Apostila Administração Financeira

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UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ – UNOCHAPECÓ 
Disciplina: Administração Financeira / ACSA 
 
 
 
Organização: Professor: José Valci Pereira Rios email: jvprios@unochapeco.edu.br 
Professor: Fabiano Marcos Bagatini email: bagatini@unochapeco.edu.br 
 
 
 
ADMINISTRAÇÃO 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com utilização da calculadora financeira HP 12-C 
 
 
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ÍNDICE 
 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 3 
CONHECENDO A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12-C ........................................................................................ 3 
Primeiro Contato .................................................................................................................................................. 3 
Noções das Funções Básicas da Calculadora Financeira HP 12-C .................................................................. 4 
TECLA [ON] ..................................................................................................................................................................... 4 
INDICADOR DE CARGA DA BATERIA ...................................................................................................................... 4 
AUTO-TESTE DOS CIRCUITOS ................................................................................................................................... 4 
FUNÇÕES PRIMÁRIAS e FUNÇÕES SECUNDÁRIAS............................................................................................... 4 
PONTO DECIMAL ........................................................................................................................................................... 5 
FORMATOS PARA APRESENTAÇÃO DE NÚMEROS ............................................................................................. 5 
ARREDONDAMENTO [RND]......................................................................................................................................... 6 
TROCA DE SINAL [CHS] ................................................................................................................................................ 6 
FUNÇÕES DE “LIMPEZA” ............................................................................................................................................. 7 
TEMPOS FRACIONADOS .............................................................................................................................................. 7 
FUNÇÃO DATA ................................................................................................................................................................ 7 
POTÊNCIA DE UM NÚMERO [ yx ] ............................................................................................................................... 8 
INVERSO DE UM NÚMERO [1/x] .................................................................................................................................. 8 
FUNÇÕES PERCENTUAIS  [ % ] [%] [%T] ....................................................................................................... 8 
PERCENTUAL DE UM NÚMERO - Tecla [ % ] .......................................................................................................... 8 
DIFERENÇA PERCENTUAL - Tecla [%] .................................................................................................................. 9 
DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL - Tecla [%T] ....................................................................................................... 10 
ARMAZENAMENTO DE DADOS ................................................................................................................................ 11 
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NOS REGISTROS .................................................................................................... 11 
PILHA OPERACIONAL ................................................................................................................................................ 12 
INVERSÃO DOS REGISTROS “X” E “Y” Tecla [X >< Y] .......................................................................................... 13 
TECLA [ R ] ............................................................................................................................................................... 13 
CÁLCULO EM CADEIA ................................................................................................................................................ 14 
EXERCÍCIOS: ................................................................................................................................................................. 14 
CÓDIGOS DE ERRO DA HP 12 C ................................................................................................................................ 16 
CONCEITOS E SIMBOLOGIAS UTILIZADAS ............................................................................................................. 17 
Capital................................................................................................................................................................. 17 
Montante ............................................................................................................................................................. 17 
Juros ................................................................................................................................................................... 17 
Juros Simples ..................................................................................................................................................... 17 
Juros Compostos ................................................................................................................................................ 17 
Taxa .................................................................................................................................................................... 17 
Taxa Nominal ..................................................................................................................................................... 18 
Taxa Efetiva ....................................................................................................................................................... 18 
Taxa Equivalente ............................................................................................................................................... 18 
Taxa Real ............................................................................................................................................................ 18 
Juro exato e Juro Comercial ............................................................................................................................. 19 
Compatibilidade Temporal ................................................................................................................................. 19 
Fluxo de Caixa ................................................................................................................................................... 19 
Diagrama do Fluxo de Caixa ............................................................................................................................. 19 
UNIDADE I – JUROS SIMPLES ............................................................................................................................ 20 
1.1 - CONCEITOS .....................................................................................................................................................20 
1.2 - CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES ....................................................................................................................... 20 
1.3 – MONTANTE NO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ............................................................................... 24 
1.4 – TAXA PROPORCIONAL EM JUROS SIMPLES .................................................................................................. 26 
1.5 – TAXA ACUMULADA EM JUROS SIMPLES ....................................................................................................... 27 
1.6 – TAXA MÉDIA EM JUROS SIMPLES ................................................................................................................. 27 
1.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS – JUROS SIMPLES .................................................................................................. 28 
GABARITO EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .................................................................................................................... 29 
UNIDADE II – DESCONTO SIMPLES ................................................................................................................. 30 
 
 
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22 
2.1 – CONCEITO ...................................................................................................................................................... 30 
2.2 – DESCONTO SIMPLES RACIONAL (POR DENTRO) ........................................................................................... 31 
2.3 – DESCONTO SIMPLES COMERCIAL E BANCÁRIO (POR FORA) ....................................................................... 34 
2.3.1 – Desconto Simples Comercial (por fora) ................................................................................................. 34 
2.3.2 – Desconto Simples Bancário (por fora) .................................................................................................. 36 
2.4 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................................... 38 
UNIDADE III – JUROS COMPOSTOS ................................................................................................................. 40 
3.1 - CONCEITOS ..................................................................................................................................................... 40 
3.2 – FLUXO DE CAIXA ........................................................................................................................................... 40 
3.3 – CÁLCULOS EM JUROS COMPOSTOS............................................................................................................... 40 
3.4 – TAXAS EM JUROS COMPOSTOS ..................................................................................................................... 43 
3.4.1 – Conceito .................................................................................................................................................. 43 
3.4.2 – Taxa Nominal ......................................................................................................................................... 44 
3.4.3 – Taxa Efetiva ........................................................................................................................................... 44 
3.4.4 – Taxa Real ................................................................................................................................................ 45 
3.4.5 – Taxa Acumulada .................................................................................................................................... 47 
3.4.6 – Taxa Média ............................................................................................................................................. 47 
3.4.7 – Taxas Equivalentes em Juros Compostos ............................................................................................. 47 
3.5 – EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS ............................................................................................................................ 49 
3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS – JUROS COMPOSTOS ............................................................................................ 50 
UNIDADE IV – SÉRIES DE PAGAMENTOS ...................................................................................................... 52 
4.1 – CONCEITOS .................................................................................................................................................... 52 
4.2 – SÉRIES UNIFORMES ....................................................................................................................................... 52 
4.2.1 – Séries Postecipadas ................................................................................................................................ 52 
4.2.2 – Séries Antecipadas.................................................................................................................................. 53 
4.3 – EXERCÍCIOS – SÉRIES DE PAGAMENTOS: ................................................................................................. 55 
UNIDADE V – RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ............................................................................................. 58 
5.1 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EM JUROS COMPOSTOS ................................................................................. 58 
5.2 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ............................................................................ 59 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Conhecendo a Calculadora Financeira HP 12-C 
 
Primeiro Contato 
REG
P/R
DBSL SOYD
PRGM FIN PREFIX
Entrada
Dados
Acesso às
Memórias
Função
Azul
Função
Dourada
Liga
Desliga
IRRRNDNPVAMORT INT
IRRRNDNPVAMORT INT
YTMPRICE
 
 
 
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Noções das Funções Básicas da Calculadora Financeira HP 12-C 
 
TECLA [ON] 
 
A tecla [ON] permite ligar e desligar a calculadora. Caso fique ligada por mais de seis minutos sem uso, 
ela desligar-se-á automaticamente. 
 
INDICADOR DE CARGA DA BATERIA 
 
Quando a carga da bateria da calculadora está fraca, ao ligar aparecerá um asterisco (*) piscando no canto 
superior esquerdo do visor. 
 
AUTO-TESTE DOS CIRCUITOS 
 
Para saber se a calculadora está funcionando normalmente, existem alguns procedimentos de teste que 
podem ser efetuados, como: 
 
Teste automático: com a calculadora desligada, pressione e mantenha pressionada a tecla [x] (ou [+]) e 
depois ligue a HP12C, pressionando a tecla [ON]. Solte a tecla [ON] e depois a tecla [x] (ou [+]). Um 
auto-teste será realizado. Se o mecanismo da máquina estiver funcionando corretamente, dentro de 
aproximadamente 25 segundos (durante os quais no visor será exibido a palavra "running" piscando) 
todos os indicadores do visor serão exibidos (a exceção do * : indicador de bateria fraca). Se aparecer a 
expressão "Error 9" ou não aparecer nada, a calculadora está com problemas; 
 
Teste semi-automático: com a calculadora desligada, pressione e mantenha pressionada a tecla [÷] e 
depoisligue a HP12C, pressionando a tecla [ON]. Solte a tecla [ON] e depois a tecla [÷]. Para verificar 
todas as teclas da HP, nesta opção de teste é necessário pressionar TODAS as teclas da máquina, da 
esquerda para a direita, de cima para baixo. Ou seja, é necessário pressionar todas as teclas, da tecla [N] 
até a tecla [÷], depois da tecla [yx] até a tecla [x], da tecla [R/S] até a tecla [-], pressionando, na 
passagem, a tecla [ENTER] e, por último, da tecla [ON] até a tecla [+], passando, também, pela tecla 
[ENTER]. Assim, a tecla [ENTER] deverá ser pressionada em duas passagens distintas. 
 
