Matematica Financeira - Apostila PedroEvaristo

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Modulares 
Matemática Financeira 
Apostila 
Pedro Evaristo 
Matemática Financeira 
Prof. Pedro Evaristo 2 
 
 
 
CAPÍTULO 01 
 
PORCENTAGEM 
 
INTRODUÇÃO 
 
A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. 
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como "Grande liquidação: 20 
por cento de desconto em todos os artigos", significa que você terá 20 reais de 
desconto para cada 100 reais do preço do artigo que comprar. 
Estabelecemos, então, a 
razão 
100
20
 e podemos 
afirmar que: 
 
 
 
 
 
Assim, 
100
20
 é o mesmo que 20 por cento. A expressão por cento pode ser 
substituída pelo símbolo %. Dessa forma, temos: 
100
20
 = 20 % 
 
Veja os exemplos: 
 8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a 
10
8
ou 
100
80
ou 80% do grupo. 
OBSERVAÇÃO: 
Toda razão a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem. 
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 Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a 
300
21
ou 
100
7
ou 7% do 
total. 
EXEMPLO: 
Se uma barra de chocolate é dividida em 5 pedaços e uma pessoa come 3 deles, 
ela terá comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria 
comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRAÇÃO x PORCENTAGEM 
 
 
 
 
 
 
%60
100
60
10
6
5
3
 
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AUMENTOS E DESCONTOS 
 
AUMENTO DE 20% 
 Valor inicial  x 
 Valor do aumento  20% de x 
 Valor após o aumento  120% de x 
 
DESCONTO DE 20% 
 Valor inicial  x 
 Valor do desconto  20% de x 
 Valor após o desconto  80% de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
Para ganhar tempo (o que é fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta 
20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o desenvolvimento: 
 
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x 
 
Observe os aumentos e descontos a seguir: 
x 
+20% 
120%x 
x 
+50% 
150%x 
x 
+84% 
184%x 
x 
+136% 
236%x 
x 
20% 
80%x 
x 
50% 
50%x 
x 
84% 
16%x 
x 
+100% 
200%x 
x 
+100% 
2x = 200%x 
x 
+200% 
3x = 300%x 
 x 
+400% 
5x = 500%x 
x 
+800% 
9x = 900%x 
 
R – Reais 
I – 
Irracionais 
Q – 
Racionais 
Z – Inteiros 
N – 
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LINK: 
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PORCENTAGEM DE CABEÇA 
 
O segredo para calcular porcentagem de cabeça é perceber como é fácil 
calcular 10% e 1%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para fazer porcentagem de cabeça, basta entender a relação de todas as 
porcentagens com 10%. 
 10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12) 
 20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24) 
 30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 = 
36) 
 5% de 120 = 6 (5% é a metade de 10%, logo a metade de 12 é 6) 
 1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20) 
 21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2) 
 35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6 
= 42) 
 52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 = 
62,4) 
 90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo) – 10%, ou seja 120 – 12 = 108) 
 95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo) – 5%, ou seja 120 – 6 = 114) 
LINK: LINK: 
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 99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) – 1%, ou seja 120 – 1,2 = 118,8) 
 125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30 
= 150) 
 151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja 
120 + 60 + 1,2 = 181,2) 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens? 
 
SOLUÇÃO: 
Lembre-se que porcentagem é fração, mas uma fração cujo denominador é 100. 
Então, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50 
alunos, basta escrever a fração que isso representa, procurando a fração 
equivalente cujo denominador seja 100. Observe: 
 
 
02. Em uma viagem de 200km, já foram percorridos 126km, qual o percentual já 
percorridos? 
 
SOLUÇÃO: 
A fração do que já foi percorrido, em relação ao total da viagem, pode ser escrito 
da seguinte forma: 
 
 
03. Se João gastou 18/25 do seu salário, qual o percentual que ainda resta? 
 
SOLUÇÃO: 
Quem gasta 18 partes de 25 é por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa 
fração equivale a: 
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04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um município votaram contra uma 
determinada obra, qual o percentual que votou a favor? 
 
SOLUÇÃO: 
Se 7 entre 20 vereadores votaram contra é por que os 13 restantes entre 20 
votaram a favor, logo: 
 
 
05. Após uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de 
deferidos? 
 
SOLUÇÃO: 
Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, então foram deferidos 3 dentre 8. 
Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em 
seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe: 
 
 
06. Em uma festa, o DJ tocou 8 músicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual 
o percentual de nacionais nesse repertório? 
 
SOLUÇÃO: 
 
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07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único aumento 
de quanto? 
 
SOLUÇÃO: 
Podemos empregar nessa questão um artifício aritmético que costumo chamar de 
“truque do 100”. 
A idéia consiste em escrever o número 100 e seguir os comandos, ou seja, 
aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo 
valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe: 
 
Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se 
facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no 
início, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%. 
 
Um fato interessante é que a ordem dos aumentos não altera o resultado final, 
observe: 
 
Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e 
quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto 
 x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%). 
 
08. Descontos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único desconto de 
quanto? 
 
SOLUÇÃO: 
Da mesma forma que na questão anterior podemos aplicar o “truque dos 100”, 
veja: 
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Portanto, redução de 44 para cada 100, ou seja, diminuição de 44%. 
 
09. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços 
dos seus produtos. Pra voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem 
sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A. 
 
SOLUÇÃO: 
Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original 
deve aumentar 20 em relação a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%. 
 
 
Observe: 
 
Portanto, para retornar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer 
acréscimo de 25%. 
 
 
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CAPÍTULO 02 
 
JUROS SIMPLES 
 
INTRODUÇÃO 
 
 A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta 
ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios 
que teremos, tanto para ganhar dinheiro como 
para evitar perde-lo. Como por exemplo, na 
escolha do melhor financiamento de um bem ou 
onde fazer aplicações financeiras. 
 O estudo da Matemática Financeira é todo 
feito em função do crescimento do capital (C) 
aplicado com o tempo. Definiremos capital como 
qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. 
 O montante(M), ou seja, o valor final do 
capital aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que 
é uma fração do capital inicial, à qual damos o nome de juro. Juro (J) é, portanto, 
a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo 
ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o 
capital de outra. 
 O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de 
juro (i), que é dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um 
intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc), tomado como unidade, 
denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n). 
 
Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando 
sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro 
caso esse crescimento se comporta como um progressão aritmética (P.A.) e no 
segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão geometrica (P.G.). 
 
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 De outra forma temos: 
 Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, 
somente após o término da aplicação, podemos dizer que estamos 
calculando juros simples. 
 Quando os juros são incorporados ao capital após cada período 
de tempo, criando assim um novo capital a cada período, dizemos 
que estamos fazendo uma capitalização ou calculando juros 
compostos. 
 
Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da 
esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas 
por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois 
seu aumento é exponencial (juros compostos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITAL (C): Aplicação, investimento, saldo 
inicial, valor inicial, valor atual, valor presente 
e principal. 
MONTANTE (M): Resgate, valor amontoado, 
saldo devedor, saldo credor, valor futuro e 
capital futuro. 
JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e 
compessação financeira. 
TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de 
juros e percentual de juros. 
TEMPO (t): Prazo, período, número de 
períodos e unidades de tempo. 
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JUROS SIMPLES 
 
 Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é 
constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este 
coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros. 
 
CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTÃO: 
 A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de 
6% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo? 
No problema apresentado anteriormente, temos: 
 capital aplicado .............. R$ 600,00 
 taxa % ao mês .............. 6% = 6/100 = 0,06 
 tempo em meses .......... 3 meses 
Temos que: 
 Após o 1º período, os juros serão: 
 0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00 
 Após o 2º período, os juros serão: 
 R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00 
 Após o 3º período, os juros serão: 
 R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00 
Assim, o montante (capital mais rendimentos) será de: 
 R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00 
 
Vamos generalizar, deduzindo uma fórmula para calcular os juros simples. 








tempodeperíodosdenúmerot
tempodeperíodoportaxai
aplicadocapitalC
%
 
 
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Então, temos 
 Após o 1º período, o total de juros será: C.i; 
 Após o 2º período, o total de juros será: C.i+C.i; 
 Após o 3º período, o total será: C.i+C.i+C.i; 
 Após o t-ésimo período, o total de juros será: 
 
 C.i + C.i + C.i + .... + C.i. 
 
 
 Assim, a fórmula que fornece o total de juros simples é: 
 
 
 
 O montante final é de: 
 
 
 
 Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as fórmulas citadas. 
Calculando os juros simples, temos: 
 J = 600.0,06.3 = 108 
O montante será de: 
 M = C + J = 600 + 108 = 708 
t parcelas 
M = C + J 
J = C.i.t 
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TEMPO COMERCIAL 
 
Nas aplicações financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam 
convenção diferente para contagem do prazo. 
O tempo pode ser contado de duas formas: 
 ANO CIVIL: 365 dias 
 ANO COMERCIAL: 360 dias 
 
JUROS COMERCIAL (ORDINÁRIOS) 
 Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o 
ano. 
 Nas aplicações práticas e por convenção, quando nos referimos apenas ao 
número de meses, utilizaremos o mês comercial com 30 dias, de forma indiferente. 
 
JUROS EXATOS 
 Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato. 
Fica implícito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas 
da negociação e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata, 
inclusive considerando anos bissextos. 
 
É importante saber que os bancos trabalham com juros ordinários e tempo 
exato. Na contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o último dia. 
 
 
 
 
 
 
Taxa Diária (ao dia) a.d. 
Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi. 
Taxa Mensal (ao mês) a.m. 
Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b. 
Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t. 
Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q. 
Taxa Semestral (ao semestre) a.s. 
Taxa Anual (ao ano) a.a. 
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TAXAS PROPORCIONAIS 
 
 Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, 
quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, 
durante um mesmo período de tempo, produzem 
um mesmo montante no final do prazo, em regimes 
de juros simples. 
 
