Fundamentos da Matemática II

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Maria Cristina Elyote Marque Santos
Fundamentos da Matemática II
Cruz das Almas - BA
2015
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
 
 
 
S237f Santos, Maria Cristina Elyote Marques. 
 Fundamentos da matemática II / Maria Cristina 
 Elyote Marques Santos._ Cruz das Almas, BA: UFRB, 
 2015. 
 152p.; il. 
 
 ISBN: 978-85-5971-040-3 
 
 1.Matemática – Polinômios. 2.Matrizes (Matemática) 
– Trigonometria. I.Universidade Federal do Recôncavo 
 da Bahia, Superintendência de Educação Aberta e a 
Distância. II.Título. 
 
 CDD: 510.7 
Ficha elaborada pela Biblioteca Universitária de Cruz das Almas - UFRB. 
 
 
 
 
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
APRESENTAÇÃO 
Querid@s estudantes! É grande a satisfação de começarmos o estudo aqui proposto. 
Ao abordar os assuntos que compõem a disciplina Fundamentos da Matemática II, ora 
apresentados neste módulo, nos parece importante questioná-los a partir das seguintes 
indagações: quais foram os matemáticos que desenvolveram esses assuntos? Que teorias 
sustentam esses temas? Quais suas principais aplicações? Assim, o propósito deste módulo é 
responder a estas perguntas e proporcionar o surgimento de outras no que diz respeito ao estudo 
de Polinômios; Trigonometria e funções trigonométricas; Matrizes, determinantes e sistemas 
lineares, os quais compõem a ementa da disciplina Fundamentos da Matemática II. 
Como, para fazer Matemática, é preciso ter imaginação, iniciem meditando sobre o 
pensamento: "Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta". 
(Karl Weierstrass)1. O que vocês acham a este respeito? 
Antes de iniciarmos nossa caminhada pela Álgebra, consideremos algumas dicas para 
estudar e aproveitar melhor o que o nosso módulo e todas as referências trazem. Estas dicas 
foram adaptadas de Pilone & Pilone (2010, p.XXV): 1) Vá devagar. Quanto mais você entende, 
menos você tem que memorizar; 2) Faça os exercícios. Escreva suas próprias anotações; 3) Leia 
as observações e os pontos em destaque; 4) Que isso seja a última coisa que você leia antes de 
dormir. Ou pelo menos, a última coisa desafiante; 5) Converse sobre o que você está lendo. Em 
voz alta; 6) Beba água. Em grande quantidade; 7) Ouça seu cérebro (ele determinará o ritmo de 
estudo); 8) Envolva-se na história, duvide, questione, argumente; 9) Pratique a resolução de 
problemas; 10) Consulte as referências indicadas para estudo. 
Calma, não se assuste, se em alguns momentos tratarmos de tópicos não definidos neste 
módulo, como Anel, Grupo, Corpo, entre outros. Estes conceitos, algumas vezes, serão citados 
apenas para que você saiba que a teoria ora estudada se encontra num contexto bem maior, onde 
estruturas algébricas são relacionadas e definidas. Por exemplo, a teoria dos Corpos é um ramo 
da álgebra abstrata que estuda as propriedades dos corpos. Um Corpo é uma estrutura algébrica 
em que a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são bem-definidas. Geralmente, valem 
as propriedades da associatividade, distributividade e comutatividade. 
Assim, para ter uma boa compreensão do que será exposto, é muito importante que você 
leia cada linha aqui apresentada com dedicação, cautela e atenção, muita atenção. Ok? 
Lembre-se que este material é resultado de um trabalho coletivo, feito com o 
objetivo de trazer a cada um de vocês conhecimento valoroso da Matemática. 
Boa aprendizagem para tod@s vocês! 
Profª Maria Cristina Elyote Marques Santos 
 
1 Disponível em <http://www.somatematica.com.br/frases2.php>. 
2 
 
Ementa 
Polinômios; Trigonometria e funções trigonométricas; Matrizes, determinantes e sistemas 
lineares. 
Conteúdo Programático: 
 TEMA 1: POLINÔMIOS 
1. Definição de monômios; 
2. Grau de monômio; 
3. Definição de polinômios; 
4. Polinômios idênticos; 
5. Polinômio nulo; 
6. Raiz de um polinômio; 
7. Polinômios iguais; 
8. Polinômios idênticos; 
9. Adição de polinômios e propriedades; 
10. Subtração de polinômios; 
11. Multiplicação de polinômios e propriedades; 
12. Divisão de polinômios: método da chave e algoritmo de Briot-Ruffini; 
13. Equações polinomiais; 
14. Raiz de equação polinomial; 
15. Conjunto solução; 
16. Resolução de uma equação; 
17. Equações equivalentes; 
18. Teorema fundamental da álgebra; 
19. Atividades propostas I. 
 TEMA 2: TRIGONOMETRIA 
1. Tipos de triângulos; 
2. Relações trigonométricas no triângulo retângulo; 
3. Seno, cosseno, tangente e cotangente de ângulos complementares; 
4. Arco de circunferência; 
5. Medidas de arcos – unidades; 
6. Medidas de ângulos; 
7. Ciclo trigonométrico; 
8. Razões trigonométricas na circunferência; 
9. Relações fundamentais; 
10. Arcos notáveis; 
11. Redução ao primeiro quadrante; 
12. Atividades propostas II. 
 TEMA 3: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
1. Funções circulares; 
2. Funções periódicas; 
3. Ciclo trigonométrico; 
4. Função Seno. 
5. Função Cosseno; 
6. Função Tangente; 
7. Função Cotangente; 
8. Função Secante; 
9. Função Cossecante; 
10. Funções pares e ímpares; 
11. Atividades propostas III. 
3 
 
 TEMA 4: MATRIZES E DETERMINANTES 
1. Noção de matriz; 
2. Matrizes especiais; 
3. Matrizes iguais; 
4. Adição/subtração de matrizes; 
5. Multiplicação de um escalar por matriz; 
6. Multiplicação de matrizes; 
7. Matriz transposta; 
8. Matrizes invertíveis; 
9. Determinantes: definição de determinante; 
10. Menor complementar e complemento algébrico; 
11. Teorema fundamental (de Laplace); 
12. Propriedades dos determinantes; 
13. Atividades propostas IV. 
 TEMA 5: SISTEMAS LINEARES 
1. Definição de sistemas lineares; 
2. Equação linear; 
3. Solução de uma equação linear; 
4. Sistema linear; 
5. Solução de um sistema linear; 
6. Sistema possível. Sistema impossível; 
7. Sistema linear homogêneo; 
8. Teorema de Cramer; 
9. Sistema possível e determinado; 
10. Atividades propostas V. 
 
 
Bibliografia Básica: 
1. IEZZI, Gelson: Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 3, Atual Editora. 
2. IEZZI, Gelson: Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 4, Atual Editora. 
3. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 6, Atual Editora. 
4. BOLDRINI, J. L., COSTA, R. L., FIGUEIREDO, V. L.: Álgebra Linear, 3ªed., 
Harbra,1980. 
Bibliografia Complementar: 
5. DO CARMO, Manfredo Perdigão. Trigonometria e Números Complexos, SBM. 
6. CALLIOLI, Carlos Alberto – Álgebra linear e aplicações – Ed. Atual. 
7. LAY, David. ÁLGEBRA LINEAR E SUAS APLICAÇÕES. Tradução Ricardo 
Camelier, Valéria de Magalhães Iório. 2ª edição – Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
8. LIPSCHUTZ, Seymour & LIPSON, Marc. Álgebra Linear. 4ª ed. Coleção 
Schaum. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
9. NEVES, Maria Augusta F.; GUERREIRO, Luís, Matemática, (10º ano - 
Geometria I e Funções I, 11º ano - Geometria II, Funções II e Sucessões, 12º ano - 
Trigonometria e Funções III), Porto Editora, 1999 (ou posterior). 
10. SMOLE, Kátia Stocco & DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. 
Volume 2, 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013. 
 
4 
 
 
UM POUCO DE HISTÓRIA... 
Muitos são os matemáticos que nos deram contribuições para compor o corpo teórico 
que hoje denomina-se Álgebra. Para iniciar esta conversa, podemos pensar em Mohammed ibn-
Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm), matemático e astrônomo árabe 
que 
[...] escreveu dois livros sobre aritmética e álgebra que tiveram papéis muito 
importantes na história da matemática. Um deles sobrevive apenas numa 
única cópia de uma tradução latina com o título De numero hindorum (Sobre 
a arte hindu de calcular), a versão árabeoriginal tendo sido perdida. Nessa 
obra, baseada provavelmente numa tradução árabe de Brahmagupta, al-
Khowarizmi deu uma exposição tão completa dos numerais hindus que 
provavelmente foi o responsável pela impressão muito difundida, mas falsa, 
de que nosso sistema de numeração é de origem árabe. [...] A nova notação 
veio a ser conhecida como a de al-Khowarizmi, ou mais descuidadamente, 
algorismi; finalmente o esquema de numeração usando numerais hindus veio 
a ser chamado simplesmente algorismo ou algoritmo, palavra que, 
originalmente derivada do nome de al-Khowarizmi, agora significa, mais 
geralmente, qualquer regra especial de processo ou operação – como o 
método de Euclides para encontrar o máximo divisor comum, por exemplo 
(BOYER, 1974, p.166). 
 
Você percebe que o fragmento acima serve como ilustração de que as contribuições à 
matemática que se pratica atualmente são decorrentes, em alguns casos, de releituras e 
reconfigurações de algum conhecimento prévio, existente? É como se um grande prédio fosse 
paulatinamente construído no qual cada um pusesse mais um "tijolo" para contribuir. Assim, a 
área da matemática que vamos estudar neste módulo se inicia desta maneira e vai aos poucos se 
consolidando, pois a cultura árabe foi aos poucos se esparramando pela Europa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Matemático e astrônomo árabe, Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi. Imagem 
disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica>. Acesso em 06 abr. 
2015. 
 
5 
Acontece que : 
Na Alemanha, por exemplo, os livros sobre álgebra foram tão numerosos que 
durante algum tempo a palavra germânica coss para a incógnita triunfou em 
outras partes da Europa, e o assunto ficou conhecido como a ‘arte cóssica’. 
Além disso, os símbolos germânicos para adição e subtração acabaram 
substituindo os p e m italianos [usados para simbolizar as operações citadas]. 
Em 1489, antes da publicação da Summa de Pacioli, um professor alemão de 
Leipzig, Johann Widman (nasceu aproximadamente em 1460) tinha 
publicado uma aritmética comercial, Rechenung auff allen Kauffmanschafft, 
o mais antigo livro em que nossos sinais + e – aparecem impressos. Usados 
inicialmente para indicar excesso e deficiência em medidas, em armazéns, 
mais tarde tornaram-se símbolos para as operações aritméticas familiares. 
Widman, incidentalmente, possuía uma cópia manuscrita da Álgebra de al-
Khowarizmi, obra bem conhecida também por outros matemáticos alemães 
(BOYER, 1974, p. 205). 
 