De forma similar ao teste anterior, se o mecanismo da máquina estiver funcionando corretamente, após 
pressionar todas as teclas na ordem descrita, o visor indicará o número 12 no centro. Se aparecer a 
expressão "Error 9" não aparecer nada, a calculadora está com problemas. 
 
FUNÇÕES PRIMÁRIAS e FUNÇÕES SECUNDÁRIAS 
 
Algumas teclas da calculadora financeira HP 12-C possuem mais de uma função. A tecla [PV], por 
exemplo, possui a função da face da tecla, em BRANCO [PV], denominada de função primária; logo 
acima, em AMARELO a função [NPV] e, logo abaixo, em AZUL a função [CFo], denominadas de 
funções secundárias. 
Para usarmos as funções primárias das teclas da calculadora financeira, pressionamos a tecla [ f ] para 
funções em amarelo e [ g ] para funções em azul. 
 
 
 
 Função Secundária 
 Função Primária 
 Função Secundária 
Exemplo: Para usarmos a função [NPV], pressionamos [ f ] [NPV] 
Para usarmos a função [CFo], pressionamos [ g ] [CFo] 
 
 
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PONTO DECIMAL 
 
A calculadora financeira HP 12-C, quando ligada pela primeira vez, apresenta um ponto separando os 
inteiros da parte fracionária: 
 
 0.00
 
 
Se digitarmos a seqüência numérica 1234567890 aparecerá no visor: 
 
 1,234,567,890. 
 
Os números digitados são apresentados segundo a notação americana, que utiliza o ponto para separar a 
parte inteira da decimal e vírgula para separar os milhares. A notação usada no Brasil vale-se da vírgula 
para separar a parte inteira da decimal e ponto na parte inteira separando milhares. 
 
Para passar de ponto para vírgula, e vice-versa: 
1 – desligue a calculadora [ON] 
2 – pressione [ . ] e mantenha pressionado. 
3 – ligue a calculadora com [ . ] pressionado. 
 
O visor apresentará: 1.234.567.890, 
 
FORMATOS PARA APRESENTAÇÃO DE NÚMEROS 
 
Pressionando-se a tecla [CLx] o visor será zerado. Para colocar na máquina o valor 1.234,567899, 
digitamos 1 2 3 4 [ . ] 5 6 7 8 9 9 
Visor: 1.234,567899 
 
A calculadora coloca o ponto na parte inteira. 
 
Ao pressionar a tecla [ENTER] no visor aparecerá: 
 
A calculadora apresenta o número com duas casas decimais, em seu estado inicial de funcionamento, ou 
seja, com duas casas decimais. 
Para alterar o número de casas decimais apresentados no visor, pressione a tecla de função [ f ] e o 
número correspondente ao formato pretendido. 
 
Exemplos A: 
Tecla Visor 
 
[ f ] 3 1.234,568 
[ f ] 9 1.234,567899 
[ f ] 0 1.235 
[ f ] 1 1.234,6 
 
Importante: Esta função serve apenas para alterar o número de casas decimais a ser apresentado no visor 
da calculadora. Não é efetuado o arredondamento do número. Note que o número apresentado no visor 
utiliza o critério de arredondamento estatístico, ou seja, se o número no registro interno posterior à última 
casa decimal fixada for igual ou superior a cinco, haverá aumento de uma unidade na última casa decimal. 
Caso contrário permanecerá sem mudança. 
1.234,57
 
 
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Exemplos B: 
Tecla Visor 
 
[CLx] Limpa visor 
[ f ] [ 9 ] 0,000000000 
0 [ . ] 0001256 0,000125600 
[ f ] [ 7 ] 0,0001256 
[ f ] [ 5 ] 0,00013 
[ f ] [ 4 ] 0,0001 
[ f ] [ 3 ] 0,0001 
[ f ] [ 2 ] 0,0001 
[ f ] [ 0 ] 0,0001 
 
Quando se diminui a formatação além da ordem de grandeza do número a máquina não obedece, pois isso 
implicaria na falta de informação sobre o número. 
 
ARREDONDAMENTO [RND] 
 
Pressionando-se a tecla [ f ] [RND] (função secundária da tecla [PMT] ) é possível efetuar o 
arredondamento de um número com a quantidade de casas decimais pretendidas. 
 
Exemplo: 
 
Pressionando-se os números 1 2 3 [ . ] 4 5 6 7 8 9 [ENTER] o visor apresentará o número 123,46 - 
caso a calculadora esteja configurada para duas casas decimais. Para apresentar o número com 5 casas 
decimais é necessário pressionar as teclas [ f ] [ 5 ], assim o visor mostrará o número 123,45679. Para 
arredondar o número para 3 casas decimais é necessário pressionar a seguinte seqüência de teclas: 
 
Tecla Visor 
 
[CLx] Limpa visor 
1 2 3 [ . ] 4 5 6 7 8 9 123,456789 
[ f ] [ 5 ] 123,45679 
[ f ] [ 3 ] 123,457 
[ f ] [RND] 123,457 (não ocorre alteração no visor da calculadora) 
[ f ] [ 9 ] 123,4570000 (note que o número no visor está arredondado para 3 casas 
decimais) 
 
TROCA DE SINAL [CHS] 
 
A troca de sinal, de positivo para negativo, ou vice versa é feita ao se pressionar a tecla [CHS] 
 
Tecla Visor 
 
[CLx] Limpa visor 
[ f ] [ 2 ] 0,00 
5 5 5 555,00 
[CHS] -555,00 
[CHS] 555,00 
 
 
 
 
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77 
FUNÇÕES DE “LIMPEZA” 
 
As funções de limpeza (Clear) agrupadas no teclado em letras douradas serão referenciadas ao longo 
desta apostila precedida da palavra “CLEAR”. Exemplo: CLEAR [FIN] ou [ f ] CLEAR [FIN]. 
 
 
 
 
TEMPOS FRACIONADOS 
 
Para ajustar a calculadora para a convenção exponencial é preciso pressionar as teclas [STO] [EEX]. Pela 
convenção exponencial a operação será integralmente executada a juros compostos. Aparecerá um “c” no 
visor. 
 
D.MY C
0,00
 
 
FUNÇÃO DATA 
 
Para ajustar a calculadora aos cálculos de datas na configuração brasileira deve-se pressionar as teclas 
[ g ] [D.MY]. No visor aparecerá a expressão “D.MY”. 
 
Exemplos para aplicação da função azul das teclas [DATE] e [ DYS] 
 
Exemplo a) Utilizando a data 25/02/2011 como base identificar qual será a data e o dia da semana se 
acrescentarmos 73 dias. 
 
1) digitar 2 5 [ . ] 0 2 2 0 1 1 [ENTER] 
 
2) digitar 7 3 [ g ] [DATE] aparecerá no visor 9.05.2011 1 (segunda-feira). 
 
Exemplo b) Utilizando a data 25/02/2011 como base identificar qual será a data e o dia da semana se 
subtrairmos 73 dias. 
 
1) digitar 2 5 [ . ] 0 2 2 0 1 1 [ENTER] 
 
2) digitar 7 3 [CHS] [ g ] [DATE] aparecerá no visor 14.12.2010 2 (terça-feira). 
 
Exemplo c) Calcular o intervalo de dias entre as datas 25/02/2011 e 20/10/2011. 
 
1) digitar 2 5 [ . ] 0 2 2 0 1 1 [ENTER] 
2) digitar 2 0 [ . ] 1 0 2 0 1 1 [ g ] [ DYS] - aparecerá no visor 237,00 
 
 
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88 
POTÊNCIA DE UM NÚMERO [ y
x 
] 
 
A função [ y
x 
] eleva um número “y” à potência “x”, onde “y” e “x” são números reais. Comoo expoente 
pode ser um número menor que um, esta função permite extrair a raiz de qualquer ordem de um número. 
Os modelos financeiros com base no sistema de juros compostos, em sua maioria, usam as funções de 
potência e radiciação. A calculadora HP 12C calcula a potência de um número quando a base está no 
registro “Y” e o expoente em “X”. 
 
Exemplo:  623,1  [ yx ] 
 
Antes de realizarmos a operação, vamos “limpar” todos os registros da calculadora e definir a 
apresentação de duas casas decimais: 
 
[ f ] CLEAR [REG] Limpeza de todos os registros 
[ f ] 2 Apresentação dos dados com 2 casas decimais 
 
Y 0,00 1,23 1,23 0,00
X 1,23 1,23 6 3,46
1.23 [ENTER] 6 [ y
x
 ] 
 
INVERSO DE UM NÚMERO [1/x] 
 
O inverso de um número é realizado pela função [1/x]. Inverte o número que está no visor, onde apresenta 
o resultado. 
 