126321
ASTBM iiiii  ou 
 
3601809060301
ASTBMD iiiiii  
 
EXEMPLO: 
 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a. 
 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a. 
 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m. 
LINK: 
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SIMPLES x COMPOSTO 
 
 O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, 
segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto. 
 Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros 
simples e juros compostos, com um exemplo: 
 Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos: 
 
 
JUROS SIMPLES  ao longo do tempo, somente o principal rende juros. 
PRINCIPAL = 100 
NO DE MESES MONTANTE SIMPLES 
1 100 + 10%.100 = 110,00 
2 110 + 10%.100 = 120,00 
3 120 + 10%.100 = 130,00 
4 130 + 10%.100 = 140,00 
5 140 + 10%.100 = 150,00 
 
As taxas equivalentes para cada período são proporcionais ao tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
100 
+10% 
110 
+10 
120 
+10 
130 
 
+10 
140 
+20% 
+30% 
+40% 
 Juros calculado em cima 
do principal. 
 Não pode aplicar juros 
em cima dos juros. 
 Cresce como uma P.A.. 
 Taxa equivalente é 
proporcional ao tempo. 
LINK: 
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1 
C 
M 
t 
JUROS 
SIMPLES 
JUROS 
COMPOSTO 
JUROS COMPOSTOS  após cada período, os juros são incorporados ao principal e 
passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros". 
PRINCIPAL = 100 
NO DE MESES MONTANTE COMPOSTO 
1 100,00 + 10%.100,00 = 110,00 
2 110,00 + 10%.110,00 = 121,00 
3 121,00 + 10%.121,00 = 133,10 
4 133,10 + 10%.133,10 = 146,41 
5 146,41 + 10%.146,41 = 161 
,05 
 
As taxas equivalentes para cada período não são proporcionais. 
 
 
 
 
 
 Observe que o crescimento do principal segundo juros 
simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros 
compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um 
crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser 
ilustrado graficamente como no gráfico ao lado. 
 
 Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores 
particulares costumam reinvestir as quantias geradas 
pelas aplicaçõesfinanceiras, o que justifica o 
emprego mais comum de juros compostos na 
Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se 
justifica em estudos econômicos. 
 
100 
+10% 
110 
+10% 
121 
+10% 
133,1 
+10% 
146,41 
+21% 
+33,1% 
 
+46,41% 
 Juros é calculado em 
cima do saldo.. 
 Pode aplicar juros em 
cima dos juros. 
 Cresce como uma P.G.. 
 Taxa equivalente não é 
proporcional ao tempo. 
LINK: 
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x 
+20% 
120%x 
x 
+50% 
150%x 
x 
+84% 
184%x 
x 
+136% 
236%x 
x 
20% 
80%x 
x 
50% 
50%x 
x 
84% 
16%x 
x 
+100% 
200%x 
x 
+100% 
2x 
x 
+200% 
3x 
x 
+400% 
5x 
x 
+800% 
9x 
 
R – 
Reais 
I – 
Irracion
ais 
Q – 
Raciona
is 
Z – 
Inteiros 
N – 
Naturai
s 
 
LINK: 
Para ganhar tempo em muitas questões, o que é fundamental em concursos, observe que 
se um capital x aumenta 20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o 
desenvolvimento: 
 
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x 
 
Observe os aumentos e descontos a seguir: 
 
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EXEMPLOS 
 
01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com 
taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação. 
 
1ª SOLUÇÃO: 
Sem usar fórmula, temos que: 
5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 mês) 
Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos: 
12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses) 
Portanto, o resgate (montante) será 
R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00 
 
2ª SOLUÇÃO: 
Dados: 
C = 800 
i = 5% a.m. 
t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do 
tempo) 
Aplicando na fórmula J = C.i.t, temos 
 J = 800.5%.12 
 J = 800.
100
5 .12 
 J = 480 (rendimento) 
Como M = C + J, então 
 M = 800 + 480 
Portanto o resgate (montante) é de 1280 reais.
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EXERCÍCIOS 
 
01. (CESGRANRIO) Aplicações financeiras 
podem ser feitas em períodos 
fracionários e inteiros em relação à taxa 
apresentada, tanto em regimes de 
capitalização simples quanto 
compostos. A partir de um mesmo 
capital inicial, é possível afirmar que o 
montante final obtido pelo regime 
composto em relação ao montante 
obtido pelo regime simples: 
a) é sempre maior 
b) é sempre menor 
c) nunca é igual 
d) nunca é menor 
e) pode ser menor 
 
02. Foi feita uma aplicação de R$ 
4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em um 
regime de juros simples, durante três 
trimestres. Determine o valor do resgate 
após esse período. 
a) R$ 6.200,00 
b) R$ 5.800,00 
c) R$ 4.500,00 
d) R$ 2.400,00 
e) R$ 1.800,00 
 
03. Diego atrasou o pagamento de um 
boleto bancário de R$120,00, que 
venceu dia 12 de março. Em caso de 
atraso será cobrada multa de 4% e juros 
simples de 3% a.m.. Quanto seria o total 
ANOTAÇÕES: 
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pago por ele no dia 19 de agosto do mesmo ano? 
a) 139,20 
b) 144,00 
c) 153,00 
d) 162,40 
 
04. (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12 800,00 foi 
aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse 
capital deve ficar aplicado por um período de 
a) 8 meses. 
b) 10 meses. 
c) 1 ano e 2 meses. 
d) 1 ano e 5 meses. 
e) 1 ano e 8 meses. 
 
05. (CESGRANRIO) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 a vista ou por 
50% deste valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 após 4 
meses. Qual é a taxa de juros simples mensal cobrada? 
a) 0,025% ao mês 
b) 0,150% ao mês 
c) 1,500% ao mês 
d) 2,500% ao mês 
e) 5,000% ao mês 
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Prof. Pedro Evaristo 24 
 
06. (ESAF) O preço à vista de uma 
mercadoria é de $1.000,00. O comprador 
pode, entretanto, pagar 20% de entrada 
no ato e o restante em uma única 
parcela de $922,60 vencível em 90 dias. 
Admitindo-se o regime de juros simples, a 
taxa de juros anuais cobrada na venda a 
prazo é de: 
a) 98,4% 
b) 122,6% 
c) 22,6% 
d) 49,04% 
e) 61,3% 
 
07. (NCE) Antônio tomou um empréstimo 
de R$5.000,00 a uma taxa de juros mensal 
de 4% sobre o saldo devedor, ou seja, a 
cada mês é cobrado um juro de 4% 
sobre o que resta a pagar. Antônio 
pagou R$700,00 ao final do primeiro mês 
e R$1.680,00 ao final do segundo; se 
Antônio decidir quitar a dívida ao final do 
terceiro mês, terá de pagar a seguinte 
quantia: 
a) R$3.500,00 
b) R$3.721,00 
c) R$3.898,00 
d) R$3.972,00 
e) R$3.120,00 
 
08. (CESPE) Se o capital for igual a 2/3 do 
montante e o prazo de aplicação for de 
2 anos, qual será a taxa de juros simples 
considerada? 
a) 1,04% a.m. 
ANOTAÇÕES: 
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b) 16,67% a.m. 
c) 25% a.m. 
d) 16,67% a.a. 
e) 25% a.a. 
 
09. (CESPE) Um consumidor desejava comprar um computador em determinada 
loja, mas não dispunha da quantia necessária ao pagamento do preço à vista, 
que era de R$ 1.400. Por isso, o vendedor aceitou que o consumidor desse um 
valor qualquer de entrada, no momento da compra, e pagasse o restante em 
uma única parcela, no prazo máximo de seis meses, a contar da data da compra, 
com juros mensais iguais a 4% ao mês, sob o regime de juros simples. Exatamente 
cinco meses após a compra, o consumidor pagou a parcela restante, no valor de 
R$ 660,00. Nessa situação, é correto concluir que o valor da entrada paga pelo 
consumidor foi igual a 
a) R$ 280. 
b) R$ 475. 
c) R$ 740. 
d) R$ 850. 
e) R$ 1.120. 
 