Voltando-nos para o estudo de polinômios, devemos nos remeter ao fato que o ano de 
1545 é considerado como "marco do início do período moderno na matemática" pelo fato que 
nesse ano 
[...] a resolução não só da [equação] cúbica como também da [equação] 
quártica tornaram-se conhecimento comun pela publicação da Ars magna de 
Gerônimo Cardano (1501-1576). [...] Deve-se assinalar imediatamente, 
porém, que Cardano (ou Cardan) não foi o descobridor original da solução 
quer da [equação] cúbica quer da [equação] quártica. Ele próprio admitiu isso 
francamente em seu livro. A sugestão para resolver a [equação] cúbica, ele 
afirma, lhe tinha sido dada por Niccolo Tartaglia (cerca de 1500-1557); a 
solução da [equação] quártica tinha sido descoberta primeiramente pelo 
antigo amanuense de Cardano, Ludovico Ferrari (1522-1565) (BOYER, 
1974, p. 206). 
 
Quase ao mesmo tempo, 
Aproximadamente na virada do século XV para o XVI, Scipione del Ferro 
(1465-1526), professor da Universidade de Bolonha, conseguiu resolver esse 
tipo de equação [cúbica]. Ora, como a substituição x = y - (a/3) transforma x3 
+ ax2 + bx + c = 0 em y3 + py + q = 0, então o segredo da resolução das 
equações cúbicas estava praticamente desvendado (IEZZI, 2005, p. 99). 
 
O que você acha destas contribuições à solução de equações de grau superior a dois, que 
por muitos anos foram consideradas impossíveis de serem resolvidas? Por que alguns destes 
nomes não são tão conhecidos na atualidade? Por que não ler mais um pouco sobre estes e 
outros assuntos consultando as referências sugeridas no fim deste módulo? 
 
 
 
 
 
 
Estes são apenas pequenos petiscos para deixar você com "água na boca" e ficar com 
"gosto de quero mais" para seguir mais adiante. Então, avante! Se envolva neste estudo, pois "A 
Assista ao vídeo "Origens da Álgebra", no qual se narra de forma resumida as 
origens desta área, criado e sugerido pela Khan Academy. Para isso, acesse o link 
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-
algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra>. 
Além desse vídeo, sugiro a leitura do texto “Breve história da Álgebra abstrata” 
acessando o link <http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf>. 
6 
álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu" (Jean Le Rond 
d'Alembert)2. 
POLINÔMIOS 
Faremos o estudo de polinômios a partir da definição de sequências de números reais. 
Assim, será construída a ideia de polinômios determinados com coeficientes no conjunto dos 
números reais. Porém, antes de iniciarmos de maneira formal, iremos tratar o tema a partir de 
questionamentos e de uma situação-problema. Vamos lá? 
O que são polinômios? Como eles são definidos? Por que estudar polinômios? Quais 
suas aplicações? 
 
 
 
 
Na tentativa de responder para que servem os polinômios ou ajudar na reflexão sobre 
este tópico, trazemos o fragmento a seguir: 
Se não houvesse polinômios, muito provavelmente não poderíamos utilizar 
CDs, nem de música nem de computador. Os polinômios (e aritmética 
módulo n, corpos finitos, enfim, tópicos de álgebra abstrata) são a base do 
código que faz com que os dados sejam escritos em CDs, os chamados 
códigos corretores de erro. Todo meio de comunicação tem o que chamamos 
de ruído, que faz com que os dados não sejam transmitidos corretamente (não 
é incompetência do transcritor de dados, é a própria natureza - um bom 
exemplo é a recepção de celular com ruído atmosférico). Assim, são 
necessários códigos que eliminem ou corrijam esses erros, que são esses 
códigos corretores de erros. É claro que, para compreender isso, é necessário 
algum estudo de álgebra abstrata e, dependendo do código, até de geometria 
projetiva finita!3 
 
 
 
 
Com as leituras acima, nós já podemos imaginar que os polinômios têm vasto uso na 
nossa vida cotidiana, sem contar na aplicação em diversas áreas da própria Ciência. Vejamos 
um exemplo no qual sugerimos construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha retangular 
de papelão, retirando-se os quatro cantos, conforme mostra a figura 2, a seguir. 
 
2 Disponível em <http://www.somatematica.com.br/frases2.php>. 
3 Disponível em <http://supmat.blogspot.com.br/2012/02/texto-para-refletir-para-que-servem.html>. 
Leia o texto "Uso de polinômios para surpreender" no link a seguir 
<http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_III/pdf/p
olinomios.pdf> e identifique qual/quais objetivo/objetivos da autora ao mostrar 
aplicações do uso de polinômios de uma forma surpreendente. 
Os polinômios são expressões algébricas, que envolvem números e letras interligados pelas 
operações de adição/subtração, multiplicação/divisão. Ou seja, num polinômio encontraremos 
números (que representam as constantes e expoentes) e letras (que representam as variáveis). 
7 
 
 
A proposta é fazer uma caixa, sem tampa superior, para organizar alguns objetos, 
cortando os quatro cantos do papelão da maneira como se apresenta na figura anterior e, com os 
retângulos que resultam do recorte, formar as laterais da caixa. Mas, como saber qual a medida 
que deve ser retirada de cada canto do papelão de modo a se ter uma caixa com o maior volume 
possível? 
 
 
 
 
 
 
Na medida em que x varia, o volume final da caixa varia, pois o volume da caixa 
depende da variável x. Lembrar que x representa o tamanho do corte que determinaráa altura da 
caixa a ser montada. Dizemos, então, que o volume é uma função de x. 
 
Figura 3 - Modelo de caixas sem tampa. Disponível em <http://www.madamecriativa.com.br/posts-
recentes/caixinhas-de-origami-para-organizar-pequenos-objetos>. Acesso 08 abr. 2015. 
Considere que a medida da lateral da folha de papelão original é m, conforme aparece 
na figura 4, a seguir: 
Imagine que os cortes sejam feitos com diferentes 
comprimentos para x. Ainda, imagine a caixa que se pode 
construir quando o valor do corte vai sendo variado. 
 
Figura 2 - Esquema para construção de uma caixa sem 
tampa. 
8 
 
 
Figura 4 - Medida m da lateral da folha de papelão. 
E então? Está acompanhando o desenvolvimento do raciocínio a que queremos chegar? 
Continuemos, então... 
Para calcular o volume da caixa utilizaremos o seguinte raciocínio: 
Sabemos da geometria que o volume de um sólido de base quadrada é a área da base 
vezes altura. No caso em questão, a base é quadrada de medida: 
(m – 2x) 
Desta forma, para calcular a área da base fazemos: 
(m – 2x)(m – 2x) = (m – 2x)2 
Como a altura da caixa que iremos formar é x, o volume é calculado da seguinte 
maneira: 
V(x) = (m – 2x)2.x = (m2 – 4mx +4x2)x = m2x – 4mx2 + 4x3 
Toda expressão como a que foi determinada acima, como o volume da caixa, é 
considerada como polinômio ou função polinomial em x. 
Gostou? É um exemplo simples que nos permitirá, a depender do valor da medida 
lateral da folha de papelão, determinar o valor que devemos recortar em cada canto para fazer 
uma caixinha sem tampa para colocar objetos em casa. Bem prático, não acha? Que tal você 
procurar outros exemplos cujas soluções recaiam num polinômio ou numa função polinomial? 
Para definir um polinômio vamos pensar em cada uma das partes que forma o 
polinômio do exemplo acima. 
V(x) = m2x – 4mx2 + 4x3 
 
O V(x) pode ser desmembrado em três partes , e 
Cada uma destas partes é chamada de monômio. 
Bem, agora que você já tem uma ideia do que seja um polinômio e de como são 
formadas as suas partes, vamos defini-lo formalmente? 
m 
m2x – 4mx2 + 4x3 
9 
SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS 
Chama-se sucessão/sequência de números reais toda aplicação f de (conjunto dos 
números naturais) em ℝ (conjunto dos números reais). Estamos usando as duas nomenclaturas, 
mas alguns autores chamam sequências no lugar de sucessões. Usaremos as duas formas 
indistintamente. 
Assim, em toda sucessão, a cada número natural i está associado um número real : 
 
Figura 5 – Aplicação f: ℕ 
Apesar de se definir a sucessão como toda aplicação f: ℕ , é comum que se 
indique a sucessão f, apenas por sua imagem: onde cada número real 
( ) é chamado de termo da sucessão. 
IGUALDADE DE SUCESSÕES 
Duas sucessões são iguais se, e somente se, apresentarem termos correspondentes (ou 
seja, termos com mesmo índice) iguais. Desta forma, se f = e g temos: 
 i 
SUCESSÕES QUASE-NULAS 
Uma sucessão é quase-nula se, e somente se, todos os termos que sucedem um certo 
termo são nulos. Desta forma, a sucessão é quase-nula se existe um número natural n tal 
que para todo índice i > n. 
10 
EXEMPLOS 
São sucessões quase-nulas: 
1. (2,8,0,0,...,0,0,...) onde para todo i > 1; 
2. (2, 5, 6, 7, 0, 0, 4, 5, 0, 0, ..., 0, 0, ..., 0, ...) onde , para todo i > 7; 
3. (1, 0, 0, ..., 0, ...) onde , para todo i > 0 (esta é chamada a sucessão unidade ou 
sequência unidade); 
4. (0, 0, 0, 0, ..., 0, ...) onde , para todo i (é chamada de sucessão nula ou 
sequência nula). 
OBSERVAÇÃO 
 
Uma sucessão quase-nula tem um número finito (n + 1, no máximo) de termos 
não nulos. 
ADIÇÃO DE SUCESSÕES 
A soma de duas sucessões e é uma sucessão tal que cada termo é dado por 
 = , i . 
Exemplo 
1. Calcular a soma das sucessões e (bi), onde = 3i e = 2i + 2. 
Solução: = = 3i + 2i + 2 = 5i + 2. 
Assim, = (2, 7, 12, 17, ..., 5i + 2, ...) 
MULTIPLICAÇÃO DE SUCESSÕES 
Considera-se o produto de duas sucessões e à sucessão , tal que é a soma 
de todos os produtos da forma com i + j = k. 
Desta forma, 
 
 
 
11 
 
...................................................................... 
 
............................................................................................................... 
Resumidamente, 
 = . (I) 
EXEMPLO 
Determinar os três termos iniciais do produto das sucessões e (bi), onde = i - 
3 e = 2j. 
Solução: Temos que e . 
Considerando que , então: 
Primeiro termo: = -3.0 = 0 
Segundo termo: = (-3).2 + (-2).0 = - 6 
Terceiro termo: 
Conclusão: . 
OPERAÇÕES COM SUCESSÕES QUASE-NULAS 
Teorema T 1 - A soma de duas sucessões quase-nulas e é uma sucessão 
quase-nula. 
Demonstração 
Por definição numa sucessão quase-nula existem números naturais m e n tais que 
 
Há três possibilidades para m e n: 1) m < n; 2) m = n; e, 3) m > n. 
Aplicando o dispositivo prático da adição temos: 
1) m < n: 
 
... 
 
... 0 0 0 0 ... 
12 
 
... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
2) m = n: 
 
... 
 
0 0 0 0 ... 
 
... 
 
0 0 0 0 ... 
 
... 
 
0 0 0 0 ... 
 
3) m > n: 
 
... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
... 
 
... 0 0 0 0 ... 
 
... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
Em todos os casos, existe um índice p (o maior dos números m e n) tal que , 
para todo i > p. 
 
Teorema T 2 - O produto de duas sucessões quase-nulas e é uma sucessão 
quase-nula. 
Demonstração: 
Na definição de uma sucessão quase-nula temos que existem números naturais m e n tais 
que 
Aplicando o dispositivo prático para a multiplicação, temos: 
 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
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... 
 
0 0 0 
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0 0 0 0 ... 0 0 0 0 
0 0 0 0 ... 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
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O que se pode verificar na tabela acima é que a sucessão apresenta o termo 
(pois os outros termos da diagonal são nulos) e para todo k > m + n (pois todos os 
termos das diagonais são nulos). 
Indicaremos por E o conjunto de todas as sucessões quase-nulas de elementos de A. O 
conjunto E é fechado em relação à adição e à multiplicação conforme se pode verificar pelos 
teoremas T1 e T2, anteriores. 
OBSERVAÇÕES 
 
1. A seguir trataremos do teorema que garante as propriedades de 
associatividade da multiplicação, comutatividade da multiplicação, 
existência do elemento unidade da multiplicação e distributividade da 
multiplicação em relação à soma para a adição e multiplicação das 
sucessões-quase nulas. 
2. O mesmo será aceito sem demonstração por envolver assuntos que 
ultrapassam os conhecimentos até então desenvolvidos. 
Teorema T 3 – O conjunto E de todas as sucessões quase-nulas, de elementos do anel 
A, é um anel comutativo com elemento unidade, em relação às operações de adição e de 
multiplicação definidas acima. 
Admitiremos que este teorema é válido, sem demonstração, pois envolve 
conhecimentos ainda não trabalhados no curso. 
O conjunto E com as propriedades consideradas no Teorema 3, anterior, é chamado anel 
de polinômios com coeficientes em A e seus elementos são denominados polinômios com 
coeficientes em A. 
Em outras palavras, cada sucessão quase-nula passa doravante a ser chamada polinômio 
de coeficientes reais. 
EXEMPLO 
f = (7, -9, 3, 0, 0, 0, ..., 0, ...) 
g = (1, , -1/2, 3, 0, 8, 6, -3, 0, 0, 0, ...,0, ...) 
São alguns polinômios de coeficientes reais. 
14 
MONÔMIO 
O monômio (ou termo algébrico) é toda expressão algébrica representada por um 
número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas. 
Assim 
 ; 
 x; 
 ; 
 -xy2. 
São exemplos de termos algébricos ou monômios. 
OBSERVAÇÃO 
 
Cada uma das parcelas deum polinômio é um monômio. 
EXEMPLO 
No caso do monômio , identificamos que é o coeficiente e x é a parte literal ou 
variável ou incógnita. 
OBSERVAÇÕES 
 
1. Quando o coeficiente é 1, escrevemos x ao invés de escrevermos 1x, 
por exemplo. O mesmo acontece no caso –x que escrevemos no lugar 
de –1x; 
2. Quando o coeficiente numérico é igual a 0, o monômio é dito nulo; 
3. Todo número real é um monômio, só que sem a parte literal. 
GRAU DE UM MONÔMIO 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
 
DEFINIÇÃO: Um polinômio (ou função polinomial) de grau n é uma função da forma 
 
Onde os coeficientes são números reais dados, com e n é 
um número natural. 
A soma dos expoentes de todas as variáveis que formam um monômio determina o grau de um 
monômio. 
Se p(x) é um monômio de grau n, então indicamos . 
15 
EXEMPLOS 
1. O monômio x5 é do 5º grau; 
2. O monômio m9n é do 9º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação a n. 
 
OBSERVAÇÕES 
 
Condições de existência de um polinômio: 
1. Os coeficientes são números reais ou números complexos; 
2. Os expoentes são números naturais. 
 
 
 
 
 
GRAU DE UM POLINÔMIO 
Seja f = ( ) um polinômio não nulo. Chama-se grau de f, e representa-se por ou gr(f), 
o número natural n tal que e para todo i > n. 
 
Assim, grau de um polinômio f é o índice i máximo para o qual . 
EXEMPLOS 
1. . Desta forma, observamos que, em p(x), 
. Além disso, você pode 
verificar que p(x) é um polinômio de grau 6; 
2. . Para o polinômio q(x), = 0, e 
. Assim concluímos que q(x) é de grau 5. 
3. Um polinômio de grau zero é uma função constante: f(x) = 5, por exemplo. 
4. Considere m, n, a, b e c números reais. A função afim f(x) =mx + n, com m 0 e a 
função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, são exemplos de polinômios de 
primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. 
A partir das observações acima, você é capaz de escrever dois exemplos de 
polinômios em x? Então, o que está esperando??? 
16 
5. As expressões algébricas , , e 
 são exemplos de polinômios. 
6. f = (7, -9, 3, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => a0 = 7, a1 = -9, a2 = 3 => = 2 
7. g = (1, , -1/2, 3, 0, 8, 6, -3, 0, 0, 0, ...,0, ...) => = 7 
8. h = (1, 4, 5, -4 + a, 0, 0, 0, ..., 0, 0, ...) 
9. 8m3n + m9n → esse polinômio é do 9º grau em relação a variável m e do 1º grau em 
relação a n. 
10. x8y7+ 4xy2 → esse é um polinômio do 8º grau em relação a variável x e do 7º grau em 
relação à y. Ao mesmo tempo, é possível dizer que o grau desse polinômio é 15 se 
considerarmos em relação às variáveis xy. 
OBSERVAÇÕES 
 
1. Se o grau do polinômio f é n, então an é chamado coeficiente 
dominante de f. No caso do coeficiente dominante an ser igual a 1, f , é 
chamado polinômio unitário. 
2. Chama-se grau de um polinômio f = ( , f 0’ (f um polinômio 
não-nulo), ao número natural n = max{i ℕ/ 0}. 
 
Teorema T 4: Se f e g são dois polinômios não-nulos, pertencentes a E, temos: se f + 
g 0’, então, . 
Suponhamos que , então: 
 
São possíveis três casos: 
1º) m < n, portanto máx {m, n} = n 
F a0 a1 a2 ... am ... 0 0 0 0 ... 
G b0 b1 b2 ... bm ... bn 0 0 0 ... 
f + g a0 + b0 a1 + b1 a2 + b2 ... am + bm .... bn = cn 0 0 0 ... 
Temos e para i > n, portanto, 
2º) m = n, portanto máx {m, n} = m = n 
f a0 a1 a2 ... an ... 0 0 0 ... 
g b0 b1 b2 ... bn ... 0 0 0 ... 
17 
f + g a0 + b0 a1 + b1 a2 + b2 ... an + bn = cn .... 0 0 0 ... 
Temos ci = 0 para todo i > n, portanto . (cn pode ser zero, por exemplo se an e bn 
forem simétricos, por isso não é necessariamente igual a n, mas com certeza não é 
maior do que n). 
3º) m > n, portanto máx {m, n} = m 
F a0 a1 a2 ... an ... am 0 0 0 ... 
G b0 b1 b2 ... bn ... 0 0 0 0 ... 
f + g a0 + b0 a1 + b1 a2 + b2 ... an + bn .... am = cm 0 0 0 ... 
Temos cm ci = 0 para todo i > m, portanto (c.q.d.). 
 
Teorema T 5: Sejam f = ( e g = ( dois polinômios não-nulos de coeficientes 
reais, então temos: 
 = 
Demonstração: ∂f+∂g 
Suponhamos que = m e . Então, decorre que: 
 e . 
Provemos que o produto fg = ( apresenta grau m + n, isto é, 
 
18 
 
Aplicando o mesmo dispositivo prático antes utilizado, temos: 
 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
 
... 
 
0 0 0 ... 
. 
. 
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. 
 
... 
 
0 0 0 
0 0 0 0 ... 0 0 0 0 
0 0 0 0 ... 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
. 
. 
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. 
. 
. 
 
 
É possível verificar que a sequência fg = ( apresenta: 
, pois 0 e e para todo k > m + n pois quando k > 
m + n todos os termos da diagonal são nulos. 
EXEMPLOS 
1. f = (4, 3, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => = 1 
g = (1, 2 ,5, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => = 2 
fg = (4, 11, 26, 15, 0, 0, ..., 0, ...) => = 3∂f+∂g 
∂f+∂g 
2. f = (1, 2, 1, 5, 0,0,0, ..., 0, ...) => = 3 
g = (3, -6, 7, 8, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => = 3 
19 
fg = (3, 0, -2, 31, -7, 43, 40, 0,0, ..., 0, ...) => = 6∂f+∂g 
 
 
POLINÔMIOS CONSTANTES 
Consideremos agora a aplicação que a todo elemento a, de A, faz corresponder o 
polinômio ( , onde Os elementos de A passam a ser 
denominados polinômios constantes. 
Exemplos de polinômios constantes: 
0’ = (0, 0, 0, ..., 0, ...) 
1’ = (1, 0, 0, 0, ..., 0, ...) 
(a + b)’ = (a + b, 0, 0, 0, ..., 0, ...) 
INDETERMINADA 
Considere o polinômio e = 0, qualquer que seja i e a um 
elemento qualquer de A. Este elemento a está identificado com o polinômio ( E, onde 
 e , qualquer que seja i 0. 
Afirmamos que: a , onde n 0, , qualquer que seja k (I) 
Demonstração: 
1º) Utilizando a demonstração por indução completa sobre n, temos que a afirmação (I) é 
verdadeira para n = 0. 
2º) Suponhamos que onde n e = 0 se k n. 
3º) Seja O primeiro termo dessa igualdade pode ser escrito da seguinte 
maneira: 
 = ( 
Resultando que = . 
Assim temos que . 
Se p , temos que , pois, p – 1 n e, que 
 (c.q.d.). 
20 
 
Assim, polinômio x = (0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) é denominado indeterminada. 
Ao mesmo tempo, se f = ( então f é a soma dos seguintes 
polinômios: 
 = ( 
 = ( 
( 
(0 
................................................. 
( 
Decorrendo que, = (notação 
usual de polinômios). 
OBSERVAÇÕES 
 
1. Cada uma das parcelas é denominada 
termo ou monômio do polinômio f. 
2. Os polinômios constantes são denominados os 
coeficientes do polinômio f. 
3. f tem grau menor ou igual a m. 
POLINÔMIOS IDÊNTICOS OU IGUAIS 
Para entender o que caracteriza a igualdade entre dois polinômios tratemos antes de 
definir o que é um polinômio nulo. Acompanhe-nos! 
Dizemos que um polinômio p(x) é dito nulo (ou identicamente nulo) se o valor 
numérico de p(x) para todo x real é zero. Em outras palavras, 
p(x) = 0  p(x) = 0, x ℝ 
OBSERVAÇÃO 
 
Se é um 
polinômio nulo  .4 
 
 
4 Este resultado por enquanto será aceito sem demonstração, tendo em vista a demonstração depender de 
assuntos ainda não abordados neste módulo. 
Para fazer a demonstração contida na observação acima é preciso utilizar o cálculo do determinante 
de uma matriz formada pelos coeficientes que se deseja verificar como nulos. Assim, não faremos a 
demonstração por conter assuntos ainda não vistos no curso! Para os que queiram aprofundar o 
estudo, sugiro acessar o livro IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: complexos, 
polinômios e equações, Volume 6, 8ª ed., p.55, São Paulo: Atual, 2013. 
21 
Sejam os polinômios M(x) e N(x): 
 