Operação  
8
1
y  [1/x] 
 
[ f ] CLEAR [REG] 
 
Y 0,00 0,00 0,00
X 8,00 0,13 0,125
8 [ 1/x ] [ f ] 3 
 
 
FUNÇÕES PERCENTUAIS  [ % ] [%] [%T] 
 
Quando realizamos cálculos utilizando as funções percentuais a calculadora, após o cálculo, retém o valor 
base no registro “y”. 
 
 
PERCENTUAL DE UM NÚMERO - Tecla [ % ] 
 
Calcula o valor percentual em X em relação à base Y. 
 
Exemplo 01: Quanto é 15% de R$ 205,00? 
 
100
Ci
 
100
15
205x = R$ 30,75 
 
 
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99 
Y 0,00 205,00 205,00 205,00
X 205 205,00 15 30,75
205 [ENTER] 15 [ % ] 
 
Observe que a calculadora manteve o valor base (205,00) no registro “y”. Dessa forma é possível 
adicionar ou subtrair o valor do percentual calculado com o valor base. 
 
Exemplo 02: Apliquei R$ 2.000,00 durante 1 mês, a juros de 5% ao mês. Qual o valor do resgate? 
 
Utilizando-se da condição de retenção do valor base na calculadora basta calcular o percentual sobre o 
valor aplicado e pressionar a tecla de adição [ + ]. Como resultado temos o valor do Capital acrescido do 
valor dos Juros, ou seja, o valor de Resgate ou Montante. 
 
Y 0,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 0,00
X 2000 2.000,00 5 100,00 2.100,00
2000 [ENTER] 5 [ % ] [ + ] 
 
Exemplo 03: Tenho uma dívida de R$ 4.500,00 e para liquidá-la hoje o credor está disposto a me 
conceder um desconto de 3,5%. Qual o valor líquido para quitar a dívida hoje? 
 
Y 0,00 4.500,00 4.500,00 4.500,00 0,00
X 4500 4.500,00 3,5 157,50 4.342,50
4500 [ENTER] 3,5 [ % ] [ - ] 
 
DIFERENÇA PERCENTUAL - Tecla [%] 
 
A diferença percentual entre dois valores, tomando-se como base o valor antigo, ou valor base – 
armazenado no registro “Y” -, é efetuada pela calculadora, considerando a expressão: 
 
100
""
""""
% x
yantigovalor
yantigovalorxvalornovo









 
 
Essa função da calculadora pode ser usada para cálculo Análise Horizontal das Demonstrações 
Financeiras. Quando o valor atual for maior que o valor base o resultado será positivo, indicando 
incremento de valor. Quando o valor atual for menor que o valor base o resultado será negativo, 
indicando uma redução de valor. 
 
Exemplo 01: A conta Caixa de determinada empresa, fechou em 1020 com saldo de R$ 9.430,00. O 
fechamento dessa conta no final de 2011 foi de R$ 10.128,00. Qual a diferença percentual da conta Caixa 
entre os fechamentos de 2010 e 2011? 
 
100
00,430.9
00,430.900,128.10
% x

  7,40% 
 
Y 0,00 9.430,00 9.430,00 9.430,00
X 9430 9.430,00 10.128 7,40
9430 [ENTER] 10128 [ % ] 
 
Houve um incremento na conta Caixa, entre os exercícios de 2010 e 2011, de 7,40%. 
 
 
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1100 
Exemplo 02: A conta Estoques da empresa do exemplo anterior, fechou em 1020 com saldo de R$ 
238.430,00. O fechamento dessa conta no final de 2011 foi de R$ 197.120,00. Qual a diferença percentual 
da conta Estoques entre os fechamentos de 2010 e 2011? 
 
Y 0,00 238.430,00 238.430,00 238.430,00
X 238430 238.430,00 197.120 -17,33
238430 [ENTER] 197120 [ % ] 
 
Houve uma redução da conta Estoques, no período analisado, de 17,33%. 
 
DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL - Tecla [%T] 
 
O percentual de uma parcela “X”, tomando-se como base um total “Y”, é obtido pela fórmula: 
 
100
""
""
% x
ÿtotal
xparcela
T 





 
 
Exemplo 01: O acompanhamento de vendas diárias da Loja Azul registrou os seguintes valores na última 
semana: 
 
DIA DA SEMANA VALOR R$ 
Segunda-Feira 12.430,00 
Terça-Feira 15.680,00 
Quarta-Feira 9.110,00 
Quinta-Feira 5.370,00 
Sexta-Feira 19.400,00 
Sábado 23.610,00 
TOTAL 85.600,00 
 
 
Qual o percentual de vendas diárias em relação ao total da semana? 
 
100
00,600.85
00,430.12
xFeiraSegunda   14,52% 
 
Utilizando a função da calculadora: Função [%T] 
 
TECLA VISOR COMENTÁRIOS
[ f ] [REG] [ f ] 2 0,00 Zera Registros; Duas casas decimais DIA DA SEMANA VALOR R$ %
85600 [ENTER] 85.600,00 Insere valor total da série Segunda-Feira 12.430,00 14,52%
12430 [%T] 14,52 % primeira parcela Terça-Feira 15.680,00 18,32%
[CLx] 15680 [%T] 18,32 % segunda parcela Quarta-Feira 9.110,00 10,64%
[CLx] 9110 [%T] 10,64 % terceira parcela Quinta-Feira 5.370,00 6,27%
[CLx] 5370 [%T] 6,27 % quarta parcela Sexta-Feira 19.400,00 22,66%
[CLx] 19400 [%T] 22,66 % quinta parcela Sábado 23.610,00 27,58%
[CLx] 23610 [%T] 27,58 % sexta parcela TOTAL 85.600,00 100,00%
 
 
 
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1111 
ARMAZENAMENTO DE DADOS 
 
Existem vinte memórias que servem para guardar dados, formadas pelos registros: 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , 9 e 
.0 , .1 , .2 , .3 , . . . .9 . 
 
Para armazenar um valor é necessário pressionar a tecla [STO] seguida do número 0 a 9 ou .0 a .9 
(memória utilizada). 
 
A recuperação dos valores armazenados nas memórias é feita através da tecla [RCL] seguido do número 
0 a 9 ou .0 a .9 (memória utilizada). O número permanece armazenado na memória. 
 
 
Exemplos: 
 
- Armazenar 2.150 na memória (1) 
- Armazenar 1.200 na memória (3) 
- Armazenar 200 na memória (.0) 
- Conferir a memória 3 
- Conferir a memória 1 
- Conferir a memória .0 
- Conferir, novamente, a memória 3 
 
Y 0,00 0,00 2.150,00 2.150,00 1.200,00 1.200,00 200,00 1.200,00 2.150,00 200,00
X 2150 2.150,00 1.200 1.200,00 200,00 200,00 1.200,00 2.150,00 200,00 1.200,00
2150 [STO] 1 1200 [STO] 3 200 [STO] .0 [RCL] 3 [RCL] 1 [RCL] .0 [RCL] 3 
 
Note que a função [RCL] mostra o valor armazenado no registro e não o elimina. O valor continua armazenado na 
memória. 
 
Um valor é armazenado nos registros financeiros quando se encontra no visor e pressiona-se a tecla 
correspondente a um desses registros financeiros  [ n ] [ i ] [PV] [PMT] [FV]. 
 
Recupera-se o valor armazenado, pressionando-se a tecla [RCL], seguida do “nome” do registro 
financeiro. 
 
Y
X 0,00 3.491,00 3.491,00 0,00 3.491,00 3.491,00 0,00
[ f ] CLEAR [FIN] 3.491 [PV] [CLx] [RCL] [PV] [ f ] CLEAR [FIN] [RCL] [PV] 
 
A função de limpeza [ f ] CLEAR [FIN] zeram os conteúdos das memórias, mas o número no visor não 
desaparece. 
 
 
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NOS REGISTROS 
 
Os cinco registros aritméticos ( 0 , 1 , 2 , 3 e 4 ) podem armazenar os resultados das operações de soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
As operaçõessão feitas considerando os valores dos registros aritméticos e o visor. O resultado de uma 
operação fica no registro aritmético e a parcela que estava no visor permanece. 
 