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Prof. Pedro Evaristo 26 
10. (FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$10.000,00 à taxa de juros 
simples de 2% ao mês. Decorridos 2 
meses, outra pessoa aplica R$8.000,00 à 
taxa de juros simples de 4% ao mês. 
Determine quantos meses depois da 
primeira aplicação o montante referente 
ao valor aplicado pela primeira pessoa 
será igual ao montante referente ao valor 
aplicado pela segunda pessoa. 
a) 22 
b) 20 
c) 24 
d) 26 
e) 18 
 
11. (FCC) Num mesmo dia, são aplicados 
a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5% 
ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se, 
decorridos 2 anos e 8 meses da 
aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7 
600,00, o capital inicial era 
a) R$ 12 500,00 
b) R$ 12 750,00 
c) R$ 14 000,00 
d) R$ 14 500,00 
e) R$ 14 750,00 
 
12. (FCC) Determinado capital aplicado a 
juros simples durante 18 meses rendeu R$ 
7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste 
capital fosse aplicado a juros simples com 
a mesma taxa anterior, geraria, ao final 
de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. 
O valor do capital aplicado na primeira 
situação foi: 
a) R$ 24.000,00 
ANOTAÇÕES: 
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Prof. Pedro Evaristo 27 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 15.200,00 
d) R$ 12.500,00 
e) R$ 10.400,00 
 
GABARITO 
01. E 02. B 03. B 04. B 05. D 
06. E 07. E 08. E 09. D 10. A 
11. A 12. E 
 
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CAPÍTULO 03 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Na capitalização composta, o juro produzido no final de cada período 
financeiro é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais 
juros a render juros no período seguinte. 
 Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$ 
600,00, aplicados a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final de 
R$ 708,00. 
 No entanto é muito mais comum as aplicações serem feitas a juros 
compostos, ou seja, após cada período de tempo, os juros são integrados ao 
capital, passando também a render juros, como, por exemplo, nas cadernetas de 
poupança. 
 Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos: 
 
 Após o 1º período (mês), o montante será: 
 1,06 . R$ 600,00 = R$ 636,00 
 Após o 2º período (mês), o montante será: 
 1,06 . R$ 636,00 = R$ 674,16 
 Após o 3º período (mês), o montante será: 
 1,06 . R$ 674,16 = R$ 714, 61 
 
Esse é o montantefinal, representado por M. Observe que esse montante é maior 
do que o achado anteriormente, quando utilizamos juros simples. 
Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma fórmula para o 
cálculo de juros compostos. 
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Sejam: 











finaltemonM
tempodeperíodosdenúmerot
tempodeperíodoportaxai
inicialcapitalC
tan
% 
 
Então: 
 após o 1º período (mês), o montante será: 
 M1 = C + i.C  M1 = C.(1 + i); 
 
 após o 2º período (mês), o montante será: 
 M2 = M1+ i.M1  M2 = M1.(1 + i) 
 M2 = C(1 + i).(1 + i)  M2 = C.(1 + i)2. 
 
 após o 3º período (mês), o montante será: 
 M3 = M2 + i.M2  M3 = M2.(1 + i) 
 M3 = C(1 + i)2.(1 + i)  M3 = C.(1 + i)3. 
 
Procedendo de modo análogo, é fácil concluir que, após t períodos de 
tempo, o valor Mt, que indicaremos simplesmente por M, será: 
 
 
 
 
 
Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos: 
 M = 600.(1+6%)3 
Olhando na tabela 1, temos (1+6%)3 = 1,1910, logo 
M = C.(1 + i)t 
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 M = 600.1,1910 
então 
 M = 714,60 
 
Para determinar os juros produzidos, basta calcular a diferença entre o montante 
produzido e o capital. 
 
 
 
 
 
 No exemplo dado, teremos: 
 J = 714,60 – 600 
Portanto 
 J = 114,60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J = M – C 
É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A 
tabela I, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o fator de 
acumulação (1+i)t. 
Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+5%)10, basta olhar o resultado na linha 
10 (período), coluna 5% (taxa) e encontrar 1,6289. 
LINK: 
Na fórmula para o cálculo do Montante aparecem quatro variáveis: M, C, i e t. Podemos 
encontrar qualquer uma delas, desde que se conheçam as outras três. 
LINK: 
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Prof. Pedro Evaristo 31 
 
LEITURA NA TABELA 
 
 É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos 
anexos. A tabela 1, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o 
fator de acumulação (1+i)n. 
 Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+6%)9, basta olhar nessa 
tabela o resultado na linha 9 (período) associada à coluna 6% (taxa), para 
encontrar 1,6895 (como visto na figura). 
 
 
TABELA 1 
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ÚNICO 
1,6895 
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t1 
C 
M 
t 
MONTANTE 
M1 
M2 
t2 PERÍODO 
 
MONTANTE PARA PERÍODOS NÃO-INTEIROS 
 
 Para calcular o montante em juros composto em que o período não seja um 
número inteiro de períodos a que se refere à taxa considerada. Isto decorre do 
fato de que estamos considerando capitalizações descontínuas, ou seja, os juros 
supõem-se formados apenas no fim de cada período de capitalização. Devemos, 
portanto, considerar hipóteses adicionais para resolver o problema. 
Dessa forma, podemos utilizar dois métodos: convenção exponencial (valor 
real) ou convenção linear (valor aproximado). 
 
CONVENÇÃO EXPONENCIAL 
 É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se 
a taxa equivalente. Ou seja, se a taxa for anual e o período for dado em anos e 
meses, devemos trabalhar com a taxa mensal equivalente e o período em meses. 
 
 
 
 
 
 
CONVENÇÃO LINEAR 
 É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados por 
interpolação. Ou seja, deve-se calcular os montantes no período anterior e 
posterior ao período não-inteiro, considerando um crescimento linear entre eles. 
 
 
 
 
 
t1 
C 
M 
t 
MONTANTE 
M1 
M2 
t2 PERÍODO 
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EXEMPLOS 
 
01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos, 
com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação 
 
SOLUÇÃO: 
Dado: 











meses12ano1t
.m.a%5i
00,800$RC
?M
 
Sendo 
M = C.(1 + i)t 
então 
 M = 800.(1+5%)12 
Pela tabela 1, temos: 
 M = 800.1,796 = 1436,8 
Dessa forma, o juros será 
 J = M – C 
 J = 1436,8 – 800 
 J = 636,8 
Portanto o montante final será de R$ 1.436,80 e o rendimento de R$ 636,80. 
MESMA UNIDADE DE TEMPO 
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EXERCÍCIOS 
 
01. (ACEP) Fátima aplicou R$ 1.000,00 a 
uma taxa de juros compostos de 10% ao 
mês e por um prazo de 1 trimestre. Tendo 
sido as capitalizações mensais, qual será 
o valor do resgate? 
a) R$ 1.331,00 
b) R$ 1.300,00 
c) R$ 331,00 
d) R$ 300,00 
e) R$ 1.000,00 
 
02. (FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foi 
aplicado à taxa de 3% ao mês durante 3 
meses. Os montantes correspondentes 
obtidos segundo capitalização simples e 
composta, respectivamente, valem 
a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45. 
b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00. 
c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45. 
d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00. 
 
03. (CESGRANRIO) Milena tem dois 
pagamentos a realizar. O primeiro é de 
R$ 1.100,00 daqui a dois meses e o 
segundo é de R$ 1.210,00 daqui a três 
meses. Milena pretende juntar essas duas 
dívidas em uma só, com vencimento 
daqui a quatro meses. A taxa de juros 
corrente é de 10% ao mês. Qual o valor a 
ser pago? 
a) R$ 2.310,00 
b) R$ 2.600,00 
c) R$ 3.074,61 
d) R$ 3.003,00 
ANOTAÇÕES: 
Matemática Financeira 
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e) R$ 2.662,00 
 
04. (FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa 
de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros 
compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas 
duas aplicações foi 
a) R$ 149, 09 
b) R$ 125,10 
c) R$ 65,24 
d) R$ 62,55 
e) R$ 62,16 
 
05. A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada mês, 10% sobre o saldo 
do mês anterior. Se, no início de um mês, o saldo era x, e considerando-se que não 
haja retiradas, depois de 4 meses o saldo será de: 
a) (11/10)4.x 
b) (11/10)3.x 
c) x + (11/10)4.x 
d) x + (11/10).x 
e) x + 40%.x 
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Prof. Pedro Evaristo 36 
 
06. Carol investiu R$3.000,00 em um 
fundo de longo prazo, que rende 
cumulativamente 4% a.m. Quanto ela irá 
resgatar dois anos depois? Dado: 
(26/25)24 = 2,563 
a) 9.760,00 
b) 8.310,00 
c) 7.689,00 
d) 6.970,00 
 
07. Determine o valor mais próximo da 
aplicação que 14 meses mais tarde gera 
um montante de R$2.000,00, quando 
submetido a uma taxa mensal composta 
de 5%. (Use 1,05-14 = 0,505) 
a) R$ 1.010,00 
b) R$ 1.100,00 
c) R$ 1.210,00 
d) R$ 1.320,00 
 
08. (FCC) O capital que quadruplica em 
2 meses, ao se utilizar de capitalização 
composta, deve estar vinculado a uma 
taxa mensal de 
a) 50% 
b) 100% 
c) 150% 
d) 200% 
 
09. Quantos meses são necessários para 
que um capital triplique, se for submetido 
a uma taxa de juros compostos de 
13%a.m.? 
ANOTAÇÕES: 
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a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
 
10. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime de 
juros compostos e taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00? 
a) 7 anos 
b) 2 anos e 1 mês 
c) 1 ano e 9 meses 
d) 1 ano e 3 meses 
 
11. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de 
9% ao trimestre aumenta 100%. 
a) 14 
b) 12 
c) 10 
d) 8 
e) 6 
 
12. Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa 
mensal composta de juros dessa operação? 
a) 2% 
b) 4% 
c) 6% 
d) 8% 
GABARITO 
01. A 02. A 03. E 04. D 05. A 06. C 
07. A 08. B 09. A 10. C 11. D 12. C 
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CAPÍTULO 04 
 
MÉDIAS 
 
 Prazo, taxa e capital médio são aqueles que substituem diversas aplicações 
financeiras por uma única. É muito utilizado em operações de desconto de títulos 
quando precisamos saber o prazo médio do desconto, ou a taxa média (ou única)ou, ainda, o capital médio. 
 Esse assunto vem sendo cobrado em muitos concursos públicos, com 
destaque para provas da Esaf. Observe a teoria e os exercícios resolvidos para 
perceber a diferença entre cada uma das médias. 
 
TAXA MÉDIA 
 
 Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos 
distintos, podemos encontrar através de média ponderada a taxa média em que 
esses capitais poderão ser aplicados produzindo os mesmos montantes. 
 
nn
nnn
M
tCtCtC
tiCtiCtiC
i
......
.........
2211
222111



 
 
PRAZO MÉDIO 
 
 Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos 
distintos, podemos encontrar através de média ponderada o prazo média em que 
esses capitais poderão ser aplicados produzindo os mesmos montantes. 
 