 
 
Podemos afirmar que M e N são idênticos e indicaremos por M(x) N(x) se, e somente se, 
. 
Em outras palavras, para qualquer i N. 
OBSERVAÇÕES 
 
1. M(x) N(x) ; 
2. M(x) N(x) M(x) = N(x) . 
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 
As operações entre polinômios são feitas envolvendo cálculos algébricos. Você perceberá 
que, apesar de estarmos tratandode operações entre polinômios, é de extrema importância a 
aplicação de regras nas operações entre os monômios. Assim veremos que os procedimentos 
utilizados na adição e subtração de polinômios envolvem técnicas de redução de termos 
semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Ao mesmo 
tempo, de uma forma sintética, para a multiplicação realizaremos a multiplicação entre os 
coeficientes numéricos e multiplicação entre as partes literais (que resultará em conservar a base 
e somar os expoentes) e no caso da divisão entre polinômios utilizaremos duas regras: realizar a 
divisão entre coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e 
subtrair os expoentes). 
ADIÇÃO 
Dados dois polinômios 
 
p(x) = = 
 
q(x) = = 
 
chama-se adição ou soma de p(x) e q(x) ao polinômio 
 
s(x) = (p + q)(x) = = 
 
22 
 
EXEMPLOS 
1. Determine a soma dos polinômios p(x) = - e q(x) = 
. 
Solução: completando os polinômios para aplicarmos a definição de soma de 
polinômios, segue: 
p(x) = e q(x) = . 
Então: 
p(x) + q(x) = (p+q)(x) = (0+1)x5 + (0+0)x4 + (0-1)x3 + (-1+1)x2 + (3+2)x + (-2-4) = x5 – 
x3 +5x – 6. 
2. A soma dos polinômios p(x) = 4x5 – x2 + x - 2 e q(x) = 3x3 +5x + 3 é o polinômio 
identicamente nulo. 
Solução: Devemos verificar se a afirmação está correta! Então, para isso, vamos somar 
os polinômios p(x) e q(x). 
p(x) + q(x) = 4x5 – x2 + x – 2 + 3x3 +5x + 3 = 4x5 + 3x3 – x2 + x + 5x – 2 + 3 = 4x5 + 3x3 – 
x2 + 6x + 1, o qual não é um polinômio identicamente nulo! 
Conclusão: A afirmação é falsa. 
SUBTRAÇÃO 
Dados os polinômios 
p(x) = = 
 
q(x) = = 
 
(p-q)(x) = p(x) – q(x) = p(x) + [-q(x)] = + [-
( )] = 
 = 
( = 
EXEMPLOS 
1. Dados os polinômios p(x) = e q(x) = , calcule p(x) – 
q(x). 
Solução: 
23 
p(x) – q(x) = – ( ) = (5-5)x3 + (0 – (-1))x2 + (2-1)x + (0-(-4)) = 
0x3 + x2 + x + 4 = x2 + x + 4. 
2. Dados os polinômios p(x) = 6x2 – 4x + 12 e g(x) = -4x3 + x2 – 6, o polinômio p(x) – 
g(x) tem como monômio de maior grau 4x3. 
Solução: p(x) – g(x) = 6x2 – 4x + 12 – (-4x3 + x2 – 6) = 6x2 – 4x + 12 + 4x3 - x2 + 6. 
Neste ponto devemos agrupar os monômios de mesmo grau, em ordem, o que nos dá que p(x) – 
g(x) = 4x3 + 5x2 – 4x + 18. 
Facilmente observamos que o resultado é um polinômio cujo monômio de maior grau é 4x3. O 
que torna a sentença verdadeira! 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Para a multiplicação de polinômios podemos considerar duas possibilidades, a 
multiplicação de um polinômio por um monômio e a multiplicação em que os dois termos são 
polinômios. 
Antes de ver as duas possibilidades em exemplos, vejamos a regra geral. 
Considere os polinômios 
p(x) = = 
q(x) = = 
Chama-se produto p(x).q(x) o polinômio p(x).q(x) = 
 
O polinômio p(x).q(x) = . 
Cada coeficiente = 
Nos próximos teoremas T6 a T8 trataremos das propriedades que a adição e multiplicação 
de polinômios têm. Os resultados apresentados por estes teoremas fazem com que o conjunto de 
todos os polinômios seja definido como um grupo, assunto que será visto, apenas, em semestres 
posteriores. 
Porém, as demonstrações não estão de todo completas... Convidamos você a completá-
las! Vejamos, então! 
 
Teorema T 6 – Na operação de adição de polinômios, verificam-se as propriedades: associativa, 
comutativa, existência de elemento neutro e do elemento inverso aditivo. 
Demonstração: 
Você está entendendo bem os assuntos? Para aprofundar o estudo sobre este 
tópico acesse o link <https://www.youtube.com/watch?v=Rl13YyaOktM> e 
tire suas dúvidas de maneira bem simples e descomplicada. 
24 
Propriedade Associativa: f + (g + h) = (f + g) + h, quaisquer que sejam os 
polinômios . 
Considere , , , f + (g + h) e (f + g) + h = ( . Assim, 
temos que: 
 = . 
Propriedade Comutativa: f + g = g + f, quaisquer que sejam os polinômios . 
Existência do elemento neutro: existe ea (um polinômio) tal que f + ea = f, para todo 
polinômio f. 
Existência do inverso aditivo: Para todo polinômio f, existe um polinômio f’ tal que f + 
f’ = ea (elemento neutro acima). 
Deixamos a demonstração das três propriedades acima para você fazer. Mãos à obra!!! 
 
Teorema T 7 - Na operação de multiplicação de polinômios, verificam-se as propriedades: 
associativa, comutativa, existência de elemento neutro multiplicativo. 
Para a demonstração das propriedades deste teorema T7, devemos partir das seguintes 
assertivas: 
Propriedade associativa: sendo f, g e h polinômios quaisquer, é válido que f.(g.h) = 
(f.g).h; 
Propriedade comutativa: sendo f e g polinômios quaisquer, é válido que f.g = g.f; 
Existência do elemento neutro (multiplicativo): existe em (um polinômio) tal que f.em = 
f para todo polinômio f. 
Coragem! Demonstre o teorema T 7 provando as propriedades tratadas por ele. 
Teorema T 8 - A operação de multiplicação entre polinômios é distributiva em relação à adição (de 
polinômios). 
Demonstração: 
Sejam f = ( , g = e h = polinômios quaisquer e consideremos g + h = ( ), 
f(g+h) = , fg = , fh = e fg + fh = . Assim, teremos e 
, 
, portanto, f(g + h) = fg + fh. (c.q.d.). 
OBSERVAÇÕES 
 
1. O conjunto P de polinômios com as operações de adição e 
multiplicação é considerado: 
(I) Um grupo comutativo se vale o teorema T6; 
(II) Um monoide comutativo se vale o teorema T7; 
(III) Um anel comutativo se valem os três teoremas T6, T7 e T8. 
25 
2. Para determinar o polinômio resultante do produto, devemos utilizar a 
propriedade da distributividade do produto em relação à 
soma/subtração de monômios e lembrar que o produto de potências de 
mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência 
resultante, conservando a base e adicionando os expoentes: 
. 
 
EXEMPLOS 
1. Dados o monômio 3x3 e o polinômio 8x2 - 8x3 – 4x. Para calcular o produto entre os 
dois, devemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 
 
= 24x5 - 24x6 – 12x4 = 
= - 24x6 + 24x5 – 12x4 
 
2. Dados os polinômios p(x) = (3x2 – 8) e q(x) = (x3 + x2 - 4). Para calcular o produto entre os 
dois polinômios, aplique a propriedade distributiva da multiplicação: 
 
3x2(x3 + x2 - 4) – 8(x3 + x2 - 4) = 3x5 + 3x4 – 12x2 – 8x3 – 8x2 + 32 = 3x5 + 3x4– 8x3 – 
8x2 – 12x2 + 32 = 3x5 + 3x4– 8x3 – 20x2 + 32 
 
3. Multiplicar os polinômios e . 
Solução: 
 
= ( = 
 
 
Dispositivo prático: 
 
 
 g 
 
 f 
_______________________________________________________________________________________________ 
26 
 
 5x. 
 
4  
 
4  
_______________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
Iezzi (2005, p. 63) apresenta dois dispositivos práticos para a multiplicação de 
polinômios, os quais seguem transcritos. 
Nos acompanhe na multiplicação entre os polinômios f(x) = x + 2x2 + 3x3 e g(x) = 4 + 
5x + 6x2, utilizando os dois dispositivos. Após aprender como usar cada um, você pode escolher 
um ou outro dispositivo para realizar os exercícios que serão propostos. 
DISPOSITIVO PRÁTICO 1 
 
Figura 6 – Dispositivo prático (1) para cálculo do produto de polinômios. 
Fonte: IEZZI, 2005, p. 63. 
DISPOSITIVO PRÁTICO 2 
Colocamos numa tabela os coeficientes ai de f(x) e os coeficientes bj de g(x); calculamos 
todos os produtos aibj; somamos os produtos em cada diagonal, conforme indica a figura, 
obtendo os ck. 
Assim, no nosso exemplo, temos: 
 
c0 = 0 
c1 = 4 + 0 = 4 
c2 = 8 + 5 + 0 = 13 
c3 = 12 + 10 + 6 = 28 
c4 = 15 + 12 = 27 
c5 = 18 
 
Figura 7 - Dispositivo prático (2) para cálculo do produto de polinômios. 
Fonte: IEZZI, 2005, p. 63. 
27 
Portanto, h(x) = (fg)(x) = 4x + 13x2 + 28 x3 + 27x4 + 18x5 
. 
 
 
 
 
 
RECORDANDO 
 
1. Grau de um polinômio – é dado pelo monômio de maior grau do 
polinômio; 
2. Grau da soma de polinômios – é sempre menor ou igual ao grau do 
polinômio de maior grau; 
3. Grau do produto – é a soma dos graus dos polinômios envolvidos 
no produto. 
 