 STO { Operação } { Registro aritmético } 
 
 
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1122 
Ex.: Limpar os registros Financeiros = [ f ] CLEAR [FIN] 
Armazenar 500 no registro 1 = 500 [STO] 1 
 Somar 200 aos 500 armazenados = 200 [STO] [ + ] 1 
 Multiplicar por 4 o valor armazenado em 1 = 4 [STO] [ X ] 1 
 Para conferir = RCL 1 = Visor 2.800,00 
 
Y
X 0,00 500,00 500,00 200,00 200,00 700,00 4,00 4,00 2.800,00
[ f ] CLEAR [FIN] 500 [STO] 1 200 [STO] [ + ] 1 [RCL] 1 4 [STO] [ X ] 1 [RCL] 1
 
 
A mensagem “Error 4” aparece no visor toda vez que se pede à calculadora para fazer uma operação 
aritmética com os registros: 5 a 9, .0 a .9 
 
PILHA OPERACIONAL 
 
A Pilha Operacional é formada de quatro registros iguais com o objetivo de facilitar os cálculos em 
cadeia, trabalhando como se estivessem superpostos: 
 
 
Nos registros X e Y ocorrem as operações de cálculo. 
 
Os registros Z e T servem para guardar valores intermediários de cálculos ou simples dados. 
 
A pilha possui meios de deslocamento dos conteúdos dos registros para cima e para baixo, que atuam 
segundo quatro regras básicas: 
 
1) [ENTER]  desloca o conteúdo dos registros para cima. De “X” para “Y”; de “Y” para “Z”; de 
“Z” para “T”. O conteúdo de “X” é deslocado para “Y” mas mantém uma cópia em “X”. O 
conteúdo de “T”, é perdido; 
2) Quando se coloca um número no visor sem pressionar [ENTER], os demais registros 
permanecem inalterados; 
3) Quando uma operação é realizada haverá um deslocamento dos conteúdos dos registros para 
baixo: “Z” para “Y” e de “T” para “Z”, permanecendo uma cópia do valor de “T” em “T”; 
4) Após a realização de uma operação, ao digitar um valor no visor este tem a “força” de um 
[ENTER], deslocando os conteúdos dos registros para cima: de “X” para “Y”; de “Y” para “Z” e 
de “Z” para “T”, ficando o valor de “T” perdido. 
 
Lembrando: As operações são realizadas entre os registros “X” e “Y”, sendo considerado, sempre, o 
perdido perdido 
T 1 1 1 1 1 
Z 1 1 3 3 1 3 
Y 1 1 3 3 3 3 7 
X 1 1 3 3 4 4 7 10 
TECLAS 1 [ENTER] 3 [ENTER] 4 [ + ] 10 
Regra 1 Regra 2 Regra 3 Regra 4 
0 
0 
T 
Z 
Y 
X 
 
 
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1133 
valor em “Y” como o primeiro valor. 
“Y” { + , - , X , : , } “X” 
 
Muitas vezes é necessário a inversão dos valores de “X” com os de “Y” para a execução correta da 
operação que se deseja efetuar. 
 
INVERSÃO DOS REGISTROS “X” E “Y” Tecla [X 
>
< Y] 
 
Esta tecla efetua uma troca nos conteúdos dos registros X e Y. Os demais registros da pilha operacional 
não são alterados. 
 
EXEMPLO: 
Você deseja realizar a operação  325 : 25. No registro “X” da Pilha Operacional você tem o valor 25. 
Como fazer para realizar sua operação? 
 
T 28 28 28 28 28
Z 45 28 45 45 28
Y 6 45 25 325 45
X 19 25 325 25 13
[ + ] 325 [X 
>
< Y] [ : ] 
 
A finalidade desta função é posicionar adequadamente os valores dos registros X e Y, para efetuar a 
operação desejada. 
 
 
TECLA [ R ] 
 
A verificação do conteúdo dos registros “X”, “Y”, “Z” e “T” é feita pela tecla [ R ] (ROLL DOWN). 
 
Exemplo: 
T 28 28 28 28 28 28 32 13 45 28
Z 45 28 45 45 28 45 28 32 13 45
Y 6 45 25 325 45 13 45 28 32 13
X 19 25 325 25 13 32 13 45 28 32
[ + ] 325 [X 
>
< Y] [ : ] 32 [ R ] [ R ] [ R ] [ R ] 
 
 
“Ao ser pressionada a tecla [ R ] haverá uma permutação cíclica entre o conteúdo dos quatro registros, 
ou melhor, o valor de “X” vai para “T” e os demais descem.” 
 
 
 
 
 
 
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1144 
CÁLCULO EM CADEIA 
 
Conhecendo o funcionamento da pilha operacional da calculadora HP 12C é possível efetuar cálculos em 
cadeia. 
 
Exemplo: y = ( 11 + 15 ) x ( 23 – 9 ) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
a) 
   
97,0
08,155,711,327,3 

x
y R. 1,42 
 
b) 




















100
25
112
100
23
1 x
y R. 55,04 
 
c) 
 
  



 

18,0618,1
1618,1
000.30
xx
x
y R. 143.126,18 
 
d) 
   





 

35,0
623,11
100
x
y R. 2.394,29 
 
e) 
923,0
1
00,115.1
y R. 1.029,15 
f) 
   1123159
1

y R. 0,17 
 
g)  915,01 R. 3,52 
 
h)   611,1  R. 0,53 
i) 
11
1
100
23
1 





 R. 1,02 
 
T 
Z 26 26 
Y 11 11 26 23 23 26 
X 11 11 15 26 23 23 9 14 364 
TECLAS 11 15 + 23 9 - x 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 0 0 
0 
0 
0 
0 
0 
 
 
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1155 
j)  609,1 R. 1,30 
 
k)  30 9223,1 R. 1,89 
 
l)  365
30
15,1 R. 1,01 
 
m)  12 90
5
15,21

 R. 0,99 
 
n) (117  4) / (316 + 5) R. 0,0911 
 
o) (3 + 4) x (5 + 6) R. 77,00 
 
p) (27 – 14)  (14 + 38) R. 0,25 
 
q) 5  (3 + 16 + 21) R. 0,1250 
 
r) [(144  12) + 10]  3 R.7,33 
 
s) (4 x 4 + 4)  4 R. 5,00 
 
t) (4 + 4)  4 + 4 R. 6,00 
 
 
 
Desafio: 
 
 
R. 3,3448 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1166 
CÓDIGOS DE ERRO DA HP 12 C 
 
Error 0: erro em operações matemáticas, como: divisão de número por zero, raiz quadrada de número 
negativo, logaritmo de número menor ou igual a zero etc. 
 
Error 1: utilização do limite de armazenamento da máquina: a magnitude do resultado é igual ou 
superior a 10100. Por exemplo, fatorial de 73. Note que a mensagem de erro não aparece: apenas uma 
série de noves aparece no visor. 
 
Error 2: operações estatísticas com erro. Por exemplo, média com n igual a 0. 
 
Error 3: erro no cálculo da taxa interna de retorno (IRR). Nesse caso, a mensagem informa que o cálculo 
é complexo, podendo envolver múltiplas respostas, e não pode prosseguir, a menos que você forneça uma 
estimativa para a IRR. 
 
Error 4: erro em operações com a memória da calculadora. Por exemplo: tentativa de introdução de mais 
de 99 linhas de programação; tentativa de desvio (GTO) para uma linha inexistente em um programa; 
tentativa de operação com os registradores de armazenamento (5 a 9 ou .0 a .9); tentativa de utilização de 
um registrador ocupado com linha de programação. 
 
Error 5: erro em operações com juros compostos. Provavelmente algum valor foi colocado com o sinal 
errado (todos os valores têm o mesmo sinal), ou os valores de i, PV e FV são tais que não existe solução 
para n. 
 
Error 6: problemas com o uso dos registradores de armazenamento. O registrador de armazenamento 
especificado não existe, ou foi convertido emlinha de programação. O número de fluxos de caixa 
inserido foi superior a 20. 
 
Error 7: problemas no cálculo da taxa interna de retorno. Não houve troca de sinal no fluxo de caixa. 
 
Error 8: problemas com o calendário. Pode ser decorrente do emprego de data inapropriada ou em 
formato impróprio; tentativa de adição de dias além da capacidade da máquina. 
 
Error 9: problemas no autoteste. Ou o circuito da calculadora não está funcionando corretamente, ou 
algum procedimento no autoteste apresentou falhas. 
 
 
 
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Conceitos e Simbologias Utilizadas 
 
Capital 
 
Valor inicial de uma atividade financeira – Aplicação ou Financiamento. Usa-se, também, as 
denominações de Valor Inicial, Valor da Aplicação, Valor do Financiamento, Valor Presente. Em inglês 
usa-se a expressão Present Value (tecla PV nas calculadoras financeiras). 
 
Montante 
 
É o Capital acrescido dos juros do período. O Montante também é conhecido como Valor de Resgate ou 
Valor Futuro. Nas calculadoras financeiras costuma-se utilizar FV, de Future Value, da língua inglesa. 
 