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nn
nnn
M
iCiCiC
tiCtiCtiC
t
......
.........
2211
222111



 
 
CAPITAL MÉDIO 
 
 Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos 
distintos, podemos encontrar através de média ponderada o capital médio. 
 
nn
nnn
M
tititi
tiCtiCtiC
C
......
.........
2211
222111



 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Determine a taxa média dos capitais C1 = 3000 e C2 = 4000, aplicados 
respectivamente por 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m.. 
a) 3,92% a.m. 
b) 3,42% a.m. 
c) 2,84% a.m. 
d) 2,36% a.m. 
 
02. Determine o capital médio de duas aplicações C1 = 3000 e C2 = 4000, com 
respectivos prazos de 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m.. 
a) 2976,23 
b) 3176,32 
c) 3769,23 
d) 3976,32 
 
03. Determine o prazo médio que devem ser aplicados os capitais C1 = 3000 e C2 = 
4000, sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m. e aplicados respectivamente por 6 e 
8 meses. 
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a) 7,89 meses 
b) 7,53 meses 
c) 6,78 meses 
d) 6,42 meses 
 
04. (ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros 
simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, 
respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais. 
a) 2,5% 
b) 3% 
c) 3,5% 
d) 4% 
e) 4,5% 
 
05. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à 
taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, 
respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. 
a) quatro meses 
b) quatro meses e cinco dias 
c) três meses e vinte e dois dias 
d) dois meses e vinte dias 
e) oito meses 
 
06. (ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são 
aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 
1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes 
capitais. 
a) 2,9% 
b) 3% 
c) 3,138% 
d) 3,25% 
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e) 3,5% 
 
07. (ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital 
de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é 
aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. 
Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais. 
a) 3% 
b) 2,7% 
c) 2,5% 
d) 2,4% 
e) 2% 
 
GABARITO 
01. A 02. C 03. B 04. C 05. A 06. E 07. B 
 
CAPÍTULO 05 
 
DESCONTOS 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
 Os títulos de crédito, tais como Nota Promissória, Duplicata, Letra de 
Câmbio, são instrumentos legais com todas as garantias jurídicas que podem ser 
negociados com uma instituição de crédito, gerando uma operação ativa, que 
consiste na transferência de direito através de endosso, em troca do seu valor 
nominal ou de face, menos os juros proporcionais à taxa, vezes o tempo 
compreendido entre a data da emissão até o vencimento do título. 
 Atualmente, não apenas os Bancos, mas empresas especializadas efetuam 
essas operações, que chamaremos de DESCONTO. 
 
Temos os seguinte tipos de descontos: 
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 Comercial (Por Fora) 
 Racional (Por Dentro) 
 Bancário 
 
NOMENCLATURA 
 
VALOR NOMINAL ou de FACE (N) 
Quantia declarada no título, o valor pelo qual foi emitido. 
 
DESCONTO (D) 
Valor obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um 
compromisso, quando quitado “n” períodos antes do vencimento. 
 
TEMPO (t ou n) 
Prazo compreendido entre a data da operação (desconto) e a data do 
vencimento. Os dias serão contados excluindose o dia da operação e 
incluindose a data do vencimento. 
 
TAXA (i) 
Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem) 
unidades, num determinado período, ou seja, o percentual de juros. 
 
VALOR ATUAL ou ATUAL (A) 
É a diferença entre o Valor Nominal e o Desconto. Também pode ser chamado de 
valor descontado, que nada mais é do que o valor recebido na operação de 
desconto. 
 
DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) 
 
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 O calculo é efetuado sobre o valor nominal do título, de forma semelhante 
ao calculo dos juros simples. 
 
 
 
 
Sendo 
 A – Valor Atual (Valor com desconto) 
 D – Desconto (Valor a ser descontado) 
 N – Valor Nominal (Valor de face e sem desconto) 
Onde N = A + D. 
Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital 
pode ser substituído por N e os juros por DC, então temos: 
 
 
 
 
 
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) 
 
Nesse caso o calculo é feito sobre o valor líquido ou atual. 
 
 
 
 
 
Sendo 
1..1
N
ti
D
ti
A


 
ti
N
ti
DA
.1.1 
 
DC = N.i.t A = N – DC 
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 A – Valor Atual (Valor com desconto) 
 D – Desconto (Valor a ser descontado) 
 N – Valor Nominal (Valor de face e sem desconto) 
Observe que sempre N = A + D. 
Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital 
pode ser substituído por A e os juros por DR, então temos: 
 
 
 
 
DR = A.i.t A = N – DR 
LINK: 
COMERCIAL (DC) x RACIONAL (DR) 
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EXERCÍCIOS 
 
01. Um cheque de R$ 800,00 com data para 120 dias foi trocado em uma 
Factoring. Quanto será o valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa 
simples de 60% a.a. e seguir o desconto comercial? 
a) R$ 600,00 
b) R$ 640,00 
c) R$ 700,00 
d) R$ 720,00 
 
02. Leonardo resgatou uma nota promissória 5 meses antes do seu vencimento e 
por isso teve desconto de R$100,00. Sabendo que a taxa usada foi de 4%a.m. e o 
desconto foi comercial, determine o valor dessa NP. 
a) R$ 500,00 
b) R$ 600,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 1.000,00 
 
03. Nícolas descontou antecipadamente, em uma financeira, um cheque com 
data para 3 meses mais tarde e por isso a financeira descontou R$96,00 de seu 
valor. Sabendo que a taxa efetiva usada foi de 4%a.m.. Determine o valor desse 
cheque. 
a) R$ 800,00 
b) R$ 896,00 
c) R$ 946,00 
d) R$ 1.000,00 
 
04. (ESAF) Um valor de R$1.100,00 deve ser descontado racionalmente, um 
bimestre antes do vencimento. Determine o valor atual recebido na operação, 
sabendo que a taxa mensal utilizada foi de 60%. 
a) 440 
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b) 500 
c) 550 
d) 1000 
 
05. A loja Alfa Móveis, vende uma mesa por R$ 600,00 em quatro parcelas mensais 
e iguais. O pagamento é feito com quatro cheques no valor de R$ 150,00 cada, 
sendo o primeiro para 30 dias e os outros com datas para os meses subsequentes. 
Para receber o dinheiro antecipado, a loja recorre a uma financeira, que 
desconta comercialmente todos os cheques a uma taxa simples de 10% a.m.. 
Quanto receberá o comerciante? 
a) R$ 450,00 
b) R$ 510,00 
c) R$ 540,00 
d) R$ 360,00 
 
06. Uma loja de informática vendeu um equipamento por R$ 514,80 e recebeu 3 
cheques no valor de R$ 171,60 para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Para 
receber o dinheiro antecipado, recorreu a uma financeirae descontou-os 
antecipadamente a uma taxa simples de 10% a.m.. Se a financeira utilizar o 
desconto por dentro, quanto receberá o comerciante? 
a) R$ 431,00 
b) R$ 411,00 
c) R$ 380,00 
d) R$ 206,00 
07. Em uma loja o comerciante pode vender os produtos de duas formas: a vista, 
dando um desconto comercial de x%, ou sem desconto e a prazo, recebendo um 
cheque para 60 dias. Sabendo que esse cheque será negociado em uma 
Factoring com desconto racional de 25% para o mesmo período, determine o 
valor de x para que a escolha da opção seja indiferente para o comerciante. 
a) 15 
b) 18 
c) 20 
d) 25 
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(ESAF) Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto comercial de 20% 
por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule 
a taxa de desconto mensal da operação considerando um desconto simples por 
dentro. 
a) 6,25%. 
b) 6%. 
c) 4%. 
d) 5%. 
e) 5,5%. 
 
08. Um título público de R$10.000,00 é descontado 3 semestres antes do 
vencimento, com taxa efetiva de 50%a.s.. Qual seria a taxa semestral, se o 
desconto fosse comercial? 
a) 60% 
b) 40% 
c) 20% 
d) 10% 
 
09. Um desconto comercial simples de 25% a.m. é dado a uma duplicata três 
meses antes do vencimento. Se o desconto tivesse sido racional, para se obter o 
mesmo valor atual um trimestre antes, qual teria sido a taxa mensal na operação? 
a) 25% 
b) 75% 
c) 100% 
d) 300% 
 
10. (ESAF) A uma taxa de juros de 25% ao período, uma quantia de 1000 no fim do 
período t, mais uma quantia de 2000 no fim do período t+2, juntos são 
equivalentes, no fim do período t+1, a uma quantia de: 
a) $ 4062,50 
b) $ 3525,00 
c) $ 2850,00 
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d) $ 3250,00 
 
11. (CESGRANRIO) Uma duplicata no valor de R$13.000,00 deve ser descontada 
um ano antes do vencimento, com taxa de 30% a.a.. Determine a diferença entre 
D – d, onde D é o valor do desconto caso seja comercial e d é o valor do 
desconto caso seja racional. 
a) 500 
c) 600 
c) 800 
d) 900 
 
GABARITO 
01. B 02. A 03. B 04. B 05. A 06. A 
07. C 08. A 09. C 10. C 11. C 12. D 
 
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CAPÍTULO 06 
 
TIPOS DE TAXAS 
 
TAXAS PROPORCIONAIS 
 Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a 
um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo 
montante no final do prazo, em regimes de juros simples. 
 