EXEMPLOS1. Determine o grau dos seguintes polinômios em xy: 
a. p(x) =, ; 
b. q(x) = ; 
c. h(x) = 
2. Determine o polinômio f(x) do segundo grau tal que f(0) = 1, f(1) = 4 e f(-1) = 0. 
Solução: 
Seja f(x)= ax2 + bx + c. Temos: 
f(0) = a.02 +b.0 + c = 1 c = 1 (I) 
f(1) = a.12 + b.1 + c = 4 a + b + c = 4 (II) 
f(-1) = a.(-1)2 + b(-1) + c = 0 a – b + c = 0 (III) 
subtraindo (III) de (II), vem 2b = 4 b = 2 
Em (II): a + 2 + 1 = 4 a = 1. 
Resposta: f(x) = x2 + 2x + 1. 
DIVISÃO 
A divisão polinomial vai seguir uma lógica de operação semelhante ao que se sabe da 
divisão entre números, também chamada de divisão euclidiana. Você se lembra? Nesta divisão, 
nós temos dividendo, divisor, quociente e resto. Como estamos falando de divisão de 
polinômio por polinômio, considere os polinômios: 
D(x), como o dividendo; 
d(x), como o divisor (polinômio não nulo); 
O que achou do produto entre dois polinômios? Achou complicado? Assista ao 
vídeo sobre multiplicação de polinômios acessando o link 
<https://www.youtube.com/watch?v=S7u2mZMxjOA> e fixe melhor esta 
operação. 
28 
Q(x), como o quociente; e, 
R(x), como o resto (podendo ser zero). 
Como na divisão euclidiana, a divisão polinomial tem os quatro elementos acima, como 
na figura a seguir, se apresenta esquematicamente: 
D(x) d(x) 
R(x) Q(x) 
Da disposição dos termos, decorre da divisão euclidiana que : 
D(x) = d(x).Q(x) + R(x) (I) 
Ou seja, dividendo = divisor . quociente + resto. 
Assim, fica claro que dividir um polinômio D(x) (dividendo) por um d(x) (divisor 
diferente de 0) consiste em dividir D(x) por d(x) e determinar novos polinômios Q(x) 
(quociente) e R(x) (resto). 
OBSERVAÇÕES 
 
1. O resto da divisão polinomial pode ser zero; 
2. O grau do resto é menor que o grau do divisor; 
3. Caso a divisão seja exata, o resto é zero, ou seja, R(x) é o polinômio nulo. 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS PARA CÁLCULO DA DIVISÃO POLINOMIAL 
Nesta parte do nosso estudo, abordaremos métodos para calcular a divisão polinomial. 
Primeiro faremos utilizando o método da chave e em seguida abordaremos pelo algoritmo de 
Briot – Rufini levando em consideração as limitações e possibilidades de cada um. 
Vamos prosseguir? 
OBSERVAÇÃO 
 
Em álgebra a divisão polinomial é um algoritmo para dividir um polinômio por 
outro polinômio de menor ou igual grau, ou seja, uma versão generalizada da 
técnica aritmética de divisão. É facilmente realizável à mão, porque separa um 
processo complicado de divisão em divisões mais simples. 
Mas como resolver a equação (I)? Ou seja, quais os polinômios Q(x) e R(x) que 
completam a equação (I)? Antes de seguir, acesse o link 
<http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/matematica/trigonometria_e_pre_c
alculo/polinomios_e_funcoes_racionais/divisao_polinomial> sobre divisão polinomial. 
Então, vamos lá? 
29 
Fonte: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o_polinomial>. 
MÉTODO DA CHAVE 
(SE PARECE COM O MÉTODO DA DIVISÃO EUCLIDIANA) 
Para entender como este método se processa, partiremos de um exemplo. 
Dados os polinômios D(x) = 4x3 + 2x + 10 e d(x) = x + 2 para realizar a operação D(x): 
d(x) utilizaremos o seguinte mecanismo: 
 
4x3 + 2x + 10 x + 2 
-4x3 – 8x2 4x2 - 8x + 18 
-8x2 + 2x +10 
8x2 + 16 x 
18x + 10 
-18x -36 
-26 
O algoritmo acima seguiu o roteiro como descrevemos: inicialmente dividimos o 
primeiro monômio do dividendo pelo primeiro monômio do divisor, obtendo assim o primeiro 
monômio do quociente, e logo depois o primeiro resto parcial. 
 
Identificamos as partes citadas na divisão a seguir: 
 
Em outras palavras, no exemplo, dividimos 4x3 por x. O resultado é 4x2. Este monômio foi, 
então, multiplicado por x + 2. Seu resultado, 4x2(x + 2) = 4x3 + 8x2. Este polinômio deve ser posicionado 
abaixo do polinômio dividendo com o sinal oposto para que possamos fazer a soma algébrica que resultar. 
Para o problema, esta etapa se resume a 4x3 + 2x + 10 - 4x3 - 8x2. 
Esse procedimento deve ser repetido tantas vezes quantas necessárias. Até que se obtenha o 
resto, que é um polinômio de grau menor que o do divisor. No exemplo, é igual a -26. 
30 
VALOR NUMÉRICO 
Consideremos o polinômio pertencente ao anel 
A[x]. Chama-se valor numérico de f em a e representa-se por f(a), o número que se obtém ao 
substituir x por a e realizar todas as operações indicadas em f, ou seja, 
 
Exemplo: Calcular o valor numérico de em 2, -1 e i + 1. 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
1. Valor numérico em a da soma de dois polinômios é igual à soma dos 
valores numéricos em a dos polinômios parcelas, ou seja, 
. 
2. Valor numérico em a do produto de dois polinômios é igual ao produto 
dos valores numéricos em a dos polinômios fatores, em outras palavras: 
. 
EXEMPLO 
Calcule o valor numérico de se 
para a = 2 e a = -1. 
Solução: 
Primeira parte: ( 
Para a = 2: 
 
Para a = -1: 
 
Segunda parte: 
Para a = 2: 
 = 63 
Para a = -1: 
31 
 = 6 
RAIZ DE UM POLINÔMIO 
Sejam um número real e é um polinômio. Dizemos que a é uma raiz ou um zero de f 
se, e somente se, f(a) = 0. 
OBSERVAÇÕES 
 
1. A raiz de um polinômio p(x) um número real a para o qual o valor 
numérico, p(a,) é igual a zero; 
2. Qualquer que seja p(x), 
a. p(0) = termo independente do polinômio; 
b. p(1) = soma dos coeficientes de p(x). 
EXEMPLOS 
1. Por exemplo, para o polinômio -1, temos que 
 -1 = 0. Assim, dizemos que 1 é raiz ou um zero do polinômio 
 -1. 
2. Dado tem-se que: 
 = 4 1 + 5 1 +1 + 3 = 13; 
 = 4 64 + 5 4 – 2 + 3 = 277. 
OBSERVAÇÃO 
 
O polinômio 
também pode ser escrito na seguinte notação: 
 
 
 
 
 
 
 
Que tal assistir à resolução de um probleminha bem interessante com a utilização de 
polinômios? Veja no link <https://www.youtube.com/watch?v=z23O0UdHKwk> 
um belo exemplo oferecido pela Khan Academy. Bom estudo! Mantenha a 
disciplina e, com certeza, terá sucesso! 
32 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. Dada a função polinomial , calcule: f(-1), f(0), f(2), f(a), f(-
3b) e f(f(-2)). 
Solução: 
f(-1) = ; 
f(0) = 
f(2) = 
f(a) = 
f(-3b) = 
 
Antes de calcular f(f(-2)), vamos calcular f(-2). 
f(-2) = . 
f(f(-2)) = 2 
2. Considere o polinômio (disponível em <http://sabermatematica.com.br/exercicios-
resolvidos-polinomios.html>) p(x) = 4x4 + 3x3 – 2x2 + x + k. 
Sabendo que p(1) = 2, então o valor de p(3) é: 
a) 386. 
b) 405. 
c) 324. 
d) 81. 
e) 368. 
Solução: 
p(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2 
4 + 3 – 2 + 1+ k = 2 
6 + k = 2 
k = 2 – 6 
k = – 4 
 
O polinômio será p(x) = 4x4 + 3x³ - 2x² + x – 4 
 
p(x) = 4x4 + 3x³ - 2x² + x – 4 
p(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4 
= 324 + 81 – 18 + 3 – 4 
= 386 
Conclusão: a resposta certa é a letra a. 
33 
EXEMPLO 
 2 é raiz do polinômio 2x 3 . 
OBSERVAÇÃO 
 
Seja f um polinômio e a um número real. Se f(a) é zero então a é 
raiz de f. 
TEOREMA DO RESTO 
Teorema T 9 - O resto da divisão de um polinômio por x – a é igual ao valor 
numérico de f em a. 
Demonstração: 
De acordo com a definição de divisão, temos que existem polinômios q e r, tais que 
 (I) onde q e r são, respectivamente, o quociente e o resto. Como x – a tem 
grau 1, o resto r ou é nulo ou tem grau zero, portanto, r é um polinômio constante. 
Calculando os valores dos polinômios na igualdade (I), acima, em a: 
 0 + 
Então, . (c.q.d.). 
Teorema T 10 - Um polinômio f é divisível por x –a se, e somente se, a é raiz de f. 
Demonstração: 
De acordo com o teorema do resto, temos r = f(a), então 
r = 0 ⇔ f(a) = 0 
(divisão exata) (a é raiz de f) 
EXEMPLO 
Determinar a de modo que seja divisível por x – 5. 
Para resolver, devemos impor a condição de que : 
 = 125 – 50a + 5a – 5 + 15 = 135 – 45a = 0 
Daí decorre que . 
34 
x 
MÉTODO/ALGORITMO/DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI 
Iezzi (2005, p. 83) nos explica em detalhes em que consiste o dispositivo proposto por 
Briot-Ruffini, conforme veremos a seguir: 
Dados os polinômios f = , com e g 
= , queremos determinaro quociente q e o resto r da divisão de f por g. 
Façamos: 
q = e apliquemos o método dos 
coeficientes a determinar: 
 
 
 
 
 
 
Na condição , resultam as seguintes igualdades: 
 
 
 
 
 
 
No entanto, há um método que, para alguns, pode ser bem mais prático que este passo-a-
passo acima. É o dispositivo Briot-Ruffini. 
35 
EXEMPLO 
1. Consideremos os polinômios e . Vamos 
determinar o quociente e o resto. 
Solução: 
Há duas maneiras de determinar o quociente e o resto: 
1º) Vamos desenvolver a divisão entre os polinômios como se fosse a divisão euclidiana. 
Disporemos os cálculos da seguinte forma, como na divisão polinomial já descrita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: e 
2º) Para esta solução, faremos um esquema, no qual, à esquerda, colocaremos os coeficientes do 
dividendo e, à direita, posicionaremos os coeficientes do divisor. 
x4 x3 x2 X x0 x2 x x0 
 
1 1 0 1 1 2 1 1 
 
Em seguida, tomamos o primeiro coeficiente do dividendo e dividimos pelo primeiro 
coeficiente do divisor. Seu resultado foi colocado abaixo do divisor, ou seja, ocupou a primeira 
posição do quociente (numa divisão). 
 
x4 x3 x2 x x0 x2 x x0 
 
1 1 0 1 1 2 1 1 
-1 -1/2 -1/2 1/2 1/4 -3/8 
 
36 
Como seguimento, foi feito o produto do primeiro coeficiente do quociente por todos os 
coeficientes do divisor. Os resultados foram posicionados abaixo dos coeficientes do dividendo 
com sinal oposto, daí foi feita a soma algébrica. 
O procedimento foi repetido até que se obtiveram os coeficientes do resto (ou seja, de um 
polinômio de grau menor que o do divisor). 
x4 x3 x2 x x0 x2 x x0 
 
1 1 0 1 1 2 1 1 
-1 -1/2 -1/2 1/2 1/4 -3/8 
 1/2 -1/2 1 1 
 -1/2 -1/4 -1/4 
 -3/4 ¾ 1 
 3/4 3/8 3/8 
 9/8 11/8 
 
Resposta: e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Algoritmo de Briot-Ruffini, por vezes denominado apenas como 
regra de Ruffini, é um método de resolução de frações polinomiais, criado por 
Paolo Ruffini. Esse algoritmo consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos 
apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio por um 
binômio. (Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Briot-
Ruffini>). 
Vamos aos detalhes do algoritmo de Briot-Ruffini, em sequência ao exposto 
acima? Para isso vamos desenvolver um exemplo proposto em 
<http://www.mundoeducacao.com/matematica/dispositivo-pratico-
briotruffini.htm>. 
37 
 
Quadro 1: Exemplo de aplicação do dispositivo de Briot-Ruffini. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
1. O resto da divisão de um polinômio f(x) por x – a é igual ao valor 
numérico de f(x) em a (Teorema do resto); 
2. Um polinômio f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de f(x) 
(Teorema de D’Alembert); 
3. Se um polinômio f(x) é divisível separadamente por x – a e x – b, com a 
b, então f(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b). 
 