Juros 
 
Nas atividades financeiras representa a remuneração recebida por um capital aplicado, ou o custo do 
capital tomado emprestado. O valor da remuneração é definido, basicamente, pelo tempo envolvido, o 
risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado. Essa remuneração é mais conhecida como taxa 
de juros. Os juros podem ser calculados segundo o Regime de Capitalização Simples ou Regime de 
Capitalização Composta. 
 
Juros Simples 
 
Sistema de cálculo dos juros recebidos ou pagos em que a base de cálculo da remuneração é sempre 
Capital Inicial ou Valor Presente. 
 
Juros Compostos 
 
Os juros de cada intervalo de tempo têm como base de cálculo o Montante do período anterior, ou seja, a 
cada intervalo do tempo os juros não pagos passam a integrar o capital (são capitalizados) - incorporados 
ao capital – rendendo “juros sobre juros”. 
 
Taxa 
 
Medida percentual para cálculo de valores a receber pela aplicação de capital ou, a pagar, quando 
tomamos um capital emprestado. Geralmente expressa em percentual (relacionamento da taxa por 100 
unidades do capital aplicado), acompanhada do período de tempo a que este se refere. Exemplo: 2,50% ao 
mês; 3,00% ao trimestre; 18,00% ao ano. Os cálculos das equações (fórmulas) para encontrar a taxa de 
remuneração, tem como resultado o a taxa unitária, ou seja, a taxa percentual divida por 100 
(relacionamento da taxa por 1 unidade de capital). Neste caso, para expressar a taxa em percentual, após o 
resultado encontrado deverá ser multiplicado por 100. 
 
Adota-se nos cálculos financeiros a representação do capital pela unidade (1), e a taxa na sua forma 
unitária (i/100). Símbolo “i” da expressão do inglês interest. 
 
Como já vimos no regime de juros simples, a taxa de juros deve estar expressa em sua forma unitária e 
deve referir-se à mesma unidade de tempo. Observe que a equação do montante no regime de juros 
compostos, ao final de n períodos, é função exponencial em função do tempo. Em Juros Simples o 
Montante é função aritmética. 
 
 
 
 
 
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1188 
Taxa Nominal 
 
Taxa Nominal: quando o período de tempo a que se refere a taxa é diferente do período de capitalização. 
“O período de formação e capitalização dos juros ao Capital não coincidem com aquele a que a taxa 
está referida”. Também chamada de taxa contratual, por ser muito utilizada em contratos, em período 
anual seguida do período de capitalização. Exemplo – 30% ao ano com capitalização mensal; 0,98% ao 
mês com capitalização diária. 
 
Taxa Efetiva 
 
Taxa Efetiva: Quando o período a que se refere a taxa é o mesmo do período de capitalização. “O período 
de formação e capitalização dos juros ao Capital coincidem com aquele a que a taxa está referida”. Nos 
contratos financeiros as taxas geralmente são expressas ao ano, capitalizadas mensalmente e, além dos 
juros, são cobrados taxas e impostos como IOF, Taxa de Administração, entre outras, que devem ser 
incluídas no cálculo para apuração da taxa que realmente está sendo cobrada do mutuário do empréstimo 
(taxa efetiva). Exemplo – 3% ao mês com capitalização mensal. 
 
Taxa Equivalente 
 
Em Juros Compostos: duas ou mais taxas com períodos de capitalização distintos que produzem o mesmo 
resultado (Montante), quando aplicados a um mesmo capital, em determinado período de tempo. 
Exemplo: 2,00% ao mês é equivalente a 4,04% ao bimestre, que é equivalente a 12,6162% ao semestre, 
que é equivalente a 26,8242% ao ano. 
Então, se aplicar R$ 10.000,00 por um ano, das seguintes formas: 
 
- 2,00% ao mês Montante = R$ 12.682,42 
- 4,04% ao bimestre Montante = R$ 12.682,42 
- 12,6162% ao semestre Montante = R$ 12.682,42 
 
 R$ 10.000,00 + 26,8242%  R$ 10.000,00 + 2.682,41 = 12.682,42 
 
Em Juros Simples: as taxas equivalentes são calculadas de forma proporcional, pois as taxas nesse 
sistema de amortização têm características de taxas nominais. Exemplo: Para encontrarmos a taxa mensal 
de uma taxa de 30,00% ao ano, basta dividir a taxa anual por 12 e temos 2,50% ao mês. 
 
Taxa Real 
 
“Taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação”. 
 
Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado 
financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de 
taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento 
generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de 
entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe 
uma verdadeira 'poluição' de taxas de juros." 
Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas: 
 
Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não 
coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital 
coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. 
 
 
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1199 
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a 
taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação) 
 
Juro exato e Juro Comercial 
 
Denominamos juros exato ou período exato quando calculamos o período de tempo de acordo com o ano 
civil, ou seja, considerando os dias exatos dos meses envolvidos no cálculo. Dessa forma podemos ter 
meses com 28, 29, 30 ou 31 dias e, o ano, com 365 ou 366 dias. 
Denominamos juro comercial ou período comercial quando adotamos, por convenção, que todos os meses 
do ano têm 30 dias e, por conseqüência, o ano tem 360 dias. 
 
Compatibilidade Temporal 
 
Sempre que trabalharmos cálculos envolvendo taxas e tempo, esses devem estar na mesma unidade de 
medida, ou seja, se tivermos umataxa ao mês o tempo deve ser representado em meses (inteiros ou 
fracionários). Se o período for expresso em trimestres, devemos ter taxas trimestrais. Casos em que não 
temos essa condição, devemos alterar um dos fatores para que tornem-se compatíveis. 
 
Fluxo de Caixa 
 
Movimentação financeira representada por entradas e saídas de valores em determinado período de 
tempo. Por convenção, o tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos 
em análise, de certa aplicação ou empréstimo, tendo as entradas (recebimentos) acima da linha do tempo 
e as saídas (aplicações, pagamentos) abaixo da linha do tempo. 
 
Diagrama do Fluxo de Caixa 
 
A representação do Fluxo de Caixa através de Diagrama, pode retratar a visão do aplicador ou a visão do 
tomador de recursos e a visão do banco. Exemplo: Considerando a aplicação em uma conta de poupança, 
em que é efetuado um depósito inicial de R$ 1.000,00, mais 6 (seis) depósitos mensais de R$ 500,00, à 
taxa de 1,00% ao mês, com resgate 1 mês após o último depósito. 
 
?
Valor Futuro / 
VISÃO DO INVESTIDOR Resgate
i = 1,5% ao mês
0 1 2 3 4 5 6 7
500 500 500 500 500 500
1000
Aplicações / Desembolsos 
Recebimentos / Depósitos
1000
500 500 500 500 500 500
0 1 2 3 4 5 6 7
i = 1,5% ao mês
VISÃO DO BANCO Resgate /
Desembolso
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Administração Financeira / ACSA 
 
 
 
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2200 
 
UNIDADE I – Juros Simples 
 
1.1 - Conceitos 
 
Juros Simples ou Regime de Capitalização Simples: ocorre quando o percentual de juros incidir apenas 
sobre o valor principal, sem capitalização no final dos períodos. Principal, Valor Atual, Valor Presente ou 
Capital é o valor inicial emprestado ou aplicado (sem acréscimo de juros). 
 
1.2 - Cálculo dos juros simples 
 
Considerando uma aplicação de R$ 30.000,00, no período de um mês, a juros de 5% ao mês: Qual o valor 
dos juros? 
 
J = C . i  Capital multiplicado pela taxa unitária 
J = 30.000,00 x 0,05  J = 1.500,00 
 
Se a aplicação fosse pelo período de 3 meses? 
 
Os juros são calculados sobre o Valor (Capital) Inicial, logo: 
 
Juros mês 01 = 30.000,00 x 0,05 = 1.500,00 
Juros mês 02 = 30.000,00 x 0,05 = 1.500,00 
Juros mês 03 = 30.000,00 x 0,05 = 1.500,00 
Total dos Juros = 4.500,00 
 
Se os juros são sempre calculados sobre o mesmo valor (Capital Inicial), então: Juros de um período (C.i), 
multiplicado pelo tempo (t), é igual aos juros total. 
 
J = C.i.t Utilizando-se a taxa na forma unitária. 
 
J = 30.000,00 x 0,05 x 3 J = 4.500,00 
 
No sistema de juros simples, os juros são calculados, sempre, sobre o Principal ou Capital Inicial. 
Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. 
Desta forma, os juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não rendem juros. 
Fórmula Tradicional: 
100
.. tiC
j  Fórmula Adaptada: niPVJ .. 
Onde: 
 
J = juros - representam o valor pago pelo dinheiro emprestado ou remuneração do Capital investido em 
atividades produtivas. 
 