126321
ASTBM iiiii  ou 
3601809060301
ASTBMD iiiiii  
 
EXEMPLO: 
 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a. 
 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a. 
 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m. 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
 Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um 
mesmo capital, em regime de juros compostos, capitalizados em prazos diferentes, 
durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do 
período. 
 Assim duas ou mais taxas são equivalentes se, e somente se: 
 
36012421 )1()1()1()1()1( dmtsa iCiCiCiCiC  
 
Portanto 
3601242 )1()1()1()1()1( dmtsa iiiii  
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De maneira geral temos: 
I  taxa do período maior. 
i  taxa do período menor. 
n  numero de vezes que o período maior contém o menor. 
Podemos escrever que então: 
 )1()1( Ii n  
 n li  11 
Logo 
 11  n li 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa bimestral equivalente 2% a.m.? 
 
SOLUÇÃO: 
Observando a tabela I, temos: 
 (1+2%)2 = 1,0404 = 1 + 4,04% 
Portanto, 2% a.m é equivalente a 4,04% a.b. 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa anual equivalente 5% a.b.? 
 
SOLUÇÃO: 
Observando a tabela I, temos: 
 (1+5%)6 = 1,34 = 1 + 34% 
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Portanto, 5% a.b é equivalente a 34% a.a. 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa mensal equivalente 42,58% a.a.? 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado temos: 
 (1 + iM)12 = (1 + 42,58%)1 
Ou seja, 
 (1 + iM)12 = 1,4258 
Observando a tabela I, na linha n = 12 temos uma taxa de 3%. 
Portanto, 42,58% a.a. é equivalente a 3% a.m. 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa mensal equivalente a 60% a.a.? 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado temos: 
 (1 + iM)12 = (1 + 60%)1 
Ou seja, 
 (1 + iM)12 = 1,60 
Observando a tabela I, na linha n = 12 temos 1,60 para uma taxa de 4%. 
Portanto, 60% a.a. é equivalente a 4% a.m. 
 
TAXA NOMINAL 
 A unidade de referência de seu tempo não coincide com a 
unidade de tempo dos períodos de capitalização, geralmente a 
n
i
i NOMINAL
EFETIVA
 
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Taxa Nominal é fornecida em tempos anuais, e os períodos de capitalização 
podem ser mensais, trimestrais ou qualquer outro período, inferior ao da taxa. 
 
EXEMPLOS: 
 12% a.a. capitalizamos mensalmente. 
 20% a.a. capitalizamos semestralmente. 
 15% a.a. capitalizamos trimestralmente. 
 
EXEMPLO: 
36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal). 
..%3
12
..%36
ma
meses
aa
 (Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Taxa Nominal é bastante difundida e usada na 
conversação do mercado financeiro, entretanto o seu valor 
nunca é usado nos cálculos por não representar uma Taxa 
Efetiva. O que nos interessará será a Taxa Efetiva embutida na 
Taxa Nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em 
cada período de capitalização. 
LINK: 
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TAXA EFETIVA 
 É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a 
unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
 
EXEMPLO: 
 15% a.a. capitalizados anualmente. 
 5% a.s. capitalizados semestralmente. 
 3% a.m. capitalizados mensalmente. 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. capitalizado 
mensalmente? 
 
SOLUÇÃO: 
Seja 
 iN = 60% a.a. (cap. mens.) 
 
Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a 
seguinte proporção 
 
112
EFN ii   
1
i
12
%60 EF 
 
Logo 
Nestes casos, costumase simplesmente dizer: 15% a.a., 3% 
a.m., 5% a.s., omitindose o período da capitalização. 
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iEF = 5% a.m. (cap. mens.) 
 
Então 
 (1 + iA)1 = (1 + 5%)12 
 
Pela tabela 1, temos: 
 1 + iA = 1,796 
 
Portanto 
 iA = 0,796 = 79,6% a.a. 
 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa nominal de 24% a.s. capitalizado 
mensalmente? 
 
SOLUÇÃO: 
Seja 
 iN = 24% a.s. (cap. mens.) 
 
Como taxa nominal é semestral e a capitalização é mensal, a taxa efetiva 
obedece a seguinte proporção 
 
1
i
6
i EFN   
1
i
6
%24 EF 
 
Logo 
iEF = 4% a.m. (cap. mens.) 
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Então 
 (1 + iS)1 = (1 + 4%)6 
 
Pela tabela 1, temos: 
 1 + iS = 1,265 
 
Portanto 
 IS = 0,265 = 26,5% a.s. 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 42% a.a. capital. 
bimestralmente? 
 
SOLUÇÃO: 
Seja 
 iN = 42% a.a. (cap. bim.) 
 
Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a 
seguinte proporção 
 
1
i
6
i EFN   
1
i
6
%42 EF 
 
Logo 
iEF = 7% a.b. (cap. bim.) 
 
Então 
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 (1 + iA)1 = (1 + 7%)6 
 
Pela tabela 1, temos: 
 1 + iA = 1,50 
 
Portanto 
 iA = 0,50 = 50% a.a. 
 
 
 
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(1+iA) = (1+iR)(1+iINF) 
 
TAXA REAL E APARENTE 
Em uma situação em que a inflação for levada em consideração, a taxa i 
aplicada sobre um capital é aparente, pois o montante produzido não terá o 
mesmo poder aquisitivo. 
Entenda que se em um certo período aplicarmos um capital C à taxa de 
juros iA, obteremos o montante: 
M = C.(1 + iA) 
Se no mesmo período a inflação foi iINF, o capital C para manter seu poder 
aquisitivo deve ser corrigido pelainflação, gerando um montante inflacionado: 
 MINF = C.(1 + iINF) 
Dessa forma, MINF e C correspondem ao mesmo poder aquisitivo em 
momentos distintos: um afetado pela inflação e outro não. 
Portanto, chamaremos de taxa real de juros iR a taxa que leva o valor MINF 
ao valor M e de taxa aparente de juros iA a taxa que leva C ao valor M. 
 
CÁLCULO DA TAXA REAL 
Ora, C(1+iR) é o montante, no final de um período, considerando uma 
economia sem inflação, à taxa real de juros iR. C(1+iINF) é o montante 
considerando apenas a inflação e C(1+iR)(1+iINF) é o montante considerando o 
juros reais e a inflação. 
Como o montante gerado por uma taxa aparente iA, divulgada pelo 
mercado financeiro, produz o mesmo montante gerado pelas taxas de inflação iINF 
e real iR aplicadas uma sob a outra, temos: 
C.(1+iA) = C.(1+iR)(1+iINF) 
logo 
 
 
 
 
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ou então 
1
i1
i1
i
INF
A
R 


 
Onde 
iR  taxa real 
iA  taxa aparente 
iINF  taxa de inflação 
 
 
EXEMPLOS 
 
EXEMPLO: 
Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros nominal de 21% ao ano. No 
mesmo período a inflação foi de 11%. Qual a taxa real de juros? 
 
SOLUÇÃO: 
Temos que 
(1+iA) = (1+iR)(1+iINF) 
Então 
(1 + 21%) = (1 + iR).(1 + 11%) 
1,21 = (1 + iR).1,11 
 1 + iR = 
11,1
21,1
 
 iR = 0,09 
iR = 9% 
 
EXEMPLO: 
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Um ano atrás um televisor 20” custava R$ 1000,00 e hoje a loja cobra R$ 1260,00 
pelo mesmo produto. Sabendo que nesse mesmo período a inflação foi de 20%, 
determine a taxa real de aumento sofrida pelo televisor. 
 
SOLUÇÃO: 
O aumento de R$260, representa 26% de R$1000, portanto essa é a taxa aparente. 
 
Sendo 
 (1 + iA) = (1 + iR)(1 + iINF) 
Então 
 (1 + 26%) = (1 + iR)(1 + 20%) 
 1,26 = (1 + iR).1,20 
 1 + iR = 1,26/1,20 
 iR = 1,05 – 1 
 iR = 5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a loja aumentou aparentemente 26%, mas na verdade ela subiu o preço 
5% acima da inflação. 
 
 
iAPARENTE = 26% 
iREAL = 5% iINFLAÇÃO = 20% 
R$ 1.200,00 
R$ 1.000,00 R$ 1.260,00 
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EXERCÍCIOS 
 
01. Qual a taxa anual aparente de um investimento, se a retabilidade real foi de 
40%a.a. e a inflação do período foi de 20%? 
a) 30% 
b) 52% 
c) 60% 
d) 68% 
 
02. A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, 
transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100 %, 
qual foi a inflação medida no mesmo período? 
a) 100% ao período 
b) 200% ao período 
c) 300% ao período 
d) 400% ao período 
 
03. Sabendo-se que o rendimento anual em caderneta de poupança em um 
determinado país subdesenvolvido no ano passado foi de 230%, e que a sua taxa 
de inflação no período foi de 200%, determine o ganho real de um aplicador. 
a) 10% a.a. 
b) 11% a.a. 
c) 12% a.a. 
d) 13% a.a. 
 
