaritmo neperiano (ou logaritmo natural) em ambos os membros na 
igualdade de potência, e usando a propriedade do logaritmo obtemos 
   
   
 
 
 
 
 a
x
x
a
x
y
xay
xa
xa
a
y
y
ln
ln
log
ln
ln
lnln
lnln





 
Quando a base é dez, que é o nosso sistema de numeração, a notação usada é : 
   
 
 a
x
xx
ln
ln
loglog 10  
 
 
3 
 
Formula de Euler. 
Uma série é de Taylor em trono de a , se a função  xff  é infinitamente 
derivável (diferenciável) e pode ser “escrita” como 
    
 
      
    
    
 
 

  
 















!1!!2
!
1
1
2
0
n
ax
af
n
ax
af
ax
afaxafaf
n
ax
afxf
n
n
ngraudeTaylordepolinômio
n
n
n
n
n
 
 
Já vimos que, as funções exponencial, seno e cosseno na quarta derivada a 
expressão retorna a expressão original, de modo que o polinômio de Taylor de grau n que 
aproxima essas funções em trono de 0a são escritas por: 
!!4!3!2
1
!
432
0 n
xxxx
x
n
x
e
nn
k
n
x 

 
   
   !12!9!7!5!3!12
1
129753
0
12








n
xxxxx
x
k
x
nsen
nn
k
k
k  
   
   !2!8!6!4!2
1
!2
1cos
28642
0
2
n
xxxxx
k
x
n
nn
k
k
k


 
Seja agora função exponencial   1.  iexf ix . Como funções acima, as 
derivadas de ordem superior retorna a expressão original na quarta derivada e em 0a 
temos: 
   
   
   
   
     10
0
10
0
10
24
2





feeixf
ifiexf
feeixf
ifiexf
fexf
ixix
ix
ixix
ix
ix
 
Assim o polinômio de Taylor da função   ixexf  é: 
 
 
4 
 
   
 !12
1
!2
1
!7!6!5!4!3!2
1
122765432



n
x
i
n
xx
i
xx
i
xx
i
x
ixe
n
n
n
nix  
Juntando parte real e a parte imaginária temos: 
 
 
   xsenix
n
xxxx
xi
n
xxxx
e
nn
nix
















cos
!12!7!5!3!2
1
!6!4!2
1
127532642

 
E, finalmente comparando com polinômio de Taylor das funções seno e cosseno chegamos 
a Fórmula de Euler. 
   xsenixeix  cos 
Quando x , 1ie pois, substituindo na Fórmula de Euler, como   1cos  e 
  0sen , temos 
    1cos   seniei 
Quando 
2

x , ie
i
2

 pois, substituindo na Fórmula de Euler, como 0
2
cos 





 e 
1
2






sen , temos 
isenie
i













22
cos2


 
 
Demais assuntos vejam nas notas de aulas.