PV = Capital ou Principal - Em língua inglesa PV significa Present Value. 
 
i = taxa de juros - Indica em quanto será remunerado o capital emprestado, em um determinado período. 
Pode ser expressa na forma percentual (5% a.m.; 15% a.a.) ou na forma unitária – taxa percentual 
dividida por 100, excluído o símbolo “percentual - %” (0,05 a.m.; 0,15 a.a.). A terminologia “i” vem do 
inglês: “interest” = juros. 
 
 
 
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2211 
n = número de períodos - tempo de aplicação do Capital. 
ATENÇÃO: Taxas de juros (i) e períodos (n) deverão ser compatíveis, ou seja, estar na mesma unidade 
de tempo (Ex. juros mensal, semestral ou anual, períodos mensais, semestrais ou anuais, 
respectivamente). 
 
Deduzindo da fórmula geral temos: 
 
niPVJ .. 
 
 
 ni
J
PV
.

 
100
.

nPV
J
i
 iPV
J
n
.

 
 
Exemplos: 
 
a) Calcular os juros exatos e os juros ordinários de um capital de R$ 100.000,00, que foi aplicado 
durante os meses de dezembro e janeiro a taxa de 24% ao ano. 
 
Exatos: 62
365
24,0
00,000.100.. xxJniPVJ  71,076.4$RJ  
 
Pilha Operacional: 100000 ENTER 0,24 ENTER 365 : X 62 X 4.076,71 D.MY C . 
 
Ordinários: 60
360
24,0
00,000.100.. xxJniPVJ  00,000.4$RJ  
 
Pilha Operacional: 100000 ENTER 0,24 ENTER 360 : X 60 X 4.000,00 D.MY C . 
 
 Ou, tempo e taxa em meses: 
 Taxa de 24% ao ano (12 meses)  mêsao%2
12
24
 
 00,000.4$202,000,000.100.. RJxxJniPVJ  
 
Pilha Operacional: 100000 ENTER 0,02 X 2 X  4.000,00 D.MY C . 
 
b) Temos uma dívida de R$ 25.000,00 que deve ser resgatada em 3 meses, com juros de 7% ao mês, 
pelo regime de juros simples. Qual o valor dos juros que pagarei? 
 
 
PV = 25.000,00 
n = 3 meses 
i = 7% a m. 
j = ? 
 
 
 
niPVJ .. 
 
 
 307,000,000.25 xxJ  
 
 
 7 / 100 
 
Visor: 
 
 5.250,00 D.MY C . 
Pilha Operacional: 25000 ENTER 0,07 X 3 X 
 
 
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2222 
OBS.: Somente calculam-se Juros Exatos quando expresso no problema. 
c) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15 meses, 
sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m. ? 
 
 
PV = 10.000,00 
n = 15 meses 
i = 3% a m. 
j = ? 
 
 
 
niPVJ .. 
 
 
 1503,000,000.10 xxJ  
 
 
 3 / 100 
 
Visor: 
 
 4.500,00 D.MY C . 
Pilha Operacional: 10000 ENTER 0,03 X 15 X 
 
d) Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a 
taxa correspondente? 
 
 
PV = 25.000,00 
j = 5.000,00 
n = 10 meses 
i = ? 
 
 
nPV
J
i
.

 
 
 
 
1000,000.25
00,000.5
x
i  
 
Visor: 
 
 0,02 D.MY C . 
Pilha Operacional: 5000 ENTER 25000 ENTER 10 X :. 
0,02 Taxa Unitária => OU 
2 % Taxa Percentual (0,02 x 100) 
 
e) Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-
se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
 
 
PV = 50.000,00 
j = 8.250,00 
n = 180 dias 
i = ? 
 
 
nPV
J
i
.

 
 
 
 
18000,000.50
00,250.8
x
i  
 
Visor: 
 
 0,000916667 D.MY C . 
Pilha Operacional: 8250 ENTER 50000 ENTER 180 X :. 
0,000916667 ou 0,0916667 % ao dia 
2,75% a m (x 30); 33% a a (x 360) 
 
Observação: Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo 
for em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
f) Sabendo-se que os juros de R$ 12.000,00 foram obtidos, com as aplicação de R$ 15.000,00, à taxa de 
juros de 8% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo? 
 
 
PV = 15.000,00 
j = 12.000,00 
i = 8% ao trimestre 
n = ? 
 
 
iPV
J
n
.

 
 
 
 
08,000,000.15
00,000.12
x
n  
 
Visor: 
 
 10,00 D.MY C . 
 
 
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2233 
Pilha Operacional: 12000 ENTER 15000 ENTER 0,08 X :. 
10,00 Trimestres => OU 
2,50 anos (10 : 4) 
g) Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juros de r$ 18.000,00 em 3 anos? 
 
 
j = 18.000,00 
n = 3 anos (36 m) 
i = 2,5% a. m. 
PV = ? 
 
 
ni
J
PV
.

 
 
 
 
36025,0
00,000.18
x
PV  
 
Visor: 
 
 20.000,00 D.MY C . 
Pilha Operacional: 18000 ENTER 0,025 ENTER 36 X :. 
 
 
 
h) Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa 100% ao ano se o valor principal é R$ 1.000,00 e a 
dívida foi contraída no dia 10 de janeiro de 2015, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo 
ano? 
 
Contagem do tempo: 
 
 
Período Número de dias 
De 10/01 até 31/01 21 dias 
De 01/02 até 28/02 28 dias 
De 01/03 até 31/03 31 dias 
De 01/04 até 12/04 12 dias 
Total 92 dias 
 
 
Pela Função Data da HP 12-C: 
 
Período Cálculo do Intervalo entre datas Número de dias 
10/01 a 12/04/2015 10.012015 ENTER 12.042015 g  DYS 92 dias 
 
 
 
PV = 1.000,00 
n = 92 dias 
i = 100% a. a. 
j = ? 
 
 
 
niPVJ .. 
 
 
 
 
365
92
100,000.1 xxJ  
 
 
 
 
Visor: 
 
 252,05 D.MY C . 
Pilha Operacional: 1000 ENTER 1 X 92 X 365 :. 
 
 
 
 
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2244 
 
 
 
1.3 – Montante no Sistema de Capitalização Simples 
 
Montante é a soma do Capital (PV) com os Juros (J) decorrentes da operação financeira. Também 
conhecido como Valor Futuro (Em inglês: Future Value => FV). 
 
Cálculo do Montante (FV) 
 
Montante = Capital + Juros  JPVFV  niPVJ .. 
 
JPVFV  
 
 niPV .. niPVPVFV .. 
 
 niPV .1  niPVFV .1 
 
Fórmula do Montante: 
 
  niPVFV .1 
 
Deduzindo da Fórmula Geral, temos: 
 
 
).1( niPVFV 
 
 
 
 
).1( ni
FV
PV

 100
1









n
PV
FV
i 
i
PV
FV
n








1
 
 
Fator do Valor Futuro – Juros Simples 
 
   niFVF ni .1;  Logo, PVxFVFFV  
 
EXEMPLO: Qual o Montante, ao final de 4 meses, de uma aplicação de R$ 8.000,00, aplicados a Juros 
Simples de 3,5% ao mês? 
 
FV = ? PV = 8.000,00 i = 3,5% a.m. n = 4 meses 
 
      1400,14.035,01 4;5,34;5,3  FVFFVF 
 
 
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2255 
 
00,120.91400,100,000.8  FVxFVPVxFVFFV 
Exemplos: 
 
a) Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 50.000,00 à taxa de 12,5% a.a. durante 105 dias 
 
 
PV = 50.000,00 
i = 12,5% a.a. 
n = 105 dias 
FV = ? 
 
 
 
).1( niPVFV 
 
 
 
 







360
105
125,0100,000.50 xFV 
 
Visor: 
 
 51.822,92 D.MY C . 
Pilha Operacional: 50000 ENTER 1 ENTER 0,125 ENTER 105 X 360 :. + X 
 
 
IMPORTANTE: Observe que a taxa (i) está expressa ao ano e o período (n) em dias. Para ter a taxa e o 
período na mesma unidade de tempo, poderíamos dividir a taxa por 360 (taxa em dias), ou o período, 
como efetuado, para encontrar o valor equivalente em anos. 
Sempre que possível alterar o período (n) para deixá-lo compatível, na mesma unidade de tempo da taxa 
(i). 
 
b) Quanto se deve aplicar a juros simples de 6% a. m. para se obter R$ 200.000,00 ao final de 39 dias? 
 
 
FV = 200.000,00 
i = 6% a. m. 
n = 39 dias 
PV = ? 
 