04. Um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (compostos) sobre 
determinada aplicação. Qual deve ser a taxa aparente de juros para o período 
de um ano se a inflação esperada neste período for de 18%? 
a) 40,9% 
b) 42,0% 
c) 45,9% 
d) 49,6% 
 
05. Se um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (simples) sobre 
determinada aplicação. Qual deve ser a taxa nominal aparente de juros para o 
período de um ano se a inflação esperada neste período for de 18%? 
a) 40,9% 
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b) 42,0% 
c) 45,9% 
d) 49,6% 
 
06. (CESGRANRIO) Três aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um 
único aumento trimestral de: 
a) 0,9% 
b) 90% 
c) 190% 
d) 219,7% 
e) 119,7% 
 
07. Qual a taxa quadrimestral equivalente a 8% a.m.? 
a) 32% a.q. 
b) 34% a.q. 
c) 36% a.q. 
d) 38% a.q. 
 
08. Se em um financiamento está escrito que a taxa de juros nominal anual é de 
30%, com capitalização bimestral, então a taxa de juros anual equivalente será: 
a) 0,76 + 1 
b) 0,056 – 1 
c) 1,056 – 1 
d) 1+0,056 
 
09. (CESGRANRIO) Um capital é aplicado com taxa anual de 10%, se o investidor 
resgatar um semestre após a data da aplicação, então a taxa equivalente para 
esse período: 
a) deverá ser de 5% a.s. 
b) deverá ser maior que 5% a.s. 
c) deverá ser menor que 5% a.s. 
d) deverá ser maior que 10% a.s. 
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e) dependerá do valor do capital 
 
10. Uma aplicação financeira paga juros composto de 28% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. Qual é a taxa de juros trimestral efetiva de aplicação. 
a) 7% 
b) 6% 
c) 5% 
d) 7,5% 
 
11. Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano, 
com capitalização mensal. 
a) 21,3% 
b) 24,0% 
c) 26,8% 
d) 32,4% 
 
12. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. 
capitalizados mensalmente. 
a) 40% a.q. 
b) 46,41% a.q. 
c) 51,54% a.q. 
d) 69,65% a.q. 
 
13. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. 
capitalizados bimestralmente. 
a) 48% 
b) 44% 
c) 40% 
d) 36% 
e) 32% 
 
14. Qual a Taxa Efetiva trimestral equivalente a uma Taxa Nominal de 36% a.a. 
capitalizados mensalmente? 
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a) 8,27% a.t. 
b) 9,27% a.t. 
c) 10,27% a.t. 
d) 11,27% a.t. 
 
15. (ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros 
de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia 
uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores 
mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, 
respectivamente, iguais a: 
a) 69 % e 60 % 
b) 60 % e 60 % 
c) 69 % e 79 % 
d) 60 % e 69 % 
e) 120 % e 60 % 
 
16. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização trimestral é equivalente a: 
a) 10% ao mês 
b) 30% ao trimestre 
c) 58% ao semestre 
d) 185,6% ao ano 
e) 244% ao ano 
 
GABARITO 
01. D 02. C 03. A 04. D 05. B 
06. E 07. C 08. C 09. C 10. A 
11. C 12. B 13. B 14. C 15. D 
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CAPÍTULO 07 
 
DESCONTO COMPOSTO 
 
 Os descontos compostos funcionam da mesma forma que as capitalizações, 
podendo ser usadas as mesma fórmulas, onde o valor descontado (D) 
corresponde aos juros (J) do período (t), enquanto o valor nominal (N) e o valor 
atual (A), corresponderão ao montante (M) e ao capital (C), dependendo do tipo 
de desconto. 
 Da mesma forma que o desconto simples, o desconto composto pode 
ocorrer de duas formas: desconto racional e desconto comercial. É importante 
salientar que na grande maioria dos casos os descontos compostos são racionais, 
portanto quando não estiver descriminado fica implicito o uso desse tipo de 
desconto. 
 
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL 
 
 Sabemos que quando o desconto é dito racional, devemos calular o 
desconto em ralação ao valor atual, logo o valor nominal (N) corresponderá ao 
montante (M) e o valor atual (A) corresponderá ao capital (C), assim como em 
uma capitalização, portanto: 
 
  
t
iAN  1. 
 
Dessa forma, podemos dizer que o valor atual (A) é equivalente ao valor 
nominal (N) em períodos diferentes, assim como representado no fluxo. 
Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente o 
juro que o valor atual (A) deveria produzir nesse período, logo 
 
0 1 2 3 t ... 
N A 
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AND  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL 
 
 No caso do desconto comercial, devemos calular o desconto em ralação 
ao valor nominal (N), logo este corresponderá ao capital (C) e o valor atual (A) 
corresponderá ao montante (M), que será sempre menor que o valor nominal. Se 
for usada a fórmula da capaitalização a taxa de juros (i) deve ser negativa, mas a 
forma prática é substituir (i) positiva na seguinte equação: 
 
 
 
  
t
iNA  1. 
0 1 2 3 t ... 
N A 
LINK: 
Na maioria dos casosé dado o valor nominal, a taxa e o 
período para ser encontrado o valor atual (A<N), logo 
A = 
ti
N
)1( 
 
Podemos ainda escrever da seguinte forma 
A = N.
ti )1(
1

 
Onde 
ti )1(
1

 é o inverso do fator de acumulação e seu 
resultado pode ser facilmente encontrado na tabela 2, o que 
facilita muito o trabalho do aluno, uma vez que será feita uma 
simples multiplicação no lugar da divisão. 
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Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente a 
deflação calculada sobre ele, logo 
AND  
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL 
 
 Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são 
ditos equivalentes quando transportados para uma mesma data, anterior ou 
posterior, a uma mesma data de juros, produzem nessa data, valores iguais. 
 Para melhor representar as entradas e saídas de capitais, envolvidas nos 
problemas, faremos um esquema gráfico utilizando setas para cima e para baixo 
ao longo de um eixo horizontal que representa o tempo. O sentido das setas é 
convencionado. No exemplo abaixo, se $100, $50 e $200 representam entradas, 
então $150 deve representar uma saída. 
 
 
 
 
 
 
 Quando esse conjunto de capitais é transportado para a data final do fluxo 
de caixa, dizemos que existe um capital único que é equivalente a todos eles 
denominado de Valor Futuro. 
 
 
 niVPVF  1. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
100 
50 
200 
150 
meses 
0 1 2 3 n ... 
VF VP 
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 Quando esse conjunto de capitais é transportado para a data inicial do 
fluxo de caixa, dizemos que existe um capital único que é equivalente a todos eles 
denominado de Valor Presente ou Valor Atual. 
 
 ni
VFVP


1
1
. 
 
 É comum usar essa equivalência de capitais para se fazer análise 
comparativa entre dois ou mais fluxos diferentes. Observe que 
independentemente da data escolhida para os transportes de capital, a 
equivalência será verificada. 
 
 
EXEMPLO: 
(ESAF) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$50.000,00 em dois 
bancos diferentes. Um parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, a taxa de 3% 
a.m.. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B, a taxa de 4% a.m.. Após 
um ano Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram 
iguais. Deste modo, determine o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem 
considerar os centavos. 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado temos os montantes: 
 BANCO A (i = 3%a.m.) 
 MA = x.(1+3%)12 
e 
 BANCO B (i = 4%a.m.) 
 MA = (50000–x).(1+4%)12 
Como MA = MB, temos: 
0 1 2 3 n ... 
VF VP 
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 x.(1+3%)12 = (50000–x).(1+4%)12 
De acordo com a TABELA I, temos: 
 (1+3%)12 = 1,425760 
 (1+4%)12 = 1,601032 
Ou seja, 
 x.1,425760 = (50000–x).1,601032 
 0,8905256.x = 50000 – x 
 1,8905256.x = 50000 
Logo, 
 x = 26447,7 
Portanto os valores aplicados são 
 BANCO A  26447,7 
 BANCO B  23552,3 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Três cheques iguais no valor de R$1.000,00 devem ser descontados 
comercialmente, a uma taxa composta de 10% para cada período. Determine o 
valor atual desses cheques, segundo o fluxo abaixo. 
 
 
 
 
 
a) R$ 2.700,00 
b) R$ 2.514,00 
c) R$ 2.439,00 
d) R$ 2.300,00 
0 1 2 3 
1000 1000 1000 
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02. Determine o valor atual de três cheques no valor de R$1.331,00, se forem 
descontados racionalmente, a uma taxa composta de 10% para cada período, 
segundo o fluxo a seguir. 
 
 
 
 
 
 
a) R$ 3.993,00 
b) R$ 3.630,00 
c) R$ 3.310,00 
d) R$ 3.000,00 
 
0 1 2 3 
1331 1331 1331 
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03. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 55.500,00, 60 dias antes do 
vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o 
banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa 
foi de (desprezar os centavos no resultado final): 
OBS.: 
(1,84)1/3 = 1,23 
(1,84)1/4 = 1,17 
(1,84)1/6 = 1,11 
a) $ 42.930 
b) $ 44.074 
c) $ 45.122 
d) $ 47.435 
e) $ 50.000 
 
04. (CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$24.200,00 será descontado dois 
meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. 
Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto 
racional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
 
05. Pedro quer fazer uma aplicação de R$ 5.000,00 em um dos três bancos em que 
ele opera. Cada um deles oferece uma forma de retorno diferente, representadas 
nos fluxos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
3000 
0 1 2 3 
2000 
1000 
2000 
0 1 2 3 
2000 2000 
3000 
0 1 2 3 
2000 
1000 
BANCO A 
5000 5000 5000 
BANCO B BANCO C 
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Dessa forma, Pedro verificou que, para ele: 
a) o Banco A é mais vantajoso 
b) o Banco B é mais vantajoso 
c) o Banco C é mais vantajoso 
d) todos são igualmente vantajosos 
 
06. (ESAF) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para 
resolução da questão seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem no 
final dos meses ali indicados. 
 
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA: 
Fluxos J F M A M J J A 
UM 1000 1000 500 500 500 500 250 50 
DOIS 1000 500 500 500 500 500 500 300 
TRÊS 1000 1000 1000 500 500 100 150 50 
QUATRO 1000 1000 800 600 400 200 200 100 
CINCO 1000 1000 800 400 400 400 200 100 
 
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4% a.m. O fluxo de caixa, da 
tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: 
a) Fluxo Um 
b) Fluxo Dois 
c) Fluxo Três 
d) Fluxo Quatro 
e) Fluxo Cinco 
GABARITO 
01. C 02. C 03. E 04. B 05. A 06. C 
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CAPÍTULO 08 
 
RENDAS CERTAS 
 
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só 
vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. 
Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um 
processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, 
tem-se o processo de amortização. 
Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem 
que haja amortização, que é o caso dos aluguéis. 
Estes exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades, que 
podem ser, basicamente de dois tipos: 
 
RENDAS CERTAS: são aquelas cuja duração e pagamentos ou recebimentos 
são prefixados. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de 
duração, taxa de juros, etc, são fixos e imutáveis. 
Exemplo: compra a prestação 
 
RENDAS ALEATÓRIAS: os valores e/ou as datas de pagamento ou de 
recebimento podem ser variáveis aleatórias. 
Exemplo: seguro de vida. 
 