 
 
 
 
Lembre que a aprendizagem se estabelecerá melhor se você se empenhar nesse 
processo. Então, boa aventura de descobertas! 
Vejamos como fazer a divisão de polinômios P(x) por Q(x) quando P(x) = 5x3 – 2x2 + 3x – 1 e Q(x) = x – 
2. Primeiramente, vamos verificar a raiz de Q(x): 
Q(x) = 0 
x – 2 = 0 
x = 2 
Vamos montar o dispositivo de Briot-Ruffini através da raiz de Q(x) e dos coeficientes de P(x): 
 
O primeiro coeficiente de P(x) é o 5. Nós podemos reescrevê-lo na linha inferior: 
 
Agora nós multiplicamos o 5 por 2 e somamos o resultado com o segundo coeficiente de P(x), o número – 
2, isto é, fazemos 5.2 + (– 2) = 8. O resultado 8 deve ser escrito embaixo do coeficiente – 2. 
 
Repetimos o processo, multiplicamos 8 por 2 e somamos com o terceiro coeficiente de P(x), o número 3. 
O cálculo é dado por 8.2 + 3 = 19. Escrevemos o resultado embaixo do coeficiente 3. 
 
Repetimos o procedimento pela última vez. Agora multiplicamos o 19 por 2 e somamos o resultado com – 
1, ou seja, nós fazemos 19.2 + (– 1) = 37. O resultado 37 é colocado embaixo de –1 e é o resto de nossa 
divisão. 
 
O polinômio resultante dessa divisão é determinado pelos números 5, 8 e 19. Estes são coeficientes desse 
polinômio. Como fora dito anteriormente, o último número (19) é acompanhado de x0, o 8 é acompanhado 
de x1, e o 5 é acompanhado de x2. Portanto, o polinômio resultante da divisão de 5x3 – 2x2 + 3x – 1 por x 
– 2 é 5x2 + 8x + 19, e o resto da divisão é r = 37. 
E então, qual método você achou mais interessante? O método da chave ou o 
algoritmo de Briot-Ruffini? Resolva o mesmo exemplo, experimentando o 
método da chave. 
38 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Disponível em <http://professorwaltertadeu.mat.br/CP2VEST68polin.pdf>. 
 
UM POUCO DE HISTÓRIA...5 
Ao final do século XV, a álgebra pouco evoluíra em relação ao conhecimento que 
egípcios e babilônios tinham sobre o assunto 1800 anos antes de Cristo. O mais antigo livro 
impresso sobre aritmética e álgebra, a Summa (1494), do frade italiano Luca Pacioli (1445 – 
1515) dá bem uma ideia desse fato, pois no que se refere à álgebra essa obra se limita à 
resolução de equações do primeiro e segundo graus e assim mesmo (como era usual na época) 
por meio de regras verbais aplicadas a casos numéricos. E Pacioli terminava seu livro afirmando 
ser a solução da cúbica (usando a notação moderna, e ) tão 
impossível quanto a quadratura do círculo. 
Mas esta previsão logo iria ser desmentida. Aproximadamente na virada do século XV 
para XVI, Scipione del Ferro (1465 – 1526), professor da Universidade de Bolonha, conseguiu 
 
5 Fragmento de texto disponível em IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: Complexos, 
polinômios e equações. Vol.: 6, 8ª ed. São Paulo, 2013, p. 98 - 99. 
39 
resolver esse tipo de equação. Ora, como a substituição transforma 
 numa equação do tipo , então o segredo da resolução 
das equações cúbicas estava praticamente desvendado. 
EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
 
Figura 8 – Charge disponível em <http://www.somatematica.com.br/piadas.php>. Acesso 20 abril 
2015. 
 
Bem, piadas à parte, vamos em frente. Ok? 
Considere as funções polinomiais do tipo , onde 
os coeficientes são números complexos e a variável x também é complexa. 
Assim, x pode ser substituído por um número complexo qualquer. Na medida em que certas 
propriedades só são admitidas se considerarmos os coeficientes reais, assim será feito. 
Definição: 
Considerando duas funções polinomiais y = f(x) e y = g(x), chamamos equação 
polinomial (equação algébrica) a toda sentença aberta do tipo f(x) = g(x). 
Em outras palavras, podemos dizer que uma equação polinomial ou algébrica é toda 
equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: 
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. 
EXEMPLOS 
 x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0; 
 10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0; 
 x8– x6– 6x + 2 = 0; 
 x10– 6x2+ 9 = 0. 
40 
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para 
as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em 
que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução. 
OBSERVAÇÃO 
 
Uma sentença aberta pode ser verdadeira ou falsa dependendo do valor 
atribuído à variável x. 
EXEMPLOS 
1. Consideremos f(x) = e g(x) = 3 . A sentença aberta 
 = 3 é uma equação polinomial. Observemos que para 
x = 0 a sentença = 3 é falsa, pois teremos f(0) = 
 = 1 e g(0) = 3 = -1. 
2. Se considerarmos as funções polinomiais f(x) = e g(x) = 
temos que f(0) = g(0) é falsa, mas a sentença f(1) = g(1) é verdadeira. 
RAIZ DE EQUAÇÃO POLINOMIAL 
Dada uma equação polinomial f(x) = g(x), chama-se raiz da equação todo número que, 
substituído em lugar de x, torna a sentença verdadeira. Assim, o número r éraiz de f(x) = g(x) 
se, e somente se, f(r) = g(r) é sentença verdadeira. 
EXEMPLOS 
1. Para a equação polinomial p(x) = x4 + 7x3 = - 6x2 + 7x - 8 tem-se que a é raiz dessa equação 
se, e somente se, p(a) = 0. 
2. A equação polinomial formada pelos polinômios p(x) = 2x3 - x2 e o q(x) = 2x - 1, de tal 
forma que p(x) = q(x), tem como raízes os números -1, 1. Vejamos: 
p(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 = -2 – 1 = -3 
q(-1) = 2(-1) - 1 = -3 
p(-1) = q(-1) = -3. 
p(1) = 2.(1)3 – (1)2 = 2 – 1 = 1 
q(1) = 2(1) - 1 = 1 
p(1) = q(1) = 1 
 
Conclusão: -1 e 1 são soluções da equação apresentada no exemplo. 
 
3. No exemplo, = as raízes são -1, 2 e 1, pois: 
Para x = -1, temos que =  0 = 0 (verdadeiro) 
41 
Para x = 1, temos que =  0 = 0 (verdadeiro) 
Para x = 2, temos que =  9 = 9 (verdadeiro) 
Ao mesmo tempo, verifica-se que 0 não é raiz, pois f(0) = -1 e g(0) = -3. 
CONJUNTO SOLUÇÃO 
Ao conjunto solução ou conjunto verdade em de uma equação do tipo f(x) = g(x) dá-se 
o nome de conjunto S cujos elementos são as raízes complexas da equação. 
EXEMPLOS 
1. Dada a equação polinomial = , o conjunto solução dessa equação 
é S = {-1, 2, 1}. 
2. Considere, por exemplo, a equação . Ao calcular os valores de x que 
satisfazem a essa igualdade, encontramos que ⟹ x não é um número real. 
No entanto, podemos calcular as raízes dessa equação, fazendo , ou seja, 
 e Assim, teremos que o conjunto solução dessa equação é S = 
{ }. Onde –i e i são números complexos. 
OBSERVAÇÕES 
 
1. é uma 
equação polinomial ! 
2. pode ser 
decomposto em n fatores de grau 1: 
 
Onde são raízes da equação polinomial. 
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL 
Para resolver uma equação polinomial f(x) = g(x), deve-se obter o seu conjunto-solução. 
Ou seja, deve-se obter as raízes da equação. 
Devemos, então, responder a algumas questões: 1) Como obter as raízes? 2) Quantas são? 
3) De que elas dependem? 
Resolver uma equação polinomial nada mais é que obter o seu conjunto solução. Mas, 
como devemos determinar o conjunto solução? Em outras palavras, como determinar a raiz ou 
as raízes de uma dada equação polinomial? A solução encontrada é a única? Para responder a 
estas perguntas trataremos das equações equivalentes. 
42 
EQUAÇÕES EQUIVALENTES 
Duas equações polinomiais são ditas equivalentes quando apresentam o mesmo conjunto 
solução. Assim, toda raiz de uma equação é também raiz da outra equação. 
EXEMPLO 
1. As equações são equivalentes: (I) = e (II) 
= 0, pois S(I) = {-1, 2, 1} e S(II) = {-1, 2, 1}. 
OBSERVAÇÕES 
 
 Somar aos dois membros de uma equação polinomial a mesma 
função polinomial e multiplicar os dois membros pelo mesmo 
número k 0 são transformações que não alteram o conjunto solução 
de uma equação polinomial; 
 Na resolução de uma equação polinomial procuramos sempre 
transformá-la em uma equação equivalente, mais simples, de maneira 
que o conjunto solução seja obtido com maior facilidade, utilizando 
as operações descritas no item anterior; 
 Quando a transformação de uma equação polinomial resulta na forma 
f(x) = 0, devemos considerar que a equação polinomial f(x)=0 tem 
grau maior que zero. 
Pelo que ressaltamos nas observações imediatamente acima, há duas operações que 
mantêm inalterado o conjunto-solução de uma equação polinomial. Ou seja, é possível 
transformar uma equação polinomial em outra, equivalente à primeira. 
1º Somar a mesma função polinomial aos dois membros de uma equação polinomial: 
. 
2º Multiplicar pelo mesmo número complexo k (k os dois membros de uma equação 
polinomial: 
 
Na prática, a primeira "operação" é enunciada da seguinte forma: numa equação 
polinomial, "levar" um termo de um membro para outro, implica em trocar o sinal do seu 
coeficiente, e não alterar o conjunto-solução; ou seja, f(x) – g(x) = 0. 
EXEMPLOS 
1) Consideremos a equação 3 , entre as funções 
. Adicionemos –g(x) a ambos os membros 
da equação e ficaremos com: 
 
43 
Fazendo as devidas simplificações, ficaremos com: 
 
2) As equações = 0 e 10 = 0 são equivalentes, pois a segunda foi obtida da 
primeira pela multiplicação por 4. 
 