 
).1( ni
FV
PV

 
 
 
)
30
39
06,01(
00,000.200
x
PV


 
 
Visor: 
 
 185.528,76 D.MY C . 
Pilha Operacional: 200000 ENTER 1 ENTER 0,06 ENTER 39 X 30 :. + : . OU 
Pilha Operacional: 1 ENTER 0,06 ENTER 39 X 30 :. + 200000 X 
>
< Y : . 
 
 
c) Qual a taxa de juros simples mensal que, aplicada a um capital de R$ 30.000,00 por 75 dias resulta em 
um montante de R$ 33.750,00? 
n = 75 dias  se aplicado diretamente na fórmula resultara em taxa diária; ou, transforma-se o tempo em 
meses para encontrar, diretamente, a taxa mensal  75 dias / 30 = 2,5 meses 
 
 
PV = 30.000,00 
n = 75 d = 2,5 m 
FV = 33.750,00 
i = ? 
 
 
n
PV
FV
i








1
 
 
 
 
5,2
1
00,000.30
00,750.33







i 
 
Visor: 
 
 0,05 D.MY C . 
Pilha Operacional: 33750 ENTER 30000 :. 1 - 2,5 :.  0,05 ou 5% ao mês 
 
 
 
 
 
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2266 
 
 
 
d) Por quanto tempo devo aplicar R$ 15.200,00 para resgatar R$ 18.293,20, a juros simples, sabendo-se 
que a taxa de remuneração do capital aplicado é de 3,7% ao mês? 
 
 
PV = 15.200,00 
FV = 18.293,20 
i = 3,7% ao mês 
n = ? 
 
 
i
PV
FV
n








1
 
 
 
 
037,0
1
00,200.15
20,293.18







n 
 
Visor: 
 
 5,50 D.MY C . 
Pilha Operacional: 18293,20 ENTER 15200 :. 1 - 0,037 :.  5,5 meses 
 
 
1.4 – Taxa Proporcional em Juros Simples 
 
(PUCCINI: 2004, p.63): Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo 
montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 
 
O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples. 
 
Exemplo: 
 
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $ 
100,00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 
 
a) 12% ao ano 
b) 6% ao semestre 
c) 1% ao mês 
 
 
Solução: Fórmula: ).1( niPVFV  
 
a) i = 12% ao ano 
n = 4 anos 
PV = $ 100,00 
 
)412,01(100 xFV  FV = $ 148,00 
b) i = 6% ao semestre 
n = 4 anos = 8 semestres 
PV = $ 100,00 
 
)806,01(100 xFV  FV = $ 148,00 
c) i = 1% ao mês 
n = 4 anos = 48 meses 
PV = $ 100,00 
 
)4801,01(100 xFV  FV = $ 148,00 
 
 
 
 
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2277 
 
 
1.5 – Taxa Acumulada em Juros Simples 
 
 
Somatório das taxas do período 
 
Exemplo: Qual a rentabilidade acumulada de juros, calculado sobre determinado capital, que apresentou 
as seguintes rentabilidades mensais pelo regime de capitalização simples: 2,5%, 2%, 3,3%, no terceiro 
mês? 
 
%8,73,325,2   ii 
 
1.6 – Taxa Média em Juros Simples 
 
 
Taxa Acumulada dividida pelo número de períodos 
 
 
Exemplo: Utilizando-se dos dados do exemplo anterior, calcule a taxa média mensal da rentabilidade. 
 
 
%8,73,325,2   ii /3 = 2,60% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.7 – Exercícios propostos – Juros simples 
 
1) Determinar o montante de $ 70.000,00, aplicados à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias? 
 
2) A que taxa o capital de $ 38.000,00 produzirá o montante de $ 70.300,00 em 10 anos? 
 
3) Por quanto tempo deverá ser aplicado um capital de $ 55.000,00, para gerar o montante de $ 77.000,00, 
sabendo-se que a taxa de mercado é de 5% a.m? 
 
4) Uma pessoa aplicou uma quantia, a juros simples de 5% ao semestre, durante 45 dias. Após este prazo 
recebeu $ 886.265,55. Calcule o capital aplicado. 
 
5) Um capital de $ 9.178,00, aplicado a uma taxa de 6% a.a., rendeu de juros $ 68,84. Quanto tempo este 
capital esteve aplicado? 
 
6) Um capital de R$ 37.293,00, aplicado a 4% ao semestre, rendeu juros de R$ 745,86. Calcule o tempo. 
 
7) Um capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 2% a.m., produziu um montante R$ 58.400,00. 
Calcule o tempo. 
 
8) Um capital de R$ 5.380,00, aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu R$ 1.839,96 de juros. Calcule a 
taxa. 
 
9) Em quanto tempo o montante produzido por um capital R$1.920,00 aplicado a 25%aa se iguala ao 
montante de um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% aa? Admitir que ambos sejam investidos na 
mesma data 
 
10) Se o capital inicial for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos qual será a taxa de 
juros considerada? 
 
11) Calcular os juros produzidos por $ 40.000,00, à taxa de 15% a.a., durante 125 dias. 
 
12) Pedro emprestou $8.000,00 a Carlos e recebeu $ 2.520,00 de juros no final de 7 meses. A que taxa 
foram emprestados? 
 
13) Que capital aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $ 3.500,00 de juros em 75 dias? 
 
14) Por quanto tempo um capital de $ 11.500,00 foi aplicado para que rendesse $ 1.725,00 de juros, 
sabendo-se que a taxa de mercado é de 4,5% a.m.? 
 
15) Determinar os juros de um capital de $ 35.000,00, aplicado por 120 dias à taxa de 60% a.a.? 
 
16) Que capital produziu um montante de $ 20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de 12% a.a.? 
 
17) Um capital de $ 90.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar 
o valor dos juros acumulados neste período, sabendo-se que o regime utilizado é o de “capitalização 
simples”. 
 
18) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 
sete meses. Ao final deste período, calculou em $ 250.000,00 o total de juros incorridos na operação. 
Determinar o valor do empréstimo. 
 
 
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2299 
 
19) Uma pessoa aplica $ 19.000,00 à taxa de juros simples de 2,5% ao mês durante 9 meses. Determinar o 
valor acumulado ao final deste período. 
 
20) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 12.000,00, pelo prazo de 5 meses, 
sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 3% ao mês. 
 
21) Uma aplicação de $ 60.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 12.250,00. 
Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
 
22) Aplicando a juros simples pelo prazo de 1 ano, um capital transformou-se em $ 13.000,00. Esse 
montante foi reaplicado por mais 2 anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira aplicação, 
obtendo-se um montante final de $ 22.360,00. Calcular o valor do capital e as taxas simples das duas 
etapas de aplicação. 
 
23) Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundo a 40% a.a. 
Calcular os capitais sabendo que somados montam $ 500,00 e que os dois produziram em um ano juros 
totais de $ 130,00. 
 
24) Dois capitais, um de $ 2.400,00 e outro de $ 1.800,00 foram aplicados a uma mesma taxa de juros 
simples. Calcular a taxa considerando-se que o primeiro capital em 48 dias rendeu $ 17,00 a mais que o 
segundo em 30 dias. 
 
25) Quanto se deve pagar hoje por um título que possui valor de resgate de R$ 100.000,00 e que está para 
vencer daqui a 75 dias? Admitir uma taxa de juros simples em vigor no mercado da ordem de 2,8% a.m. 
 
26) Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 2,5% a.m. 
 
Gabarito exercícios propostos: 
 
1) FV = R$ 72.960,42 2) i = 8,5% a.a. 3) n = 8 meses 
4) PV = R$ 875.324,00 5) n = 0,125 anos 6) n = 0,5 semestres 
7) n = 23 meses 8) i = 0,3167% ao dia ou 9,5% ao mês 
9) n = 4 anos 10) i = 25% a.a. 11) J = R$ 2.083,33 
12) i = 4,5% a.m. 13) PV = R$ 116.666,67 14) n = 3,33 meses 
15) J = R$ 7.000,00 16) PV = R$ 10.204,08 17) J = R$ 9.450,00 
18) PV = R$ 357.142,86 19) FV = R$ 23.275,00 20) J = R$ 1.800,00 
21) i = 40,8333% a. a. 22) PV = R$ 10.000,00 i (1) = 30,00% a. a. i (2) = 36,00% a. a. 
23) PV (1) = R$ 350,00 PV (2) = R$ 150,00 24) i = 0,03% a.d. 
25) PV = R$ 93.457,94 26) n = 40 meses 
 
 
 
 
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UNIDADE II – Desconto Simples 
 
Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro; N) e o Valor Atual (presente; 
A) deste mesmo título. 
 
d = N – A ou d = FV – PV 
 
Notações: 
 
d ou D Desconto realizado sobre o título 
A Valor Atual de um título 
N Valor Nominal de um título 
i Taxa de desconto 
n Número de períodos para o desconto 
 
 
 Há dois tipos básicos de desconto: Comercial ou Bancário (por fora) e Racional (por dentro). 
Considerando como capital o Valor Nominal para o cálculo, temos o desconto comercial ou 
bancário; Considerando como capital o Valor Atual para o cálculo, temos o desconto racional. 
 