Vamos estudar as rendas certas que são, simultaneamente: temporárias, 
periódicas e imediatas (postecipadas ou antecipadas) e as diferidas. 
Nos casos mais comuns e que vamos estudar, as rendas podem ser: 
 
Temporárias: quando a duração for limitada 
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Constantes: se todos os termos são iguais. 
 
Periódicas: se todos os períodos são iguais. 
 
Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 1º período. Elas podem ser: 
 Postecipadas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
 Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos. 
 
Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o 1º 
período. Elas também podem ser postecipadas ou antecipadas. 
 
 Podemos então tratar as rendas certas como uma seqüência uniforme de 
capitais. Estudaremos a seguir cada um dos casos separadamente: 
 VP (valor presente) de uma sequência uniforme postecipada. 
 VP (valor presente) de uma sequência uniforme antecipada. 
 VF (valor futuro) de uma sequência uniforme postecipada. VF (valor futuro) de uma sequência uniforme antecipada. 
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SEQUÊNCIAS UNIFORMES DE CAPITAIS 
 
VALOR PRESENTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME POSTECIPADA 
 
 Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou parcelas, for feita no final 
de cada período, será denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a 
data inicial teremos: 
 
ni
P
i
P
i
P
i
P
VP
)1(
...
)1()1()1( 22 






 
 
 
 
 Nesse caso, o valor presente (VP) será a soma dessa progressão geométrica 
(P.G.), dada por 
1
)1.(1



q
qa
S
n
n , onde o primeiro termo é a1 = 
)1( i
P

 e a razão é q = 
)1(
1
i
. Substiuindo esses dados, temos: 
 
 
 
 n
n
ii
i
PVP



1.
11
. , ou simplesmente inaPVP  . . 
 
 O fator de valor atual ani (a n cantoneira i) está na tabela 3. 
 Se desejar encontrar a parcela (P) em função do valor presente (VP), 
teremos: 
 
 
 
  11
1.
.



n
n
i
ii
VPP , ou simplesmente 
ina
VPP


1
. . 
 
0 1 2 3 n ... 
P P P P 
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 O fator de recuperação do capital 1/ani está na tabela 4. 
 
EXEMPLO: 
Uma televisão foi comprada no carnê em 4 prestações mensais iguais de R$ 300,00 
cada, sem entrada, iniciando a primeira parcela um mês após a compra. 
Sabendo que para esse tipo de transação a loja trabalha com juros compostos de 
9% a.m., determine qual deve ser o preço a vista dessa TV. 
 
SOLUÇÃO: 
O preço a vista da TV é o valor presente dessa série, portanto: 
 VP = P.a49% 
Onde P = 300 e pela tabela III vemos que a49% = 3,2397, então 
 VP = 300.3,2397 
 VP = 971,91 
Portanto o valor a vista da TV é R$ 971,91. 
 
VALOR PRESENTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME ANTECIPADA 
 
 Quando uma série de pagamentos (P ou PMT) for feita no início de cada 
período, será denominada de antecipada. Trazendo todos os P para a data inicial 
teremos: 
12 )1(
...
)1()1( 





ni
P
i
P
i
P
PVP 
 
 
 
 
0 1 2 3 n–1 ... 
P P P P 
n 
P 
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 Observe que nesse caso, basta somar P que está no início da série com o 
valor presente da sequência postecipada que começa no 1 e termina em n-1. 
Dessa forma teremos: 
 
inaPPVP  1. 
 
VALOR FUTURO DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME POSTECIPADA 
 
 Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou depósitos, for feita no final 
de cada período, será denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a 
data final teremos: 
 
 VF = P + P(1+i) + P(1+i)2 +...+ P(1+i)n-1 
 
 
 
 Nesse caso, o valor futuro (VF) será a soma dessa progressão geométrica 
(P.G.), dada por 
1
)1.(1



q
qa
S
n
n , onde o primeiro termo é a1 = P e a razão é q = (1 + 
i). Substiuindo esses dados, temos: 
 
 
 
i
i
PVF
n
11
.

 , ou simplesmente insPVF  . 
 
 O fator de acumulação de capital sni (s n cantoneira i) está na tabela 5. 
 Um fato interessante é que o valor futuro dessa série de pagamentos é um 
capital equivalente ao valor presente, dessa mesma série, na data final do 
período, portanto podemos dizer que: 
 
0 1 2 3 n ... 
P P P P 
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niVPVF )1.(  
 
 Por esta razão, temos: 
 
n
inin ias )1.(  
 
EXEMPLO: 
Uma pessoa resolveu poupar mensalmente R$400,00, pretendendo fazer uma 
viagem de férias, aplicando no final de cada mês em um fundo que paga 24% 
a.a. capitalizado mensalmente. Ao final de um ano, quanto ele terá guardado? 
 
SOLUÇÃO: 
A taxa de 24%a.a, dada no problema, é nominal. Portanto, a taxa efetiva é de 2% 
a.m. 
O montante acumulado ao final de uma ano (n=12) é o valor futuro dessa série, 
portanto: 
 VF = P.s122% 
Onde P = 400 e pela tabela 5 temos que s122% = 13,4121, então 
 VF = 400.13,4121 
 VF = 5364,84 
Portanto, o valor acumulado é de R$ 5.264,84. 
 
VALOR FUTURO DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME ANTECIPADA 
 
 Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou depósitos, for feita no 
início de cada período, será denominada de antecipada. Trazendo todos os P 
para a data final teremos: 
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VF = P(1+i) + P(1+i)2 +...+ P(1+i)n 
 
 
 
 
 Essa série é equivalente a uma sequência postecipada com n+1 depósitos, 
menos o depósito R da data final. Dessa forma teremos: 
 
PsPVF in  1. 
 
 
 
0 1 2 3 n–1 ... 
P P P P 
n 
P 
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EXERCÍCIOS 
 
01. Uma dívida foi financiada em doze parcelas mensais de R$ 500,00, sendo a 
primeira para 30 dias. Determine o valor atual da dívida, sabendo que a taxa 
utilizada foi de 4% a.m.. (Use 1,0412 = 1,6) 
a) R$ 4.687,50 
b) R$ 5.250,00 
c) R$ 6.000,00 
d) R$ 7.000,00 
e) R$ 7.500,00 
 
02. O cliente de um banco acerta com o gerente uma poupança programada, 
onde serão aplicados automaticamente doze parcelas mensais de R$ 500,00, 
sendo a primeira para 30 dias. Determine o valor futuro do saldo dessa aplicação 
na data do ultimo depósito, sabendo que a taxa utilizada foi de 4% a.m.. (Use 
1,0412 = 1,6) 
a) R$ 4.687,50 
b) R$ 5.250,00 
c) R$ 6.000,00 
d) R$ 7.000,00 
e) R$ 7.500,00 
 
03. Leonardo comprou uma moto em seis parcelas de R$600,00, sendo a primeira 
no ato da compra e as demais a cada 30 dias. Determine o valor à vista dessa 
moto, sabendo que a taxa utilizada pela financeira foi de 3% a.m. 
a) 3348,00 
b) 3250,00 
c) 3124,00 
d) 3012,00 
 
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04. Qual o valor futuro da série de quatro depósitos antecipados mensais e iguais 
no valor de R$1.000,00 cada, um mês após o último deposito, se aplicado a uma 
taxa composta de 10% a.m.? 
a) 4.000,00 
b) 4.400,00 
c) 5.105,10 
d) 5.612,30 
 
05. (ACEP) Uma família comprou uma geladeira nova, a prazo, em prestações 
iguais, com juros. Assinale a alternativa CORRETA. 
a) para um mesmo valor de prestação, o valor presente das prestações diminui 
quando a taxa de juros aumenta. 
b) no momento da compra, o valor presente da última prestação é igual ao valor 
presente da primeira prestação. 
c) o valor das prestações será maior se for dado um sinal no momento da compra. 
d) o valor das prestações não depende da taxa de juros. 
e) o valor das prestações não depende da quantidade de parcelas. 
 