CASOS NOTÁVEIS 
Na transformação de uma equação polinomial para a forma p(x) = 0, podem ocorrer 
dois casos notáveis: 
Caso 1. p(x) é identicamente nula: que é uma 
sentença verdadeira qualquer que seja o número complexo que venha a substituir x. Assim, o 
conjunto solução da equação p(x) = 0 é o próprio conjunto dos números complexos ℂ. 
Caso 2. p(x) é constante e não nula: que é uma 
sentença falsa para todo número complexo que venha a substituir x. Portanto, o conjunto 
solução da equação p(x) = 0 é vazio. 
OBSERVAÇÃO 
 
Para evitar os casos notáveis, trabalharemos com as equações de grau maior 
que 0. 
 
Mas, afinal, quantas raízes tem uma equação polinomial de grau n? Calma! Não se 
preocupe, pois este foi um dos muitos problemas que ocuparam os matemáticos durante muitos 
séculos, mas que foi resolvido no início do século XIX. 
Vamos ver? 
Considere a equação polinomial p(x) = = 0 
Lembre que mesmo não sendo apresentada desta forma, pelo que vimos nas 
observações anteriores, é possível determinar uma equação equivalente que se apresente como 
p(x) acima. 
NÚMERO DE RAÍZES 
Como toda equação polinomial pode ser colocada na forma p(x) = 0, é evidente que as 
seguintes proposições são equivalentes: 
(I) r é raiz da equação p(x) = 0. 
(II) r é raiz da função polinomial p(x). 
(III) r é raiz do polinômio p. 
As três proposições são sintetizadas por p(r) = 0. 
Diremos que a equação p(x) = 0 é de grau n se, e somente se, p(x) e p são de grau n. 
44 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
Toda equação polinomial p(x) = 0 de grau n, onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz 
complexa. 
Admitiremos a validade deste teorema sem demonstração, pois nela estão envolvidos 
conhecimentos ainda não trabalhados no curso. Para os que quiserem aprofundar um pouco 
mais seus conhecimentos, seguem sugestões de leituras que apresentam a demonstração desse 
teorema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que toda equação polinomial tem pelo 
menos uma raiz complexa. Resta a pergunta: quais são e como encontrá-las? Quanto maior for o 
grau do polinômio, mais árdua é a tarefa de encontrar os zeros da função polinomial... Mas não 
desanime, pois há métodos para encontrá-los! 
OBSERVAÇÕES6 
 
No caso de o número complexo x + yi, sendo y ≠ 0, ser a raiz da equação a0. x
n+ a1. 
xn-1+ … + an-1. x + an = 0, de coeficientes reais, sendo assim o seu conjugado x – yi 
também será raiz. 
E ainda, x + yi e x – yi também serão raízes de mesma multiplicidade. 
Consequências: 
1) Equação do 2º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas 
raízes complexas conjugadas (não reais); 
2) Equação do 3º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou uma 
real e duas complexas conjugadas (não reais); 
3) Equação do 4º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas 
raízes complexas conjugadas (não reais) e as outras reais ou apenas raízes complexas 
(não reais), duas a duas conjugadas; 
4) Equação do 5º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas 
raízes complexas conjugadas e as outras reais ou pelo menos uma raiz real e as 
outras raízes complexas (não reais), duas a duas conjugadas. E assim 
sucessivamente; 
 
6 Fonte: <http://www.colegioweb.com.br/equacoes-algebricas/raizes-complexas.html#ixzz3jg7oSx7m>. 
Para ver a explicação desse teorema muito importante para a Álgebra, com exemplos, siga 
o link <https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial_and_rational/fundamental-
theorem-of-algebra/v/fundamental-theorem-of-algebra-intro>. 
Além da referência acima, sugiro a leitura dos seguintes textos: 
BROLESI, Fogliarino. Teorema Fundamental da Álgebra. Disponível em 
<http://www.profezequias.net/fabio-fogliarini-brolesi.pdf>.DELBONI, Roberta Regina & TORRES, Fernando. Teorema Fundamental da Álgebra. 
Disponível em 
<http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/TFA_RBTA.pdf>. 
45 
5) Uma equação algébrica de coeficientes reais possui sempre um número par de 
raízes complexas não reais; 
6) Qualquer equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar sempre terá pelo 
menos uma raiz real; 
7) Considere x + yi, sendo y ≠ 0, como a raiz da equação P(x) = 0, e x – yi não é a 
raiz dessa equação, nesse caso pelo menos um dos coeficientes de P não será real. 
EXEMPLOS 
1. Determine as raízes de x2 + 1=0. 
Solução: 
x2 + 1 – 1 = 0 – 1 
x2 = – 1 
 = 
x = 
Assim, as raízes são e , os quais são números complexos. 
2. Determine o valor do coeficiente k, sabendo que 2 é a raiz da equação: 
3x4+ kx3– 4x2+ x – 10 = 0. 
Solução: se 2 é raiz da equação, então temos: 
3(2)4+ k(2)3– 4(2)2+ 2 – 10 = 0 
3 16 + k 8 – 4 4 + 2 – 10 = 0 
48 + 8k – 16 + 2 – 10 = 0 
8k +24 = 0 
8k = -24 
k = -24/8 = -3 
Temos que o valor do coeficiente k é -3. 
3. Determine o valor do coeficiente k, sabendo que 2 é a raiz da equação: 
 
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0 
Se 2 é raiz da equação, então temos: 
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0 
2(16) + k(8) – 5(4) + 2 – 15 = 0 
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0 
8k + 34 – 35 = 0 
8k – 1 = 0 
8k = 1 
k = 1/8 
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8. 
 
4. Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 
= 0. 
 
Temos que: 
 
m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0 
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9 
– 19m = –19 
m = 1 
46 
TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO 
Todo polinômio P de grau n (n 1) P = 
 ( ) pode ser decomposto em 
n fatores do primeiro grau, isto é: 
P = onde são raízes de P. 
Em relação à ordem dos fatores, tal decomposição é única. 
Demonstração: 
Da existência. 
(I) Sendo P um polinômio de grau n 1, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, P 
tem ao menos uma raiz . Assim, P( ) = 0 e, de acordo com o teorema de 
D’Alembert, P é divisível por x- : P = (x ) . (1) onde é 
polinômio de grau n – 1 e coeficiente dominante . Se n = 1, então n – 1 = 0 e 
 é polinômio constante, portanto, e P = . 
(II) Se n 2, então n – 1 1 e o T.F.A. é aplicável ao polinômio , ou seja, tem 
ao menos uma raiz . Assim, e é divisível por Em outras 
palavras, . (2) 
Substituindo (2) em (1) resulta que: (3) onde é 
polinômio de grau n – 2 e coeficiente dominante . Se n = 2, isto é, n –2 = 0, 
então = e P = . 
(III) Após n aplicações sucessivas do T.F.A, chegamos na igualdade 
 (n) onde 
tem grau n – n = 0 e coeficiente dominante , portanto, = e 
 
Da unicidade. 
Suponhamos que P admita duas decomposições como segue: 
 
 
Tendo que os dois segundos membros como reduzidos e ordenados, temos que 
 e, pela definição de igualdade de 
polinômios, temos necessariamente: n = m e . 
Ficamos com a igualdade: 
 (I) fazendo 
x igual ao valor de , temos que a igualdade (I) se resume a 
)( )( )... ) e se o produto é nulo, um dos fatores é 
nulo. Assim, podemos colocar . 
A igualdade (I) se transforma em: 
 
47 
e, em seguida em, 
 
Substituindo x por , temos: 
0 = 
E, analogamente, um dos fatores é nulo; com uma conveniente mudança na ordem 
dos fatores, podemos colocar . 
Assim por diante, concluiríamos que para todo . 
As igualdades 
 
são a prova da unicidade da decomposição. (c.q.d.) 
Corolário. Toda equação polinomial de grau n (n 1) admite n, e somente n, raízes 
complexas. 
 
 
 
 
 
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ 
Dizemos que uma raiz r é de multiplicidade m, m 1, da equação P(x) = 0 se, e somente 
se, 
 
Ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o polinômio P é divisível por 
 e não é divisível por , ou melhor, a decomposição de P apresenta 
exatamente m fatores iguais a . 
EXEMPLO 
Fatorar o polinômio P = , sabendo que suas raízes são 1, -2, 2, -2i 
e 2i. 
Solução: 
Percebeu como pode ser bem interessante aplicar este teorema na busca do 
conjunto solução de uma equação polinomial? Veja o exemplo e as explicações 
dadas no link <https://www.youtube.com/watch?v=AssBjVCwXt8>. Ouça, 
com atenção, as explicações do professor. Bom estudo! 
48 
P = 5(x – 1)(x + 2)(x - 2)(x + 2i)(x – 2i) 
OBSERVAÇÃO 
 
Se m = 1, dizemos que r é raiz simples; se m = 2, dizemos que r é raiz dupla; e, 
se m = 3, dizemos que r é raiz tripla. 
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES REAIS 
1) Para uma equação do 2º grau 
Consideremos a equação do segundo grau cujas raízes são 
. 
Essa equação pode ser escrita na forma . 
Temos, assim, a identidade: 
 
Em outras palavras, 
 
Daí decorrem as relações entre raízes e coeficientes da equação como segue: 
 e 
2) Para uma equação do 3º grau: 
Consideremos a equação do terceiro grau cujas raízes 
são 
Vimos que essa equação pode ser escrita na forma: 
Pela identidade 
 
decorre que, 
 
O que nos dá as seguintes relações entre raízes e coeficientes da equação: 
 e 
49 
3) Para uma equação polinomial de grau n (n 1). 
Dada a equação cujas raízes 
são temos a identidade: 
 
 
 
 
 
 
Onde, = 
 
 = 
............................................................................................ 
 
............................................................................................ 
 
Essas relações entre raízes e coeficientes da equação P(x) = 0 são chamadas relações de Girard. 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
1) Calcular a soma e o produto das raízes da equação . 
Assim, 
 
 
2) Resolver a equação , sabendo que a soma de duas raízes é 1. 
Juntando o fato que o problema nos dá uma equação do terceiro grau, com 
, e que a soma de duas raízes é igual a 1, temos que: 
(I) 6 
Para assistir a resolução de alguns exercícios acesse o link 
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics>. 
Lá você vai encontrar explicações e exercícios que vão ajudar a sua 
compreensão do assunto. Bons estudos! 
50 
(II) 
(III) 
(IV) 
Usando (IV) em (I), temos 1 + = 6 => = 5. 
Substituindo em (III), temos que . 
De (IV) temos que (1 - = -2 . As raízes desta 
última equação são -1 e 2. 
Assim, se então e vice-versa. 
Resposta: a equação proposta tem como conjunto solução { -1, 2, 5}. 
Bem, com os exemplos acima, encerramos o capítulo do estudo de polinômios, neste 
módulo. Com certeza, o que você aprendeu aqui é muito importante para o aprendizado de 
outras áreas, bem como, para a resolução de problemas em outras temáticas. 
Parabéns pelo que conseguiu avançar até aqui! Continue, pois a persistência é um dos 
segredos do sucesso! Coragem e vamos adiante! 
No próximo tópico estudaremos a Trigonometria, suas funções, arcos notáveis, 
transformações, redução de ângulos ao primeiro quadrante, entre outros assuntos. Espero que 
tudo te pareça interessante e relevante. 
Sucesso nos estudos! Não perca de vista seu objetivo nesta disciplina, aprender mais 
alguns fundamentos da Matemática! 
 