 A diferença entre desconto simples e desconto composto é que, enquanto os Descontos Simples 
são obtidos com cálculos lineares, os Descontos Compostos são obtidos com cálculos exponenciais. 
 
2.1 – Conceito 
 
É o abatimento concedido sobre um título de crédito pago antecipadamente. Representa os juros 
cobrados e descontados antecipadamente pelos bancos nas operações de desconto simples. 
 
 
Valor Atual e Valor Nominal 
 
O Valor Nominal de um título é o valor de face – valor expresso no título – representa o valor a 
ser pago no vencimento do título. (Equivalente ao montante ou valor futuro – FV, nos cálculos de juros 
simples). O Valor Atual é o resultado da subtração da dívida principal (valor nominal) pelo desconto 
(representação análoga ao PV, nos cálculos de juros). 
 
Logo, 
 
- Valor nominal menos desconto é igual o valor presente; A = N – d => FV – D = PV 
- Valor nominal menos o valor presente é igual ao desconto; d = N – A => FV – PV = D 
- Valor presente mais o desconto é igual ao valor nominal. N = A + d => PV + D = FV 
 
Alguns sinônimos costumam ser utilizados nas operações de desconto: 
 
Valor Presente = Valor Líquido = Valor Atual 
Valor Nominal = Valor Futuro = Valor de Face 
 
 
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3311 
2.2 – Desconto Simples Racional (por dentro) 
 
 
 O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título (Valor Presente), análogo ao 
cálculo dos juros simples. Também denominado de Desconto por Dentro. 
 
 Substituindo-se o Capital (PV) na fórmula dos juros simples pelo Valor Atual (A) do título, 
temos: 
 
Desconto por dentro Juros simples 
d = A.i.n j = PV.i.nA = Valor Atual PV = Principal 
i = taxa de desconto i = taxa de juros 
n = no. de períodos n = número de períodos 
 
 
a) Para encontrar o “desconto” ou o “valor atual”: Fórmulas análogas 
 
 
niAd .. niPVd .. niPVJ .. 
 
 
 ni
d
A
.

 
nA
d
i
.

 iA
d
n
.

 
 
 
ni
d
PV
.

 
100
.
x
nPV
d
i 
 iPV
d
n
.

 
 
b) Para encontrar o “valor nominal” e suas variações: 
 
Por convenção: dAN  niAd .. 
 
dAN  
 
 niA .. niAAN .. 
 
  niA .1  niAN .1 
 
 
 
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3322 
Por dedução: 
 
).1( niAN 
 ).1( niPVFV  
 
 
).1( ni
N
A

 
n
A
N
i








1
 
i
A
N
n








1
 
 
 
 
 
).1( ni
FV
PV

 100
1
x
n
PV
FV
i







 
i
PV
FV
n








1
 
 
Retornando às equivalências de notação: 
ANd  
).1( ni
N
A

 
 
ANd  
 
 
).1( ni
N

  ni
N
Nd
.1
 
 
 
 
N
o
ta
ç
o
e
s
 A
n
á
lo
g
a
s
PVFVd   ).1 ni
FV
PV


 ni
FV
FVd
.1

).1( ni
N
A


 ni
N
Nd
.1
ANd 
 
 
 
Desconto Racional (ou por dentro)  A taxa de juros incide sobre o Valor Presente 
 
 
 
 
 
 
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3333 
EXEMPLO 1 
 
(Bruni & Fama: 2004) Uma Nota Promissória com valor nominal igual a $ 7.200,00 e com vencimento 
programado para daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco. Sabendo que o desconto 
sofrido foi igual a $ 480,00, calcule a taxa mensal efetiva da operação. 
 
).1( ni
N
Nd


 
)5,8.1(
200.7
200.7480
i
 7200)5,81(720.6  i 
 
00840336,0i ou i = 0,8403% ao mês 
 
Ou, utilizando a fórmula da taxa em juros simples: 
 
Valor Nominal (N) = FV Valor Atual (A) = Valor Nominal – Desconto 
 
A = 7.200,00 – 480,00 = 6.720,00 N = 7.200,00 A = 6.720,00 
 
100
1
x
n
A
N
i







 ou 100
1
x
n
PV
FV
i







 100
5,8
1
00,720.6
00,200.7
xi







 
 
i = 0,8403 
 
 
EXEMPLO 2 
 
Qual o valor atual de um título cujo valor de resgate, pelo desconto simples racional é de R$ 256.000,00 
daqui a 7 meses, sendo a taxa de desconto simples de 4% a.m.: 
 
)in1(
N
A

 
 
000.200
28,1
000.256
704,01
000.256
A 

 
 
 
EXEMPLO 3 
 
Qual o valor do desconto de um título de valor nominal igual a R$ 120.000,00, resgatado 6 
meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% ao mês, pelo sistema de 
desconto simples racional? 
 
 ni
FV
FVd
.1
  6035,01
00,000.120
00,000.120
x
d

 D = 20.826,45 
 
 
 
 
 
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3344 
Qual o Valor Atual? 
 
).1( ni
N
A

 55,173.99
)6035,01(
00,000.120


 A
X
A 
 
Se 
ANd  
 
então 45,826.2055,173.9900,000.120  dd 
 
 
2.3 – Desconto Simples Comercial e Bancário (por fora) 
 
 
 As operações de desconto comercial e de desconto bancário consistem em uma forma 
diferenciada da aplicação de juros simples. Em ambas as modalidades, porém, os juros incidem sobre o 
valor futuro (nominal) da operação. 
 
2.3.1 – Desconto Simples Comercial (por fora) 
 
 É o valor que obtém-se pelo cálculo de juros simples sobre o valor nominal (FV) do título que 
seja pago n períodos antes do seu vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o valor 
nominal. 
 
 
Desconto Comercial (ou por fora)  A taxa de juros incide sobre o Valor Futuro 
 
 
 Para calcular o valor do desconto, basta multiplicar a taxa pelo valor nominal (ou valor futuro) e 
pelo prazo da antecipação. 
 
niNDC .. niFVDC .. 
 
 
 O valor líquido (valor atual ou valor presente) poderá ser expresso como: 
 
 
Se: DNA  e niND .. 
 
então niNNA .. logo, ).1( niNA  
 
 
 
 
 
 
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3355 
Deduções: 
 
).1( niNA 
 ).1( niFVPV  
 
 
 
).1( ni
A
N


 
n
N
A
i








1
 
i
N
A
n








1
 
 
).1( ni
PV
FV


 100
1
x
n
FV
PV
i







 
i
FV
PV
n








1
 
 
 
EXEMPLO 4 
 
 (Bruni & Fama: 2004) Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% ao mês, 
calcule o valor do desconto e o valor líquido de uma operação com as seguintes características: 
Prazo = 38 dias, Valor nominal = $ 3.400,00. 
 
Observe que a taxa está expressa ao mês e o tempo em dias 
 
73,227.3$
30
38
.04,01400.3).1( 





 AAniNA 
 
27,172
30
38
.04,0400.3..  DxDniND 
 
EXEMPLO 5 
 
Qual o valor do desconto comercial a ser concedido sobre um título de Valor Nominal igual a R$ 
10.000,00, resgatado 3 meses antes da data de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.? 
 
niNDC .. 305,000,000.10 xxDC  Dc = R$ 1.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3366 
2.3.2 – Desconto Simples Bancário (por fora) 
 
 As operações do desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no 
caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui IOF, o que 
alteraria levemente a expressão anterior. 
 
NtDD CB . ).()..( NtniNDB  
 
 O valor presente ou valor líquido da operação de desconto bancário pode ser calculado mediante 
a aplicação da seguinte fórmula: 
 
 
Se: DNA  e ).()..( NtniNDB  
 
 
Logo, NtniNNA ...  
 
 
Então: 
 
).1( tniNA  ).1( tniFVPV  
 
 
 
).1( tni
A
N


 
n
t
N
A
i








1
 
i
t
N
A
n








1
 
 
 
).1( tni
PV
FV


 100
1
x
n
t
FV
PV
i







 
i
t
FV
PV
n








1
 
 
 DB – (FV x i x n) x 100 
 FV 
 
EXEMPLO 6 
 
Uma empresa comercial possui um cheque pré-datado no valor de $ 5.000,00 e cuja data de depósito está 
programada para daqui a cinco meses. Se a empresa descontar esse cheque em um banco, que cobra uma 
taxa de desconto de 3% ao mês, mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, qual será o 
desconto sofrido pelo título? 
t = 
 
 
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3377 
 
).()..( NtniNDB  
 )5000007,0()503,05000( xxxDB  
 
00,78500,3500,750 BD 
 
Valor Desconto + Valor Taxa Operac. = Total