06. (CESGRANRIO) Uma série de 10 anuidades de R$ 100 mil pode ser usada para 
amortizar um determinado financiamento. Sabendo que a taxa de juros oferecida para 
financiamento é de 1,25% a.m., pode-se afirmar que o preço justo para pagamento à 
vista é: 
a) maior que R$ 1mi 
b) R$1,1 mi 
c) maior que R$ 1mi e menor que R$ 1,1 mi 
d) R$ 1 mi 
e) menor que R$ 1 mi 
 
07. Quando Carol foi comprar um televisor de R$ 1.600,00, o vendedor informou 
que a loja estava parcelando em 8 vezes sem entrada e supostamente sem juros, 
ou seja, parcelas mensais de R$200,00. Ela então ofereceu R$ 1.400,00 à vista e 
“em espécie”. Se a loja aceitar essa proposta, significa que estará cobrando 
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indiretamente juros no parcelamento mensal, logo o valor da taxa de juros 
embutida na operação a prazo é de: 
a) 1% 
b) 2% 
c) 3% 
d) 4% 
 
08. Raquel comprou um carro de R$ 20.000,00 dando 40% de entrada e 
financiando o restante em 18 parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira em 
30 dias. Sabendo que a taxa utilizada pela financeira foi de 3%, determine o valor 
de cada uma das prestações. 
a) 872,50 
b) 782,50 
c) 978,20 
d) 587,20 
 
09. Hoje Felipe foi ao banco retirar a quantia que vinha juntando nos últimos 2 anos. 
Ele efetuou 24 depósitos mensais e iguais, todos no valor de R$400,00, de forma 
antecipada, até o mês anterior a data da retirada, em um fundo especial que lhe 
rendia 4% ao mês. Qual a quantia resgatada 24 meses após o primeiro depósito? 
a) 16.257,00 
b) 15.632,00 
c) 14.456,00 
d) 13.365,0010. (ACEP) Em uma loja, um certo computador está a venda por 10 parcelas 
mensais de R$ 300,00, sem entrada, podendo também ser pago em 5 parcelas 
bimestrais de R$ 615,00, sem entrada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? 
a) 3% ao mês 
b) 4% ao mês 
c) 5% ao mês 
d) 6% ao mês 
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e) 7% ao mês 
 
GABARITO 
01. A 02. E 03. A 04. C 05. A 
06. E 07. C 08. A 09. A 10. C 
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CAPÍTULO 09 
 
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO 
 
No Brasil são adotados vários esquemas de financiamento. Quando 
contraímos uma dívida, devemos saldá-la por meio de pagamentos do principal e 
dos juros contratados. Veremos os tipos mais usado, que são: Sistema Price 
(Francês), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização 
Crescente (SACRE) e Sistema de Amortização Misto (SAM). 
 
SISTEMA FRANCÊS 
 
Caracterizase pelo fato de o mutuário pagar a dívida, periodicamente, por 
meio de prestações constantes. O Sistema Price é um caso particular do Sistema 
Francês quando as parcelas são mensais. 
A parcela (P) é dada em função do valor atual (A) que foi emprestado ou 
financiado, do número de parcelas (n) e da taxa de juros (i), de acordo com a 
fórmula 
P = A.
 
  11
1.


n
n
i
ii
, 
ou simplesmente 
P = A.
ina 
1
. 
Lembrando que ani é o fator de valor atual de uma série de pagamentos 
encontrado na tabela III. 
 
 
 
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Inicialmente paga-se muito juro e amortiza-se pouco. 
Com o decorrer dos períodos, vai-se pagando menos 
juros e, conseqüentemente, amortizando-se mais o 
principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
Um empréstimo de R$ 1.000,00 é concedido para ser pago pelo sistema Francês 
de Amortização em 5 prestações mensais, à taxa de 10% a.m. Calcule o valor de 
cada prestação e monte a planilha teórica do financiamento. 
 
SOLUÇÃO: 
No plano Price (sistema francês com prestações mensais), para encontrar a 
prestação deve ser seguido o mesmo procedimento usado nas séries de 
pagamento uniformes. 
 VP = P . ani 
Onde 
VP é o capital (C) emprestado 
P é a prestação 
ani é o fator de valor atual 
Então pela fórmula temos: 
P = C. 
ina 
1
 









1)1(
)1.(
.
n
n
i
ii
CP = 







1%)101(
%)101%.(10
.1000
5
5
 
LINK: 
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Pela tabela 4, encontramos o fator de recuperação de capital 
%105
1
a
 = 0,264, 
logo 
P = 1000 . 0,264 = 264 
 
MONTAGEM DA PLANILHA TEÓRICA DO FINANCIAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
N PREST. JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 – – – 1000,00 
1 264 10%.1000 = 100 264 – 100 = 164 1000 – 164 = 836 
2 264 10%.836  84 264 – 84 = 180 836 – 180 = 656 
3 264 10%.656  66 264 – 66 = 198 656 – 198 = 458 
4 264 10%.458  46 264 – 46 = 218 458 – 218 = 240 
5 264 10%.240 = 24 264 – 24 = 240 240 – 240 = 0 
 
 
SISTEMA SAC 
 
 No Sistema de Amortização Constante a dívida também é paga por meio 
de prestações periódicas que englobam juros e amortização, no entanto, 
0 1 2 3 4 5 
1000 
264 264 
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0 1 2 3 4 5 
1000 
300 
280 
260 
240 
220 
caracterizase pelo fato de o mutuário pagar prestações decrescentes de valor, 
com amortizações iguais como o próprio nome diz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
Uma dívida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAC em 5 prestações mensais, 
à taxa de 10% a.m. Calcule o valor de cada prestação e monte a planilha teórica 
do financiamento. 
 
SOLUÇÃO: 
No plano SAC o valor amortizado é sempre o mesmo, logo temos 
n
C
A   200
5
1000
A 
Então no cálculo do valor de cada prestação deve ser feito cada mês, somando 
o valor amortizado (A) ao juro produzido em relação ao saldo devedor do mês 
anterior. 
 
MONTAGEM DA PLANILHA TEÓRICA DO FINANCIAMENTO 
 
 
 
 
A amortização do saldo devedor é constante e 
prestação decresce. Os juros também são cobrados 
sobre o saldo devedor. 
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Matemática Financeira 
Prof. Pedro Evaristo 87 
 
 
n PREST. JUROS AMORTIZAÇÃ
O 
SALDO DEVEDOR 
0 – – – 1000 
1 
300 
10%.1000 = 
100 200 1000 – 200 = 800 
2 280 10%.800 = 80 200 800 – 200 = 600 
3 260 10%.600 = 60 200 600 – 200 = 400 
4 240 10%.400 = 40 200 400 – 200 = 200 
5 220 10%.200 = 20 200 200 – 200 = 0 
 
SISTEMA SAM 
 
O Sistema de Amortização Mista é a média aritmética do Sistema Price e do 
SAC. A título de exemplo, construiremos a planilha de financiamento dado no 
Sistema Price e SAC. 
 
EXEMPLO: 
Uma dívida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAM em 5 prestações 
mensais, à taxa de 10% a.m.. Calcule o valor de cada prestação e monte a 
planilha teórica do financiamento. 
 
SOLUÇÃO: 
Assim como no plano SAC, as prestações no plano SAM também são calculadas 
todos os meses, pois a cada mês deve ser feito uma média das prestações obtidas 
nos planos PRICE e SAC, então a prestação do primeiro mês será 
 P = 
2
300264 
= 282 
Matemática Financeira 
Prof. Pedro Evaristo 88 
0 1 2 3 4 5 
1000 
282 
272 
262 
252 
242 
Então fica claro que devem ser usados os dados obtidos nos exemplos anteriores. 
 
MONTAGEM DA PLANILHA TEÓRICA DO FINANCIAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n PREST. JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 – – – 1000 
1 
(264 + 300)/2 = 282 
10%.1000 = 
100 282 – 100 = 182 1000 – 182 = 818 
2 (264 + 280)/2 = 272 10%.818 = 82 272 – 82 = 190 818 – 190 = 628 
3 (264 + 260)/2 = 262 10%.628 = 63 262 – 63 = 199 628 – 199 = 429 
4 (264 + 240)/2 = 252 10%.429 = 43 252 – 43 = 209 429 – 209 = 220 
5 (264 + 220)/2 = 242 10%.220 = 22 242 – 22 = 220 220 – 220 = 0 
 
Matemática Financeira 
Prof. Pedro Evaristo 89 
 
COMPARAÇÃO ENTRE OS PLANOS 
 
 SALDO DEVEDOR: 
Em todos os planos de amortização o saldo devedor diminui a cada 
pagamento, uma vez que deve existir amortização em todos os períodos, 
caso contrário não seria um plano de “amortização”. 
 
 JUROS: 
Os juros representam um percentual em cima do saldo devedor e por isso 
também diminuem a cada pagamento em todos os planos. 
 
 PARACELAS: 
Observe, no diagrama a seguir, que as parcelas do PRICE são constantes, do 
SAC começa maior e termina menor que nos outros sistemas, enquanto no 
SAM tem sempre valor intermediário em relação aos outros planos. 
 
 
 AMORTIZAÇÃO: 
No plano PRICE a amortização é crescente, pois enquanto a parcela (P) é 
constante, os juros (J) caem a cada período, portanto essa diferença (P – J) 
vai aumentando. No plano SAC, como já é de se esperar, a amortização é 
constante. Por fim, no plano SAM tudo é a média entre os outros dois planos, 
o que por consequência faz com que a amortização seja crescente. 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
Prof. Pedro Evaristo 90 
EXERCÍCIOS 
 
01. (ACEP) Qual das alternativas abaixo, em relação ao Sistema de Prestações 
Constantes em pagamento de empréstimos, está CORRETA? 
a) O saldo devedor tem comportamento linearmente decrescente. 
b) Os juros pagos têm comportamento linearmente decrescente. 
c) As amortizações têm comportamento crescente. 
d) Todas as amortizações têm o mesmo valor. 
e) As amortizações têm comportamento decrescente. 
 
02. (CESGRANRIO) Para a construção de um galpão, para instalação de uma 
indústria, foi feito um empréstimo no valor de R$10 mil, de forma a ser pago em 20 
parcelas mensais e utilizando-se taxa mensal composta de 8%. Para amortizar a 
dívida, se for utilizado o sistema PRICE, as parcelas ficarão em torno de R$1.018,50. 
Dessa forma, comparando a parcela no PRICE com as parcelas no Sistema de 
Amortização Constante (SAC) e no Sistema de Amortização Misto (SAM), podemos 
afirmar que: 
a) No SAC os juros pagos na primeira prestação são maiores 
b) No SAM os juros pagos na primeira prestação são menores 
c) No SAC a primeira prestação seria menor 
d) No SAC a primeira prestação