51 
 
Vamos exercitar um pouco o que já desenvolvemos até aqui? 
 
 
ATIVIDADES PROPOSTAS I7 
 
 
 
 
1. Quais das expressões representam um polinômio na variável x? Justifique. 
a. ; 
b. 20; 
c. ; 
d. ; 
e. 
2. Dada a função polinomial determine: 
a. f(1); 
b. f(-1); 
c. f(0); 
d. f(f(3)); 
e. f(x - 1). 
3. Determine a, b, c de modo que se tenha para todo x real . 
4. Dado o polinômio , calcule o valor p(1 + a). 
5. Determine os reais a, b e c de modo que seja 
o polinômio nulo. 
6. (PUC) A produção diária de um certo produto por um determinado operário é avaliada 
por: Produção = 8x + 9x2 – x3 unidades, x horas após as 8 horas da manhã, quando 
começa o seu turno. Qual a produção durante a quarta hora de trabalho? 
7. Relacione as duas colunas de maneira a cada polinômio esteja associado o seu grau 
Polinômio Grau do polinômio 
7.1 p(x) = 5x4 – x3 + 12x5 - 8 a. 5º 
7.2 p(x) = x7 + x9+ x3 + 3 b. 10º 
7.3 p(x) = x4 – 2x3 + 3x8 c. 6º 
7.4 p(x) = 15x5 + x3 + 2x6 - 9 d. 9º 
7.5 p(x) = 5x4 – x7 + 2x5 e. 8º 
7.6 p(x) = 5x10 – x3 + 10x5 + 5 f. 7º 
 
7 GABARITO: as respostas das questões propostas neste módulo serão postadas na página da 
disciplina, no AVA do curso. 
52 
8. (Mackenzie – SP) Determine , para que o polinômio 
 seja de grau 2. 
9. Determine (f+g)(x), (f-g)(x) tendo f(x) = x5 + x2 – x + 2 e g(x) = x3 – x2 + x + 1. 
10. Dados f(x) = (4x2 – 7x + 2), g(x)= (3x2 + 2x + 3) e h(x) = (2x2 – x + 6), calcule f(x) + 
g(x) – h(x). 
11. (UP 2013) Sejam os polinômios reais, na variável x, A(x) = ax3 + 4x2 +bx - 5 e B(x) = 
4x2 + x + c. Se os polinômio A(x) e B(x) são idênticos, ou seja, B(x) ≡ A(x), determine 
o valor de (b – a – c). 
12. (FEI-SP) Determine A, B e C na decomposição . 
13. Mostre que os polinômios f = ( +1)( +1) e g(x) = x4 + 1 são iguais 
(IEZZI, 2005, p.65). 
14. Sendo os polinômios , 
determine: 
a. A + B; b. B-A; c. A + B + C; 
d. A + C; e. –B-C; f. C – B - A; 
g. B + C; h. C-A; i. B – A - C; 
j. A – C; k. B - C; l. A + B - C. 
15. (UCSal-BA) Sejam os polinômios . 
Efetuando-se p + q.r, obtém-se: 
a. ; 
b. ; 
c. ; 
d. ; 
e. . 
16. Efetue as multiplicações8 : 
a. 3y(4x2 – 2x3 – 7); 
b. (x4-3x2-5x +1)(-4x); 
c. 2x(y2 + xy + 1); 
d. 4ab(a2 + b2 – ab); 
e. 4xy2(4x + y + 1). 
17. Efetue as divisões a seguir: 
a. ; 
b. ; 
c. . 
18. (UFMG) O quociente da divisão de por é: 
a. x-5; 
 
8 Disponível em 
<http://fatecsjc.edu.br/ead/pluginfile.php/9399/mod_resource/content/1/9%20Exerc%C3%ADcios%20so
bre%20Multiplica%C3%A7%C3%A3o%20e%20divis%C3%A3o%20de%20polinomios.pdf>. 
53 
b. x-1; 
c. x+5; 
d. 4x-5; 
e. 4x+8. 
19. Sendo e , resolva as 
operações e dê o grau dos polinômios resultantes: 
a. p(x) + q(x); 
b. q(x) – p(x); 
c. p(x) – 2q(x); 
d. p(x).q(x); 
e. [p(x)]2; 
f. p(x)/q(x). 
20. (PUC – SP) Sendo x3 + 1 = (x+1)(x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, 
respectivamente: 
a. -1 e -1; 
b. 0 e 0; 
c. 1 e 1; 
d. 1 e -1; 
e. -1 e 1. 
21. Considerando os polinômios: , e 
. Se , então = 20. (Questão 
baseada em prova da Universidade Federal da Bahia). 
22. (UFGO) Associe a cada uma das alternativa abaixo a letra V se, for verdadeira e a letra 
F se for falsa. 
I. A soma de dois polinômios do 3º grau é sempre um polinômio do 3º grau; 
II. O produto de um polinômio do 2º grau por um do 3º é sempre um polinômio do 6º grau; 
III. A diferença entre um polinômio do 3º grau e um do 2º grau é sempre um polinômio do 
3º grau; 
IV. O resto da divisão de um polinômio do 3º grau por um do 2º grau é sempre um 
polinômio do 1º grau. 
Na ordem apresentada, tem-se: 
a. FFVV; 
b. FFVF; 
c. VVFF; 
d. VVVF; 
e. VFVF. 
23. (Cescem – SP) Dividindo-se p(x) por (x – 3) resulta um resto -7 e um quociente (x – 4). 
Qual é o polinômio p(x)? 
a. x2 – 7x + 5; 
b. 2x; 
c. ; 
d. 2x2 – x + 14; 
e. 2x2 – 14x + 10. 
24. (Cescem – SP) Dividindo (x3 – 4x2 + 7x – 3) por um certo polinômio p(x), obtemos o 
quociente (x-1) e o resto (2x – 1). O polinômio p(x) é igual a: 
a. 2x2 – 3x + 2; 
54 
b. x2 – 3x + 2; 
c. x2 – x + 1; 
d. 2x2 – 3x + 1; 
e. n.d.a. 
25. (UFAM) A divisão de por apresenta o quociente 
. Os valores de a, b e c são, respectivamente: 
a. 1, 2 e 3; 
b. 1, -2 e -3; 
c. 1, 2 e 3; 
d. -1, 2 e 3. 
26. (UFSC) os números m e n são tais que o polinômio é 
divisível por . O valor de m + n é __________. 
27. (UFSC) Qual o valor de a para que o polinômio seja 
divisível por ? 
28. (UFSC) Determine o resto da divisão do polinômio por x + 3. 
29. (UFPI) O resto da divisão de k por x + 2k é: 
a. -2k – 1; 
b. k – 1; 
c. 4k2 – 4k – 1; 
d. k3 – k – 1; 
e. 4k3 – 2k – 1. 
30. Se o polinômio é divisível por x – 1, então uma das raízes da equação 
 é: 
a. 2; 
b. 0; 
c. 3; 
d. -3; 
e. -2. 
31. (UFSC) Sabendo-se que uma das três raízes da equação é 
igual a ½, determine a soma das outras duas raízes. 
32. (UFAL) Uma das raízes da equação é -3. As demais raízes 
são: 
a. -5 e 1; 
b. -1 e 4; 
c. -1 e 5; 
d. 1 e 4; 
e. 2 e 4. 
33. (UFAL) A equação tem duas raízes opostas. A soma de suas 
raízes negativas é: 
a. -6; 
b. -5; 
c. -3; 
d. -2; 
e. -1. 
55 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Figura 9: representação do círculo trigonométrico9. 
 
Nesta parte do assunto, trataremos do estudo responsável pela relação existente entre os 
lados e os ângulos de um triângulo. Pois é, a Trigonometria estuda as relações existentes em um 
triângulo. 
Vendo a figura acima, que mostra um círculo com inúmeros triângulos representados a 
partir da marcação de alguns pontos notáveis sobre o círculo, é possível ver triângulos 
retângulos (são os que possuem um ângulo de 90º) e os ângulos notáveis do tipo 30º, 45º e 60º. 
 
UM POUCO DE HISTÓRIA... 
Os primeiros a estudarem as relações entre lados e ângulos foram os povos babilônicos e 
egípcios, sendo, posteriormente, desenvolvidos pelos gregos e indianos. Muito se desenvolveu 
desde então e com a utilização do Teorema de Pitágoras (atualmente) os estudos 
trigonométricos ganharam novo fôlego, pois o seu uso permitiu o surgimento de fórmulas 
teóricas que auxiliam a solução de situações em muitos casos da vida cotidiana. 
Mas com que objetivo se desenvolveu a Trigonometria? A Trigonometria teve como 
objetivo elaborar estudos de funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e fenômenos 
periódicos. Não se sabe ao certo quando se deu sua origem, mas é possível identificar problemas 
 
9 Fonte: Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria.htm>. 
 
56 
que envolviam a Astronomia, a Agrimensura e as grandes Navegações, por volta do século IV 
ou V a.C. E, conforme ressalta Boyer: 
A trigonometria de Viète, como sua álgebra, era caracterizada por uma 
ênfase maior sobre generalidade e largueza de visão. Assim como 
Viète foi o verdadeiro fundador de uma álgebra literal, também com 
alguma justificação pode ser chamado o pai de uma abordagem 
analítica generalizada para a trigonometria que às vezes é chamada 
goniometria10. Aqui também, é claro, Viète partiu da obra de seus 
predecessores, notadamente Regiomontanus e Rheticus. Como o 
primeiro, ele considerava a trigonometria um ramo independente da 
matemática; como o segundo, ele em geral trabalhava sem referência 
direta a meias cordas num círculo (BOYER, 2005, p. 225-226). 
É possível perceber que, como tantas outras áreas do conhecimento, o estudo das relações 
entre lados e ângulos de um triângulo foi se desenvolvendo pela contribuição direta ou indireta 
de vários pesquisadores e, a partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas 
situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. 
Havia considerável entusiasmo pela trigonometria no fim do século 
dezesseis e começo do (século) dezessete, mas tomou a forma 
primariamente de sínteses e livros de texto. Foi durante esse período 
que o nome "trigonometria" veio a ser dado ao assunto. Foi usado 
como título de uma exposição por Bartholomeu Pitiscus (1561-1613) 
que foi publicada pela primeira vez em 1595 como suplemento a um 
livro sobre esféricas e, novamente, em separado, em 1600, 1606 e 
1612. Por coincidência [ou não] o desenvolvimento dos logaritmos, a 
partir daí sempre aliados da trigonometria, estava também tendo lugar 
durante esses anos (BOYER, 2005, p. 228). 
Assim, com a função de estabelecer quais as relações entre ângulos e medidas dos lados 
de um triângulo e os fenômenos que se manifestam periodicamente, a trigonometria surge e se 
utiliza da criação e aprimoramento de cálculos que o subsidiaram como o Cálculo diferencial e 
integral (por Isaac Newton e Leibniz), se estabelecendo como ramo importante da Matemática. 
Vale destacar que a trigonometria se aplica, direta ou indiretamente,